量子谐振子与经典谐振子的比较
成旭江
（常河职中，甘肃通渭743312）
摘要：本文基于一维谐振子的势函数U（X）具有对称性，运用宇称法求解了量子谐振子的能量和波函数，同经典谐振子比较并得出量子谐振子趋近于经典极限的条件。
关键词：量子谐振子;能量;波函数;经典谐振子
A contrast between the quantum harmonic oscillator and classical
harmonic oscillator
CHENG Xu-jiang
(Regular River Vocational School,Tongwei 743312, Gansu)
Abstract: Comparing the quantum harmonic oscillator’s energy and wave function, which is calculated by basing on the symmetry of potential function of one –dimensional harmonic oscillator and using method of Yu parity, with the classical harmonic oscillator’s,the essay ancludes the conditions under which quantum harmonic oscillator tends nearer towards classical limits.
Key words：the quantum harmonic oscillator; energy; wave function; the classical harmonic oscillator
0 引言
谐振子问题既是经典力学，又是量子力学中的一个问题,它不仅在量子原理上十分典型和重要,而且应用非常广泛,涉及分子固体物理，量子场论和光学等领域。因此很多的量子力学教科书[1-3]中在坐标表象，能量表象和动量表象中对一维谐振子进行了详尽的求解。本文将运用宇称法[5.6.7]对线性谐振子进行了求解，使问题得到简化.并与经典进行了比较，给出了量子谐振子趋近经典极限的条件。
1参考模型
无论在经典物理还是在量子物理中线性谐振子都是很有用的模型，任何体系在稳定平稳
点附近的运动都可以近似看作一维谐振子。如双原子分子的振动，晶体结构中原子和离子的振动，核振动等等都使用了谐振子模型辐射场也可以看作线性谐振子。
以双原子为例：双原子分子中两原子间的势能()U x 是两原子间距离x 的函数,其形状如图（1）所示x a =处势能有一极小值，这是一个稳定平衡点，在平衡点附近，()U x 可以展为幂级数，且注:
|0x a U x =?=?,"2
1U=(x)=U(a)+()()2U a x a -+ 若忽略高次项，令"k=U (),a 则有2
1()()(),2
U x U a k x a =+-再令
()0,U a =',x x a =-则有''21(),2U x kx =可以写成21
(),2
U x kx =其中2k μω=。凡是在势
能为2
1()2
U x kx =的场中运动的微观体系都称之为线性谐振子。
2线性谐振子的能量
2.1量子力学中线性谐振子的能量
一维线性谐振子的定态薛定谔方程为：
222
2
1()()22
d kx x E x d x ψψψμ-+= (1) 令：1
1
22(/),,2/,(/)a ax E k μωξλωωμ==== ，则方程(1)变为：
222
()
()()0d d ψξλξψξξ
+-= (2) 当ξ→±∞时，方程(2)的解为2/2
()e ξψξ± ，由波函数的标准条件：ξ→±∞，
()ψξ有限，则2/2'ξψ
ξψξ-（)＝e （）.故方程(1)的解可设为2
/2'ξψξψξ-（)＝e （）， 'ψξ（）
所满足的方程为 ： x y
0a
图（1）
2''2
()()
2(1)()0d d d d ψξψξξλψξξξ
-+-= (3) 由于()()U x U x =，因此2/2
'ξψξψξ-（)＝e （）具有确定的宇称，又因为2
n
e ξ-是偶宇称，故
()ψξ的奇偶性由'()ψξ所决定.
1) 偶宇称：当()ψξ具有偶宇称，则'
()ψξ也必然为偶宇称.设'
()ψξ的级数解为：
''()()2()
20()...0,2,4,...
n n n n n n n n a a a n ψξψξξ
--==++= (4)
不失一般性，当2n =时，将'
()ψξ代入方程(3)，则可得：
()2()42()()()2()2222()()2()20(1)(2)(3)...222(2)...4(1)(1)...(1)0n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a n n a a na n a a a a a ξξξξξλλξ
λ--------+--+----+-+-+-= 要使此式恒成立，则同次项的系数之和必为零.对于最高次项，则要求()
(21)0n n n a λ-+-=，因为()
0n n a ≠，所以210n λ-+-=，即21n λ=+.
2) 奇宇称：当()ψξ为奇宇称，则'
()ψξ也必然为奇宇称.设'
()ψξ的级数解为:
''()()2()21()...1,3,5,...
n n n n n n n n a a a n ψξψξξξ--==++= (5)
同理将式(5)代入方程(3)，可得21n λ=+，所以线性谐振子的能量为
11
(),0,1,2,3 (22)
E n n λωω==+=
2.2经典谐振子的能量[4]
在以上参考模型中，当物体的位移速度,dx
dt
υ=那该简谐振子的总机械能为： 2
212
k p E E E u kx υ=+=+ (6) 利用公式：
cos(t )x A ω?=+ 可得:
22
211cos ()22
p E kx kA t ω?=
=+ (7) 2222
11sin ()22
k E u A t υυωω?==+
应用k
u
ω=
得： 2
k
u
ω= 可得： 22
1sin ()2
k E kA t ω?=+ (8)
因此，简谐振子的总机械能为： 212
k p E E E kA =+= 当A x →可以写成2
12
E kx =
3.量子谐振子的波函和经典谐振子的运动方程
3.1量子谐振子的波函数
将21n λ=+代入方程(3)，则有
2'''2
()()
22()0d d n d d ψξψξξψξξξ
-+= (9) 1) 偶宇称：将式(4)代入方程(9)则可得：
(0)0(2)(2)2(2)2(2)2220(4)
2
(4)(4)4
(4)2
4
2
4
2
(4)4(4)2(4)4200,200
2,24460
4,122848880
n a n a a a a n a a
a a a a a ξξξξξ
ξξ=?==-++==+--+++=
将上面方程合并同类项，同时让所有次幂的系数为零，则可得：
(0)(2)(2)(4)(4)(4)(4)0202040(6)(6)(6)(6)2
24
,2,4,4/3
6,4,...
a a a a a a a a
a a
a =-=-==-=
2
2
2
2
/2(0)/2
(2)2/2
0020(4)42/2
40',(21),4
(41), (3)
ξξ
ξξψξψξψξψξξψξξξ-----+-+因此相应的波函数为（)＝e （）为
（）=a e
（)=a e
（)=a e
2) 奇宇称：将式(5)代入方程(9)，则有
(1)(1)11(3)(3)
(3)3(3)3311(5)
3
(5)(5)5
(5)3
5
3
5
3
(5)(5)5
(5)1511,220
3,66260
5,206106210100
n a a n a a a a n a a
a a a a a ξξξξξξξξξ
ξξ=-+==--+==+---++=
将上面的方程合并同类项，同时让所有次幂的系数为零，则可得：
(1)(3)(3)(5)(5)(5)(5)1313151(7)(7)(7)
(7)3151244,,,,
3315
42,,...
5
a a a a a a a a a a a =-=-==-=
2
222/2(1)/2(3)2/211
31
(5)53/2
51'2,(),3
44(
), (153)
ξξξξψξψξψξψξξξψξξξξ-----+-+因此相应的波函数为（)＝e （）为（）=a e （)=a
e （)=a e 其中(0)(2)(4)(1)(3)(5)
000000,,,,,a a a a a a 分别由波函数的归一条件决定。因此波函数为：
2
/2()(),0,1,2,3...
a n n n N e H a n ξψξξ-==
3.2经典谐振子的运动方程[4]
作为简谐运动的原子，它的加速度和对于平衡位置的位移有：
222d x
a x dt
ω==
根据牛顿第二定律质量为u 的质点沿x 方向作简谐运动，沿此方向所受合外力就应该是：
222d x
F u u x dt
ω==
反过来，如果一个质点沿x 方向运动，它受到的合外力与它对于平衡位置的位移成正比而反向即：
F kx =- (10)
由牛顿第二定律可得：
22d x
u kx dt
=- (11)解此微分方程得：
cos()x A x ω?=+ (12)
可以说在（12）式合外力下原子的运动方程。其中k
u
ω=，202o A x υω=+（是t=0时的
值）
4量子谐振子与经典谐振子的比较
4.1性质比较
量子谐振子由于有微观粒子的波粒二象性，所以量子谐振子要在一定范围内形成驻波。动量和能量必分立，2
||ψ 有一系列的极大和零点。故有波动性，不可能静止于原点，固有
零点振动，有零点能的存在。而对于经典振子的能量很大，对应于量子振子的n 很大的态，
这时E 和0E 都小到可以忽略，能量趋于连续，零点能无显著作用。例如：1m g =，
1H νZ =和振幅02x cm =
的经典振子，此时2201
12
CM E m x erg ω=
=，2710E erg ω-== ，即27100,E
E
≈→ 1erg 的振子相当于2710n =。 4.2经典几率的比较
先看一下经典振子的几率分布，sin(),A t d ξωδξξξ=+→+区间找到质点的几率为
()w d ξξ与质点在区域逗留的时间成正比，()()dt
w d dt T
ξξ∝=
，T 为振动周期，
可得： 221
11
()1d dt
a
w v a ξξξω∝
=
=- 图（2）的虚线。前几个态毫无相似之处，基态情况基本相反，平均量子数越大，量子振子的几率分布的平均值越趋近经典分布。
5讨论
5.1能极
1
(),0,1,2,3 (2)
E n n ω=+=
（1）能量是量子化的，是等间距的，这与Planck 假设一致，能极均匀分布，式中的k u
ω=是谐振子的经典固有频率，不是DeBroglie 波的圆频率。 （2）存在零点能01
2
E ω=
（基态能量）
。 在0T =时也有振动，这是旧量子论中没有的，已被实验证实（光被晶体散射）。这纯属量子效应，是由于微观粒子具有波粒二象性所导致的。
5.2波函数()n ψξ和几率密度2||n ψ
ξ
n =1
-101021-2-1
n =ξ
102
n =3-2-1-23ξ
3
n =1231-3-2-0ξ
图（2）
（1）()0,n ψ∞=满足束缚态定义。在一定范围内形成驻波。
（2）(0,1,2,...)n n ψ=有几个节点，第几个波函数1()n ψ-有1n -个节点。
（3）宇称：因()H a ξ为x 的n 次多项式，当n 奇数时，在奇幂次；当n 偶数时，只存在偶幂次；所以()(1)(),n
n ψξψξ-=-故其宇称为(1)n
-。
（4）2
||ψ有1n +个极大值，有n 个零点（与经典分布不同）分布关于0ξ=对称，如图（2）所示。
（5）由量子谐振子趋近于经典极限条件0n
n
?
→可见处于本征态的谐振子n →∞时其空间概率分布趋这于经典极限条件。 参考文献：
[1]朱淳远.量子力学[M]北京：国防工业出版社,1979.42～45. [2]周世勋.量子力学教程[M]北京：高等教育出版社,1979.38～44. [3]文焕邦,刘敬乾.量子力学[M]成都：四川科学技术出版社,1986.51～55. [4]张三慧.大学物理（第二版）[M] 北京：清华大学出版社,2000.11～20. [5]喀兴林.高等量子力学（第四版）[M] 北京：高等教育出版社,2002.118～125. [6]张启仁.量子力学[M] 北京：科学出版社,2002.45～46. [7]刘全慧.等权波包与一维谐振子[J]大学物理,2002.13～18.