高等代数 一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实 数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ）
科目名称：《高等代数》 姓名： 班级： 考试时间：120分钟 考试形式：闭卷 ≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌≌ ≌≌≌≌ 一、填空题（每小题5分，共25分） 1、在[]X P 中，向量21x x ++关于基23,1,12+--x x x 的坐标为 。 2、向 量 组 ()()()()()8,3,5,2,1,1,3,0,3,2,4,2,1,2,154321-=-==-=-=ααααα的秩 为 ，一个最大无关组为 .。 3、（维数公式）如果21,V V 是线性空间V 的两个子空间，那么 。 4、假设??? ? ? ??-----=175131023A 的特征根是 ，特征向量分别 为 。 5、实二次型()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-= 的秩为 二、是非题（每小题2分，共20分） 1、如果r a a a ,,,21 线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（ ） 2、在][x P 中，定义变换)()(0x f x Af =,其中P x ∈0，是一固定的数，那么变换A 是线性变换。（ ） 3、设21,W W 是向量空间V 的两个子空间，那么它们的并 21W W 也是V 的一个子空间。（ ） 4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（ ）
5、令),,,(4321x x x x =ξ是4R 的任意向量，那么δ是4R 到自身的线性变 换。其中),,,()(24232221x x x x =ξδ。（ ） 6、矩阵A 的特征向量的线性组合仍是A 的特征向量。（ ） 7、若矩阵A 与B 相似，那么A 与B 等价。（ ） 8、n 阶实对称矩阵A 有n 个线性无关的特征向量。（ ） 9、在)(2R M 中，若W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是 )(2R M 的 子空间。（ ） 10、齐次线性方程组0)(=-X A E λ的非零解向量是A 的属于λ的特征向量。（ ） 三、明证题（每小题××分，共31分） 1、设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换，证明：A 可逆当且仅当n A A A εεε,,,21 线性无关。 （10） 2、设δ是n 维欧氏空间V 的一个线性变幻，证明：如果δ是对称变幻， 2δ=l 是单位变幻，那么δ是正交变换。（11） 3、设V 是一个n 维欧氏空间，证明：如果21,W W 都是V 得子空间，那么() ⊥⊥⊥ =+2121W W W W 。（10） 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求矩阵??? ? ? ??---=466353331A 的特征根与特征向量，并求满秩矩阵P 使 得AP P 1-为对角形矩阵。 2、求一个正交矩阵U ，使得AU U '使对角形式，其中
中国海洋大学2007-2008学年第2学期期末考试试卷
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中国海洋大学 XXXX-XXXX 学年 第X 学期 期末考试试卷 五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
中国海洋大学 2007-2008学年 第2学期 期末考试 数学科学 学院 《高等代数》试题(A 卷)答案 一.判断题 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.√ 二.解：A =???? ????????1111111111111111， 3|(4)E A λλλ-=-｜，所以特征值为0，4（3重）. 将特征值代入，求解线性方程组()0E A x λ-=，得4个线性无关的特征向量（答案可以不唯一），再正交单位化，得4个单位正交向量： 11111 ,,,)'2222α＝( ，2α＝， 3α＝ ，4'α＝. 所以正交阵1 212 102610 2 T ?????? ?=??- ?? ???????? 而40'00T AT ??????=??????. 三.证：(1) ,.A B M ?∈ 验证,A B kA M +∈即可. (2) 令1101 010011 0n E D E -???? ? ??? ??== ????? ?????? O O O ，D 为循环阵， 00n k k k E D E -?? = ??? ，(k E 为k 阶单位阵) 则2 1 ,,,,n n D D D D E -=L 在P 上线性无关.
高等代数试卷 一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、)(x p 若是数域F 上的不可约多项式，那么)(x p 在F 中必定没有根。 （ ） 2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法则知，这个线性方程组一定是无解的。 （ ） 3、实二次型),,,(21n x x x f 正定的充要条件是它的符号差为n 。 （ ） 4、 321321;3,2,1,,,x x x i R x x x x W i 是线性空间3R 的一个子空间。（ ） 5、数域F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ） 6、两个n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转化的充要条件是它们有相同的正惯性指数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换 的属于特征根0 的特征向量只有有限个。 （ ） 9、欧氏空间V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为 关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。 （ ） 10、若 n ,,,21 是欧氏空间V 的标准正交基，且 n i i i x 1 ，那么 n i i x 1 2 。 （ ） 二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写 在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、关于多项式的最大公因式的下列命题中，错误的是（ ） ① n n n x g x f x g x f ,, ； ② n j i j i f f f f f j i n ,,2,1,,,1,1,,,21 ； ③ x g x g x f x g x f ,, ； ④若 1,1, x g x f x g x f x g x f 。 2、设D 是一个n 阶行列式，那么（ ） ①行列式与它的转置行列式相等； ②D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若0 D ，则D 中必有一行全是零； ④若0 D ，则D 中必有两行成比例。 3、设矩阵A 的秩为r r (>)1，那么（ ） ①A 中每个s s (<)r 阶子式都为零； ②A 中每个r 阶子式都不为零；
一、填空题 （共10题，每题2分，共20 分） 1．只于自身合同的矩阵是 矩阵。 2．二次型()()11212237,116x f x x x x x ?? ??= ? ????? 的矩阵为__________________。 3．设A 是实对称矩阵，则当实数t _________________,tE A +是正定矩阵。 4．正交变换在标准正交基下的矩阵为_______________________________。 5．标准正交基下的度量矩阵为_________________________。 6．线性变换可对角化的充要条件为__________________________________。 7．在22P ?中定义线性变换σ为：()a b X X c d σ?? = ??? ，写出σ在基11122122,,,E E E E 下的 矩阵_______________________________。 8．设1V 、2V 都是线性空间V 的子空间，且12V V ?，若12dim dim V V =，则_____________________。 9．叙述维数公式_________________________________________________________________________。 10．向量α在基12,,,n ααα???（1）与基12,,,n βββ???（2）下的坐标分别为x 、y ，且从基（1）到基（2）的过渡矩阵为A ，则x 与y 的关系为_____________________________。 二、判断题 （共10 题，每题1分，共10分） 1．线性变换在不同基下的矩阵是合同的。（ ） 2．设σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则()1 0V V σσ -+=。 （ ） 3．平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。（ ） 4．设1V 与2V 分别是齐次线性方程组120n x x x ++???+=与12n x x x ==???=的解空间，则 12n V V P ⊕= （ ） 5．2 2 11n n i i i i n x x ==??- ??? ∑∑为正定二次型。（ ） 6．数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。（ ） 7．把复数域C 看作复数域上的线性空间，C ξ?∈，令σξξ=，则σ是线性变换。（ ） 8．若σ是正交变换，那么σ的不变子空间的真正交补也是σ的不变子空间。（ ） 9．欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。（ ） 10．若σ为[]n P x (1n >)中的微分变换，则σ不可对角化。（ ） 三、计算题 （共3题，每题10分，共30分）
广东工业大学试卷用纸，共 页，第 页 学 院 ： 专 业： 学 号： 姓 名 ： 装 订 线 广东工业大学考试试卷 ( ) 课程名称: 考试时间: 年 月 日 (第 周 星期 ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一、填空题（每题1分，共10分） 1、数据库领域中最常用的数据模型有 层次模型 、 网状模型 、 关系模型 和面向对象模型。 2、数据库设计包括需求分析、概念结构设计、 逻辑结构设计 、 物理结构设计 数据库实施、数据库运行和维护六个阶段。 3、事务的特性包括 原子性 、 持续性 、隔离性和一致性。 4、 并发调度的可串行性 是并发事务正确性的准则。 5、F 逻辑蕴涵的全体函数依赖构成的函数依赖的集合，称为F 的 闭包 。 6、数据是 描述事物的符号记录 。 二、选择题（每题2分，共20分） 1、 在数据库的三级模式结构中，描述数据库中全体数据的全局逻辑结构和特性的是_____。 A 、外模式 B 、内模式 C 、存储模式 D 、模式 2、 实体完整性是指关系中 ____。 A 、元组值不允许为空 B 、属性值不允许空 C 、主属性值不允许为空 D 、主码值不允许为空 3、数据库系统的逻辑独立性是指____。 A 、不会因为数据的变化而影响应用程序 B 、不会因为系统数据存储结构预数据逻辑结构的变化而影响应用程序 C 、不会因为存取策略的变化而影响存储结构 D 、不会因为某些存储结构的变化而影响其他的存储结构。 4、候选关键字中属性称为 。 A.非主属性 B.主属性 C.复合属性 D.关键属性
高等代数试卷二 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 【 】1、设)(x f 为3次实系数多项式，则 A.)(x f 至少有一个有理根 B. )(x f 至少有一个实根 C.)(x f 存在一对非实共轭复根 D. )(x f 有三个实根. 【 】2、设,A B 为任意两个n 级方阵，则如下等式成立的是 A. 222()2A B A AB B +=++ B. A B A B +=+ C. AB B A = D. A B A B -=- 【 】3、设向量组12,αα线性无关，则向量组1212,a b c d αααα++线性无关的充分必要条件为 A. ad bc ≠ B. ad bc = C. ab cd ≠ D. ab cd = 【 】4.一个(2)n ≥级方阵A 经过若干次初等变换之后变为B , 则一定有 A. A B = B. 0Ax =与0Bx =同解 C. 秩()A =秩()B D. * * A B = 【 】5、设矩阵A 和B 分别是23?和33?的矩阵，秩()2A =，秩()3B =，则秩 ()AB 是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题（每小题2分，共20分） 1．多项式)(x f 没有重因式的充要条件是 . 2 .若()()1f x g x +=,则((),())f x g x = . 3. 设1230231002A ??????=???????? ，则*1 ()A -= .
4. 行列式1 23 00 00 a a a 的代数余子式之和:313233A A A ++为______________. 5.设3级方阵1211222,2A B ααββββ???? ? ? == ? ? ? ????? ，其中,i i αβ均为3维行向量。若16,2A B ==， 则A B -= . 6. 若矩阵A 中有一个r 级子式不为0, 则 r(A)= . 7.线性方程组 121232 343414 x x a x x a x x a x x a -=??-=??-=??-=?, 有解的充要条件是 . 8. 若向量组12,,r ααα可由12,,s βββ线性表示，且12,,r ααα线性无关，则 r s. 9.设A 为3级矩阵, 且1 2 A = , 则 1*A A --= 10. 设00120 0373*******A ?? ? ? = ? ? ??? , 则1A -= . 三、判断题（每小题2分，共10分） 【 】1、若不可约多项式p(x)是()f x '的2重因式,则p(x)是)(x f 的3重因式. 【 】2、设n 级方阵A 为可逆矩阵，则对任意的n 维向量β，线性方程组Ax β=都有解。 【 】3、若有方阵,,A B C 满足AB AC =，则B C = 【 】4、初等矩阵的转置矩阵均为初等矩阵。 【 】5、设A 为n 阶方阵, B 是A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则||0A = 当且仅当 ||0B =.四、计算题（每小题10分，共40分）
第六章习题册 1. 检验下述集合关于所规定的运算是否构成实数域R 上的线性空间? (a) 集合{()[]deg()}f x R x f n ∈|=关于多项式的加法和数乘. (b) 集合{()}T n A M R A A ∈|=关于矩阵的加法和数乘. (c) 集合0{{}}n n n x x R ∞=|∈关于数列的加法和数乘. 2. 设V 是数域F 上的线性空间, 证明(αβ)αβk k k ?=?, 这里αβV k F ,∈,∈.
3. 下述集合是否是()n M R 的子空间 (a) { ()}T n V A M R A A =∈|=? (b) {()()[]}V f A f x R x =|∈, 这里()n A M R ∈是一个固定方阵. 4. 叙述并证明线性空间V 的子空间1W 与2W 的并12W W ∪仍为V 的子空间的充分必要条件. 5. 设1S 与2S 是线性空间V 的两个非空子集, 证明: (a) 当12S S ?时, 12()()Span S Span S ?. (b) 1212()()()Span S S Span S Span S =+∪. (c) 1212()()()Span S S Span S Span S ?∩∩.
6. 如果123f f f ,,是实数域上一元多项式全体所成的线性空间[]R x 中三个互素的多项式, 但其中任意两个都不互素, 那么它们线性无关.试证之. 7. 设S 是数域F 上线性空间V 的一个线性无关子集, α是V 中一个向量, αS ?, 则{α}S ∪线性相关充分必要条件α()Span S ∈. 8. (a) 证明{|()}ij ji E E i j +≤是()n M F 中全体对称矩阵组成的子空间的一个基. (b). 求3()M F 的子空间{()()[]}f A f x F x |∈ 的一个基和维数, 这里010001000A ???? =?????? 9. 在4 R 中, 求向量ξ在基1234(εεεε),,,下的坐标, 其中 12341210111112εεεεξ0301311014??????????????????????????????=,=,=,=,=????????????????????????????????????????
2013年中山大学高等代数考研真题 1、设E 为数域,,E F ?且E 作为F 上的线性空间，维数为.m 设V 为 E 上的n 维线性空间.证明：V 作为F 上的线性空间维数为.mn 2、设f 是F 上线性空间)(F M n 到F 的线性映射，,)(n I f =且对任意 的矩阵)(,F M B A n ∈有).()(BA f AB f =证明：0tr f =（注：tr 为迹函数， ))(=A tr ）. 3、设),(,F M B A n ∈, )(n A rank <且, 2 1 k B B B A =其中.,,2,1,2k i B B i i ==证 明：)).(()(A rank n k A I rank -≤- 4、设.n m F A ?∈若对任意n 维向量,n F b ∈线性方程组b AX =有解.证 明：.)(m A rank = 5、设2 3 ) 1()(,)(x x g x x f -==. (1)求 ) (),(x v x u 使 ）； x g x v x f x u x g x f ()()()())(),((+=（2）设 . 1)(,2)(21=+=x r x x r 求一多项式)(x h 使下列同余方程式成立： )).()(mod ()()),()(mod ()(21x g x r x h x f x r x h ≡≡ 6、设σ是F 上线性空间V 上的线性变换.W 是σ的不变子空 间.m λλ，， 1 是σ的两两不同的特征根，m αα,,1 分别是属于m λλ，， 1 的根向量.若,1W m ∈++=ααα 证明.,,1,m i W i =∈α 7、设复矩阵 .10 1 1020011112320 ???? ?? ? ? ?----=A 求A 的Jordan 标准型和最小多项 式. 8、设W 为下列实线性方程组的解空间.分别求W 与⊥ W （W 的正交
一、填空题（共 10题，每题2分，共20分）。 1．多项式可整除任意多项式。 2．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 3．在n 阶行列式D 中，0的个数多于个是0D =。 4．若A 是n 阶方阵，且秩1A n =-，则秩A * =。 5．实数域上不可约多项式的类型有种。 6．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1) ()k f x -的重因式。 7．写出行列式展开定理及推论公式。 8．当排列12n i i i L 是奇排列时，则12n i i i L 可经过数次对换变成12n L 。 9．方程组12312322232 121x x x ax bx cx d a x b x c x d ++=?? ++=??++=?，当满足条件时，有唯一解，唯一解为。 10．若2 4 2 (1)1x ax bx -∣ ++，则a =，b =。 二、判断题（共10题，每题1分，共10分）。 1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。（） 2．两个多项式互素当且仅当它们无公共根。（） 3．设12n αααL 是n P 中n 个向量，若n P β?∈，有12,n αααβL 线性相关，则12n αααL 线性 相关。（） 4.设α是某一方程组的解向量，k 为某一常数，则k α也为该方程组的解向量。（）5．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。（） 6秩()A B +＝秩 A ，当且仅当秩0 B =。（） 7．向量α线性相关?它是任一向量组的线性组合。（） 8．若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。（） 9．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。（） 10．若,,,n n A B C D P ?∈，则 A B AD BC C D =-。（） 三、选择题（共5题，每题2分，共10分）。 1．A 为方阵，则 3A =（）
第四章 矩阵习题参考答案 一、 判断题 1. 对于任意n 阶矩阵A ，B ，有A B A B +=+. 错. 2. 如果20,A =则0A =. 错.如2 11,0,011A A A ??==≠ ?--?? 但. 3. 如果2A A E +=，则A 为可逆矩阵. 正确.2()A A E A E A E +=?+=，因此A 可逆，且1A A E -=+. 4. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩一个等于n ，一个小于n . 错.由0AB =可得()()r A r B n +≤.若一个秩等于n ，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n . 5．C B A ,,为n 阶方阵，若,AC AB = 则.C B = 错.如112132,,112132A B C ?????? === ? ? ?------?????? ，有,AC AB =但B C ≠. 6．A 为n m ?矩阵，若,)(s A r =则存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使 .00 0??? ? ? ?=s I PAQ 正确.右边为矩阵A 的等价标准形，矩阵A 等价于其标准形. 7．n 阶矩阵A 可逆，则*A 也可逆. 正确.由A 可逆可得||0A ≠，又**||AA A A A E ==.因此*A 也可逆，且11 (*)|| A A A -=. 8．设 B A ,为n 阶可逆矩阵，则.**)*(A B AB = 正确.*()()||||||.AB AB AB E A B E ==又 ()(**)(*)*||*||*||||AB B A A BB A A B EA B AA A B E ====. 因此()()*()(**)AB AB AB B A =.由B A ,为n 阶可逆矩阵可得AB 可逆，两边同时左乘式AB 的逆
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：https://www.doczj.com/doc/be2822512.html, 1考研高分学姐总结出的考研政治选择题解题技巧考研政治的试题分为两大部分，在答题的时候也有不同的方法。在历年的研究生考试中，各位考研高人得出各种各样的解题方法，都是值得借鉴的。在经历考研并且成功之后，针对这类问题结合我的经历，我总结出两类题型的解答技巧，与大家分享。 题型1评价分析型 题型特点：评价分析型选择题一般以引文作为材料，引文的内容不正确或不完全正确，该类题目注重考查考生的理解和判断能力。这类题在马克思主义哲学部分出现最多，所考查的知识点本身并不难，但对考生理解能力的要求较高。这就要求考生在平时的学习中，不仅要扎实掌握政治课本中的基本概念和基本原理，还要注重“腹有诗书气自华”的文学素质的培养以及审美素养的提高。 解题诀窍：对这种类型选择题，考生要能够理解引文中蕴涵着哪些观点，这些观点正确与否，引文中的错误是什么，错误原因又是什么。要特别注意：(1)如果题目是考查考生对引文的理解，那么判断备选项是否正确并不是以这个备选项所显露的“事实”正确与否为依据，而是以该备选项的观点是否蕴涵在材料中为依据。即使这个观点是错误的，也可能选。(2)如果题目是考查分析引文中作者的观点是否错误及其原因，要注意分析的角度，是站在“我们”的角度，还是站在材料的作者或漫画中的人物的角度。 题型2因果关系型
【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：https://www.doczj.com/doc/be2822512.html, 2题型特点：因果关系型选择题主要是分析政治、经济、社会现象的原因、目的、影响。一般包括两种情况，一是知道结果考原因，题干为果，选项为因。可以是一因一果，也可以是多因一果或是一因多果。常用引导语是“因为”、“其原因是”、“之所以”。另一种是知道原因考结果，其引导语是“目的是”、“是为了”、“结果是”、“影响是”、“因此”、“所以”等。其中在考查原因时又有根本原因、直接原因、主要原因、客观原因、主观原因等。解题诀窍 1.要分清是考查原因还是考查结果。解答因果关系选择题，应把题干和备选项结合起来分析，找好切入点。如果题干为因，备选项应该是此原因的结果;反之亦然。问结果的选择题的选项都比较发散，往往是“一因多果”。 2.要正确理解题目常用各种原因的含意，把握和理解各种原因的区别与联系。 (1)客观原因与主观原因。一般来说，政治、经济、社会现象的发生是由多种因素造成的。在诸多因素中事物发展的客观因素是客观原因，而人的因素是主观原因。 (2)主要原因和次要原因。主要原因是指在诸多原因中起主导作用的因素，但这种主导因素有时不止一个，其中起决定性作用的称之为“最主要的原因”，不属于主要原因的就是次要原因。如果题目要求分析主要原因，那就要对选项进行比较，在比较中找出主要原因。 (3)根本原因和直接原因。根本原因是从本质上说的，即导致事物发生变化的最本质的因素。这种因素是一种历史的客观存在，它不以人的意志为转移，它反映着客观规律的要求。
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授课教师命题教师或 命题负责人签字年月日院系负责人签 字年月日 共2 页第2 页 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------------------------五(10分)证明：设A 为n 级矩阵,()g x 是矩阵A 的最小多项式,则多项式()f x 以A 为根的充要条件是()g x |()f x . 六(10分)设V 是数域P 上的n 维线性空间,A B ,是V 上的线性变换，且=AB BA .证明:B 的值域与核都是A 的不变子空间. 七(10分)设2n 阶矩阵a b a b A b a b a ??????? ? =? ?? ??????? O N N O ,a b ≠,求A 的最小多项式. 八(10分)设f 是数域P 上线性空间V 上的线性变换,多项式()(),p x q x 互素,且满足 ()()0p f q f =(零变换) 求证：()()()(),ker ,ker V W S W p f S q f =⊕==
高等代数（II ）期末考试试卷及答案(Ａ卷) 一、 填空题(每小题3分，共15分) 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交() ()11L x L x -+= 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是Ｖ 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵, 则A 与Ｂ的关系是 4、设3阶方阵Ａ的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分) 1、 ( ）复数域Ｃ作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： (A)数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间; （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间; （C ）数域Ｐ上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； (D ）复数域Ｃ作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是：
（Ａ） 的核是零子空间的充要条件是 是满射； （B) 的核是Ｖ的充要条件是 是满射 （C) 的值域是零子空间的充要条件是 是满射 (D) 的值域是Ｖ的充要条件是 是满射。 3、( )λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的;()()D A λ是方阵。 4、( ）设实二次型 f X AX '=(A 为对称阵)经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数;()C 是A 的所有特征值;()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”,则A 的若当 标准形是: ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分) (请在你认为对的小题对应的括号内打“√”,否则打“?”） １、（ )设V 1,V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且 {}120V V = 则12V V V =⊕。 ２、( )n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下
广东工业大学考试试卷 ( A ) 课程名称:机械设计基础 考试时间:第21周星期二(05年1月18日) 班 级: 学 号: 姓 名: 一、填空题（共20分每空1分） 1. 某轴的截面受非对称循环变应力作用，已知其最大应力σmax =200 MP a ，最小应力σmin =100 MP a ，则其平均应力σm = 150 MP a ，应力幅σa = 50 MP a ，应力循环特性r= 0.5 。 2. 紧联接螺栓按拉伸强度计算时, 考虑到拉伸和扭转的复合作用, 应将拉伸载荷增大至原来___1.3___倍。 3. 普通平键的截面尺寸b ?h 是按 轴径 从标准中查取。 4. V 带传动由于有 弹性滑动 的影响，所以不可能有恒定的传动比。 5. 带传动、链传动、齿轮传动、蜗杆传动中，传动平稳性最好的 是 蜗杆传动 ，?附加动载荷最大的是 链传动 。 6. 带传动工作时，带中的最大应力发生在 紧边进入小轮 处。 7. 链节数一般应取 偶 数，链轮齿数应取 奇 数。 8. 一对直齿圆柱齿轮传动，其轮齿弯曲疲劳强度，主要取决 于 模数 。 9. 在齿轮弯曲强度计算中，对于标准直齿圆柱齿轮，齿形系数（Y F ）仅决定 于 齿数 。 10.高速重载齿轮传动中，当散热条件不良时, 齿轮的主要失效形式 _________________________姓 名______________________学 号______________________班 级
是胶合。 11.在蜗杆传动中，失效主要发生在蜗杆和蜗轮中的蜗轮上。 12.蜗杆传动除了作强度计算外，还须作热平衡计算 13.非液体润滑的滑动轴承，其直径增加一倍、宽径比B/d不变，载荷不变，则轴承的平均压强变为原来的1/4 倍。 14.对于某一个轴承来说，正常的实际使用中，未达到额定寿命而提前发生疲劳点蚀的概率是 10% 。 15.按轴所受的载荷性质的不同，汽车变速箱至后桥的连接轴是传动轴；车床主轴是转轴。 二、简答题（共20分每题4分） 1. 螺栓联接（包括普通螺栓联接和铰制孔用螺栓联接）、双头螺柱联接和螺钉联接各自适用什么场合？ 答： 普通螺栓联接：被联接件较薄，以承受轴向载荷为主； 铰制孔用螺栓联接：被联接件较薄，以承受横向载荷为主； 螺钉联接：一被联接件较厚，不需经常拆卸； 双头螺柱联接：一被联接件较厚，可经常拆卸； 2 有一由V带传动、链传动和齿轮传动组成的减速传动装置，试合理确定其传动布置顺序，并简要说明其原因。 答： 布置顺序：V带传动——齿轮传动——链传动。 V带传动在最高速级，过载时保护电机；齿轮传动在中间级过渡；链传动在最低速级，惯性力较小。 3 简述开式齿轮传动的设计准则。 答： 按轮齿弯曲疲劳强度设计，将模数放大20-30%考虑磨损对齿厚的影响。
高等代数（II ）期末考试试卷及答案（A 卷） 一、 填空题（每小题3分，共15分） 1、线性空间[]P x 的两个子空间的交()()11L x L x -+= I 2、设12,,...,n εεε与12,,...,n εεε'''是n 维线性空间 V 的两个基， 由12,,...,n εεε到12,,...,n εεε'''的过渡矩阵是C ，列向量X 是V 中向量ξ在基12,,...,n εεε下的坐标，则ξ在基12,,...,n εεε'''下 的坐标是 3、设A 、B 是n 维线性空间V 的某一线性变换在不同基下的矩阵， 则A 与B 的关系是 4、设3阶方阵A 的3个行列式因子分别为：()2 1,,1,λλ λ+ 则其特征矩阵E A λ-的标准形是 5、线性方程组AX B =的最小二乘解所满足的线性方程组是： 二、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1、 （ ）复数域C 作为实数域R 上的线性空间可与下列哪一个 线性空间同构： （A ）数域P 上所有二级对角矩阵作成的线性空间； （B ）数域P 上所有二级对称矩阵作成的线性空间； （C ）数域P 上所有二级反对称矩阵作成的线性空间； （D ）复数域C 作为复数域C 上的线性空间。 2、（ ）设A 是非零线性空间 V 的线性变换，则下列命题正确的是： （A ）A 的核是零子空间的充要条件是A 是满射； （B ）A 的核是V 的充要条件是A 是满射；
（C ）A 的值域是零子空间的充要条件是A 是满射； （D ）A 的值域是V 的充要条件是A 是满射。 3、（ ）λ-矩阵()A λ可逆的充要条件是： ()()()()0; A A B A λλ≠是一个非零常数； ()()C A λ是满秩的；()()D A λ是方阵。 4、（ ）设实二次型 f X AX '=（A 为对称阵）经正交变换后化为： 222 1122...n n y y y λλλ+++， 则其中的12,,...n λλλ是： ()()1;A B ±全是正数；()C 是A 的所有特征值；()D 不确定。 5、（ ）设3阶实对称矩阵A 有三重特征根“2-”，则A 的若当 标准形是： ()()()200200200020;120;120;002002012A B C ---?? ?? ?? ? ? ? --- ? ? ? ? ? ?---?????? ()D 以上各情形皆有可能。 三、 是非题（每小题2分，共10分） （请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”） 1、（ ）设V 1，V 2均是n 维线性空间V 的子空间，且{}120V V =I 则12V V V =⊕。 2、（ ）n 维线性空间的某一线性变换在由特征向量作成的基下 的矩阵是一对角矩阵。 3、（ ）同阶方阵A 与B 相似的充要条件是E A λ-与E B λ- 等价。 4、（ ）n 维欧氏空间的正交变换在任一基下的矩阵都是正交矩阵。 5、（ ）欧氏空间的内积是一对称的双线性函数。
2013年中山大学高等代数考研真题 1、 设E 为数域,F E,且E 作为F 上的线性空间，维数为m.设V 为 E 上的n 维线性空间.证明：V 作为F 上的线性空间维数为mn. 2、 设f 是F 上线性空间M n (F)到F 的线性映射，f(l)= n,且对任意 的矩阵A,B M n (F)有f(AB)=f(BA).证明：f = tr ° (注:tr 为迹函数， tr (A)-)). 3、 设 A,B ? M n (F ), ra nk (A) ::: n,且 A r B Q ?…B k ,其中 B i 2 二 B i ,i = 1,2,…,k.证 明: rank (I _ A)乞 k (n -rank (A)). 4、 设A E F m >n .若对任意n 维向量b €F n ,线性方程组AX =b 有解.证 明：rank (A) = m. 5、 设 f (x) = x 3 , g (x) = (1 一 x)2. (1)求 u(x), v(x) 使 (f (x), g(x)) =u(x) f (x) ? v(x)g(x )； ( 2 ) 设 n(x) =x - 2,「2(x) =1.求一多项式h(x)使下列同余方程式成立： h(x)三 * (x)(mod f (x)), h(x)三 r 2(x)(mod g (x)). 6、设匚是F 上线性空 间V 上的线 性变换.W 是二的不变子空 间.’1，, 'm 是二的两两不同的特征根，…，：m 分别是属于‘1,…，’m &设W 为下列实线性方程组的解空间.分别求W 与W -( W 的正交的根向量.若「-「-〉 7、设复矩阵A 二 1 5 1 0 <1 -2 1 0 -1 -W ,证明：i ? W, i =1,…,m. 3 -1 2 0 2 -1 0 1」 求A 的Jordan 标准型和最小多项
2014年广东工业大学-803C语言程序设计-编程题答案 五、编写程序 1. #include
printf("排序之后的数据：\n"); for(i=0;i<10;i++) printf("%d ",a[i]); } 3. #include