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第7讲 角平分线的判定与性质
【知识点与方法梳理】
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
角平分线的判定定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。 作已知角的平分线的方法：
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：1.以O 为圆心，适当长为半径作弧，交OA 于M ，交2.分别以M 、N 为圆心，大于
1
2
MN 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内部交于点C 。 3.作射线OC ，射线OC 即为所求。
【经典例题】
例1．已知：如图，△ABC 中， ∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上BD=DF ，
求证：CF=EB
例2.已知：如图，AD 、BE 是△ABC 的两条角平分线，AD 、BE 相交于O 点 求证：O 在∠C 的平分线上
A
C D E
B
F
例3.如图A B ∥CD ，∠B ＝90°，E 是BC 的中点。DE 平分∠ADC ， 求证：AE 平分∠DAB 。
【经典练习】
1如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ， OB ＝OC ，求证∠BAO ＝∠CAO
2.如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连结DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论。
3.如图，在CD 上求作一点P ，使它到OA ，OB 的距离相等（写出作法）。
F
E
D C
B A O P
O C B A
4.要将如图中的∠MON 平分，小梅设计了如下方案：在射线OM ，ON 上分别取OA ＝OB ，过A 作DA ⊥OM 于A ，交ON 于D ，过B 作EB ⊥ON 于B 交OM 于E ，AD ，EB 交于点C ，过O ，C 作射线OC 即为MON 的平分线，试说明这样做的理由.
5.如图△ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD ，DE 、DF 分别垂直AB 、AC ，垂足为E 、F ， 求证：EB=FC
A
6. 如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282
cm ，AB ＝8cm ，AC ＝6cm ，求DE 的长．
【巩固练习】 基础训练题
1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线， 交AC 于点D ，若CD=n ，AB=m ，则△ABD 的面积是（ ）
A.m+n
B. 2
1
mn C.mn
2 D. mn
D
B
C
2.如图，已知AC 平分∠PAQ ，点B ，B′分别在边AP ，AQ 上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′， 那么该条件不可以是（ ）
A 、BB′⊥AC
B 、BC=B′
C C 、∠ACB=∠ACB′
D 、∠ABC=∠AB′C
3、如图，FD ⊥AO 于D ，FE ⊥BO 于E ，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；④∠OFD=∠OFE 。其中能够证明△DOF ≌△EOF 的条件的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图，在ΔABC 中，,F E 、分别是AB 、AC 上的点， EF =5 cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线， 且P D ⊥BC 于D ，P E ⊥AB 于E, P F ⊥AC 于F,已知PD=4cm 则ΔPEF 的周长是___________ cm.
5.如图（7）：AC ⊥BC ，BM 平分∠ABC 且交AC 于点M ，N 是AB 的中点且BN=BC 。 求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2）∠A=∠CBM 。
6.如图：在△ABC 中，∠B ，∠C 相邻的外角的平分线交于点D 。
求证：点D 在∠A 的平分线上。
N
M
（图7）
C
B
A
B
7.如图8、AB ＝CD ，△PCD 的面积等于△PAB 的面积，求证：OP 平分∠BOD 。
8.如图9、在△ABC 中，∠B ＝60°，△ABC 的角平分线 AD 、CE 交于点O ，求证：AE+CD ＝AC 。
能力提高题
1.已知：如图，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC+CD 。
2.已知，如图2，∠1＝∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于D ，AB+BC ＝2BD ， 求证：∠BAP+∠BCP ＝180°。
3、如图，已知∠CAD=∠CDA，AC=BD，E在BC上，DE=EC，求证：AD平分∠BAE
A
B D E C
(提示:延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等)
4.如图，已知AB∥CD，O是∠ACD，∠CAB的平分线的交点，且OE⊥AC于E点，OE=12，求AB与
CD之间的距离
A B
E
O
C D
《角平分线的性质定理及其逆定理》教学设计 教学设计思想： 通过前面的学习已经探究出角平分线上的点所具有的性质，本节学习对这个性质进行证明.让学生完成对三角形全等的判定公理的推论的证明，进而应用这个公理完成对角平分线性质定理的证明，对于平分线的性质定理的逆定理仿照上节课处理线段垂直平分线逆命题的思路，引导学生解决与定理和逆定理的有关问题.对于尺规作角平分线，要让学生明白每步做法的依据.最后通过例题的学习来巩固这些知识点. 教学目标： 知识与技能： 总结角平分线的性质定理及其逆定理的证明并能灵活应用它们进行有关的计算和证明； 说出用尺规作角平分线的依据； 能够熟练地按照证明的格式和步骤对一些命题进行证明. 过程与方法： 经历用尺规作角平分线的过程； 经历寻找证明、作图思路的过程，进一步发展推理证明意识和能力； 情感态度价值观： 通过观察、类比、对比、归纳等方法尝试从不同角度分析问题，形成不同的策略； 愿意动手操作，并和同伴交流，形成不同意见. 教学重点和难点： 重点是角平分线的性质定理和逆定理的证明及其应用； 难点是角平分线的性质定理和逆定理的应用. 解决办法：通过例题的学习，分析出解题的思路，总结出做题的方法. 教学方法： 启发引导、小组讨论 课时安排： １课时 教具学具准备： 投影仪或电脑、三角板 教学过程设计： （一）角平分线的性质定理 我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
角平分线的性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 证明角平分线的性质定理时，我们将用到三角形全等判定公理的推论： 推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（AAS）. 做一做 证明三角形全等判定公理的推论. 注：让学生独立按照证明的格式完成对“AAS”定理的证明，作为证明本节定理的依据. 证明略. 利用上面你已经证明的推论，可以对角平分线的性质定理给出如下的证明. 已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. 证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)， ∴∠1=∠2(角平分线的定义). ∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， ∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义). 在△PDO和△PEO中， ∠PDO=∠PEO (已证)， ∠1＝∠2(已证)， OP＝OP(公共边)， ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴PD=PE(全等三角形的对应边相等). （二）角平分线性质定理的逆定理 做一做 1.请写出角平分线性质定理的逆命题. 2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.
角平分线的性质定理和判定 第一部分：知识点回顾 1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线； 2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离； 3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上 第二部分：例题剖析 例1.已知：在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E， AB=15cm， （1）求证：BD+DE=AC． （2）求△DBE的周长． 例2.如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB． 例3. 如图，已知△ABC的周长是22，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC 的面积是多少？ 第三部分：典型例题
例1、已知：如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交 于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180o 例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间？直接写出结果 【变式练习】如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．求证：点P在∠C的平分线上． 例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm， 2 1 N P F C B A
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理 一、 知识点(抄一遍)： 1. 角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线. 2. 角平分线的性质定理： 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等. 3. 角平分线的判定定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 二、 专题检测题 1. 证明角平分线的性质定理. （注意：证明文字性命题的三个步骤：①根据题意，画出图形；②写出已知和求证；③写出证明过程.） 2. 证明角平分线的判定定理. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ ， ∴ . （2）角平分线的判定定理： ∵ ， ∴ . 4. 已知：如图所示，BN 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的角平分线，BN 、CP 相交于O 点，连接AO ，并延长交BC 于M 求证：AM 是∠BAC 的角平分线. 5. 如图，已知BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，点E ，F 为垂足，D 是BE 与CF 的交点，AD 平分∠BAC. 求证：BD=CD. B
6. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=BC. AD 是∠CAB 的平分线. 求证：AB=AC+CD. 7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 8. 如图,已知P 是∠AOB 平分线上的一点.PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是点C ，D ，CD 与OP 交于点M. 求证：（1）∠PCD=∠PDC ； （2）OP 是CD 的垂直平分线； （3）OC=OD. O
几何专题2：角平分线的性质定理和判定定理答案 1. 证明角平分线的性质定理. 已知：如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上， PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E 求证: PD=PE 证明：∵OC 平分∠ AOB ∴ ∠1= ∠2 ∵PD ⊥ OA，PE ⊥ OB ∴∠PDO= ∠PEO 在△PDO 和△PEO 中 ∠PDO= ∠PEO ∠1= ∠2 OP=OP ∴△PDO ≌ △PEO(AAS) ∴PD=PE 2. 证明角平分线的判定定理. 已知：如图,PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，PD ＝PE ． 求证：点P 在∠AOB 的平分线上 证明: 经过点P 作射线OC ∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠PDO ＝∠PEO ＝90° 在Rt △PDO 和Rt △PEO 中 PO ＝PO PD=PE ∴ Rt △PDO ≌Rt △PEO （HL ） ∴ ∠ POD ＝∠POE ∴点P 在∠AOB 的平分线上. 3. 定理的几何语言表示 （1）角平分线的性质定理： ∵ OP 平分∠AOB ，DP ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴ DP=EP. （2）角平分线的判定定理： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD ＝PE ． ∴ OP 平分∠AOB ． O O
第3课时 角平分线的性质 1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点) 2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点) 一、情境导入 问题：在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路． 问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？ 二、合作探究 探究点一：角平分线的性质 【类型一】 利用角平分线的性质证明线段相等 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，∠FDC ＝∠BDE .试说明：(1)CF ＝EB ；(2)AB ＝AF ＋2EB . 解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D 到AB 的距离等于点D 到AC 的距离，即DE ＝DC .再根据△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解． 解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵?????∠C ＝∠DEB ＝90°，DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ， ∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ； (2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵?????∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ， ∴△ADC ≌ △ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？ （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 二、典型例题 角平分线的性质一 例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等 例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.
例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B
【典型例题】 例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ; （2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）. 分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路. 证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知）， ??? ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）. 又??? AO AC （已知）， ???点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. ? / ABC=Z ABC. （2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, ?180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC, ??? AC L BC, AC L BC, ?BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）. 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性. 例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由. 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证. 解：AD平分Z BAC ??? D到PE的距离与到PF的距离相等， ???点D在Z EPF的平分线上. ? Z 1 = Z 2. 又??? PE// AB ???/ 1 = Z 3.
角平分线的性质和判定（人教版） 试卷简介:本套试卷主要测试学生角平分线的性质和判定，检测学生数学中“见到什么想什么”的模块化思维过程，逐步培养学生数学学习中有序思考的能力。 一、单选题(共10道，每道10分) 1.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 答案：D 解题思路： ①根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到PA=PB，A正确； ②角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△APO≌△BPO， ∴B，C正确． 只有D选项不一定正确，所以选D 试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质 2.如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B
解题思路： ①如图， 过点P向OM作垂线，垂足为Q．根据直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短，PQ 即为最小值； ②根据角平分线的性质，PQ=PA=2，选B 试题难度：三颗星知识点：垂线段最短 3.如图,已知点O是△ABC内一点,且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于( ) A.110° B.120° C.130° D.140° 答案：A 解题思路： ①由点O到△ABC三边的距离相等，可知点O是△ABC三个角的角平分线； ②设， 分别在△ABC和△BOC中利用三角形内角和定理， 可得：，整体代入可得： ，选A
试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质与判定 4.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,给出下列结论:①DC=DE;②DA平分∠CDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB;⑤∠BAC=∠BDE.其中正确的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 答案：C 解题思路： （1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可以得到DE=DC， ∴①正确； （2）角平分线可以看成一个角的对称轴，对称轴两侧的图形全等，即△ADC≌△ADE， ∴∠EAD=∠CAD，AE=AC， ∴②，④正确，③不正确； （3）∵∠BAC+∠B=90°，∠BDE+∠B=90°，根据同角的余角相等， ∴∠BAC=∠BDE， ∴⑤正确； 综上，正确序号为①②④⑤，共有4个，选C 试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质 5.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和 N,再分别以M,N为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点 D,则下列说法中正确的是( ) ①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③DA=DB;
角平分线的性质定理教案 慧光中学：王晓艳 教学目标：（1）掌握角平分线的性质定理； （2）能够运用性质定理证明两条线段相等； 教学重点：角平分线的性质定理及它的应用。 教学难点：角平分线定理的应用； 教学方法：引导学生发现、探索、研究问题，归纳结论的方法 教学过程： 一，新课引入： 1．通过复习线段垂直平分线的性质定理引出角平分线上的点具有什么样的特点 操作：（1）画一个角的平分线； （2）在这条平分线上任取一点P，画出P点到角两边的距离。 （3）说出这两段距离的关系并思考如何证明。 2．定理的获得： A、学生用文字语言叙述出命题的内容，写出已知，求证并给予证明， 得出此命题是真命题，从而得到定理，并写出相应的符号语言。 B、分析此定理的作用:证明两条线段相等； 应用定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂直距离。 3．定理的应用 二．例题讲解： 例1：已知：如图，点B、C在∠A的两边上，且AB=AC，P为∠A内一点，PB=PC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别是E、F。 求证：PE=PF （此题已知中有垂直，缺乏角平分线这个条件）
例2：已知：如图，⊙O与∠MAN的边AM交于点B、C，与边AN交于点 E、F， 圆心O在∠MAN的角平分线AQ上。 求证：BC=EF （此题已知中有角平分线，缺乏垂直这个条件） 三：课堂小结： ①应用角平分线的性质定理所具备的前提条件是：有角的平分线，有垂 直距离; ②若图中有角平分线,,可尝试添加辅助线的方法:向角的两边引垂线段.四：巩固练习 1．已知：如图，△ABC中，D是BC上一点，BD=CD，∠1=∠2求证：AB=AC 分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1= ∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD ≌△ACD，所以必须添加一些线帮助解题。
T Q P N M O E D C B A 八年级数学：角平分线的性质及判定练习（含答案） 一、选择题 1．三角形中，到三边距离相等的点是（ ） （A ）三条高线交点． （B ）三条中线交点． （C ）三条角平分线交点． （D ）三边垂直平分线交点． 2．如图，MP ⊥NP ，MQ 为△NMP 的角平分线，MT ＝MP ，连结TQ ，则下列结论不正确的是（ ） （A ）TQ ＝PQ ． （B ）∠MQT ＝∠MQP ．（C ）∠QTN ＝90o ． （D ）∠NQT ＝∠MQT ． （第2题） （第3题） （第4题） 3．如图，AB ＝AC ，AE ＝AD ，则①△ABD ≌△ACE ；②△BOE ≌△COD ；③O 在∠BAC 的平分线上， 以上结论（ ） （A ）都正确． （B ）都不正确． （C ）只有一个正确． （D ）只有一个不正确． 4．已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD 为∠ABC 的平分线，∠BDC ＝60o ，则∠A 的度数是（ ） （A ）10o ． （B ）20o ． （C ）30o ． （D ）40o ． 5．如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是（ ） （A ）直角三角形． （B ）等腰三角形． （C ）等边三角形． （D ）等腰直角三角形． 6．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，M 为AD 上任意一点，则下列结论错误的是（ ） （A ）DE ＝DF ． （B ）ME ＝MF ． （C ）AE ＝AF ． （D ）BD ＝DC ． 7．已知：如图，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，BE 、CF 相交于 D ，∠A ＝50o ，则∠BDC 的度数是（ ） （第6题） （A ）70o ． （B ）120o ． （C ）115o ． （D ）130o ． 8．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o ，点O 为△ABC 的三条角平分线的交点，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ， OF ⊥AB ，点D 、E 、F 分别是垂足，且AB ＝10cm ，BC ＝8cm ，CA ＝6cm ，则点O 到三边AB 、AC D C B A M F E C B A
角平分线的性质定理和判 1.已知：在等腰Rt △ABC 中，AC=BC ，∠C=90°， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，AB=15cm ， （1）求证：BD+DE=AC ． （2）求 △DBE 的周长． 2. 如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 中点， DM 平分∠ADC ， 求证：AM 平分∠DAB ． 3. 如图，已知△ABC 的周长是22，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ， 且OD=3，△ABC 的面积是多少？ 4.已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ， 求证：OB=OC ． 5. 如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点， PF ⊥BC 于F ，PA=PC ， 求证：∠PCB+∠BAP=180o 2 1N P F C B A
7.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC． （1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论； （2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD、AB、AD间有什么关系？直接写出结果 8.如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点． 求证：点P在∠C的平分线上． 9.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线， DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm， 求△ABC的面积． 9.如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点， CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC． 10.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C， BF=CF。求证：AF为∠BAC的平分线。
第5讲 角平分线的性质及判定综合 作已知角的角平分线 如图，作∠AOB 的平分线的步骤 （1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N 。 （2）分别以点M 、N 为圆心，大于 2 1 MN 为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C 。 （3）连射线OC ，射线OC 即为所求。 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边距离相等。 符号语言： 如图，已知OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，则PD=PE 。 角的平分线的性质的推导： 已知，如上右图，OC 是∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上一点，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于E ，求证：PD=PE 。 证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知） ∴∠ODP=∠OEP=900（垂直的定义） 又∵OC 平分∠AOB （已知） ∴∠AOC=∠BOC （角的平分线定义） 在Rt △DOP 和Rt △EOP 中 ??? ??=∠=∠∠=∠OP OP OEP ODP BOC AOC ∴Rt △DOP ≌Rt △EOP （AAS ） ∴PD=PE （全等三角形的对应边相等） 扩充：到三角形三边距离相等的点，是三条角平分线的交点。 练习： 1.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 是角平分线，DE ⊥AB 于E ，且BC=8cm ，BE=4cm ，则△BDE 的周长为________cm 。 2.在△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB ，BM=6.2cm ，点M 到AB 的距离为2cm ，BC=_____ 3.在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC=32，且BD ∶CD=9∶7，则D 到AB 的距离为 . A B C D E O P
４ 分层练习, 评价自我 活动四 做一做 练习一： 判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ） （2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ） （3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二 判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三 如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。 (2)点P 在角A 的平分线上吗？ (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢？ ５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想 （1）这节课我们帮助别人解决了什么问题？你是怎么做到的？ （2）你感悟到了什么？ ６ 布置作业，指导学习
1、必做题：教材：第2题。 2、选做题：教材：第3题。 板书设计 角平分线的性质角平分线的判定 ∵PA=PB ∵OP平分∠AOB， 又∵PA⊥OA，PB⊥OB 又∵PA⊥OA, PB⊥OB ∴OP平分∠AOB ∴PA=PB 到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等 测试目标：探索并掌握角平分线性质 11.3角平分线性质（1） 一、选择题 1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D．下列结论中错误 的是( ) A．PC = PD B．OC = OD C．∠CPO = ∠DPO D．OC = PC 2．如图，△ABC中，∠C = 90°，AC = BC，AD是∠BAC的平分线，D E⊥AB于E， A B C D O P D C
角平分线的性质和判定 （1）以的顶点为圆 心，任意长为半径画弧，分别交 、于点、； （2）分别以点、为圆心， 大于长为半径画弧，相交 于点； （3）连接点和并延长，则 射线就是的角平分线 若DP=EP，则点P在∠AOB的角 平分线上 一．考点：角平分线的尺规作图，角平分线的性质和判定
二．重难点：角平分线的性质和判定 三．易错点： 1．角平分线的性质和判定混淆不清导致解题出错． 题模一：尺规作图 例1.1.1如图，已知M、N分别是AOB ∠的边OA上任意两点． （1）尺规作图：作AOB ∠的平分线OC； （2）在AOB +的值最小．（保留作图痕迹，不写画法）∠的平分线OC上求作一点P，使PM PN 例1.1.2作图题：（简要写出作法，保留作图痕迹） 如图，已知点M，N和∠AOB，求作一点P，使P到点M，N的距离相等，且到∠AOB的两边的距离相等． 题模二：性质 例1.2.1如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8， 则点P到BC的距离是（） A.8 B.6 C.4 D.2 例1.2.2如图，在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AB＝7，BC＝8，AC＝9，则BP＋CQ－AR＝________．
例 1.2.3 如图，已知ABC ?的周长是21，OB ，OC 分别平分ABC ∠和ACB ∠，OD BC ⊥于D ，且3OD =，求ABC ?的面积． 题模三：判定 例1.3.1 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥CB 于点B ，DC ⊥BC 于点C ，DE 平分∠ADC ，且点E 为BC 的中点，连接AE ． （1）求证：AE 平分∠BAD ； （2）求∠AED 的度数． 例 1.3.2 以ABC ?的AB 、AC 为边向三角形外作等边ABD ?、ACE ?，连结CD 、BE 相交于点O ．求证：OA 平分DOE ∠． 随练1.1 尺规作图（保留作图痕迹，写出结论，不写作法） 如图，两条公路EA 和FB 相交于点O ，在AOB ∠的内部有工厂C 和D ，现要修建一个货站P ，使货站P 到两条公路EA 、FB 的距离相等，且到两工厂C 、D 的距离相等，用尺规作出货站P 的位置． F A B C D E O O E D C B A
/ 角平分线的性质和判定复习 一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） 思考：这一画法的根据是什么 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质： 文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ) 几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么 （2）角平分线的判定： 文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达： 【 ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定） 思考：这一判定定理的根据是什么 二、典型例题 例1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC请说明理由．由此题你能得到一个什么结论 思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系． —
例2.如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E， AB=10求△BDE的周长 … 例3、如图，AD⊥DC，BC⊥DC：，E是DC上一点，AE平分∠DAB．E是DC的中点，求证：BE平分∠ABC． 例4、如图，△ABC中，∠ABC=1000，∠ACB的平分线交AB于E，在AC上取一点D，使∠CBD=200，连结DE．求∠CED的度数． > 【思维方法总结】 1、学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离 相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论。 2、如果已知角平分线，（或要证角平分线）可以考虑：有一条距离可以考虑 再作一条距离，一条距离也没有可以考虑作两条距离。从而利用角平分线 的性质定理和判定定理解决问题。
授课教案 教学标题 角平分线的性质 教学目标 熟练了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线；掌握角平分线的性质和判定；综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。 教学重难点 重点：角平分线的性质和判定.难点：角平分线的性质和判定的综合应用. 上次作业检查 授课内容： 一．作业讲解 二．知识梳理 知识点一 角平分线的定义 知识点二 作角平分线（尺规作图，四弧一线） 知识点三 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 符号语言：∵OP 平分∠AOB ，AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，∴AP=BP. 知识点四 角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 符号语言：∵ AP ⊥OA ，BP ⊥OB ，AP=BP ，∴点P 在∠AOB 的平分线上. 知识点五 角平分线的综合应用 三．典型例题 例1：如图，已知点C 为直线AB 上一点，过C 作直线CM ，使CM AB ⊥于C 。 分析：由于AB 是直线，要求作CM AB ⊥，实际上就是要作平角ACB ∠的平分线。根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM. 例2：如图，AD 是ABC ?的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F 。连接EF ，交AD 于点G 。说出AD 与EF 之间有什么关系？证明你的结论。 分析：两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。 角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断. 例3：如图，BE CF =，DF AC ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，BF 和CE 交于点D 。求证：AD 平分BAC ∠。 O A B P
角平分线性质和判定综合练习 知识点 1.角平分线的性质： 。 2. 基础练习 1、如图，在Rt △ ABC 若CD=3cm ，则点D A ．5cm B. 4cm C. 3cm D. 2cm 2、如图，点P 到∠AOB 两边的距离相等，若∠POB=30°， 则∠AOB= 3、 如图，为了促进当地旅游业发展，某地要在三条公路围 成的一块平地上修建一个度假村。要使这个度假村到三 条公路的距离相等，应在何处修建？ 4、 如图，△ABC 中，AD 是它的平分线，P 是AD 上一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F 。求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等。 B 5、 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF 。求证：AD 是△ABC 的 角平分线。
F E 6、如图，AD 是△ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF 。EF 与AD 交于G 。AD 与EF 垂直吗？证明你的结论。 G F E B 7、在△ABC 中，BD=DC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC 。 8、 如图， 90=∠=∠C B ，M 是BC 中点，DM 平分ADC ∠。求证：AM 平分DAB ∠ D 2 1 A B C
9、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0 180=∠+∠C A B 10、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AD 是角平分线，求证：AB=AC+CD A B 拓展探索 11、在△ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D,BC 连接DE ，则AD 与DE 的关系为（ ） A ． AD ＞DE B. AD=DE C. AD ≦DE D. 不能确定
角平分线的性质及判定定理导学案 课前准备: 1.我们学过哪些与“角的平分线”有关的结论: 2.什么是“点到直线的距离”： 3.我们学过的证明线段和角相等的方法有哪些: 学习目标： 1.通过经历自主证明角平分线的性质和判定定理的过程，理解并掌握定理，会用 符号语言描述定理； 2.通过例题和针对练习，进一步理解定理，会解决与定理有关的问题，发展推理 能力，体会演绎思想； 3.掌握角平分线应用中常见辅助线的作法，体会建模思想。 一、交流与发现 活动①：搭档合作,自主证明角平分线的性质定理（1分钟） 活动②：针对练习 1.见PPT. 2.如图，在⊿ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC于 点D，BC=15， CD：BD=1：2，AB=20，求S⊿ABD面积。
二、交流与发现 活动①：搭档合作,共同证明角平分线的判定定理（1分钟） 活动②：针对练习 1.见PPT. 2.已知，如图，BN、CP是⊿ABC的两条角平分线，交点为点O， 求证：。 证明： 三、学以致用 例、已知，如上图，AM、BN，CP是⊿ABC的三条角平分线。 探究性结论1： 探究性结论2： 针对练习（思维延伸）： 1.已知：如图，⊿ABC两个相邻外角的平分线BD、CE 相交于点P， 求证：点P在∠A的平分线上。 探究性结论3：
2.加油站位置在哪儿？ 课堂小结： 我学到了 ①、 ②、 ③、 ④、 ┅┅ 拓展提升：一图二问 1.如图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC，且AC=8， BC=6，AB=10，求CD的长。 （温馨提示：等面积求高）
2.如上图，在Rt ⊿ ABC中，∠ C为直角， BD平分∠ ABC， DE ⊥ AB于点E，而且AC=8，BC=6，AB=10，求⊿ADE的周长。
第十一章角平分线的性质 一学习目标 1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规作一个角的平分线； 2. 掌握角平分线的性质和判定； 3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。 二重点、难点 重点：角平分线的性质和判定。 难点：角平分线的性质和判定的综合应用。 三考点分析 对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。 角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。 四课时安排 安排一小时 五教学方法 探究归纳法，实践法 六教学过程 1.知识梳理 1）角平分线的定义 2）角平分线的尺规作法 3）角平分线的性质 4）角平分线的判定 2.新授 知识点一作角平分线 例1：如图，已知点C为直线AB上一点，过C作直线CM，使CM AB ⊥于C。 思路分析： 由于AB是直线，要求作CM AB ∠的平分线。根据角平分线的尺规作 ⊥，实际上就是要作平角ACB 图法就可以作出直线CM。 解答过程： 作法： 1、以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA、CB分别交于点D、E；
2、分别以D、E为圆心，大于1 2 DE的长为半径画弧，使两弧交于点M； 3、作直线CM。 所以，直线CM即为所求。 解题后的思考： 此题要求“大于1 2 DE的长为半径”的理由是：半径如果小于 1 2 DE，则两弧无法相交；而半径如果等 于1 2 DE，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。 在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。 小结： 本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤 作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。 知识点二角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线性质的符号语言： Q P在AOB ∠的平分线上 PD OA ⊥于D，PE OB ⊥于E ∴PD PE = 例2：如图，AD是ABC ?的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是,E F。连接EF，交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。 思路分析：
角的平分线的性质及判定 一. 教学内容： 1. 角平分线的作法． 2. 角平分线的性质及判定． 3. 角平分线的性质及判定的应用． 二. 知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP，射线OP即为所求． 2. 角平分线的性质及判定 （1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．①推导 已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB．
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2 在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB ②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB． （2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．①推导
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上． 证明：连结OP 在R t△PAO和R t△PBO中， ∴R t△PAO≌R t△PBO（HL） ∴∠1＝∠2 ∴OP平分∠MON 即点P在∠MON的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON） 3. 角平分线性质及判定的应用 ①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用． 例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由． 4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．
\ ４ 分层练习, 评价自我 活动四 做一做 练习一： 判断：（1）OP 是∠AOB 的平分线，则PE=PF （ ） （2）PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F 则PE=PF （ ） （3）在∠AOB 的平分线上任取一点Q ，点Q 到OA 的距离等于3cm,则点Q 到OB 距离等于3cm （ ） 练习二 判断:1、若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) % 2、若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线。( ) 3、已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ） 练习三 如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。 (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等 。 (2)点P 在角A 的平分线上吗 (3)三角形的三条角平分线有什么关系呢 ５ 课堂反思，强化思想 活动五 想一想 | （1）这节课我们帮助别人解决了什么问题你是怎么做到的 （2）你感悟到了什么 ６ 布置作业，指导学习 1、必做题：教材：第2题。 2、选做题：教材：第3题。 板书设计 角平分线的性质 角平分线的判定 ∵ PA=PB ∵ OP 平分∠AOB ， 又∵ PA ⊥OA ，PB ⊥OB 又∵ PA ⊥ OA, PB ⊥OB ∴ OP 平分∠AOB ∴ PA=PB B O
到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 角平分线上的点到角的两边距离相等 & 测试目标：探索并掌握角平分线性质 角平分线性质（1） 一、选择题 1．如图，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C 、D ．下列结论中错误的是 ( ) A ．PC = PD B ．OC = OD C ．∠CPO = ∠DPO D ．OC = PC 2．如图，△ABC 中，∠C = 90°，AC = BC ， （ AD 是∠BAC 的平分线，D E ⊥AB 于E ， 若AC = 10cm ，则△DBE 的周长等于( ) A ．10cm B ．8cm C ．6cm D ．9cm 二、填空题 3．角平分线的性质定理： 角平分线上的点_____________________________． 4．⑴如图，已知∠1 =∠2，DE ⊥AB ， ^ DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，则DE ____DF ． ⑵已知DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别 为E 、F ，且DE = DF ，则∠1_____∠2． 三、解答题 5．如图，点D 、B 分别在∠A 的两边上，C 是∠A 内一点，AB = AD ，BC = CD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AF 于F ． 求证：CE = CF ~ 6．已知：如图，在△ABC 中，∠A =90°，AB = AC ， BD 平分∠ABC ． 求证：BC = AB + AD A B C D O P E D C B 2 1A B C D E F F A B E C D