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课时冲关练(三)
函数的图象与性质
(45分钟100分)
一、选择题(每小题5分,共40分)
1.(2014·泰安模拟)函数f(x)=lgx+的定义域是( )
A.(0,2)
B.[0,2]
C.[0,2)
D.(0,2]
【解析】选D.要使函数f(x)有意义,只需要解得0 2.(2014·陕西高考)下列函数中,满足“f=f f(y)”的单调递增函数是 ( ) A.f=x3 B.f(x)=3x C.f= D.f(x)= 【解析】选B.根据函数满足“f=f f”可以推出该函数为指数函数,又函数为单调递增函数,所以底数大于1,从而确定函数为f(x)=3x. 3.(2014·太原模拟)函数f(x)=的图象不可能是( ) 【解析】选 D.当a=0时,f(x)==,C选项有可能.当a≠0时,f(0)==0,所以D图象不可能,选D. 4.(2014·烟台模拟)定义在R上的函数f(x)在(-∞,2)上是增函数,且f(x+2)的图象关于y轴对称,则( ) A.f(-1) B.f(0)>f(3) C.f(-1)=f(3) D.f(0)=f(3) 【解题提示】由函数f(x+2)的图象关于y轴对称,可判断函数关于x=2对称.再结合单调性比较大小. 【解析】选A.函数f(x+2)的图象关于y轴对称,则f(x)关于直线x=2对称,函数f(x)在(-≦,2)上是增函数,所以在(2,+≦)上是减函数,所以f(-1)=f(5) 5.(2014·杭州模拟)函数f(x)=1+log3x的定义域是[1,9],则函数 g(x)=f2(x)+f(x2)的值域是( ) A.(2,14] B.[-2,+∞) C.(2,7] D.[2,7] 【解析】选C.由 1 故g(x)的定义域为(1,3],设t=log3x,则0 而g(x)=(1+log3x)2+1+log3x2 =(log3x)2+4log3x+2=t2+4t+2=(t+2)2-2, 由0 6.(2014·济南模拟)当0 A. B. C.(1,) D.(,2) 【解析】选B.因为0 又4x 则函数y=4x与y=log a x的大致图象如图所示. 所以只需满足log a>2即可, 解之得a>,所以 【一题多解】本题还可用以下方法求解 因为0 令f(x)=4x-log a x,则当0 【方法技巧】不等式恒成立问题解题技巧 (1)分离参数法:若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解. ①f(x)≥m对任意x都成立?f(x)min≥m; ②f(x)≤m对任意x都成立?m≥f(x)max. (2)数形结合法:若把不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出不等号两边函数的图象,这样就把一个很难解决的不等式的问题转化为一个可行的函数图象的问题,然后从图象中寻找条件,就能解决问题. 【加固训练】(2014·武汉模拟)若定义在[-2015,2015]上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈[-2015,2015]有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2014,且x>0时,f(x)>2014,记f(x)在[-2015,2015]上的最大值和最小值为M,N,则M+N的值为( ) A.2015 B.2016 C.4027 D.4028 【解题提示】先判断函数f(x)在[-2015,2015]上的单调性,再根据单调性求解. 【解析】选D.令x1=x2=0得f(0)=2014. 设-2015 且x2=x1+h(h>0),则f(h)>2014. 所以f(x2)=f(x1+h)=f(x1)+f(h)-2014>f(x1). 可知f(x)在[-2015,2015]上是增函数. 故M+N=f(2015)+f(-2015)=f(2015-2015)+2014=f(0)+2014=4028. 7.(2014·温州模拟)已知x,y∈R,若x+y>cosx-cosy,则下面式子一定成立的是 ( ) A.x+y<0 B.x+y>0 C.x-y>0 D.x-y<0 【解析】选B.令x=y>0,则x+y>0,x-y=0,排除A,C,D,故选B. 8.(2014·嘉兴模拟)对非零实数x,y,z,定义运算“⊕”满足: (1)x⊕x=1;(2)x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z,若f(x)=e2x⊕e x-e x⊕e2x, 则下列判断正确的是( ) A.f(x)是增函数又是奇函数 B.f(x)是减函数又是奇函数 C.f(x)是增函数又是偶函数 D.f(x)是减函数又是偶函数 【解析】选A.根据题意,因为x⊕(y⊕z)=(x⊕y)·z, 所以令x=y=z,则x⊕(x⊕x)=(x⊕x)·x. 又因为x⊕x=1,所以x⊕1=x; 又因为x⊕ (y⊕z)=(x⊕y)·z. 所以令y=z,则x⊕ (y⊕y)=(x⊕y)·y, 所以(x⊕y)·y=x⊕1=x, 所以x⊕y=. 所以f(x)=e2x⊕e x-e x⊕e2x=-=e x-e-x, 所以f(x)的定义域是R且f(-x)=e-x-e x=-(e x-e-x)=-f(x), 所以f(x)是奇函数. 又因为y=e x是增函数,y=e-x是减函数, 所以y=-e-x是增函数, 所以f(x)=e x-e-x是增函数, 所以f(x)是奇函数也是增函数. 二、填空题(每小题4分,共16分) 9.函数f(x)=ax+bsinx+1,若f(5)=7,则f(-5)= .【解析】f(5)=5a+bsin5+1=7, 所以5a+bsin5=6. f(-5)=-5a-bsin5+1=-6+1=-5. 答案:-5 10.(2014·九江模拟)已知函数f(x)=则f(f(-1))=;若f(2a2-3)>f(5a),则实数a的取值范围是. 【解析】f(-1)==2,所以f(f(-1))=f(2)=1-3×2=-5.由图象可知函数f(x)在定义域上单调递减,所以由f(2a2-3)>f(5a)得,2a2-3<5a,即2a2-5a-3<0,解得- 答案:-5 11.(2014·温州模拟)已知函数f(x)=x|x-a|,若对任意的x1,x2∈[2,+∞)且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,则实数a的取值范围为. 【解析】f(x)=x|x-a|的图象大致如图, 其在[a,+≦)上是一个增函数,因为对任意的x1,x2∈[2,+≦), 且x1≠x2,(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 所以f(x)在[2,+≦)上是增函数. 所以a≤2. 答案:(-≦,2] 12.(2014·西宁模拟)设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x∈[0,1]时,f(x)=,则 ①2是函数f(x)的周期; ②函数f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增; ③函数f(x)的最大值是1,最小值是0. 其中所有正确命题的序号是. 【解析】在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,则有f(t+2)=f(t),因此2是函数f(x)的周期,故①正确, 由于f(x)是偶函数,所以f(x-1)=f(1-x), 结合f(x+1)=f(x-1)得f(1+x)=f(1-x), 故f(x)的图象关于x=1对称. 当x∈[0,1]时,f(x)==2x-1单调递增, 所以f(x)在(1,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,故②正确. 由②知,f(x)在一个周期区间[0,2]上的最大值为f(1)=1,最小值为 f(0)=f(2)=,所以函数f(x)的最大值为1,最小值为,故③不正确. 答案:①② 【加固训练】(2014·唐山模拟)给出定义:若m- ①y=f(x)的定义域是R,值域是; ②点(k,0)是y=f(x)的图象的对称中心,其中k∈Z; ③函数y=f(x)的最小正周期为1; ④函数y=f(x)在上是增函数. 则上述命题中,真命题的序号是. 【解析】①中,令x=m+a,a∈,所以f(x)=x-{x}=a∈.所以正确. ②f(2k-x)=2k-x-{2k-x}=(-x)-{-x}=f(-x)≠-f(x),所以点(k,0)不是函数f(x)的图象的对称中心,所以②错误. ③f(x+1)=x+1-{x+1}=x-{x}=f(x),所以周期为1,正确.④令x=-,m=-1, 则f=,令x=,m=0,则f=, 所以f=f,所以函数y=f(x)在上是增函数错误.所以正确的为①③. 答案:①③ 三、解答题(13~14题每题10分,15~16题每题12分,共44分) 13.已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1). (1)若f(x)的图象如图(1)所示,求a,b的值. (2)若f(x)的图象如图(2)所示,求a,b的取值范围. (3)在(1)中,若|f(x)|=m有且仅有一个实数解,求出m的范围. 【解析】(1)f(x)的图象过点,,所以 解得a=,b=-3. (2)f(x)单调递减,所以0 即a0+b<0,所以b<-1. (3)画出y=|f(x)|的草图,知当m=0或m≥3时,|f(x)|=m有且仅有一个实数解. 14.设函数f(x)=g(x)=f(x)-ax,x∈[1,3],其中a≥0,记函数g(x)的最大值与最小值的差为h(a).求h(a)的表达式并求h(a)的最小值. 【解析】g(x)= 当1≤x≤2时,g(x)max=1-a,g(x)min=1-2a, 当2≤x≤3时,若0≤a≤1, 则g(x)在[2,3]上递增. g(x)max=2-3a,g(x)min=1-2a, 若a>1,则g(x)在[2,3]上递减, g(x)max=1-2a,g(x)min=2-3a, 所以当0≤a≤时,g(x)max=2-3a, g(x)min=1-2a. a>1时,g(x)max=1-a,g(x)min=2-3a, h(a)= h(a)的最小值为. 15.(2014·潍坊模拟)已知函数f(x)=-x+log2. (1)求f+f的值. (2)当x∈(-a,a],其中a∈(0,1],a是常数,函数f(x)是否存在最小值?若存在,求出f(x)的最小值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由>0,得(x+1)(x-1)<0, 解得-1 所以函数f(x)的定义域为(-1,1). 又因为f(-x)=x+log2=x-log2=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,即f(-x)+f(x)=0, 所以f+f=0. (2)存在最小值,任取x1,x2∈(-1,1)且设x1 则f(x2)-f(x1)=(x1-x2)+log2- log2, 易知f(x2)-f(x1)<0, 所以函数f(x)为(-1,1)上的减函数, 又x∈(-a,a]且a∈(0,1], 所以f(x)min=f(a)=-a+log2. 【讲评建议】在讲解本题时,请提醒学生注意以下几点: 1.注意函数的定义域:第(1)问判断函数的奇偶性时要先求出函数的定义域,忽略函数的定义域容易判断错误. 2.注意解题的规范性:第(2)问为存在性问题,对于此类问题要先判断,再求解,否则会导致解析不完整而失分. 16.(2014·深圳模拟)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求a,b的值. (2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围. 【解题提示】(1)利用f(0)=0及f(1)=-f(-1)求解. (2)先考查函数的单调性,再结合单调性和奇偶性转化不等式. 【解析】(1)因为f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0, 即=0,解得b=1,从而有f(x)=. 又由f(1)=-f(-1),知=-, 解得a=2. 故a=2,b=1. (2)由(1)知f(x)==-+. 由上式易知f(x)在(-≦,+≦)上为减函数. 又因f(x)是奇函数, 从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0 等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k). 因f(x)是减函数,由上式推得t2-2t>-2t2+k, 即对一切t∈R有3t2-2t-k>0. 从而Δ=4+12k<0,解得k<-. 【加固训练】(2014·安阳模拟)设f(x)=a x+b同时满足条件f(0)=2和对任意x∈R都有f(x+1)=2f(x)-1成立. (1)求f(x)的解析式. (2)设函数g(x)的定义域为[-2,2],且在定义域内g(x)=f(x),且函数h(x)的图象与g(x)的图象关于直线y=x对称,求h(x). (3)求函数y=g(x)+h(x)的值域. 【解析】(1)由f(0)=2,得b=1, 由f(x+1)=2f(x)-1,得a x(a-2)=0, 由a x>0得a=2,所以f(x)=2x+1. (2)由题意知,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)=2x+1.设点P(x,y)是函数h(x)的图象上任意一点,它关于直线y=x对称的点为P'(y,x),依题意点P'(y,x)在函数g(x)的图象上, 即x=2y+1, 所以y=log2(x-1), 即h(x)=log2(x-1). (3)由已知得,y=log2(x-1)+2x+1,且两个函数的公共定义域是,所 以函数y=g(x)+h(x)=log2(x-1)+2x+1. 由于函数g(x)=2x+1与h(x)=log2(x-1)在区间上均为增函数, 当x=时,y=2-1, 当x=2时,y=5, 所以函数y=g(x)+h(x)的值域为[2-1,5]. 关闭Word文档返回原板块2020高考数学专题复习----立体几何专题