2013年江苏省高考说明－数学科
一、命题指导思想
根据普通高等学校对新生文化素质的要求，2013年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题将依据中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲（课程标准实验版）》，结合江苏普通高中课程教学要求，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.
1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.
（1）空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.
（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.
（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，
运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.
（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.
（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.
数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.
3．注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查，要求能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.
创新意识的考查要求是:能够综合，灵活运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.
二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题
部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考
查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不
含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C表示）.
了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.
掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题. 具体考查要求如下：
1．必做题部分
2．附加题部分
三、考试形式及试卷结构
（一）考试形式
闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.
（二）考试题型
1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.
2．附加题附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2（不含选修系列1）中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-1、4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.
填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（三）试题难易比例
必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大
致为4：4：2.
附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大
致为5：4：1.
四、典型题示例
A.必做题部分
1. 设复数i满足i
-
(+
+（i是虚数单位），则z的实部是_____
=
3
z
i2
)1
【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题.
【答案】1
2. 设集合}3{
A
-
=B
A ，则实数a的值为_
=
B
a
a
3,1,1
,2
4
},
{
},
+
{2=
+
【解析】本题主要考查集合的概念、运算等基础知识.本题属容易题. 【答案】1.
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k
【解析本题属容易题. 【答案】5
4. 函数)12(log )
(5+=x x f 【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题.
【答案】
,+∞1（-）2
5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间]40,5[中，其频率分布直方图 如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根
棉花纤维的长度小于mm 20.
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题. 【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于mm 20的频率为 3.0501.0501.0504.0=?+?+?,故频数为301003.0=?.
6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中 随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ．
【解析】本题主要考查等比数列的定义，古典概型.本题属容易题.
【答案】0.6.
7. 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，
12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为 cm 3
．
【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力 和运算能力.本题属容易题.
【答案】6.
8.设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和．若11=a ,公差24,22=-=+k k S S d , 则正整数=k
【解析】本题主要考查等差数列的前n 项和及其与通项的关系等基础知识．本 题属容易题． 【答案】5
D
A
B
C
1C 1D 1A
1B
9.设直线12
y x b =
+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 .
【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题. 【答案】ln 21-.
10．函数?ω?ω,,(),sin()(A x A x f +=是常数，
)0,0>>ωA 的部分图象如图所示，则____)0(=f
【解析】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查特殊角的三角函数值．本题属中等题． 【答案
2
.
11. 已知→
→
21,e e 是夹角为π3
2的两个单位向量，,,22121→
→
→
→
→
→
+=-=e e k b e e a 若0=?→
→b a ，
则实数k 的值为
【解析】本题主要考查用坐标表示的平面向量的加、减、数乘及数量积的运算等基础知识. 本题属中等题. 【答案】4
5=
k .
12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存 在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 【解析】本题主要考查圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识，考查灵活运用相关知识解决问题的能力．本题属中等题 【答案】
3
4
13. 已知函数???<≥+=0
,10,1)(2x x x x f ,则满足不等式)2()1(2
x f x f >-的x 的
取值范围是__ 【解析】本题主要考查函数的单调性和奇偶性,简单不等式的解法,以及数形结合与分类讨论的思想；考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力. 本题属难题. 【答案】)12,1(--. 14.
满足条件2,A B A C C ==
的三角形ABC 的面积的最大值是____________.
【解析】本题主要考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题. 【答案
】二、解答题
15．在ABC ?中，2
C A π
-=
, 1sin 3
B =
.
（1）求A sin 值； (2)
设AC =
ABC ?的面积.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力. 本题属容易题. 【参考答案】
（1）由π=++C B A 及2
π
=
-A C ,得,2
2B A -=
π
故,4
0π
< 并且.sin )2 cos(2cos B B A =-=π 即,3 1sin 212 =-A 得?= 3 3sin A (2)由(1)得36cos =A .又由正弦定理得A BC B AC sin sin = 所以.23sin sin =?= B A AC BC 因为,2 A C += π 所以?= =+=36 cos )2 sin( sin A A C π 因此，2362 1cos 2 1sin 2 1??=??=??= ?A BC AC C BC AC S ABC .233 6 =? 16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，1111C A B A =，D E ，分别是棱1,CC BC 上的点（点D 不同于点C ） ，且⊥AD F DE ,为11C B 的中点． 求证：（1）平面AD E ⊥平面11B BCC ； （2）直线//1F A 平面ADE ． 【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的 位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 本题属容易题 【参考答案】 证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面A B C ， 又∵AD ?平面A B C ，∴1CC AD ⊥. 又∵1AD DE CC DE ⊥?，，平面111BCC B CC DE E = ，， ∴AD ⊥平面11BCC B ,又∵AD ?平面ADE ， ∴平面AD E ⊥平面11BCC B . （2）∵1111A B A C =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥. 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ?平面111A B C ，∴11CC A F ⊥. 又∵111 CC B C ?，平面11BCC B ，1111CC B C C = ，∴1A F ⊥平面111A B C . 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD . 又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE . 17. 请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得D C B A ,,,四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，F E ,在AB 上是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设cm x FB AE ==. （1）若广告商要求包装盒侧面积S （cm 2）最大，试问x 应取何值？ （2）若广告商要求包装盒容积V （cm 3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 【解析】本题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间 想象能力、数学阅读能力及解决实际问题的能力．本题属中等题． 【参考答案】 设包装盒的高为)(cm h ,底面边长为)(cm a .由题设知 .300),30(22 260,2<<-=-==x x x h x a (1))300(1800)15(8)30(842 <<+--=-==x x x x ah S 所以当15=x 时,S 取得最大值 (2))30(222 32x x h a V +-==,)20(26x x V -=' 由0='V 得0=x (舍)，或20=x . 当200< 所以当20=x 时,V 取得极大值，此时 2 1= a h 由题设的实际意义可知20=x 时，V 取得最大值，此时包装盒的高与底面边 长的比值为2 1。 18. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的直线交椭圆12 4 2 2 =+ y x 于A P ,两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足 为C ，连结AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k . （1）当2=k 时，求点P 到直线AB 的距离； （2）对任意0>k ，求证：PB PA ⊥. 【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、 直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识，考查运 算求解能力、推理论证能力．本题属中等题 【参考答案】 (1)直线PA 的方程为x y 2=,代入椭圆方程得12 442 2 =+x x ,解得3 2± =x 因此3 4,3 2(),3 4,32(- - A P ,于是)0,3 2( C ,直线AC 的斜率为 13 23 23 40=+ + , 故直线AB 的方程为03 2=- -y x . 因此，点P 到直线AB 的距离为 3221 1|3 23 43 2| 2 2 = +- - . (2)解法一：将直线PA 的方程kx y =代人 12 4 2 2 =+ y x ,解得2 212k x +± = 记2 212k += μ,则),(),,(k A k P μμμμ--,于是)0,(μC ,从而直线AB 的斜率为 2 0k k = ++μ μμ,其方程为)(2 μ-= x k y . 代入椭圆方程得0)23(2)2(2 2222=+--+k x k x k μμ,解得2 2 2)23(k k x ++= μ 或μ-=x .因此)2, 2)23(( 2 22 2 k k k k B +++μμ,于是直线PB 的斜率 k k k k k k k k k k k k 1) 2(23)2(2) 23(22 2 2 32 2 2 21- =+-++-=-++-+=μ μμμ,因此11-=k k 所以PB PA ⊥ 解法二：设),(),,(2211y x B y x P ,则),,(,,0,0112121y x A x x x x --=/>> ),0,(1x C 且 .1 1k x y =设直线PB ，AB 的斜率分别为.,21k k 因为C 在直线AB 上，所以?== ----= 2 2) ()(01 11112k x y x x y k 从而1) () (.2 12112121212211+------=+=+x x y y x x y y k k k k .044) 2()2(12221 22 21 22 2 12 12 22 221 22 2 12 2=--= -+-+= +--=x x x x y x y x x x y y 因此,11-=k k 所以PB PA ⊥ 19. (1)设n a a a ,,,21 是各项均不为零的)4(≥n n 项等差数列，且公差,0=/d 若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列. (i)当4=n 时，求 d a 1 的数值；(ii)求n 的所有可能值． (2)求证：存在一个各项及公差均不为零的)4(≥n n 项等差数列，任意删去其中的k 项 ),31(-≤≤n k 都不能使剩下的项(按原来的顺序)构成等比数列． 【解析】本题以等差数列、等比数列为平台，主要考查学生的探索与推理能力．本题属难题． 【参考答案】 首先证明一个“基本事实” 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差00=d . 事实上，设这个数列中的连续三项00,,d a a d a +-成等比数列，则 ),)((002 d a d a a +-=由此得2 022 d a a -=，故.00=d (1)(i)当4=n 时，由于数列的公差,0=/d 故由“基本事实"推知，删去的项只可能为2a 或 3a ． ①若删去2a ，则由431,,a a a 成等比数列，得)3()2(112 1d a a d a +?=+. 因,0=/d 故由上式得,41d a -=即 .41 -=d a 此时数列为,3,4d d --,,2d d --满足题设． ②若删去3a ，则421,,a a a 由成等比数列，得).3()(112 1d a a d a +?=+ 因,0=/d 故由上式得,1d a =即.11 =d a 此时数列为d d d d 4,3,2,满足题设． 综上可知 d a 1 的值为4-或1． (ii)当6≥n 时，则从满足题设的数列n a a a a ,,,,321 中删去任意一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本事实”知，数列n a a a a ,,,,321 的公差必为0，这与题设矛盾．所以满足题设的数列的项数.5≤n 又因题设,4≥n 故4=n 或5=n ． 当4=n 时，由(i)中的讨论知存在满足题设的数列． 当5=n 时，若存在满足题设的数列54321,,,,a a a a a 则由“基本事实”知，删去的项只能是 3a ，从5421,,,a a a a 而成等比数列，故),3()(112 1d a a d a +?=+ 及).4)(()3(1121d a d a d a ++=+分别化简上述两个等式，得21d d a =及,52 1d d a -= 故.0=d 矛盾．因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列． 综上可知，n 只能为4． )2(我们证明： 若一个等差数列)4(,,,21≥n b b b n 的首项1b 与公差d '的比值为无理数，则此等差数列满足题设要求． 证明如下： 假设删去等差数列)4(,,,21≥n b b b n 中的)31(-≤≤n k k 项后，得到的新数列(按原来的顺序)构成等比数列，设此新数列中的连续三项为 +1b ),10(,,32131211-≤<<≤'+'+'n m m m d m b d m b d m 于是有 ),)(() (31112 21d m b d m b d m b '+'+='+化简得 d b m m m d m m m '-+='-12312 312 2)2()(………………(*) 由01=/'d b 知，312 2m m m -与2312m m m -+同时为零或同时不为零． 若,02231=-+m m m 且,03122=-m m m 则有,02 ( 312 31=-+m m m m 即,0)(231=-m m 得,31m m =从而,321m m m ==矛盾． 因此，2312m m m -+与312 2 m m m -都不为零，故由(*)式得 ?-+-='2 31312 21 2m m m m m m d b …………………(**) 因为321,,m m m 均为非负整数，所以(**)式右边是有理数， 而 d b 1 是一个无理数，所以(**)式不成立．这就证明了上述结果． 因12+是一个无理数．因此，取首项,121+= b 公差.1='d 则相应的 等差数列)4(2,,32,22,12≥++++n n 是一个满足题设要求的数列． 20. 已知b a ,是实数，函数,)(,)(2 3bx x x g ax x x f +=+= )(x f '和)(x g '是 )(),(x g x f 的导函数，若0)()(≥''x g x f 在区间I 上恒成立，则称)(x f 和)(x g 在区间 I 上单调性一致 （1）设0>a ，若函数)(x f 和)(x g 在区间),1[+∞-上单调性一致,求实数b 的取值范围； （2）设,0 ||b a -的最大值 【解析】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数 形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．本题属难题． 【参考答案】.2)(,3)(2 b x x g a x x f +='+=' (1)由题意知0)()(≥''x g x f 在),1[+∞-上恒成立，因为0>a ，故032 >+a x ， 进而02≥+b x ，即x b 2-≥在区间),1[+∞-上恒成立，所以2≥b 因此b 的取值范围是),2[+∞. (2)令0)(='x f ,解得3 a x -±=,若0>