数学：操作设计型问题专题复习（苏科版九年级）
【考点导航】
操作设计型问题主要包括剪纸、折叠、展开、拼图、作图（不包括统计图表的制作）、称重、测量、空间想像等，这类试题的难度往往不大，但容易失分．
解决这类问题，需要理解掌握轴对称轴、中心对称及点的轨迹的基本性质，审清题意，学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换. 注意运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题．在平时的学习中，要注重操作习题解题训练，提高思维的开放性，培养创新能力．如果学生没有一定的数学实践活动和丰富的数学经验，这类题是很难解决的． 【答题锦囊】
例1 某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A 、B 、C 上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．
（1）按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形花坛示意图；
（2）按平行四边形设计，利用图2画出你所设计的平行四边形花坛示意图； （3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适？请说明理由．
【思路点拨】
第（1）小题只要作出△ABC 的外接圆（分别作AB 、BC 的垂直平分线，得到交点O ，再以O 为圆心，以OA 长为半径画圆）即可；第（2）小题分别作出△ABC 的AB 、BC 、CA 边的中线，并延长加倍中线得到平行四边形的第四个顶点；第（3）小题通过计算圆和平行四边形的面积可以得出结论。
[标准解答]
（1）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一圆上；
（2）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上；
（3）∵r=OB=cos30BD ? ∴S ⊙O =πr 2=163
π
≈16.75，
又S 平行四边形
图1
A C 图2
A
C
图3
=2S △ABC =2×1
2
×42
∵S ⊙O > S 平行四边形
∴选择建圆形花坛面积较大.
例２ 如图4，在网格中有一个四边形图案．
(1)请你画出此图案绕点D 顺时针方向旋转900，1800，2700
的图案，你会得到一个美丽的图案，千万不要将阴影位置涂错；
(2)若网格中每个小正方形的边长为l ，旋转后点A 的对应点依次为A 1、A 2、A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积；
(3)这个美丽图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论． 【思路点拨】
本题考查旋转变换，将四边形图案绕点旋转900，1800，2700
的图案后形成的新图案是一个边长为8的正方形，四边形AA 1A 2A 3也是一个正方形.若设原图中Rt △ABC 的三边分别为a 、b 、c ，根据面积公式可知，()22
42
1
b a
c c a +?=
+，即AB 2+BC 2=AC 2
[标准解答]
(1)如图5，正确画出图案
(2)如图，
123AA A A S 四边形=123AB B B S 四边形-43BAA S ?
=(3+5)2
-4×12
×3×5
=34 故四边形似AA 1A 2A 3的面积为34．
(3)结论：AB 2+BC 2=AC 2
或勾股定理的文字叙述
例3 现有一张长和宽之比为2：1的长方形纸片，将它折两次（第一次折后也可打开铺平再折第二次），使得折痕将纸片分为面积相等且不重叠的四个部分（称为一次操作），如图6甲（虚线表示折痕）．除图6甲外，请你再给出三种不同的．．．
操作，分别将折痕画在图6①至③中（规定：一个操作得到的四个图形，和另一个操作得到的四个图形，如果能够“配对”得到四组全等的图形，那么就认为是相同的操作，如图乙和图甲表示相同的操作）．
甲 乙
图 4
图5
①
②
③
【思路点拨】
这是一道动手操作且其具有一定开放性的试题，首先要弄懂题意，根据能够“配对”得到四组全等的图形的要求，进行画图，如有困难，也可动手操作。
[标准解答]
例4 如图7所示，在4×4的菱形斜网格图中（每一个小菱形的边长为1，有一个角是60°），菱形ABCD的边长为2，E是AD的中点，按CE将菱形ABCD剪成①、②两部分，用这两部分可以分别拼成直角三角形、等腰梯形、矩形，要求所拼成图形的顶点均落在格点上．
（1）在下面的菱形斜网格中画出示意图；
（2）判断所拼成的三种图形的面积（s）、周长（l）的大小关系（用“=”、“＞”或“＜”连接）：
面积关系是；
周长关系是．
图6
图7
【思路点拨】
第（1）小题是一道拼图题，拼图的结果分别是直角三角形、等腰梯形、矩形，要注意根据这三种图形的定义，并且在菱形斜网格中拼图，图形的顶点均落在格点上．第（2）小题是计算题，拼图不改变图形的面积，根据菱形的性质求出所拼图形的周长． [标准解答]． （1）
（2） =S =S S 矩形直角三角形等腰梯形；
l 直角三角形＞l 等腰梯形 ＞ l 矩形．
例5 如图8（1），是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC 和C ˊD ˊE ˊ叠放在一起（点C 与C ˊ重合）． （1）操作：
固定△ABC ，将△C ˊD ˊE ˊ绕点C 顺时针旋转30°得到△CDE ，连结AD 、BE ，CE 的延长线交AB 于点F ，如图（2）．
探究：在图8（2）中，线段BE 与AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论；
（2）操作：将图8（2）中的△CDE ，在线段CF 上沿着CF 方向以每秒1个单位长的速度平移，平移后的△CDE 设为△PQR ，如图8（3）．
探究：设△PQR 移动的时间为x s ，△PQR 与△AFC 重叠部分的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；
（3）操作：
固定图8（1）中△C ˊD ˊE ˊ，将△ABC 移动，使顶点C 落在C ˊE ˊ的中点，边BC 交D ˊE ˊ于点M ，边A C 与D ˊE ˊ交于点N ，设∠A C C ˊ=α（30°<α<90°），如图8（4）．
探究：在图8（4）中，线段C ˊN ·E ˊM 的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出C ˊN ·E ˊM 的值；如果有变化，请说明理由．
【思路点拨】
这是一道探索性命题．解题时要审清题意，注意运用图形的旋转变换，探索图形的变化规律．第（１）小题中△BCE ≌△ACD ；第（２）小题中△PQR 与△AFC 重叠部分的面积等于△PQR 的面积减去△ＳQR 的面积．第（３）小题中△E ˊM C ∽△CC ˊN ． [标准解答]
（1）BE =AD ．证明如下：
∵△ABC 与△DCE 都是等边三角形，
∴∠ACB =∠DCE =∠60°，CA =CB ，CE =CD ， ∴∠BCE =∠ACD ． ∴△BCE ≌△ACD ． ∴BE = AD ．
（2）设RQ 与AC 交于点T ，RP 与AC 交于点S ， 在△QTC 中，
∵∠TCQ =30°，∠RQP=60°，
∴∠QTC =30°．∴∠QTC =∠TCQ ． ∴QT =CQ =x ．∴RT =3－x ．
∵∠RTS +∠R =90°，∴∠RST =90°． ∴y =－
4
3
3)3(832+
-x （0≤x ≤3）； （3）C ˊN ·E ˊM 不变．证明如下：
∵∠AC B=60°，
∴∠MC E ˊ+∠NCC ˊ=120°． ∵∠CN C ˊ +∠NCC ˊ=120°， ∴∠MC E ˊ=∠CN C ˊ． ∵∠ E ˊ=∠ C ˊ，
∴△E ˊM C ∽△CC ˊN ． ∴
N
C C
E C C M E ''=''． ∴C ˊN ·E ˊM = C ˊC ·E ˊC =4
9．
【中考预测】
⒈学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图9(1)～9(4)）：
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ） ①两直线平行，同位角相等； ②两直线平行，内错角相等； ③同位角相等，两直线平行； ④内错角相等，两直线平行．
A ．①②；
B ．②③；
C ．③④；
D ．①④.
⒉将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后铺平，得到的图形是( )
⒊如图10，已知线段
a ，h 作等腰△ABC ，使AB ＝AC ，且BC ＝a ，BC 边上的高AD ＝h
. 张红的作法是：（1）作线段BC ＝
a ；（2）作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D ；
（3）在直线MN
上截取线段h ；（4）连结AB ，AC ，△ABC 为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是( )
A . （1）；
B . （2）；
C . （3）；
D . （4）.
A B C D
图9
⒋如图11，小明想用皮尺测最池塘A 、B 间的距离，但现有皮尺无法直接测量，学习数学有关知识后，他想出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A 、B 两点的点O ，连接OA 、OB ，分别在OA 、OB 上取中点C 、D ，连接CD ，并测得CD = a ，由此他即知道A 、B 距离是 （ ）
A ．
1
2
a ； B ．2a ；C ．a ； D ．
3a.
⒌下列说法正确的有（ ） （1）如图12（a ），可以利用刻度尺和三角板测量圆形工件的直径； （2）如图12（b ），可以利用直角曲尺检查工件是否为半圆形； （3）如图12（c ），两次使用丁字尺（CD 所在直线垂直平分线段AB ）可以找到圆形工件的圆心； （4）如图12（d ），测倾器零刻度线和铅垂线的夹角，就是从P 点看A 点时仰角的度数．
A ．1个；
B ．2个；
C ．3个；
D ．4个.
⒍当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图13，已知矩形ABCD ，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A 所在直线为折痕，折叠纸片，使点B 落在AD 上，折痕与BC 交于E ；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E 所在直线为折痕，使点A 落在BC 上，折痕EF 交AD 于F ．则∠AFE =( )
A ．60? ；
B ．67.5?；
C ．72? ；
D ．75?.
（a ）
（b ） （c ）
（d ）
A
A B
C D
P
图12
A B C
D
⒎将圆柱形纸筒沿母线AB 剪开铺平，得到一个矩形（如图14）．如果将这个纸筒沿线路B M A →→剪开铺平，得到的图形是（ ） A ．平行四边形； B ．矩形； C ．三角形； D ．半圆.
⒏如图15是5×5的正方形网络，以点D 、E 为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出（ ） A.2个； B.4个； C.6个； D.8个.
⒐如图16，把边长为2
）
Ａ．18 ； Ｂ．16 ； Ｃ．12； Ｄ．8. ⒑如图17，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于（ ）
A ．34；
B ．33；
C ．24；
D ．８.
⒒用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图18（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图7.2-18（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
A
F 图17 B A B
()A )B
图14
E
① ② ③ ④ ⑤ 图16
⒓如图19，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm)，则该圆的半径
为cm．
图19
⒔如图20，将网格中的三条线段沿网格线平移后组成一个首尾相接的三角形，至少需要移动_________格．
图20
⒕如图21，已四边形纸片ABCD，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：__________（用“能”或“不能”填空）．若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由_____________________
___________________________________．
⒖在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，用两种方法把它分成两个三角形，且要求一个三角形是等腰三角形．
⒗请在由边长为1的小正三角形组成的虚线网格（图23）中，画出 1 个所有顶点均在格点上，且至少有一条边为无理数的等腰三角形
⒘将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图24所示的四边形ABCD ． ⑴ 求证：四边形ABCD 是菱形；
⑵ 如果两张矩形纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD 的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．
图22 C B 图24
D C B
A 图
23
⒙现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图25①、图25②、图25③）．
分别在图25①、图25②、图25③中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．
要求：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙； （3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
⒚下面的图26是由边长为
a 的正方形剪去一个边长为
b 的小正方形后余下的图形。把图7.2-26剪开后，再拼成一个四边形，可以用来验证公式))((2
2
b a b a b a -+=-。
(1)请你通过对图（1）的剪拼，画出三种不同拼法的示意图。要求： ①拼成的图形是四边形；
②在图（1）上画剪切线（用虚线表示）； ③在拼出的图形上标出已知的边长。
(2)选择其中一种拼法写出验证上述公式的过程。
①
矩形（非正方形）
②
正方形
③
有一个角是135°的三角形
图25
图26
参考答案
⒈C；⒉C；⒊C；⒋B；⒌D；⒍B；⒎A；⒏Ｂ；⒐Ｂ；⒑A；⒒36；⒓13
4
；⒔９；
⒕能，分别取四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点E、G、F、H，连接EF、GH，交点为O．将四边形OFDH不动，将四边形AEOH、CGOF分别绕点H、F旋转180度，将四边形BGOE平移，使B与D重合，即可得到一个平行四边形．
⒖解：可参考的作法有：
(1)作AC的中垂线交AB于D，连接CD，得等腰△DAC；
(2)作∠B的平分线交AC于D，得等腰△DAB；
(3)在BA上截取BD＝BC，连接CD，得等腰△BCD；
(4)在AB上截取AD＝AC，连结CD，得等腰△ACD．
⒗本题答案不惟一，以下答案供参考
⒘（1）如图答2，因为AD∥BC，AB∥DC，
所以四边形ABCD为平行四边形．
分别过点B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足分别为点E、F．
则BE = CF．
因为∠DAB =∠BAF，
所以Rt△DAB≌Rt△BAF．
所以AD = AB．
所以四边形ABCD为菱形．-
（2）存在最小值和最大值．-
① 当∠DAB = 90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；
② 当AC为矩形纸片的对角线时，设AB = x，如图答3，在Rt△BCG中，
222
(8)2
x x
=-+，
17
4
x=．所以周长最大值为17．
A B
C
D
E
F
（图答2）
（图答3）
D C
B
A G
⒙
⒚略．
命题人姓名：严于庆
工作单位：江苏省滨海县果林中学 职称：中学高级教师
联系地址：江苏省滨海县果林中学 邮编：224513 QQ ：539816691
电子邮箱：glzxyyq@https://www.doczj.com/doc/b93369249.html, 手机:137********
图1
矩形（非正方形）
图2
正方形
图3
有一个角是135°的三角形