第二十五章、概率初步章节复习辅导讲义
一、知识网络
必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件
确定事件
不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件
随机事件：在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件概率初步概率：表示随机事件发生的可能性的大小的数值叫做概率，必然事件的概
率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间用列举法求概率：用列表或画树形图把所有可能的结果一一列举出来，然
后再求事件的概率的方法
用频率估计概率：利用多次重复试验，通过统计试验结果去估计概率
二、与概率有关的概念
1.必然事件：在一定条件小必然发生的事件。如哥哥的年纪比弟弟的大，1大于0等。
2.不了能事件：在一定条件下不了能发生的事件：如铁在常温下熔化，哥哥的年纪比弟弟
小等。
3.随机事件：在一定条件可能发生，也可能不发生的事件。如抛出的硬币人字头朝上、买
彩票能中奖等。
4.概率：表示随机事件发生的可能性的大小的数值。
（1）概率的表示：概率一般用p表示，在表示多个事件的概率时，可以用p1、p2….或p A、p B…或p甲、p乙…加以区别。
（2）必然事件的概率p=1
（3）不可能事件的概率p=0
（4）随机事件的概率：0＜p＜1.
（5）确定事件和随机事件的概率之间的关系：
事件发生的可能性越来越小
0 1 概率的值
不可能发生必然发生
事件发生的可能性越来越大
5.概率与频率的区别与联系：
（1）联系：从定义可以得到二者的联系, 可用大量重复试验中事件发生频率来估计事件发生的概率。
（2）区别：大量重复试验中事件发生的频率稳定在某个常数(事件发生的概率)附近，说明概率是个定值,而频率随不同试验次数而有所不同,是概率的近似值,二者不能简
单地等同。
【基础练习】
1、在一个只装有红球和白球的口袋中，摸出一个球为黑球是 ( )
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．无法确定
2、下列事件中属于随机事件的是（）
A、抛出的篮球会落下
B、从装有黑球，白球的袋里摸出红球
C、367人中有2人是同月同日出生
D、买1张彩票，中500万大奖
3、下列成语所描述的事件是必然发生的是（ ）
A. 水中捞月
B. 拔苗助长
C. 守株待免
D. 瓮中捉鳖
4、要了解一个城市的气温变化情况，下列观测方法最可靠的一种方法是（ ）
A.一年中随机选中20天进行观测
B.一年中随机选中一个月进行连续观测
C.一年四季各随机选中一个月进行连续观测
D.一年四季各随机选中一个星期进行连续观测
5、下列事件中，必然事件是（ ）
A ．中秋节晚上能看到月亮
B ．今天考试小明能得满分
C ．太阳东升西落
D ．明天要降温
三、概率的计算方法：
（一）概率的计算公式：
1.大量重复试验某事件的概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率m n 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2.（重点）古典概型
（1）古典概型的定义
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结果有有限多个；
②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。
则我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。
（2）古典概型的概率的求法
一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 中结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n
m 3.几何概率：指定对象（所求对象）的面积÷总面积
（1）公式：p=所求对象的面积÷总面积
（二）列举法：
1.列表法：
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
说明：列表法的应用场合：当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，
为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
列出来。
2. 树状图法：
（1）定义：就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状
图法。
说明：运用树状图法求概率的条件：当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不
方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。
（2）树状图法示意图：（以三个因素为例）
如我们经常玩的石头剪刀布的游戏（石头：S 、剪刀：J 、布：B 。）
开始
甲 S J B
乙 S J B S J B S J B
说明：第一行表示开始，第二行表示第一事件发生的结果，第二个表示第二个事件发生的结果。最后可得到的结果为：(S,S,);(S,J);(S,B);(J,S);(J,J);(J,B);(B,S);(B,J);(B,B).一共9中可能性。
【基础练习】
1、在100张奖券中，有4张能中奖，小红从中任抽一张，她中奖的概率是 ( )
A ．14
B ．120
C ．125
D ．1100 2、“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时，甲、乙双方每次出“石头”“剪刀”布”三种手势中的一种，规定“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，同种手势不分胜负．假定甲、乙两人每次都是等可能地出这三种手势，用画树形图和列表的方法分别求一次游戏中两人出同种手势的概率和甲获胜的概率．(提示：为书写方便，解答时可以用S 表示“石头”，用J 表示“剪刀”，用月表示“布”)
3、 A B C D ，，，表示四个袋子，每个袋子中所装的白球和黑球如下：
A ：12个黑球和4个白球；
B ：20个黑球和20个白球；
C ：20个黑球和10个白球；
D ：12个黑球和6个白球．
4、 (1)假如有一只小狗在如图25-64所示的方砖上随意地来回走动，求它
最终落在阴影方砖上的可能性；
(2)在一个口袋中装有形状、大小完全相同的12个白球和3个黑球，从
袋中任意摸出一个球是黑球的可能性是多少？
(3)(1)和(2)中的可能性相同吗？
解：(1)阴影方砖占总方砖数的41164
，
∴小狗最终落在阴影方砖上的可能性是
14． (2)黑球数占总球数的311235
=+， ∴从袋中任意摸出一个球是黑球的可能性是
51． (3) ∵
1145
≠，∴(1)与(2)中的可能性不相同． 5、（2011江苏连云港，6，3分）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为
12，下列说法正确的是（ ）
A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上
B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上
C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次
D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的
6.、（2011?江苏宿迁，6，3）如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ）
A ．1
B ．21
C ．31
D ．4
1 7、（2011四川凉山，4，4分）下列说法正确的是（ ）
A ．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上.
B ．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大.
C ．某彩票中奖率为0036，说明买100张彩票，有36张中奖.
D ．打开电视，中央一套正在播放新闻联播.
8、（2011台湾，3，4分）下表表示某签筒中各种签的数量．已知每支签被抽中的机会均相等，若自此筒中抽出一支签，则抽中红签的机率为何（ ）
A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
9、（2011?广东汕头）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
C 、错误！未找到引
用源。 D 、错误！未找到引用源。
10、（2011?柳州）袋子中装有2个红球和4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球，则这个球是红球的概率是（ ）
A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
C 、错误！未找到引用源。
D 、错误！未找到引用源。
11、（2011黑龙江大庆，6，3分）某商场为促销开展抽奖活动，让顾客转动一次转盘，当转
盘停止后，只有指针指向阴影区域时，顾客才能获得奖品，下列有四个大小相同的转盘可供选择，使顾客获得奖品可能性最大的是（ ）
A 、
B 、
C 、
D 、
12、（2011山东滨州，4，3分）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、
矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( ) A. 14 B. 12 C. 34
D. 1 13. （2011?临沂，10，3分）如图，A 、B 是数轴上两点．在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示﹣1的点的距离不大于2的概率是（）
A 、12
B 、23
C 、34
D 、错误！未找到引用源。 14. （2011年四川省绵阳市，3，3分）抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1-6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（ ）
A 、出现的点数是7
B 、出现的点数不会是0
C 、出现的点数是2
D 、出现的点数为奇数
15. （2011四川遂宁，4，4分）一幅扑克牌（不含大小王），任意抽取一张，抽中方块的概率是（ ）
A 、21错误！未找到引用源。
B 、521错误！未找到引用源。
C 、31错误！未找到引用源。
D 、4
1错误！未找到引用源。 16. （2011四川雅安，13,3分）随意掷一枚正反方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在中阴影小方格中的概率为49
．
17. （2011福建省漳州市，5,3分）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A 、打开电视机，它正在播广告
B 、打开数学书，恰好翻到第50页
C 、抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上
D 、一天有24小时
18. 从正五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M ，“这个四边形是等腰梯形”．下列推断正确的是（ ）
A 、事件M 是不可能事件
B 、事件M 是必然事件
C 、事件M 发生的概率为
D 、事件M 发生的概率为
19. （2011北京，1，4分）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些
球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A ．185
B ．错误！未找到引用源。
C ．152
D ．错误！未找到引用源。
20. （2010福建泉州，3，3分）下列事件为必然事件的是（ ）
A ．打开电视机，它正在播广告
B ．抛掷一枚硬币，一定正面朝上
C ．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7
D ．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖
21. （2011福建省三明市，6,4分）有5张形状、大小、质地均相同的卡片，背面完全相同，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种不同的图案．将这5张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（ ）
A 、错误！未找到引用源。
B 、
25错误！未找到引用源。 C 、错误！未找到引用源。 D 、45 22. （2011福建厦门，2，3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A 、掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是1
B 、掷一枚普通的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数是偶数
C 、抛掷一枚普通的硬币，掷得的结果不是正面就是反面
D 、从装有99个红球和1个白球的布袋中随机取出一个球，这个球是红球
23.（2011甘肃兰州，7，4分）一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是（ ）
A ．m =3，n =5
B ．m =n =4
C ．m +n =4
D ．m +n =8
24.（2011?丹东，2，3分）在一个不透明的口袋中装有10个除颜色外均相同的小球，其中5个红球，3个黑球，2个白球，从中任意摸出一球是红球的概率是（ ）
A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。
C 、错误！未找到引用
源。 D 、错误！未找到引用源。
25. （2011湖北十堰，10，3分）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材料表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个。下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材料损耗速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢一个三角形材料使用的时间约为更换一个三角形材料使用时间的8倍，其中正确的判断有（ ）
第10题图
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
26. （2011湖北武汉，4，3分）下列事件中，为必然事件的是（ ）
A ．购买一张彩票，中奖
B ．打开电视机，正在播放广告
C ．抛一牧捌币，正面向上
D ．一个袋中装有5个黑球，从中摸出一个球是黑球
27. （2011湖南常德，13，3分）在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，
且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（ ）
A ．李东夺冠的可能性较小 B. 李东和他的对手比赛10局时，他一定会赢8局
C ．李东夺冠的可能性较大 D. 李东肯定会赢
28. （2011湖南衡阳，7，3分）下列说法正确的是（ ）
A 、在一次抽奖活动中，“中奖概率是
1100
”表示抽奖100次就一定会中奖 B 、随机抛一枚硬币，落地后正面一定朝上
C 、同时掷两枚均匀的骰子，朝上一面的点数和为6
D 、在一副没有大小王的扑克牌中任意抽一张，抽到的牌是6的概率是113
29. （2011贵州毕节，6，3分）为备战中考，同学们积极投入复习，李红书包里装有语文试卷3张、数学试卷2张、英语试卷1张、其它学科试卷3张，从中任意抽出一张试卷，恰好是数学试卷的概率是( ) A ．4
1 B ．21 C ．91 D ．9
2 30. （2011?贵阳3,3分）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面上分别刻有1、2、3、4、5、6六个数字，投掷这个骰子一次，则向上一面的数字小于3的概率是（ ）
A 、错误！未找到引用源。
B 、错误！未找到引用源。 6
1 C 、错误！未找到引用源。
D 、错误！未找到引用源。
31. （2011黑龙江省哈尔滨,7，3分）小刚掷一枚质地匀的正方体体骰子，骰子的，六个面分别刻有l 刭6的点数，则这个骰子向上一面点数大于3的概率为（ ）
A.12
B.13
C.23
D.14
32. （2011广东深圳，8，3分）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是（ ）
A 、 12
B 、29
C 、49
D 、13
33. （2010广东，4，3分）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）
A ．51
B ．31
C ．85
D ．8
3 34. （2011浙江绍兴，7，4分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为错误！未找到引用源。，则黄球的个数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．12
D ．16
35. （2011湖州，6，3分）下列事件中，必然事件是（ ）
A ．掷一枚硬币，正面朝上
B ．a 是实数，|a |≥0
C ．某运动员跳高的最好成绩是20.1米
D ．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品
36. （2011浙江舟山，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是 ．
37. (2011襄阳，7，3分)下列事件中，属于必然事件的是( )
A ．抛掷一枚1元硬币落地后，有国徽的一面向上
B ．打开电视任选一频道，正在播放襄阳新闻
C ．到一条线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上
D ．某种彩票的中奖率是10%，则购买该种彩票100张一定中奖
38、（2011广东省茂名，10，3分）如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，⊙O 的直径为错误！未找到引用源。分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD 内的概率是（ ）
A 、2π
错误！未找到引用源。 B 、2π错误！未找到引用源。 C 、12π错误！未
找到引用源。 D 错误！未找到引用源。
二、填空题
1. （2011盐城，11，3分）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是 事件（选填“随机”或“必然”）．
2. （2011内蒙古呼和浩特，14，3）在半径为2的圆中有一个内接正方形，现随机地往圆内投一粒米，落在正方形内的概率为_______（注：π取3）
3. 有8只型号相同的杯子，其中一等品5只，二等品2只和三等品1只，从中随机抽取1
只杯子，恰好是一等品的概率是_______
4. （2011四川广安，15，3分）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑
球4个，黄球n 个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为13
，则放人的黄球总数n ＝_____________．
5. （2011四川凉山，16，4分）如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm ，4cm ，6cm 将圆盘分为三部分，飞镖可以落在任何一部分内，那么飞镖落在阴影圆环内的概率是 .
6.（2011重庆江津区，17，4分）在一个袋子里装有10个球，其中6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，不是红球的概率是25
错误！未找到引用源。． 7. （2011重庆綦江，15，4分）在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字21错误！未找到引用源。，2，4，－3
1错误！未找到引用源。，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P 的横坐标，且点P 在反比例函数y ＝x
1错误！未找到引用源。图象上，则点P 落在正比例函数y ＝x 图象上方的概率是 错误！未找到引用源。．
8.（2010重庆，15，4分）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．
现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方
程1
2
ax
x
-
-
＋2＝
1
2x
-
有正整数解的概率为．
9.（2011湖北潜江，14，3分）张凯家购置了一辆新车，爸爸妈妈商议确定车牌号，前三位选定为8ZK后，对后两位数字意见有分歧，最后决定由毫不知情的张凯从如图排列的四个数字中随机划去两个，剩下的两个数字从左到右组成两位数，续在8ZK之后，则选中的车
牌号为8ZK86的概率是
10.（2011?湘西州）在一个不透明布袋中装有红、黄、白三种颜色的乒乓球各一个，这些球除颜色外其它都相同，从袋中随机地摸出一个乒乓球，那么摸到的球是红球的概率是．
11.（2011?贺州）在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是错误！未找到引用源。．
12.（2011?郴州）小明的讲义夹里放了大小相同的试卷共12页，其中语文4页，数学2页，英语6页，他随机地从讲义夹中抽出1页，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为．
13.（2011山东菏泽，13，3分）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是错误！未找到引用源。．
14.（2011福建福州，12，4分）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是．
15.(2011四川雅安13，3分)随意掷一枚正方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在阴影小方格中的概率为；
16.（2011福建龙岩，14，3分）袋子中有3个红球和6个白球，这些球除颇色外均完全相同，则从袋子中随机摸出一个球是白球的概率是．
17.（2011福建省漳州市，13,4分）口袋中有2个红球和3个白球，每个球除颜色外完全相同，从口袋中随机摸出一个红球的概率是
18.（2011湖州，13，4分）某校对初三（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如下表，
“立定跳远”得分恰好是10分的概率是
19. ．（2011浙江嘉兴，12，4分）从标有1到9序号的9张卡片中任意抽取一张，抽到序号是3的倍数的概率是
20. （2011浙江台州，12，5分）袋子中装有2个黑球和3个白球，这些球的形状．大小．质地等完全相同．随机地从袋子中摸出一个白球的概率是35
． 21. （2011黑龙江省黑河， 5，3分）中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是士、象、帅的概率 ．
22. （2011湖北十堰，12，3分）在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有
20个，除颜色，形状、大小质地等完全相同。小明通过多次摸球实验后发现其中摸到红色、黑色的频率稳定在某种程度5%和15%，则口袋中白色球的个数很可能是 个. 23. （2011湖南衡阳，12，3分）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是 ．
24. （2011邵阳，14，3分）已知粉笔盒内共有4支粉笔，其中有3支白色粉笔和1支红色
粉笔，每支粉笔除颜色外，其余均相同，先从中任取一支粉笔是红色粉笔的概率是41错误！未找到引用源。．
25. （2011湖南长沙，15，3分）在某批次的l00件产品中，有3件是不合格产品，从中任
意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是___________．
26.（2011年湖南省湘潭市，14，3分）端午节吃粽子是中华民族的习惯．今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘粽子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是 ．
27.（2011湖南益阳,13,5分）在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线错误！未找到引用源。y ＝k x
，该双曲线位于第一．三象限的概率是错误！未找到引用源。．
28.（2011辽宁本溪10，3分）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别有1至6的点数，则向上一面的点数是偶数的概率 ．
29.（2011辽宁阜新,10,3分）掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1，2，3，4，4，6，随意掷出这个正方体，朝上的数字不小于“3”的概率为 ．
三、解答题
1. （2011甘肃兰州，23，7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一。某中学为了了解学生体育活动情况，随机调查了720名初二学生，调查内容是：“每天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的
数据制成了扇形统计图和频数分布直方图。根据图示，解答下列问题：
（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试其体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少？
（2）“没时间”锻炼的人数是多少？并补全频数分布直方图；
（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人？
（4）请根据以上结论谈谈你的看法。
2. （2010广东佛山，23，8分）现在初中课本里所学习的概率计算问题只有以下类型： 第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；
第二类是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验；
解决概率计算问题，可以直接利用模型，也可以转化后再利用模型；
请解决以下问题
（1）如图，类似课本的一个寻宝游戏，若宝物随机藏在某一块砖下（图中每一块砖除颜色外完全相同），则宝物藏在阴影砖下的概率是多少？
人数
请你根据表中数据，估计构成钝角三角形的概率是多少？（精确到百分位）
3.（2011广东肇庆，18，分）如图是一个转盘．转盘分成8个相同的图形，颜色分为红、绿、黄三种．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个图形的交线时，当作指向右边的图形）．求下列事件的概率：（1）指针指向红色；
（2）指针指向黄色或绿色．
4.（2011湖北黄石，21,8分）2011年6月4日，李娜获得法网公开赛的冠军，圆了中国人的网球梦．也在国内掀起一股网球热．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，那么谁去就成了问题，小明想到一个办法：他拿出一个装有质地、大小相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球．妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，小明去听讲座．（1）爸爸说这个办法不公平，请你用概率的知识解释原因．
（2）若爸爸从袋中取出3个白球，再用小明提出的办法来确定谁去听讲座，问摸球的结果是对小明有利还是对妹妹有利．说明理由．
概率初步 重点 1.感受可能型 2.频率的稳定性 3.等可能事件的概率 4.游戏的公平性 难点 1.判断随机事件可能性的大小 2.运用频率来估计某一事件的概率 3.按要求设计游戏 一.必然事件、不可能事件与随机事件的概念 1.必然事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2.不可能事件：在一定条件下进行重复试验时，有些事情我们事先肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3.随机事件：在一定条件下进行重复试验时，有写事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为随机事件。 学习小目标 知识点讲解 重要总结： 1. 随机事件的发生是不能确定的，带有偶然性。 2. 在现实生活中，存在着大量的随机事件因此研究随机事件显的尤为重要，因为随机事件中有的发生的可能性大一些，有的可能性小一些，所以准确判断气可能性的大小有利于人们做出合理的决策。 3. 一般情况下，随机事件发生的可能性有大有小。 注意：有些随机事件发生的机会很大，但不是必然发生，有些随机事件发生的机会很小，
典例精讲 例1.下列事件中，是必然事件的是（B） A．明天早上会下雨 B．任意一个三角形，它的内角和等于180° C．掷一枚硬币，正面朝上 D．打开电视机，正在播放“老白谈天” 【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件． 【解答】解：A、明天早上会下雨是随机事件，故本选项错误； B、任意一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，故本选项正确； C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故本选项错误； D、打开电视机，正在播放“老白谈天”是随机事件，故本选项错误； 故选：B． 例 2.硬币有数字的一面为正面，另一面为反面．投掷一枚均匀的硬币一次，硬币落地后，可能性最大的是（C） A．正面向上B．正面不向上 C．正面或反面向上D．正面和反面都不向上 【分析】分别确定各个事件的概率即可确定大小． 【解答】解：A、正面向上的可能性为； B、正面不向上的可能性为； C、正面向上或反面向上的可能性为1； D、正面和反面都不向上的可能性为0， 故选：C． 解析：解决这类可能性大小的问题，通常根据部分在整体中所占的百分比的大小来判断，应灵活掌握该方法。
第25章概率初步 25.3 用频率估计概率 学习要求 1、会根据一个随机事件发生的频率估计这个事件发生的概率，学会用试验估计某事件出现的概率的操作过程． 2、当调查估计某事件发生的概率比较困难时，会转化成某种“替代”实际调查的简易方法． 知识点一：利用频率估计概率 例1．在同样的条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，由表估计该麦种的发芽概率是（） 试验种子数n（粒）50 200 500 1000 3000 发芽频数m 45 188 476 951 2850 0.9 0.94 0.952 0.951 0.95 发芽频率 A．0.8 B．0.9 C．0.95 D．1 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据5批次种子粒数从50粒增加到3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95． 【解答】解：∵种子粒数3000粒时，种子发芽的频率趋近于0.95， ∴估计种子发芽的概率为0.95． 故选C． 【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 变式1．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（） 实验次数100 200 300 500 800 1000 2000 频率0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333
A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 【考点】X8：利用频率估计概率． 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【解答】解：A、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； B、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意； C、抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意； D、抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意， 故选B． 【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 变式2．在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小颖做摸球实验．她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据数据，并得出了四个结论，其中正确的是（） 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 0.75 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 摸到白球的频率 A．试验1500次摸到白球的频率比试验800次的更接近0.6 B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的概率为0.6 C．当试验次数n为2000时，摸到白球的次数m一定等于1200
知识点一：随机事件 【1】下列事件中，是确定事件的是（ ） A 、打雷后会下雨 B 、明天是睛天 C 、1小时等于60分钟 D 、下雨后有彩虹 【2】下列事件是必然事件的是（ ）． A 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为6 B 、抛一枚硬币，正面朝上 C 、3个人分成两组，一定有2个人分在一组 D 、打开电视，正在播放动画片 【3】下列事件中，不可能事件是（ ） A 、掷一枚六个面分别刻有1-6数码的均匀正方体骰子，向上一面的点数是“5” B 、任意选择某个电视频道，正好在播放动画片 C 、肥皂泡会破碎 D 、边长分别为3、4、5的三角形不是直角三角形 【4】“是实数, ”这一事件是（ ） A 、必然事件 B 、不确定事件 C 、不可能事件 D 、随机事件 知识点二：随机事件的概率 【5】下列说法不正确的是 A 、某种彩票中奖的概率是11000 ，买1000张该种彩票一定会中奖 B 、了解一批电视机的使用寿命适合用抽样调查 C 、若甲组数据的标准差S 甲=0.31乙组数据的标准差S 乙=0.25则乙组数据比甲组数据稳定 D 、在一个装有白球和绿球的袋中摸球，摸出黑球是不可能事件 【6】某市气象局预报称：“明天本市的降水概率为70%。”这句话指的是（ ） A 、明天本市70%的时间下雨，30%的时间不下雨 B 、明天本市70%的地区下雨，30%的地区不下雨 C 、明天本市一定下雨 D 、明天本市下雨的可能性为70% 频率与概率： 在n 次试验中，时间A 发生的频数m 满足n m ≤≤0，进而可知当n m 稳定到常数P 时，有10≤≤P 。 必然事件：P=1 不可能事件：P=0 【7】从下列四张印有汽车品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有汽车品牌标志的图案是中心对称称图形的卡片的概率是 【8】如图，有三条绳子穿过一片木板，姊妹两人分别站在木板的左、右两边，各选该边的一段绳子．若每边每段绳子被选中的机会相等，则两人选到同一条绳子的概率为 a ||0a ≥
专题18 概率初步 一、确定事件和随机事件 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。 2、随机事件： 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。 二、随机事件发生的可能性 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。 三、概率的意义与表示方法 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A 发生的频率 m n 会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率。
2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P(A)=P 四、确定事件和随机事件的概率之间的关系 1、确定事件概率 (1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1 (2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0 2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 0 1概率的值 不可能发生必然发生 事件发生的可能性越来越大 五、列表法求概率 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。 2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。 六、树状图法求概率 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。 2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。 【例1】(2019?上海)一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的点数大于4的概率是．
第13讲概率初步 温故知新 轴对称 （一）轴对称的定义 （1）轴对称：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴。 （2）轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 （3）轴对称与轴对称图形的区别：①成轴对称是对于两个图形而言的，指的是两个图形形状和位置关系，而轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形。 （二）轴对称的性质 （1）对应点、线段、角的概念：我们把对称轴折叠后能够重合的点叫做对应点，重合的线段叫做对应线段，重合的角叫做对应角。 （2）轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。 （3）画已知图形的轴对称图形：画轴对称图形，首先应该确定对称轴，然后找出对称点。连接这些对称点就可以得到原图形的轴对称图形。 智慧乐园 大家都有过夹娃娃的经历吗?你觉得什么情况下 夹到娃娃的可能性会更大?与小伙伴进行讨论
知识要点一 。 感受可能性 （一）确定事件与不确定事件 1、必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件。 2、不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。 3、确定事件：必然事件与不可能事件统称为确定事件。 4、不确定事件：有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称随机事件。 5、 ?? ?? ?? ? ? 必然事件 确定事件 事件不可能事件不确定事件 ?典例分析 例1、下列事件不是随机事件的是（） A．投两枚骰子，面朝上的点数之积为7 B．连续摸了两次彩票，均中大奖 C．投两枚硬币，朝上的面均为正面D．NBA运动员连续投篮两次均未进 例2、袋子中装有10个黑球、1个白球，它们除颜色外无其他差别，随机从袋子中摸出一个球，则（）A．这个球一定是黑球B．摸到黑球、白球的可能性的大小一样 C．这个球可能是白球D．事先能确定摸到什么颜色的球 例3、“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是（） A．确定事件B．必然事件C．不可能事件D．不确定事件 例4、下列事件属于随机事件的有（） ①当室外温度低于﹣10℃时，将一碗清水放在室外会结冰； ②经过城市中某有交通信号灯的路口，遇到红灯； ③今年春节会下雪； ④5，4，9的三根木条组成三角形． A．②B．②④C．②③D．①④
【考点链接】 1．__________________叫确定事件，________________叫不确定事件（或随机事件），__________________叫做必然事件，概率为_______，____________叫做不可能事件.概率为。 2． ___________ ___________叫概率.概率计算公式为 3．求概率的方法： （1）利用概率的定义直接求概率； （2）用树形图和________________求概率； （3）用_________________的方法估计一些随机事件发生的概率． 4．判断某个游戏是否公平，评判的根据是概率的大小，解答这类问题，实质是预测参与游戏各方赢得概率的大小。 【典型例题】 1. 在一个袋子中装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，从中任意摸出一个球，则摸到红 球的概率是． 2．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机 摸出一个球，它是白球的概率为2 3 ，则n ． 3．下列事件是必然事件的是（） A．打开电视机，正在播放动画片 B．2008年奥运会刘翔一定能夺得110米跨栏冠军 C．某彩票中奖率是1％，买100张一定会中奖 D．在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球 4．随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，则这个骰子向上的一面点数是奇数的概率为（） A．1 2 B． 1 3 C． 1 4 D． 1 5 5．在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个．每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）A．12 B．9 C．4 D．3 6．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是（） A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 7．某火车站的显示屏，每隔4分钟显示一次火车班次的信息，显示时间持续1分钟，某人到达该车站时，显示屏上正好显示火车班次信息的概率是（） A．1 6 B. 1 5 C. 1 4 D． 1 3 8．在李咏主持的“幸运52”栏目中，曾有一种竞猜游戏，游戏规则是：在20个商标牌中，有5个商标牌的背面注明了一定的奖 金，其余商标牌的背面是一张“哭脸”，若翻到“哭脸”就不获奖, 参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会，且翻过的牌不能再 翻．有一位观众已翻牌两次，一次获奖，一次不获奖，那么这 位观众第三次翻牌获奖的概率是（）A．1 5 B． 2 9 C． 1 4 D． 5 18 例1 小明、小华用4张扑克牌（方块2，黑桃4，黑桃5，?梅花5）玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后，背面朝上放置在桌面上，小明先抽，小华后抽，?抽出的牌不放回． （1）若小明恰好抽到了黑桃4． （第4题）
1 概率初步 知识点睛 1. 事件 必然事件 确定事件 不可能事件 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． 2. 概率 （1）对于一个随机事件 A ，我们刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为 P (A)． 注：0≤P (A)≤1，P (A)表示的是事件 A 发生的可能性大小， 当 A 为必然事件时，P (A)=1；当 A 为不可能事件时，P (A)=0． 事件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0． （2）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那 么事件 A 发生的概率 P (A)= m ． n （3）用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．常使用列表法和画树状图两种方法列举事件所有可能出现的结果． ①用列表法求概率适用于求涉及两步试验的随机事件发生的概率； ②当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画树状图法来求事件的概率很有效． 3. 频率与概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定 性．因此，可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 事件
2 精讲精练 1. 下列事件中，必然事件是（ ） A ．抛掷 1 个均匀的骰子，出现 6 点向上 B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C ．366 人中至少有 2 人的生日相同 D ．实数的绝对值是非负数 2. 下列事件是随机事件的是（ ） A ．画一个三角形，其内角和为 361° B ．任意做一个矩形，其对角线相等 C ．任取一个实数，其与相反数之和为 0 D ．外观相同的 10 件同种产品中有 2 件是不合格产品，现从中抽取一件为合格品 3. 下列说法中，正确的是（ ） A ．不可能事件发生的概率为 0 B ．随机事件发生的概率是 1 2 C ．概率很小的事件不可能发生 D ．抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定是 50 次 4. 下列说法正确的是（ ） A ．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球， 从中随机抽出一个球，一定是红球 B ．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C ．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1 000 张，一定会中奖 D ．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第 6 次仍然可能正面朝上 5. 小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E ， F 分别是矩形 ABCD 的两边 AD ，BC 上的点，EF ∥AB ，M ， N 是 EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率 为 ． A E D B F C
第25章概率初步 25.2 用列举法求概率 学习要求 1、会通过列举法分析随机事件可能出现的结果，求出“结果发生的可能性相等”的随机事件的概率． 2、能运用列表法和树状图法计算一些事件发生的概率． 知识点一：直接列举法求概率 例1．把1枚质地均匀的普通硬币重复掷两次，落地后出现一次正面一次反面的概率是（） A．1 B．C．D． 变式1．从长度分别为2、3、4、5的4条线段中任取3条，能构成钝角三角形的概率为（）A．B．C．D． 变式2．小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是（） A．B．C．D． 变式3．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车． （1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果； （2）求程、李两位教师同坐2号车的概率． 变式4．在2017年“KFC”乒乓球赛进校园活动中，某校甲、乙两队进行决赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会
相同，且乙队已经赢得了第1局比赛． （1）列表或画树状图表示乙队所有比赛结果的可能性； （2）求乙队获胜的概率． 知识点二：列表法求概率 例2．如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4． 如图2，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B；… 设游戏者从圈A起跳． （1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1； （2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样吗？ 变式1．将A，B两男选手和C、D两女选手随机分成甲、乙两组参加乒乓球比赛，每组2人． （1）求男女混合选手在甲组的概率； （2）求两个女选手在同一组的概率．
概率初步 知识点睛 1.事件 ??必然事件 ?确定事件? ??不可能事件 ? 随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机 事件． 2.概率 （1）对于一个随机事件 A，我们刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记为P(A)． 注：0≤P(A)≤1，P(A)表示的是事件 A 发生的可能性大小，当 A 为必然事件时，P(A)=1；当 A 为不可能事件时，P(A)=0．事 件发生的可能性越大，它的概率越接近 1；反之事件发生的可能性越小，它的概率越接近 0． （2）一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的m 种结果，那 么事件 A 发生的概率P(A)= m ．n （3）用列举法求事件的概率 在一次试验中，如果可能出现的结果只有有限个，且各种结果出现的可能性大小相等，那么我们可以通过列举试验结果的方法，求出随机事件发生的概率．常使用列表法和画树状图两种方法列举事件所有可能出现的结果． ①用列表法求概率适用于求涉及两步试验的随机事件发生的 概率； ②当事件要经过多个步骤（三步或三步以上）完成时，用画 树状图法来求事件的概率很有效． 3.频率与概率 在做大量重复试验时，随着试验次数的增加，一个事件出现的频率，总在一个固定数的附近摆动，显示出一定的稳定性．因此，可以通过大量的重复试验，用一个随机事件发生的频率去估计它的概率． 事件
精讲精练 1.下列事件中，必然事件是（） A．抛掷 1 个均匀的骰子，出现 6 点向上 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．366 人中至少有 2 人的生日相同D ．实数的绝对值是非负数 2.下列事件是随机事件的是（） A．画一个三角形，其内角和为 361° B．任意做一个矩形，其对角线相等 C． 任取一个实数，其与相反数之和为 0 D．外观相同的 10 件同种产品中有 2 件是不合格产品，现从中抽取一件为合格品 3.下列说法中，正确的是（） A．不可能事件发生的概率为 0 1 B．随机事件发生的概率是 2 C．概率很小的事件不可能发生 D．抛掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定是 50 次 4.下列说法正确的是（） A．袋中有形状、大小、质地完全一样的 5 个红球和 1 个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球 B．天气预报“明天降水概率为 10%”，是指明天有 10%的时间会下雨 C．某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票 1 000 张，一定会中奖 D．连续掷一枚均匀硬币，若 5 次都是正面朝上，则第 6 次仍然可能正面朝上 5.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，E， F 分别是矩形ABCD 的两边AD，BC 上的点，EF∥AB，M， N 是EF 上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率为． A E D B F C
专题：概率初步（1） 重难点易错点解析 题一：题面：下列说法中错误的是（ ） A ．某种彩票的中奖率为1％，买100张彩票一定有1张中奖． B ．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件． C ．为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式． D ．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是6 1 ． 金题精讲 题一：题面：定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”如“947”就是一个“V 数”．若十位上的数字为2，则从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V 数”的概率是（ ） A ． 14 B ．310 C ．12 D ．3 4 满分冲刺 题一：题面：如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止时，指针指向阴影区域的概率是（ ） A ． 12 B ．13 C ．14 D ．16 题二：题面：给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ） A ． 61 B ．31 C ．21 D ．3 2 题三：题面：“湘潭是我家，爱护靠大家”．自我市开展整治“六乱”行动以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为1 3，遇到黄灯的概率为1 9 ，那么他遇到绿灯的概率为（ ） A ．13 B ． 23 C ．49 D ．59
课后练习详解 重难点易错点解析 题一：答案：A． 详解：根据概率的意义，随机事件，调查方法的选择，概率公式对各选项作出判断： A：某种彩票的中奖率为1%，是中奖的频率接近1%，所以买100张彩票可能中奖，也可能没中奖，所以A选项的说法错误； B、从装有10个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，则摸出1个白球是不可能事件，所以B 选项的说法正确； C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，而不应采用普查的方式，所以C 选项的说法正确； D、掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种等可能的结果，则出现向上一面点数是2的概率是1 6 ，所以D选项的说法正确． 故选A． 金题精讲 题一： 答案：C． 详解：画树状图得： ∵可以组成的数有：321，421，521，123，423，523，124，324，524，125，325，425，其中是“V数”的有：423，523，324，524，325，425六个， ∴从1，3，4，5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是： 61 = 122 ．故选C． 满分冲刺 题一： 答案：B． 详解：确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率： 转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占2份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是21 = 63 ． 题二： 答案：B． 详解：第1个打电话给甲、乙、丙（因为次序是任意的）的可能性是相同的，所以第一个打
北师大版七年下册概率初步培优讲义及答案 概率初步（讲义） 知识点睛 1. 事件的分类 ________________________________________________________________???????? 事件（） 2. 频率：在n 次重复试验中，不确定事件发生了m 次，则比值________称为事 件A 发生的频率． 3. 概率：刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的________， 记为P （A ），必然事件发生的概率为_______；不可能事件发生的概率为________；不确定事件A 发生的概率P （A ）的范围是________________________． 4. 概率的求法：一般地，如果一个试验有n 种等可能的结果，事件A 包含其中 的m 种结果，那么事件A 发生的概率为： P （A ）=__________． 精讲精练 1. 下列说法中不正确的是（ ） A ．“抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件． B ．“任意打开七年级下册课本，正好是97页”是随机事件． C ．“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件． D ．“把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个 球”是必然事件． 2. 在一个不透明的盒子里面装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40 个．小聪做摸球试验，他将盒子里面的球搅均匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据，并得出了
四个结论，其中正确的是（） B．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6 C．当试验次数n为3 000时，摸到白球的次数m一定等于 1 800 D．这个盒子中的白球有28个 3.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的 频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的实验可能是（） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到 红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 4.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外 其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频
概率初步培优讲义 知识点睛： 1．随机事件 （1）必然事件：有些事件能肯定它，如太阳东升西落。 （2）不可能事件：有些事件能肯定它，如一个标准大气压下，水10°C结冰。 （3）随机事件：在一定条件下，发生也可能的事件。 2．概率的定义：在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记作。 3．概率的取值范围：。 4．概率的计算方法和步骤 （1）列出所有可能发生的结果数n； （2）列出所求事件出现的结果数m； （3）计算所求事件发生的可能性P（所求事件）＝。 5．会用列表法、画树状图法等列举方法表示可能的结果，并求某一事件概率。 6．用频率估计概率：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般还要通过统计来估计概率，当试验次数不断增大时，频率逐渐。 例题精讲： 例题1：甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为-7，-1，3。乙袋中的三张卡片所标的数值为-2，1，6。先从甲袋中随机取出一张卡片，用x表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y表示取出卡片上的数值，把x、y分别作为点A的横坐标和纵坐标。 （1）用适当的方法写出点A（x，y）的所有情况。 （2）求点A落在第三象限的概率。
变式练习1： 在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同。小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x ；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y 。 （1）计算由x 、y 确定的点（x ，y ）在函数6y x =-+图象上的概率； （2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x 、y 满足xy ＞6，则小明胜；若x 、y 满足xy ＜6，则小红胜， 则这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平？ 例题2：某校将举办“心怀感恩·孝敬父母”的活动，为此，校学生会就全校1000名同学暑假期间平均每 天做家务活的时间，随机抽取部分同学进行调查，并绘制成如下条形统计图。 （1）本次调查抽取的人数为_______，估计全校同学在暑假期间平均每天做家务活的时间在40分 钟以上(含40分钟)的人数为_______； （2）校学生会拟在表现突出的甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学向全校汇报。请用 树状图或列表法表示出所有可能的结果，并求恰好抽到甲、乙两名同学的概率。 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 （注：每个时间段含最小值，不含最大值） 人数 16 12 8 4 0 8 10 16 12 4 时间段/分
概率初步 知识讲解 一、随机事件的概率 1.概率的统计定义 定义：在次重复进行的试验中，事件发生的频率，当很大时，总是在某个常数附 近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件的概率，记为． 从概率的定义中，我们可以看出随机事件的概率满足：．当是必然事件时，，当是不可能事件时，． 2.互斥事件与事件的并 互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，或称互不相容事件． 事件的并：由事件和事件至少有一个发生（即发生，或发生，或都发生）所构成的事件，称为事件与的并（或和），记作．若，则若发生，则、中至少有一个发生，事件是由事件或所包含的基本事件组成的集合． 3.互斥事件的概率加法公式： 若、是互斥事件，有 若 事 件 两两互斥（彼此互斥），有 ． 事件“ ”发生是指事件 中至少有一个发生． 4.互为对立事件 n A m n n n A ()P A ()P A 0()1P A ≤≤A ()1P A =A ()0P A =A B A B A B ， C A B C A B =U C A B =U C A B A B U A B A B ()()()P A B P A P B =+U 12n A A A L ，，，1212()()()() n n P A A A P A P A P A =+++U UL U L 12n A A A U UL U 12n A A A L ，，，
定义：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件的对立事件记作 ．有,． 二、古典概型与几何概型 1.基本事件的概念：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这样的随机事件称为基 本事件 2.基本事件的特点： 1）任何两个基本事件是互斥的． 2）任何事件都可以表示成基本事件的和． 3.古典概型 定义：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则具有这两个特点的概率模型称为古典概型． 特点：①有限性；②等可能性． 概率：，为随机事件中包含的基本事件的个数，为实验的所有基本事件的 个数． 注意：一般地，对于古典概型，如果实验的个基本事件 ， ， ，， ，由于基 本事件是两两互斥的，所以又 ，又因为每个基本事件发 生的可能性相等，所以 ， ． 4.几何概型 定义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积、体积或角度）成比例的概率模型． 特点：①有限性；②等可能性 A A ()1()P A P A =-()m p A n = m A n n 1 A 2 A 3 A L n A 12()()()1 n P A P A P A +++=L 1()1 nP A =11()P A n =
第九章概率初步辅导讲义 知识梳理 一、事件的分类 二、事件的概念 1．必然事件：在一定条件下重复进行试验时，在每次实验中会发生的事件是必然事件。2．不可能事件：在每次试验中发生的事件是不可能是事件。 3．随机事件：在一定条件下，发生的事件。 三、事件的概率 1 ．概率;一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P(A)= 。 2 ．概率P(A)的取值围为。 3．必然事件的概率：P(A)= 。 4．不可能事件的概率：P(A)= 。 5．随机事件的概率：P(A)= 。 四、求概率的常用方法 重复试验法：用重复试验（足够多次）的方法观察频率，进而用频率估计概率值。 1．枚举法2．列表法。3．画树状图法 五、概率与频率的关系 1.频率与概率在试验中可以，但不一定； 2.用频率估计概率的大小，必须在下，试验次数，就越能较好地估计概率 3. 概率=
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0． 4.古典概率 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，?事件A包含 其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=m n ． 5.几何图形的概率 概率的大小与面积的大小有关，?事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积． （1）概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法． （2）通过大量重复实验得到的频率估计事件发生概率的值 （3）利用概率的知识解决一些实际问题，如利用概率判断游戏的公平性等 六、知识框架 课堂典例 例1.下列事件中，是必然事件的是（） A.购买一彩票中奖一百万 B.打开电视机，任选一个频道，正在播新闻 C.在地球上，上抛出去的篮球会下落 D.掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6 例2.在一场足球比赛前，甲教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有 60％的机会获胜”意思最接近的是（） A.这场比赛他这个队应该会赢 B.若两个队打100场比赛，他这个队会赢60场 C.若这两个队打10场比赛，这个队一定会赢6场比赛. D.若这两个队打100场比赛，他这个队可能会赢60场左右.
第四章概率初步 【知识网络】 一、概率初步 1.基本概念 （1）频数：在数据统计中，每个对象出现的次数为频数。 （2）频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。 （3）概率：某个事件发生的可能性叫做这个事件的概率。（常用多次试验的频率估计概率）2.随机事件 （1）确定事件 事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中； ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 3.可能性大小 （1）理论计算又分为如下两种情况： 第一种：只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如：根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算；第二种：通过列表法、列举法、树状图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如：配紫色，对游戏是否公平的计算． （2）实验估算又分为如下两种情况： 第一种：利用实验的方法进行概率估算．要知道当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． 第二种：利用模拟实验的方法进行概率估算．如，利用计算器产生随机数来模拟实验．4.概率的意义 （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．（5）通过设计简单的概率模型，在不确定的情境中做出合理的决策；概率与实际生活联系密切，通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型，以及结合具体实际问题，体会概率与统计之间的关系，可以解决一些实际问题。 【方法介绍】 一、用列举法求概率 1.概率的公式 （1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
概率初步（讲义） ? 知识点睛 1. 事件的分类 ________________________________________________________________???????? 事件（） 2. 频率：在n 次重复试验中，不确定事件发生了m 次，则比值________称为事件A 发生的频率． 3. 概率：刻画事件A 发生的可能性大小的数值，称为事件A 发生的________，记为 P （A ）．必然事件发生的概率为_______；不可能事件发生的概率为________；不确定事件A 发生的概率P （A ）的范围是________________________． 4. 概率的求法：一般地，如果一个试验有n 种等可能的结果，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为： P （A ）=__________． ? 精讲精练 1. 下列说法中不正确的是（ ） A ．“抛掷一枚硬币，硬币落地时正面朝上”是随机事件 B ．“任意打开七年级下册课本，正好是97页”是随机事件 C ．“打开电视，正在播放新闻联播节目”是必然事件 D ．“把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个 球”是必然事件 2. 在一个不透明的盒子里面装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个．小聪 做摸球试验，他将盒子里面的球搅均匀后从中随机摸出一个球记下颜色后放回，不断重复上述过程，多次试验后，得到表中的数据，并得出了四个结论，其中正确的是（ ） B ．从该盒子中任意摸出一个小球，摸到白球的频率约为0.6
C．当试验次数n为3 000时，摸到白球的次数m一定等于 1 800 D．这个盒子中的白球有28个 3.甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频 率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到 红球的概率 C．抛一枚硬币，出现正面的概率 D．任意写一个整数，它能被2整除的概率 4.在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完 全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是（） A．24 B．18 C．16 D．6 5.袋子里有1个红球、3个白球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出 一个球，则P（摸到红球）=________，P（摸到白球）=________，P（摸到黄球）=________． 6.四张质地、大小、背面完全相同的卡片，正面上分别画有圆、长方形、等边三角 形、平行四边形．现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是轴对称图形的概率为________． 7.随意抛一粒豆子，恰好落在图中的方格中（每个方格除颜色外完全一样），那么 这粒豆子落在阴影方格中的概率是_____．
精锐教育1对3辅导讲义 甲乙两个同学做“石头、剪刀、布”的游戏，在一个回合中两人能分出胜负的概率是多少？ 知识点1：随机事件、必然事件、不可能事件 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件（不确定事件）；一般用A表示，则概率P（A）介于0到1之间；P（A）——纯小数、真分数、百分数等表示． 在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件；如果用U表示，则概率为1：P（U）＝1； 在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件；如果用V表示，则概率为0：P（V）＝0；
知识点3：概率的理解 用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率。 不可能事件必定不发生，规定用“0”作为不可能事件的概率；而必然事件必定发生，就规定用“1”作为必然事件的概率。这样，随机事件的概率，就是大于0小于1的一个数，通常可以写成纯小数、百分数或真分数。 例题3：气象台预报“本市明天降水概率是80%”，对此信息，下面的几种说法正确的是（） A、本市明天将有80%的地区降水； B、本市明天将有80%的时间降水； C、明天肯定下雨； D、明天降水的可能性比较大． 【试一试】 1．下列说法正确的是（） A．“明天的降水概率为30%”是指明天下雨的可能性是30%； B．连续抛一枚硬币50次，出现正面朝上的次数一定是25次； C．连续三次掷一颗骰子都出现了奇数，则第四次出现的数一定是偶数； D．某地发行一种福利彩票，中奖概率为1%，买这种彩票100张一定会中奖． 2．下列事件中，概率接近于1的是（） A、大晴天出门遇到下冰雹； B、在1到10的十个整数中任取一个数恰是偶数； C、自然数1是素数； D、买了一张福利彩票，但没有中奖． 3.下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（） A．瓮中捉鳖；B．守株待兔；C．旭日东升；D．夕阳西下 知识点4：频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数；而频率是不确定的，与试验次数的多少有关。用频率表示概率，得到的知识近似值，为了得到概率的可靠地估计值，试验的次数要足够大。 例题4：甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所