2 013中考数学精选例题解析：二元二次方程组 知识考点：
了解二元二次方程的概念，会解由一个一元二次方程和一个二元二次方程组成的方程组（Ⅰ）；会解由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程组成的方程组（Ⅱ）。
精典例题：
【例1】解下列方程组：
1、???=+--=-01101
222x y x y x ；
2、?
??==+67xy y x ； 3、?????=+-=+0
23102222y xy x y x 分析：（1）（2）题为Ⅰ型方程组，可用代入法消元；（2）题也可用根与系数的关系求解。（3）为Ⅱ型方程组，应将02322=+-y xy x 分解为0=-y x 或02=-y x 与1022=+y x 配搭转化为两个Ⅰ型方程组求解。
答案：（1）???-==1011y x ，?????-=-=2
2122y x ； （2）???==1611y x ，???==6122y x （3）?????==5511y x ， ?????-=-=5522y x ，?
????==22233y x ，???-=-=22244y x 【例2】已知方程组?
??+==+--201242kx y y x y 有两个不相等的实数解，求k 的取值范围。 分析：由②代入①得到关于x 的一元二次方程，当△＞0且二次项系数不为零时，此方程有两个不相等的实数根，从而原方程组有两个不相等的实数解。
略解：由②代入①并整理得：01)42(22=+-+x k x k
?????>+-=--=?≠0
16164)42(0222k k k k 即???<≠1
0k k ∴当k ＜1且k ≠0时，原方程组有两个不相等的实数解。
【例3】方程组???=+=+5
2932y x y x 的两组解是???==1111βαy x ，???==2222βαy x 不解方程组，求1221βαβα+的值。
分析：将x y -=5代入①得x 的一元二次方程，1α、2α是两根，可用根与系数的关系，将115αβ-=，225αβ-=代入1221βαβα+后，用根与系数的关系即可求值。 答案：3
53 探索与创新：
【问题】已知方程组???+==n x y x y 242的两组解是???==1111y y x x 和???==2
222y y x x 且011≠x x ，1x ≠2x ，设2
111x x m +=。 （1）求n 的取值范围；
（2）试用含n 的代数式表示出m ；
（3）是否存在这样的n 值，使m 的值等于1？若存在，求出所有这样的n 值，若不存在，请说明理由。
略解：（1）将②代入①化简，由???≠>?0
021x x ?n ＜21且n ≠0
（2）利用根与系数的关系得：2
)1(4n n m -=（n ＜21且n ≠0＝ （3）???
????≠<=-0211)1(42n n n n 且?222--=n 跟踪训练：
一、填空题：
1、方程组?
??--=+=3212x x y x y 的解是 。 2、方程组???=+=-1
23422y x y x 的解是 。 3、解方程组???=--=+0
)3)(2(2022y x y x y x 时可先化为 和 两个方程组。
4、方程组???????==+6
1
116511y x y x 的解是 。 5、方程组??
?==+b xy a y x 的两组解为???==1111b y a x ，???==2222b y a x ，则2121b b a a -＝ 。 二、选择题：
1、由方程组???=+++-=-04)1()1(1
22y x y x 消去y 后得到的方程是（ ）
A 、03222=--x x
B 、05222=+-x x
C 、01222=++x x
D 、09222=++x x
二元二次方程的解法 二次方程组的基本思想和方法 方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。 型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 元二次方程，求得一个未知数的值； 的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系 二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。
程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。 中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 析：例1．解方程组 观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。
河北省2014年中考数学试卷 一、选择题（共16小题，1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 2．（2分）（2014?河北）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（） 22
4．（2分）（2014?河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（） 题考查了估算无理数的大小， 6．（2分）（2014?河北）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（） ．．C．．
7．（3分）（2014?河北）化简：﹣=（） =x 8．（3分）（2014?河北）如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（）
9．（3分）（2014?河北）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为 10．（3分）（2014?河北）如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（） 11．（3分）（2014?河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
的概率为= ，故此选项错误； 的概率为≈ 12．（3分）（2014?河北）如图，已知△ABC（AC＜BC），用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）
13．（3分）（2014?河北）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（） ，即新矩形与原矩形不相似． ∴，
2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2 y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． 解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 ①②
112,0x y =??=?， 220,1. x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? ① ②
2013年河北省初中毕业生升学文化课考试 数 学 试 卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 卷Ⅰ（选择题，共42分） 注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考 人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共16个小题，1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题3分，共42分．在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1． 气温由-1℃上升2℃后是 A ．－1℃ B ．1℃ C ．2℃ D ．3℃ 答案：B 解析：上升2℃，在原温度的基础上加2℃，即：－1＋2＝1，选B 。 2. 截至2013年3月底，某市人口总数已达到4 230 000人.将4 230 000用科学记数法表示为 A ．0.423×107 B ．4.23×106 C ．42.3×105 D ．423×104 答案：B 解析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．4 230 000＝4.23×106 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 答案：C 解析：A 是只中心对称图形，B 、D 只是轴对称图形，只有C 既是轴对称图形又是中心对称图形。 4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 A ．a (x －y )＝ax －ay B ．x 2 +2x +1＝x (x +2)+1 C ．(x +1)(x +3)＝x 2+4x +3 D ．x 3 －x ＝x (x +1)(x －1) 答案：D 解析：因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，所以，A 、B 、C 都不符合，选D 。 5．若x ＝1，则||x －4＝ A ．3 B ．－3 C ．5 D ．－5 答案：A 解析：当x ＝1时，｜x －4｜＝｜1－4｜＝3。 6．下列运算中，正确的是 Ａ．9＝±3 Ｂ．3－8＝2 Ｃ．(－2)0＝0 D ．2－1 ＝12 答案：D 解析：9是9的算术平方根，9＝3，故A 错；3－8＝－2，B 错，(－2)0 ＝1，C 也错，选D 。 7．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路 x m.依题意，下面所列方程正确的是 A ． 120 x ＝ 100 x －10 B ． 120 x ＝ 100 x +10
二元二次方程的解法 一、内容综述： 1．解二元二次方程组的基本思想和方法 解二元二次方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 2．二元二次方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。 “二·一”型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 “二·一”型方程组的解法 （1）代入消元法（即代入法） 代入法是解“二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： ①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； ②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； ③解这个一元二次方程，求得一个未知数的值； ④把所求得的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； ⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 （2）逆用根与系数的关系 对“二·一”型二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二次方程z2-az+b=0的两个根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。 注意：不要丢掉一个解。 此方法是解“二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。
以上两种是比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 注意：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 “二·二”型方程组的解法 (i) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。 (ii) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 注意：“二·一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 二、例题分析： 例1．解方程组 分析：仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 解法一：由(1)得y=8-x (3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. 把x1=2代入(3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。 解法二：根据根与系数的关系可知：x, y是一元二次方程，
2014年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共16小题，1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2分）（2014?河北）﹣2是2的（） A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根 考点：相反数． 分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 解答：解：﹣2是2的相反数， 故选：B． 点评：本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 2．（2分）（2014?河北）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（） A．2B．3C．4D．5 考点：三角形中位线定理． 分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC=2DE． 解答：解：∵D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴BC=2DE=2×2=4． 故选C． 点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键． 3．（2分）（2014?河北）计算：852﹣152=（） A．70 B．700 C．4900 D．7000 考点：因式分解-运用公式法． 分析：直接利用平方差进行分解，再计算即可． 解答：解：原式=（85+15）（85﹣15） =100×70 =7000． 故选：D． 点评：此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 4．（2分）（2014?河北）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b相交所成的锐角是（）
A．20°B．30°C．70°D．80° 考点：三角形的外角性质． 分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 解答：解：a，b相交所成的锐角=100°﹣70°=30°． 故选B． 点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键． 5．（2分）（2014?河北）a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是（） A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8 考点：估算无理数的大小． 分析：根据，可得答案． 解答：解：， 故选：A． 点评：本题考查了估算无理数的大小，是解题关键． 6．（2分）（2014?河北）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（） A．B．C．D． 考点：一次函数图象与系数的关系；在数轴上表示不等式的解集． 专题：数形结合． 分析：根据一次函数图象与系数的关系得到m﹣2＜0且n＜0，解得m＜2，然后根据数轴表示不等式的方法进行判断． 解答：解：∵直线y=（m﹣2）x+n经过第二、三、四象限， ∴m﹣2＜0且n＜0， ∴m＜2且n＜0． 故选C． 点评：本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．也考查了在数轴上表示不等式的解集． 7．（3分）（2014?河北）化简：﹣=（）
2010/26．（本小题满分12分） 某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．若只在国内销售，销售 价格y （元/件）与月销量x （件）的函数关系式为y =100 1 - x ＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w 内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a 元/件（a 为常数，10≤a ≤40），当月销量为x （件）时，每月还需缴纳 100 1x 2 元的附加费，设月利润为w 外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）． （1）当x = 1000时，y = 元/件，w 内 = 元； （2）分别求出w 内，w 外与x 间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （3）当x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内 销售月利润的最大值相同，求a 的值； （4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还 是在国外销售才能使所获月利润较大？ 参考公式：抛物线的顶点坐标是2 4(,)24b ac b a a --． 2011/26．(本小题满分12分) 如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长的速度运动t （t ＞0） 秒，抛物线y =x 2 ＋bx ＋c 经过点O 和点P .已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0）、B （1，－5）、D （4，0）. ⑴求c 、b （用含t 的代数式表示）； ⑵当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB 、CD 交于点M 、N . ①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值； ②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，S= 21 8 ； ③在矩形ABCD 的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接．． 写出t 的取值范围. 2012/26．（12分）如图1和2，在△ABC 中，AB=13，BC=14，cos ∠ABC=． 探究：如图1，AH ⊥BC 于点H ，则AH= ，AC= ，△ABC 的面积S △ABC = ； 拓展：如图2，点D 在AC 上（可与点A ，C 重合），分别过点A 、C 作直线BD 的垂线，垂足为E ，F ，设BD=x ，AE=m ，CF=n （当点D 与点A 重合时，我们认为S △ABD =0）
课题解二元二次方程组 一、知识回顾 二元一次方程的三个必需条件：①含有两个未知数；②含有未知数的项的次数是1；③等式两边都是整式． 二元一次方程组的三个必需条件：①含有两个未知数，②每个含未知数的项次数为1；③每个方程都是整式方程． 解二元一次方程组的一般方法是代入消元法和加减消元法 1、例题 例1、解方程组 31 220 x y x y =+ ? ? -= ? 练习1 解方程组 21 324 x y y x -=- ? ? -= ? 例2、解方程组 326 249 x y x y += ? ? += ? 练习2 解方程组 35 242 x y x y -+= ? ? -= ? 例3、解方程组 31 430 4239 x y z x y z x y z -+-= ? ? -+= ? ?++= ? 练习3 解方程组 24 230 35 x y z x y z x y z -+-=- ? ? ++= ? ?-+=- ? 2、巩固练习
1．下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．3x －2y=4z B ．6xy+9=0 C ． 1x +4y=6 D ．4x=24 y - 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A ．2284 23119 (23754624) x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=???? 3．二元一次方程5a －11b=21 （ ） A ．有且只有一解 B ．有无数解 C ．无解 D ．有且只有两解 4．方程y=1－x 与3x+2y=5的公共解是（ ） A ．3333 (2422) x x x x B C D y y y y ==-==-????? ? ? ? ===-=-???? 5．若│x －2│+（3y+2）2=0，则的值是（ ） A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．32 6．下列各式，属于二元一次方程的个数有（ ） ①xy+2x －y=7； ②4x+1=x －y ； ③ 1 x +y=5； ④x=y ； ⑤x 2－y 2=2 ⑥6x －2y ⑦x+y+z=1 ⑧y （y －1）=2y 2－y 2+x A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、解方程组 （1）???=-=+6)3(242y x （2）? ??=-=+1123332y x y x （3）? ??=+=-172305y x y x （4）???? ?=-=+34 31332n m n m （5）10232523x y x y z x y z +=??-+=??+-=? （6）04239328a b c a b c a b c ++=?? ++=??-+=? 二、新知展望
图9 B 2010年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题2分，共24分） 1．计算3×(-2) 的结果是 A ．5 B ．-5 C ．6 D ．-6 2．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于 A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 3．下列计算中，正确的是 A ．020= B ．2a a a =+ C 3± D ．623)(a a = 4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 5．把不等式2x -< 4的解集表示在数轴上，正确的是 6．如图3，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是 A ．点P B ．点Q C ．点R D ．点M 7．化简b a b b a a -- -22的结果是 A ．22b a - B ． b a + C ．b a - D ．1 8．小悦买书需用48 元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张．设所用的1 元纸币为x 张，根 据题意，下面所列方程正确的是 A ．48)12(5=-+x x B ．48)12(5=-+x x C ．48)5(12=-+x x D ．48)12(5=-+x x 9．一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为15 km /h ，水流速度为5 km/h ．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为t （h ），航行的路程为s （km ），则s 与t 的函数图象大致是 10．如图4，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则 这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 11．如图5，已知抛物线c bx x y ++=2的对称轴为2=x ，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行， 其中点A 的坐标为（0，3），则点B 的坐标为 A ．（2，3） B ．（3，2） C ．（3，3） D ．（4，3） 12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图6-1．在图6-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图6-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是 A ．6 B ．5 C ．3 D ．2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13．的相反数是 ． 14．如图7，矩形ABCD 的顶点A ，B 在数轴上， CD = 6，点A 对应的数为1-，则点B 所对应的数为 ． 15．在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从图8的四张卡片中任 意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．若商品的价格是360元，那么他一次就能猜中的概率是 ． 16．已知x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根，则 222n mn m ++的值为 ． 17．某盏路灯照射的空间可以看成如图9所示的圆锥，它的高AO = 8米，母线AB 与底面半径OB 的 夹角为α，3 4tan =α，则圆锥的底面积是 平方米（结果保留π）． 18．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1；若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2，则S 1 S 2（填“＞”、“＜”或“=”）． 三、解答题（本大题共8个小题，共78分） 19．（8分）解方程： 12 11+= -x x ． A B C D 图2 图10-1 图10-2 A B C 40° 120° 图1 图3 图7 图8 图4 A B D C 图6-1 图6-2 A B C D
方程 22260x xy y x y +++++= 是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： 224310,210; x y x y x y ?-++-=?--=? 222220,560. x y x xy y ?+=??-+=?? 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组 22440,220.x y x y ?+-=?--=? 分析：二元二次方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到方程②是一个一元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，从而将所求的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题． 解：由②,得 x ＝2y ＋2， ③ 把③代入①,整理,得 8y 2＋8y ＝0， 即 y (y ＋1)＝0． ①
解得 y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =??=?， 22 0,1.x y =??=-? 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 例2 解方程组 7,12.x y xy +=??=? 解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==． 把13y =代入③，得14x =； 把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =??=?， 223,4. x y =??=? 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ． 这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =． 所以原方程组的解是 114,3;x y =?? =? 223,4. x y =??=? 练 习： ①
河北省历年中考数学试题 1．07年（本小题满分10分）一手机经销商计划购进某品牌的A 型、B 型、C 型三款手机共60部，每款手机至少要购进8部，且恰好用完购机款61000元．设购进A 型手机x 部，B 型手机y 部．三款手机的进价和预售价如下表： （1）用含x ，y 的式子表示购进C 型手机的部数； （2）求出y 与x 之间的函数关系式； （3）假设所购进手机全部售出，综合考虑各种因素，该手机经销商在购销 这批手机过程中需另外支出各种费用共1500元． ①求出预估利润P （元）与x （部）的函数关系式； （注：预估利润P ＝预售总额-购机款-各种费用） ②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款手机各多少部． 2．(08河北)（本小题满分8分）如图11，直线1l 的解析表达式为33y x =-+，且 1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A B ，，直线1l ，2l 交于点C ． （1）求点D 的坐标；（2）求直线2l 的解析表达式； （3）求ADC △的面积； （4）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得 ADP △与ADC △的面积相等，请直接．． 写出点P 的坐标．
图15 60 40 40 150 30 单位：cm A B B 3.（13年河北），如图15，A （0，1），M （3，2），N （4，4）.动点P 从点A 出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x +b 也随之移动，设移动时间为t 秒. （1）当t ＝3时，求l 的解析式； （2）若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围； （3）直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上. 4．07年（本小题满分12分） 某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm ，B 型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图） 裁法一 裁法二 裁法三 A 型板材块 数 1 2 B 型板材块 数 2 m n 设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x 张、按裁法二裁y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式； （3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式， 并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？
代数方程组练习 1、方程组???--=+=3 212x x y x y 的解是 。 2、方程组???=+=-1 23422y x y x 的解是 。 3、解方程组???=--=+0 )3)(2(2022y x y x y x 时可先化为 和 两个方程组。 4、方程组???????==+61 1-16511y x y x 的解是 。 二、选择题： 1、由方程组???=+++-=-04)1()1(122y x y x 消去y 后得到的方程是（ ） A 、03222=--x x B 、05222 =+-x x C 、01222=++x x D 、09222=++x x 2、方程组???=-+++=+03202y x x y x 解的情况是（ ） A 、有一组实数解 B 、有两组不同的实数解 C 、没有实数解 D 、不能确定 3、方程组???=--=-+00122m x y y x 有唯一解，则m 的值是（ ） A 、2 B 、2- C 、2± D 、以上答案都不对 4、方程组???+==m x y x y 2有两组不同的实数解，则（ ） A 、m ≥41- B 、m ＞41- C 、4 1-＜m ＜41 D 、以上答案都不对 三、解下列方程组： 1、???=-=+15 522y x y x ； 2、???=+=+25722y x y x
3、?????=--=+-0 352122222y xy x y xy x ； 4、???==+127xy y x ； 5、???==+613 22xy y x 四、m 为何值时，方程组 ???=+=+m y x y x 2022只有一组实数解，并求出这时方程组的解。
A B C P Q R M 2 010 年 河 北 省 初 中 毕 业 生 升 学 文 化 课 考 试 数 学 试 卷 本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题． 本试卷满分为 120 分，考试时间为 120 分钟． 卷Ⅰ（选择题，共 24 分） 注意事项：1．答卷 I 前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上；考试 结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答在试 卷上无效． 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 2 分，共 24 分．在每小题给出的四个选项 中， 只有一项是符合题目要求的） 1．计算 3×( 2) 的结果是 A ．5 B ． 5 C ．6 D ． 6 2．如图 1， 在 △ ABC 中 ， D 是 BC 延 长 线 上 一 点 ， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于 A ．60° B ．70° C ．80° D ．90° 3．下列计算中，正确的是 A 40° 120° B C D 图 1 A ． 2 B ． a a a 2 C ． 9 3 D ． (a 3 ) 2 a 6 4．如图 2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， D 则□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 A C C ．12 D ．15 5．把不等式 2 x < 4 的解集表示在数轴上，正确的是 B 图 2 A B C D 6．如图 3，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A ，B ，C 三点， 那么这条圆弧所在圆的圆心是 A ．点 P B ．点 Q C ．点 R D ．点 M 图 3
二元二次方程的解法 ： 次方程组的基本思想和方法 程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方方法和技巧是解二元二次方程组的关键。 方程组通常按照两个方程的组成分为“二·一”型和“二·二”型，又分别成为Ⅰ型和Ⅱ型。 是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。 方程组的解法 元法（即代入法） 二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是： 方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示； 式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程； 二次方程，求得一个未知数的值； 这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题； 未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。 与系数的关系
二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一元二方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。 掉一个解。 二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。 较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。 解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。 方程组的解法 中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二一”型方程组，所得的解都是原方程组的解。 组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。 一”型方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。 ：
2014年河北省中考数学试卷 一、选择题（共16小题，1~6小题，每小题2分；7~16小题，每小题2分，共42分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2分）﹣2是2的（） A．倒数B．相反数C．绝对值D．平方根 2．（2分）如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE=2，则BC=（） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2分）计算：852﹣152=（） A．70 B．700 C．4900 D．7000 4．（2分）如图，平面上直线a，b分别过线段OK两端点（数据如图），则a，b 相交所成的锐角是（） A．20°B．30°C．70°D．80° 5．（2分）a，b是两个连续整数，若a＜＜b，则a，b分别是（）A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8 6．（2分）如图，直线l经过第二、三、四象限，l的解析式是y=（m﹣2）x+n，则m的取值范围在数轴上表示为（）
A．B． C． D． 7．（3分）化简：﹣=（） A．0 B．1 C．x D． 8．（3分）如图，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠（） A．2 B．3 C．4 D．5 9．（3分）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x 厘米．当x=3时，y=18，那么当成本为72元时，边长为（） A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米 10．（3分）如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B围成的正方体上的距离是（） A．0 B．1 C．D． 11．（3分）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（）
2019年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题有16个小题，共42分，1-10小题各3分，11-16小题各2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）下列图形为正多边形的是（） A．B．C．D． 2．（3分）规定：（→2）表示向右移动2记作+2，则（←3）表示向左移动3记作（）A．+3B．﹣3C．﹣D．+ 3．（3分）如图，从点C观测点D的仰角是（） A．∠DAB B．∠DCE C．∠DCA D．∠ADC 4．（3分）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（） A．+x≤5B．+x≥5C．≤5D．+x＝5 5．（3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（） A．30°B．25°C．20°D．15° 6．（3分）小明总结了以下结论： ①a（b+c）＝ab+ac； ②a（b﹣c）＝ab﹣ac； ③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）； ④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0） 其中一定成立的个数是（） A．1B．2C．3D．4 7．（3分）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容
则回答正确的是（） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表AB 8．（3分）一次抽奖活动特等奖的中奖率为，把用科学记数法表示为（）A．5×10﹣4B．5×10﹣5C．2×10﹣4D．2×10﹣5 9．（3分）如图，在小正三角形组成的网格中，已有6个小正三角形涂黑，还需涂黑n个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则n的最小值为（） A．10B．6C．3D．2 10．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（）A．B． C．D． 11．（2分）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤： ①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类 ②去图书馆收集学生借阅图书的记录 ③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比 ④整理借阅图书记录并绘制频数分布表 正确统计步骤的顺序是（） A．②→③→①→④B．③→④→①→②C．①→②一④→③D．②→④→③→①
2020年河北省中考数学试卷 一、选择题（共16小题）. 1．如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（） A．0条B．1条C．2条D．无数条 2．墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+B．﹣C．×D．÷ 3．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（） A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解 4．如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的是（） A．仅主视图不同 B．仅俯视图不同 C．仅左视图不同 D．主视图、左视图和俯视图都相同 5．如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a＝（）
A．9B．8C．7D．6 6．如图1，已知∠ABC，用尺规作它的角平分线． 如图2，步骤如下， 第一步：以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BA，BC于点D，E； 第二步：分别以D，E为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P； 第三步：画射线BP．射线BP即为所求． 下列正确的是（） A．a，b均无限制B．a＞0，b＞DE的长 C．a有最小限制，b无限制D．a≥0，b＜DE的长 7．若a≠b，则下列分式化简正确的是（） A．＝B．＝C．＝D．＝ 8．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（） A．四边形NPMQ B．四边形NPMR C．四边形NHMQ D．四边形NHMR
练习：解方程组: 1、观察：方程组 2 2 x 3xy 2y =0 (1) ⑵ 解方程组（1）得 x y 2 精品文档 21.6 （2）二元二次方程组的解法 教学目标 1、 掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组； 2、 在学习过程中体会解此类特殊二元二次方程组的基本思路是“降次” 3、通过对二元二次方程组解法的剖析，领悟事物间可以相互转化的数学思想; 教学重点及难点 会用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组; 正确分析方程组的特点，从而找到合理的解法. 教学媒体：多媒体 教学过程设计 一、 复习引入 我们已经会用代入消元法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成 的二元二次方程组 x 3y 4 2 2 x 2y 1 这节课我们将学习由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法 、学习新课 x,丄 2 % 1 吊 2 1 能直接使用“代入消元法”解答吗？ x y 0 x 2 y 2 5 (1)或 x 2y 0 x 2 y 2 5
解方程组: 3、例题分析 例2解方程组: 2 2 x 9y 0 2 小 2 , x 2xy y 4 方程（2）可变形为 得 x y 2或x y 原方程组化为 x 3y 0 x 3y 0 x 3y 0 x 3y 0 x 3 3 3 y a 1 y 1 精品文档 解方程组 (2) 得 X 3 2 x 4 .J 2 y 3 1 y 4 1. 所以原方程组的解是 1 帀 2 ； x 2 1 ,10 2 ; X 3 2； -J x 4 2 Y 1 1 ?五 2 1 y — ■'10 2 y 3 1 y 4 1 小结：如果二元二次方程组中有一个方程可变形为两个一次因式的乘积等于零的 形式，那么解这个方程组的问题可转化为解由一个二元一次方程和一个二元二次 方程所组成的方程组?这种解特殊的二元二次方程组的方法是“因式分解法” 2、反馈练习 2 2 x 2xy 3y 0 2 2 x xy y 3 这是一个特殊的二元二次方程组，如果采用前面的方法将方程（ 1）左边因式分 解，再将分解得到的两个方程和（2）组成方程组，这个问题是可以解答的；但 进一步观察会发现（2）左边也可以进行因式分解，于是有了下面的解法： 解：方程（1）可变形为 x 3y x 3y 0得x 3y 0或x 3y 0 【说明】这道例题的解决要求学生对于“方程组的解”的概念有正确的理解，即 由方程（1）所得的每一个方程分别和由方程（2）所得的每一个方程组成方程组 的解的全体才是原方程组的解. 三、 巩固练习 书52页第2题. 四、 课堂小结 这节课我们学习了由两个二元二次方程组成的特殊方程组的解法， 基本思路 是“消元”和“降次” ?那么请总结一下“代入消元法”和“因式分解法”各自 针对什 么特点的方程组？使用时需要注意什么？ 五、 作业布置： 精品文档 3 3 X 2 — 2 ; 2 1; 1 y 2 — 2 2 % 原方程组的解是 y i