研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．
圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n
r =?；
圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360
n
r =?．
一、跟曲线有关的图形元素：
①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、1
6
圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n
．
比如：扇形的面积=所在圆的面积360n
?；
扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n
?
扇形的周长=所在圆的周长360
n
?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．
一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)
③”弯角”：如图：
弯角的面积=正方形-扇形
④”谷子”：如图：
“谷子”的面积=弓形面积2?
二、常用的思想方法：
①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)
例题精讲
圆与扇形
板块一平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用
【例1】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
【巩固】下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？
【例2】如图，在18 8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？
【巩固】在4×7的方格纸板上面有如阴影所示的”6”字，阴影边缘是线段或圆弧．问阴影面积占纸板面积的几
分之几？
【例3】(2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为平方厘米．
【巩固】如图，在一个边长为4的正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆．求阴影部分的面积．
【例4】(人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)
【例5】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？
【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m ，阴影部分的面积是 ．
【例 6】 如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这
些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3)
【例 7】 如图中三个圆的半径都是5cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)
【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个部分
的面积之比是多少？(圆周率取3.14)
【例8】计算图中阴影部分的面积(单位：分米)．
A
【巩固】如图，阴影部分的面积是多少？
4
22
【例9】请计算图中阴影部分的面积．
【例10】求图中阴影部分的面积．
【例 11】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14)
【巩固】如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值
227
．
【例 12】 求下列各图中阴影部分的面积．
(1)
1010
【巩固】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为cm ，圆周率按3计算)：
⑴3
⑵4
⑶1
11
⑷2
⑸2
⑹
【例 13】 如图，ABCD 是正方形，且1FA AD DE ===，求阴影部分的面积．(取π3=
)
【巩固】求图中阴影部分的面积(单位：cm )．
2
【例 14】 如图，长方形ABCD 的长是8cm ，则阴影部分的面积是 2cm ．(π 3.14=)
【例 15】 (2007年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部
分面积A 与其它部分面积B 之差(大减小)是 2cm ．
【巩固】一块圆形稀有金属板平分给甲、乙二人．但此金属板事先已被两条互相垂直的弦切割成如图所示尺
寸的四块．现甲取②、③两块，乙取①、④两块．如果这种金属板每平方厘米价值1000元，问：甲应偿付给乙多少元？
5cm 7.5cm
3cm 2cm ④
③②①
【例 16】 求右图中阴影部分的面积．(π取3)
【例 17】 (第四届走美决赛试题)如图，边长为3的两个正方形BDKE 、正方形DCFK 并排放置，以BC
为边向内侧作等边三角形，分别以B 、C 为圆心，BK 、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．(π 3.14=)
E
板块二 曲线型面积计算
【例 18】 如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的
3
4
倍，则角CAB 的度数是________．
D
C
B
A
【例19】如下图，直角三角形ABC的两条直角边分别长6和7，分别以,B C为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π3
=)
【例20】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的
4
15
，是小圆面积的
3
5
．如果量得
小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米？
【例21】有七根直径5厘米的塑料管，用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如图)，此时橡皮筋的长度是多少厘米？(π取3)
【例22】如图，边长为12厘米的正五边形，分别以正五边形的5个顶点为圆心，12厘米为半径作圆弧，请问：中间阴影部分的周长是多少？(π 3.14
=)
【例 23】 如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________
灰色部分面积．
【例 24】 如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ，那么这两个
部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14)
【例 25】 用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的
边角料的总面积是多少平方厘米？
【例 26】 如图，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径都是1．求阴影部分的面积．
【例27】如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．(圆周率取3.14)
【例28】(09年第十四届华杯赛初赛)如下图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，AC CD DB
==，M是CD的中点，H是弦CD的中点．若N是OB上一点，半圆的面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米．
【巩固】如图，C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，O是圆心，且半径为6．求图中阴影部分的面积．
【例29】如图，两个半径为1的半圆垂直相交，横放的半圆直径通过竖放半圆的圆心，求图中两块阴影部分的面积之差．(π取3)
【例30】如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14)
E
F
【巩固】如右图，两个正方形边长分别是10和6，求阴影部分的面积．(π取3)
【例31】如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周的中点，BC是半圆的直径．已知10
==，
AB BC 那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)
D
【例32】图中给出了两个对齐摆放的正方形，并以小正方形中右上顶点为圆心，边长为半径作一个扇形，按图中所给长度阴影部分面积为；(π 3.14
=)
【例 33】 如图，图形中的曲线是用半径长度的比为2:1.5:0.5的6条半圆曲线连成的．问：涂有阴影的部
分的面积与未涂有阴影的部分的面积的比是多少？
【例 34】 (2008年西城实验考题)奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为6厘米，外圆直径
为8厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是77.1平方厘米，求每个小曲边四边形的面积．(π 3.14=)
【例 35】 已知正方形ABCD 的边长为10厘米，过它的四个顶点作一个大圆，过它的各边中点作一个小圆，
再将对边中点用直线连擎起来得右图．那么，图中阴影部分的总面积等于______方厘米．(π 3.14=
)
【例 36】 如图，ABCD 是边长为a 的正方形，以AB 、BC 、CD 、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧
所围成的阴影部分的面积．(π取3)
D
C
B
A
a
【巩固】如图，正方形ABCD 的边长为4厘米，分别以B 、D 为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆．求阴
影部分面积．(π取3)
D
B
A
【例 37】 (2008年四中考题)已知三角形ABC 是直角三角形，4cm AC =，2cm BC =，求阴影部分的面
积．
【例 38】 （奥林匹克决赛试题）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片.它们的面积都
是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，3张纸片共同重叠的面积是42平方厘米.那么图中3个阴影部分的面积的和 是平方厘米
.
【例 39】 (2008年国际小学数学竞赛)如图所示，ABCD 是一边长为4cm 的正方形，E 是AD 的中点，而
F 是BC 的中点．以C 为圆心、半径为4cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于
G ，以F 为圆心、半径为2cm 的四分之一圆的圆弧交EF 于
H 点，若图中1S 和2S 两块面积之差为2π(cm )m n -(其中m 、n 为正整数)，请问m n +之值为何？
S 2S 1
G H
F
E D
C
B A
【巩固】在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．(圆周率取3.14)
【例40】如图，矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=4厘米，扇形ABE半径AE=6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积．(π取3)
A
B
【巩固】求图中阴影部分的面积．
【巩固】如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是平方厘米，(π 3.14
=)
【例41】如图所示，阴影部分的面积为多少？(圆周率取3)
3
3
【巩固】图中阴影部分的面积是．(π取3.14)
3
【例 42】 已知右图中正方形的边长为20厘米，中间的三段圆弧分别以1O 、2O 、3O 为圆心，求阴影部分
的面积．(π3=)
O
3
【例 43】 一个长方形的长为9，宽为6，一个半径为l 的圆在这个长方形内任意运动，在长方形内这圆无
法运动到的部分，面积的和是_____．(π取3)
【例 44】 已知半圆所在的圆的面积为62.8平方厘米，求阴影部分的面积．(π 3.14=
)
B
【例 45】 如图，等腰直角三角形ABC 的腰为10；以A 为圆心，EF 为圆弧，组成扇形AEF ；两个阴影部
分的面积相等．求扇形所在的圆面积．
F
E
C
B
【例46】如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且20
AB=，阴影甲的面积比阴影乙的面积大7，求BC长．(π 3.14
=)
乙
甲
C
A
【巩固】三角形ABC是直角三角形，阴影I的面积比阴影II的面积小2
25cm，8cm
AB=，求BC的长度．
I I
A
B C
I
【巩固】如图，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘米．求BC的长度？(π取3.14)
【例47】(2009年十三分入学测试题)图中的长方形的长与宽的比为8:3，求阴影部分的面积．
20
4
【例48】如图，求阴影部分的面积．(π取3)
【例49】如图，直角三角形的三条边长度为6,8,10，它的内部放了一个半圆，图中阴影部分的面积为多少？
6
8
【例50】(华校2005～2006年度第一学期期中测试第6题)大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形．以圆心O为顶点，半径R为边长作一个正方形：再以O为顶点，以r为边长作一个小正方形．图中阴影部分的面积为50平方厘米，求环形面积．(圆周率取3.14)
【巩固】图中阴影部分的面积是2
25cm，求圆环的面积．
【例51】(2008年101中学考题)已知图中正方形的面积是20平方厘米，则图中里外两个圆的面积之和
是．(π取3.14)
【巩固】图中小圆的面积是30平方厘米，则大圆的面积是平方厘米．(π取3.14)
【巩固】(2008年四中考题)图中大正方形边长为a，小正方形的面积是．
【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛)一些正方形内接于一些同心圆，如图所示．已知最小圆
的半径为1cm，请问阴影部分的面积为多少平方厘米？(取
22π
7 =)
【例52】图中大正方形边长为6，将其每条边进行三等分，连出四条虚线，再将虚线的中点连出一个正方形(如图)，在这个正方形中画出一个最大的圆，则圆的面积是多少？(π 3.14
=)
【例 53】 如下图所示，两个相同的正方形，左图中阴影部分是9个圆，右图中阴影部分是16个圆．哪个
图中阴影部分的面积大？为什么？
【例 54】 如图，在33?方格表中，分别以A 、E 、F 为圆心，半径为3、2、1，圆心角都是90°的三段
圆弧与正方形ABCD 的边界围成了两个带形，那么这两个带形的面积之比12:?S S =
C
【例 55】 如图中，正方形的边长是5cm ，两个顶点正好在圆心上，求图形的总面积是多少？(圆周率取
3.14)
【例 56】 如下图，AB 与CD 是两条垂直的直径，圆O 的半径为15厘米，AEB 是以C 为圆心，AC 为半
径的圆弧，求阴影部分面积．
E
O
D C
B
A
E O
D C
B
A
专项一圆与扇形综合 课前预习 圆与球：跨时代、跨文化的数学故事 这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆 伫立在北京天坛祈年殿前，赞美之情油然而生。这座完美的古代建筑，最基本的设计元素竟然是最简单的几何图形—圆。三层汉白玉圆形台基、三层蓝琉璃圆顶大殿，与附近的圆形皇穹宇和圜丘交相辉映，好一片圆美世界！ 圆和球还是最实用的图形。宏大如宇宙天体，微小至原子电子，飞转的车轮，滴嗒的钟表……人们的日常生活离不开圆和球，科技的进步也离不开圆和球。 简单中寓深奥。在圆与球简约的外形下，潜藏着无穷的数学奥秘。 圆周长和圆面积的计算，蕴涵着极限思想。中国古代数学家刘徽创立的“割圆术”，就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并计算逐次得到的正多边形的周长和面积(以及相应的圆周率近似值)。
古希腊数学家称用多边形逼近曲线图形的方法为“穷竭法”，早在公元前3世纪，阿基米德也是用这种方法去计算圆的周长、面积及圆周率的。不过阿基米德最引以自豪的，是他对球体积的计算。阿基米德考虑一个球和它的外切圆柱，以及一个辅助的圆锥，其基本做法是将这些立体分割成无数的薄片，并用力学平衡的方法比较它们的体积，最后求得球体积的正确公式：(R是球半径)。阿基米德的方法可以看成是积分学的先声。无独有偶，在东方，中国南北朝时期的数学家祖冲之和他的儿子祖，也是利用球和它的外切圆柱计算出正确的球体积公式。不过与阿基米德不同，祖氏父子考虑的是同一个球的两个互相垂直的外切圆柱的公共部分(刘徽最先发现该种立体并命名为“牟合方盖”)，并运用欧洲学者迟至17世纪才重新发现的不可分量原理推算出这部分立体与其所含内切球的体积之比。祖氏父子的方法与阿基米德的可以说是异曲同工，殊途同归。 至于近代微积分的发明，圆和球也扮演了重要的角色。我们知道，在17世纪上半纪微积分酝酿时期，圆面积与圆周率π的计算，曾是那些寻找打开无穷小算法大门钥匙的数学大师们关注的热点。牛顿之前的先行者、英国数学家沃利斯在其代表作《无穷算术》中，用插值法计算1/4圆的面积，并进而导出了无穷乘积表达式 牛顿推广沃利斯的方法而得到了指数可以是分数和负数的二项定理，二项定理在建立微积分算法中的作用是众所周知的。在解析几何的发明人笛卡儿手中，圆是他作图求解方程的基本工具。笛卡儿在《几何学》一书中提出的求曲线切线的方法甚至以“圆法”著称，而牛顿正是从研究、改善笛卡儿“圆法”开始踏上制定微积分的漫漫征途。微积分的另一位发明人莱伯尼茨也计算过圆面积及圆周率，他给出了π的无穷级数表达式 饶有意味的是，与牛顿、莱布尼茨差不多同时代的日本“算圣”关孝和，开创了独具一格的“圆理”。他所谓的“圆理”，即指与圆有关的研究，以无穷级数为基础，计算各种曲线与曲面围成的图形之面积与体积，说明当时东方的数学家们也在竭力用圆这把钥匙叩击着微积分的大门。 古希腊“数学之神”阿基米德把球体积推算视为他一生最得意的成果，曾留下遗嘱把球及其外切圆柱的图形刻在他的墓碑上。阿基米德在第二次布匿战争期间被罗马士兵杀害，据传当罗马军士冲到阿基米德身边时，这位正在思考数学问题的老人喊出的最后一句话是：“别动我的圆！” 阿基米德死后，罗马军队的主帅马塞吕斯下令为阿基米德隆重建墓，并遵照阿基米德的遗愿，在他墓前竖了一块石碑，墓碑上刻着的正是那不朽的图形—球及其外切圆柱。记载着阿基米德球体积计算的羊皮书手稿，历经千年尘封后终于重见天日，被誉为20世纪最重大的考古发现而轰动一时。
圆与扇形 公式与割补 内容提要 本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的． 我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示． 如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论． 扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360 n ． 我们先来熟悉一下这些公式． 练习： n ° 图3 图1
1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？ 2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？ 3.周长是10π的圆的面积是多少？ 4.面积是9π的圆的周长是多少？ 例题 一、基本公式运用 例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 60° 随堂练习： 1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45 ，这个扇形的半径和周长各是多少？ 2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？
例题3.如图，直角三角形ABC 的面积是45，分别以B ，C 为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14） 二、 圆中方，方中圆 例题4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________． 随堂练习： 1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示） 二、割补法 例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）： （1） （2） 2
圆与扇形练习题一 1、两个圆的周长相等，它们的直径也相等（） 2、圆的周长总是该圆直径的∏倍。（） 3．大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（） 4、大圆的直径是小圆半径的4倍，那么大圆的周长是小圆周长的4倍。（） 5、半圆的周长就是圆周长的一半。（） 6、圆的半径扩大2倍，它的直径也扩大2倍，它的周长将会增加一倍。（） 二、填空。 1。在同一个圆里，半径是5厘米，直径是（）厘米。 2．圆是平面上的一种（）图形。 3、圆的半径是3厘米，直径是（）厘米，周长是（）厘米。 4．圆的周长是28．26米，它的直径是（）厘米，半径是（）厘米。 5、一台时钟的分针长6厘米，它走过2圈走了（）厘米 6。一圆的周长是12．56厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚的距离是（）厘米。 7、一个圆环，外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，这个圆环的面积是（） 8、8、圆心角是90度的扇形面积是所在圆面积的（）分之（） 三、圆的面积 1．个圆的周长一个正方形的周长相等，这个正方形的边长是6．28厘米，圆的面积是多少平方厘米？ 2．圆形水池，周长是18．84米，面积是多少平方厘米？ 20cm 5．直径是1.5米，每分转8圈，压路机每分前进多少米？ 6．圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？ 8．自动旋转喷灌装置半径是10米，它的最大喷灌面积是多少平方米？ 9．草坪周长是50.24米，这块草坪占地多少平方米？ 10．画一个直径2cm的圆。 圆与扇形练习题二 1.填空题（每题2分，共24分） （1）一个半圆，半径为r，半圆周长是（）。 （2）如果一个圆的半径扩大3倍，它的直径扩大（）倍，面积扩大（）倍。 （3）圆的周长是157厘米，它的直径是（50）厘米，面积是（）平方厘米。 （4）一根铜丝长18.84米，正好在一个圆形线轴上绕40周。这个圆形线轴的直径是（）厘米。 （5）圆的周长是直径的（）倍，是半径的（）倍。 （7）圆规两脚分开的距离是6厘米，用这个圆规画出的圆，它的周长是（）。
2015年小学奥数几何专题——圆与扇形 1．下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 2．如图，在18 8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸面积的几分之几？ 3．在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？ 4．如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14)
5．图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 6．如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π取3) 7．如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14) 8．计算图中阴影部分的面积(单位：分米)。 A 9．请计算图中阴影部分的面积．
10．求图中阴影部分的面积． 12C B 11．求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14) 12．求下列各图中阴影部分的面积． (1) 1010 (2) b a 13．如图，ABCD 是正方形，且1FA AD DE ===，求阴影部分的面积．(取π3=) 14．如图，长方形ABCD 的长是8cm ，则阴影部分的面积是多少2cm ．(π 3.14=)
15．如图所示，在半径为4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积A 与其它部分面积B 之差(大减小)是多少2cm ． 16．求右图中阴影部分的面积．(π取3) 17．如图，边长为3的两个正方形BDKE 、正方形DCFK 并排放置，以BC 为边向内侧作等边三角形，分别以B 、C 为圆心，BK 、CK 为半径画弧．求阴影部分面积．(π 3.14=) E 18．如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的 3 4 倍，则角CAB 的度数是多少？ D C B A 19．如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中阴影部分的面积是17，那么角A 是多少度(π3=)
《圆》同步试题 一、填空 1 ．三角形、四边形是直线图形，圆是（）图形；圆中心的一点叫做（）， 通过圆心，并且（）都在（）的线段叫做圆的直径；战国时期《墨经》一书中记载“圜（圆），一中同长也。”表示圆心到圆上各点的距离都相等，即（）都相等。 考查目的：圆的认识。 答案：曲线；圆心，两端，圆上；半径。 解析：可结合具体图形，采用对比的方法得出圆的图形特征。对于圆心、直径和半径的概念，应使学生在深刻理解的基础上进行答题。 2 ．圆心确定圆的（），半径确定圆的（）；圆是轴对称图形，直径所在的直 线是圆的（）；圆的周长与它的直径的比值是一个（），我们把它叫做（），用字母（）表示，计算时通常取值（）。 考查目的：圆的认识；圆周率意义的理解。 答案：位置，大小；对称轴；固定的数，圆周率，，3.14 。 解析：此题包括了圆心和半径对确定圆的位置和大小的作用；圆的轴对称图形特征；圆周率的意义及字母表示方法等知识。 3．看图填空（单位：厘米）。 图1：=（）cm 图2：=（）cm 图3：=（）cm 图4：=（）cm 考查目的：圆的直径与半径之间的关系。 答案：12；8.6 ；4.5 ；2.4。 解析：可以让学生自己独立观察、思考，填一填。然后让学生说说是如何分析得出答案的，初步培养学生推理能力，发展空间观念。教学实际中，可以让学生画出第二幅图和第四幅图中圆的直径，再和梯形的高、长方形的边长进行比较，验证结论。 4 ．画一个直径是5厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米。如果要画一个周长是 12.56 厘米的圆，圆规两脚之间的距离应该是（）厘米，这个圆的面积是（）平方厘米。 考查目的：画圆的方法；圆的周长和面积计算。 答案：2.5 ；2，12.56 。 解析：画圆时，圆规两脚之间的距离就是半径的长度；根据圆的周长公式，通过 计算得出画周长是12.56 厘米的圆，半径是多少；再计算面积。该题可引导学生比较“题目 中出现了两个12.56 ，它们表示的意义相同吗？” 5 ．看图填空。
圆与扇形 ——公式与割补 内容提要 本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的． 我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d ，半径记作r ，如图1所示． 如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论． 扇形的圆心角为n °时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360 n ． n ° r 图3 图1
我们先来熟悉一下这些公式． 练习： 1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？ 2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？ 3.周长是10π的圆的面积是多少？ 4.面积是9π的圆的周长是多少？ 例题 一、基本公式运用 例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 60°
随堂练习： 1. 已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45o ，这个扇形的半径和周长各是多少？ 2. 扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？ 3. 如图，直角三角形ABC 的面积是45，分别以B ，C 为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积 是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14） 二、 圆中方，方中圆 4. 如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________． 随堂练习： 1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）
圆与扇形精选题 【例1】图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？ 【解析】如下图所示： 可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为11240.542 ?÷?=?= （）（平方厘米），所以阴影部分的总面积为248 ?=（平方厘米）． 【巩固】如图所示，四个全等的圆每个半径均为2m，阴影部分的面积是． 2m 2m 或 2m 【解析】我们虽没有学过圆或者圆弧的面积公式，但做一定的割补后我们发现其实我们并不需要知道这些公式也可以求出阴影部分面积．如图，割补后阴影部分的面积与正方形的面积相等，等于22 2216m ?= （）（）． 【例2】如图中三个圆的半径都是5cm，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14) 【解析】将原图割补成如图，阴影部分正好是一个半圆，面积为2 55 3.14239.25(cm) ??÷=
【巩固】如图，大圆半径为小圆的直径，已知图中阴影部分面积为1S ，空白部分面积为2S ， 那么这两个部分的面积之比是多少？(圆周率取3.14) 【解析】 如图添加辅助线，小圆内部的阴影部分可以填到外侧来，这样，空白部分就是一个圆 的内接正方形．设大圆半径为r ，则222S r =，221π2S r r =-，所以()12: 3.142:257:100S S =-=． 移动图形是解这种题目的最好方法，一定要找出图形之间的关系． 【例 3】 请计算图中阴影部分的面积． 3 10 【解析】 法一： 为了求得阴影部分的面积，可以从下图的整体面积中扣掉一个圆的面积，就是要求的 面积了． = - 要扣掉圆的面积，如果按照下图把圆切成两半后，从两端去扣掉也是一样．如此一来，就会出现一个长方形的面积． 半圆 半圆10 3 -= 因此，所求的面积为2 10330cm ?=（） ． 【例 4】 求如图中阴影部分的面积．(圆周率取3.14) 4 4 【解析】 可将左下橄榄型的阴影部分剖开，两部分分别顺逆时针90?，则阴影部分转化为四分 之一圆减去一个等腰直角三角形，所以阴影部分的面积为 2 11π444 4.56 4 2 ??- ??=．
第8讲圆与扇形 知识网络 圆是所有几何图形中最完美的。当一条线段绕着它的一个端点O在平面上旋转时一周时，它的另一端点所画成的封闭曲线叫圆（也叫圆周），O点称为这个圆的圆心。连接一个圆的圆心和圆周上任一点的线段叫做圆的半径，圆的半径通常用字母r表示。连接圆上任意两点的线段叫做圆的弦。过圆心的弦叫做圆的直径，圆的直径通常用字母d表示，显然d=2r。圆的周长（用字母C表示）与直径的比，叫做圆周率。圆周率用字母表示，它是一个无 限不循环的小数，一般取近似值3.14。圆的周长。利用等分圆周拼成近似长方 形的方法可知圆的面积。顶点在圆心的角叫做圆心角。圆周上任意两点间的部分叫 做弧。 扇形是圆的一部分，它是由圆心角的两条半径和圆心角所对的弧组成的图形。如果扇形的半径为r，弧所对圆心角的度数为n，那么弧的长度。从而扇形的周长，扇形的面积。 重点·难点 本讲的难点在于求圆或扇形与其他平面图形组成的组合图形的面积。一般这类组合图形是不规则的，很难直接用公式计算它们的面积。这时候，可以利用分、合、移、补等方法将其转化为若干个基本几何图形的组合，然后再分别计算这若干个基本图形的面积，分析整体与各部分的和、差关系，问题就会迎刃而解。 学法指导 在解圆或扇形的周长与面积等有关问题时，一般要先求出半径r，因为半径r是连接周长与面积的纽带。 经典例题 [例1]一只饥饿的猛虎紧紧地追赶着一只小狗。就在猛虎要抓住小狗的时候，小狗逃到了一个圆形的池塘边。小狗连忙纵身往水里一跳，猛虎抓了个空。猛虎舍不得这顿即将到口的美餐，于是盯住小狗，在池边跟着小狗跑动，打算在小狗爬上岸的时候再抓住它。已知猛虎奔跑的速度是小狗游水速度的2.5倍。请问：小狗如何才能逃出虎口？ 思路剖析 如果小狗在圆形池塘中沿着圆周游动，那末无论它游到哪里，都会被猛虎牢牢盯死。而如果小狗跳下池塘后就沿着直径笔直往前游，那么猛虎就要跑半个圆周。由于半圆周长是直
圆与扇形 例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =?；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?．一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n ．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n ?；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ?扇形的周长=所在圆的周长360 n ?+2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2 ? 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块、曲线型旋转问题 【例1】正三角形ABC 的边长是6厘米，在一条直线上将它翻滚几次，使A 点再次落在这条直线上，那么A 点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米？如果三角形面积是15平方厘米，那么三角形在滚 动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(结果保留π)
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积． 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360n r =?； 圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?． 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、1 6 圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n ． 比如：扇形的面积=所在圆的面积360n ?； 扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n ? 扇形的周长=所在圆的周长+360 n ?2?半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长) ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积． 一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆) ③”弯角”：如图： 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图： “谷子”的面积=弓形面积2? 二、常用的思想方法： ①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法) ④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”) 板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用 【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。求月牙形 ADBEA （阴影部分）的面积。 例题精讲 圆与扇形
D 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分 【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形 ADBEA 的面积＝211 π525π502524 ??+-??=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方 厘米。 【答案】25 【例 2】 三个半径为100厘米且圆心角为60o的扇形如图摆放；那么，这个封闭图形的周长是________厘 米．（π取3.14） 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初赛，4题 【解析】 三个扇形的弧长相当于半径100厘米，圆心角为1800的扇形的弧长，180 2 3.14314360 ?? =厘米； 【答案】314 【例 3】 分别以一个边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以2厘米为半径画弧，得到右图；那 么，阴影图形的周长是_______ 【考点】圆与扇形 【难度】3星【关键词】迎春杯，六年级，初赛，试题 【解析】 每段弧长为16C 圆，所以1 66 C C C =?=圆圆阴影C 阴影=6×16C 圆= C 圆，所以12.56C =阴影 【答案】12.56 【例 4】 下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 割补法．如右图，格线部分的面积是36平方厘米． 【答案】36
学科培优 数学 圆与扇形 学生姓名 授课日期 教师姓名 授课时长 知识定位 本讲主要介绍与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题。学校里已讲过基本的圆和扇形周长以及面积的计算公式，这里主要介绍对对象进行适当的移动、拼割、分部以简化运算为目的的方法. 重点难点 1.复杂图形的化简 2.带入圆周率时的计算准确度 考点 1．熟练运用分割、拼补等手段简化运算 2．结合情景的曲线面积计算 知识梳理 一、圆形的面积与周长 (1) 圆的周长2C d r ππ==（d 为直径，r 为半径） (2) 圆的面积212 S r Cr π== 【授课批注】 公式很简单，主要是如何化为简单的公式运算。注意到面积公式可表示为周长与半径之积的一半，说明圆的面积计算推导与三角形面积公式有关。 二、扇形的面积与弧长
(1)扇形的弧长2360l r θπ= (2)扇形的面积2 13602S r lr θ π==扇 例题精讲 【试题来源】 【题目】如图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成 一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π取 3.1416， 那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? 【试题来源】 【题目】如图，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘A 直径为10厘米，盘B 直径为40厘米，盘C 直径为20厘米．问：A 顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米?( π取3.14．) 【试题来源】 【题目】图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间 有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这 卷纸展开后大约有多长?
【试题来源】 【题目】如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 4 15 ，是小圆面积的 3 5 ．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径 是多少厘米? 【试题来源】 【题目】如图，用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米? 【试题来源】 【题目】图中是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．让A点不动， 把整个半圆逆时针转60o，此时B点移动到C点，如图所示．那么 图中阴影部分的面积是多少平方厘米?
圆与扇形练习题一 一、判断题： 1、圆的面积和圆的半径成正比例。（） 2、圆的面积和圆的半径的平方成正比例。（） 3、圆的面积和圆的周长的平方成正比例。（） 4、正方形的面积和边长成正比例。（） 5、正方形的周长和边长成正比例。（） 6、长方形的面积一定时，长和宽成反比例。（） 7、长方形的周长一定时，长和宽成反比例。（） 8、三角形的面积一定时，底和高成反比例。（） 9、梯形的面积一定时，上底和下底的和与高成反比例。（） 10、圆的周长和圆的半径成正比例。（） 1、两个圆的周长相等，它们的直径也相等（） 2、圆的周长总是该圆直径的∏倍。（） 3．大圆的圆周率比小圆的圆周率大。（） 4、大圆的直径是小圆半径的4倍，那么大圆的周长是小圆周长的4倍。（） 5、半圆的周长就是圆周长的一半。（） 6、圆的半径扩大2倍，它的直径也扩大2倍，它的周长将会增加一倍。（） 二、填空。 1。在同一个圆里，半径是5厘米，直径是（）厘米。 2．圆是平面上的一种（）图形。 3、圆的半径是3厘米，直径是（）厘米，周长是（）厘米。 4．圆的周长是28．26米，它的直径是（）厘米，半径是（）厘米。 5、一台时钟的分针长6厘米，它走过2圈走了（）厘米 6。一圆的周长是12．56厘米，如果用圆规画这个圆，圆规两脚的距离是（）厘米。 7、一个圆环，外圆半径是3厘米，内圆半径是2厘米，这个圆环的面积是（） 8、8、圆心角是90度的扇形面积是所在圆面积的（）分之（） 三、圆的面积 1．个圆的周长一个正方形的周长相等，这个正方形的边长是6．28厘米，圆的面积是多少平方厘米？ 2．圆形水池，周长是18．84米，面积是多少平方厘米？ 20cm 5．直径是1.5米，每分转8圈，压路机每分前进多少米？ 6．圆形养鱼池，直径是4米，这个养鱼池的周长是多少米？ 8．自动旋转喷灌装置半径是10米，它的最大喷灌面积是多少平方米？ 9．草坪周长是50.24米，这块草坪占地多少平方米？ 10．画一个直径2cm的圆。 圆与扇形练习题二 1.填空题（每题2分，共24分）
圆与扇形 公式与割补 容提要 本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念.及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识． 圆是我们在生活中经常见到的图形.它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴.绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且.所有的平面图形在周长相同的情况下.圆的面积是最大的． 我们知道.圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数.这正是圆周率.用π表示．另外.一般把直径记作 d .半径记作r .如图1所示． 所以. 如图3.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分.所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论． 扇形的圆心角为n °时.它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360 n ． 我们先来熟悉一下这些公式． 练习： n ° r 图3 图1
1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？ 2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？ 3.周长是10π的圆的面积是多少？ 4.面积是9π的圆的周长是多少？ 例题 一、基本公式运用 例题1.已知扇形的圆心角为120°.半径为2.则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米.圆心角为60°.则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算） 60° 随堂练习： 1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米.圆心角为45o.这个扇形的半径和周长各是多少？ 2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？
例题3.如图.直角三角形ABC 的面积是45.分别以B .C 为圆心.3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A 是多少度？（π取3.14） 二、 圆中方.方中圆 例题4.如图.左下图和右下图中的正方形边长都是2.那么大圆、小圆的面积分别为________、________． 随堂练习： 1. 已知外面大圆的半径是4.里面小圆的面积是多少？（答案用π表示） 二、割补法 例题5. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米.圆周率按3.14计算）： （1 ） （2）
例题精讲 研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位 置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积. 2 n =n 360 n =2 n 360 一、跟曲线有关的图形元素： ①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分?我们经常说 的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几 2 4 6 扇形的周长=所在圆的周长?丄 360 ②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积. 一般来说，弓形面积 扇形面积-三角形面积.（除了半圆） （复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的 ） （害际卜、平移、旋转等） （加减法） （从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系” 板块一 平移、旋转、害补、对称在曲线型面积中的应用 【例1】 如图，圆 O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB=10厘米，以 C 为圆心，CA 为半径画弧。求月牙形 ADBEA （阴影部分）的面积。 圆的面积二n 2 ;扇形的面积 圆的周长=2n ;扇形的弧长 分之几?那么一般的求法是什么呢？关键是 比如：扇形的面积二所在圆的面积 扇形中的弧长部分 二所在圆的周长 n 360 n ； 360 n x --- 360 2半径（易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长 ） ③”弯角”：如图: 弯角的面积=正方形-扇形 ④”谷子”：如图: “谷子”的面积二弓形面积 2 二、常用的思想方法: ① 转化思想 ② 等积变形 ③ 借来还去 ④ 外围入手
与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法． 1．如图17-1，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．如果圆周率π取3.1416，那么花瓣图形的面积是多少平方厘米? 【分析与解】 如下图，添上部分辅助线，有花瓣的面积为4个边长为2的小正方形面积加上4 个的面积减去4个的面积，即加上31 44142 ?-?= 个半径为1的圆的面积． 所以花瓣组成的图形的面积为4×2×2+1×1×1 7π≈16+3.1416=19.1416平方厘米． 2．如图17-2，一套绞盘和一组滑轮形成一个提升机构，其中盘A 直径为10厘米，盘B 直径为40厘米，盘C 直径为20厘米．问：A 顺时针方向转动一周时，重物上升多少厘米?( π取3.14．)
【分析与解】 A 顺时针转一周时，C 顺时针转12周，同轴的B 也顺时针转1 2 周，从而绳索被拉动的距离等于B 的半个圆周长即π×20≈62.8，这时重物应该上升去1 2 ×62.8=31.4． 所以重物上升31.4厘米． 3．图17-3为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4毫米，问：这卷纸展开后大约有多长? 【分析与解】 将这卷纸展开后，它的侧面可以近似的看成一个长方形，它的长度就等于面积除以宽．这里的宽就是纸的厚度，而面积就是一个圆环的面积． 因此 纸的长度 ()22 3.1410093.1410 3.1437143.50.040.04?-?-?≈ ≈==纸卷侧面积纸的厚度(厘米) 所以，这卷纸展开后大约71.4米． 4. 如图 17-4，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的 415，是小圆面积的3 5 ．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米? 【分析与解】 小圆的面积为2525ππ?=，则大小圆相交部分面积为325155 ππ?=,那么大圆的面积 为422515154ππ÷=，而2251515 422 =?，所以大圆半径为7.5厘米． 5．如图17-5，在18×8的方格纸上，画有1，9，9，8四个数字．那么，图中的阴影面积占整个方格纸 面积的几分之几?
第四章圆和扇形答案 班级_______学号_______姓名___________得分_________ 一、 填空：（每空2分，共30分） 1、 12.56cm,12.56cm 2 2、 3.14cm 2 3、 18.84. 4、 2.512cm,50.24cm 2 5、 12.28cm. 6、 602.8cm 2 7、 3/5，9/25 8、 1:9. 9、 100周. 10、 8.84cm. 11、 31.4cm 2. 12、 10个 13、 12度. 二、 选择题（每题3分，共15分） 14、（A ） 15、（D ）. 16、（D ）. 17、如图，AB 、AC 、CD 、BD 分别为四个圆的直径，甲、乙两人分别沿图示方向从A 走到B ，结果是（A ）. 18、（A ） 三、 计算题（共30分 19、如图所示:求圆心角60m 半径为9的弧长l. 解42.91809 14.360180/=? ?=∏=r n
20、已知圆的周长是12.56cm ，求圆面积S. 解 56.1242 56 ,.1222=∏=∏===∏=r s r r c 21、已知大圆直径d 1=12，小圆直径d 2=4，求S 阴. r 1=6r 2=2 解08.3032-2 221+∏=∏=∏∏=r r s 阴影 22、如图。（1）求S 阴（2）求C 阴 解7.15)810(125)-(360150222221==∏-=∏∏= r r s 阴影 2.9842.94414.33041814.3354)(218015021=+=+?=+??=++∏?=r r c 阴影 四、应用题：（每题6分，共18分） 23、一只闹钟的分针走1小时，针尖走的路程为27cm 。那么，分针走20分钟，求针尖走的路程.
圆与扇形模拟练习内容概述 与圆和扇形的周长、面积相关的几何问题，将所求的对象进行适当的移动、分割或拼补以简化计算是常用的方法． 圆的面积2πr =；扇形的面积2π360 n r =?；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360 n r =?．典型问题 板块一平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用 1、求下列各图中阴影部分的面积． (1) 10 10
(2)b a 2、下图中每一个小正方形的面积是1平方厘米，那么格线部分的面积是多少平方厘米？ 3、(2007年西城实验考题)在一个边长为2厘米的正方形内，分别以它的三条边为直径向内作三个半圆，则图中阴影部分的面积为 平方厘米． 4、(人大附中分班考试题)如图，正方形边长为1，正方形的4个顶点和4条边分别为4个圆的圆心和半径，求阴影部分面积．(π取3.14) 5、如图中三个圆的半径都是5cm ，三个圆两两相交于圆心．求阴影部分的面积和．(圆周率取3.14)
6、如右图，有8个半径为1厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方厘米？ (π 取3) 7、 (2007年西城实验期末考试题)如图所示，在半径为4cm 的图中有两条互相垂直的线段，阴影部分面积 A 与其它部分面积 B 之差(大减小)是 2cm ． 21B B A A 板块二曲线型面积计算
8、如图，已知扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的 34 倍，则角CAB 的度数是________． D C B A 9、如下图，直角三角形ABC 的两条直角边分别长6和7，分别以,B C 为圆心，2为半径画圆，已知图中 阴影部分的面积是17，那么角A是多少度(π3 =) 6 7C B A 10、如图是一个对称图形．比较黑色部分面积与灰色部分面积的大小，得：黑色部分面积________灰色部分面积．
《圆》复习题 一、选择 1。下列命题中正确的有( )个 (1) 平分弦的直径垂直于弦 （2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线 （3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半 （4）平面内三点确定一个圆 （5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2。如图，直线PA PB ，是圆O的两条切线， A B ，分别为切点，120 APB=? ∠，10 OP=厘米，则弦AB的长为（）A．53厘米B．5厘米 C．103厘米 D． 53 2 厘米 3。小明想用直角尺检查某些工件是否恰好是半圆形，下列几个图形是半圆形的是（ 4。已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，那么△ABC的内切圆的半径为（） A． 3 10 B． 5 12 C．2 D．3 5。若小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10 cm、深约为2 cm的小坑，则该铅球的直径约为( ) A. 10 cm B. cm C. cm D. 20 cm 6．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为( ) A．2：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 7．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误 ．．的是 ( ) A. AD=BD B.∠ACB=∠AOE C.弧AE=弧BE =DE 8．半径为R的圆内接正三角形的面积是（） A． 3 2 R2 B．πR2 C． 33 2 R2 D． 33 4 R2 9．如图，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若 ∠OBA= 30°，则OB的长为（） A．43 B．4 C．23D．2 A B P O （第10题） B A C P O O A B 第9题图 第7题图
《圆》同步试题 一、填空 1．三角形、四边形是直线图形，圆是（）图形；圆中心的一点叫做（），通过圆心，并且（）都在（）的线段叫做圆的直径；战国时期《墨经》一书中记载“圜（圆），一中同长也。”表示圆心到圆上各点的距离都相等，即（）都相等。 考查目的：圆的认识。 答案：曲线；圆心，两端，圆上；半径。 解析：可结合具体图形，采用对比的方法得出圆的图形特征。对于圆心、直径和半径的概念，应使学生在深刻理解的基础上进行答题。 2．圆心确定圆的( )，半径确定圆的( )；圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的( )；圆的周长与它的直径的比值是一个( )，我们把它叫做( )，用字母（）表示，计算时通常取值( )。 考查目的：圆的认识；圆周率意义的理解。 答案：位置，大小；对称轴；固定的数，圆周率，，3.14。 解析：此题包括了圆心和半径对确定圆的位置和大小的作用；圆的轴对称图形特征；圆周率的意义及字母表示方法等知识。 3．看图填空（单位：厘米）。 图1：=（）cm 图2：=（）cm 图3：=（）cm 图4：=（）cm 考查目的：圆的直径与半径之间的关系。 答案：12；8.6；4.5；2.4。 解析：可以让学生自己独立观察、思考，填一填。然后让学生说说是如何分析得出答案的，初步培养学生推理能力，发展空间观念。教学实际中，可以让学生画出第二幅图和第四幅图中圆的直径，再和梯形的高、长方形的边长进行比较，验证结论。 4．画一个直径是5厘米的圆，圆规两脚之间的距离是（）厘米。如果要画一个周长是12.56厘米的圆，圆规两脚之间的距离应该是（）厘米，这个圆的面积是（）平方厘米。 考查目的：画圆的方法；圆的周长和面积计算。 答案：2.5；2，12.56。 解析：画圆时，圆规两脚之间的距离就是半径的长度；根据圆的周长公式，通过 计算得出画周长是12.56厘米的圆，半径是多少；再计算面积。该题可引导学生比较“题目 中出现了两个12.56，它们表示的意义相同吗？” 5．看图填空。
公式与割补 一。基本公式运用 1.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？ 2. 3. 4.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？ 5. 6. 7.周长是10π的圆的面积是多少？ 8. 9. 10.面积是9π的圆的周长是多少？ 11. 12. 例题 例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积和周长各是多少（圆周率按计算） 例题2.已知扇形面积为平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少（圆周率按计算） 60 例题3. 例题4. 随堂练习： 1.已知一个扇形的弧长为厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？
2. 3. 4. 扇形的面积是平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？ 5. 例题5.如图，直角三角形ABC 的面积是45，分别以B ，C 为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是．请问：角A 是多少度（π取） 例题6. 例题7. 一、 圆中方，方中圆 例题8.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________． 例题9. 例题10. 随堂练习： 1. 已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少（答案用 π表示） 2. 二、割补法 例题11. 求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按计算）：
（1） （2） 随堂练习： 求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按计算）： （1） （2） 例题12.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按计算）： （1） （2） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 2 4 7 2