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初中数学竞赛中的高斯函数问题

2中等数学●数学活动课程讲座●

初中数学竞赛中的高斯函数问题

姜照华

(山东省枣庄市第二十九中学，277000)

中图分类号：0174文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)11—0002—04

(本讲适合初中)

在初中数学竞赛中，经常出现含有取整符号【石】的问题．所谓的【茗】，就是表示不超过实数髫的最大整数，例如，【3．4】=3，【一2．7】=一3．这一规定最早为大数学家高斯所使用，故【菇】被称为高斯函数．

很明显，由规定直接可得：

(1)当石是整数时，【茗】=茗；

’(2)当石不是整数时，茗一l<【石】<戈．

将两种情况合在一起，即是对任一实数z有茗一1<【戈】≤戈．

运用这一基本性质和高斯函数的意义，可轻松地解决相关的赛题．

1求单个高斯函数值

例1设a：堑羔；丛．贝0【d16】=一

(2008，“五羊杯”数学竞赛(初三))

【分析】注意到a：巫#-q卢：亟≠(0<芦<1)能使a+卢=届与qB=1．因此，可以通过计算a16+口16的值进行判断．

解设卢：笪≯．则

a+卢=石，邮=1．

于是，a2+矿=(a+卢)2—20口=3，

a4+∥=(a2+矿)2—2(af t)2=7，

a8+矿=(∥+矿)2—2(af t)4=47，

a16+矿=(a8+矿)2—2(q8)8=2207．

由0<卢<1，知0<／316<1．

所以，2206

收稿日期：2010一∞一2l

因此，【a16】=2206．

例2计算【V(五i-乃赢i三丽】

的值(2008共出现了2008次)．

(2008，青少年数学国际城市邀请赛)

【分析】尽管有2008次开平方运算，只要从里往外耐心地进行估算，规律自然会显现出来．

解记d。=√2008+42008+…+以008 (共7／,个2008，乃=l，2，…)．

由44<√2008<45，知

452<2008+44<2008h俪

<2008+45<462．

则45<42008+~／2008<46，即

45<Ⅱ2<46．

故452<2008+45<2008+a2

<2008+46<462．

于是，45<以008+02<46，即

同理，45

所以，【a2瞄】=45．

例3设

一

11 52—[(10—+——+…+_xll-1)2][(1l x12]'1)2]

L10×l l J L11×12J

r(49xS0—1)‘1

【49x50J

则[30S】=()．

(A)l(B)2(C)3(D)0

(2002，“五羊杯”学竞赛(初二))

【分析】此题需要化简s，以便判断30S

初中数学竞赛重要定理公式(代数篇)

初中数学竞赛重要定理、公式及结论代数篇【乘法公式】完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2，立方和（差）公式：(a±b)(a2 ?ab+b2)=a3±b3 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4） (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2±10a2b3＋5ab4±b5） ………… 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n-1- a2n-2b+a2n-3b2- … ＋ab2n-2- b2n-1)=a2n-b2n(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2n-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：（a-b）(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…＋ab n-2+b n-1)=a n-b n 公式的变形及其逆运算由(a+b)2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2-2ab 由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) 由公式的推广③可知：当n为正整数时 a n- b n能被a-b 整除，a2n+1+b2n+1能被a+b整除，a2n-b2n能被a+b 及a-b整除。重要公式（欧拉公式） (a+b+c)(a2+b2+c2+ab+ac+bc)=a3+b3+c3-3abc 【综合除法】一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当被除式f(x)除以除式g(x)，(g(x)≠0) 得商式q(x)及余式r(x)时，就有下列等式： f(x)=g(x)q(x)-r(x) 其中r(x)的次数小于g(x)的次数，或者r(x)=0。当r(x)=0时，就是f(x)能被g(x)整除。【余式定理】多项式f(x)除以x-a所得的余数等于f(a)。【因式分解方法】拆项、添项、配方、待定系数法、求根法、对称式和轮换对称式等。【部分分式】把一个分式写成几个简单分式的代数和，称为将分式化为部分分式，它是分式运算的常用技巧。分式运算的技巧还有：换元法、整体法、逐项求和、拆项求和等。【素数和合数】2是最小的素数，也是唯一的一个既是偶数又是素数的数．

《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题

《全国初中数学竞赛》二次函数历届考题 11（2008）、已知一次函数12y x =，二次函数221y x =+，是否存在二次函数c bx ax y ++=23，其图象经过点（－5,2），且对于任意实数x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值12,y y ，3y ，都有123y y y ≤≤成立？若存在，求出函数3y 的解析式；若不存在，请说明理由。解：存在满足条件的二次函数。因为222122(1)21(1)0y y x x x x x -=-+=-+-=--≤，所以，当自变量x 取任意实数时，12y y ≤均成立。由已知，二次函数c bx ax y ++=23的图象经过点（－5,2），得 2552a b c -+= ① 当1x =时，有122y y ==，3y a b c =++ 由于对于自变量x 取任实数时，132y y y ≤≤均成立，所以有2≤a b c ++≤2，故 2a b c ++= ② 由①，②，得4b a =，25c a =-，所以234(25).y ax ax a =++- ……5分当13y y ≤时，有224(25)x ax ax a ≤++-，即2(42)(25)0ax a x a +-+-≥ 所以，二次函数2(42)(25)y ax a x a =+-+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故 20 (42)4(25)0a a a a ??---≤? 即2 0,(31)0, a a ??-≤? 所以1 3a = 当23y y ≤时，有224(25)1ax ax a x ++-≤+，即2(1)4(51)0a x ax a --+-≥，所以，二次函数2(1)4(51)y a x ax a =--+-对于一切实数x ，函数值大于或等于零，故 210,(4)4(1)(51)0,a a a a -??----≤?即2 1,(31)0,a a ??-≤?所以13a = 综上，141 ,4,25333 a b a c a ====-=

(完整)高斯简介

目录 1.高斯数学 (2) 2.高斯的特色 (3) 2.1我们最专业 (3) 2.2我们最适合 (4) 2.3我们最有趣 (6) 2.4我们最易懂 (8) 2.5我们最便捷 (8) 3.高斯的课程 (8)

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2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .