第十七章推理与证明
★知识网络★
第1讲合情推理和演绎推理
★知识梳理★
1.推理
根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.
从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.
2、合情推理:
根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。
合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：
（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理
（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
3.演绎推理:
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。
★重难点突破★
重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系
难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律
重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明
1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性
问题1；….
对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____.
点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a
2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征
问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与
抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真
命题为 ．
点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一
直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22
2||a
b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理
问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]=
点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3
★热点考点题型探析★
考点1 合情推理
题型1 用归纳推理发现规律
[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。
2
3135sin 75sin 15sin 020202=++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；2
3180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：23)60(sin sin )60(sin 02202=
+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin
)60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2
3)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型
（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”
（周期性）
[例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂
巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂
巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图
有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以
()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.
【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式
[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f
133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f
【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系
【新题导练】
1. (2008佛山二模文、理)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：
2213=+ 23135=++ 241357=+++
3235=+ 337911=++ 3413151719=+++
根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的
值为___ .
[解析]3m 的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，12
+-m m ，…，
由7312=+-m m 得9=m
2. (2008惠州调研二理)函数()f x 由下表定义： 若05a =，1()n n a f a +=，
0,1,2,n = ，则2007a = 4 ．
[解析]50=a ，21=a ，12=a ，43=a ， ,54=a ，n n a a =∴+4，432007==a a
点评：本题为循环型
3. (2008深圳调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北
京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，
则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）
[解析])1(4)1()(,41
)5(-=--=n n f n f f 4. (2008揭阳一模)
设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +==== ,,n N *
∈
则2008()f x =（ ）
A. sin x -
B. cos x -
C. sin x
D. cos x
x
2 5
3 1
4 ()f x 1 2 3 4 5
[解析]x x f cos )(0=，x x f sin )(1-=，x x f cos )(2-=，x x f sin )(3=，x x f cos )(4=，
)()(4x f x f n n =+，2008()f x =x x f cos )(0=
题型2 用类比推理猜想新的命题
[例1 ] (2008韶关调研)已知正三角形内切圆的半径是高的
13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______.
【解题思路】从方法的类比入手
[解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??==
，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4
1 【名师指引】（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比
（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；
实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等
[例2 ] 在ABC ?中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性
质,并证明你的猜想
【解题思路】考虑两条直角边互相垂直如何类比到空间以及两条直角边与斜边所成的角如何
类比到空间
[解析]由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥ABC P -中，三个侧面PCA PBC PAB ,,两
两垂直，且与底面所成的角分别为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα”
证明：设P 在平面ABC 的射影为O ，延长CO 交AB 于M ，记h PO =
由PB PC PA PC ⊥⊥,得PAB PC 面⊥，从而PM PC ⊥，又α=∠PMC
PC h PCO =
∠=sin cos α，PA h =βcos ，PB
h =γcos h PA PC PC PB PB PA PC PB PA V ABC P ??+?+?=??=-)cos 2
1cos 21cos 21(3161γβα 1)cos cos cos (=++∴h PB PA PC γβα即1cos cos cos 222=++γβα 【名师指引】（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体
积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对
应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等
【新题导练】
5. (2008深圳二模文)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平
面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为2
4
a ．类比到空间，有两个棱长
均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒
为 ．
[解析]解法的类比（特殊化），易得两个正方体重叠部分的体积为8
3
a 6. (2008梅州一模)已知ABC ?的三边长为c
b a ,,，内切圆半径为r （用
的面积表示ABC S ABC ??）
，则ABC S ?)(2
1c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V
[解析] )1(3ABC ABD ACD BCD R S S S S ????+++ 7. (2008届广东省东莞市高三理科数学高考模拟题（二）)
在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为
22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为
________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.
[解析] 0Ax By Cz D +++=；2222000()()()x x y y z z r -+-+-=
8. 对于一元二次方程，有以下正确命题：如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，方程
01121=++c x b x a 和02222=++c x b x a 在复数集上的解集分别是A 和B ，则“2
12121c c b b a a ==”是“B A =”的充分必要条件． 试对两个一元二次不等式的解集写出类似的结果，并加以证明．
解：（3）如果系数111,,c b a 和222,,c b a 都是非零实数，不等式01121>++c x b x a 和
02222>++c x b x a 的解集分别是A 和B ，则“2
12121c c b b a a ==”是“B A =”的既不充分也不必要条件．可以举反例加以说明．
9.已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起,如果每一项与它的前一项的差都为同一
个常数，那么这个数叫做等差数列，这个常数叫做该数列的公差．
类比等差数列的定义给出“等和数列”的定义： ；
已知数列{}n a 是等和数列，且21=a ，公和为5，那么18a 的值为____________．这个数列
的前n 项和n S 的计算公式为_____________________________________．
[解析]在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数叫做等和数
列，这个常数叫做该数列的公和；318=a ；=n S ???
????=-为偶数为奇数n n y n n ,25,215 考点2 演绎推理
题型:利用“三段论”进行推理
[例1 ] （07启东中学模拟）某校对文明班的评选设计了e d c b a ,,,,五个方面的多元评价指标，
并通过经验公式样e
d c b a S 1++=来计算各班的综合得分，S 的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项指标显示出a b
e d c <<<<<0，则下阶段要把其中一个指标的值增加
1个单位，而使得S 的值增加最多，那么该指标应为 ．（填入e d c b a ,,,,中的某个字
母）
【解题思路】从分式的性质中寻找S 值的变化规律
[解析] 因e d c b a ,,,,都为正数，故分子越大或分母越小时， S 的值越大，而在分子都增加1
的前提下，分母越小时，S 的值增长越多，a b e d c <<<<<0 ，所以c 增大1个单位会
使得S 的值增加最多
【名师指引】此题的大前提是隐含的，需要经过思考才能得到
[例2 ] （03上海）已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x
∈R ，有f (x+T )=T f (x )成立.
（1）函数f (x )= x 是否属于集合M ？说明理由；
（2）设函数f (x )=a x （a >0,且a ≠1）的图象与y=x 的图象有公共点，证明： f (x )=a x ∈M ；
（3）若函数f (x )=sin kx ∈M ,求实数k 的取值范围.
【解题思路】函数f (x )是否属于集合M ，要看f (x )是否满足集合M 的“定义”，
[解]（1）对于非零常数T ，f (x +T)=x +T, T f (x )=T x . 因为对任意x ∈R ，x +T= T x 不能恒成立，所以
f (x )=.M x ?
（2）因为函数f (x )=a x （a >0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点，
所以方程组：???==x
y a y x
有解，消去y 得a x =x , 显然x =0不是方程a x =x 的解，所以存在非零常数T ，使a T =T.
于是对于f (x )=a x 有)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =?=?==++ 故f (x )=a x ∈M.
（3）当k=0时，f (x )=0，显然f (x )=0∈M.
当k ≠0时，因为f (x )=sin kx ∈M ，所以存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有
f (x +T)=T f (x )成立，即sin(kx +k T)=Tsin kx .
因为k ≠0，且x ∈R ，所以kx ∈R ，kx +k T ∈R ，
于是sin kx ∈[－1，1]，sin(kx +k T) ∈[－1，1]，
故要使sin(kx +k T)=Tsin kx .成立，
只有T=1±，当T=1时，sin(kx +k )=sin kx 成立，则k =2m π, m ∈Z .
当T=－1时，sin(kx －k )=－sin kx 成立，
即sin(kx －k +π)= sin kx 成立，
则－k +π=2m π, m ∈Z ，即k =－2(m －1) π, m ∈Z .
实数k 的取值范围是{k |k = m π, m ∈Z}
【名师指引】学会紧扣“定义”解题
【新题导练】
10. (2008珠海质检理)定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”，它的长度|*|||||sin ,a b a b θθ=?? 其中为向量a 和b
的夹角，若(2,0),(1,|*()|u u v u u v =-=+ 则= .
[解析]=+*∴>=+<=+=|)(|2
1,sin ),3,3(),3,1(v u u v u u v u
v 11. (2008深圳二模文)一个质点从A 出发依次沿图中线段到达B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、
I 、J 各点，最后又回到A （如图所示）
，其中：AB BC ⊥， ////////AB CD EF HG IJ ，////BC DE ////FG HI JA ．
欲知此质点所走路程，至少需要测量n 条线段的长度，
则n =（ B ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
[解析]只需测量GH BC AB ,,3条线段的长
12. (2008惠州调研二)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），
接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文
d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文
14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）．
A ． 4，6，1，7
B ． 7，6，1，4
C ． 6，4，1，7
D ． 1，6，4，7
[解析] 由???????==+=+=+16418327252d d c c b b a 得???????====7
146d c b a ，选C 13.对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“?”
为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，
若(1,2)(,)(5,0)p q ?=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）
A ．(4,0)
B ．(2,0)
C ．(0,2)
D ．(0,4)-
解：由题意，???=+=-0252q p q p ，解得?
??-==211p ，所以正确答案为（B ）． 点评：实际上，本题所定义的实数对的两种运算就是复数的乘法与加法运算．我们可以把该
题还原为：已知复数z 满足5)21(=+z i ，则=++z i )21(_____________．
★抢分频道★
基础巩固训练
1、对于集合A,B,定义运算}|{B x A x x B A ?∈=-且，则)(B A A --=（ ）
A.B
B.A
C.B A ?
D. B A ?
[解析]D [用图示法]
2、命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，
推理错误的原因是
A ．使用了归纳推理
B ．使用了类比推理
C ．使用了“三段论”，但大前提错误
D ．使用了“三段论”，但小前提错误
[解析]大前提是特指命题，而小前提是全称命题，故选C
3、（华南师大附中2007—2008学年度高三综合测试（三））
给出下面类比推理命题（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：
①“若b a b a R b a =?=-∈0，则、”类比推出“b a b a C c a =?=-∈0,则、”
②“若d b c a di c bi a R d c b a ==?+=+∈,，则复数、、、”类比推出 “d b c a d c b a Q d c b a ==?+=+∈,22，则、、、”
③“若b a b a R b a >?>-∈0，则、、”类比推出“若b a b a C b a >?>-∈0,则、”
④“若111||<<-?<∈x x R x ，则”类比推出“若111||<<-?<∈z z C z ，则”
其中类比结论正确．．．．的个数有 （ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[解析] 类比结论正确的只有①
4、如图第n 个图形是由正ｎ＋２边形“扩展”而来,（ｎ＝１，２，３，…）。则第n －2
个图形中共有 个顶点。
[解析] 设第n 个图中有n a 个顶点，则3331?+=a ，4442?+=a ，n n n a n ?+=, ，
232)2(222+-=-+-=-n n n n a n
5、如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ， 都有)()()()(2121n
x x x f n x f x f x f n n +++≤+++ .若x y sin =在区间(0,)π上是凸
函数，那么在?ABC 中，C B A sin sin sin ++的最大值是________________.
[解析] ==++≤++3sin 33sin 3sin sin sin πC B A C B
A 6、类比平面向量基本定理:“如果21,e e 是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面内任一向量，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e λλ+=”，写出空间向量基本定理是：
[解
析] 如果321,,e e e 是空间三个不共面的向量，那么对于空间内任一向量a ，有且只有一对实数
321,,λλλ，使得332211e e e a λλλ++=
综合提高训练
7、(2008汕头一模)设P 是ABC ?内一点，ABC ?三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P
到三边的距离依次为a l 、b l 、c l ，则有
a b c A B C
l l l h h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。
[解析]用等面积法可得，a b c A B C
l l l h h h ++=1，类比到空间有1=+++D d C c B b A a h l h l h l h l 8、(2008惠州一模)设 ()11x f x x +=
-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2008f x =（ ）
A ．
11x x +-； B ．11x x -+； C ．x ； D ．1x
-； [解析] C x x x f -+=11)(1，x x f 1)(2-=，1
1)(3+-=x x x f ，x x f =)(4，)()(4x f x f n n =∴+ x x f x f ==)()(42008 9、（1）已知等差数列{}n a ，n
a a a
b n n +++= 21（N n ∈），求证：{}n b 仍为等差数列； （2）已知等比数列{}n
c ，0>n c （N n ∈），类比上述性质，写出一个真命题并加以证
明．
[解析]（1）2
2)
(11n n n a a n a a n b +=+=，211n n n n a a b b -=-++， {}n a 为等差数列2
211d a a b b n n n n =-=-∴++为常数，所以{}n b 仍为等差数列；
（2）类比命题：若{}n c 为等比数列，0>n c （*
N n ∈），n n n c c c d ???= 21，则{}n d 为等比数列
证明：n n n
n n c c c c d 121)(=?=，q c c d d n
n n n ==++11为常数，{}n d 为等比数列 10、我们将具有下列性质的所有函数组成集合M ：函数()()y f x x D =∈，对任意
,,
2x y x y D +∈均满足1()[()()]22
x y f f x f y +≥+，当且仅当x y =时等号成立。 （1）若定义在(0，＋∞)上的函数()f x ∈M ，试比较(3)(5)f f +与2(4)f 大小. （2）设函数g(x)＝－x 2，求证：g(x)∈M .
[解析] (1)对于1(
)[()()]22
x y f f x f y +≥+，令5,3==y x 得(3)(5)f f +<2(4)f (2)24)()]()([21)2(22212212121x x x x x g x g x x g +++-=+-+04
)(2
21≥+=x x )]()([21)2(2121x g x g x x g +≥+∴ ,所以g(x)∈M
第2讲 直接证明与间接证明
★知识梳理★
三种证明方法的定义与步骤：
1. 综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理
等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法。
2. 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直
到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、公理、定理等）
为止的证明方法。
3.假设原命题的结论不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,由此说明假设错误,从而证明了
原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方法.用这种方法证明一个命题的一
般步骤：(1) 假设命题的结论不成立； (2) 根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止
(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立
★重难点突破★
重点：能熟练运用三种证明方法分析问题或证明数学命题
难点：运用三种方法提高分析问题和解决问题的能力
重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证
明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题
1.从命题的特点、形式去选择证明方法
①一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或否定性命题，或要讨论的情况很
复杂的，可以考虑用反证法②一般地，含分式、根式的不等式，或从条件出发思路不明显的
命题，可以考虑用分析法③命题的结论有明确的证明方向的，适宜用综合法
问题1：对于任意非零实数)(,y x y x -≠，等式y
x y x +=+111总不成立 点拨：从命题的形式特点看，适合用反证法证明
2.比较复杂的命题，有时需要多种证明方法综合运用，各取所长。
★热点考点题型探析★
考点1 综合法
题型：用综合法证明数学命题
[例1 ] (东莞2007—2008学年度第一学期高三调研测试)
对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有
()0f x ≥；②(1)1f =；
③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．
(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；
(2)判断函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）是否为理想函数，并予以证明；
【解题思路】证明函数()21x g x =-（]1,0[∈x ）满足三个条件
[解析]（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤?+≥f f f f ．
又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．
（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；
也满足条件②1)1(=g ．若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则
)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g
0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，
故)(x g 理想函数．
【名师指引】紧扣定义，逐个验证
【新题导练】
1.(2008年佛山)证明:若0,>b a ,则2
lg lg 2lg b a b a +≥+ [解析]当0,>b a 时，
ab b a ≥+2
， 两边取对数，得ab b a lg 2
lg ≥+， 又2
lg lg 2lg lg b a ab ab +=== ∴当0,>b a 时2lg lg 2lg b a b a +≥+ 2.在锐角三角形ABC 中,求证:C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++
[解析]ABC ? 为锐角三角形，B A B A ->∴>+∴22π
π
，
个 个 x y sin = 在)2
,0(π上是增函数，B B A cos )2sin(sin =->∴π
同理可得C B cos sin >，A C cos sin > C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++∴
3. .已知数列{}n a 中各项为：12、1122、111222、……、111n ?????? 222n
?????? ……,证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
[解析]12(101)10(101)99
n n n n a =
-?+?- 1(101)(102)9n n =-?+ 101101()(1)33
n n --=?+ 记：A =1013n - , 则A=333n ?????? 为整数 ∴ n a = A (A+1) ， 得证
考点2 分析法
题型：用分析法证明数学命题
[例2 ] 已知0>>b a ,求证b a b a -<-
[解析]要证b a b a -<-，只需证22)()(b a b a -<-
即b a ab b a -<-+2，只需证ab b <，即证a b <
显然a b <成立，因此b a b a -<-成立
【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证---只需证---”，而不是“因为---所以---”
【新题导练】
4. 若0>>>>d c b a 且c b d a +=+，求证：c b a d +<+
[解析]要证c b a d +<+，只需证22)()(c b a d +<+
即bc c b ad d a 22++<++，因c b d a +=+，只需证bc ad <
即bc ad <，
设t c b d a =+=+，则0))(()()(<-+-=---=-t d c d c c c t d d t bc ad
bc ad <∴成立，从而c b a d +<+成立
个
5. 已知1,,=+∈b a R b a ，求证：2
25)2()2(2
2≥+++b a [解析] 225)2()2(22≥+++b a 2258)(422≥++++?b a b a 2
122≥+?b a 21)1(22≥-+?a a 0)2
1(2≥-?a ， 0)21(2≥-a 显然成立，故225)2()2(22≥+++b a 成立 考点2 反证法
题型：用反证法证明数学命题或判断命题的真假
[例3 ] 已知)1(1
2)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾
[解析]假设0x 是0)(=x f 的负数根，则00 2000+--=x x a x 11 2010000<+-- 【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多 【新题导练】 6. （08江西5校联考）某个命题与正整数n 有关，若)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可 推得1+=k n 时该命题也成立，现在已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得 A.当6=n 时，该命题不成立 B.当6=n 时，该命题成立 C.当4=n 时，该命题不成立 D.当4=n 时，该命题成立 [解析]用反证法，可证当4=n 时，该命题不成立 7.设a 、b 、c 都是正数，则b a 1+、c b 1+、a c 1+三个数 A.都大于2 B.都小于2 C. 至少有一个大于2 D. 至少有一个不小于2 [解析] b a c b a 10,,,+ ∴> b a 1++61≥++a c ，举反例可排除A 、B 、C ，故选D 8.已知a 、b 、c 成等差数列且公差0≠ d ，求证：a 1、b 1、c 1不可能成等差数列 [解析] a 、b 、c 成等差数列，c a b +=∴2 假设a 1、b 1、c 1成等差数列，则0)(4)(11222=-?=+?+=c a ac c a c a b ，c a =∴从而0=d 与0≠d 矛盾，a 1∴、b 1、c 1不可能成等差数列 9. （广东省深圳市宝安中学、翠园中学2009届高三第一学期期中联合考试） 下列表中的对数值有且仅有一个是错误的： 请将错误的一个改正为lg = [解析]3lg 29lg = ，所以3和9的对数值正确，若1315lg ++-=c b a 正确，则c a +≠5lg 从而)5lg 1(38lg -≠，即c a 3338lg --≠，矛盾。 故15的对数值错误，应改正为c b a +-=315lg ★抢分频道★ 基础巩固训练 1.（2008年华师附中）用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于0 60”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于060 B. 三个内角都大于060 C. 三个内角至多有一个大于060 D. 三个内角至多有两个大于060 [解析] B 2.已知233=+q p ，关于q p +的取值范围的说法正确的是（ ） A. 不大于22 B.不大于2 C.不小于2 D.不小于22 [解析] B 3.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 [解析] B 4.要证明不等式52276+>+成立，只需证明： [解析] 22)522()76(+>+ 5.已知 2 2222 +++a a 与22的大小关系是 [解析] 22222+++a a 22>（注意：不能取等号）[用平均值不等式] 6. (07年惠州第一问)已知数列{}n a 满足15a =, 25a =，116(2)n n n a a a n +-=+≥． 求证：{}12n n a a ++是等比数列； [解析]由a n ＋1＝a n ＋6a n －1，a n ＋1＋2a n ＝3(a n ＋2a n －1) (n≥2) ∵a 1＝5，a 2＝5 ∴a 2＋2a 1＝15 故数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列 综合提高训练 7. （金山中学2009届高三期中考）已知表中的对数值有且只有两个是错误的： 请你指出这两个错误 ．（答案写成如lg20≠a ＋b －c 的形式） [解析]若b a +=23lg 错误，则)2(29lg b a +=也错误，反之亦然，此时其他对数值都正确，但9lg 2416lg 5.1lg ≠-+=+b a ， b a +=∴23lg 、)2(29lg b a +=且 c b a +-≠35.1lg ， 若c a +=5lg 错误，则c b a --+=-+=15lg 3lg 16lg 也错误， c a +=∴5lg 正确 若c b a --+=16lg 错误，也能导出c a +=5lg 错误，c b a --+=∴16lg 正确，)1(3)3lg 6(lg 38lg c a --=-=∴正确，b a 2112lg +-≠∴， 综上c b a +-≠35.1lg ，b a 2112lg +-≠ 8. 设函数1 222)(+-+?=x x a a x f 为奇函数. （Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）用定义法判断)(x f 在其定义域上为增函数 [解析]（Ⅰ）依题意，函数)(x f 的定义域为R ∵)(x f 是奇函数 ∴)()(x f x f -=- ∴1 2221222+-+?-=+-+?--x x x x a a a a ∴0)12)(1(2=+-x a 1=∴a （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1 212)(+-=x x x f 设12x x <且12,x x R ∈，则 21()()f x f x - 212121212121 x x x x --=-++ 2122112121x x ????=--- ? ?++???? 0) 12)(12()22(21212>++-=x x x x ∴)()(12x f x f > ∴)(x f 在R 上是增函数 9. 已知x x f ln )(=证明： )1()1(->≤+x x x f [解析]即证：0)1ln(≤-+x x 设1 111)(,)1ln()(+-=-+='-+=x x x x k x x x k 则. 当x ∈（-1，0）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数； 当x ∈（0，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数； ∴x =0为k(x )的极大值点， ∴k(x )≤k(0)=0. 即0)1ln(≤-+x x )1()1(->≤+∴x x x f 10. 已知函数||1y x =+，y =11()2t y x x -=+(0)x > 的最小值恰好是方程320x ax bx c +++=的三个根，其中01t <<．求证：223a b =+； [解析]三个函数的最小值依次为1 由(1)0f =，得1c a b =--- ∴ 3232 ()(1)f x x ax bx c x ax bx a b =+++=++-++ 2(1)[(1)(1)]x x a x a b =-+++++， 故方程2(1)(1)0x a x a b +++++= 故(1)a -+1a b =++． 22(1)a =+，即2 22(1)(1)a b a +++=+ ∴ 223a b =+． 参考例题： 1. 设,为非零向量，且,不平行，求证+，-不平行 [解析]假设b a +)(-=λ，则)1()1(=++-λλ， b a , 不平行，? ??=+=-∴0101λλ，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立 2. 已知α为锐角，且12tan -= α， 函数)42sin(2tan )(2παα+ ?+=x x x f ，数列{a n }的首项)(,2 111n n a f a a ==+. ⑴ 求函数)(x f 的表达式； ⑵ 求证：n n a a >+1； ⑶ 求证：),2(21111111*21N n n a a a n ∈≥<++++++< [解析] ⑴1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 2 2=---=-=ααα又∵α为锐角 ∴42π α= ∴1)42sin(=+πα x x x f +=2)( ⑵ n n n a a a +=+21 ∵2 11=a ∴n a a a ,,32都大于0 ∴02>n a ∴n n a a >+1 ⑶ n n n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(111 21 ∴1 1111+-=+n n n a a a ∴1 322121111111111111+-++-+-=++++++n n n a a a a a a a a a 1 111211++-=-=n n a a a ∵4321)21 (22=+=a , 14 3)43(23>+=a , 又∵n n a a n >≥+12 ∴131>≥+a a n ∴21 211<-<+n a ∴2111111121<++++++ a a a 第3讲 数学归纳法 ★知识梳理★ 1.运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可 2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 ★重难点突破★ 重点：领会两个步骤的作用，运用数学归纳法证明一些简单的数学命题 难点：对不同类型的数学命题，完成从k 到k+1的递推 重难点：了解数学归纳法的原理、正确运用数学归纳法 1.没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法 问题1用数学归纳法证明： 224 3131414141?-=+++n 错证：（1）当n=1时，左=右=411，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立， 那么当n=k+1时，2112431314 11])41(1[41414141?-=--=+++++k k 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设 2.归纳起点0n 未必是1 问题2：用数学归纳法证明：凸n 边形的对角线条数为2 32n n - 点拔：本题的归纳起点30=n 3.“归纳——猜想——证明”是一种重要的思维模式 问题3：在数列}{n a 中，3 3,2111+==+n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式 点拨：本题有多种求法，“归纳——猜想——证明”是其中之一 解析：,73,632121=== a a ,9 3,8323==a a 猜想53+=n a n 下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，215131=+=a ，猜想成立 （2）假设当n=k 时猜想成立，则5 )1(33553 3331++=+++? =+=+k k k a a a k k k 当n=k+1时猜想也成立 综合（1）（2），对* ∈N n 猜想都成立 ★热点考点题型探析★ 考点1 数学归纳法 题型：对数学归纳法的两个步骤的认识 [例1 ] 已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ） A.n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立 C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立 [解析] 因n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选B 【名师指引】用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面：（1）n 的范围以及递推的起点（2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k 时命题的形式)(k f （3）从)1(+k f 和)(k f 的差异，寻找由k 到k+1递推中，左边要加（乘）上的式子 【新题导练】 1.用数学归纳法证明),1(1112 2*+∈≠--=++++N n a a a a a a n n ，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（ ） A. 1 B.a +1 C.21a a ++ D. 421a a a +++ [解析] n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为a ，左边是a +1，故选B 2.用数学归纳法证明不等式24 1312111>++++++n n n n 的过程中，由k 推导到k+1时，不等式左边增加的式子是 [解析]求)()1(k f k f -+即可 当 n=k 时，左边k k k k ++++++= 12111 ， n=k+1时，左边) 1()1(13121++++++++=k k k k , 故左边增加的式子是 11221121+-+++k k k ，即)22)(12(1++k k 考点2 数学归纳法的应用 题型1：用数学归纳法证明数学命题（恒等式、不等式、整除性问题等） [例2 ]用数学归纳法证明不等式2)1(2 1)1(3221+<+++?+?n n n [解析]（1）当n=1时，左=2，右=2，不等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即2)1(21)1(3221+<+++?+ ?k k k 则)2)(1()1(2 1)2)(1()1(32212++++<++++++?+?k k k k k k k 02 )2()1()2)(1(2)2()2)(1()1(2122<+++-++=+-++++k k k k k k k k 2]1)1[(2 1)2)(1()1(3221++<++++++?+?∴k k k k k ∴当n=k+1时， 不等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 【名师指引】（1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形； （3）由k 推导到k+1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面 【新题导练】 3. 用数学归纳法证明等式：n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+- [解析] （1）当n=1时，左=2 1211=-=右，等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+- 则 )221121(212111)221121(211214131211+-+++++++=+-++--++-+- k k k k k k k k k 2 211212121+++++++=k k k k ∴当n=k+1时，等式也成立 综合（1）（2），等式对所有正整数都成立 4.数列}{n a 中，) 1(2,25211-==+n n n a a a a )(*∈N n ，用数学归纳法证明：)(2*∈>N n a n [解析](1) 当n=1时, 22 51>=a ,不等式成立 （2）假设当n=k 时等式成立，即)(2*∈>N k a k ， 合情推理 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 解析：第i 个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1+2+...+（i+1）的平方所以第五个．．． 等．式． 为3333332 12345621+++++=。 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 答案：962 3：与不等式有关的推理 例1、观察下列式子： 213122+<，221151,233 ++<22211171, 2344............. +++< 由上可得出一般的结论为： 。 答案： 22211121 1......,23(1)1n n n ++ ++<++ 练习、由 331441551 ,,221331441 +++>>> +++。。。。。。可猜想到一个一般性的结论是： 。 高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3 富县高级中学集体备课教案 年级：高二科目：数学授课人：授课时间：序号：第节课题第三章§1.1 归纳推理第 1 课时 教学目标1、掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。 2、通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。 3、感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。 重点归纳推理及方法的总结中心 发言 人王晓君 难点归纳推理的含义及其具体应用 教具课型新授课课时 安排 1课 时 教法讲练结合学法归纳总结个人主页 教学过程 教一、原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。 ④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。 二、新课学习 1、哥德巴赫猜想 哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。这就是着名的哥德巴赫猜想200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近。1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法观察猜想证明 归纳推理的发展过程 第十七章推理与证明 ★知识网络★ 第1讲合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ 1.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理. 从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论. 2、合情推理: 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： （1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 （2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理: 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题1<；…. 对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理 问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3 ★热点考点题型探析★ 考点1 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 [例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 0 20202=++； 23165sin 105sin 45sin 020202=++；23 180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性” [解析]猜想：2 3 )60(sin sin )60(sin 0 2202= +++-ααα 证明：左边=2 00 2 2 00 )60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- = 2 3 )cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型 （2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） [例2 ] (09深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂 巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图 高考中的类比推理 大数学家波利亚说过：“类比是某种类型的相似性，是一种更确定的和更概念性的相似。”应用类比的关键就在于如何把关于对象在某些方面一致性说清楚。类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移。 例1 半径为r 的圆的面积2 )(r r S ?=π，周长r r C ?=π2)(，若将r 看作),0(+∞上的变量，则r r ?=?ππ2)'(2， ①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为R 的球，若将R 看作),0(+∞上的变量，请你写出类似于①的式子：_________________，②，②式可用语言叙述为___________. 解：由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立， ,3 4)(3R R V π=24)(R r S π=. 答案：①)'3 4(3R π.42R π= ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。 点评：主要考查类比意识考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比 例2 在等差数列｛a n ｝中，若a 10=0，则有等式a 1＋a 2＋……＋a n =a 1＋a 2＋……＋a 19－n （n ＜19，n ∈N *）成立。类比上述性质，相应地：在等比数列｛b n ｝中，若b 9=1，则有等式 成立。 分析：这是由一类事物（等差数列）到与其相似的一类事物（等比数列）间的类比。在等差数列｛a n ｝前19项中，其中间一项a 10=0，则a 1＋a 19= a 2＋a 18=……= a n ＋a 20－n = a n ＋1＋a 19－n =2a 10=0，所以a 1＋a 2＋……＋a n ＋……＋a 19=0，即a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1，又∵a 1=－a 19， a 2=－a 18，…，a 19－n =－a n ＋1，∴ a 1＋a 2＋……＋a n =－a 19－a 18－…－a n ＋1= a 1＋a 2＋…＋a 19－n 。相似地，在等比数列｛b n ｝的前17项中，b 9=1为其中间项，则可得b 1b 2…b n = b 1b 2…b 17－n （n ＜17，n ∈N * ）。 例3 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2= BC 2。”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得到的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 ________________”。 分析：这是由低维（平面）到高维（空间）之间的类比。三角形中的许多结论都可以类比到三棱锥中（当然必须经过论证其正确性），像直角三角形中的勾股定理类比到三侧面两两垂直的三棱锥中，则有S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。需要指出的是，勾股定理的证明也可进行类比。如在Rt △ABC 中，过A 作AH ⊥BC 于H ，则由AB 2=BH ·BC ，AC 2=CH ·BC 相加即得AB 2＋AC 2=BC 2；在三侧面两两垂直的三棱锥A —BCD 中，过A 作AH ⊥平面BCD 于H ，类似地由S △ABC 2=S △HBC ·S △BCD ，S △ACD 2=S △HCD ·S △BCD ，S △ADB 2=S △HDB ·S △BCD 相加即得S △ABC 2＋S △ACD 2＋S △ADB 2= S △BCD 2。 《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件 第五节合情推理与演绎推理 时间：45分钟分值：75分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．下列说法正确的是() A．合情推理就是归纳推理 B．合理推理的结论不一定正确，有待证明 C．演绎推理的结论一定正确，不需证明 D．类比推理是从特殊到一般的推理 解析类比推理也是合情推理，因此，A不正确．合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，有待进一步证明，故B正确．演绎推理在大前提，小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确，否则就不正确，故C的说法不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理，故D的说法也不正确． 答案 B 2．观察下式：1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则第n个式子是() A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝n2 B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(2n－1)＝(2n－1)2 C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2 解析方法1：由已知得第n个式子左边为2n－1项的和且首项为n，以后是各项依次加1，设最后一项为m，则m－n＋1＝2n－1，∴m＝3n－2. 方法2：特值验证法．n＝2时，2n－1＝3,3n－1＝5， 都不是4，故只有3n－2＝4，故选C. 答案 C 3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合格的图形为( ) A. B. C. D. 解析 表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形． 答案 A 4．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1， 外接圆面积为S 2，则S 1S 2 ＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P —ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2 ＝( ) A.18 B.19 C.164 D.127 解析 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 ，故V 1V 2＝127. 答案 D 5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( ) A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2 一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++ 合情推理与演绎推理的意义 （1)合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推导过程。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。 （2)在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。例如，在研究球体时，我们会自然地联想到圆。由于球与圆在形状上有类似的地方，即都具有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合，因此我们推测圆的一些特征，球也可能有。 圆的切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于圆的半径，类似地，我们推测可能存在这样的平面，与球只交于一点，该点到球心的距离等于球的半径。平面内不共线的3个点确定一个圆，类似地，我们猜想空间中不共面的4个点确定一个球等。 演绎推理是数学中严格证明的工具，在解决数学问题时起着重要的作用。“三段论”是演绎推理的一般模式，前提和结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论也必定是正确的。 例如，三角函数都是周期函数，sinx是三角函数，因此推导证明出该函数是周期函数。又如，这样一道问题“证明函数f(x)=-x+2x在（－0,1)上是增函数”。大前提是增函数的定义，小前提是推导函数f(x)在（－c,1)上满足增函数的定义，进而得出结论。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合情推理与演绎推理是相辅相成的。 合情推理和演绎推理训练 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 推理与证明 ★知识网络★ 第１讲 合情推理和演绎推理 ★知识梳理★ １.推理 根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理． 从结构上说,推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由 已知推出的判断,叫结论. ２、合情推理： 根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出的推理叫合情 推理。 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类: （1）归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由 个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征,推出另一 类对象也具有这些特征的推理,简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是 由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般 原理；（2)小前提--－所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判 断。 ★重难点突破★ 重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证，明确合情推理与演绎推理的区别推 理 推 证合情演绎归类直接间接 数学综 分 反 与联系 难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律 重难点:利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性 问题１:观察：715211+<; 5.516.5211+<； 33193211-++<;…. 对于任意正实数,a b ，试写出使211a b +≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨:前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a 2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征 问题2：已知抛物线有性质:过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点,则当AB 与 抛物线的对称轴垂直时,AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相应的一个真 命题为 ． 点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一,答案可以填：过椭圆的焦点作一 直线与椭圆交于A 、B 两点,则当AB 与椭圆的长轴垂直时,AB 的长度最短（22 2||a b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论）进行推理 问题3:定义[ｘ]为不超过ｘ的最大整数，则[-2.１］= 点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数,所以[-2.1]＝-3 ★热点考点题型探析★ 考点１ 合情推理 题型1 用归纳推理发现规律 ［例1 ] 通过观察下列等式,猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2 3135sin 75sin 15sin 020202= ++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律(１）结构的一致性，(２)观察角的“共性” [解析]猜想:23)60(sin sin )60(sin 02202= +++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2 3)cos (sin 2322=+αα＝右边 【名师指引】(1）先猜后证是一种常见题型 (2)归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周 期性） ［例2 ] (0９深圳九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组 蜂 绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->- 5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133 合情推理、演绎推理 一、考点梳理：（略） 二、命题预测： 归纳、类比和演绎推理是高考的热点，归纳与类比推理大多数出现在填空题中，为中、抵挡题，主要考察类比、归纳推理的能力；演绎推理大多出现在解答题中，为中、高档题，在知识的交汇点出命题，考察学生的分析问题，解决问题以及逻辑推理能力。预测2012年仍然如此，重点考察逻辑推理能力。 三、题型讲解： 1：与代数式有关的推理问题 例1、观察()()()() ()() 223 3 2 2 44 3 223, a b a b a b a b a b a ab b a b a b a a b ab b -=-+-=-++-=-+++进而猜想n n a b -= 例2、观察1=1，1-4=-（1+2），1-4+9=（1+2+3），1-4+9-16= -（1+2+3+4）…猜想第n 个等式是： 。 练习:观察下列等式：3 321 23+=，33321236++=，33332123410+++=，…，根据上述规律，第五个．．． 等式．． 为 。 。 练习：在计算“”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项： 由此得 … 相加，得 类比上述方法，请你计算“”，其结果为 . 2：与三角函数有关的推理问题 例1、观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并证明结论的真假。 2020202020202020202020203 sin 30sin 90sin 150,23 sin 60sin 120sin 18023 sin 45sin 105sin 165, 23 sin 15sin 75sin 1352++= ++=++=++= 练习：观察下列等式： ① cos2α=2 cos 2 α－1； ② cos 4α=8 cos 4 α－8 cos 2 α+1； ③ cos 6α=32 cos 6 α－48 cos 4 α＋18 cos 2 α－1； ④ cos 8α= 128 cos 8α－256cos 6 α＋160 cos 4 α－32 cos 2 α＋1； ⑤ cos 10α=mcos 10α－1280 cos 8α＋1120cos 6 α＋ncos 4 α＋p cos 2 α－1； 可以推测，m －n+p= . 第3讲 合情推理与演绎推理 1．推理 (1)定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程． (2)分类：推理? ? ???合情推理 演绎推理 2．合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些 特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由 个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理． (2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理． (3)模式： 三段论???? ?①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) (4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (教材习题改编)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝4n －3 C ．a n ＝n 2 D ．a n ＝3n － 1 合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23 第十二讲推理与证明 数学推理与证明知识点总结: 推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。②推理论证能力是中考 考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此 基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。第一讲推理与证明 一、考纲解读： 本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演 绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的 考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。 二、要点梳理： 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一 般性命题。 2.类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。 3.演绎推理 三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对 特殊情况作出判断。 4.直接证明与间接证明 ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。 ②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定 这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执果索因。 ③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。 主要三步是：否定结论→推导出矛盾→结论成立。 ?实施的具体步骤是：? 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；?第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；?第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 ④数学归纳法：一般地，证明一个与自然数n有关的命题P(n），有如下步骤： （1）证明当n取第一个值n0时命题成立。n0对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况； （2）假设当n=k（k≥n0，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 综合（1）（2），对一切自然数n（≥n0），命题P(n）都成立。 1 / 1 《合情推理与演绎推理》教案 合情推理 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体 会并认识归纳推理在数学发现中的作用? 教学重点：能利用归纳进行简单的推理? 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜测：任一偶数(除去2,它本身是一素数) 可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上 举世闻名的猜想.1973 年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2” . 2. 费马猜想：法国业余数学家之王一费马(1601-1665 )在1640年通过对F。22 1 3 , 1 2 3 4 F! 22 1 5 , F2 22 1 17 , F3 22 1 257 , F4 22 1 65 537 的观察，发现其结果 n 都是素数，于是提出猜想：对所有的自然数n,任何形如F n 221的数都是素数.后来瑞士 5 数学家欧拉，发现F5 221 4 294 967 297 641 6 700 4 1 7不是素数，推翻费马猜想. 3. 四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着 色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的 国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判 断，完成证明. 二、讲授新课： 1. 教学概念： ①概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的 推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分 到整体、由个别到一般的推理. ②归纳练习：(i)由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：1 3 4 22, 1 3 5 9 32, 1 3 5 7 9 16 42，能得出怎样的结 论？ ③讨论：(i)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？(发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段) (iii )归纳推理的结果是否正确？(不一定) 2. 教学例题： a ①出示例题：已知数列a n的第1项31 2，且a n 1 — (n 1,2,L )，试归纳出通项公式. 1 a n (分析思路：试值n=1, 2, 3, 4 T猜想a n宀如何证明：将递推公式变形，再构造新数列) ②思考：证得某命题在n= n 0时成立；又假设在n= k时命题成立，再证明n= k + 1时命题 也成立.由这两步，可以归纳出什么结论？(目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关合情推理演绎推理(带答案)
高考真题分类汇编——推理与证明 (5)
推理与证明(教案)
(整理)合情推理和演绎推理》.
苏教版数学高二-2.1素材 《合情推理与演绎证明》文字素材1
选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)
6-5第五节 合情推理与演绎推理练习题(2015年高考总复习)
推理与证明综合测试题
合情推理与演绎推理的意义
合情推理和演绎推理训练
高中数学-推理与证明单元测试卷
合情推理演绎推理专题练习及答案
3 第3讲 合情推理与演绎推理
推理与证明练习题汇编
(完整版)推理与证明知识点
《合情推理与演绎推理》教案完美版
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