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2015年高考数学试题分类汇编 22个模块专题 Word版含答案解析

2015年高考数学试题分类汇编及答案解析(22个专题)

目录

专题一 集合 ...................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ...................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数 ............................................................................................................................................................ 21 专题四 解三角形 ............................................................................................................................................................ 32 专题五 平面向量 ............................................................................................................................................................ 40 专题六 数列 .................................................................................................................................................................... 48 专题七 不等式 ................................................................................................................................................................ 68 专题八 复数 .................................................................................................................................................................... 80 专题九 导数及其应用 .................................................................................................................................................... 84 专题十 算法初步 ........................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 .............................................................................................................................................. 120 专题十二 推理与证明 .................................................................................................................................................. 122 专题十三 概率统计 ...................................................................................................................................................... 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .......................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 .............................................................................................................................. 185 专题十六 平面几何初步 .............................................................................................................................................. 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .......................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .................................................................................................................................................... 217 专题十九 几何证明选讲 ............................................................................................................................................ 220 专题二十 不等式选讲 ................................................................................................................................................ 225 专题二十一 矩阵与变换 .............................................................................................................................................. 229 专题二十二 坐标系与参数方程 . (230)

专题一 集合

1.(15年北京文科)若集合{}52x x A =-<<,{}

33x x B =-<<,则A B =( )

A .{}

32x x -<< B .{}

52x x -<< C .{}

33x x -<< D .{}

53x x -<< 【答案】A

考点:集合的交集运算.

2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=,{|(4)(1)0}N x x x =--=,则M

N =

A .?

B .{}1,4--

C .{}0

D .{}1,4 【答案】A .

【考点定位】本题考查一元二次方程、集合的基本运算,属于容易题. 3.(15年广东文科) 若集合{}1,1M =-,{}2,1,0N =-,则M

N =( )

A .{}0,1-

B .{}0

C .{}1

D .{}1,1- 【答案】C 【解析】 试题分析:{}1M

N =,故选C .

考点:集合的交集运算. 4.(15年广东文科)若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =

≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且,

(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且,用()card X 表示集合X 中的元素个数,则

()()card card F E +=( )

A .50

B .100

C .150

D .200 【答案】D

考点:推理与证明.

5.(15年安徽文科)设全集{}123456U =,,,,,,{}12A =,,{}234B =,,,则()U A C B =( )

(A ){}1256,,, (B ){}1 (C ){}2 (D ){}1234,,, 【答案】B 【解析】

试题分析:∵{}6,5,1=B C U ∴()U A C B ={}

1 ∴选B 考点:集合的运算.

[学优高考网gkstk]

6.(15年福建文科)若集合{}

22M x x =-≤<,{}0,1,2N =,则M N 等于( )

A .{}0

B .{}1

C .{}0,1,2

D {}0,1 【答案】D

考点:集合的运算. 7.(15年新课标1文科)

8.(15年新课标2理科) 已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|(X-1)(x+2)<0},则A∩B=( )

(A ){--1,0} (B ){0,1} (C ){-1,0,1} (D ){,0,,1,2}

【解析】由已知得{}21B x x =-<<,故{}1,0A

B =-,故选A

9.(15年新课标2文科) 已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =( )

A .()1,3-

B .()1,0-

C .()0,2

D .()2,3 【答案】A

考点:集合运算.

10.(15年陕西理科) 设集合2{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M

N =( )

A .[0,1]

B .(0,1]

C .[0,1)

D .(,1]-∞ 【答案】A 【解析】

试题分析:{}

{}2

0,1x x x M ===,{}{}lg 001x x x x N =≤=<≤,所以[]0,1M

N =,故选A .

考点:1、一元二次方程;2、对数不等式;3、集合的并集运算. 11.(15陕西文科) 集合2

{|}M x x x ==,{|lg 0}N x x =≤,则M N =( )

A .[0,1]

B .(0,1]

C .[0,1)

D .(,1]-∞ 【答案】A

考点:集合间的运算.

12.(15年天津理科) 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合{}2,3,5,6A = ,集合{}1,3,4,6,7B = ,则集合

U A B =e

(A ){}2,5 (B ){}3,6 (C ){}2,5,6 (D ){}2,3,5,6,8 【答案】A

试题分析:{2,5,8}U B =e,所以{2,5

}U A B =e,故选A. 考点:集合运算.

13.(15年天津理科) 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B =()e( )

(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5} 【答案】B 【解析】

试题分析:{2,3,5}A =,{2,5}U B =e,则{}A 2,5U B =()e,故选B. 考点:集合运算 14.(15年浙江理科)

1

5.(15年山东理科) 已知集合A=2

{|430},{|24}x x x B x x -+<=<<,则A

B =

(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)

解析:2

{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A

B =-+<=<<=,答案选(C)

16.(15年江苏) 已知集合{}3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析:{123}{245}{12345}5A

B ==,,,,,,,,,个元素

考点:集合运算

专题二 函数

1.(15年北京理科)如图,函数()f x 的图象为折线ACB ,则不等式()()2log 1f x x +≥的解集是

A .{}|10x x -<≤

B .{}|11x x -≤≤

C .{}|11x x -<≤

D .{}|12x x -<≤

【答案】C 【解析】

考点:1.函数图象;2.解不等式.

2.(15年北京理科)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车

在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是

A .消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米

B .以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多

C .甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D .某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【答案】 【解析】

试题分析:“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,A 中乙车消耗1升汽油,最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值,A 错误;B 中以相同速度行驶相同路程,甲燃油效率最高,所以甲最省油,B 错误,C 中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km,行驶80km ,消耗8升汽油,C 错误,D 中某城市机动车最高限速80千米/小时. 由于丙比乙的燃油效率高,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油,选D.

考点:1.函数应用问题;2.对“燃油效率”新定义的理解;3.对图象的理解.

3.(15年北京理科)设函数()(

)()2142 1.x a x f x x a x a x ?-

=?--?????≥

①若1a =,则()f x 的最小值为

②若()f x 恰有2个零点,则实数a 的取值范围是

【答案】(1)1,(2)

1

12

a ≤<或2a ≥.

考点:1.函数的图象;2.函数的零点;3.分类讨论思想. 4.(15年北京文科)下列函数中为偶函数的是( )

A .2sin y x x =

B .2cos y x x =

C .ln y x =

D .2x

y -=

【答案】B 【解析】

试题分析:根据偶函数的定义()()f x f x -=,A 选项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选B. 考点:函数的奇偶性.

5.(15年北京文科) 3

2-,12

3,2log 5三个数中最大数的是 . 【答案】2log 5 【解析】

试题分析:3

1

218

-=<,1

231=>,22log 5log 42>>>2log 5最大.

考点:比较大小.

6.(15年广东理科)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 A .x e x y += B .x x y 1+= C .x x

y 2

12+= D .21x y += 【答案】A .

【解析】令()x f x x e =+,则()11f e =+,()111f e --=-+即()()11f f -≠,()()11f f -≠-,所以x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数,而BCD 依次是奇函数、偶函数、偶函数,故选A . 【考点定位】本题考查函数的奇偶性,属于容易题. 7.(15年广东理科)设1a >,函数a e x x f x -+=)1()(2。 (1) 求)(x f 的单调区间 ;

(2) 证明:)(x f 在(),-∞+∞上仅有一个零点;

(3) 若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行,且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点),

证明:12

3--

≤e

a m . 【答案】(1)(),-∞+∞;(2)见解析;(3)见解析.

【解析】(1)依题()()()()()

2

22'1'1'10x x

x f x x e x

e x e =+++=+≥,

∴ ()f x 在(),-∞+∞上是单调增函数;

【考点定位】本题考查导数与函数单调性、零点、不等式等知识,属于中高档题. 8.(15年广东文科)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A .2

sin y x x =+ B .2

cos y x x =- C .1

22x x

y =+ D .sin 2y x x =+ 【答案】A 【解析】

试题分析:函数()2

sin f x x x =+的定义域为R ,关于原点对称,因为()11sin1f =+,()1sin1f x -=-,

所以函数()2

sin f x x x =+既不是奇函数,也不是偶函数;函数()2

cos f x x x =-的定义域为R ,关于原点对

称,因为()()()()2

2cos cos f x x x x x f x -=---=-=,所以函数()2

cos f x x x =-是偶函数;函数

()122x x f x =+

的定义域为R ,关于原点对称,因为()()112222x x

x x f x f x ---=+=+=,所以函数()1

22x x f x =+是偶函数;函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ,关于原点对称,因为

()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-,所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数.故选A .

考点:函数的奇偶性.

4.9.(15年安徽文科)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )

(A )y=lnx (B )21y x =+ (C )y=sinx (D )y=cosx 【答案】D

考点:1.函数的奇偶性;2.零点.

10.10.(15年安徽文科)函数()3

2

f x ax bx cx d =+++的图像如图所示,则下列结论成立的是( )

(A )a>0,b<0,c>0,d>0 (B )a>0,b<0,c<0,d>0 (C )a<0,b<0,c<0,d>0 (D )a>0,b>0,c>0,d<0

【答案】A

考点:函数图象与性质.

[学优高考网]

11.(15年安徽文科)=-+-1)2

1

(2lg 225lg 。 【答案】-1 【解析】

试题分析:原式=12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点:1.指数幂运算;2.对数运算.

12.(15年安徽文科)在平面直角坐标系xOy 中,若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点,则a 的值为 。 【答案】1

2

- 【解析】

试题分析:在同一直角坐株系内,作出12--==a x y a y 与的大致图像,如下图:由题意,可知

2

1

12-=?-=a a

考点:函数与方程.

13.(15年福建理科)下列函数为奇函数的是( )

A .y =

B .sin y x =

C .cos y x =

D .x x y e e -=-

【答案】D

点:函数的奇偶性.

14.(15年福建理科)若函数()6,2,

3log ,2,

a x x f x x x -+≤?=?+>? (0a > 且1a ≠ )的值域是[)4,+∞ ,则实数a 的

取值范围是 . 【答案】(1,2]

考点:分段函数求值域.

15.(15年福建文科)下列函数为奇函数的是( ) A

.y = B .x y e = C .cos y x = D .x x y e e -=-

【答案】D 【解析】

试题分析:函数y =

x y e =是非奇非偶函数; cos y x =是偶函数;x x y e e -=-是奇函数,故选D .

考点:函数的奇偶性.

16.(15年福建文科)若函数()2()x a

f x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-,且()f x 在[,)m +∞单调递增,则

实数m 的最小值等于_______. 【答案】1 【解析】

试题分析:由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称,故1a =,则1

()2x f x -=,由复合函数单调性

得()f x 在[1,)+∞递增,故1m ≥,所以实数m 的最小值等于1. 考点:函数的图象与性质.

17.(15年新课标1理科)若函数f(x)=xln (

a=

【答案】1

【解析】由题知ln(y x =是奇函数,所以ln(ln(x x +- =22ln()ln 0a x x a +-==,解得a =1.

18.(15年新课标2理科)设函数211log (2),1,

()2,1,x x x f x x -+-

,2(2)(log 12)f f -+=( )

(A )3 (B )6 (C )9 (D )12 【答案】C

【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=,又2log 121>,所以22log 121log 62(log 12)226f -===,故

2(2)(log 12)9f f -+=.

19.(15年新课标2理科)如图,长方形ABCD 的边AB=2,BC=1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与

DA 运动,记∠BOP=x .将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f (x ),则f (x )的图像大致为

【答案】B

的运动过程可以

看出,轨迹关于直线2

x π

=

对称,且()()42

f f ππ

>,且轨迹非线型,故选B .

20.(15年新课标2文科)如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记

BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为( )

A .

B .

C .

D .

【答案】B

考点:函数图像

21.(15年新课标2文科)设函数2

1

()ln(1||)1f x x x

=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是( )

A .1,13?? ???

B .()1,1,3??-∞+∞ ???

C .11,33??-

???

D .11,,33????

-∞-+∞ ? ?????

【答案】A 【解析】

试题分析:由2

1

()ln(1||)1f x x x =+-

+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()1

21212113

f x f x f x f x x x x >-?>-?>-?<< .故选A.

考点:函数性质

22.(15年新课标2文科)已知函数()3

2f x ax x =-的图像过点(-1,4),则a = .

【解析】

试题分析:由()3

2f x ax x =-可得()1242f a a -=-+=?=- .

考点:函数解析式

23.(15年陕西文科)设10

()2,0

x

x f x x ?≥?=?

2

【答案】C

考点:1.分段函数;2.函数求值.

24.(15年陕西文科)设()sin f x x x =-,则()f x =( ) A .既是奇函数又是减函数 B .既是奇函数又是增函数 C .是有零点的减函数 D .是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】

试题分析:()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-?-=---=-+=--=- 又()f x 的定义域为R 是关于原点对称,所以()f x 是奇函数;

()1cos 0()f x x f x '=-≥?是增函数.

故答案选B 考点:函数的性质.

25.(15年陕西文科)设()ln ,0f x x a b =<<,若p f =,()2a b q f +=,1

(()())2

r f a f b =+,则下列关系式中正确的是( )

A .q r p =<

B .q r p =>

C .p r q =<

D .p r q => 【答案】C

试题分析:1ln 2p f ab ===;()ln 22a b a b q f ++==;11(()())ln 22

r f a f b ab =+=

因为2a b +>()ln f x x =

是个递增函数,()2

a b

f f +> 所以q p r >=,故答案选C 考点:函数单调性的应用.

26.(15年天津理科)已知定义在R 上的函数()2

1x m

f x -=- (m 为实数)为偶函数,记

()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为

(A )a b c << (B )a c b << (C )c a b << (D )c b a << 【答案】C 【解析】

试题分析:因为函数()2

1x m

f x -=-为偶函数,所以0m =,即()21x

f x =-,所以

2

21

log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ?

?===-=-=-= ??

?

()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=

所以c a b <<,故选C.

考点:1.函数奇偶性;2.指数式、对数式的运算.

27.(15年天津理科)已知函数()()2

2,2,

2,2,

x x f x x x ?-≤?=?->?? 函数()()2g x b f x =-- ,其中b R ∈,若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点,则b 的取值范围是

(A )7,4??+∞

??? (B )7,4??-∞ ??? (C )70,4?? ???(D )7,24??

???

【答案】D 【解析】

试题分析:由()()22,2,

2,2,

x x f x x x -≤??=?->??得2

22,0(2),0x x f x x x --≥??-=?

()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ?-+

=+-=---≤≤??--+->?

即222,0()(2)2,

0258,2x x x y f x f x x x x x ?-+

=+-=≤≤??-+>?

()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程

()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解,即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点,由

图象可知

7

2

b <<. 考点:1.求函数解析式;2.函数与方程;3.数形结合.

28.(15年天津理科)曲线2

y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .

【答案】

16

【解析】

试题分析:两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1),所以它们所围成的封闭图形的面积

()1

1

223001

112

36S x x dx x x ??=-=-= ????.

考点:定积分几何意义.

29.(15年天津文科)已知定义在R 上的函数||

()2

1()x m f x m -=-为实数为偶函数,记

0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为( )

(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】

试题分析:由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B.

考点:1.函数奇偶性;2.对数运算. 30.(15年天津文科)已知函数2

2||,2

()(2),2

x x f x x x ì- ?=í

->??,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为

(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 【答案】A

考点:函数与方程.

31.(15年湖南理科)设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数,且在(0,1)上是减函数 C. 偶函数,且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数,且在(0,1)上是减函数 【答案】A. 【解析】

试题分析:显然,)(x f 定义域为)1,1(-,关于原点对称,又∵)()1ln()1ln()(x f x x x f -=+--=-,∴)(x f

32.(15年湖南理科)已知32,(),x x a f x x x a

?≤=?>?,若存在实数b ,使函数()()g x f x b =-有两个零点,则a 的取

值范围

是 .

【答案】),1()0,(+∞-∞ . 【解析】

试题分析:分析题意可知,问题等价于方程)(3

a x

b x ≤=与方程)(2

a x

b x >=的根的个数和为2,

若两个方程各有一个根:则可知关于b 的不等式组??

?

?

???≤->≤a b a b a b 3

1

有解,从而1>a ;

若方程)(3a x b x ≤=无解,方程)(2a x b x >=有2个根:则可知关于b 的不等式组?????>->a b a b 3

1有解,从而

0

考点:1.函数与方程;2.分类讨论的数学思想. 33.(15年山东理科)要得到函数sin(4)3

y x π

=-

的图象,只需将函数sin 4y x =的图像

(A)向左平移

12π

个单位 (B) 向右平移

12

π

个单位

(C)向左平移3π个单位 (D) 向右平移3π

个单位

解析:sin 4()12y x π=-,只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12

π

个单位答案选(B)

34.(15年山东理科)设函数31,1,()2,

1.x

x x f x x -

≥?则满足()

(())2f a f f a =的取值范围是 (A)2[,1]3

(B) [0,1] (C) 2[,)3

+∞ (D) [1,)+∞

解析:由()

(())2

f a f f a =可知()1f a ≥,则121a

a ≥??

≥?或1311

a a

3a ≥,答案选(C) 35.(15年山东理科)已知函数()x

f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域

和值域都是[1,0]-,则a b += .

解析:当1a >时101

a b a b -?+=-?+=?,无解;

当01a <<时1001

a b a b -?+=?+=-?,解得1

2,2b a =-=,

则13

222

a b +=

-=-. 36.(15年江苏)已知函数|ln |)(x x f =,??

?>--≤<=1

,2|4|1

0,0)(2

x x x x g ,则方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为

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