第7章质点动力学 7-1 图示滑水运动员刚接触跳台斜面时，具有平行于斜面方向的速度40.2km/h，忽略摩擦，并假设他一经接触跳台后，牵引绳就不再对运动员有作用力。试求滑水运动员从飞离斜面到再落水时的水平长度。解：接触跳台时340.210 m/s 11.1703600设运动员在斜面上无机械能损失习题7-1图2 m/s 2211.1729.82.448.76800 m/s,
m/s 8.1413.256x y2vy m 0.541 v 12g y vy s
0.3321v gθ0O 12()1022习题7-1解图2()2(0.541 2.44)10s 0.7802g9.8s 1.11212m
8.1411.1129.05x 7-2 图示消防人员为了扑灭高21m仓库屋顶平台上的火灾，把水龙头置于离仓库墙基15m、距地面高1m处，如图所示。水柱的初速度m/s，若欲使水柱正好能越过屋顶边250缘到达屋顶平台，且不计空气阻力，试问水龙头的仰角应为多少？水柱射到屋顶平台上的水平距离为多少？s 15解：(1) (1) 1vcos012 (2)
v sin0112 (1)代入(2)，得2500cos375sincos44.10 22500cos44.1375cos1cos习题7-2图42
390625cos96525cos1944.8102, cos0.2249761.685v sin (2) （到最高点所经过时间）
02g m (v cos15)223.2602
7-3 图示三角形物块置于光滑水平面上，并以水平等加速度向右运动。另一物块置a于其斜面上，斜面的倾角为θ。设物块与斜面间的静摩擦因数为，且tanθ>，开始时ff ss物块在斜面上
静止，如果保持物块在斜面上不滑动，加速度的最大值和最小值应为多少？ a F a s a F F sθN m g F m g N 习题7-3图 (a) (b)
解：1、物块不上滑时受力图(a) (1)
(2) 临界： (3) (3)代入(1)、(2)，
消去，得
(4)
2、物
块不下滑时受力图(b)： (5)
(6)
(7) 临界：
(7)代入(5)、(6)，消
去，得
(8)
7-4 图示
物体的质量为m ，悬挂在刚度系数为k 的弹簧上，平衡时弹簧的静伸长为δ。st 开始时物体离开平衡位置的距离为a ，然后无初速度地释放。试对图中各种不同坐标原点和坐标轴列出物体的运动微分方程，写出初始条件，求出运动规律，并比较所得到的结果。 解：(a)受力图(e)，且 (1)
(2)
(3)
(1)、(2)代入(3)，得 ..
..
k
(4)
mk2，则 记
m (5)
初始条件：时，， (6) 习题7-4图 (6)代入(5)，得 kπ ；
x a m2 F F k (b)受力图(e) k .. x ..
k
m g ..k
mm g ..xk 令，则
m (e) (f) mg
k 初始条件：时，， kπmg
b m2k (c)受力图(f) ..
代入上式，即
..
m
当时，，
kπ ；
m2(d)受力图(f) ..
..
mmg
n
k 当时，，
kπmg ；
m2k 7-5 图示
质量为m 的平板置于两个反向转动的滑轮上，两轮间的距离为2d ，半径为R 。若将板的重心推出，使其距离原对称位置O 为x ，然后无初速度地释放，则板将在动滑动
摩擦力的作用下作
简谐振动。板与两滑轮间的动摩擦因数为f 。试求板振动的运动规律和周期。 解：1、图(a)
, (1)
,
O N2N1x 即 (2)
d1x 由(1)、(2)解得： N22d 习题7-5图 1x N12d1xo 1N1 2d F 21x F
2d mg ..F
F
即
d (a) ..fg
d fg
n d 2πd
振动周期：
fg n 运动方程：
当时，，
fgπ
运动规律： 0 d2 3 7-6 图示升降机厢笼的质量
m=3×10kg ，以速度=0.3m/s 在矿井中下降。由于吊索v k 上端突然嵌住，厢笼中止下降。如果索的弹簧刚度系数=2.75kN/mm ，忽略吊索质量，试求此后厢笼的运动规律。 解：图（a ）：
mg （1）
st
K..（2） （3）
(1)、(3)代入(2)，得 .. kx
..习题
7-6图
m（4）k o. t=0时，x=0，m/s （5）st代入(4)，得OFvk（6）
6x mg rad/s （7）..n3m x将(5)、(7)代入(6)得 (a) （mm，t以秒计） 7-7
质量m=2kg的物体从高度h=0.5m处无初速地降落在长为l=1m
的悬臂木梁的自由6端上，如图所示。梁的横截面为矩形，高
为30mm，宽为20mm，梁的弹性模量E=10MPa。若不计梁的
质量，并设物体碰到梁后不回弹，试求物体的运动规律。解：
物体作用在梁端点产生的静变形（1）
3EI（2）（3）当量刚度：
k3l任意位置弹性恢复力习题7-7图（4）物
体运动微分方程..（5）将(1)、(2)、(3)代入(4)，得....m k3EI rad/s 令（6）
n3mml则理学（7）.当t = 0时，，
m/s
nst，rad 0.012tan0
.012v st m
=12mm A0.012sin mm 12sin(2600.012)7-8
图示用两绳悬挂的质量m处于静止。试问： 1.两绳中的张力各
等于多少？ 2.若将绳A剪断，则绳B在该瞬时的张力又等于多
少？解：1、图（a），2mg y B，
02、图（b）绳A剪断瞬时，n2，
n B2F F B B m m F45A aτmgmg习题7-8图
(a) (b) 7-9 质量为1kg的滑块A可在矩形块上光滑的斜槽中滑动，如图所示。若板以水平的等加速度a0=8m/s2运动，求滑块A相对滑槽的加速度和对槽的压力。若滑块相对于槽的初速度为零，试求其相对运动规律。A e0F A Ie a r o30 F N mg习题7-9图 (a) 解：滑块A为动点，矩形板为动系，牵连加速度，相对加速度，A块受力如图e0r（a），其中N 8Ie0N 9.8Irr由滑块相对“平衡”：，N 0cos30sin3043 4.911.83rIrIe，N
cos30sin308.494 4.490NIeN F2Ir相对加速度：m/s 11.83r m
122相对运动规律：（m）rr27-10图示质量为m
的质点置于光滑的小车上，且以刚度系数为k的弹簧与小车相联。若小车以水平等加速度a作直线运动，开始时小车及质点均处于静止状态，试求质点的相对运动方程（不计摩擦）。解：设质点m对车的相对位移为x（设向右为正），质点受力：k
Ie质点相对运动微分方程：..k..
习题7-10图m k2n m m F F（1）
Ie k m k.初始条件：时，，0o m代
入（
1），得：，0k mm(1cos t) (a) kk7-11 图
示单摆的悬挂点以等加速度a沿铅垂线向上运动。若摆长为l，试求单摆作微振动的周期。解：牵连惯性力Ie相对运
动微分方程：..()sin..时，上式为1τa r..
m()0mg..l F Ie n l习题7-11
图习题7-11解图2πl周期2πn7-12 图示圆盘绕轴O 在水平面内转动，质量为1kg的滑块A可在圆盘上的光滑槽中运动。盘和滑块在图示位2置处于静止，这时圆盘开始以等角加速度=40rad/s转动，已知b=0.1m。试求圆盘开始运动时，槽作用在滑块A上的侧压力及滑块的相对加速度。解：运动开始时，，
rn，习题7-12图C e2τ m/s，未知。4re物
块受力如图，槽的侧压力方向如图，大小未知，牵连惯性力：ττ（1） N 4Iee
相对运动微分方程：τ（2）F cos30N rIeτaτ（3）sin300e NIeτF Ie（1）代入（2）、（3）解得a2m/s
3.46r r N N习题7-12解图 7-13 现有若干刚度系数均为k且长度相等的弹簧，另有若干质量均为m的物块，试任
2k3k意组成两个固有频率分别为和的弹簧质量系统，并画出示意图。3m2m k kk kkkkk k m m mm km m m mkk m m k (a) (b) (d) (e) 2k (c) 答：1.,见图（a）或(b)或(c). n3m3k 2. ，见图（d）或(e) n2m
7-14 分析图中所示7组振动模型，判断哪几组中的两个系统具有相同的固有频率。答：图(a)、(b)、(e)、(g)均具有相同的固有频率。
习题7-14图7-15图示匀
质摇杆OA质量为，长为，匀质圆盘质量为，当系统平衡时摇杆处在l mm12水平位
置，而弹簧BD处于铅垂位置，且静伸长为，设OB=a，圆盘在滑道中作纯滚动。st 试求系统微振动固有频率。解： 1、弹簧刚度k静平衡时，轮缘摩擦力，由系统平
衡。，即
(1) 2ast习题7-15图
2、n11122222AAAO杆OA轮
由于以平衡位置为角的起始位置，弹簧
静位移产生的弹性力与重力，相m g m g2st1抵消，故此后计算时，只考虑弹簧偏离平衡位置产生的弹性力，从平衡位置到角，弹力功：，
12即
: ka
26ka
(2) (1)代入(2),得
7-16一单层房屋结构可简化为如图
所示的模型：房顶可视为质量为m的刚性杆，柱子可视为高为h、弯曲刚度为EI的梁，不计柱子的质量。试求该房屋水平振动的固有频率。x m h x EI2xxh222习题7-16图(a) h解：柱子两端都是固定端，可看作两根长的悬臂梁坚固对接，见(图a)。23Fl F P梁的最大挠度为见(图b) 悬臂P max 3EI EI hx本题中，max22w3max l于是有
23EI 12EIx (b) 由上可算出 3h 在层顶位移x 时，两根立
柱产生的弹性阻力，故屋顶的运动微分方程为
2F P
即
3mh 3h 24EI
这是简
谐振动方程，其固有频率为 7-17 长为l 、质量为m 匀
质杆两端用滑轮A 和B 安置在光滑的水平和铅垂滑道内滑动，并联有刚度系数为k 的弹簧，如图所示。当杆处于水平位置时，弹簧长度为原长。不计滑轮A 和B 的质量，试求AB 杆绕平衡位置振动的固有频率。 解：设杆在水平位置时，势能为0，则势能
21
平衡：
习题7-17图 2
mgmg ， （平衡位置角） 2kl2kl 设
杆偏离平衡位置一微小角度，则杆的动能
弹簧势能
002 保守力场（理想约束）机械能
守恒： T V C 即
00
:
即
（1） 002lm 微振动，，此时
k 3g 3k 3g 代入
（1）得，
0000m 2lm 2l
mg 3g 3 其中
0 0002lm 2kl 7-18 质量为的质块用刚度系
数为的弹簧悬挂，在静止不动时有另一质量为mmmk 112的物块在距高度为处落下，如图所示。撞到后不再分开。试求系统的振动频率和mmmh 121振幅。 解：两质块在一起振动时，其固有频率为： k （1） m
m 12 块下落至
碰撞前速度 mv
gh 2m
相碰后，的速度 （动量守恒）
v
ghm
m 12m
m 12 mg 习题7-18图 1
弹簧加上时，已伸长
了 m 11kmg 2再加后，需再伸长
m 22k 其重力和弹
性力才能平衡，若以静平衡位置为坐标原点，如图，则系统振
动方程为
k
（2）
x A sin t
m m
kk O
（3）
xA cos t
m
mm
m
x 振动开始于碰撞之末，此
时（t=0）它们的坐标为： m ,m 12
mg
(a)
2
（4）x
km （5）
x v
gh m
m 12、（3）得 时，由（2）
（6） x
A
k
（7）
比较（3）、（6）和（5）、（7）得，
mmg
2
，
2
两边平方，相加得
2k
大学物理第2章质点动力学习题解答 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第2章 质点动力学习题解答 2-17 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒）， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒力而运动。 F=(242+122)1/2=125N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 2-18 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为： j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ，a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 2-19在图示的装置中两物体的质量各为m 1,m 2，物体之间及物体与桌面间的摩擦系数都为μ，求在力F 的作用下两物体的加速度及绳内张力，不计滑轮和绳的质量及轴承摩擦，绳不可伸长。 解：以地为参考系，隔离m 1,m 2，受力及运动情况如图示，其中：f 1=μN 1=μm 1g ， f 2=μN 2=μ(N 1+m 2g)=μ(m 1+m 2)g. 在水平方向对两个质点应用牛二定律： ②①a m T g m m g m F a m g m T 221111)(=-+--=-μμμ ①+②可求得：g m m g m F a μμ-+-= 2 112 将a 代入①中，可求得：2 111) 2(m m g m F m T +-= μ f 1 N 1 m 1T a F N 2 m 2 T a N 1 f 1 f 2
结构动力学思考题 made by 李云屹 思考题一 1、结构动力学与静力学的主要区别是什么？结构的运动方程有什么不同？ 主要区别为： (1)动力学考虑惯性力的影响，静力学不考虑惯性力的影响； (2)动力学中位移等量与时间有关，静力学中位移等量不随时间变化； (3)动力学的求解方法通常与荷载类型有关，静力学一般无关。 运动方程的不同： 动力学的运动方程包括位移项、速度项和加速度项；静力学的平衡方程只包括位移项。 2、什么是动力自由度？什么是静力自由度？区分动力自由度和静力自由度的意义是什么？动力自由度：确定结构体系质量位置的独立参数； 静力自由度：确定结构体系在空间中的几何位置的独立参数。 意义：通过适当的假设，当静力自由度数大于动力自由度数时，使用动力自由度可以减少未知量，简化计算，提高计算效率。 3、采用集中质量法、广义坐标法和有限元法都可以使无限自由度体系简化为有限自由度体系，它们所采用的手法有什么不同？ 4、在结构振动的过程中引起阻尼的原因有哪些？ (1)材料的内摩擦或材料变形引起的热耗散； (2)构件连接处或结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构外部介质的阻尼。 5、在建立结构运动方程时，如考虑重力的影响，动位移的运动方程有无改变？ 如果满足条件： (1)线性问题； (2)重力的影响预先被平衡； 则动位移的运动方程不会改变，否则会改变。 思考题二 1、刚度系数k ij和质量系数m ij的直接物理意义是什么？如何直接用m ij的物理概念建立梁单元的质量矩阵[M]？ k ij：由第j自由度的单位位移所引起的第i自由度的力； m ij：由第j自由度的单位加速度所引起的第i自由度的力。 依次令第j（j=1,2,3,4）自由度产生单位加速度，而其他的广义坐标处保持静止，使用平衡方程解出第i自由度上的力，从而得到m ij，集成得到质量矩阵[M]。
习 题 二 2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。 [解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv (1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 t v m kv d d ==- 所以 t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0 d d 0 得 t m k v v -=0ln 因此 t m k e v v -=0 (2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x v mv kv d d =- 所以 v x m k d d =- 对上式两边积分 ??=-00 0d d v s v x m k 得到 0v s m k -=- 即 k mv s 0 = 2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =--
对上式两边积分 ? ?=--t v m t kv F mg v 00 d d 得 m kt F mg kv F mg -=---ln 即 ??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时 2 T kv mg = 即 k mg v = T 有牛顿第二定律 t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2??=- 得 m t v k mg v k mg = +-ln 整理得 T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得() () () N 1082.710 85.110 63781063788.9132732 63 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 h R v m f +=e 2
《动力学I 》第一章 运动学部分习题参考解答 1－3 解： 运动方程：θtan l y =，其中kt =θ。 将运动方程对时间求导并将0 30=θ代入得 34cos cos 22lk lk l y v ====θ θθ 938cos sin 22 3 2lk lk y a =-==θ θ 1－6 证明：质点做曲线运动,所以n t a a a +=, 设质点的速度为v ,由图可知: a a v v y n cos ==θ，所以: y v v a a n = 将c v y =，ρ 2 n v a = 代入上式可得 ρ c v a 3 = 证毕 1－7 证明：因为n 2 a v =ρ，v a a v a ?==θsin n 所以：v a ?= 3 v ρ 证毕 1－10 解：设初始时,绳索AB 的长度为L ,时刻t 时的长度 为s ,则有关系式： t v L s 0-=，并且 222x l s += 将上面两式对时间求导得： 0v s -= ，x x s s 22= 由此解得：x sv x -= （a ） (a)式可写成：s v x x 0-= ，将该式对时间求导得： 2 02 v v s x x x =-=+ (b) 将(a)式代入(b)式可得：32 20220x l v x x v x a x -=-== （负号说明滑块A 的加速度向上） 1－11 解：设B 点是绳子AB 与圆盘的切点，由于绳子相对圆盘无滑动，所以R v B ω=，由于绳子始终处 于拉直状态，因此绳子上A 、B 两点的速度在 A 、B 两点连线上的投影相等，即： θcos A B v v = （a ） 因为 x R x 2 2cos -= θ （b ） 将上式代入（a ）式得到A 点速度的大小为： 2 2 R x x R v A -=ω （c ） 由于x v A -=，（c ）式可写成：Rx R x x ω=--22 ，将该式两边平方可得： 222222)(x R R x x ω=- 将上式两边对时间求导可得： x x R x x R x x x 2232222)(2ω=-- 将上式消去x 2后，可求得：2 22 42) (R x x R x --=ω 由上式可知滑块A 的加速度方向向左，其大小为 2 22 42) (R x x R a A -=ω 1－13 解：动点：套筒A ； 动系：OA 杆； 定系：机座； 运动分析： 绝对运动：直线运动； 相对运动：直线运动； 牵连运动：定轴转动。 根据速度合成定理 r e a v v v += 有：e a cos v v =?，因为AB 杆平动，所以v v =a ， o v o v a v e v r v x o v x o t
《理论力学》考试知识点 静力学 第一章静力学基础 1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。 2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。 3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。 4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。 第二章力系的简化 1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。 2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。 3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。 4、掌握合力投影定理和合力矩定理。 5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。 第三章力系的平衡条件 1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。 2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。 3、了解静定和静不定问题的概念。 4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。 第四章摩擦 1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。 2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。 运动学 第五章点的运动 1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。 2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。 第六章刚体的基本运动
第十六章结构动力学 【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。 图16-6 【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点： 1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。 2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。
【例16-2】 试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。 【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。 设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则 )(R I y P D I P +δ+?=?+?+?= 式中，)t (q EI 38454P λ=?，EI 483 λ=δ。将它们代入上式，并注意到y m I &&-=，y c R &-=，得 )(48)(38453 4y c y m EI t q EI y &&&λλ--+= 图16-7 经整理后可得 )(t P ky y c y m E =++&&& 式中，3EI 481k λ=δ= ，)(8 5)(t q k t P P E λ=?= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和 实际动荷载引起的位移相等。图a 的相当体系如图f 所示。 【例16-3】 图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和 3 m 质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。 【解】 因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。 这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本
习题二 2-1 质量为m得子弹以速率水平射入沙土中,设子弹所受阻力与速度反向,大小与速度成正比,比例系数为k,忽略子弹得重力,求:(1)子弹射入沙土后,速度大小随时间得变化关系; (2)子弹射入沙土得最大深度。 [解] 设任意时刻子弹得速度为v,子弹进入沙土得最大深度为s,由题意知,子弹所受得阻力f= - kv (1) 由牛顿第二定律 即 所以 对等式两边积分 得 因此 (2) 由牛顿第二定律 即 所以 对上式两边积分 得到 即 2-2 质量为m得小球,在水中受到得浮力为F,当它从静止开始沉降时,受到水得粘滞阻力为f＝kv(k为常数)。若从沉降开始计时,试证明小球在水中竖直沉降得速率v与时间得关系为 [证明] 任意时刻t小球得受力如图所示,取向下为y轴得正方向,开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即 整理得 对上式两边积分 得 即 2-3 跳伞运动员与装备得质量共为m,从伞塔上跳出后立即张伞,受空气得阻力与速率得平方成正比,即。求跳伞员得运动速率v随时间t变化得规律与极限速率。 [解] 设运动员在任一时刻得速率为v,极限速率为,当运动员受得空气阻力等于运动员及装备得重力时,速率达到极限。 此时 即 有牛顿第二定律 整理得 对上式两边积分 得 整理得 2-4 一人造地球卫星质量m=1327kg,在离地面m得高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求:(1)卫星所受向心力f得大小;(2)卫星得速率v;(3)卫星得转动周期T。 [解] 卫星所受得向心力即就是卫星与地球之间得引力
由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f (2) 由牛顿第二定律 ()() s m 1096.61327 1085.11063781082.736 33e ?=?+???=+= m h R f v (3) 卫星得运转周期 ()() 2h3min50s s 1043.710 96.61085.1106378223 3 63e =?=??+?=+=ππv h R T 2-5 试求赤道上方得地球同步卫星距地面得高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ,距地心为R +h ,则 所以 代入第一式中 解得 2-6 两个质量都就是m 得星球,保持在同一圆形轨道上运行,轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ,求:(1)每个星球所受到得合力;(2)每个星球得运行周期。 [解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动,因此,她们受到得合力必须指向圆形轨道得圆心,又因星球不受其她星球得作用,因此,只有这两个星球间得万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径得两个端点上,且其运行得速度周期均相同 (1)每个星球所受得合力 (2) 设运动周期为T 联立上述三式得 所以,每个星球得运行周期 2-7 2-8 2-9 一根线密度为得均匀柔软链条,上端被人用手提住,下端恰好碰到桌面。现将手突然松开,链条下落,设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上,求链条下落距离s 时对桌面得瞬时作用力。 [解] 链条对桌面得作用力由两部分构成:一就是已下落得s 段对桌面得压力,另一部分就是正在下落得段对桌面得冲力,桌面对段得作用力为。显然 时刻,下落桌面部分长s 。设再经过,有落在桌面上。取下落得段链条为研究对象,它在时
《理论力学教程》基础知识 第一章 质点力学 1. 在求解平面曲线运动问题时，可采用平面极坐标系，常将速度矢量分解为径 向速度和横向速度，其表达式分别为：r v r =；θθ r v =；将加速度矢量分解为径向加速度和横向加速度，其表达式分别为2θ r r a r -=； θθθ r r a 2+=。 第2题图 2. 求解线约束问题，通常用内禀方程，它的优点是运动规律和约束反作用力可以分开解算，这套方程可表示为，切向：τF dt dv m =；法向：n n R F v m +=ρ2 ；副法向：b b R F +=0。 3. 试写出直角坐标系表示的质点运动微分方程式x F x m = 、y F y m = 、z F z m = 。 4. 质点在有心力作用下，只能在垂直于动量矩J 的平面内运动，它的两个动力学特征是：（1）对力心的动量矩守恒；（2）机械能守恒。 5. 牛顿运动定律能成立的参考系，叫做惯性系；牛顿运动定律不能成立的参考 系，叫做非惯性系，为了使得牛顿运动定律在此参考系中仍然成立，则需加 上适当的惯性力。 6. 在平面自然坐标系中，切向加速度的表达式为dt dv a =τ，它是由于速度大小改变产生的；法向加速度的表达式为ρ2 v a n =，它是由于速度方向改变产生的。 7. 质心运动定理反映了质点组运动的总趋势，而质心加速度完全取决于作用在
质点组上的外力，而内力不能使质心产生加速度。 第8题图 8. 一质量为m 的小环穿在光滑抛物线状的钢丝上并由A 点向顶点O 运动，其 建立起的运动微分方程为：θsin mg dt dv m =；θρ cos 2 mg R v m -=。 注：此题答案不唯一。 第9题图 9．一物体作斜抛运动，受空气阻力为v mk R -=，若采用直角坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：x x m kv dt dv m -=；y y mkv m g dt dv m --=；若采用自然坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：θsin mg mkv dt dv m --=； θρc o s 2 mg v m =。 10．动量矩定义表达式为v m r J ?=，它在直角坐标系中的分量式为 ()y z z y m J x -=、()z x x z m J y -=、()x y y x m J z -=。
第三篇 动力学 一、选择题（每题2分，共20分） 1．在铅直面内的一块圆板上刻有三道直槽AO ，BO ，CO ，三个质量相等的小球M 1，M 2，M 3在重力作用下自静止开始同时从A ，B ，C 三点分别沿各槽运动，不计摩擦，则________到达O 点。 （A ）M 1小球先； （B ）M 2小球先； （C ）M 3小球先； （D ）三球同时。 题1 题2 题3 2．质量分别为m 1=m ，m 2=2m 的两个小球M 1，M 2用长为L 而重量不计的刚杆相连。现将M 1置于光滑水平面上，且M 1M 2与水平面成?60角。则当无初速释放，M 2球落地时，M 1球移动的水平距离为____________。 （A ）3L ； （B ）4L ； （C ）6L ； （D ）0。 3．质量为m ，长为b 的匀质杆OA ，以匀角速度ω绕O 轴转动。图示位置时，杆的动量及对O 轴的动量矩的大小为________。 （A ）2 ωmb p =，122ωmb L O =； （B ）0=p ，122ωmb L O =； （C ）2ωmb p =，22ωmb L O =； （D ）2 ωmb p =，32ωmb L O =。 4．在_____情况下，跨过滑轮的绳子两边张力相等，即F 1=F 2（不计轴承处摩擦）。 （A ）滑轮保持静止或以匀速转动或滑轮质量不计； （B ）滑轮保持静止或滑轮质量沿轮缘均匀分布； （C ）滑轮保持静止或滑轮质量均匀分布； （D ）滑轮质量均匀分布。 题4 题5 5．均质杆长L ，重P ，均质圆盘直径D =L ，亦重P ，均放置在铅垂平面内，并可绕O 轴转动。初始时杆轴线和圆盘直径均处于水平位置，而后无初速释放，则在达到图示位置瞬时，杆的角速度ω1________圆盘的角速度ω2。 （A ）大于； （B ）小于； （C ）等于； （D ）小于或等于。
第二章质点动力学单元测验题 一、选择题 1.如图，物体A和B的质量分别为2kg和1kg，用跨过定滑轮的细线相连，静 止叠放在倾角为θ=30°的斜面上，各接触面的静摩擦系数均为μ=0.2，现有一沿斜面向下的力F作用在物体A上，则F至少为多大才能使两物体运动. A.3.4N; B.5.9N; C.13.4N; D.14.7N 答案：A 解：设沿斜面方向向下为正方向。A、B静止时，受力平衡。 A在平行于斜面方向：F m g sin T f f 0 A12 B在平行于斜面方向：1sin0 f m g T B 静摩擦力的极值条件：f1m g cos， B f m m g 2(B A)cos 联立可得使两物体运动的最小力F min满足： F min (m B m A)g sin (3m B m A )g cos=3.6N 2.一质量为m的汽艇在湖水中以速率v0直线运动，当关闭发动机后，受水的阻力为f=-kv，则速度随时间的变化关系为 A.v k t =v e m; B. v= -t k t v e m 0; C. v=v + k m t ; D. v=v - k m t 答案：B 解：以关闭发动机时刻汽艇所在的位置为原点和计时零点，以v0方向为正方向建立坐标系. 牛顿第二定律： dv ma m kv dt 整理： d v v k m dt
积分得：v= - v e k t m 3.质量分别为m和m（ 12m m）的两个人，分别拉住跨在定滑轮（忽略质量）21 上的轻绳两边往上爬。开始时两人至定滑轮的距离都是h.质量为m的人经过t 1 秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为 2 m m1m-m1 1; C.1(h gt2)2h gt 1 2 A.0; B.h+; D.(+) m m2m2 222 答案：D 解：如图建立坐标系，选竖直向下为正方向。设人与绳之间的静摩擦力为f，当 质量为m的人经过t秒爬到滑轮处时，质量为m的人与滑轮的距离为h'，对二者12 分别列动力学方程。 对m： 1 f m g m a m 11m1 1 dv m 1 dt 对m： 2 f m g m a m 22m2 2 dv m 2 dt 将上两式对t求积分，可得： fdt m gt m v m 11m1 1dy m 1 dt fdt m gt m v m 22m2 2dy m 2 dt 再将上两式对t求积分，可得： 1 fdt m gt 0m h 22 11 2 1 fdt m gt m h m h 22 222 2
理论力学》考试知识点 静力学 第一章静力学基础 1、掌握平衡、刚体、力的概念以及等效力系和平衡力系，静力学公理。 2、掌握柔性体约束、光滑接触面约束、光滑铰链约束、固定端约束和球铰链的性质。 3、熟练掌握如何计算力的投影和平面力对点的矩，掌握空间力对点的矩和力对轴之矩的计算方法，以及力对轴的矩与对该轴上任一点的矩之间的关系。 4、对简单的物体系统，熟练掌握取分离体并画出受力图。 第二章力系的简化 1、掌握力偶和力偶矩矢的概念以及力偶的性质。 2、掌握汇交力系、平行力系、力偶系的简化方法和简化结果。 3、熟练掌握如何计算主矢和主矩；掌握力的平移定理和空间一般力系和平面力系的简化方法和简化结果。 4、掌握合力投影定理和合力矩定理。 5、掌握计算平行力系中心的方法以及利用分割法和负面积法计算物体重心。 第三章力系的平衡条件 1、了解运用空间力系（包括空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系）的平衡条件求解单个物体和简单物体系的平衡问题。 2、熟练掌握平面力系（包括平面汇交力系、平面平行力系和平面力偶系）的平衡条件及其平面力系平衡方程的各种形式；熟练掌握利用平面力
系平衡条件求解单个物体和物体系的平衡问题。 3、了解静定和静不定问题的概念 4、掌握平面静定桁架计算内力的节点法和截面法，掌握判断零力杆的方法。 第四章摩擦 1、掌握运用平衡条件求解平面物体系的考虑滑动摩擦的平衡问题。 2、了解极限摩擦定律、滑动摩擦系数、摩擦角、自锁现象、摩阻的概念。 运动学 第五章点的运动 1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动方程。 2、熟练掌握如何计算点的速度、加速度及其有关问题。 第六章刚体的基本运动 1、掌握刚体平动和定轴转动的特征；掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度；掌握定轴转动刚体角速度矢量和角加速度矢量的概念以及刚体内各点的速度和加速度的矢积表达式。 2、熟练掌握如何计算定轴转动刚体的角速度和角加速度、刚体内各点的速度和加速度。 第七章点的复合运动 1、掌握运动合成和分解的基本概念和方法。 2、理解哥氏加速度的原理。 3、熟练掌握点的速度合成定理和牵连运动为平动时的加速度合成定理的应用。
本篇接着阐述理论力学动力学中的核心观念。阐述的方式依旧是回答几个问题。 问题1：动力学的基本问题是什么？ 答案：虽然书上有关于动力学问题的许多说法，但是就实际应用而言，对于我们机械专业而言，我们所遇到的最常见的动力学问题是，在一个机构上的原动件受到了力（偶），我们要得到机构上各构件的速度和加速度。或者已知了速度和加速度，要反推这个力（偶）是多少。 下图就是这样一个例子。在OA杆上施加一个驱动力偶，各个杆件都有重力，我们要计算此时各约束处的约束力的大小，还需要计算CD杆的速度和加速度。 该问题中，力与运动交织在一起，这就是机构的动力学问题，也是机械中经常遇到的问题。 问题2：如何求解动力学问题？ 答案： 解决动力徐问题的方法很多。我们只要谈两种方法：第一种是通用解法，第二种是动静法（达朗伯原理）。 通用解法，是指面对一个动力学问题，我们总是有一套很程序化的思路来求解它，这套思路中，我们会使用刚体平面运动的微分方程。使用这种方法，我们几乎不用思考，就可以列出所有的方程，解决所有的未知数。例如，对上面这个问题，如果它已知M，要求CD杆的加速度。则使用通用解法，我们可以同时求出AB杆，BE,CD杆的加速度，也可以求出A,B,C,D,E 处所有的约束力。使用通用解法，我们几乎不用关注题目要求什么，而总是可以求出所有的未知数。 动静法，是说把这个动力学问题从形式上变成静力学问题，然后再借用静力学的求解方法来计算所需要的未知数。动静法之所以能够把动力学问题变成静力学问题，是因为它把加速度变成了惯性力，然后对于系统中的每一个构件，形成了一个力系平衡的问题。而我们之所以使用动静法，是因为对于静力学问题，我们有很多解题技巧，例如取整体为对象，或者取某几个构件一起为对象，或者对任何一个点取力矩，这些优越性，都是刚体平面运动微分方程所不具备的。 问题3：如何使用通用解法求解动力学问题？
第一章 单自由度系统 1、1 总结求单自由度系统固有频率的方法与步骤。 单自由度系统固有频率求法有:牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法与能量守恒定理法。 1、 牛顿第二定律法 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析,得到系统所受的合力; (2) 利用牛顿第二定律∑=F x m && ,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 2、 动量距定理法 适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析; (2) 利用动量距定理J ∑=M θ &&,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 3、 拉格朗日方程法: 适用范围:所有的单自由度系统的振动。 解题步骤:(1)设系统的广义坐标为θ,写出系统对于坐标θ的动能T 与势能U 的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U ; (2)由格朗日方程 θθ ??- ???L L dt )(&=0,得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 4、 能量守恒定理法 适用范围:所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。 解题步骤:(1)对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 与势能U 的表达式;进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const (2)将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即 0) (=+dt U T d ,进一步得到系统的运动微分方程; (3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。 1、2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。 用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。 方法一:衰减曲线法。 求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值i A 、1+i A 。 (2)由对数衰减率定义 )ln( 1 +=i i A A δ, 进一步推导有 2 12ζ πζδ-= ,
习题二 2-1质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系；(2)子弹射入沙土的最大深度。 [解]设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力f =-kv (1)由牛顿第二定律t v m ma f d d == 即t v m kv d d ==- 所以t m k v v d d -= 对等式两边积分 ??-=t v v t m k v v 0d d 0 得t m k v v -=0ln 因此t m k e v v -=0 (2)由牛顿第二定律x v mv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即x v mv kv d d =- 所以v x m k d d =- 对上式两边积分??=- 000d d v s v x m k 得到0v s m k -=- 即k mv s 0 = 2-2质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为 [证明]任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向， 开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得 即t v m ma kv F mg d d ==-- 整理得 m t kv F mg v d d =--
对上式两边积分 ? ?=--t v m t kv F mg v 00 d d 得m kt F mg kv F mg -=---ln 即??? ? ??--= -m kt e k F mg v 1 2-3跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。 [解]设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。 此时2 T kv mg = 即k mg v = T 有牛顿第二定律t v m kv mg d d 2=- 整理得 m t kv mg v d d 2= - 对上式两边积分 mgk m t kv mg v t v 21d d 00 2??=- 得m t v k mg v k mg = +-ln 整理得T 22221 111v e e k mg e e v kg m t kg m t kg m t kg m t +-=+-= 2-4一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1?=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。 [解]卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()() () N 1082.71085.110 63781063788.9132732 6 3 2 32 e 2 e ?=?+??? ?=+=h R R mg f
质点动力学的基本方程 知识总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。 求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 动量定理 知识点总结 1.牛顿三定律适用于惯性参考系。 质点具有惯性，以其质量度量； 作用于质点的力与其加速度成比例； 作用与反作用力等值、反向、共线，分别作用于两个物体上。 2.质点动力学的基本方程。 质点动力学的基本方程为，应用时取投影形式。 3.质点动力学可分为两类基本问题。 质点动力学可分为两类基本问题： （1）. 已知质点的运动，求作用于质点的力； （2）. 已知作用于质点的力，求质点的运动。
求解第一类问题，需先求得质点的加速度；求解第二类问题，一般是积分的过程。质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关，这两类的综合问题称为混合问题。 常见问题 问题一在动力学中质心意义重大。质点系动量，它只取决于质点系质量及质心速度。 问题二质心加速度取决于外力主失，而与各力作用点无关，这一点需特别注意。 动量矩定理 知识点总结 1.动量矩。 质点对点O 的动量矩是矢量。 质点系对点O 的动量矩是矢量。 若z 轴通过点O ，则质点系对于z 轴的动量矩为 。 若 C 为质点系的质心，对任一点O 有。 2.动量矩定理。 对于定点O 和定轴z 有 若 C 为质心，C z 轴通过质心，有
1.1 不计轴向变形，图示体系的振动自由度为2。 1.2 不计轴向变形，图示体系的振动自由度为1。 1.3 不计轴向变形，图示体系的振动自由度为2。 1.4 结构的自振频率不仅与质量和刚度有关，还与干扰力有关。 1.5 单自由度体系，考虑阻尼时，频率变小。 1.6 弹性力与位移反向，惯性力与加速度反向，阻尼力与速度反向。 1.7 如简谐荷载作用在单自由度体系的质点上且沿着振动方向，体系各截面的内力和位移动力系数相同。 1.8 在建立质点振动微分方程时，考虑不考虑质点的重力，对动位移无影响。 1.9 图示体系在简谐荷载作用下，不论频率比如何，动位移y(t) 总是与荷载P(t) 同向。 1.10 多自由度体系自由振动过程中，某一主振型的惯性力不会在其它主振型上做功。 二、单项选择题 2.1 在单自由度体系受迫振动的动位移幅值计算公式中，yst是 A 质量的重力所引起的静位移 B 动荷载的幅值所引起的静位移 C 动荷载引起的动位移 D 质量的重力和动荷载复制所引起的静位移 2.2 无阻尼单自由度体系的自由振动方程：。则质点的振幅y max= 2.3 多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系是 2.4 图示四结构，柱子的刚度、高度相同，横梁刚度为无穷大，质量相同，集中在横梁上。它们的自振频率自左至右分别为ω1，ω2，ω3，ω4，那么它们的关系是
2.5 图示四结构，柱子的刚度、高度相同，横梁刚度为无穷大，质量相同，集中在横梁上。它们的自振频率自左至右分别为ω1，ω2，ω3，ω4，那么它们的关系是 2.6 已知两个自由度体系的质量矩阵为，Y22等于 A －0.5 B 0. 5 C 1 D －0.25 2.7 不计阻尼，不计自重，不考虑杆件的轴向变形，图示体系的自振频率为 2.8 图示四个相同的桁架，只是集中质量m的位置不同，，它们的自振频率自左至右分别为ω1，ω2，ω3，ω4，（忽略阻尼及竖向振动作用，各杆EA为常数），那么它们的关系是 2.9 设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是 A ω越大β也越大 B θ越大β也越大 C θ/ω越接近1，β绝对值越大Dθ/ω越大β也越大 2.10 当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是
第二章 质点动力学 2－1一物体从一倾角为30的斜面底部以初速v 0=10m·s 1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s 1,求该物体与斜面间的摩擦系数。 解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30 物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得 22011 2(1) 22 mv mv f s -=-? 物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得 201 0sin 302 mv f s mgh f s mgs -=-?-=-?- 20 (2) (31) s g u ∴= - 把式（2）代入式（1）得， () 22 2 20 0.198 3u v v = + 2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。 解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T .取
如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得 2 2 sin (1) cos (2) t n dv F mg m dt v F T mg m R αα=-==-= 由,,1ds rd rd v dt dt dt v αα = ==得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有， 90 2 n (sin )2cos 2cos /m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v gr v g r r v mg mg r mg α αα αωααα α=-===+==-=-? ?得则小球在点C 的角速度为 ＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向 2－3如本题图，一倾角为 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放 一质量为m 的木块，两者间摩擦系数为，为使木块相对斜面静止， 求斜面的加速度a 应满足的条件。 解：如图所示
第二章 质点动力学习题答案 2-1一个质量为P 的质点，在光滑的固定斜面（倾角为α）上以初速度0v 运动，0v 的方向 与斜面底边的水平线AB 平行，如图所示，求这质点的运动轨道. 解: 物体置于斜面上受到重力mg ，斜面支持力N .建立坐标：取0v 方向为X 轴，平行 斜面与X 轴垂直方向为Y 轴.如图2-1. 图2-1 X 方向： 0=x F t v x 0= ① Y 方向： y y ma mg F ==αsin ② 0=t 时 0=y 0=y v 2 sin 2 1t g y α= 由①、②式消去t ，得 2 2 sin 21x g v y ?= α 2-2 质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值为f KV =，K 为 常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度. 解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，重力P 及空气阻力f ⑶牛顿第二定律： 合力：f P F += a m f P =+ y 分量：dt dV m KV mg =-- dt KV mg mdV -=+? 即 dt m KV mg dV 1- =+ ? ? - = +t v v dt m KV mg dV 10
dt m KV mg KV mg K 1ln 10 - =++ )(0KV mg e KV mg t m K +?=+- mg K e KV mg K V t m K 1)(10- += ?- ① 0=V 时，物体达到了最高点，可有0t 为 )1ln(ln 00 0mg KV K m mg KV mg K m t + = += ② ∵ dt dy V = ∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t t m K t y ? ?? ?? ????-+= = -0 1)(1 mgt K e KV mg K m y t m K 11)(02 -??????-+- =- 021()1K t m m mg KV e mgt K K -+--??=???? ③ 0t t = 时，max y y =， )1ln(11)(0)1ln(02 max 0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg KV K m m K +?- ??? ?????-+= +?- )1ln(11)(0 2 2 002 mg KV g K m mg KV mg KV mg K m +-?? ??? ? ?????? +-+= )1ln() (02 20 002 mg KV g K m KV mg KV KV mg K m + - ++= )1ln(02 20mg KV g K m K mV + - = 2-3 一条质量为m ，长为l 的匀质链条，放在一光滑的水平桌面，链子的一端由极小的一 段长度被推出桌子边缘，在重力作用下开始下落，试求链条刚刚离开桌面时的速度.