《运筹学》线性规划部分练习题
一、思考题
1．什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？
2．线性规划问题的一般形式有何特征？
3．建立一个实际问题的数学模型一般要几步？
4．两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？
5．求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？
6．什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。
7．试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。
8．试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。
9．在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？
10．大M 法中，M 的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问题呢？
11．什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续第二阶段？
二、判断下列说法是否正确。
1．线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。
2．线性规划的可行解集是凸集。
3．如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。
4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大。
5．线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。
6．如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。
7．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与
>
j
σ
对应的变量都
可以被选作换入变量。
8．单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值是负的。
9．单纯形法计算中，选取最大正检验数k
σ对应的变量k x作为换入变量，可使目标函数值得到最快的减少。
10．一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
三、建立下面问题的数学模型
1．某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到
第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？
2．某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单
价如下表2—1所示：
设有某种原料的三个产地为321,,A A A ，把这种原料经过加工制成成品，再运往销售地。假设用4吨原料可制成1吨成品，产地1A 年产原料30万吨，同时需要成品7万吨；产地2A 年产原料26万吨，同时需要成品13万吨；产地3A 年产原料24万吨，不需要成品。又知1A 与2A 间距离为150公里， 1A 与3A 间距离为100公里，2A 与3A 间距离为200公里。原料运费为3千元 / 万吨公里，成品运费为2.5千元 / 万吨公里；在
1A 开设工厂加工费为5.5千元 / 万吨，在2A 开设工厂加工费为4千元 / 万吨，在3A 开设工厂加工费为3千元 / 万吨；又因条件限制，在2A 设厂规模不能超过年产成品5
万吨，1A 与3A 可以不限制（见表2——2），问应在何地设厂，生产多少成品，才使生产费用（包括原料运费、成品运费和加工费）最少？
工作八小时，为满足每班所需要的最少服务员数，这个旅馆至少需要多少服务员。
53500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季
为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季
0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500
只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如表2 — 4所示
6．市场对Ⅰ、Ⅱ两种产品的需求量为：产品Ⅰ在1 — 4月份每月需1万件，5—9月份每月需3万件，10 — 12月份每月需10万0件；产品Ⅱ在3 — 9月份每月需1.5万件，其它每月需5万件。某厂生产这两种产品的成本为：产品Ⅰ在1 — 5月份内生产时每件5元，6 — 12月份内生产时每件4.50元；产品Ⅱ在在1 — 5月份内生产时每件8元，
6 — 12月份内生产时每件7元；该厂每月生产两种产品能力总和不超过12万件。产品
Ⅰ容积每件0.2立方米，产品Ⅱ容积每件0.4立方米。该厂仓库容积为1万5千立方米，要求：（1）说明上述问题无可行解；（2）若该厂仓库不足时，可从外厂租借。若占用本厂仓库每月每立方米需1元，而租用外厂仓库时上述费用增加为1.5元，试问在满足市场需求情况下，该厂应如何安排生产，使总的生产加库存费用最少？（建立模型，不求解）
7．某工厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品在下一年个季度的合同预定数如表 2 —5所示，该三种产品第一季度初无库存，要求在在第四季度末每种产品的库存为150件。已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产产品Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ每件需3，4，3小时。因更换工艺装备，产品Ⅰ在第二季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品Ⅰ、Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿15元，又生产出来的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费为5元。问应如何安排生产，使总的赔偿加库存费用最小。
8
60
个为一箱。每箱玩具在不同的机器上加工所需的时间（天）如表2 —6 所示，本月可供使用的机器的时间为：Ａ为15天，Ｂ为20天，Ｃ为２４天。每箱玩具的价格为Ⅰ：1500元；Ⅱ：1700元；Ⅲ：2400元。问怎样安排生产，使总的产值最大。
产值，可变成本（即材料、人工等随产品数量变化的直接费用），加工工时等由表２—７给出，工厂有供纺纱的总工时7200h，织带的总工时1200h
（1）列出线性规划模型，以便确定产品数量，使总的利润最大。
（2）如果组织这次生产的固定成本（即与产品数量无关的间接费用）为20万元，线性规划模型有何变化？
表2 —7
10
产效率（每天制作的服装件数）等有关数据如表2—8所示，试确定各种服装的生产
数量，使总的加工费用最小。
11．某制衣厂生产两种服装，现有100名熟练工人。已知一名熟练工人每小时生产10件服装Ⅰ或6件服装Ⅱ。据销售部门消息，从本周开始，这两种服装的需求量将持续上升。见表2 — 9，为此，该厂决定到第8周末需培训出100名新工人，两班生产。已知一名工人一周工作40小时，一名熟练工人每周时间可培训出不多余5名的新工人（培训期间熟练工人和培训人员不参加生产）熟练工人每周工资400元，新工人在培训期间工资每周80元，培训合格后参加生产每周工资260元，生产效率同熟练工人。在培训期间，为按期交货，工厂安排部分工人加班生产每周工作50小时，工资每周600元。又若所定的服装不能按期交货，每推迟交货一周的赔偿费为：服装Ⅰ每件10元，服装Ⅱ每件20元。工厂应如何安排生产，使各项费用总和最少。
12．某家具制造厂生产五种不同规格的家具。每种家具都要经过机械成型、打磨、上漆几种主要工序。每种家具的每道工序所用时间及每道工序的可用时间，每种家具的利润由表2—10给出。问工厂应如何安排生产，使总的利润最大？
13．某混合饲料场饲养为某种动物配置。已知此动物的生长速度和饲料中的三种营养成分甲、乙、丙有关，且每头动物每天需要营养甲85克，乙5克，丙18克。现有五种饲料都含有这
三种营养成分，每种饲料每公斤所含营养成分及每种饲料成本如表 2—11所示，求即满足动物成长需要又使成本最低的饲料配方。
14A 可以按单位售价8元出售，也可以在第二车间继续加工，单位生产费用要增加6元，加工后单位售价增加9元。产品B 可以按单位售价7元出售，也可以在第三车间继续加工，单位生产费用要增加4元，加工后单位费用可增加6元。原料N 的单位购入价为2元，上述生产费用不包括工资在内。3个车间每月最多有20万工时，每工时工资0.5元，每加工1单位N 需1.5个工时，如A 继续加工,每单位需3工时，如B 继续加工，每单位需2个工时。原料N 每月最多能得到10万单位。问如何安排生产，使工厂获利最大。 15．某公司有30万元可用于投资，投资方案有下列几种：
方案Ⅰ：年初投资1元，第二年年底可收回1．2元。5年内都可以投资，但投资额不能超过１５万元。
方案Ⅱ：年初投资1元，第三年年底可收回1．3元。5年内都可以投资。 方案Ⅲ：年初投资1元，第四年年底可收回1．4元。5年内都可以投资。
方案Ⅳ：只在第二年年初有一次投资机会，每投资1元，四年后可收回1.7元。但最多投资额不能超过10万元。
方案Ⅴ：只在第四年年初有一次投资机会，每投资1元，年底可收回1.4元。但最多投资额不能超过20万元。
方案Ⅵ：存入银行，每年年初存入1元，年底可收回1.02元.
投资所得的收益及银行所得利息也可用于投资.求使公司在第五年底收回资金最多的投资方案.
16.某工厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四种产品，产品Ⅰ需依次经过A 、B 两种机器加工，产品Ⅱ需依次经过A 、C 两种机器加工，产品Ⅲ需依次经过B 、C 两种机器加工，产品Ⅳ需依次经过A 、B 机器加工。。有关数据如表2—12所示，请为该厂制定一个最优生产计划。
1．212max x x Z
+= 2．2122max x x Z +=
???
??≥≤+≤+0,12261553212121x x x x x x ???
??≥≤+--≥-0,25.01
212121x x x x x x
3．2132min x x Z += 4．21102min x x Z -=
?????≥≥+≥+0,233212121x x x x x x ?????≥-≥-≥-0,532212121x x x x x x 5．2193max x x Z += 6．21max x x Z += ?????
???
?≥≤-≤≤+-≤+0,0
5264
3232121
22121x x x x x x x x x
??????
?≥≥≥+≤+0,51020
22112121x x x x x x x
五、用单纯形法解下列线性规划问题。（可用大M 法或两阶段法）。 （1）3212max x x x Z
+-= （2）3212max x x x Z ++=
???????≥≤-+≤+-≤++0,,20102603321321321321x x x x x x x x x x x x ???????≥≤++≤+≥++0,,1628420424
22432132121321x x x x x x x x x x x
(3)32133max x x x Z ++= (4)432142max x x x x Z +++= ???????≥≤++≤++≤++0,,62253222321321321321x x x x x x x x x x x x ???????≥≤++≤+≤++0,,,343243432143221421x x x x x x x x x x x x
(5)432132max x x x x Z -++= （6）3211004030max x x x Z -+= ?
?????
?≥=+++=++=++0,,,1020
52153243214321
3
21321x x x x x x x x x x x x x x ?????≥=-+=-+0,,1233034321321321x x x x x x x x x (7) 43216max x x x x Z +-+= (8) 2134max x x Z +=
?
?????
?≥=+++=+=++0,,,1042185215243214321
3
13
21x x x x x x x x x x x x x ???????≥=+-=+=-++0,,,046312361243634321421314321x x x x x x x x x x x x x (9) 43218423min x x x x Z +++= (10)32125max x x x Z +-=
???
??≥≤-++-≥+++0,,,353528652432143214321x x x x x x x x x x x x
???
??
≥≥++≤++符号不限
321321321,,23264x x x x x x x x x
(11)432132max x x x x Z +-+= (12)321635max x x x Z ++=
??
???
????≥≥+-≤+-+-≤-+≥++-0,,,3132529243213143214324321x x x x x x x x x x x x x x x x x
??????
?
≥=++≤++≤++符号不限321321321321,0,101632182x x x x x x x x x x x x
六、表2—13中给出求极大化问题的单纯形表，问表中d c c a a ,,,,2121为何值时以及表中
变量属于哪一种类型时有：
（1）表中解为唯一最优解； （2）表中解为无穷多最优解之一； （3）表中解为退化的可行解；（4）下一步迭代将以1x 代替基变量5x ； （5）该线性规划问题具有无界解；（6）该线性规划问题无可行解。
七、某医院的护士分四个班次，每班工作12 h 。报到的时间分别是早上 6点 ，中午12点,下午 6 点，夜间 12点。每班需要的人数分别为19人，21人，18人，16人。问： （1）每天最少需要派多少护士值班？
（2）如果早上6点上班和中午12点上班的人每月有120元加班费，下午6点和夜间12
点上班的人每月分别有100元和150元加班费，如何安排上班人数，使医院支付的加班费最少？
八、某石油公司有两个冶炼厂。甲厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为200，300和200桶，乙厂每天可生产高级、中级和低级的石油分别为100，200和100桶。公司需要这三种油的数量分别为 14000，24000和14000桶。甲厂每天的运行费是5000元，乙厂是4000元。问：
（1）公司应安排这两个厂各生产多少天最经济？
（2）如甲厂的运行费是2000元，乙厂是5000元。公司应如何安排两个厂的生产。 列出线性规划模型并求解。
《运筹学》习题解答
第二章 线性规划模型及其单纯形法
二、(1) X (2) √ (3) √ (4) √ (5) X (6) X (7) √ (8) √(9) X (10) √ 三、
1．解：设决策变量1211
,x x 分别表示第一年投资到项目Ⅰ、Ⅱ的资金额；2321,x x 分别表
示第二年投资到项目Ⅰ、Ⅲ的资金额；3431
,x x 分别表示第三年投资到项目Ⅰ、Ⅳ的资
金额。则得线性规划模型如下：
3423123121114.06.05.02.02.02.0max x x x x x x Z +++++=
??
?
???
??
??
?
≥≤≤≤≤++-+--≤+++-≤+0,,,,,1000001500002000003000005.02.02.03000002.0300000342312312111342312342312312111231221111211x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
2．解：设五种饲料分别选取54321,,,,x x x x x 公斤，则得下面的数学模型：
543218.03.04.07.02.0min x x x x x Z ++++= ??????
?=≥≥++++≥++++≥++++)5,4,3,2,1(01008.022.05.0305.022.05.0700
12623543215432154321j x x x x x x x x x x x x x x x x j ；
3．解：设j i x 表示由i A 运往j A 的原料数（单位：万吨）（)3,2,1,
=j i 。其中j i =时，
表示i A 留用数；j i y 表示由i A 运往j A 的成品数（单位：万吨）（)3,2,1,=j i 。其中j i =时，表示i A 留用数；i z 表示在i A 设厂的年产成品数（单位：万吨）（)3,2,1=i 。
则这一问题的数学模型为：
3
2132312321
1312323123211312345.5)(5.2)(3min z z z y y y y y y x x x x x x Z ++++++++++++++=
??
?????????
?????
?????=≥≥≥≤=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++=++)3,2,1,(0,0,05137
4442413
30232221231
2111
33332312232221
1131211333231323222121312111333231232221
131211j i z y x z y y y y y y z y y y z
y y y z y y y z x x x z x x x z x x x x x x x x x x x x i j i j
i 4．解：设=i x i (1，2，3，4，5，6）为第i 班开始上班的服务员人数。则数学模型：
654321m i n
x x x x x x Z +++++= ??????
?????=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+)6,,1(030
40
708090
80655
4
433221
16 j x x x x x x x x x x x x x j
5．用321,,x x x 分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；54,x x 分别表示奶牛和鸡的饲
养数；76,x x 分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有 7654321252020900460041003000max x x x x x x x Z ++++++=
??
?
???
??
?
??=≥≤≤≤+++++≤+++++≤+≤+++)7,,2,1(0)(1500)(200)(40003.0504017550)(35006.010*******)(150003400)(1005.154754321654321544
321 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j
鸡舍限制牛栏限制劳动力限制劳动力限制资金限制土地限制
6．解：（1）因为10 — 12月份市场需求总计45万件，这三个月最多生产36万件，故需10月初有9万件的库存，超过该厂的最大仓库容积，故按上述条件，本题无解。
（2）考虑到生产成本、库存费用和生产能力，该厂１０— １２月份需求的不足只需在７
— ９月份生产出来留用即可，故设：i x 为第i 个月生产的产品Ⅰ的数量；i y 为第i 个月生
产的产品Ⅱ的数量；i i u z ,分别为第i 个月末产品Ⅰ、Ⅱ的库存数，i i s
s 21,分别为用于第（i ＋１）个月库存的原有及租用的仓库容积（立方米），则所求问题的数学模型为：
∑∑∑===+++++=126
11
7
2151
)
()75.4()85(min i i i i i i i i i s s y x y x Z
???
???
?????
???
????
?≥=≤=+=+=≤+=+=+=-+=-+=-+=-+=-+=-+=-+=-+=-=-========0,,,,,)12,11,10,9,8,7(15000
)12,11,10,9,8,7(4.02.0)12,11,10,9,8,7(120000500001000005000010000050000100000150003000015000300001500030000)6,5,4,3(15000)2,1(50000)6,5(30000)4,3,2,1(10000211211112111211
10111110111091010
9109899898
788787777i i i i i i i i i i i i i i i
i i s s u z y x i s i s s u z i y x u y z x u u y z z x u u y z z x u u y z z x u u y z z x u y z x i y i y i x i x
7．解：设j i x 为第i 个季度生产的产品j 的数量；j i s 为第i 个季度末需库存的产品j 的数量；j i t 为第i 个季度不能交货的产品j 的数量；j i y 为第i 个季度对产品j 的预定数量，
则有：
[]
∑∑∑===+++=4
1
313
1
321515)(20min i i j j
i i i i s t t t Z
???????????≥===-+=+===≤++∑∑∑∑====0,,)3,2,1;4,3,2,1()3,2,1(1500)
4,3,2,1(15000114
14
1
1
2321j i j i j i i
k i k j k j i j i j k i i j i j i i i i t s x j i y s t x j y x x i x x x ８．设j x 为第)3,2,1(=j j 种玩具的生产数量，则有：
321240017001500max x x x Z ++=
??????
?≥≤+≤++≤++为整数0,,24252022315623212
1321321x x x x x x x x x x x
９．解：（１）设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品的生产数量分别为4321,,,x x x x ，则有：
4321)140406()3501050()28140()42168(max x x x x Z -+-+-+-=
???
?
?≥≤+≤+++0,,,12005.027200410234321434321x x x x x x x x x x
（２）当增加固定资本２０万元时，线性规划模型没有变化。
10．解：设j
i x )3,2,1;4,3,2,1(==j i 为第j 台制衣机生产第i 种服装的天数，则有：
∑∑∑===++=4
1
4
1
3
24
1
115010080min i i i i i i x x x Z
??
???
????==≥≤++≤++≤++≤++)3,2,1;4,3,2,1(08000
45041015070006803502009000
7004502801000080060030043
4241333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x j i
11．解：设i i y x ,分别表示第i 周用于生产服装Ⅰ或服装Ⅱ的工人数，i z 表示第i 周开始加
班的工人数，i w 为从第i 周开始参加培训新工人的熟练工人数，i u 表示第i 周起开始接受培
训的新工人数，1i v 和2i v 分别为第i 周末没能按期交货的服装Ⅰ或服装Ⅱ的数量，1i M 和2
i M 分别为第i 周对服装Ⅰ或服装Ⅱ的定货量，则有：
∑∑∑===-++++=8
1
8
1
218
1
)]8(26080[)2010(600min i i i
i i i i u i v v z Z
[][]?????????????
????≥≤≤≤=≤≤++=+++=++==+==+∑∑∑∑∑∑======0,,,,,,)
81(5100)
82(25.010025.0100)
8,,2,1(240)
8,,2,1(400218
11
11111
1
221
111i i i i i i i i
i
i i
i
t i t i i i
k i k
i i i i k
i k
i i i i v v u w z y x i w u u i z u w y x z w y x k M v y k M v x
12．解：设五种家具的产量分别为54321,,,,x x x x x 件，则有
5432135.25.437.2min x x x x x z ++++=
??????
?≥≤++++≤++++≤++++0,,,,2800543323950465343600
3264354321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
13．解：设
j x )
5,4,3,2,1(=j 为每公斤混合饲料中所含五种饲料的重量，则有
5432134562min x x x x x z ++++=
??????
?≥≥++++≥++++≥++++0,,,,1802.025.035.070.008.0520.015.004.006.010.08580.050.100.300.250.054321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
14．解：设1x ：产品A 的售出量；2x ：A 在第二车间加工后的售出量；
3x ：产品B 的售出量；4x ：B 在第三车间加工后的售出量；
5x ：第一车间所用的原料数量。则有
5432175.2875.98max x x x x x z -+++=
?????
????≥=-+=-+≤++≤0,,,,0
203200000
5.123100000
54321543
5215425x x x x x x x x x x x x x x x
15．解：设j i x 为第i 种投资方案在第j 年的投资额)5,,2,1;
6,,2,1( ==j i ，则有：
6542231402.17.13.12.1max x x x x z +++= ????????
??
?????≥≤=≤++++=++=+++=++≤=++++=+++0
200000)4,3,2,1(1500002.14.14.13.12.102.13.12.102.12.110000002.130000054164
5431221365
63
2112645414621163231342616242322212
61312111j i j x x j x x
x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
16．解：设)4,3,2,1(=j x j
为第j 种产品的生产数量，则有
43214321256.295.325.2752385549max x x x x x x x x Z ----+++=
?????????≥≤+≤++≤++0,,,7015
1012010102015020201043213
24314
21x x x x x x x
x x x x x
其中：49=65-16 ；27.5=200/20 + 150/10 ，依次类推。 四、解：
1．有唯一最优解，3,0,621*
===x x z
；
2．有可行解，但Z max 无界；
3．有唯一最优解，
21,23,2921*===x x z ； 4．无可行解；
5．有无穷多个最优解，66*
=z
；
6．有唯一最优解，
10,5,1521*===x x z . 五、解：1．
0,5,15,25321*
====x x x z 2．有无穷多个最优解 ，例如0,0,4321===x x x ；或
8,0,0321===x x x 等 ，此时8*=z .
3．6.1,0,2.0,4.5321*====x x x z . 4．5.0,1,1,5.6321*
====x x x z
5.
0,5.2,5.2,5.2.154321=====*x x x x z . 6.
0,2,6.260321====*x x x z . 7. 无可行解。 8. 0,4,0,0.04321=====*x x x x z .
9. 21.0,35.1,0,0.08.74321=====*x x x x z . 10. 10,0,16.70321-====*x x x z .
11. 4.3,0,2.4,8.9.6.354321=====*x x x x z 12.
4,0,14.46321-====*x x x z
六、解：(1)
0,0,021<<≥c c d ；
(2) 0,0,021≤≤≥c c d , 但 21,c c 中至少有一个为零 ； （3）0=d ，或 0>d ，而01>c ，且234a d =； （4）01>c ，234a d >； （5）0,012≤>a c ；
（6）5x 为人工变量，且0,021
≤≤c c .
七、解：设4321,,,x x x x 分别表示早上 6点 ，中午12点,下午 6 点，夜间 12点
开始上班的人数。则有 （1）4321min x x x x Z +++=；（2）4321150100)(120min x x x x Z +++=
?????
????≥≥+≥+≥+≥+0,,,16
1821
19
4
32143
322141x x x x x x x x x x x x ；
?????
????≥≥+≥+≥+≥+0,,,16
1821
19
432143
322141x x x x x x x x x x x x
解得：（1）0,16,2,19,374321=====*x x x x z ； （2）0,16,2,19,41204321=====*
x x x x z
。
八、解：（1）解得 60,40,44000021===*x x z ； （2）解得 60,40,38000021===*x x z 。
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题
1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？
2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？
3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？
4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？
5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？
6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意
义是什么？
7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为
求最小值），其经济意义是什么？
8．将i j j
i b
c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确
1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。
3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。
4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。
5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。
6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>*
i y ，说明在最优生产计
划中，第i 种资源已经完全用尽。
7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=*i y ，说明在最优生产计
划中，第i 种资源一定还有剩余。
8．对于i j j
i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围
之后，线性规划的最优解就会发生变化。
9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加
u k 。
10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0
所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题 （1）32123max x x x Z
++= （2）4321322max x x x x z +++=
?
?????
?≥≤++≤-+≤++0,,9
237245
2321321321321x x x x x x x x x x x x ； ???????≥≥+--=+-≤+++无约束43214313214321,,0,31
3212x x x x x x x x x x x x x x ； （3）32132min x x x z --= （4）3212min x x x z ++= ???????≥=++-≥--≤+-无约束321321321321,0,1042742523x x x x x x x x x x x x ； ???????≥≥-+-=--≤++无约束321321321321,0,3453532722x x x x x x x x x x x x ； （5）321347max x x x z +-= （6）321345min x x x z +-= ?
?????
?≤≥=+≥--≤-+无约束23132321221,0,030351546324624x x x x x x x x x x x ；
??????
?≥=+≤-+≥+无约束1323232131
,0,306415458872x x x x x x x x x x 。
四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题 （1）32123min x x x Z
++= （2）321422max x x x z ++=
???????≥≥-≥-≤++0,,3463213231321x x x x x x x x x x ； ?
?????
?≥≤++≤++≥++0,,5643732
532321321321321x x x x x x x x x x x x ； （３）43211216812min x x x x z +++= （４）321425min x x x z ++=
???
??≥≥++≥++0,,,342224243214213
21x x x x x x x x x x ；
???
??≥≥++≥++0,,125367
23321321421x x x x x x x x x ；
五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时j c 与i b 的变化范围。 （１）1213max x x x z
++= （２）4211935089max x x x z x +++=
?????≥≤++≤++0,,323222321321321x x x x x x x x x ； ?????≥≤+≤+++0,,,6418410234321434321x x x x x x x x x x ； （３）32134max x x x z ++= （４）432181026max x x x x z +++=
?????≥≤++≤++0,,622422*********x x x x x x x x x ； ???????≥≤++-≤++-≤--+0,,,1032425
82332044654321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ．
六、已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中54,x x 为松弛变量，
问题的约束为 ≤ 形式
（２）写出原问题的对偶问题；
（３）直接由表３—１写出对偶问题的最优解。
七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利
润及有关数据如表1—4所示，分别回答下列问题：
（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；
（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？ （3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５
单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划； （4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购
买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？
（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划．
八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３—４。 （２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到
50/6 ，求最优生产计划。
（４）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？
（５）设备A 的能力如为100+10θ ，确定保持原最优基不变的θ 的变化范围。
（６）如有一种新产品丁，加工一件需设备A 、B 、C 的台时各为1、4、3小时，预期每件
的利润为8元，是否值得安排生产？
（７）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。
《运筹学》
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答
二．解：（1）√ （2）√（3）X （4）√(5) √（6）√（7）X （8）X （9）X （10）X 三、（1）32
1975min y y y w ++= （2）321312min y y y w +-=
???????≥≥+-≥++≥++0,,122
223343213213
21321y y y y y y y y y y y y ； ?????????≤≥=+=-+≥-≥++无约束
2313132121321,0,013322
2y y y y y y y y y y y y y ； （3）3211075max y y y w ++= （4）321356max y y y w ++=
??????
?≥≤-=+--≤+--≤-+无约束
321321
321321,0,03422241
23y y y y y y y y y y y y ； ???????≥≤=--≤+-≤-+0,02421
531322321321321321y y y y y y y y y y y y 无约束， （5）321301524min y y y w ++= （6）32130158max y y y z ++= ???????≤≥≤+---=+-≥+无约束32132132121,0,033464562734y y y y y y y y y y y ； ???????
≤≥≤+--≤+=+无约束3213213221,0,03647445582y y y y y y y y y y 。
四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下：
由于基变量4
x所在行的j i a值全为非负，故问题无可行解。
（２）最优解为
T
X
z]0,2.1,2.0[
,
8.2=
=
*
；
（３）最优解为
T
X
z]0,0,1,5.0[
,
14=
=
*
；
（４）最优解为
T
X
z]0,2,
3
4
[
,
3
32
=
=
*
；
五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表３—２(1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) ．
（1）
且
+∞
<
≤
≤
<
∞
-
≤
<
∞
-3
2
1
2
,
5.1
,
3c
c
c；
+∞
<
≤
≤
≤2
1
1
,
6
0b
b。
(2)
且
20
5.
18
,
52
5.
47
,
3
26
,
134
3
2
1
≤
≤
≤
≤
≤
≤
∞
-
≤
<
∞
-c
c
c
c；
2.75.4,241521≤≤≤≤b b 。
（3）
且
42,63,3321≤≤≤≤≤<∞-x c c ； 84,6321≤≤≤≤b b 。
(4)
资源3的影子价格为7/16 ，资源2的影子价格为5/8 。
且 4
21415,3168,833.2833.1321≤≤≤≤≤≤x c c ；
3408,248,26322,114321
≤≤≤≤≤≤+∞<≤b b b b 。
六、解：（１）原线性规划问题：3211026max x x x z
+-=
???
??≥≤+-≤+0
,103522132122x x x x x x x ；
（２）原问题的对偶规划问题为：
21105min y y w +=
?
?????
?
≥≥+-≥-≥0,1022632121212y y y y y y y ；
（３）对偶规划问题的最优解为：
)2,4(=*
Y 。 七、解：（１）设321,,x x x 分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为
32154max x x x z ++=
?
??
??≥≤++≤++0,,3054345536321321321x x x x x x x x x ；
得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—3）
可得T X ]3,0,5[=*，35=*z ；
（2）产品甲的利润变化范围为 [ 3，6 ] 。
（3）安排生产丁有利，新最优计划为生产产品丁15件，而0321
===x x x ；
（4）购进原料B 15单位为宜； （5）新计划为 30,]6,0,0[==**z X T
。
八、解：（1）设321,,x x x 分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为
3214610max x x x z ++=
运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 . 2、某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下： 建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 . 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 . 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携 试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如下图所示： 根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 6、A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时。 每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出售A 、B 、C 的利润分别为3、 7、2元，每单位产品C 的销毁费用为1元。预测表明，产品C 最多只能售出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。
运筹学习题精选
运筹学习题精选 第一章线性规划及单纯形法 选择 1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C ) A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量 2．约束条件为0 AX的线性规划问题的可行解集 b ,≥ =X 是………………………………………( B ) A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集 3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。 A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点 4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B) A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的 5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D) A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点 6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解 7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C ) A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A ) 第 2 页共 30 页
第 3 页 共 30 页 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。 A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空 计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。 2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量， 表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断→j c 0 0 0 28 1 2 B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G
第一章线性规划 1．1将下述线性规划问题化成标准形式 1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4 －x2＋2x3－x4＝－2 4x st. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14 －2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2 x1，x2，x3≥0，x4无约束 2)min z ＝2x1－2x2＋3x3 ＋x2＋x3＝4 －x st. －2x1＋x2－x3≤6 x1≤0 ，x2≥0，x3无约束 1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1)min z＝2x1＋3x2 4x1＋6x2≥6 st2x1＋2x2≥4 x1，x2≥0 2)max z＝3x1＋2x2 2x1＋x2≤2 st3x1＋4x2≥12 x1，x2≥0 3)max z＝3x1＋5x2 6x1＋10x2≤120 st5≤x1≤10 3≤x2≤8 4)max z＝5x1＋6x2 2x1－x2≥2 st－2x1＋3x2≤2 x1，x2≥0 1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4 x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7 st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3 x1，x2，x3，x4≥0
1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz ＝10x 1＋5x 2 3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0 2) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0 1．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。 1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0 2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 . 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4 x 1＋ x 2－ x 3＝5 3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0 123123 123123123 4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤??-++≤?? ++ ≥??≥? 1．6
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。 因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。 （1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。 （2）用代数方法建立一个同样的模型。 （3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。 （4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少？ 3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30美元。Doug制作木框窗户，每天可以制作6扇。Linda制作铝框窗户，每天可以制作4扇。Bob切割玻璃，每天可以切割48平方英尺。每一扇木框窗户使用6平方英尺的玻璃，每一扇铝框窗户使用8平方英尺。 公司需要确定每天要制作多少窗户才能使得总利润最大。 （1）为这个问题建立一个电子表格模型，找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，
运筹学试题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
运筹学试题 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。 2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。 二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零
11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】 A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 14．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】 A．矩阵对策的解可以不是唯一的 C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失 D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值 【】 A．2 8．—l C．—3 D．1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】 A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解
基础课程教学资料祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量 运筹学填空/选择/简答题题库 第一章运筹学概念部分欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学 决策的依据。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，s.t表示约束（subject to 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 1
运筹学复习题 第一章 线性规划及单纯形法 一、单选题 1. 线性规划具有无界解是指 A. 可行解集合无界 B. 有相同的最小比值 C. 存在某个检验数0k λ>，且0(1,2,,)ik a i m ≤= D. 最优表中所有非基变量的检验数非零 2. 线性规划具有唯一最优解是指 A. 最优表中非基变量检验数全部非零 B. 不加入人工变量就可进行单纯形法计算 C. 最优表中存在非基变量的检验数为零 D. 可行解集合有界 3. 线性规划具有多重最优解是指 A. 目标函数系数与某约束系数对应成比例 B. 最优表中存在非基变量的检验数为零 C. 可行解集合无界 D. 基变量全部大于零 4. 使函数Z=-x 1+x 2+2x 3 减小最快的方向是 A. (-1,1,2) B. (1,-1,-2) C. (1,1,2) D. (-1,-1,-2) 5. 当线性规划的可行解集合非空时一定 A. 包含点X =(0,0,···,0) B. 有界 C. 无界 D. 是凸集 6. 线性规划的退化基可行解是指 A. 基可行解中存在为零的非基变量 B. 基可行解中存在为零的基变量 C. 非基变量的检验数为零 D. 所有基变量不等于零 7. 线性规划无可行解是指 A. 第一阶段最优目标函数值等于零 B. 进基列系数非正 C. 用大M 法求解时，最优解中还有非零的人工变量 D. 有两个相同的最小比值 8. 若线性规划不加入人工变量就可以进行单纯形法计算 A. 一定有最优解 B. 一定有可行解 C. 可能无可行解 D. 全部约束是小于等于的形式 9. 设线性规划的约束条件为 1231242224 01234 (,,,)j x x x x x x x j ?++=? ++=??≥=? 则非退化基本可行解是 A. (2， 0，0， 0) B. (0，2，0，0) C. (1，1，0，0) D. (0，0，2，4) 10. 设线性规划的约束条件为 1231242224 01234 (,,,)j x x x x x x x j ?++=? ++=??≥=? 则非可行解是 A. (2，0，0， 0) B. (0，1，1，2) C. (1，0，1，0) D. (1，1，0，0) 11. 线性规划可行域的顶点一定是 A. 可行解 B. 非基本解 C. 非可行解 D. 是最优解 12. 1234min z x x =+
某昼夜服务的公交线路 解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6≥60 x1 + x2≥70 x2 + x3≥60 x3 + x4≥50 x4 + x5≥20 x5 + x6≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 解得50,20,50,0,20,10（x1到x6）一共需要150人 一家中型的百货商场 解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0 解得12.0.11.5.0.8.0(x1到x7) 最小值36 某工厂要做100套钢架 设x1,x2,x3,x4,x5 分别为5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 s.t. x1 + 2x2 +x4≥100 2x3+2x4 +x5≥100 3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解得30,10,0,50,0 只需要90根原料造100钢架某工厂要用三种原料1、2、3 设设x ij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 -0.25x11+0.75x12 -0.25x13≤0 0.75x21-0.25x22 -0.25x23≥0 -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23≤0 x11+x21 +x31≤100 x12+x22 +x32≤100 x13+x23+x33≤60 x ij≥0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 解得x11=100,x12=50,x13=50原料分别为第1种100 第2种50 第3种50 资源分配 解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3）。xk=分配给第k个工厂的设备台数。 已知s1=5, 并有S2=T1(s1,x1)=s1-x1,S3=T2(s2,x2)=s2-x2从Sk与Xk的定义，可知s3=x3 以下我们从第三阶段开始计算。Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3)即F3（s3）= Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3). 第二阶段F2（s2）=max[r2(s2,x2)+f3(s3)]第一阶段当s1=5时最大盈利为f1(5)=max[r1(5,x1)+f2(5-x1)] 得出2个方案⑴分配给甲0台乙0台丙3台⑵分配甲2台乙2台丙1台，他们的总盈利值都是21. 背包 设Sk＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日Xk=在第k种咨询项目中处理客户的数量已知s1=10,有S2=T1(s1,x1)=s1-x1. S3=T2(s2,x2)=s2-3x2. S4=T3(s3,x3)=s3-4x3,第四阶段F4(s4)=maxr4(s4,x4)=r4(s4,[s4/7])第三阶段F3(s3)=max[r3(s3,x3)+f4(s3-4x3)]第二阶段F2(s2)=max[r2(s2,x2)+f3(s2-3x2)]第一阶段已知s1=10，又因s2=s1-x1有F1(10)=max[r1(10,x1)+f2(10-x1)] 综上当x1*=0,x2*=1,x3*=0,x4*=1,最大盈利为28 京城畜产品 解：设：0--1变量xi = 1 (Ai 点被选用）或0 (Ai 点没被选用）。这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤720 x1 + x2 + x3 ≤2 x4 + x5 ≥1 x6 + x7 ≥1 x8 + x9 + x10 ≥2 xi≥0 且xi为0--1变量，i = 1,2,3,……,10 函数值245 最优解1,1,0,0,1,1,0,0,1,1（x1到x10的解） 高压容器公司
运筹学习题 1.某商业集团公司在A1，A2，A3三地设有三个仓库，它们分别存40，20，40个单位产品，而其零售店分布在地区B i，i=1，┅，5，他们需要的产品数量分别是25 2.某饲养场所用混合饲料由n种配料组成，要求这种混合饲料必须含有m种不同的营养成分，并且每一份混合饲料中第i种营养成分的含量不能低于b j。已知每单位的第j种配料中所含第i种营养成分的量为a ij，每单位的第j种配料的价格为c j。在保证营养的条件下，应如何配方，使混合饲料的费用最省。试建立这个营养问题的数学模型，然后将其化成标准形式的线性规划问题。 3.用图解法求解下列线性规划问题： (1) 12 12 1 2 min3 ..20 612 2 x x s t x x x x + ? ?+≥ ? ? ≤≤ ? ?≥ ? (2) 12 12 12 1 2 min2 ..2512 28 4 3 x x s t x x x x x x + ? ?+≥ ?? +≤ ? ?≤≤ ? ?≤≤ ? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题： (1) 123 123 123 123 min2 ..360 210 20 0,1,2,3 j z x x x s t x x x x x x x x x x j ?=--+ ? ++≤ ? ? -+≤ ? ?+-≤ ? ?≥= ? (2) 1234 123 124 min3 ..224 6 0,1,2,3,4 j z x x x x s t x x x x x x x j =+++ ? ?-++= ? ? ++= ? ?≥= ? 3 5.用两阶段法求解下列问题： (1) 123 1234 1234 2 max342 ..30 4 0,1,2,3,4 j z x x x s t x x x x x x x x x x j ?=++ ? +++≤ ? ? ++≤ ? ?≥ ? ?≥= ? 36 -2(2) 12 12 12 12 min24 ..232 3 ,0 z x x s t x x x x x x =+ ? ?-≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? -
运筹学试题库 一、多项选择题 1、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的标准型右端项非零； B、线性规划的标准型目标求最大； C、线性规划的标准型有等式或不等式约束； D、线性规划的标准型变量均非负。 2、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划有可行解则有最优解； D、线性规划的最优值至多有一个。 3、设线性规划问题（P），它的对偶问题（D），那么（）。 A、若（P）求最大则（D）求最小； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、若（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制； D、（P）和（D）互为对偶。 4、课程中讨论的运输问题有基本特点（）。 A、产销平衡； B、一定是物品运输的问题； C、是整数规划问题； D、总是求目标极小。 5、线性规划的标准型有特点（）。 A、右端项非零； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量均非负。 6、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 7、线性规划模型有特点（）。 A、所有函数都是线性函数； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量非负。 8、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是最优； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 9、一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（）。 A、（P）有可行解则（D）有最优解； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解； D、（P）（D）互为对偶。 10、运输问题的基本可行解有特点（）。 A、有m＋n－1个基变量； B、有m+n个位势； C、产销平衡； D、不含闭回路。
第二章思考题、主要概念及内容图解法、图解法的灵敏度分析 1. 考虑下面的线性规划问题： max z=2x1+3x2； 约束条件：x1+2x2≤6， 5x1+3x2≤15， x1，x2≥0． (1) 画出其可行域． (2) 当z=6时，画出等值线2x1+3x2=6． (3) 用图解法求出其最优解以及最优目标函数值． 2. 用图解法求解下列线性规划问题，并指出哪个问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解．(1) min f=6x1+4x2； 约束条件：2x1+x2≥1， 3x1+4x2≥3， x1，x2≥0． (2) max z=4x1+8x2； 约束条件：2x1+2x2≤10， -x1+x2≥8， x1,x2≥0． (3) max z=3x1-2x2； 约束条件：x1+x2≤1， 2x1+2x2≥4， x1，x2≥0． (4) max z=3x1+9x2；
约束条件：x1+3x2≤22， -x1+x2≤4， x2≤6， 2x1-5x2≤0， x1，x2≥0 3. 将下述线性规划问题化成标准形式： (1) max f=3x1+2x2； 约束条件：9x1+2x2≤30， 3x1+2x2≤13， 2x1+2x2≤9， x1，x2≥0． (2) min f=4x1+6x2； 约束条件：3x1-x2≥6， x1+2x2≤10， 7x1-6x2=4， x1，x2≥0． (3) min f=-x1-2x2； 约束条件：3x1+5x2≤70, -2x1-5x2=50， -3x1+2x2≥30， x1≤0，-∞≤x2≤∞． (提示：可以令x′1=-x1，这样可得x′1≥0．同样可以令x′2-x″2=x2，其中x′2，x″2≥0．可见当x′2≥x″2时，x2≥0；当x′2≤x″2时，x2≤0，即-∞≤x2≤∞．这样原线性规划问题可以化为含有决策变量x′1，x′2，x″2的线性规划问题，这里决策变量x′1，x′2，x″2≥0．) 4. 考虑下面的线性规划问题：
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
一、单选题 1．目标函数取极小（minZ ）的线性规划问题可以转化为目标函数取极大的线性规划问题求解，原问题的目标函数值等于（ ）。 A. maxZ B. max(-Z) C. –max(-Z) D.-maxZ 2．下列说法中正确的是（ ）。 A ．基本解一定是可行解 B ．基本可行解的每个分量一定非负 C ．若B 是基，则B 一定是可逆 D ．非基变量的系数列向量一定是线性相关的 3．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为 （ ） A.多余变量 B ．松弛变量 C ．人工变量 D ．自由变量 4. 当满足最优解，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得（ ）。 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 5．对偶单纯型法与标准单纯型法的主要区别是每次迭代的基变量都满足最优检验但不完全满足 （ ）。 A ．等式约束 B ．“≤”型约束 C ．“≥”约束 D ．非负约束 6. 原问题的第ｉ个约束方程是“＝”型，则对偶问题的变量i y 是（ ）。 A ．多余变量 B ．自由变量 C ．松弛变量 D ．非负变量 7.在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目( )。 A.等于m+n B.大于m+n-1 C.小于m+n-1 D.等于m+n-1 二、判断题 1．线性规划问题的一般模型中不能有等式约束。 2．对偶问题的对偶一定是原问题。 3．产地数与销地数相等的运输问题是产销平衡运输问题。 4．对于一个动态规划问题，应用顺推或逆解法可能会得出不同的最优解。 5．线性规划问题的每一个基本可行解对应可行域上的一个顶点。 6．线性规划问题的基本解就是基本可行解。 三、填空题 1．如果某一整数规划：MaxZ=X 1+X 2 X 1+9/14X 2≤51/14 -2X 1+X 2≤1/3 X 1,X 2≥0且均为整数 所对应的线性规划（松弛问题）的最优解为X 1=3/2，X 2=10/3，MaxZ=6/29，我们现在要对X 1进行分枝，应该分为 和 。 2．如希望I 的2 倍产量21x 恰好等于II 的产量2x ，用目标规划约束可表为： 3. 线性规划解的情形有 4. 求解指派问题的方法是 。 5．美国的R.Bellman 根据动态规划的原理提出了求解动态规划的最优化原理为 6. 在用逆向解法求动态规划时，f k (s k )的含义是：
运筹学题库 一、选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.科技预测的短期预测时间为【】 A.1～3年 B.3～5年 C.5～10年 D.3～7年 2.下述预测方法中，不属于 ．．．定量方法的是【】 A.算术平均数预测法 B.特尔斐法 C.非线性回归预测法 D.指数平滑法 3.适用在风险条件下进行决策的方法是【】 A.最大最小决策标准 B.保守主义决策标准 C.期望利润标准 D.现实主义决策标准 4.在不确定 ．．．条件下的决策标准中，最大最小决策标准把每个可行方案在未来可能遇到最佳的自然状态的概率定为【】 A.1 B.0 C.0.5 D.0～1间任意值 5.投入库存物资方面的资金应属于【】 A.订货费用 B.保管费用 C.进厂价 D.其它支出 6.用单纯形法求解线性规划问题时引入的松弛变量在目标函数中的系数为【】 A.0 B.很大的正数 C.很大的负数 D.1 7.为建立运输问题的改进方案，在调整路线中调整量应为【】 A.负号格的最小运量 B.负号格的最大运量 C.正号格的最小运量 D.正号格的最大运量 8.求解某运输问题过程中得到如下运输方案： 以下说法错误 ．．的是【】
A.该方案中出现了退化现象 B.对于这种方案，表上作业法无法继续往下求解 C.这是一个供需平衡问题 D.对于这种方案，表上作业法仍可继续往下求解 9.下列选项中结果一定为0的是【 】 A.虚活动的作业时间 B.活动的总时差减去专用时差 C.活动的局部时差减去专用时差 D.结点时差 10.已知某一活动i →j 开始的最早时间ES i,j =3，该活动的作业时间为5，则结点j 的最迟完成时间LF j 为【 】 A.3 B.8 C.不确定 D.2 11.若u=(u 1,u 2,……,u n )为概率向量，则【 】 A.u i ≥0,(i=1,2,……,n) B. ∑=n 1 i i u =0 C.u i ≠0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 D.u i ≥0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 12.要用最少费用建设一条公路网，将五个城市连接起来，使它们可以相互到达，已知建设费用与公路长度成正比，那么该问题可以看成是【 】 A.最小枝杈树问题求解 B.树的生成问题求解 C.最短路线问题求解 D.最大流量问题求解 13.据教材介绍，不属于．．．盈亏平衡分析在企业管理中应用研究的内容是【 】 A.产品规划 B.厂址选择、设备选择 C.推销渠道的选择、自制或外购选择 D.预测人口变动情况 14.“计划性能法”是盈亏平衡分析的基础。作为“计划性能法”的第一步，是把固定成本分为【 】 A.预付成本和计划成本 B.预付成本和可变成本 C.可变成本和计划成本 D.总成本和计划成本 15.处理等待时间问题，应该运用【 】 A.随机系统的模拟方法 B.仓库系统的模拟方法 C.网络系统的模拟方法 D.排队系统的模拟方法 16．下列向量中的概率向量是【 】 A ．（0.1,0.4,0,0.5） B ．（0.1,0.4,0.1,0.5） C ．（0.6,0.4,0,0.5） D ．（0.6,0.1,0.8,-0.5） 17．当企业盈亏平衡时，利润为【 】 A ．正 B ．负 C ．零 D ．不确定 18．最小最大遗憾值决策准则用来解决【 】条件下的决策问题 A ．不确定性 B ．确定 C ．风险 D ．风险或不确定 19．在不确定的条件下进行决策，下列哪个条件是不必须具备的【 】 A ．确定各种自然状态可能出现的概率值 B ．具有一个明确的决策目标
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四、把下列线性规划问题化成标准形式： 2、minZ=2x1-x2+2x3 五、按各题要求。建立线性规划数学模型 1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：
根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250 ，280和120件。问如何安排生产计划，使总利润最大。 2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋 90根，长度为4米的 钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省? 1．某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示：起运时间服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?
五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相 当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题： 七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10 X l X2X3X4 —10 b -1 f g X3 2 C O 1 1／5 X l a d e 0 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解? （1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2）表中给出的解为最优解 第四章线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3
3）若问题中 x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3若问题中 x2列的 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 系数变为（3，2）T则P2’=(1/3,1/5 σ2=-4/5＜0所以对最优解没有影响 4）c2由 1 变为2 σ2=-1＜0所以对最优解没有影响 7.求如图所示的网络的最大流和最小截集 ）。（10分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 (割集，每弧旁的数字是（cij , fij b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 (7,7 6/9 V2最大流＝11 (5,5 V4 8.某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C三种设 备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产 单 品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300
第一章 线性规划习题 1. 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 1) min Z ＝－3x 1＋4x 2－2x 3＋5x 4 s.t.???????≥≥+-+-≤-++-=-+-. ,0,,22321432244321432143214321无约束x x x x x x x x x x x x x x x x 2) max S ＝z x ／p k s.t.???? ????? ==≥=-=-=∑∑∑===).,...,2,1;,...,2,1(0),,...,2,1(1, 1 11 m k n i x n i x x a z ik m k ik n i m k ik ik k 2. 分别用单纯法中的大M 法和两阶段法求解下述线性规划问题： min Z ＝2x 1＋3x 2＋x 3 s.t.??? ??≥≥+≥++.0,,,623, 8243 212 1321x x x x x x x x 并指出该问题的解属哪一类解。 3. 【表1-6】是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。表中无人工变量， a 1, a 2, a 3, d , c 1, c 2为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。 1) 表中解为唯一最优解； 2) 表中解为最优解，但存在无穷多最优解； 3) 该线性规划问题具有无界解； 4) 表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x 1，换出变量为x 6。 表1-6 4. 某饲料厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。已知各 种牌号饲料中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲料的单位加工费及售价如【表1-7】所示。 表1-7