2.3 参数方程化成普通方程
1.了解参数方程化成普通方程的意义.
2.掌握参数方程化成普通方程的基本方法.(重点)
3.能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题.(难点)
教材整理 参数方程化为普通方程
参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系.两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有：
(1)代数法消去参数
①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.
②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程.
(2)利用三角恒等式消去参数
如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程.
填空：
(1)将参数方程?
??
??
x ＝t ，y ＝2t (t 为参数)化为普通方程是________.
(2)将参数方程???
??
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________.
(3)将参数方程???
??
x ＝2t 2
，
y ＝t ＋1
(t 为参数)化为普通方程是________.
【解析】 (1)把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x . (2)由sin 2
θ＋cos 2
θ＝1得x 2
＋y 2
＝1.
(3)由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2
.
【答案】 (1)y ＝2x (2)x 2
＋y 2
＝1 (3)x ＝2(y －1)2
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
(1) x －1 2
3＋ y －2 2
5＝1，x ＝3cos θ＋1.(θ为参数)
(2)x 2
－y ＋x －1＝0，x ＝t ＋1.(t 为参数) 【精彩点拨】 根据题目要求代入可求解.
【自主解答】 (1)将x ＝3cos θ＋1代入 x －1 2
3＋ y －2
2
5＝1得y ＝2＋5sin
θ.
∴??
?
x ＝3cos θ＋1，
y ＝5sin θ＋2
(θ为参数).
这就是所求的参数方程.
(2)将x ＝t ＋1代入x 2
－y ＋x －1＝0得
y ＝x 2＋x －1＝(t ＋1)2＋t ＋1－1＝t 2＋3t ＋1，
∴?
????
x ＝t ＋1，y ＝t 2
＋3t ＋1(t 为参数).
这就是所求的参数方程.
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数
方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的.如本例(2)，若令
x ＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为?????
x ＝tan θ，
y ＝tan 2
θ＋tan θ－1
(θ为参数).
1.求xy ＝1满足下列条件的参数方程.
(1)x ＝t (t ≠0)；(2)x ＝tan θ?
??
??θ≠
k π
2
，k ∈Z .
【解】 (1)将x ＝t 代入xy ＝1得t ·y ＝1. ∵t ≠0，∴y ＝1
t
，
∴?????
x ＝t ，y ＝1
t
(t 为参数，t ≠0).
(2)将x ＝tan θ代入xy ＝1得y ＝1tan θ
，
∴?????
x ＝tan θ，y ＝1
tan θ
(θ为参数，θ≠
k π
2
，k ∈Z ).
探究1 下面将参数方程???x ＝t ＋1，y ＝1－2t
(t 为参数)，化成普通方程的过程是否正确？
为什么？
解：由x ＝t ＋1，得t ＝x －1， 代入y ＝1－2t ，得y ＝－2x ＋3. 这是一条过点(0,3)，且斜率为－2的直线.
【提示】 解析过程不正确，因为没有考虑x 是有范围的，即x ＝t ＋1≥1. 探究2 将参数方程化成普通方程应注意什么？怎么来做？
【提示】 将参数方程化成普通方程，应注意，消参过程中要求不减少也不增加曲线上的点，即要求参数方程和消去参数后的普通方程是等价的；消参前必须是根据参数的取值范围确定f (t )和g (t )的值域，从而得到x ，y 的取值范围.
探究3 把参数方程化为普通方程时，常用哪些方法？ 【提示】 消去参数的方法一般有三种：
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数
.
将下列参数方程化成普通方程，并说明方程表示的曲线.
(1)?
??
??
x ＝1－3t ，y ＝4t (t 为参数)；
(2)?????
x ＝a 2? ????t ＋1t ，y ＝b 2? ??
??
t －1t (a ，b 为大于零的常数，t 为参数).
【精彩点拨】 (1)可用代入法；(2)可用代数运算法.
【自主解答】 (1)由已知t ＝1－x
3，代入y ＝4t 中，得4x ＋3y －4＝0，它就是所求的
普通方程，它表示的是一条直线.
(2)∵x ＝a 2? ??
??
t ＋1t ，
∴t ＞0时，x ∈.
由x ＝a 2?
????t ＋1t ，
两边平方可得x 2
＝a 24?
?
???t 2
＋2＋1t 2，
①
由y ＝b 2? ????
t －1t 两边平方可得
y 2
＝b 24?
?
?
??
t 2
－2＋1t
2， ②
①－②并化简，得x 2a 2－y 2
b
2＝1，这就是所求的曲线方程，它表示的曲线是中心在原点，焦
点在x 轴上的双曲线
.
将不含三角函数的参数方程化成普通方程时，若两个方程中其中一个可以解出参数t ，则用代入法消参，否则用代数运算法消参
.
2.把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线.
(1)?
??
??
x ＝－4t 2
，y ＝t ＋1(t ≥0，t 为参数)；
(2)?????
x ＝a 1－t 2 1＋t
2
，y ＝2bt
1＋t
2
(t 是参数且a ＞b ＞0).
【解】 (1)???
?
?
x ＝－4t 2
， ①y ＝t ＋1， ②
由②解得t ＝y －1，代入①中， 得x ＝－4(y －1)2
(y ≥1)， 即(y －1)2
＝－14
x (y ≥1).
方程表示的曲线是顶点为(0,1)，对称轴平行于x 轴，开口向左的抛物线的一部分. (2)由已知可得
?????
x a ＝1－t 2
1＋t 2
， ①y b ＝2t 1＋t 2
， ②
①2
＋②2
得x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0，x ≠－a )，这就是所求的普通方程，方程表示的曲线是
焦点在x 轴上的椭圆(去掉左顶点
).
将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线. (1)???
?
?
x ＝1＋4cos t ，y ＝－2＋4sin t
(t 为参数，0≤t ≤π)；
(2)???
??
x ＝2＋sin 2
θ，y ＝－1＋cos 2θ
(θ为参数).
【精彩点拨】 (1)利用sin 2
t ＋cos 2
t ＝1消参； (2)cos 2θ＝1－2sin 2
θ消参.
【自主解答】 (1)∵0≤t ≤π，－1≤cos t ≤1， 0≤sin t ≤1.
∴－3≤x ≤5，－2≤y ≤2，
(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝16cos 2
t ＋16sin 2
t ＝16. ∴(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝16(－3≤x ≤5，－2≤y ≤2)， 它表示的曲线是以(1，－2)为圆心，半径为4的上半圆. (2)由y ＝－1＋cos 2θ，可得y ＝－2sin 2
θ，
把sin 2θ＝x －2代入y ＝－2sin 2
θ， 可得y ＝－2(x －2)， 即2x ＋y －4＝0.
又∵2≤x ＝2＋sin 2
θ≤3，
∴所求的方程是2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)，它表示的是一条线段.
对于含有三角函数的参数方程化成普通方程问题，常联想三角恒等式，利用三角变换消去参数，而得到其普通方程，但应注意x ，y 的取值范围.
3.已知某条曲线C 的参数方程为?
????
x ＝1＋2t ，
y ＝at 2
(其中t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在
该曲线上.
(1)求常数a ；
(2)求曲线C 的普通方程.
【解】 (1)由题意，可知?
????
1＋2t ＝5，at 2
＝4，故?
??
??
t ＝2，
a ＝1，所以a ＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为?
????
x ＝1＋2t ，
y ＝t 2
，由第一个方程，得t ＝
x －1
2
，代
入第二个方程，得y ＝?
??
??x －122，即(x －1)2＝4y 为所求.
1.曲线???
?
?
x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ＋2
(θ为参数)的一条对称轴的方程为( )
A.y ＝0
B.x ＋y ＝0
C.x －y ＝0
D.2x ＋y ＝0
【解析】 曲线?
??
??
x ＝2cos θ－1，
y ＝2sin θ＋2(θ为参数)的普通方程为(x ＋1)2＋(y －2)2
＝4，
圆心C 的坐标为(－1,2)，过圆心的直线都是圆的对称轴，故选D.
【答案】 D
2.与普通方程x 2
＋y －1＝0等价的参数方程为( )
A.?
????
x ＝sin t ，
y ＝cos 2
t (t 为参数)
B.?
????
x ＝cos t ，
y ＝sin 2
t (t 为参数)
C.???
x ＝1－t ，
y ＝t
(t 为参数)
D.?
????
x ＝tan t ，y ＝1－tan 2
t (t 为参数)
【解析】 A 化为普通方程为
x 2＋y －1＝0，x ∈，y ∈.
B 化为普通方程为x 2
＋y －1＝0，x ∈，y ∈. C 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈.
D 化为普通方程为x 2＋y －1＝0，x ∈R ，y ∈(－∞，1]. 【答案】 D 3.若曲线???
?
?
x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2
θ
(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是________.
【导学号：12990028】
【解析】 x ＝1＋cos 2θ＝1＋(1－2sin 2
θ)＝2－2y ， ∴x ＋2y －2＝0.
又∵x ＝1＋cos 2θ∈，y ＝sin 2
θ∈.
∴点(x ，y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段. 【答案】 以(2,0)和(0,1)为端点的线段
4.参数方程???
??
x ＝cos α，
y ＝1＋sin α
(α为参数)化成普通方程为________.
【解析】 ∵???
?? x ＝cos α，
y ＝1＋sin α(α为参数)，
∴?
??
??
x ＝cos α， ①
y －1＝sin α， ②(α为参数).
①2
＋②2
得x 2
＋(y －1)2
＝1，此即为所求普通方程. 【答案】 x 2
＋(y －1)2
＝1 5.指出下列参数方程表示什么曲线.
(1)?
??
??
x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(0≤θ≤π)；(2)?
??
??
x ＝2cos t ，
y ＝3sin t (π≤t ≤2π).
【解】 (1)由?
??
??
x ＝3cos θ，
y ＝3sin θ，得x 2＋y 2
＝9.又∵0≤θ≤π.
∴－3≤x ≤3,0≤y ≤3.
∴所求方程为x 2
＋y 2
＝9(0≤y ≤3).
这是一个半圆(圆x 2
＋y 2
＝9在x 轴上方的部分).
(2)由?
??
??
x ＝2cos t ，
y ＝3sin t ，得x 24＋y 2
9
＝1.∵π≤t ≤2π，
∴－2≤x ≤2，－3≤y ≤0.
∴所求方程为x 24＋y 2
9
＝1(－3≤y ≤0).
它表示半个椭圆(椭圆x 24＋y 2
9
＝1在x 轴下方的部分).
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)
人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos= ∴
y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值． 由题意椭圆的参数方程为为参数）直线的极坐标方程为
参数方程 目标点击： 1．理解参数方程的概念，了解某些参数的几何意义和物理意义； 2．熟悉参数方程与普通方程之间的联系和区别，掌握他们的互化法则； 3．会选择最常见的参数，建立最简单的参数方程，能够根据条件求出直线、圆锥曲线等常用曲线的一些参数方程并了解其参数的几何意义； 4．灵活运用常见曲线的参数方程解决有关的问题. 基础知识点击： 1、曲线的参数方程 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数，?? ?==)()(t g y t f x (1) 并且对于t 的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程. 联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数. 2、求曲线的参数方程 求曲线参数方程一般程序： (1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M 的坐标； (2) 选参：选择合适的参数； (3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x ，y 的关系 式，并由此分别解出用参数表示的x 、y 的表达式. (4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程 3、曲线的普通方程 相对与参数方程来说，把直接确定曲线C 上任一点的坐标（x,y ）的方程F （x,y ）＝0叫做曲线C 的普通方程. 4、参数方程的几个基本问题 (1) 消去参数，把参数方程化为普通方程. (2) 由普通方程化为参数方程. (3) 利用参数求点的轨迹方程. (4) 常见曲线的参数方程. 5、几种常见曲线的参数方程 (1) 直线的参数方程 (ⅰ)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α的直线的参数方程是 ? ??+=+=αα s i n c o s 00t y y t x x （t 为参数）t 的几何意义：t 表示有向线段P P 0的数量，P(y x ,) 为直线上任意一点. (ⅱ)过点P 0(00,y x )，斜率为a b k =的直线的参数方程是 ???+=+=bt y y at x x 00 （t 为参数） （2）圆的参数方程
三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1
2018高考数学解题技巧 解答题模板3：极坐标与参数方程 1、 题型与考点（1）{极坐标与普通方程的互相转化 极坐标与直角坐标的互相转化 （2） {参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) {利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、【知识汇编】 参数方程：直线参数方程：00cos ()sin x x t t y y t θθ=+??=+?为参数 00(,)x y 为直线上的定点， t 为直线上任一点(,)x y 到定 点00(,)x y 的数量； 圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：cos ()sin x a r y b r θθθ=+?? =+?为参数(a,b)为圆心，r 为半径； 椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos ()sin x a y b θθθ=??=? 为参数； 双曲线2222-1x y a b =的参数方程是sec ()tan x a y b φθφ=??=? 为参数； 抛物线22y px =的参数方程是2 2()2x pt t y pt ?=?=?为参数 极坐标与直角坐标互化公式： 若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ， 则cos x ρθ=, sin y ρθ=, 222x y ρ=+, tan y x θ=。 解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程?????+=-=--t t t t y x 2 222（t 为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，4)22()22(2222-=+--=---t t t t y x ，即有422=+y x ，又注意到 02>t ，222222=?≥+--t t t t ，即
2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》 【题型归纳】 题型一 曲线的极坐标方程 例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0； （2）面积为12 . 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12 . 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2 ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 题型二 参数方程及其应用 例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
高考复习之参数方程 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式 过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此 时， ｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用 设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数） 若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为? ?? ?? x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．
3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ? x ＝3cos α， y ＝3sin α (α为参数)，以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ? ????θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．
选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．
极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
高中数学选修4-4坐标系与参数方程------高考真题演练 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=?? =? ， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 1（2）(2018全国卷II )在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参 数），直线的参数方程为（为参数）． （1）求和的直角坐标方程； （2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率． 1（3）(2018全国卷I )在直角坐标系 中,曲线的方程为,以坐标原点为 极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 （1）求的直角坐标方程 （2）若 与有且仅有三个公共点,求 的方程 1（1）(2018全国卷III ) 在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?， （θ为参数）， 过点(0，且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ，两点． （1）求α的取值范围； （2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． xOy C 2cos 4sin x θy θ=?? =? ， θl 1cos 2sin x t αy t α=+??=+? ， t C l C l (1,2) l
解：（1）O e 的参数方程为cos sin x y θθ =?? =?，∴O e 的普通方程为22 1x y +=，当90α=?时， 直线：:0l x =与O e 有两个交点，当90α≠?时，设直线l 的方程为tan y x α=-直线l 与O e 1<，得2tan 1α>，∴tan 1α>或tan 1α<-，∴ 4590α?<
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
第二讲 参数方程 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.判断以下各点,哪一个在曲线2 3 14 32 x t t y t t ?=++??=-+?? (t 为参数)上( ) A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3) D.(3,4) 解析:∵x=1+t 2 +t 4 =2 213124t ? ?++ ?? ?≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上 对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D 2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为 ( ) 2 .12.A .2 x sint x tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφ φ==???? =-=???=?=?? ?==??? 。 解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ?C ?D,只有B 符合. 答案:B 3.若直线的参数方程为1223x t y t =+?? =-? (t 为参数),则直线的斜率为( ) 2233 (3) 3 2 2 A B C D -- 解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0.
∴直线的斜率k=- . 答案:D 4.过点M(2,1)作曲线C: 4 4 x cos y sin θ θ = ? ? = ? (θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为 ( ) A.y-1=- (x-2) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=- (x-1) D.y-2=-2(x-1) 解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直, ∵k OM = , ∴弦所在直线的斜率是-2, 故所求直线方程为y-1=-2(x-2). 答案:B 5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为 23 13 x cos y sin θ θ=+ ? ? =-+ ? (θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为 10 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离d=3 10 =<, 所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又 10 ,故满足题意的点有2个. 答案:B 6.(2010·上海)直线l的参数方程是 12 2 x t y t =+ ? ? =- ? (t∈R),则l的方向向量d可以是( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(1,-2)
第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用 例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤