2013高考圆锥曲线压轴题型专线
圆锥曲线
1..如图，在平面直角坐标系xOy 中。椭圆2
2
:
12
x
C y +=的右焦点为F ，右准线为l 。
（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程。
（2）过点F 作直线交椭圆C 于点,A B ，又直线O A 交l 于点T ,若2OT OA =
，求线段AB
的长；
（3）已知点M 的坐标为()000,,0x y x ≠，直线O M 交直线
0012
x x y y +=于点N ，且和椭圆
C 的一个交点为点P ，是否存在实数λ，使得2?O P O M O N λ=?
，若存在，求出实数λ；
若不存在，请说明理由。
2.设A 、B 分别为椭圆222
2
1(,0)x y a b a
b
+
=>的左、
右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且4x =是它的右准线， (1) 求椭圆方程；
(2) 设P 为右准线上不同于点（4，0
B 两点M 、N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内．
3.如图，已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与
x 轴垂直．直线
(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的
离心率2
e =
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得
HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为M B 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直
径的圆O 的位置关系．
4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
2
3，且经
过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m 的取值范围；
（Ⅲ）若直线l 不过点M ，试问M A M B k k +
5.已知椭圆的焦点()()121,0,1,0F F -，过10,
2P ?
?
???
作垂直于y 轴的直线被椭圆所截线段长为，过1F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点.
（I ）求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)是否存在实数t 使1PA PB t PF +=
，若存在，求t 的值和直线l 的方程；若不存在，说明理由． 6.已知椭圆222
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>的离心率为
12
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半
径的圆与直线0x y -+=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求,O A O B
的取值范围；
（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。
7.已知椭圆()222
2
10x y a b a
b
+
=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42
=的一条切线． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点)31
,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于 A ．B 两点．问：是否存在一个定点T ，使
得以AB 为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T 坐标；若不存在，说明理由。 8.设椭圆22
2
:
1(0)x C y a a
+=>的两个焦点是12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，且椭圆C 上的点
到焦点F 2- （1）求椭圆的方程；
（2）若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，线段MN 垂直平分线恒过
点A （0，-1），求实数m 的取值范围。 9.已知椭圆222
2
:
1x y C a
b
+
=的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 的最短距离为
1．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(20)E ，且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于M 、N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N F P 、、三点共线．
10.椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12.点P (1，3
2
)、A 、B 在椭圆E 上，
且PA →＋PB →＝mOP →
(m ∈R )．
(1)求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；
(2)当m ＝－3时，证明原点O 是△PAB 的重心，并求直线AB 的方程．
11.已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．
（1）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （2）求AN B ?面积的最小值；
（3）当点M 的坐标为(,0)m ，(0m >且1)m ≠．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）： 12.已知椭圆E ：
2
22
2b
y a
x +
=1（a ＞b ＞o ）的离心率e =
2
2，且经过点（6,1），O 为坐标
原点。
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线
x =－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，
切点分别为P 、Q ，当∠PMQ =60°时，求直线PQ 的方程.
13.设抛物线C 1：x 2＝4 y 的焦点为F ，曲线C 2与C 1关于原
点对称．
(Ⅰ) 求曲线C 2的方程；
(Ⅱ) 曲线C 2上是否存在一点P （异于原点），过点P
作C 1的两条切线PA ，PB ，切点A ，B ，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
14.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=，
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。
15.已知，椭圆C 过点A 3
(1,)2，两个焦点为（-1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 16．已知双曲线E ：
2
2
124
12
x
y
-
=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C
恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点． （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的
弦长； （Ⅲ）在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有
12
G F G P
=
？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
17. 椭圆C ：
222
2
1x y a
b
+
=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，P 为
椭圆C 上任意一点．已知12PF PF ?
的最大值为3，最小值为2．
（１）求椭圆C 的方程；
（２）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于M 、N 两点（M 、N 不是左右顶点），且以M N 为直径的圆过点A ．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
18. 已知抛物线D 的顶点是椭圆13
4
2
2
=+
y
x
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线D 的方程;
(2)已知动直线l 过点()0,4P ,交抛物线D 于A 、B 两点.
()i 若直线l 的斜率为1,求AB 的长;
()ii 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP 为直径的圆M
所截得的弦长恒为定值？如
果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由.
19.已知圆C 1的方程为2
2
(2)1x y +-=，定直线l 的方程为1y =-．动圆C 与圆C 1外切，
且与直线l 相切．
（Ⅰ）求动圆圆心C 的轨迹M 的方程；
（II ）斜率为k 的直线l 与轨迹M 相切于第一象限的点P ，过点P 作直线l 的垂线恰好经过点A （0，6），并交轨迹M 于异于点P 的点Q ，记S 为?POQ （O 为坐标原点）的面积，求S 的值． 20．已知椭圆
12
22
2=+
b
y
a x
)0(>>b a 经过点)6,23
(
M ，它的焦距为2，它的左、右顶点
分别为21,A A ，1P 是该椭圆上的一个动点（非顶点），点2P 是点1P 关于x 轴的对称点，直
线2211P A P A 与相交于点E . （Ⅰ）求该椭圆的标准方程．（Ⅱ）求点E 的轨迹方程．
21.椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，离心率e =
2
2
，椭圆上的点到焦点的最短距离为1-2
2
, 直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP ＝PB λ
．
（1）求椭圆方程；
（2m 的取值范围．
22．设抛物线M 方程为)0(22>=p px y ，其焦点为F ，P （),b a （)0≠a 为直线x y =与抛物线M 的
一个交点，5||=PF （1）求抛物线的方程；
（2）过焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点，试问在抛物线M 的准线上是否存在一点Q ，使得?QAB
为等边三角形，若存在求出Q 点的坐标，若不存在请说明理由．
23.已知点)0,3(-R ，点P 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线PQ 上，且满
足230,0PM M Q RP PM +=?=
.
（Ⅰ）当点P 在y 轴上移动时，求点M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设),(11y x A 、),(22y x B 为轨迹C 上两点，且1x >1, 1y >0,)0,1(N ，求实数λ，使
AN AB λ=，且3
16=
.
24.如图，在A B C ?中，7||||,||22
A B A C B C ===，以B 、C 为焦点的椭圆恰好过A C 的
中点P .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点1A 作直线l 与圆22:(1)2E x y -+= 相交于M 、N 两点，试探究点M 、N 能将圆E 分割成弧长比值为1:3的两段弧吗？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.
25.如图所示，F 是抛物线)0(22>=p px y 的焦点，点
)2,4(A 为抛物线内一定点，点P 为抛物线上一动点，PA PF +的最小
值为8.
（1）求抛物线方程；
（2）若O 为坐标原点，问是否存在定点M ，使过点M 的动直线与抛物线交于C B ,两点，且以BC 为直径的圆恰过坐标原点, 若存在，求出定点M 的坐标；若不存在，请说明理由.
26.已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>上有一个顶点到两个焦点之间的距离
分别为3+
3-。 （1）求椭圆的方程；
（2）如果直线()x t t R =∈与椭圆相交于,A B ，若(3,0),(3,0)C D -，证明直线C A 与直线
BD 的交点K 必在一条确定的双曲线上；
（3）过点)0,1(Q 作直线l （与x 轴不垂直）与椭圆交于M N 、两点，与y 轴交于点R ，
若RM M Q λ= ，RN N Q μ=
，证明：λμ+为定值。
27.已知抛物线C:y 2=4x ，F 是C 的焦点，过焦点F 的直线l 与C 交于 A ，B 两点，O 为坐标原点。
（1）求OA ·OB 的值；（2）设AF =λFB ，求△ABO 的面积S 的最小值； （3）在（2）的条件下若S ≤5，求λ的取值范围。
28. 已知抛物线D 的顶点是椭圆13
4
2
2
=+
y
x
的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.
(1)求抛物线D 的方程;
(2)已知动直线l 过点()0,4P ,交抛物线D 于A 、B 两点.
()i 若直线l 的斜率为1,求AB 的长;
()ii 是否存在垂直于x 轴的直线m 被以AP
为直径的圆M 所截得的弦长恒为定值？如
果存在，求出m 的方程；如果不存在，说明理由.
参考答案
1..如图，在平面直角坐标系xOy 中。椭圆2
2
:
12
x
C y +=的右焦点为F ，右准线为l 。
（1）求到点F 和直线l 的距离相等的点G 的轨迹方程。
（2）过点F 作直线交椭圆C 于点,A B ，又直线O A 交l 于点T ,若2OT OA =
，求线段AB
的长；
（3）已知点M 的坐标为()000,,0x y x ≠，直线O M 交直线
0012
x x y y +=于点N ，且和椭圆
C 的一个交点为点P ，是否存在实数λ，使得2?O P O M O N λ=?
，若存在，求出实数λ；
若不存在，请说明理由。
解：（1）由椭圆方程为
2
2
12
x
y +=
可得2
2a =，21b =，1c =， (1,0)F ，:2l x =．
设(,)G x y
|2|x =-，
化简得点G 的轨迹方程为223y x =-+. …………4分 （2）由题意可知1A F x x c ===， 故将1A x =代入
2
2
12
x
y +=，
可得||2
A y =
AB = ……………8分
（3）假设存在实数λ满足题意． 由已知得00
:y O M y x x =
①
0012
x x y y += ②
椭圆C ：
2
2
12
x
y += ③
由①②解得022
00
22N x x x y =+，022
00
22N y y x y =+．
由①③解得2
2
2
200
22P x x x y =
+，2
2
22
00
22P y y x y =
+． ………………………12分
∴2
2
2
2
2
220
002
2
2
22
200
00
00
222()222P P x y x y OP x y x y x y x y +=+=
+
=
+++ ，
2
2
2
2
00002
2
2
22
2
00
00
00
222()222N N x y x y OM ON x x y y x y x y x y +?=+=
+
=
+++
．
故可得1λ=满足题意． ………………………16分 2.设A 、B 分别为椭圆
222
2
1(,0)x y a b a
b
+
=>的左、
右顶点，椭圆长半轴长等于焦距，且4x =是它的右准线， (1) 求椭圆方程；
(2) 设P 为右准线上不同于点（4，0
B 两点M 、N ，证明：点B 在以MN 为直径的圆内．
解：（1）由2
24a c
a c
=???=?
? 得12c a =??=? ∴ b =
∴方程为
2
2
14
3
x
y
+
=……………………………………………………………………… 6分
（2） A （2-，0），B （2，0），令00(,)M x y M 在椭圆上，∴2
2
003(4)4
y x =
-，又M
异于A 、B 点，∴022x -<<，令(4,)P y P 、A 、M 三点共线，∴
000040
2
y y x y x --=
-+，
∴0
062y y x =
+ ∴0
06(4,)2
y P x +0
0006(2,),(2,)2y BM x y BP x =-=+ …………… 10分 ∴2
2
2
2
000
00003
2(4)6(4)
620542(2)2
2
2(2)
x x y x B M B P x x x x -+?
--?=-+
==
+++
022x -<<，∴020x +>，2
02050x ->∴BM BP ?
>0，…………………… 14分 ,90,90
>∠<∠∴NBM PBM ∴B 在以MN 为直径的圆内
3.如图，已知椭圆
222
2
1(0)x y a b a
b
+
=>>的长轴为AB ，过点B 的直线l 与
x 轴垂直．直线
(2)(12)(12)0()k x k y k k R --+++=∈所经过的定点恰好是椭圆的一个顶点，且椭圆的
离心率2
e =
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足，延长HP 到点Q 使得
HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为M B 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直
径的圆O 的位置关系．
（1）将(2)(12)(12)0k x k y k --+++=整理得(
- 解方程组220210
x y x y --+=??
-+=?得直线所经过的定点（0，1），所以1b =．
由离心率2
e =2a =．
所以椭圆的标准方程为
2
2
14
x
y +=．----------------------------4分
（2）设()00,P x y ，则
2
2
0014
x y +=．
∵HP PQ =，∴()00,2Q x y ．∴2OQ =
=
∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．……6分 又()2,0A -，∴直线AQ 的方程为()00222
y y x x =
++．
令2x =，得0082,
2y M x ??
?+?
?
．又()2,0B ，N
为M B 的中点，∴0042,
2y N x ??
?+?
?
．……8分
∴()
00,2O Q x y =
，000022,2x y N Q x x ??
=- ?+?
? ．
∴()()()()
2
2000000
00000000004242222222
x x x y x y O Q N Q x x y x x x x x x x -?=-+?=-+=-+
+++
()()0000220x x x x =-+-=．
∴O Q N Q ⊥
．∴直线QN 与圆O 相切．
4.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为
2
3，且经
过点()4,1M ，直线m x y l +=:交椭圆于不同的两点A ，B. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m 的取值范围；
（Ⅲ）若直线l 不过点M ，试问M A M B k k +是否为定值？并说明理由。
（Ⅰ）122
c b a a =
∴=
，-------------------------2分
依题意设椭圆方程为：
222
2
1,4x
y b
b
+
=把点()4,1代入，得2
5b =
∴ 椭圆方程为
2
2
1.20
5
x
y
+
=-------------------------------4分
（Ⅱ）把y x m =+代入椭圆方程得：22
584200x mx m ++-=，
由△0,>可得5 5.m -<<----------------------------------6分 （Ⅲ）设()()1122,,,A x y B x y ，A,B 与M 不重合，www https://www.doczj.com/doc/b42732276.html,
2
12128420
,5
5
m m x x x x -+=-=
，-------------------8分
()()()()
()()
12211212121414114
4
44M A M B y x y x y y k k x x x x -?-+-?---∴+=
+
=
---?-
()()()()
()()
122112141444x m x x m x x x +-?-++-?-=
-?-()()()
()()
1212122581044x x m x x m x x +-+--=
=-?-，
∴M A M B k k +为定值0.---- --------12分
5.已知椭圆的焦点()()121,0,1,0F F -，过10,
2P ?
?
??
?
作垂直于y 轴的直线被椭圆所截线段长
为，过1F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点.
（I ）求椭圆的标准方程；
(Ⅱ)是否存在实数t 使1PA PB t PF +=
，若存在，求t 的值和直线l 的方程；若不存在，说明理由． (Ⅰ)设椭圆方程为
222
2
1x y a
b
+
=
，由题意点122?? ? ???
在椭圆上，22
1a b =+
所以64(1+b 2) +14b 2 =1，解得
2
2
12
x y +=………………5分 (Ⅱ)
当直线斜率不存在时，易求,1,22A B ?? ?
?
?
?
，所以
)2
1,1(),2
12,1(),2
12,
1(1-
=+-
=-=PF PB PA
由1PA PB t PF +=
得2t =，直线l 的方程为1x =．………………7分
当直线斜率存在时，
所以112211,,,22PA x y PB x y ????=-=-
? ????
? ，111,2PF ??=- ??
?
由1PA PB t PF += 得
121211222x x t t y y +=???-+-=-??即121212
x x t
t y y +=??
?+=-??
因为1212(2)y y k x x +=+-，所以12
k =-
此时，直线l 的方程为()112
y x =-
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6.已知椭圆222
2
:1(0)x y C a b a
b
+
=>>的离心率为12
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径
的圆与直线0x y -+=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线l 与椭圆C 相交
于A 、B 两点。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）求,O A O B
的取值范围；
（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点。
(1)解：由题意知12
c e a ==，∴222
2
2
2
14
c a b e a
a
-=
=
=
，即22
43
a b
=
又b =
=
22
43a b ==，
故椭圆的方程为
2
2
14
3
y
x
+
=
(2)解：由题意知直线AB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-
由22(4)14
3y k x y
x =-???+=?
?得：2222(43)3264120k x k x k +-+-=
由2222(32)4(43)(6412)0k k k ?=--+->得：214
k <
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2
212122
2
32641243
43
k k x x x x k
k
-+=
=
++， ①
∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++
∴22222
1212222
64123287(1)41625434343
k k O A O B x x y y k k k k k k -?=+=+?-?+=-+++
∵2104
k <
≤，∴2
8787
873
4
43
k -
-
<-
+≤，∴13[4)4
O A O B ?∈-
，
∴OA OB ? 的取值范围是13
[4)4
-，．
(3)证：∵B 、E 两点关于x 轴对称，∴E (x 2，－y 2)
直线AE 的方程为121112
()y y y y x x x x +-=
--，令
y = 0得：112112
()y x x x
x y y -=-
+ 又
1122(4)(4)
y k x y k x =-=-，，∴12121224()
8
x x x x x x x -+=
+-
由将①代入得：x = 1，∴直线AE 与x 轴交于定点(1，0)． 7.已知椭圆
()222
2
10x y a b a
b
+
=>>的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，直线0=+-b y x 是抛物线x y 42
=的一条切线． （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点)31
,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于 A ．B 两点．问：是否存在一个定点T ，使
得以AB 为直径的圆恒过点T ? 若存在，求点T 坐标；若不存在，说明理由。 解析：（Ⅰ）由0)42(:402
22
=+-+???==+-b x b x y x
y b y x 得消去 因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切，04)42(2
2=--=?∴b b ，∴1b =，
………………2分
∵圆)0(1:
2
22
2>>=+
b a b
y a
x C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角
形，∴22==b a 故所求椭圆方程为
.12
2
2
=+y
x
（Ⅱ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：22
2)3
4()
3
1(=++y x 当L 与x 轴垂直时，以AB 为直径的圆的方程：122=+y x
由??
?==??
???=+=++101
)
34()31(22222
y x y x y x 解得 即两圆公共点（0，1）
因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1） （ⅰ）当直线L 斜率不存在时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）
（ⅱ）若直线L 斜率存在时，可设直线L ：3
1-
=kx y
由01612)918(:12
312
222
=--+???????
=+-=kx x k y y x kx y 得消去
记点),(11y x A ．???
????
+-=
+=+918169
1812),,(22122122k x x k k x x y x B 则
)
3
4)(34
()1)(1()
1,(),1,(212121212211--+=--+=?-=-=kx kx x x y y x x TB TA y x TB y x TA 所以又因为
9
16)(3
4)1(21212
++-+=x x k x x k
09
169
1812349
1816)1(2
2
2=++?
-+-?
+=k
k k k
k
∴TA⊥TB,
综合（ⅰ）（ⅱ），以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）．
8.设椭圆22
2
:
1(0)x C y a a
+=>的两个焦点是12(,0)(,0)(0)F c F c c ->和，且椭圆C 上的点
到焦点F 2
-
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线:(0)l y kx m k =+≠与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，线段MN 垂直平分线恒过
点A（0，-1），求实数m的取值范围。
9.已知椭圆
22
22
:1
x y
C
a b
+=的短轴长等于焦距，椭圆C上的点到右焦点F的最短距离为
1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点(20)
E，且斜率为(0)
k k>的直线l与C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，证明：N F P
、、三点共线．
(I)
由题可知：221
b c a c =???
-=
?? …………2分
解得1a c ==，1b ∴=
∴椭圆C 的方程为2
2
:
12
x
C y +=…………………………4分
（II ）设直线l ：(2)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，11()P x y -，，(10)F ，，
由22
(2)12
y k x x y =-???+=??，
，得2222(21)8820k x k x k +-+-=.…………6分
所以2
122
821
k
x x k +=
+，2
122
8221
k x x k -=
+. ……………………8分
而 2222(1)(12)
FN x y x kx k =-=--，，uuu r
，
1111(1)(12)FP x y x kx k =--=--+uur
，，，…………10分
1221(1)(2)(1)(2)x kx k x kx k -----+Q 1212[23()4]k x x x x =-++
22
22
1642442121k k k k k ??-=-+ ?++??
0= //FN FP ∴uuu r uur
∴N F P 、、三点共线
10.椭圆E 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为12.点P (1，3
2
)、A 、B 在椭圆E 上，
且PA →＋PB →＝mOP →
(m ∈R )．
(1)求椭圆E 的方程及直线AB 的斜率；
(2)当m ＝－3时，证明原点O 是△PAB 的重心，并求直线AB 的方程． 解：（1）由2
22
1a
b e -==
4
1及
14912
2
=+
b
a
解得a 2=4，b 2
=3，
椭圆方程为
13
4
2
2=+
y
x
；…………………………………………………………2分
设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2），
（x 1+x 2-2，y 1+y 2-3）=m （1，23
），即??
?
??+=++=+m y y m
x x 233221
21
又
134
2
1
2
1
=+
y x ，1342
2
2
2
=+y x ，两式相减得 212332434321211212-=++?-=++?-=--=m
m y y x x x x y y k AB
; ………………………6分
（2）由（1）知，点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）的坐标满足??
?
??+=++=+m y y m x x 233221
21，
点P 的坐标为（1，
23）, m =-3， 于是x 1+x 2+1=3+m =0，y 1+y 2+
2
3=3+
2
3m +
2
3=0，
因此△PAB 的重心坐标为(0，0)．即原点是△PAB 的重心. ∵x 1+x 2=-1，y 1+y 2=-2
3，∴AB 中点坐标为（2
1-
，4
3-
），………………………10分
又
13
4
2
1
2
1=+
y x ，
134
2
2
2
2=+
y x ，两式相减得
2
14
32
12
11
21
2-
=++?
-
=--=
y y x x x x y y k AB ;
∴直线AB 的方程为y +4
3=2
1-(x +
2
1),即x +2y +2=0.
11.已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于,A B 两点．
（1）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （2）求AN B ?面积的最小值；
（3）当点M 的坐标为(,0)m ，(0m >且1)m ≠．根据（1）（2）推测并回答下列问题（不必说明理由）：
①直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ②AN B ?面积的最小值是多少？ （1）设直线l 的方程为()1(0)y k x k =-≠．
由()2
1,4,
y k x y x ?=-??
=?? 可得 ()2222240k x k x k -++=．
设()()1122,,,A x y B x y ，则2
1212224,1k x x x x k
++==．
∴124y y =- ∴()1,0N -
12122
2
1212441
1
4
4
N A N B y y y y k k x x y y +=
+
=
+
++++
()()()()
()()
22
122121122
2221
2
1
2
4444(4444)
04444y y y y y y y y y
y y
y ??+++-+-+??
=
=
=++++．
又当l 垂直于x 轴时，点,A B 关于x 轴，显然0,NA NB NA NB k k k k +==-． 综上，0,NA NB NA NB k k k k +==-． ---------------- 5分 （2）
12NAB S y y ?=-==
4
>．
当l 垂直于x 轴时，4NAB S ?=．
∴AN B ?面积的最小值等于4． ------10分 （3）推测：①NA NB k k =-；
②AN B
?面积的最小值为4． ------- 13分
12.已知椭圆E ：
2
22
2b
y a
x +
=1（a ＞b ＞o ）的离心率e =
2
2，且经过点（6,1），O 为坐标
原点。
（Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；
（Ⅱ）圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线
x =－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，
切点分别为P 、Q ，当∠PMQ =60°时，求直线PQ 的方程.
解：（1）椭圆的标准方程为：
14
82
2
=+y
x
（2）连接QM ，OP ，OQ ，PQ 和MO 交于点A ，
有题意可得M （-4，m ），∵∠PMQ=600
∴∠OMP=300，∵24)4(24222
2
=+-∴=∴=m OM OP ， ∵m>0,∴m=4,∴M(-4,4)
∴直线OM 的斜率1-=OM K ,有MP=MQ,OP=OQ 可知OM⊥PQ,
1=∴PQ K ,设直线PQ 的方程为y=x+n
∵∠OMP=300,∴∠POM=600,∴∠OPA=300, 222=∴=OA OP ,即O 到直线PQ 的距离为2,
222
±=∴=∴n n (负数舍去),∴PQ 的方程为x-y+2=0
13.设抛物线C 1：x 2
＝4 y 的焦点为F ，曲线C 2与C 1关于原
点对称．
(Ⅰ) 求曲线C 2的方程；
(Ⅱ) 曲线C 2上是否存在一点P （异于原点），过点P
作C 1的两条切线PA ，PB ，切点A ，B ，满足| AB |是 | FA | 与 | FB | 的等差中项？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(Ⅰ)解；因为曲线1C 与2C 关于原点对称，又1C 的方程24x y =，
所以2C 方程为24x y =-． …………5分
(Ⅱ)解：设2
00(,)4
x P x -
，11(,)A x y ，22(,)B x y ,12x x ≠．
2
14
y x =
的导数为12
y x '=
，则切线P A 的方程1111()2
y y x x x -=
-，
又2
1114
y x =
，得1112
y x x y =
-， 因点P 在切线P A 上,故2
01011142
x x x y -=
-．
同理, 2
02021142
x x x y -
=-． 所以直线200114
2
x x x y -
=
-经过,A B 两点， 即直线A B 方程为2
001142
x x x y -
=
-,即2
00112
4
y x x x =
+
，
代入24x y =得220020x x x x --=，则1202x x x +=,2
120x x x =-，
所以 ||AB ==
，
由抛物线定义得1||1FA y =+，2||1FB y =+． 所以2
12012011||||()2()22
2
F A F B y y x x x x +=++=
++
+，
由题设知，||||2||FA FB AB +=，即2
2
2
2
0003(
2)4(82)2
x x x +=+，
解得2
052
23
x =
，从而2
001134
23
y x -=-=
．
综上，存在点P 满足题意，点P 的坐标为
132323- 或 13(2323
--．
…………15分
14.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=，
（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C
截得的弦长为l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。
(1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --= 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l
的距离1d ==，
1,= w.w.w.zxxk.c.o.m
化简得：2
72470,0,,24
k k k or k +===-
[来源:Z 。xx 。https://www.doczj.com/doc/b42732276.html,]
求直线l 的方程为：0y =或7(4)24
y x =-
-，即0y =或724280x y +-=
(2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为：[来源:https://www.doczj.com/doc/b42732276.html,]
1(),()y n k x m y n x m k
-=--=-
-，即：110,0kx y n km x y n m k
k -+-=-
-++
=
因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。w.w.w.zxxk.c.o.m
故有
：
41|5|
n m --++=
，
化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：20
,30m n m n --=???
?--=??
m-n+8=0
或m+n-5=0
解之得：点P 坐标为313(,)22
-或51(,)2
2
-。
（方法二）因为
12222
2
2
(4)(2)
86m m m m m m m m a a a a a a a a +++++++--=
=-+
为数列{}n a 中的项，
故
m +2
8 a 为整数，又由（1）知：2m a +为奇数，所以2231,1,2
m a m m +=-=±=即
经检验，符合题意的正整数只有2m =。
15.已知，椭圆C 过点A 3
(1,)2
，两个焦点为（-1，0），（1，0）。
（1）求椭圆C 的方程；
（2）E 、F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。 解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为
2
2
19114b
b
+
=+，解得23b =，2
34
b =-
（舍去）
所以椭圆方程为
2
2
14
3
x
y
+
=。 ……………4分
（Ⅱ）设直线AE 方程为：3(1)2
y k x =-+
，代入
2
2
14
3
x
y
+
=得
2
2
2
3(34)4(32)4(
)1202
k x k k x k ++-+--= 设(x ,y )E E E ,(x ,y )F F F ,因为点3(1,)2
A 在椭圆上，所以
2
2
3
4()12
2x 34F k k --=+ 3
2
E
E y kx k =+- ………8分
又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数，在上式中以—K 代K ，可得
2
23
4()12
2x 34F k k
+-=
+ 3
2
E
E y kx k =-++
所以直线EF 的斜率()212
F E F E EF F E
F E
y y k x x k
K x x x x --++=
=
=
--
即直线EF 的斜率为定值，其值为12
。
16．已知双曲线E ：
2
2
124
12
x
y
-
=的左焦点为F ，左准线l 与x 轴的交点是圆C 的圆心，圆C
恰好经过坐标原点O ，设G 是圆C 上任意一点． （Ⅰ）求圆C 的方程；
（Ⅱ）若直线FG 与直线l 交于点T ，且G 为线段FT 的中点，求直线FG 被圆C 所截得的
弦长； （Ⅲ）在平面上是否存在定点P ，使得对圆C 上任意的点G 有
12
G F G P
=？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．