石家庄工程职业学院计算机数学（理论）教案
系部：
任课教师：林远健
教师职称：
授课对象：11造价2班
课程学时：60
学年学期：2011-2012学年第二学期
第 1 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第一章 函数与极限
§1 函数
授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法；
2、掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性。 教学方法、手段：
讲授法，师生互动，板书，课件展示 教学重点、难点：
重点、定义域的求解；函数的几种特性； 难点、定义域的求解；奇偶性的判断。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配 一、新教程序言
为什么要重视数学学习
（1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文
明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量；
（2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面
的作用；
（3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一
种能力和技术；
（4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续
发展的动力。
二、讲授新课 利用现实生活中的一个实例（匀速运动），引起学生的兴趣，进一步使学生想了解什么是函数，好奇心吸引学生们认真听课。顺利引出函数。 1、函数的定义（课件展示）
说明：函数是变量间的一种对应关系（单值对应），函数的表达式如下：
D
x x f y ∈=,)(
(1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值域：函数值的集合，即)(000
x f y y x x ===。
2、函数的二要素（板书）
构成函数的两个重要因素：定义域和对应法则。
如果两个函数定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数是相同的。（熟记） 注意：为了使定义域在数学上有意义，要求， （１）分母不能为０。如1()f x x
=
时
（２）偶次根号下非负。如()f x x =
时
（5分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（３）对数的真数大于０。如()ln x f x = （４）正切符号下的式子不等于Z
k k ∈+
,2π
π。
（５）余切符号下的式子不等于Z k k ∈,π。
（６）反正弦、反余弦符号下的式子绝对值小于等于1。 例1求函数4
21-=
x y
的定义域。
例2确定函数)2ln(23)(2-+-+=x x x x f 的定义域。
说明：根据学生们做题的情况，老师仔细深刻地讲解，加深学生对定义域求解的理解和掌握。
3、函数的表示方法
通过板书结合实例，简述函数的表示方法，并且给出函数让学生用不同的方法表示该函数，加强学生对函数的表示方法的理解。
4、分段函数
分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。
注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。
点评：通过例题的讲解，加深学生对于分段函数的认识 5、 函数常见的几种基本特性（课件展示，板书辅助）
函数常见的四种基本特性：奇偶性，周期性，单调性，有界性。 讲解思路：（1）给出奇偶函数的图形，对比性地进行讲解；
（2）通过例题讲解，示范最小正周期的求解方法 （3）给出一些函数，提问学生函数是否有界。
三、例题分析
例1 x y sin =的定义域为),(+∞-∞，值域为]1,1[-。 例2 x y +=
1的定义域为),1[+∞-，值域为),0[+∞。
例3 设??
?
??<-=>=0,10
,00
,1)(x x x x f ，求
)
2(f ，)0(f 和)2(-f 。
解 1)2(=f ，0)0(=f ，1)2(-=-f 。
注意：求分段函数的函数值时，应先确定自变量取值的所在范围，再按照其对应的式子进行计算。
四、课堂小结
1. 函数的定义及函数的二要素：定义域，对应法则；
2. 函数的特性：有界性，单调性，奇偶性， 周期性； 师生互动，提问学生本次课程相关的知识点问题。
（10分钟）
（10分钟）
（10分钟）
（15分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1、确定一个函数需要考虑哪几个基本要素？[定义域、对应法则]
2、两个函数相同的条件有那些？[定义域、对应法则都相同时两函数相同] 2、思考函数的几种特性的几何意义？[奇偶性、单调性、周期性、有界性]
作业题：
P22、1（1,3）；2（1,3）；3（1,3）
课后总结分析：
第 2 次课学时 2
授课题目（章，节）
第一章、函数与极限
§2初等函数、数列的极限
授课类型（请打√）理论课√□研讨课□习题课□复习课□其他□教学目的：
1、了解几种基本初等函数，掌握复合函数的概念，会判断函数是否为复合函数；
2、掌握数列的概念，会求解数列的极限以及判断数列极限的收敛性和发散性。
教学方法、手段：
以讲授为主，师生互动、习题训练为辅，板书、课件展示。
教学重点、难点：
重点：复合函数；数列的极限；
难点：复合函数的判断；数列极限的求解；
教学内容及过程设计补充内容和时间分配
一、知识回顾（板书）
采用提问的方式带领学生复习上次课的主要内容。
二、讲授新课
1.基本初等函数（课件展示，板书辅助）
熟记：六种基本初等函数的定义域、值域、图像、性质。
板书：结合图形，讲解六种基本初等函数的定义域，值域及性质。
2.复合函数（板书给出）
说明：(1)并非任意几个函数都能构成复合函数。
如：y = ln u，u = -
2
x就不能构成复合函数。
(2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。
(3)复合函数的分解从外到内进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。
强调：在求两个函数的复合时，注意中间变量的取舍。
板书：给出例题，让学生们做练习，加深学生对复合函数的理解和掌握。
复合函数反映了事物联系的复杂性。
3.初等函数
由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合步骤所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数，叫做初等函数；否则，不是初等函数。
说明：（1）一般分段函数都不是初等函数，但y = ︱x︱是初等函数；
（2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算
4. 数列的概念（课件展示）
板书：举出例子，配合讲解数列的概念，引起学生对于数列的极限的意识。
5.数列的极限（课件展示）
根据下面的一个例子引出数列极限的概念。
半径r的圆内接正多边形面积)
(n
f
S n=，n为正多边形的边数，当n越来越大时，n S就
越来越接近圆的面积，当n无限增大时，
n
S就无限接近圆的面积。这时，我们说n S以圆的面积为极限。（10分钟）（15分钟）（15分钟）
(10分钟)
（10分钟）（15分钟）
通过对以下例子的讲解，使学生更进一步地理解数列极限的概念，并且会运用数列极限的概念去解题。
例如：当∞→n 时，n
n
y 2
1=收敛于0；
当∞→n 时，n
y n 11+
=收敛于1；
当∞→n 时，n y n =无极限，发散； 当∞→n 时，2
)
1(1n
n
y -+=时而取0，时而取1，震荡无极限，因而也是发散的。 注意：数列极限的收敛性。 三、课堂演练
例1、分解下列复合函数； （1）2
1y x =
+ （2）sin x y e
= 例2、求下列数列的极限并说明其收敛性；
111
1,
,,;23n
1
1,1,,(1),;n ---
2,4,6,,2,;n
()1
114
2,,,,,;23n n n
-+-
其通项分别为
1
1
1(1)
,(1)
,2,
n n n n n
n
--+--。
四、课堂小结
1、初等函数的结构：由基本初等函数经过有限四则预算和复合步骤所构成；
2、数列极限： 直观描述，精确定义，几何意义
3、数列的收敛性：如果一个数列有极限，则称该数列是收敛的，否则称为发散的
（10分钟）
（5分钟）
思考题、作业题、讨论题： 思考题：
举例说明两个任意的函数能够复合成一个函数吗？
作业题：
P22: 4；6；
课后总结分析：
第 3 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第一章 函数与极限 §3 数列的左右极限
授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□
教学目的：
1、掌握函数极限的概念，运用函数极限的概念求函数的极限；
2、理解函数左右极限的的概念，会利用函数左右极限判断函数的极限是否存在。 教学方法、手段：
讲授法，板书、课件展示。 教学重点、难点：
重点：函数的极限及函数极限的求法； 难点：左极限与右极限。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配 一、复习基本知识——数列极限
1、数列的概念；
2、数列极限的概念； 二、讲授新课
引例：函数x
x f 1)(=
的图形。
老师通过对引例的讲解，使学生们对函数的极限有一个初步的认识，最后给出极限的定义。
1、当∞→x 时，函数)(x f 的极限（课件展示）
（1）函数)(x f 当x 趋向于无穷（记为∞→x ）时的极限，记为
A
x f x =∞
→)(lim 或 当∞
→
x 时，A x f →)(。（熟记）
（2）函数)(x f 当x 趋向于正无穷（记为+∞→x ）时的极限，记为
A x f x =+∞
→)(lim
或 当+∞→x 时，
A
x f →)(。（熟记）
（3）函数)(x f 当x 趋向于负无穷（记为-∞
→x
）时的极限，记为
A x f x =-∞
→)(lim
或 当-∞→x 时，A x f →)(。（熟记）
A x f x =∞
→)(lim 的充分必要条件是A x f x =+∞
→)(lim
且A
x f x =-∞
→)(lim
。（结论）
注：x x ,0>无限增大时，函数值x x f 1)(=
无限接近于0； x x ,0<无限减小时，函数值x
x f 1)(=
无限接近于0。
2、当0x x →时，函数)(x f 的极限
函数)(x f 当x 趋向于0x 时的极限，记作
（10分钟）
（5分钟）
（20分钟）
（10分钟）
A
x f x x =→)(lim
或)0()(x x A x f →→（熟记）
3、函数左右极限的概念
函数
)
(x f 当0x x →时的左极限，记为A x f x x =-→)(lim 0
；
函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为A x f x x =+→)(lim 0
；
注：左右极限统称为函数()f x 的单侧极限。 函数)(x f 的极限与左、右极限有以下关系：
A
x f x x =→)(lim
的充分必要条件是
A
x f x f x x x x ==+-→
→
)(lim
)(lim
。
注：我们主要利用此充要条件来验证某些函数主要是分段函数在分段点处的极限情况。
三、课堂演练
例1：求下列函数的极限 （1）2
3
32lim 5x x x x →∞
+-+； （2）3
2
112lim (
)28
x x x →--
++；
（3）4
4lim
31
x x x →---； （4）2
2
lim 11x x
x
→-+；
例2：试求函数
??
???>≤≤<<∞-+=。1,1;10,;0,1)(2
x x x x x x f 在0
=x 和1=x 处的极限。
四、课堂小结（师生互动）
1、函数的概念：趋于无穷时的极限概念，趋于正无穷、负无穷时的极限概念，趋于某一点的极限概念；
2、函数的左右极限。
3、极限是函数的一个局部性质。
（15分钟）
（20分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1、函数在趋于无穷和某一点时，函数的极限在定义上有什么区别？
作业题：
P22 1.7 (1)-(10), 1.8.
课后总结分析：
第 4 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第一章 函数与极限
§4 极限的性质极限的运算
授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□
教学目的：
1、理解极限的惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则，以及极限性质的推论；
2、熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则求函数的极限。 教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点：
重点：会利用函数极限的运算法则求函数的极限； 难点： 函数的极限的运算法则。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配 一、复习基础知识——函数的极限（课件展示）
1、函数在不同情况下的极限的概念；（熟记）
2、函数的左右极限。（理解） 二、讲授新课 1、极限的性质
在讲极限的性质之前，给出两个新的概念：邻域和去心邻域。（了解） 开区间()00,x x δδ-+称为点0x 的邻域；
开区间()()0000,,x x x x δδ-+ 称为点0x 的去心邻域，其中0δ>。 极限的性质：（了解） （1）惟一性；（2）有界性；
（3）局部保号性；局部保号性的推论；（4）夹逼准则。
根据函数的图形，一一讲解极限的性质，使学生们对函数的极限有更进一步的认识
和理解。
2、极限的运算（熟记）
（1）极限的可加（减）性； （2）极限的可乘性； （3）极限的可除性。
老师根据例题对上面极限的运算一一进行了讲解，通过对极限运算法则的讲解给出如下折推论。
推论1 常数可以提到极限号前，即CA
x f C x Cf ==)(lim )(lim
。
推论2 若m 为正整数，则[]m m m
A x f x f ==)]([lim )(lim 。
注意：在不能直接用极限的四则运算法则时，可先考虑 将函数适当变形，再考虑能否用极限的四则运算法则。常用的变形方法有：通分，约去非零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化。
（10分钟）
（20分钟）
（20分钟）
5分钟学生消化以上所讲
的知识。
三、课堂演练
例1：求下列函数的极限
（1）4
44lim
2
22
-+-→x x x x ； （2）h
x
h x h 2
20
)(lim
-+→； （3）2
1
3lim
2
x x x →+-； （4）3
2
3
2
231lim
532
x x x x x →∞
-++-；
例2：求下列函数的极限 （1） 2
1
lim (87)x x x →+-。
（2） 2
23lim
2
22
--+-→x x
x x
x 。
四、课堂小结（提问的方式）
1、极限的性质：惟一性、有界性、局部保号性、夹逼准则；
2、极限的运算法则：可加（减）性，可乘性，可除性。
（25分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题： 思考题：
在某个过程中，若 f (x ) 有极限、g (x )无极限，那么 f (x )+g (x ) 是否有极限？为什么？ f (x ) -g (x ) 是否有极限？ 作业题：
求下列各极限： （1）3
2
225lim
31x x x x x →∞
+--+；（2）
?
???
??---→214
4lim 22x x x ；（3）
???
?
??
-+→x x x 11lim 0； （4）32
3
13lim
14x x x
x x
→∞
--++；（5）2
3
2
321lim
2
x x x x x →∞
---+。
课后总结分析：
第 5 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第一章 函数与极限 §5 无穷小量与无穷大量
授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□
教学目的：
1、正确理解无穷小量与无穷大量的概念，了解无穷小量的性质；
2、掌握无穷小量与无穷大量的关系。 教学方法、手段： 讲授法，板书。 教学重点、难点：
重点：无穷小量与无穷大量的概念及它们的关系； 难点：无穷小量与无穷大量的关系。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配 一、复习基础知识——极限的性质及运算
1、极限的性质
2、极限的运算
二、新课引入
给出一个函数
1()f x x
=
的图形，生动形象地讲解此函数的极限是趋向于0的，通过讲
解引发学生们的思考，引出无穷小量。 三、讲授新课 1、无穷小量
)(lim
=→x f x x 为无穷小量；（理解）
例如：因为0
lim
2
=→x
x ，0sin lim 0
=→x x ，所以2x ，x
sin
均是当0
→x
时的无穷小。
因为(
)
,01lim ,0)1(lim
2
1
1
=-=-→→x
x x x 所以,1-x 12
-x 均为当1→x 时的无穷小。
因为
01lim
=∞
→x
x ，,
01
1lim
=-∞
→x x 所以
1
1
,
1
-x x 均为当∞
→
x 时的无穷小。
注意：（1）确定)(x f 是无穷小，需指出x 的变化趋势；
（2）绝对值很小的常数，不是无穷小，因为这个常数的极限是常数本身并不是零。
（3）常数中只有零是无穷小，因为它的极限为零。
例如
1
1)(+=
x x f 是当∞→x 是的无穷小；而当x 趋于常数时，不再是无穷小。
2、无穷小量的性质（理解）
（1）无穷小的可加性； （2）无穷小的可积性；
（10分钟）
（25分钟）
（15分钟）
（3）有界函数与无穷小的可积性； （4）常数与无穷小的可积性。
老师利用板书通过例题以上面的性质一一进行讲解。
3、无穷大量（课件展示）
∞
=→)(lim
x f x x 。（无穷大量）
例如，
x 1是当0→x
时的无穷大，记作∞=→x
x 1
0lim
；
11
-x 是当1→x 时的无穷大，记作
∞
=-→111lim x x ； x
e 是当+∞→x 时的无穷大，记作+∞
=+∞
→x
e x lim ； x
ln 是当+
→0
x
时的无穷大，记作
-∞
=→+
x x ln 0
lim 。
老师采用提问的方式对以上的例子进行了讲解，并得出以下注意项。 注意：（1）无穷大不是一个很大的数，它是一个绝对值无限增大的变量。
（2）确定函数)(x f 是无穷大，需指出自变量x 的变化趋势，例如函数x
x f 1)(=
当0→x 时是无穷大；当∞→x 时，是无穷小。
（3）无穷大必为无界函数；反之无界函数不一定为无穷大。例如：当∞→x 时，
x x x f sin )(=是无界函数，但不是无穷大量。
（4）无穷大是极限不存在的一种情形，这里借用极限的符号，但并不表示极限存在。
四、课堂小结（师生互动）
1、无穷小的概念；
2、无穷小的性质；
3、无穷大量的概念。
（25分钟）
5分钟学生消
化以上所讲
的知识。
（10分钟） 思考题、作业题、讨论题：
思考题：
1、怎样利用无穷小进行等价替换？
课后总结分析：
第 6 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第一章 函数与极限 §6两个重要极限
授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□
教学目的：
1、了解无论穷小量与无穷大量的关系，掌握无穷小量与无穷大量的比较方法；
2、正确理解函数的两个重要极限，并会用两个重要极限求函数的极限。 教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点：
重点：无穷小量与无穷大量的比较方法，函数的两个重要极限；
难点：无穷小量与无穷大量的比较方法，运用函数的两个重要极限。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配 一、复习基本知识——无穷小与无穷大（课件展示）
1、无穷小量的概念；
2、无穷小量的性质；
3、无穷大量的概念。 二、讲授新课
1、无穷小量与无穷大量的关系（作图说明）
结论：在自变量的同一变化过程中（注意：在极限符号中省略了自变量的变化趋势），设0)(≠x f ，若∞=)(lim x f ，则0)(1lim =x f ，反之，若0)(lim =x f ，则∞=)(1
lim x f 。
老师利用板书通过例题对上述结论做进一步的讲解，使学生对无穷小与无穷大的关系有进一步的理解。
2、无穷小量与无穷大量的比较
结论：（1）高阶无穷小； （2）低阶无穷小； （3）同阶无穷小；
通过给出的例题对无穷小与无穷大的比较仔细讲解，使学生正确理解并会利用。
定理：如果当0x x →时，)(~)(x x αα，)(~)(x x ββ，且)
()(lim
x x x x αβ→存在，则
)
()(lim
x x x x αβ→也存在，且
)
()(lim
)
()(lim
x x x x x x x x αβαβ→→=。
说明：求两个无穷小之比时，分子、分母均可用等价无穷小替代。 注意：常见的等价无穷小，当0→x 时，有
x
x ~sin ，x x ~tan ，2
2
1~
cos 1x
x -，x
e x
~1-，x x ~)1ln(+等。
强调：等价无穷小中的x ，可用含有x 的表达式代替。
（10分钟）
（15分钟）
（15分钟）
5分钟学生消化以上所讲的知识。
3、两个重要极限（列表说明） （熟记）
（1）
1sin lim
=→x
x x
（2）
e x x
x =?
?? ?
?
+∞→11lim
三、课堂演练
例1 求1
1lim
1
-→x x 。
例2 利用等价无穷小代换定理求下列函数的极限： （1）0
sin 4lim
tan 2x x x
→；（2）x
x x x x sin sin tan lim
2
-→。
例3 计算 0
sin 7lim
x x x →。 例4 计算 2
1cos lim
x x
x
→-。
例5 计算
x
x x ?
?? ?
?-∞→541lim 。
例6 计算(2)
1lim 2x x x x +→∞-??
?
+??
。
四、课堂小结（提问回答）
1、无穷小与无穷大的关系；
2、无穷小与无穷大的比较；
3、两个重要极限。
（15分钟）
（20分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题： 作业题：
1、 求下列函数的极限。 （1）x
x x 2
sin
cos 1lim
-→；（2）()
()2
20
ln 1lim
1sin x
x x
e
x
→--；（3）x
x x x 22arcsin lim
2
+→。
2、计算下列函数的极限。
（1） 0
tan 3lim
4x x x
→；（2）x x x 1
021lim ??? ?
?
-
→；（3）()cot 0
lim 13tan x
x x →+。
课后总结分析：
第 7次课 学时 2 授课题目（章，节） 第一章 函数与极限 §7函数的连续性
授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□
教学目的：
1、了解增量的概念，熟练掌握函数的连续性；
2、正确理解函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性判断函数在某一点是否连续。 教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点：
重点：函数的连续性以及它的左右连续性； 难点：函数的连续性以及函数的左右连续性。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配 一、复习基础知识——无穷小与无穷大的关系及比较
1、无穷小与无穷大的关系；
2、无穷小量与无穷大量的比较；
3、两个重要极限。
二、导入新课
通过对给出的两个函数的图象（一个是间断的，一个是不间断的）进行的讲解，引出函数增量的概念，从而也引出了函数的连续性。
三、讲授新课
1、增量的概念（课件展示） 注意：增量u ?可正可负。当0>?u 时，说明变量u 从数值1u 变到数值2u 是增加的；当0
)
()(00x f x x f y -?+=?
为函数
)
(x f 的增量。
2、函数连续性的概念（课件展示，板书辅助）
定义1：若0lim 0
=?→?y x ，则称函数)(x f y =在点0x 处连续，并且称点0x 为函数)
(x f y =的连续点。
定义2：若)()(lim 00
x f x f x x =→，则称函数)(x f y =在0x 处连续。
根据定义2的内容，函数)(x f 在点0x 连续，需满足如下条件：（重点且熟记）
①)
(x f 在点0x 及附近有定义；
②)(lim
x f x x →存在；在
③
)()(lim
00
x f x f x x =→。
利用板书给出例题，老师通过例题讲解函数的连续性，使学生们正确掌握函数的连
（10分钟）
（5分钟）
（10分钟）
（15分钟）
续性，并且会利用函数连续性的定义求解函数的连续性。 3、函数的左右连续性
若)()(lim 00
x f x f x x =-→（或)()(lim 00
x f x f x x =+→），
则称函数)(x f y =在点0x 处左连续（或右连续）。即
)()(lim
)(lim
00
x f x f x f x x x x ==+
-
→→。
说明：如果函数)(x f 在某一区间上每一点都连续，则称
)
(x f 在该区间上连续，或者说
)
(x f 是该区间上的连续函数。
注：连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。 关于函数的连续性有下面三点结论：
（1）基本初等函数在它们的定义区间内，都是连续的；
（2）连续函数的和、差、积、商（分母不能为0）在它的定义区间内，是连续函数； （3）由连续函数复合而成的函数，在它的定义区间内是连续函数。
三、课堂演练
例1 讨论函数??
?<-≥+=0
2
02x x x x y 在0=x 的连续性。
例2 求)12(lim 1
-→x x ；
例3 求x x sin lim 0
→；
例4 求0
2
02
lim
x x x x x x --→。
四、课堂小结（师生互动）
1、函数增量的概念；
2、函数连续性的概念；
3、函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性函数在某一点是否连续。
（15分钟）
5分钟学生消化以上所讲的知识。
（20分钟）
（10分钟）
思考题、作业题、讨论题： 思考题：
1、满足函数连续的条件？
课后总结分析：
第 8 次课 学时 2 授课题目（章，节） 第一章 函数与极限
§8本章小结
授课类型（请打√） 理论课□ 研讨课□ 习题课□ 复习课√□ 其他□
教学目的：
1、带领学生复习本章所学的知识中，巩固学生对本章知识的理解和运用。 教学方法、手段：
讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点：
重点：本章所学的知识点； 难点：会运用本章所学的知识点。
教学内容及过程设计
补充内容和时间分配 一、基本概念
1、函数的定义；
2、基本初等函数；
3、复合函数；
4、初等函数；
5、数列的极限；
6、函数的极限；
7、函数的左右极限；
8、函数的连续性；
9、函数的左右连续性。 二、基本性质和方法
1、函数的二要素：定义域，对应法则；（判断两个函数的相等性）
2、函数的四种特性
3、函数极限的性质；
4、无穷小量与无穷大量的关系；
5、无穷小的比较；
6、函数极限的运算；
7、两个重要极限。 三、例题讲解
例1求函数4
21-=
x y
的定义域。
例2、将下列复合函数进行分解。
（1）x y 2
sin
=；（2）2
cos x y =。
例3 试求函数??
???>≤≤<<∞-+=。1,1;10,;
0,1)(2
x x x x x x f 在0
=x 和1=x 处的极限。
（20分钟）
（20分钟）
（25分钟）
例4 求2
1
lim (87)x x x →+-。
例5 求
4
62134lim
2
21
+-+--→x x
x x x 。
例6 计算 0
tan 3lim
4x x x
→。
例7 计算x
x x 1
021lim ??
? ?
?
-
→。 四、课堂演练
例1 确定函数)2ln(23)(2-+-+=x x x x f 的定义域。 例2 求函数u
y
=
与21x u -=的复合函数。
例3 设
??
?
??<-=>=0,10
,00,1)(x x x x f ，求
)
2(f ，)0(f 和)2(-f 。
例4 求下列各极限： （1）32
3
13lim
14x x x
x x
→∞
--++；（2）2
3
2
321lim
2
x x x x x →∞
---+；（3）32
2
25lim
31
x x x x x →∞
+--+。
（4）
?
???
??---→214
4lim 22x x x ；（5）
???
?
??
-+→x x x 11lim 0。（6） 201cos lim x x x →-。
（7）(2)
1lim 2x x x x +→∞-??
?
+??
。
（25分钟）
思考题、作业题、讨论题： 作业题：
P22-P23 1.1, 1.2(1)-(2), 1.7 (1)-(6), 1.8.
课后总结分析：
第一章 函数、极限、连续 教学要求 1.了解分段函数、复合函数、初等函数等概念。 2.理解数列极限、函数极限的定义。 3.掌握极限的四则运算法则。 4.了解无穷大、无穷小及其比较的概念，了解函数及其极限与无穷小的关系。理解无穷小的性质。 5.了解夹逼准则和单调有界数列极限存在准则。熟练掌握两个重要极限求极限。 6.理解函数连续与间断概念，会判断间断点类型，了解初等函数连续性及闭区间上连续函数性质。 教学重点 函数的概念、复合函数的概念，基本初等函数的图形和性质；极限概念，极限四则运算法则；函数的连续性。 教学难点 函数与复合函数的概念；极限定义，两个重要极限；连续与间断的判断。 教学内容 第一节 函数 一、函数的定义与性质 1.集合； 2.邻域； 3.常量与变量； 4.函数的定义； 5.函数的特性。 二、初等函数 1.反函数； 2.复合函数； 3.初等函数。 三、分段函数 一、 函数的定义与性质 1集合定义 具有某种特定性质的事物的总体；组成这个集合的事物称为该集合的元素，元素a 属于集 合A ，记作a A ∈, 元素a 不属于集合A, ,a A ? 2集合的表示法： 列举法 12{,, ,}n A a a a = 描述法 {}M x x =所具有的特征 3集合间的关系: 若,x A ∈则必,x B ∈就说A 是B 的子集,记做A B ?；若A B ?且A B,≠ A B 则称是的真子集；若A B ?且B A ?，则A B =。
4常见的数集 N----自然数集；Z----整数集；Q----有理数集；R----实数集 它们间关系: ,,.N Z Z Q Q R ??? 5例 {1,2}A =，2{320}C x x x =-+=，则A C = 不含任何元素的集合称为空集, 记作? 例如, 2 {,10}x x R x ∈+==? 规定 空集为任何集合的子集. 6运算 设A 、B 是两集合, 则 1) 并 A ?B ? {x ∣x ∈A 或x ∈B}; 2) 交 A ?B ?{x ∣x ∈A 且x ∈B} 3) 差“A \B” ?{x ∣x ∈A 且x ?B} 4) 补（余）?S/A ,其中S 为全集 5) 其运算律 (1) A ?B= B ?A , A ?B =B ?A (2)（A ?B )?C =A ?(B ?C) , (A ?B)= A ?(B ?C) (3)（A ?B ) ? C =(A ? C )?(B ? C) （A ? B ) ? C =(A ? C ) ? (B ? C) (4) (),()c C C c c c A B A B A B A B ?=??=? 注意A 与B 的直积A ?B ?{(x,y)∣x ∈A 且y ∈B} 例如：R ?R={(x,y)∣x ∈R 且y ∈R} 表示xoy 面上全体点的集合, R R ?常记为2 R 7邻域: 设a 与δ是两个实数且0δ>，称集合{}x a x a δδ-<<+为点a 的δ邻域。点a 叫做这邻域的中心，δ叫做这邻域的半径。记作(){}U a x a x a δδδ=-<<+ 点a 的去心δ邻域记做0 ()U a δ ，0(){0}U a x x a δδ=<-<。 注意：邻域总是开集。 8常量与变量: 在某个过程中变化着的量称为变量，保持不变状态的量称为常量, 注意：常量与变量是相对于“自变量变化过程”而言的. x δ δ
高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 word
word 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \：}|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则：
授课题目§9.1二重积分的概念与性质 课时安排2教学目的、要求：1．熟悉二重积分的概念，了解二重积分的性质；2.了解二重积分的几何意义。教学重点、难点：二重积分的几何意义教学内容 一、二重积分的概念1．引例与二重积分定义引例：（1）.曲顶柱体的体积。（2）已知平面薄板质量（或电荷）面密度的分布时。求总质量（或电荷）。2．二重积分的几何意义 二、二重积分的性质性质1、 ，为非零常数；(,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????k 性质2、；{(,)(,)}D f x y g x y d σ±??(,)(,)D D f x y d g x y d σσ=±????性质3、若，且（除边沿部分外），则12D D D =+12D D φ= 12(,)(,)(,)D D D f x y d f x y d f x y d σσσ=+?? ????性质4、若，，则：；(,)(,)f x y g x y ≥(,)x y D ∈(,)(,)D D f x y d g x y d σσ≥????性质5、估值定理性质6、（中值定理）设在上连续，则在上至少存在一点，使),(y x f D D ),(ηξA f d y x f D ?ηξ=σ??),(),(三、例题 例1 设是由与所围的区域，则D 24x y -=0=y =σ??D d π2例2 求在区域：上的平均值222),(y x R y x f --=D 222R y x ≤+讨论、思考题、作业：思考题：1.将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.2.估计积分的值,其中是圆形区域: .??++=D d y x I σ)94(22D 422≤+y x 习题9-1 P79 4(1),(3),5（1）（3）授课类型： 理论课教学方式：讲授教学资源：多媒体 填表说明：每项页面大小可自行调整。、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念
1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则]
关于高职高专高等数学教学的思考 引言 高等数学课程是高职高专院校理工科各专业的一门重要的基础理论课,其目的在于培养工程技术人才所必备的基本数学素质,在当代大学生的知识能力结构中是必不可少的一部分,进入二十一世纪,社会对高技术应用型人才有极大需求与更高要求,从而也对高等数学的教学提出了更高的要求。 一、教学模式的设计与创新 高等数学在高职院校中作为一门基础课、工具课,要体现突出与专业的融合,为专业服务的思想,因此在教学过程中,要求:不盲目追求理论体系的严密性和完整性,在概念与理论、方法与技巧、实践与应用等方面做出合理的安排;适度淡化理论推导,减少繁难的定理证明和复杂的运算技巧,突出基本概念、基本方法、基本技能和几何直观;涉及性质与定理的内容,以图形或文字描述说明加以适当解释,尽量淡化逻辑证明。体现理论与现实问题的密切联系,以提高学生学习的兴趣,增强学生应用数学知识解决实际问题的意识。 目前高等数学主要采取的是课堂教学,教学要体现以学生为主体,通过一系列的问题情境,以问题为引导,启发学生思考,在解决问题过程中学习新知识。融“教、学、用”于一体。作为一个完整的教学过程设计可以分为7步:问题情境解决问题范例讲析反馈练习回顾小结课后练习课后辅导。如果采用一贯的传统的课堂教学模式,那么课堂将会变得越来越沉闷。对于不同的学习任务和学习目标,我们可以尝试采取不同的教学方法
和模式。比如概念、公式、定理等理论性较强的内容,可仍采用讲授式;对于比较容易理解和掌握的知识,特别是一些性质定理的推广,可采用自学加辅导的形式;对于容易产生争议和混淆的内容,可采用小组讨论的形式;对于理论知识在实际中的应用问题,可以采用任务驱动教学法:教师提出明确的任务,让学生从解决问题的角度去尝试,参阅实验指导书、在线帮助和相互交流、探讨,从而解决问题,具体教学过程如下:(1)结合学生特点,精心设计任务。(2)引导学生分析任务并提出问题。(3)根据提出的问题,及时讲授新知识。 二、提高学习高等数学的兴趣 高等数学是一门基础课,它对培养学生的逻辑思维能力及对专业课的学习起着重要作用,但学生对高等数学学习的积极性不高。因此,如何调动学生的积极性、提高高等数学的吸引力,也成为教师必须要关注的问题。关于如何激发学生学习高等数学的兴趣,作者认为教师一定要从以下几个方面着重提高。 (一)教师要提高自身专业素质 教师是整个高等数学教学活动中最活跃的因素,教师一定要充分担当好组织者、引导者的角色,在日常教学工作中要结合实际,潜心研究教学方法、改进教学手段,不断总结,逐步积累教学经验,这样才能够不断提高高等数学的魅力,激发学生的学习热情。 (二)教师要善于与学生交流,把握好课堂气氛 首先教师要把握好自己的言谈举止。孔子云:“其身正,不令而行;其身不正,虽令不从。”要做好一名优秀的人民教师,必须具备高尚的人格和
第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。
§4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版
一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21.
高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学教案
教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C );
第八章空间解析几何与向量代数 教学目的： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平 行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲 面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形； 6、旋转曲面及柱面的方程。
§8.1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求： 1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量概念、向量的运算 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体 讲授内容： 一、向量概念 向量：既有大小,又有方向,这一类量叫做向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 → AB.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭 头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a =b.相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模. 向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的. 向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念.设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b 的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 三角形法则 平行四边形法则:
高职高等数学课件 (二)高职高等数学教育虽重要，但没引起足够重视。 高职教育是高等教育的重要组成部分，《高等数学课程对高职生素质培养的重要性》中阐述了高等职业教育的目标、人才规格决定了高等数学教育不容忽视的重要地位，并针对高职教育现状与高职生特点，结合高等数学特质与素质教育的功能，说明了高等数学课程的重要性，但由于客观与某些人的主观臆断，以高等数学课程为代表的公共课并没有得到足够重视。鉴于此，在此呼吁高等数学日后教育教学的改革方向是增强师资力量、提高教师素养、改革教学方法提高学生学习兴趣等。 (三)高职高等数学的教学有待改革。 虽然高职教育在整体趋势上是积极进取的，是逐渐适应这个社会发展的，但面临社会的发展与生源的紧缺、就业率有待提高的紧迫局势，高职院校仍然在教学上面临着诸多困难。郭倩茹在《浅谈高职院校中高等数学教学的现状及问题解决策略》一文中，认为高职院校中高等数学教育的教材编制不合理，与高职教育不适应;高等数学教学没高职特色，与专业脱轨;评价机制落后，考核体系陈旧。与此同时，在描述高等数学教育现状的同时，提出了诸如规范教材与专业接轨、活跃课堂气氛、构建评价、考核新体系等。最后，强调高职院校一定要以学生的特点作为教育的先决条件，因材施教。这正是教育工作者所要考虑的，也是我国高职院校培养人才的目标与宗旨，一切为了学
生，为了学生的一切。 二、高职高等数学教学中存在问题的成因 (一)高等数学不被重视。 大多数高职院校偏重于职业技能的培养和实践活动的开展，作为专业基础课的高等数学学时时多时少，只是专业教学计划里专业课的替补而已。这在综合性的职业院校不常见，但在专业系别少的管理不严格的小职业院校是家常便饭，这无形中也造成了高等数学可有可无的尴尬境地。 (二)高职教师知识更新跟不上，教学方法与教学手段单一，教学态度不积极、忽略学生的德育教育与职业生涯规划导向等。 有些高职院校是中专合并等形式转轨而成或新成立的，万事在摸索前进。大部分教师还停留在原来的教学步伐上，高职教育的先进理论知识不够，年纪大一点的教师甚至根本不关心高职教育的改革与发展，混退休的大有人在。一些教师虽然胜任课程知识的讲解，但不求创新，教学方法单一，教学手段传统，而且对学生的德育与职业生涯规划引导、管理漠不关心，认为只是班主任与学生管理人员的责任，这在某种程度上疏忽了学生课上的教育与管理，这也是教学质量不高的原因之一。 (三)学生入学的数学基础整体较差，学习动力不足，缺乏学好数学的信心。 随着高职院校的扩大招生，高职学生数学基础整体较差。中学的数学知识点繁多、灵活多变且有很大的连续性，这让中学基础差的学
《高等数学》课程教学大纲一、课程基本信息
二、课程内容与基本要求 1．理解函数的定义；了解分段函数、基本初等函数、反函数、复合函数的概念；会建立简单实际问题的函数模型。 2．了解极限的描述性定义，了解无穷小、无穷大的概念及其相互关系和性质；会用两个重要极限公式求极限，掌握极限的四则运算法则。理解函数在一点连续的概念，知道间断点的分类；会用函数的连续性求极限。 3．理解导数和微分的概念及其几何意义，会用导数描述一些简单的问题；熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数的求导公式；熟练掌握复合函数、隐函数以及由参数方程所确定的函数一阶导数的求法；了解高阶导数的概念；了解可导、可微、连续之间的关系。 4．了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理；会用洛必达法则求极限；掌握利用一阶导数判断函数的单调性、极值和最值的方法；会用二阶导数判断函数图形的凹向及拐点，能描绘简单的函数图形。 5．了解原函数、不定积分的概念及性质；掌握不定积分的基本公式；会用换元法和分部积分法求不定积分。 6．理解定积分的概念及其性质，了解定积分的几何意义，了解变上限的定积分的性质；熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式；掌握定积分的换元法和分部积分法。 三、学时分配表
四、对学生能力培养的要求 高等数学是各专业必修的一门重要基础课程，它对培养、提高学生的思维素质，创新能力，科学精神，治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。在授课中应紧密结合实际问题，分析一些代表性的专业相关问题，并建立数学模型。 本大纲所列内容为基本内容，它们是根据课程的基本要求和实用够用的原则规定的，是学生必须掌握的最低限度的基本知识，学生在规定教学时数内能够掌握和了解。 对理论教学内容的深浅程度，采用两个层次，即：对原理性和概念性内容采用“理解”和“了解”两个层次，对于运算性和应用性的内容采用“掌握”和“了解”两个层次。教师要求学生按不同层次理解教学内容的深度和广度。
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中 的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在 与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重 要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无 穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点 的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函 数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 闭区间上连续函数性质的应用。
第二章导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数 的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 第三章中值定理与导数的应用 教学目的： 1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中 值定理和泰勒中值定理。 2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和 求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及 其简单应用。 3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的 拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
高职高等数学教学基本要求 1.课程定位： 本课程是我院工科各专业学生的一门必修的公共基础理论课。它是为工科各专业的人才培养目标服务的，它将为今后学习专业基础课以及相关的专业课程打下必要的数学基础，为这些课程提供必需的数学概念、理论、方法、运算技能和分析问题解决问题的能力素质。在本课程的教学中必须遵循“以应用为目的，以必需，够用为度”的原则，注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以提高学生的数学修养和素质。以“必需、够用”为原则，服务于不同专业的实际需要；以突出数学文化的育人功能为主线，服务于素质教育；以培养学生具有应用数学方法解决实际问题并进行创新的能力为重点，服务于能力培养。 2.学分、学时： 建议：8学分，128学时。 3.教学目标： 总体目标 通过本课程的学习，学生能了解微积分学的基本概念，掌握微积分的基本理论，学会微积分的基本运算技能，能具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力和自学能力等。另外，通过学习常微分方程、向量代数与空间解析几何、无穷级数、线性代数等知识，为后续专业课程的学习作好准备。本课程在培养学生的数学应用意识、分析和解决实际问题的能力以及创新精神等方面发挥着重要作用，为其今后的可持续发展奠定基础。 （1）知识目标 了解微积分的基本概念，掌握微积分的基本理论和基本运算。了解常微分方程、无穷级数、线性代数的基本概念及基本理论。 （2）技能目标 掌握比较熟练的运算能力，培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、运
算能力、空间想象能力以及综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，全面提升职业核心能力。 （3）素质养成目标 通过本课程学习，培养学生的数学应用意识、创新精神及团结协作精神，提高数学文化素养和自主学习能力，奠定学生可持续发展的基础。通过对学生在数学的抽象性、逻辑性与严密性等方面进行一定的训练和熏陶，使学生能利用数学思维和逻辑分析问题、解决问题。 4.主要内容： 学习项目1：函数、极限与连续（14学时） （1）函数：函数的概念、函数的几种特性、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、建立函数关系。 （2）极限的概念：数列的极限、函数的极限。 （3）极限的运算法则：极限的四则运算法则及其应用计算。 （4）两个重要极限：极限存在的准则、两个重要极限及其应用计算。 （5）无穷小量与无穷大量：无穷小量、无穷大量。 （6）无穷小量的比较：无穷小量的比较、等价无穷小量替换定理及其应用计算。 （7）函数的连续性：连续函数的概念、初等函数的连续性、函数的间断点及分类、连续函数在闭区间上的性质。 学习项目2：导数与微分（12学时） （1）导数的概念：导数的定义、导数的求法、导数的几何意义与物理意义、可导与连续的关系。 （2）函数的求导法则：反函数求导法则、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、基本初等函数的求导公式及其应用计算。 （3）隐函数及由参数方程确定的函数的导数：隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数、对数求导法。 （4）高阶导数：函数的n阶导数。 （5）函数的微分：微分的定义、微分的几何意义、微分的基本公式及四则运
第四章常微分方程 §4．1 基本概念和一阶微分方程 甲内容要点 一．基本概念 1．常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零
的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解 ()()??+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解 ()()()()C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln （2） ()()0,0≠≠++=b a c by ax f dx dy 令u c by ax =++， 则()u bf a dx du += ()c x dx u bf a du +==+?? （3） ??? ? ??++++=222111c y b x a c y b x a f dx dy
《高职应用数学》教案 课程名称：高职应用数学 总学时：64
n a a a 个 (n 为正整数0a ≠)． 1 n a = (0a ≠，n 为正整数a a =n ；)n b a b =； )b a b =．
N a a a ==log ()p q a p q +=+=
已知直线l 经过点000()P x y ，， 且斜率为k ．设点()P x y ，为直线l 上不同于点0P 的任意一点，由斜率公式可得 00y y k x x -=-， 整理得 00()y y k x x -=-． 点000()P x y ，也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程． 2）直线的斜截式方程 设直线l 与x 轴交于点(0)A a ，，与y 轴交于点 (0)B b ，，则a 称为直线l 在x 轴上的截距（或横截距）；b 称为直线l 在y 轴上的截距（或纵截距）． 设直线l 与y 轴的交点为(0)B b ，，且直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为 (0)y b k x -=-， 即 y kx b =+． 3）直线的一般式方程 把形如0Ax By C ++=（A B ，不全为零）的二元一次方程称为直线的一般式方程． 2、一元二次方程 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为 20(0)ax bx c a ++=≠． 1）公式法 一般地，式子24b ac -称为一元二次方程20ax bx c ++=根的判别式，通常用希腊字母“?”表示，即24b ac ?=-． 当0?…时，方程20(0)ax bx c a ++=≠的实数根可写为
高等数学电子教案 【篇一：高等数学下册电子教案】 第四章常微分方程 4．1 基本概念和一阶微分方程 甲内容要点 一．基本概念 1．常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： dydydx=p(x)q(y)(q(y)≠0) 通解?p(x)dx+c ?q(y)=
（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy=0 通解?m1(x) m2(x)dx+?n2(y)n1(y)dy=c (m2(x)≠0,n1(y)≠0) 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 y x dy dxdy?y?=f ? dx?x? 令则=u， =u+xdu dx=f(u) ?f(u)-u dy dxdu=?dxx+c=ln|x|+c （2）=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0) 令ax+by+c=u， 则du dx=a+bf(u) ?a+bf(u)=?dx dydu=x+c ?a1x+b1y+c1? ? =f （3） ?dx?a2x+b2y+c2? ①当?=a1 v?? a1+b1?a1u+b1v?u?属于齐次方程情形 ?=f v?a2u+b2v? ?a+b 2?2u?? b1 b2 b1=0情形，令a2a1= 令u=a1x+b1y， 则du 属于变量可分离方程情形。 三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy dx+p(x)y=0 -?p(x)dx 它也是变量可分离方程，通解公式y=ce 2．一阶线性非齐次方程 dy dx+p(x)y=q(x) ，（c为任意常数）