【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 小题精练
9 理
1．设集合S ＝{0，a }，T ＝{x ∈Z |x 2
<2}，则“a ＝1”是“S ?T ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|a ＋b |＝7，〈a ，b 〉＝π3，则|b |等于( )
A ．2
B ．2或－3
C ．－3
D ．7
3．(2015·天津模拟)设数列{a n }是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 1，S 2，
S 4成等比数列，则a 4
a 1
等于( )
A ．3
B ．4
C ．6
D ．7
4．给出下面四个命题：
①“直线a ∥直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ②“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；
④“平面α∥平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”． 其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④
D ．②④ 5．若f (x )是R 上的增函数，且f (－1)＝－4，f (2)＝2，设P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}，Q ＝{x |f (x )<－4}，若“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是( ) A ．t ≤－1 B ．t >－1 C ．t ≥3
D ．t >3
6．(2015·烟台模拟)若平面内共线的A ，B ，P 三点满足条件OP →＝a 1OA →＋a 4 031OB →
，其中{a n }为等差数列，则a 2 016等于( )
A ．1
B ．－1
C ．－12
D.12
7．设f (x )＝????
?
x 2
，x ∈[0，1]，1
x
，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则?e
0f (x )d x 的值为( )
A.4
3 B.5
4 C.65
D.76
8．执行如图所示的程序框图，若输入的N 是6，则输出p 的值是( )
A ．120
B ．720
C ．1 440
D ．5 040
9．已知函数f (x )＝????
?
3x
， x ≤1，log 1
3
x ， x >1，
则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )
10．对于使－x 2
＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2
＋2x 的上确界，
若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2
b 的上确界为( )
A ．－3
B ．－4
C ．－14
D ．－92
11．(2015·郑州模拟)已知f (x )＝2sin ωx (cos ωx ＋sin ωx ) (ω>0)的图象在x ∈[0,1]上恰有一个对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围为( ) A.? ????3π8
，5π8
B.??????3π8，5π8
C.?
??
??3π8，5π8 D.??
??
??3π8，5π8 12．(2015·济南联考)
如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD .设内层椭圆
方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，则外层椭圆方程可设为x 2 ma 2＋y 2
mb 2＝1 (a >b >0，m >1)．若
AC 与BD 的斜率之积为916
，则椭圆的离心率为( )
A.74
B.22
C.64
D.34
二、填空题
13．2015年10月某校高三2 000名同学参加了一次数学调研测试，利用简单随机抽样从中抽取了部分同学的成绩进行统计分析，由于工作人员的失误，学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如图所示，则总体中分数在[80,90)内的人数为________．
14．已知F 1、F 2为双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 2作此双曲线一条渐近
线的垂线，垂足为M ，且满足|MF 1→|＝3|MF 2→
|，则此双曲线的渐近线方程为____________． 15．若连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角
为θ，则θ∈?
????0，π2的概率是________．
16．设f (x )和g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，
b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关
联区间”．若f (x )＝x 2
－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围是________．
答案精析
小题精练9 1．A 2．A
3．D [∵数列{a n }是公差不为零的等差数列，设公差为d .∴S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋d ，S 4＝4a 1＋6d .又∵S 1，S 2，S 4成等比数列，
∴S 2
2＝S 1·S 4，可得d ＝2a 1或d ＝0(舍去)．∴a 4＝a 1＋3d ＝7a 1.∴a 4
a 1
＝7.故选D.] 4．D
5．D [P ＝{x |f (x ＋t )＋1<3}＝{x |f (x ＋t )<2}＝{x |f (x ＋t )
及向量共线的充要条件得a 1＋a 4031＝1.又因为数列{a n }为等差数列，所以2a 2 016＝a 1＋a 4031＝1，故a 2 016＝1
2
.]
7．A [根据定积分的运算法则，由题意，可知?e 0f (x )d x ＝?10x 2d x ＋?e 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e
1＝13＋1
＝4
3
.] 8．B [当k ＝1，p ＝1时，p ＝p ·k ＝1,1<6，满足； 当k ＝2，p ＝1时，p ＝p ·k ＝2,2<6，满足； 当k ＝3，p ＝2时，p ＝p ·k ＝6,3<6，满足； 当k ＝4，p ＝6时，p ＝p ·k ＝24,4<6，满足； 当k ＝5，p ＝24时，p ＝p ·k ＝120,5<6，满足；
当k ＝6，p ＝120时，p ＝p ·k ＝720,6<6，不满足，输出p ＝720.] 9．D
10．D [因为a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1， 所以－12a －2b ＝－a ＋b 2a －2 a ＋b
b
＝－52－(b 2a ＋2a b )≤－52－2＝－92，
即－12a －2b 的上确界为－92.]
11．B [因为f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋2sin 2
ωx ＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋1 ＝2sin ?
????2ωx －π4＋1， 设g (x )＝2ωx －π4，因为g (0)＝－π
4
，
g (1)＝2ω－
π4，所以π2≤2ω－π4<π，解得3π8≤ω<5π8
，故实数ω的取值范围为????
??3π8，5π8.]
12．A [设切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，联立切线AC 与内层椭圆方程，
得?
????
y ＝k 1 x －ma ， bx 2＋ ay 2＝ ab 2
，
∴(b 2
＋a 2k 2
1
)x 2
－2ma 3k 21
x ＋m 2a 4k 2
1
－a 2b 2
＝0，由Δ＝0，得k 21
＝b 2a 2·1m 2－1，同理k 22＝b 2a
2·(m 2
－1)．
∴k 21k 22
＝b 4
a
4，
∴b 2a 2＝916，∴e 2
＝716，∴e ＝74
.] 13．320
解析 由茎叶图可知分数在[50,60)内的频数为2，由频率分布直方图可知，分数在[50,60)内的频率为10×0.008＝0.08，所以样本容量为n ＝20.08＝25.由茎叶图可得，分数在[60,70)
内的频数为7，分数在[70,80)内的频数为10.由频率分布直方图可知，分数在[90,100]和[50,60)内的频率相等，所以频数也相等，故分数在[90,100]内的频数为2.所以分数在[80,90)内的频数为25－(2＋7＋10＋2)＝4，对应的频率为425＝0.16.所以总体中分数在[80,90)内的
人数为2 000×0.16＝320. 14．y ＝±
22
x
解析 由双曲线的性质可推得 |MF 2→
|＝b ，
则|MF 1→|＝3b ，在△MF 1O 中，|OM →|＝a ，|OF 1→
|＝c ， cos∠F 1OM ＝－a c
，
由余弦定理可知a 2＋c 2－9b 22ac ＝－a
c
，
又c 2＝a 2＋b 2，可得a 2＝2b 2
，即b a ＝22
， 因此渐近线方程为y ＝±2
2
x . 15.712 解析 cos θ＝
m －n m 2＋n 2·2
，由θ∈? ????0，π2，可得m ≥n ，而m ＝n 的概率为636＝16，m >n 的
概率为12×56＝512.所以θ∈?
????0，π2的概率为16＋512＝712.
16.? ??
??－94，－2
解析 f (x )＝x 2
－3x ＋4为开口向上的抛物线，g (x )＝2x ＋m 是斜率k ＝2的直线，可先求出
g (x )＝2x ＋m 与f (x )＝x 2－3x ＋4相切时的m 值．
由f ′(x )＝2x －3＝2得切点为? ????52，114，此时m ＝－94，因此f (x )＝x 2
－3x ＋4的图象与g (x )
＝2x ＋m 的图象有两个交点，只需将g (x )＝2x －9
4
向上平移即可．
再考虑区间[0,3]，可得点(3,4)为f (x )＝x 2
－3x ＋4图象上最右边的点，此时m ＝－2，所以
m ∈? ??
??－94
，－2.