速度关联类问题求解·速度的合成与分解
运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点
●难点
1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？
2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？
●案例探究
［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？
命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求.
错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ.
解题方法与技巧：解法一:应用微元法
设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.
由图可知：BC =
θ
cos BD ①
由速度的定义：物体移动的速度为v 物=
t
BC t
s ?=
??1 ② 人拉绳子的速度v =t
BD t s ?=??2
③
由①②③解之：v 物=θ
cos v
解法二:应用合运动与分运动的关系
绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面
上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.
其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩.
v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物=
θ
cos v
解法三：应用能量转化及守恒定律
由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.
人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物=
θ
cos v
图5-7
［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠
在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.
命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求.
错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方
向.
解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的
v
图
5-1
图
5-2
图
5-3
图
5-4
图5-5
图5-6
的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ.
设此时OB长度为a，则a=h/sinθ.
令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h.
故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h.
●锦囊妙计
一、分运动与合运动的关系
1.一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性.
2.合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.
3.合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性.
二、处理速度分解的思路
1.选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.
2.确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变.
3.确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向.
4.作出速度分解的示意图，寻找速度关系.
●歼灭难点训练
一、选择题
1.（★★★）如图5-8所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，
高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D.BC段水平，
当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子
夹角为α时A的运动速度v.
2.（★★★★★）如图5-9所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小
.
图5-9 图5—10
3.（★★★★）一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑
斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2连接.
已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m2由静止从AB连线为水平位置
开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图5-10所示.试求：
（1）m2在下滑过程中的最大速度.
（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.
4.（★★★★）如图5-11所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？
5.（★★★★★）一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ提升井中质量
为m的物体，如图5-12所示.绳的P端拴在车后的挂钩上，Q端拴在物
体上.设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦
都忽略不计.开始时，车在A点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左
侧绳绳长为H.提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A经B驶向C.
设A到B的距离也为H，车过B点时的速度为v B.求在车由A移到B的
过程中，绳Q端的拉力对物体做的功.
6.（★★★★★）如图5-13所示，斜劈B的倾角为30°，劈尖顶着竖直
墙壁静止于水平地面上，现将一个质量与斜劈质量相同、半径为r的球A放
在墙面与斜劈之间，并从图示位置由静止释放，不计一切摩擦，求此后运动
中
（1）斜劈的最大速度.
（2）球触地后弹起的最大高度。（球与地面作用中机械能的损失忽略不计）
参考答案：
［难点］
图
5-8
图
5-11
图
5-12
图5-13
1.v B =
0cos cos v β
α 2.略
［歼灭难点训练］ 1.v =
α
cos 10
+v
2.v A =v B tan α;a A =a B tan α
3.（1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出现在图示位置.对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒.ΔE 增=ΔE 减，即
21m 1v 12+2
1m 22
v 2+m 1g （A C -A B ）sin30°=m 2g ·B C 又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有： T cos ∠ACB =m 2g ,T =m 1g sin30°
又由速度分解知识知v 1=v 2cos ∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,
（2）m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′
即:m 1g （AB AB
H
-+2
2
）sin30°=m 2gH
利用（1）中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H =3
43m=2.31 m
4.由几何光学知识可知：当平面镜绕O 逆时针转过30°时，则：∠SOS ′=60°， OS ′=L /cos60°.
选取光点S ′为连结点，因为光点 S ′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v ；光点S ′又在反射光线OS ′上，它参与沿光线OS ′的运动.速度v 1和绕O 点转动，线速度v 2；因此将这个合速度沿光线OS ′及垂直于光线 OS ′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1可得：
v 1=v sin60°,v 2=v cos60°
又由圆周运动知识可得：当线OS ′绕O 转动角速度为2ω. 则：v 2=2ωL /cos60°
vc os60°=2ωL /cos60°,v =8ωL .
5.以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上升，同时速度也不断增加.当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图5′-2，即
v Q =v B 1=v B c os45°=
2
2v B
于是重物的动能增为 E k2 =
2
1mv Q 2=
4
1mv B 2
在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为
h =2H-H=（2-1）H
W G =-mgh =-mg （2-1）H
于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1 即WT -mg （2-1）H =
4
1mv B 2-0
所以绳子拉力对物体做功W T =
4
1mv B 2+mg （2-1）H
6.（1）A 加速下落，B 加速后退，当A 落地时，B 速度最大，整大过程中，斜面与球之间弹力对球和斜面做功代数和为零，所以系统机械能守恒.
mg （h -r ）=2mv A 2
+2mv B
2
①
由图中几何知识知：h =cot30°·r =3r ②
A 、
B 的运动均可分解为沿斜面和垂直斜面的运动，如图5′—3所示。
图5′—3
由于两物体在垂直斜面方向不发生相对运动，所以v A 2=v B 2 即v A cos30°=v B sin30° ③ 解得v A =2
)13(gr
-
v B =
2
)13(3gr
-
（2）A 球落地后反弹速度v A ′=v A 做竖直上抛运动的最大高度：H m =
4
)13(22
r
g
v A
-=
'
图5′—
1 图5′—2
卫星运行特点分析及应用
编辑 杨国兴
卫星运行问题与物理知识（如万有引力定律、匀速圆周运动、牛顿运动定律等）及地理知识有十分密切的相关性，是新高考突出学科内及跨学科间综合创新能力考查的命题热点，也是考生备考应试的难点.
●难点
1.（★★★★）用m 表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离地面的高度，R 0表示地球的半径，g 0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小
A.等于0
B.等于m 2
2
002
0)
(h R g R +
C.等于m 2300204
ωg R
D.以上结果都不对
2.（★★★★★）俄罗斯“和平号”空间站在人类航天史上写下了辉煌的篇章，因不能保障其继续运行，3月23日坠入太平洋.设空间站的总质量为m ，在离地面高度为h 的轨道上绕地球做匀速圆周运动.坠落时地面指挥系统使空间站在极短时间内向前喷出部分高速气体，使其速度瞬间变小，在万有引力作用下下坠.设喷出气体的质量为
100
1 m ，喷出速度为空间站原来速度的37倍，下坠过程中外力对空间站做功为W .求：
（1）空间站做圆周运动时的线速度.
（2）空间站落到太平洋表面时的速度.（设地球表面的重力加速度为g ，地球半径为R ） 3.（★★★★★）已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v 2=
R
Gm
2,其中G 、m 、R 分别是引力常量、地球的质量和半径.已知G =6.67×10-11
N ·m 2
/kg 2
,c =2.9979×108 m/s.求下列问题：
（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫作黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量m =1.98×1030 kg ，求它的可能最大半径；
（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m 3
，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c ，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
●案例探究 ［例1］（★★★★）用m 表示地球同步通信卫星的质量、h 表示卫星离地面的高度、M 表示地球的质量、R 0表示地球的半径、g 0表示地球表面处的重力加速度、T 0表示地球自转的周期、ω0表示地球自转的角速度，则：
（1）地球同步通信卫星的环绕速度v 为
A.ω0（R 0+h ）
B.
h
R GM +0 C.30ωGM D.
3
2T GM π
（2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F 的大小为 A.m
2
002
0)
(h R g R + B.m ω20（R 0+h ） C.m 3
00204
ω
g R
D.m 3
4
4
16T GM π
（3）地球同步通信卫星离地面的高度h 为
A.因地球同步通信卫星和地球自转同步，则卫星离地面的高度就被确定
B.
3
02
2
0ω
g R -R 0
C.
2
20
4π
GMT
-R 0 D.地球同步通信卫星的角速度虽已确定，但卫星离地面的高度可以选择.高度增加，环绕速度增大，高度降低，环绕速度减小，仍能同步
命题意图：考查推导能力及综合分析能力.B 级要求. 错解分析：（1）把握不住解题的基本依据：地球对其表面物体的万有引力约等于物体所受重力，卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，使问题难以切入.（2）思维缺乏开放性造成漏解.（3）推理缺乏严密性导致错解.
解题方法与技巧：（1）设地球同步卫星离地心的高度为r , 则r =R 0+h 则环绕速度v =ω0r =ω0（R 0+h ）. 同步卫星圆周运动由万有引力提供向心力：
即G
r
v
m
r
Mm 2
2
=得v =
h
R GM r
GM +=0
又有G
2
r
Mm =m ω02
,所以r =3
2
ωGM
则v =ω0r =ω03
2
ωGM
=32
0ωGM =3
20
2T
GM π故选项A 、B 、C 、D 均正确.
（2）地球同步卫星的重力加速度为g ′=（
h
R R +00）2·g 0，地球对它的万有引力大小可认为
等于同步卫星的重力mg 0
2
02
)
(h R R +来提供向心力：即mg 0
2
02
)
(h R R +=m ω02
（R 0+h ）
所以h =3
2
2
0ωg R -R 0
F 向=m ω02
（R 0+h ）=m
3
4
4
0202
16)(4T GM
m h R T
ππ=+故选项A 、B 、C 、D 均正确.
（3）因为h =3
2
2
0ωg R -R 0，式中R 0、g 0、ω0都是确定的，故h 被确定. 但ω0=
2T π，所以h =
22
02
04π
T g R -R 0故选项A ，B ，C 正确.
［例2］（★★★★★）1986年2月20日发射升空的“和平号”空间站，在服役15年后于2001年3月23日坠落在南太平洋.“和平号”风风雨雨15年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章.“和平号”空间站总质量137 t ，工作容积超过400 m 3，是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称.在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确坠落在预定海域，这在人类历史上还是第一次.“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约为350 km.为
保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局地面控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制.在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240 km.设“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低2.7 km.设“和平号”空间站正常运转时沿高度为350 km 圆形轨道运行，在坠落前沿高度为240km 的指定圆形低空轨道运行，而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理.
（1）简要说明，为什么空间站在沿圆轨道正常运行过程中，其运动速率是不变的.
（2）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？计算结果保留2位有效数字.
（3）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？计算中取地球半径R =6.4×103 km ，计算结果保留1位有效数字.
命题意图：考查阅读摄取信息并结合原有知识解决新情景问题的创新能力，B 级要求. 解题方法与技巧：（1）空间站沿圆轨道运行过程中，仅受万有引力作用，所受到的万有引力与空间站运行方向垂直，引力对空间站不做功，因此空间站沿圆轨道运行过程中，其运动速率是不变的.
（2）不论空间站沿正常轨道运行，还是沿指定的低空轨道运行时，都是万有引力恰好提供空间站运行时所需要的向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
G
2
r
Mm =ma
空间站运行时向心加速度是a =G 2
r
M
空间站沿正常轨道运行时的加速度与在沿指定的低空轨道运动时加速度大小的比值是
22
1
222
1)75
.664.6(
==r r a a =0.9842
=0.97
（3）万有引力提供空间站运行时的向心力，有G 2
r
Mm =mr
2
2
4T
π
不计地球自转的影响，根据G 2
R
Mm =mg ，有G M =R 2
g 则指定的低空轨道空间站运行的周期为 T =2πr =
GM
r =2πr
g
R r 2
=
g
r R
r π2=
s 104.6610
4.610
64.614.3246
6
?????≈5.3×103
s
设一昼夜的时间t ，则每昼夜空间站在指定的低空轨道绕地球运行圈数为n =T
t
空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均减小 Δh =2.7 km/n =2.7 km/17=0.2 km ●锦囊妙计
卫星问题贴近科技前沿，且蕴含丰富的中学物理知识，以此为背景的高考命题立意高、情景新、综合性强，对考生的理解能力、综合分析能力、信息提炼处理能力及空间想象能力提出了极高的要求，亦是考生备考应试的难点.考生应试失误的原因主要表现在：（1）对卫星运行的过程及遵循的规律认识不清，理解不透，难以建立清晰的物理情景.（2）对卫星运行中力与运动量间，能量转化间的关系难以明晰，对诸多公式含义模糊不清.
一、卫星的运行及规律
一般情况下运行的卫星，其所受万有引力不刚好提供向心力，此时，卫星的运行速率及轨道半径就要发生变化，万有引力做功，我们将其称为不稳定运行即变轨运动；而当它所受万有引力刚好提供向心力时，它的运行速率就不再发生变化，轨道半径确定不变从而做匀速圆周运动，我们称为稳定运行.
对于稳定运行状态的卫星，①运行速率不变；②轨道半径不变；③万有引力提供向心力，即GMm /r 2=mv 2/r 成立.其运行速度与其运行轨道处于一一对应关系，即每一轨道都有一确定速度相对应.而不稳定运行的卫星则不具备上述关系，其运行速率和轨道半径都在发生着变化.
二、同步卫星的四定
地球同步卫星是相对地球表面静止的稳定运行卫星.
1.地球同步卫星的轨道平面，非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角，而同步卫星一定位于赤道的正上方，不可能在与赤道平行的其他平面上.
2.地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同.
3.地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有GMm /r 2=m ω02r ，得r =32
0/ωGM ，ω0与地
球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径为r =4.24×104 km.其离地面高度也是一定的.
4.地球同步卫星的线速度：地球同步卫星的线速度大小为v =ω0r =3.08×103 m/s ，为定值，绕行方向与地球自转方向相同.
●歼灭难点训练
1.（★★★）设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动，则与开采前相比
A.地球与月球间的万有引力将变大
B.地球与月球间的万有引力将变小
C.月球绕地球运动的周期将变长
D.月球绕地球运动的周期将变短
2.（★★★★）地球同步卫星到地心的距离r 可由r 3
=
2
2
224π
c b a 求出.已知式中a 的单位是m,b
的单位是s,c 的单位是m/s 2
，则
A.a 是地球半径，b 是地球自转的周期，c 是地球表面处的重力加速度
B.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是同步卫星的加速度
C.a 是赤道周长，b 是地球自转的周期，c 是同步卫星的加速度
D.a 是地球半径，b 是同步卫星绕地心运动的周期，c 是地球表面处的重力加速度 3.（★★★★★）（2000年全国，3）某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变.每次测量中卫星的运动可近似看作圆周运动.某次测量卫星的轨道半径为r 1，后来变为r 2,r 2＜r 1.以E k1、E k2表示卫星在这两个轨道上的动能，T 1、T 2表示卫星在这两个轨道上绕地球运动的周期，则
A.E k2＜E k1，T 2＜T 1
B.E k2＜E k1，T 2＞T 1
C.E k2＞E k1，T 2＜T 1
D.E k2＞E k1，T 2＞T 1 4.（★★★★）中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度.通过观察已知某中子星的自转速度ω=60πrad/s ，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度.试写出中子星的密度最小值的表达式为ρ=________，计算出该中子星的密度至少为_______kg/m 3.（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有效数字）
5.（★★★★★）假设站在赤道某地的人，恰能在日落后4小时的时候，观察到一颗自己头顶上空被阳光照亮的人造地球卫星，若该卫星是在赤道所在平面内做匀速圆周运动，又已知地球的同步卫星绕地球运行的轨道半径约为地球半径的
6.6倍，试估算此人造地球卫星绕地球运行的周期为________s.
6.（★★★★★）（2000年全国，20）2000年1月26日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98°的经线在同一平面内.若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98°和北纬α=40°，已知地球半径R 、地球自转周期T 、地球表面重力加速度g （视为常量）和光速c .试求该同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）.
7.（★★★★）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离.一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理.
现根据对某一双星系统的光度学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动.
（1）试计算该双星系统的运动周期T 计算； （2）若实验上观测到的运动周期为T 观测，且T 观测：T 计算=1：N （N ＞1）.为了解释 T 观测与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质.作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质.若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度.
参考答案： ［难点］ 1.BC
2.（1）
R
h gR
+2
（2）喷出气体后，空间站的速度变为v 2，由动量守恒定律得一方程，设空间
站落到太平洋表面时速度为v 3，由动能定理建立另一方程，解得v 3=
m
W h R gR
99200)
(121492
+
+
3.（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v 2=
R
Gm
2，其中m 、R 为天体的质量和半径.对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速 ，即 v 2＞c ，所以
R ＜
2
2c
Gm =
2
8
30
11
)
109979.2(10
98.110
7.62?????-m=2.94×103 m
即质量为1.98×1030 kg 的黑洞的最大半径为2.94×103 m. （2）把宇宙视为普通天体，则其质量m =ρ·V =ρ·
3
4πR 3
①
其中R 为宇宙的半径，ρ为宇宙的密度，则宇宙的逃逸速度为v 2=R
Gm 2 ②
由于宇宙密度使得其逃逸速度大于光速c ，即v 2＞c ③
则由以上三式可得R ＞
G
c
πρ832
=4.01×1026
m,合4.24×1010
光年.即宇宙的半径至少为4.24×
1010
光年.
［歼灭难点训练］
1.BD
2.AD
3.C
4.3ω2/4πG ；1.3×1014
5.1.4×104
6.解析：设m 为卫星质量，M 为地球质量，r 为卫星到地球中心的距离，ω为卫星绕地心转动的角速度，由万有引力定律和牛顿定律有，
G
2
r
mM =mr ω2
式中G 为万有引力恒量，因同步卫星绕地心转动的角速度ω与地球自转的角速度相等，有
ω=
T
π
2因G
2
R
Mm
=mg 得G M =gR 2
，r =（
2
2
24π
gT
R ）
3
1
设嘉峪关到同步卫星的距离为L ，如图7′-1所示，由余弦定理
得，L =αcos 222rR R r -+所示时间为，t =c
L
（式中c 为光速）
由以上各式得
t =
c
gT R R R gT R α
π
π
cos )4(
2)
4(3
1
2
2
22
3
2
22
2
-+
7.解析：首先应明确此双星系统的结构模型，如图7′—2所示。由于每个星体的线度都小于两星体之间的距离，满足万有引力定律的使用条件.
（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v ，得
m 2
2
2
L
Gm L v =
① v =
L
Gm 2 ②
T
计算
=
v
L 22π
=πL
Gm L
2 ③ （2）根据观测结果，星体的运动周期
T 观测=N
1
T 计算＜T 计算 ④
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m ′,位于中点O 处的质点的作用相同.考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v 观测，则有
m 2
2
2
2
)
2(2
L m m G
L
Gm L v '+=
观测
⑤ v 观测=
L m m G 2)
4('+ ⑥
因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得N
v 11
=观测
·v
1 ⑦
把②⑥式代入⑦式得m ′=
4
1-N m
设所求暗物质的密度为ρ，则有
41
)2(
3
43
-=
N L
ρπm
故ρ=3
2)1(3L
m
N π-.
图7′—
1
图7′—2
第五讲关联速度 所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有： 1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 3， 线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和． 4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同· 类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度． 图5-1 图5-２ 类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度。 类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ 2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题） 图5-３图5-４
以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循． 首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关． 根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论． 结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 相交物系交叉点速度的特征是什么呢?我们来看交叉的两直线ａ、ｂ，如图5-５所示，设直线ａ不动，当直线ｂ沿自身方向移动时，交点Ｐ并不移动，而当直线ｂ沿直线ａ的方向移动时，交点Ｐ便沿直线ａ移动，因交点Ｐ亦是直线ｂ上一点，故与直线ｂ具有相同的沿直线ａ方
速度的合成与分解专题练习一 1．对于两个分运动的合运动，下列说法正确的是（） A.合运动的速度一定大于两个分运动的速度 B.合运动的速度一定大于一个分运动的速度 C.合运动的方向就是物体实际运动的方向 D.由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小 2．某人以一定速率垂直河岸向对岸游去，当水流运动是匀速时，他所游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是（） A．水速大时，路程长，时间长 B．水速大时，路程长，时间短 C．水速大时，路程长，时间不变 D．路程、时间与水速无关 3．一人游泳渡河以垂直河岸不变的速度(相对水)向对岸游去，河水流动速度恒定．下列说法中正确的是 ( ) A．河水流动速度对人渡河无任何影响 B．游泳渡河的路线与河岸垂直 C．由于河水流动的影响，人到达对岸的时间与静水中不同 D．由于河水流动的影响，人到达对岸的位置，向下游方向偏移 4．小船在一流速恒定的河中沿河岸往返一段距离所需时间为t 1 ，而该 船在静水中往返同样距离所需时间为t 2,则t 1 与t 2 比较，有（） =t 2 ＞t 2 ＜t 2 D.无法比较 5．如图所示，民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓放箭射击侧向的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2，直线跑道离固定目标的最近距离为d，要想在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为 ( ) 6．(多选）河水的流速与某河岸的距离的变化关系如图甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要使船以最短时间过河，则( )
A ．船渡河的最短时间为100 s B ．船在行驶过程中，船头始终与河岸 垂直 C ．船在河中航行的轨迹是一条直线 D ．船在河水中的最大速度为7 m/s 7．(多选）如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A ，小车下装有吊着物体B 的吊钩．在小车A 与物体B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B 向上吊起，A 、B 之间的距离以d ＝H －2t 2(SI)(SI 表示国际单位制，式中H 为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做( ) A ．速度大小不变的曲线运动 B ．速度大小增加的曲线运动 C ．加速度大小、方向均不变的曲线运动 D ．加速度大小、方向均变化的曲线运动 8．(多选）如图所示，做匀速直线运动的小车A 通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B ，设重物和小车速度的大小分别为v B 、v A ，则( ) A ．v A >v B B ．v A 关联”速度问题模型归类例析 绳、杆等有长度的物体，在运动过程中，如果两端点 的速度方向不在绳、杆所在直线上，两端的速度通常是不样的，但两端点的速度是有联系的，称之为“关联”速度。 关联速度”问题特点：沿杆或绳方向的速度分量大小 相等。 绳或杆连体速度关系：①由于绳或杆具有不可伸缩的特 点，则拉动绳或杆的速度等于绳或杆拉物的速度。②在绳或杆连体中，物体实际运动方向就是合速度的方向。③当物体实际运动方向与绳或杆成一定夹角时，可将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向的两个分速度。 关联速度”问题常用的解题思路和方法：先确定合运 动的方向，即物体实际运动的方向，然后分析这个合运动所产生的实际效果，即一方面使绳或杆伸缩的效果；另一方面使绳或杆转动的效果，以确定两个分速度的方向，沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度大小相同。 、绳相关联问题 1.一绳一物模型 1）所拉的物体做匀速运动 例 1 如图 1 所示，人在岸上拉船，已知船的质量为m， 水的阻力恒为厂，当轻绳与水平面的夹角为e 时，船的速度为u,此时人的拉力大小为T,则此时 小结人拉绳行走的速度即绳的速度，易错误地采用力的分解 法则，将人拉绳行走的速度。即按图 3 所示进行分解，则水错选 B 选项. 平分速度为船的速度，得人拉绳行走的速度为u /cos e ，会 2)匀速拉动物体 例2 如图 4 所示，在河岸上利用定滑轮拉绳索使小船靠岸， 拉绳的速度为v，当拉船头的绳索与水平面的夹角为a时，船的速度是多少？ 解析方法1——微元分析法取小角度e ,如图5所示，设角度变化e 方法2——运动等效法因为定滑轮右边的绳子既要缩短又要偏转，所以定滑轮 右边绳上的 A 点的运动情况可以等效为：先以滑轮为网心，以AC为半径做圆周运动到达B,再沿BC直线运动到D。 做圆周运动就有垂直绳子方向的线速度，做直线运动就有沿着绳子方向的速度，也就是说船的速度（即绳上 4 点的速度）的两个分速度方向是：一个沿绳缩短的方向，另一个垂直绳的方 2.两绳一物模型例3 如图7 所示，两绳通过等高的定滑轮共同 对称地系住 个物体 A ，两边以速度v 匀速地向下拉绳，当两根细绳与竖直方向的夹角都为60。时，物体 A 上升的速度多大？ 速度关联类问题求解·速度的合成与分解 ●难点 1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ ●案例探究 ［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ. 解题方法与技巧：解法一:应用微元法 设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度. 由图可知：BC = θ cos BD ① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物 =t BC t s ?=??1② 人拉绳子的速度v = t BD t s ?=??2③ 由①②③解之：v 物= θ cos v 解法二:应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解. 其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩. v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物= θ cos v 解法三：应用能量转化及守恒定律 由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功. 人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物= θ cos v 图5-1 图5-2 图5-3 图5-4 图5-5 图5-6 “关联速度”模型 太原市第十二中学 姚维明 模型建构： 【模型】绳子（或杆）牵连物体，研究关联速度 【特点】力学问题中经常出现牵连运动:“两个物体用轻绳（或轻杆）相维系着向不同方向运动且速度不同，但在沿绳或杆方向上的速度分量却相同” 。 这种特殊的运动形式与一般意义的动力学连结体运动有很大的差别，通常不宜采用牛顿运动定律求解，大多可以通过“运动效果分解”或“功能关系分析（标量运算）”也可以用“微元法（借助三角函数）”来处理，准确地考察两物体之间的速度牵连关系（矢量运算）往往是求解这类问题的关键。 “绳子（杆）牵连物体”，求解关联速度的问题，是我们将要探究的重点。由于两个物体相互关联，一般地我们都要按“运动效果”分解成：沿着绳子（或杆）的速度分量［改变绳子（或杆）速度的大小］和垂直于绳子（或杆）方向的速度分量［改变绳子（或杆）速度的方向］。 模型典案： 【典案1】如图1所示，汽车以速度v 匀速行驶，当汽车到达图 示位置时，绳子与水平方向的夹角是θ，此时物体M 的上升速度大小 为多少？（结果用v 和θ表示） 〖解析〗解法一：运动效果分解法 物体M 与右段绳子上升的速率相同，而右段绳子上升的速率与左段绳子在沿绳长方向运动的速率v 1是相等的。与车相连的端点的 实际运动速度就是合速度，且与汽车速度v 相同。分析左段绳子的运动可知，它其实同时参与了两个分运动，即沿绳长方向运动和绕滑轮 边缘顺时针转动。 将车速v 分解为沿绳方向的速度v 1和垂直绳子方向的速度v 2，如 图2所示。根据平行四边形定则可得v 1＝v cos θ。 所以，物体M 上升速度的大小为 v ’＝v cos θ。 【点评】这是我们处理这类问题常用的方法。物理意义很明显。这种方法说明了：①物体的运动一定是合运动；②物体的运 动才能分解成沿绳子（或杆）——改变绳子速度大小的分量与垂直于绳子（或杆）——改变绳子（或杆）运动方向的分量；③改变物体运动方向的分量是圆周运动向心力的本质。 解法二：位移微元法 如图3所示，假设端点A 水平向左匀速移动微小位移△s 至B ，此过程中左段绳子长度增大了△s 1（过A 向OB 作垂线AP ，因顶角很小，故OP ≈OA ），即物体上升了△s 1， 显然，△s 1＝△s·cos θ θcos 1t s t s ??=?? 由于△s 很小、△t 很小，由速度的定义t s v ??=可得v 1＝v cos θ。 所以，物体M 上升速度的大小为v /=v cos θ。 这种方法从理论上揭示了运动效果分解法的本质。 图2 1图3 图1 速度关联类问题求解·速度的合成与分解 编辑 杨国兴 运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点 ●难点 1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ ●案例探究 ［例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 命题意图：考查分析综合及推理能力，B 级要求. 错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ. 解题方法与技巧：解法一:应用微元法 设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度. 由图可知：BC = θ cos BD ① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物= t BC t s ?=??1 ② 人拉绳子的速度v = t BD t s ?=??2 ③ 由①②③解之：v 物= θ cos v 解法二:应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解. 其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩. v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物= θ cos v 解法三：应用能量转化及守恒定律 由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功. 人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以v 物= θ cos v 图5-7 ［例2］（★★★★★）一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）. 命题意图：考查综合分析及推理能力.B 级要求. 错解分析：①不能恰当选取连结点B 来分析，题目无法切入.②无法判断B 点参与的分运动方 向. 解题方法与技巧：选取物与棒接触点B 为连结点.（不直接选A 点，因为A 点与物块速度的 v 图 5-1 图 5-2 图5-3 图5-4 图5-5 图5-6 关联速度问题 考点规律分析 ①对“关联速度”的理解 用绳、杆相牵连的物体在运动过程中的速度通常不同，但两物体沿绳或杆方向的分速度大小相等。 ②“关联速度”问题的解题步骤 a．确定合速度：牵连物端点的速度(即所连接物体的实际速度)是合速度。 b．分解合速度：按平行四边形定则进行分解，作好矢量图。合运动所产生的实际效果：一方面产生使绳或杆伸缩的效果；另一方面产生使绳或杆转动的效果。两个分速度的方向：沿绳或杆方向和垂直于绳或杆方向。常见的模型如图所示： c．沿绳或杆方向的分速度大小相等，列方程求解。例如：v＝v∥(甲图)；v∥′(乙图、丙图)。 ＝v ∥ 例题讲解 (多选)如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为v B、v A，则() A．v A＝v B B．v A＜v B C．v A＞v B D．重物B的速度逐渐增大 [规范解答]如图所示，汽车的实际运动是水平向左的运动，它的速度v A可以产生两个运动效果：一是使绳子伸长，二是使绳子与竖直方向的夹角增大，所以车的速度v A应有沿绳方向的分速度v0和垂直绳的分速度v1，由运动的分解可得v0＝v A cosα；又由于v B＝v0，所以v A＞v B，故C正确。因为随着汽车向左行驶，α角逐渐减小，所以v B逐渐增大，故D正确。 [完美答案]CD 绳(杆)联问题，关键点是把合速度沿杆垂直杆，沿绳垂直绳分解。沿杆或者沿绳分速度相等。另外，实际运动方向就是合速度方向。 举一反三作业 1.如图所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为v A，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则： (1)车B运动的速度v B为多大？ (2)车B是否做匀速运动？ 答案(1)v A cosθ(2)不做匀速运动 培优十速度关联类问题求解 1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 2、(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖 直，下列说法正确的是( )． A．橡皮的速度大小为2v B．橡皮的速度大小为3v C．橡皮的速度与水平方向成60°角 D．橡皮的速度与水平方向成45°角 3、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v 4、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地 面摩擦不计，试求当物 块以速度v向右运动 时，小球A的线速度v A(此时杆与水平方向夹角为θ) 5、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？ 6、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ 7、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一 切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速 度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度 大小 8、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面 上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体 m2连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静 止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受 力平衡如图所示．已知重力加速度为g，试求： (1)m2在下滑过程中的最大速度 (2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离 9、如图所示，S为一点光源，M为一平面镜，光屏与平 面镜平行放置.SO是垂直照射在M上的光线，已知 SO=L，若M以角速度ω绕O点逆时针匀速转动，则转 过30°角时，光点S′在屏上移动的瞬时速度v为多大？ 关联速度问题 1. 在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳跨过高处 的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不 变的速度v 运动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进 的瞬时速度是多大？ 2. A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光 滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水 平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 3.均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置 时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时 A 球速度和加速度大小. 4. 一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）. 5. S 为一点光源，M 为一平面镜，光屏与平面镜平行放置.SO 是 垂直照射在M 上的光线，已知SO =L ，若M 以角速度ω绕O 点逆 时针匀速转动，则转过30°角时，光点 S ′在屏上移动的瞬时速 度v 为多大？ Solutions to the Exercises 1、绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运 速度v物是合速度，将v物按如图5-6所示进行分解. 其中：v=v物cosθ，使绳子收缩. v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动. v 所以v物= cos 2、v B cosα=v A cosβ 3、v A=v B tanα；a A=a B tanα 4、选取物与棒接触点B为连结点.（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）.因为B点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方向一致，故B点的合速度（实际速度）也就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2.因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=v sinθ. 设此时OB长度为a，则a=h/sinθ. 令棒绕O点转动角速度为ω，则：ω=v2/a=v sin2θ/h. 故A的线速度v A=ωL=vL sin2θ/h. 5、由几何光学知识可知：当平面镜绕O逆时针转过30°时，则：∠SOS′=60°， OS′=L/cos60°. 选取光点S′为连结点，因为光点S′在屏上，该点运动方向不变，故该点实际速度（合速度）就是在光屏上移动速度v；光点S′又在反射光线OS′上，它参与沿光线OS′的运动.速度v1和绕O点转动，线速度v2；因此将这个合速度沿光线OS′及垂直于光线OS′的两个方向分解，由速度矢量分解图5′—1可得： v1=v sin60°,v2=v cos60° 又由圆周运动知识可得：当线OS′绕O转动角速度为2ω. 则：v2=2ωL/cos60° vc os60°=2ωL/cos60°,v=8ωL. 速度关联类问题求解·速度的合成与分解 一、分运动与合运动的关系 1、一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v分、s分）互不干扰，即：独立性 2、合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性 3、合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性 二、处理速度分解的思路 1、选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动） 2、确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变 3、确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向 4、作出速度分解的示意图，寻找速度关系 典型的“抽绳”问题： 所谓“抽绳”问题，是指同一根绳的两端连着两个物体，其速度各不相同，常常是已知一个物体的速度和有关角度，求另一个速度。要顺利解决这类题型，需要搞清两个问题： （1）分解谁的问题 哪个运动是合运动就分解哪个运动，物体实际经历的运动就是合运动。 （2）如何分解的问题 由于沿同一绳上的速度分量大小相同，所以可将合速度向沿绳方向作“投影”，将合速度分解成一个沿绳方向的速度和一个垂直于绳方向的速度，再根据已知条件进行相应计算。 其实这也可以理解成“根据实际效果将合运动正交分解”的思路。 运动物体间速度关联关系，往往是有些高考命题的切入点.而寻找这种关系则是考生普遍感觉的难点物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。 合速度方向：物体实际运动方向 分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩） 垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动 速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。 这类问题也叫做：斜拉船的问题——有转动分速度的问题 v拉水平面上的物体A，当绳与水平方向成θ【例题1】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 角时，求物体A的速度。 关联速度问题(高一) 河南省信阳高级中学陈庆威 2015.02.02 绳子末端速度的分解问题，是“运动的合成与分解”中的一个难点也是易错点。同学们在处理此类问题时，往往因搞不清哪一个是合速度（实际速度），哪一个是分速度而导致解题失败。希望能通过下面几个例题，帮助同学们消除解题中的困惑。 例1：如图1的A所示，在河岸上利用定滑轮拉绳使小船靠岸，拉绳的速度为v，当绳与水平面成θ角时，船的速度是多少？ 解析： 方法一： 图1 1、找关联点（A点） 2、判断合速度（水平向左） 3、速度的合成与分解（沿绳子与垂直绳子） 4、验证正误（新位置在两坐标轴方向上） 船的实际运动是水平运动，它产生的实际效果可以从图B中的A 点为例说明：A是绳子和船的公共点，一是A点沿绳的收缩方向的运 动，二是A点绕O点沿顺时针方向的转动，所以，船的实际速度v可分解为船沿绳方向的速度v1和垂直于绳的速度v2，如图1所示。由图可知：v＝v1/cosθ 方法二：微元法：如图C 1、关联点在很短时间内经过一小位移S 2、绳子缩短了S′=OA-OB=PA=Scosθ 运动的合成与分解中的牵连速度问题 （1）概念：三种速度（以船渡河为例） 动点—运动的质点（船）； 动系—运动的参考系（水）； 静系—静止的参考系（河岸）。. （2）三种速度 ①相对速度—动点对动系的速度（船对水的速度）； ②牵连速度—动系对静系的速度（水对岸的速度）； ③实际速度—动点对静系的速度（船对岸的速度）。 （3）速度矢量运算公式：水对岸船对水船对岸v v v += (遵循平行四边形定则) 例题 ［例1］河宽以d 表示，船的划行速度以v 1表示，水流的速度设为ｖ2，求（1）渡河的最短时间；（2）最小位移。 （1）最短时间：船头指向正对岸时，渡河所用时间为最短。最短时间为：1v d t =； （2）最小位移 分为两种情况：①当v 1＞ｖ2时，且满 足1 2cos v v =θ，渡河位移最小为d ； ②当v 1＜ｖ2时，最小位移为d v v d s ?== 12cos θ。 ［例2］一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）. 解：选取方块上与棒接触点B 为动点，棒为动系，轴O 为静系。 v 1——动点B 对动系的速度（B 点相对棒的速度） v 2—动系对静系的速度（棒对轴O 转动的线速度） v —动点对静系的速度（B 点对轴O 的速度） 由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ. 设此时OB 长度为a ，则a =h /sin θ 令棒绕O 点转动角速度为ω，则ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL =vL sin 2θ/h . 练习 1.如图所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°时物块的速度v. 2.如图所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少 、 3如图所示，均匀直杆上连着两个小球A 、B ，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B 球水平速度为v B ，加速度为a B ，杆与竖直夹角为α，求此时A 球速度和加速度大小. 4.一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接.已知定滑轮到杆的距离为3m.物体m 2由静止从AB 连线为水平位置开始下滑1 m 时，m 1、m 2恰受力平衡如图所示.若此时m 1的速度为v 1,则m 2的速度为多大.. 难点5 速度关联类问题求解·速度的合成与分解 ●难点磁场 1.（★★★）如图5-1所示，A 、B 两车通过细绳跨接在定滑轮两侧， 并分别置于光滑水平面上，若A 车以速度v 0向右匀速运动，当绳与水平 面的夹角分别为α和β时，B 车的速度是多少？ 2.★★★★如图5-2所示，质量为m 的物体置于光滑的平台上，系 在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮.由地面上的人以恒定的速度v 0向右 匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45° 处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ ●案例探究 例1］★★★如图5-3所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细绳 跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运 动.当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 错解分析：弄不清合运动与分运动概念，将绳子收缩的速度按图5-4所示分 解，从而得出错解v 物=v 1=v cos θ. 解题方法与技巧：解法一:应用微元法 设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示.过C 点作CD ⊥AB ， 当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳 子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度. 由图可知：BC =θcos BD ① 由速度的定义：物体移动的速度为v 物=t BC t s ?=??1 ② 人拉绳子的速度v = t BD t s ?=??2 ③ 由①②③解之：v 物=θcos v 解法二:应用合运动与分运动的关系 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图5-6所示进行分解.其中:v =v 物cos θ，使绳子收缩. v ⊥=v 物sin θ,使绳子绕定滑轮上的A 点转动.所以v 物= θ cos v 图5-1 图5-2 图5-3 图5-4 图5-5 图5-6 所谓关联速度就是两个通过某种方式联系起来的速度．比如一根杆上的两个速度通过杆发生联系，一根绳两端的速度通过绳发生联系．常用的结论有： 1，杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 2，接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 3，线状相交物系交叉点的速度是相交双方沿对方切向运动分速度的矢量和． 4，如果杆（或张紧的绳）围绕某一点转动，那么杆（或张紧的绳）上各点相对转动轴的角速度相同· 类型1 质量分别为ｍ1、ｍ2和ｍ3的三个质点Ａ、Ｂ、Ｃ位于光滑的水平桌面上，用已拉直的不可伸长的柔软轻绳ＡＢ和ＢＣ连接，∠ＡＢＣ＝π－α，α为锐角，如图５-１所示．今有一冲量Ｉ沿ＢＣ方向作用于质点Ｃ，求质点Ａ开始运动时的速度．（全国中学物理竞赛试题） 图5-1 图5-２ 类型2 绳的一端固定，另一端缠在圆筒上，圆筒半径为Ｒ，放在与水平面成α角的光滑斜面上，如图５-２所示．当绳变为竖直方向时，圆筒转动角速度为ω（此时绳未松弛），试求此刻圆筒轴Ｏ的速度、圆筒与斜面切点Ｃ的速度．（全国中学生奥林匹克物理竞赛试题） 类型3 直线ＡＢ以大小为ｖ1的速度沿垂直于AB的方向向上移动，而直线CD以大小为ｖ2的速度沿垂直于ＣＤ的方向向左上方移动，两条直线交角为α，如图5-３所示．求它们的交点Ｐ的速度大小与方向．（全国中学生力学竞赛试题） 图5-３图5-４ 以上三例展示了三类物系相关速度问题．类型1求的是由杆或绳约束物系的各点速度；类型2求接触物系接触点速度；类型3则是求相交物系交叉点速度．三类问题既有共同遵从的一般规律，又有由各自相关特点所决定的特殊规律，我们若能抓住它们的共性与个性，解决物系相关速度问题便有章可循． 首先应当明确，我们讨论的问题中，研究对象是刚体、刚性球、刚性杆或拉直的、不可伸长的线等，它们都具有刚体的力学性质，是不会发生形变的理想化物体，刚体上任意两点之间的相对距离是恒定不变的；任何刚体的任何一种复杂运动都是由平动与转动复合而成的．如图5-４所示，三角板从位置ＡＢＣ移动到位置Ａ′Ｂ′Ｃ′，我们可以认为整个板一方面做平动，使板上点Ｂ移到点Ｂ′，另一方面又以点Ｂ′为轴转动，使点Ａ到达点Ａ′、点Ｃ到达点Ｃ′．由于前述刚体的力学性质所致，点Ａ、Ｃ及板上各点的平动速度相同，否则板上各点的相对位置就会改变．这里，我们称点Ｂ′为基点．分析刚体的运动时，基点可以任意选择．于是我们得到刚体运动的速度法则：刚体上每一点的速度都是与基点速度相同的平动速度和相对于该基点的转动速度的矢量和．我们知道转动速度ｖ＝ｒω，ｒ是转动半径，ω是刚体转动角速度，刚体自身转动角速度则与基点的选择无关． 根据刚体运动的速度法则，对于既有平动又有转动的刚性杆或不可伸长的线绳，每个时刻我们总可以找到某一点，这一点的速度恰是沿杆或绳的方向，以它为基点，杆或绳上其他点在同一时刻一定具有相同的沿杆或绳方向的分速度（与基点相同的平动速度）．因此，我们可以得到下面的结论． 结论1 杆或绳约束物系各点速度的相关特征是：在同一时刻必具有相同的沿杆或绳方向的分速度． 我们再来研究接触物系接触点速度的特征．由刚体的力学性质及“接触”的约束可知，沿接触面法线方向，接触双方必须具有相同的法向分速度，否则将分离或形变，从而违反接触或刚性的限制．至于沿接触面的切向接触双方是否有相同的分速度，则取决于该方向上双方有无相对滑动，若无相对滑动，则接触双方将具有完全相同的速度．因此，我们可以得到下面的结论． 结论2 接触物系接触点速度的相关特征是：沿接触面法向的分速度必定相同，沿接触面切向的分速度在无相对滑动时相同． 微元法处理关联速度类问题 因高中教材不讲授相对运动，关联速度也较少进行理论分析，因此，当学生遇到稍微复杂点儿的关联速度类试题时，普遍感觉理解和分析的困难，即便教师着意补充了前两个方面的内容，很多学生还是觉得难以想象。 其实，所有这类问题，全部可以用微元法——用几何图示的方法——直观的展现和计算，这对绝大部分学生来说，就比相对运动、关联速度的思路容易理解得多。 【例1】如图1所示，当小车A 以恒定的速度v 向左运动时，对于B 物体，下列说法正确的是( ) A ．匀加速上升 B ．B 物体受到的拉力大于B 物体受到的重力 C ．匀速上升 D ．B 物体受到的拉力等于B 物体受到的重力 [解析]本题是很常规的绳连接问题，将A 车的速度沿绳、垂直绳分解，用沿绳方向分速度相等即可轻松解决。下面以微元法来解本题。 设A 车在极短时间Δt 内向左运动一小段距离x A ，则B 的位移与A 的位移关系如图所示，由几何关系，有： cos B A x x θ= 两边除以Δt ，得 cos B A v v θ= 在此基础上，易得B 答案正确。 【例2】如图所示，细绳一端固定在天花板上的O 点，另一端穿过一张CD 光盘的中央小孔后拴着一个橡胶球，橡胶球静止时，竖直悬线刚好挨着水平桌面的边沿．现将CD 光盘按在桌面上，并沿桌面边缘以速度v 匀速移动，移动过程中，CD 光盘中央小孔始终紧挨桌面边线，当悬线与竖直方向的夹角为θ时，小球上升的速度大小为（ ） A ．v sin θ B ．v cos θ C ．v tan θ D ．v cot θ [解析]本题按常规思路，需要用到相对运动和运动的分解合成，对很多学生来说这是有一定理解困难的。若是采用微元法，则问题却变得简单而直接。 设光盘在极短时间Δt 内向右运动一小段位移x ，由几何关系易知，小球水平位移也为x ，竖直位移为 sin y x θ= 两边除以时间Δt ，得小球上升的速度（竖直速度）为 sin y v v θ= 小球的位移为 2221sin x x y x θ'=+=+ 两边除以Δt ，得小球的速度为 21sin v v θ'=+ 【例3】如图3所示，顶角θ＝60°、光滑V 字形轨道AOB 固定在竖直平面内，且AO 竖直．一水平杆与轨道交于M 、N 两点，已知杆自由下落且始终保持水平，经时间t 速度由6 m/s 增大到14 m/s(杆未触地)，则在0.5t 时，触点N 沿倾斜轨道运动的速度大小为(g 取10 m/s 2)( ) A ．10 m/s B ．17 m/s C ．20 m/s D ．28 m/s x A x B x θ θ y θ θ y x ’ x 关联速度的问题 【专题概述】 1、什么就是关联速度: 用绳、杆相连的物体,在运动过程中,其两个物体的速度通常不同,但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等,即连个物体有关联的速度。 2、解此类题的思路: 思路(1)明确合运动即物体的实际运动速度 (2)明确分运动:一般情况下,分运动表现在: ①沿绳方向的伸长或收缩运动; ②垂直于绳方向的旋转运动。 解题的原则:速度的合成遵循平行四边形定则 3、解题方法: 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)与平行于绳(杆)两个分量,根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见的模型如图所示 【典例精讲】 1、绳关联物体速度的分解 典例1(多选) 如图,一人以恒定速度v0通过定滑轮竖直向下拉小车在水平面上运动,当运动到如图位置时,细绳与水平成60°角,则此时( ) A.小车运动的速度为v0 B.小车运动的速度为2v0 C.小车在水平面上做加速运动 D.小车在水平面上做减速运动 2、杆关联物体的速度的分解 典例2如图所示,水平面上固定一个与水平面夹角为θ的斜杆A.另一竖直杆B以速度v水平向左匀速直线运动,则从两杆开始相交到最后分离的过程中,两杆交点P的速度方向与大小分别为( ) A. 水平向左,大小为v B. 竖直向上,大小为vtanθ C. 沿A杆向上,大小为v/cosθ D. 沿A杆向上,大小为vcosθ 3、关联物体的动力学问题 典例3 (多选)如图所示,轻质不可伸长的细绳绕过光滑定滑轮C与质量为m的物体A连接,A放在倾角为 的光滑斜面上,绳的另一端与套在固定竖直杆上的物体B连接.现BC连线恰沿水平方向,从当前位置开始B以速度v0匀速下滑.设绳子的张力为F T,在此后的运动过程中,下列说法正确的就是( ) A. 物体A做加速运动 B. 物体A做匀速运动 C. F T可能小于mgsinθ D. F T一定大于mgsinθ 【总结提升】 有关联速度的问题,我们在处理的时候主要区分清楚那个就是合速度,那个就是分速度,我们只要把握住把没有沿绳子方向的速度向绳方向与垂直于绳的方向分解就可以了,最长见的的有下面几种情况情况一:从运动情况来瞧:A的运动就是沿绳子方向的,所以不需要分解A的速度,但就是B运动的方向没有沿绳子,所以就需要分解B的速度,然后根据两者在绳子方向的速度相等来求解两者之间的速度关系。 情况一图情况二图 情况二:从运动上来瞧,A与B的运动方向都不沿绳,所以在处理速度的时候需要把A与B的速度都分解了,然后根据两者沿杆方向上的速度相等来找两者之间的关系。 【专练提升】 1、如图所示,人在岸上拉船,已知船的质量为m,水的阻力恒为F f,当轻绳与水平面的夹角为θ时,船的速度为v,此时人的拉力大小为F,则此时( ) A. 人拉绳行走的速度为vcosθ B. 人拉绳行走的速度为v/cosθ C. 船的加速度为 D. 船的加速度为 2、 (多选)如图所示,在不计滑轮摩擦与绳子质量的条件下,小车匀速地从B点运动到M点,再运动到N 点的过程中,关于物体A的运动与受力情况,下列说法正确的就是( ) A. 物体A也做匀速直线运动 B. 物体A的速度可能为零 培优十速度关联类问题求解1、如图所示，在一光滑水平面上放一个物体，人通过细 绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人 以大小不变的速度v运动．当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？ 2、(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧，沿与水平方向成30°角的斜面向右以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是( )． A．橡皮的速度大小为2v B ．橡皮的速度大小为3v C．橡皮的速度与水平方向成60°角 D．橡皮的速度与水平方向成45°角 3、如图所示，物体A置于水平面上，A前固定一滑轮B，高台上有一定滑轮D，一根轻绳一端固定在C点，再绕过B、D．BC段水平，当以速度v0拉绳子自由端时，A沿水平面前进，求：当跨过B的两段绳子夹角为α时A的运动速度v 4、一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高为h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度v A(此时杆与水平方向夹角为θ) 5、如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多少？ 6、如图所示，质量为m的物体置于光滑的平台上，系在物体上的轻绳跨过光滑的定滑轮. 由地面上的人以恒定的速度v0向右匀速拉动，设人从地面上的平台开始向右行至绳与水平方向夹角为45°处，在此过程中人对物体所做的功为多少？ 7、如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水平速度为v B，加速度为a B，杆与竖直夹角为α，求此时A球速度和加速度大小 8、一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m1连接，另一端和套在竖直光滑杆上的物体m2 连接．已知定滑轮到杆的距离为3m．物体m2由静止从AB连线为水平位置开始下滑1 m时，m1、m2恰受力平衡如图所示．已知重力加速度为g，试求： (1)m2在下滑过程中的最大速度 (2)m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离“关联”速度问题模型归类例析
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