年级初三学科数学编稿老师田一鹏课程标题猜想证明型问题
一校黄楠二校林卉审核孙永涛
一、考点突破
纵观近几年的中考数学压轴题中，可以发现猜想证明类试题出现的频率日益增高。因为此类试题能比较系统地考查学生的逻辑推理能力、合情推理能力、发现规律和关系的能力，以及运用所学知识和方法分析、解决数学问题的能力，对于猜想证明类试题，由于题目新颖、综合性强、结构独特，具有较好的区分度，因此。该类试题已逐步成为中考的一大热点题型。
猜想证明类试题的考查范围有猜想命题的规律或结论（不要求证明）与猜想命题的结论（要求证明）两种。单纯猜想规律或结论的问题经常以填空、选择题的形式作为压轴题，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找存在于个例中的共性，也就是规律。相对而言，猜想命题的结论（要求证明）的试题难度较大，解答具体题目时往往是直观猜想与科学论证、具体应用相结合。
二、重难点提示
重点：经历猜想、证明与拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索与发现的体验；解决问题的过程中综合运用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体性认识。
难点：感悟、体验与处理数学问题的策略与方法。
能力提升类
例1 观察下列算式：
①1 × 3－22 = 3－4 =－1
②2 × 4－32 = 8－9 =－1
③3 × 5－42 = 15－16 =－1 ④ ……
（1）请你按以上规律写出第4个算式；
（2）请你猜想，把这个规律用含字母n 的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由。
一点通：（1）根据①②③算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式； （2）将从（1）中发现的规律，由特殊推广到一般，得出结论；
（3）一定成立，可利用整式的混合运算方法加以证明。 解：（1）246524251?-=-=-；
（2）()()2
211n n n +-+=-； （3）一定成立。
理由：n （n ＋2）－（n ＋1）2=n 2＋2n －（n 2＋2n ＋1）
=n 2＋2n －n 2－2n －1=－1。 故n （n ＋2）－（n ＋1）2=－1成立。
评析：本题是数式猜想型题，考查了整式混合运算的应用。关键是由特殊推广到一般，得出一般规律，通过整式的运算进行检验。观察给出的几个算式，不难发现算式左边几个数之间的关系。
例2 如图所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同一过程，第一个正方形的边长为1，第一个正方形与第一个等腰直角三角形的面积和为1S ，第二个正方形与第二个等腰直角三角形的面积和为2S ，……，第n 个正方形与第n 个等腰直角三角形的面积和为n S 。猜想出n S 与n 的关系是 。
一点通：观察图形，分别求得每个正方形的边长，从而发现规律，根据其规律解题即可。 解：观察图形可以发现，第一个正方形的边长为1，第2个正方形的边长为122
()22
=，第3个正方形的边长为221(
)22=，则第n 个正方形的边长为12
()2
n -。 ∴第n 个正方形的面积为1
21
12
2(
)2n n --??
=
??， 则第n 个等腰直角三角形的面积为：11
111242n n -+?=， 故答案为：1
1
2
12
1+-+
=
n n n S 。
评析：本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题。
综合运用类
例3 如图所示，四边形ABCD 是正方形，点E,K 分别在BC,AB 上，点G 在BA 的延长线上，且CE=BK=AG 。
（1）求证：①DE=DG ；②DE ⊥DG ；
（2）以线段DE ，DG 为边作出正方形DEFG ，连接KF ，猜想并写出四边形CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
（3）当
n 1
=CB CE 时，求出DEFG
ABCD S S 正方形正方形的值。
一点通：（1）由已知证明DE 、DG 所在的三角形全等，再通过等量代换证明DE ⊥DG ；（2）由已知首先证四边形CKGD 是平行四边形，然后证明四边形CEFK 为平行四边形；（3）求
DEFG
ABCD S S 正方形正方形的值，由于正方形ABCD 和正方形DEFG 一定相似，只要知道它们的边长之
比，即可求面积之比。
解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴DC=DA ，∠DCE=∠DAG=90°， 又∵CE=AG ，∴△DCE ≌△DAG ， ∴∠EDC=∠GDA ，DE=DG 。 又∵∠ADE ＋∠EDC=90°， ∴∠ADE ＋∠GDA=90°， ∴DE ⊥DG 。
（2）四边形CEFK 为平行四边形。 证明：设CK ，DE 相交于M 点，
∵四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形， ∴AB ∥CD ，AB=CD ，EF=DG ，EF ∥DG; ∵BK=AG ，∴KG=AB=CD ， ∴四边形CKGD 为平行四边形。 ∴CK=DG=EF,CK ∥DG 。 ∴∠KME=∠GDE=∠DEF=90°。 ∴∠KME ＋∠DEF=180°, ∴CK ∥EF,
∴四边形CKEF 为平行四边形。
（3）设CE=1，则CB=n ，21n + ∴
21
BC DE n =+
∴
DEFG
ABCD S S 正方形正方形=
1
n n 22
+
评析：本题考查的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定，解题的关键是先由正方形的性质通过证明三角形全等得出相应结论。
例4 如图，已知平行四边形ABCD 及四边形外一直线l ，四个顶点A 、B 、C 、D 到直线l 的距离分别为a 、b 、c 、d 。
（1）观察图形，猜想得出a 、b 、c 、d 满足怎样的关系式？证明你的结论。 （2）现将l 向上平移，你得到的结论还一定成立吗？请分情况写出你的结论。
一点通：（1）此题可以连接平行四边形的对角线，交点是O 。作OO 1⊥l 于O 1。根据梯形的中位线定理得到2OO 1=DD 1＋BB 1=b ＋d=AA 1＋CC 1=a ＋c 。
（2）将l 向上平移，分别有直线l 过A 点时；直线l 过A 点与B 点之间时；直线l 过B 点时；直线l 过B 点与D 点之间时；直线l 过D 点时；直线l 过C 点与D 点之间时；直线l 过C 点时；直线l 过C 点上方时几种情况。结合三角形的中位线定理和梯形的中位线定理进行分析。
解：连接AC BD 、，且AC BD 、相交于点O ，1OO 为点O 到l 的距离，
∴OO 1为直角梯形11BB D D 的中位线， ∴1112OO DD BB b d =+=+；
1O
C
B
1D
1A
A D 1
B 1C
l
O
同理：1112OO AA CC a c =+=+。 ∴d b c a +=+。 （2）不一定成立。 分别有以下情况：
直线l 过A 点时，d b c +=；
直线l 过A 点与B 点之间时，d b a c +=-； 直线l 过B 点时，d a c =-；
直线l 过B 点与D 点之间时，d b c a -=-； 直线l 过D 点时，b c a =-；
直线l 过C 点与D 点之间时，d b c a +=-； 直线l 过C 点时，d b a +=； 直线l 过C 点上方时，d b c a +=+。
评析：本题强调基础，突出能力，由图动引发手动、脑动，是一种思维的飞跃，认知的升华。使具有不同数学认知特点、不同数学发展程度的同学都能表现出自己的数学学习状况，在操作层面实现了“让不同的人学不同的数学”这一基本理念。
思维拓展类
例5 如图，点P 是正方形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 在射线BC 上，且PE=PB ，连接PD ，O 为AC 中点。
（1）如图1，当点P 在线段AO 上时，试猜想PE 与PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；
（2）如图2，当点P 在线段OC 上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由； （3）当点P 在AC 的延长线上时，并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论，若不成立，请说明理由。
一点通：（1）PE=PD ，且PE ⊥PD ；（2）根据题意，易知△BCP ≌△DCP ，所以PB=PD=PE 。 解答：（1）PE=PD ，且PE ⊥PD 。 （2）成立。
理由：∵四边形ABCD 为正方形，
∴BC=DC ，∠BCP=∠DCP=45°，∠BCD=90°， 又∵PC=PC ，
∴△BCP ≌△DCP.∴PB=PD ，∠1=∠2， 又∵PE=PB ，
∴PE=PD ，∠1=∠3，∴∠2=∠3。 ∵∠BCD=90°
∴∠DCE=90°，
∵∠DPE=180°－∠2－∠5， ∴∠DCE=180°－∠3－∠4，
又∵∠4=∠5，∴∠DPE=∠DCE=90°，即PE ⊥PD 。
（3）仍然成立。
评析：此类求线段数量关系或位置关系的问题中，线段数量一般有相等或倍数关系，位置有平行或垂直关系，常用的证明方法有全等、相似。
1. 归纳性猜想：运用归纳法，对研究对象或问题从一定数量的个例、特例进行观察、分析与归纳，从而得出有关的命题形式、规律或结论。归纳猜想类题在中考压轴题中往往以填空、选择题的形式出现。
2. 类比性猜想：即运用类比方法，通过比较两个对象或问题的相似（部分相同或整体类似），得出数学命题的结论和方法的猜想，由类比方法提出的猜想虽然不具备演绎推理的必然性，但它是以两类对象之间的某些相似性为基础的，所以也具有一定的置信度。两类对象之间相似的属性越多，所推出结论的置信度就越高。
3. 解猜想证明型问题的一般步骤：
（1）通过对几个特例的分析，依据已有的知识或经验，运用归纳、类比等方法寻找规律；
（2）猜想符合规律的一般结论；
（3）验证结论的正确性，或者应用此结论解决相关的问题。
问题：某同学设计了一个计算程序，如下表：
输入数据 1
2
3
4
5
… 输出数据
32
54 76 9
8 a
…
根据表格中各个数据的对应关系，可得a 的值是____________。 一点通：分析输入、输出的数据可得：输出数据是221
+输入数据
输入数据，依此可得a 的值。
解答：根据题意有，a 的值是2510
25111
?=?+。
故答案为：
1011
。 评析：本题考查了实数猜想探究题，形式新颖，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧。
（答题时间：60分钟）
1. 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位。其行走路线如下图所示。
（1）填写下列各点的坐标：A1（____，____），A3（____，____），A12（____，____）；
（2）写出点A4n的坐标（n是正整数）；
（3）指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向。
2. 已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）。
（1）连接____________；
（2）猜想：______=______；
（3）证明：
3. 如图（1），（2），四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。
（1）如图（1），当点E在AB边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是；
②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是；
③请证明你的上述两猜想。
（2）如图（2），当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。
到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，那么请你猜想第n个矩形的面积是多少？
5. 如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE。
（1）线段AF 和BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论；
（2）将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，（1）中的结论还成立吗?作出判断并说明理由；
（3）若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形c （草图即可），（1）中的结论还成立吗?作出判断，但不必说明理由。
6. 已知二次函数q px x y ++=2
（q p ,为常数，△=042
>-q p ）的图象与x 轴相交于
A ()0,1x ，
B ()0,2x 两点，且A ，B 两点间的距离为d ，例如，通过研究其中一个函数
652+-=x x y 及图象（如图），可得出表中第2行的相交数据。
q px x y ++=2
p q △
1x 2x
d
652+-=x x y
5- 6
1 2
3 1
x x y 2
1
2-=
2
1-
4
1
2
1
22-+=x x y
2-
2-
3
（1）在表内的空格中填上正确的数；
（2）根据上述表内d 与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；
（3）对于函数：
q px x y ++=2（q p ,为常数，△=042>-q p ）证明你的猜想。
7. 在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图（1），易证EG =CG ，且EG ⊥CG 。
（1）将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图（2），则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想。
（2）将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG 和CG 又有怎样的数量
关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明。
8. 如图，已知ABC
?为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且DEF
?
也是等边三角形。
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；
（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程。
F
E
D C
B
A
1. （1）A 1（0，1），A 3（1，0），A 12（6，0）； （2）点A 4n 的坐标（n 是正整数）为（2n,0）；
（3）点A 100中的n 正好是4的倍数，所以点A 100和A 101的坐标分别是A 100（50，0），A 101（50，1），所以蚂蚁从点A 100到A 101的移动方向是从下向上。 2. （1）AF （2）猜想AF=AE
（3）证明：证法一：如图，连接AF ，
连接AC ，交BD 于O
四边形ABCD 是菱形，∴⊥AC BD 于O ，DO=BO
DE BF O FO =∴=，E ∴AC 垂直平分EF ∴=AF AE
证法二： 四边形ABCD 是菱形，∴=AB AD ， ∴∠=∠ABD ADB ，∴∠=∠ABF ADE 在??A ABF DE 和中
AB AD ABF ADE BF DE =∠=∠=???
?
? ∴???ABF ADE ∴=AF AE
3. （1）①DE=EF ；②NE=BF 。
③证明：∵四边形ABCD 是正方形，N ，E 分别为AD ，AB 的中点，∴DN=EB ， ∵BF 平分∠CBM ，AN=AE ，∴∠DNE=∠EBF=90°＋45°=135°， ∵∠NDE ＋∠DEA=90°，∠BEF ＋∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF ， ∴△DNE ≌△EBF ，∴DE=EF ，NE=BF 。
（2）在DA 边上截取DN=EB （或截取AN=AE ），连接NE ，点N 就使得NE=BF 成立（图略）
此时，DE=EF 。
4. 解：已知第一个矩形的面积为1；
第二个矩形的面积为原来的（12）2×2－
2=14；
第三个矩形的面积是（12）2×3－
2=116
；
…… 故第n 个矩形的面积为：2
2)2
1(-n 。
5. （1）AF=BE 。
证明：在△AFC 和△BEC 中， ∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC=BC ，CF=CE ，∠ACF=∠BCE=60°。 ∴△AFC ≌△BEC. ∴AF=BE 。 （2）成立。
理由：在△AFC 和△BEC 中， ∵△ABC 和△CEF 是等边三角形， ∴AC=BC ，CF=CE ，∠ACB=∠FCE=60°。
∴∠ACB －∠FCB=∠FCE －∠FCB. 即∠ACF=∠BCE 。 ∴△AFC ≌△BEC. ∴AF=BE 。
（3）此处图形不唯一，仅举几例，只要正确，即可。 如图，（1）中的结论仍成立。
6. 解：（1）第二行0,01==x q ；2
1
=d 第三行1=p ，△=9，12=x ； （2）猜想：=2
d △
例如：22
--=x x y 中；9,2,1=?-=-=q p ；由022
=--x x 得
9,3,1,2221==-==d d x x ，∴=2d △…
（3）证明：令0=y ，得02
=++q px x ，∵△>0 设02
=++q px x 的两根为1x ，2x 则1x ＋2x p -=，q x x =?21 ()()()212
212
212
2
12
4x x x x x x
x x d ?-+=-=-=
()?=-=--=q p q p 442
2
7. （1）EG =CG ，且EG ⊥CG 。 （2）EG =CG ，且EG ⊥CG 。
证明：如图所示，延长FE 交DC 延长线于M ，连接MG ∴四边形B E MC 是矩形。∴BE =CM ，∠EMC =90° 又∵BE =EF ，∴EF =CM ∵∠EMC =90°，FG =DG ，∴MG =1
2
FD =FG ∵BC =EM ，BC =CD ，∴EM =CD ∵EF =CM ，∴FM =DM ，∴∠F =45°
又FG=DG，∠CMG=1
2
∠EMC=45°，∴∠F=∠GMC
∴△GFE≌△GMC，∴EG=CG，∠FGE=∠MGC
∵∠FMC=90°,MF=MD,FG=DG，∴MG⊥FD
∴∠FGE＋∠EGM=90°，∴∠MGC＋∠EGM=90°
即∠EGC=90°，∴EG⊥CG。
8. 解：（1）图中相等的线段还有：AE=BF=CD，AF=BD=CE，
证明：∵△ABC与△DEF都是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，∠EDF=∠DEF=∠EFD=60°，DE=EF=FD，
又∵∠CED＋∠AEF=120°，∠CDE＋∠CED=120°
∴∠AEF=∠CDE，同理，得∠CDE=∠BFD，
∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），所以AE=BF=CD，AF=BD=CE。
（2）线段AE、BF、CD绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到；线段AF、BD、CE绕△ABC的内心按顺时针（或按逆时针）方向旋转120°，可互相得到。
半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直 例1 如图，在△ ABC中，AB=AC，以AB为直径的O O交BC于D，交AC于E, B为切点的切线交OD延长线于F. 求证：EF与O O相切. 例2 如图，AD是/ BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与O O相切. 证明一：作直径AE，连结EC. ?/ AD是/ BAC的平分线， ???/ DAB= / DAC. ?/ PA=PD , ???/ 2=Z 1+ / DAC. ???/ 2=Z B+ / DAB , ???/ 仁/ B. 又???/ B= / E, ???/ 仁/ E ?/ AE是O O的直径， ?AC 丄EC,/ E+ / EAC=90°. ???/ 1 + / EAC=90°. 即OA丄PA. ? PA与O O相切. 证明二：延长AD交O O于E,连结OA , OE. ?/ AD是/ BAC的平分线， ?BE=C1E, c ? OE 丄BC. ?/ E+/ BDE=900. ?/ OA=OE , ? / E=/ 1.
例5 如图，AB 是O O 的直径，CD 丄AB ，且 OA 2=OD ? OP. 求证：PC 是O O 的切线. 说明: 求证: ?/ PA=PD , ???/ PAD= / PDA. 又???/ PDA= / BDE, ???/ 1 + Z PAD=90 0 即OA 丄PA. ? PA 与O O 相切 此题是通过证明两角互余，证明垂直的，解题中要注意知识的综合运用 如图，AB=AC , AB 是O O 的直径，O O 交BC 于D , DM 与O O 相切. 例4 如图，已知：AB 是O O 的直径，点 C 在O O 上，且/ CAB=30°, BD=OB , D 在AB 的延长线上 求证：DC 是O O 的切线
2014年中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1
第七章 平行线的证明 导学案 1、为什么要证明 一、读一读 学习目标： 1、对由观察、归纳等过程所得的结论进行思考、质疑，认识证明的必要性，培养推理意识； 2、体会检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等。 二、试一试 自学指导： 1、大胆猜想: 如教材P162提出的问题 2、某学习小组发现，当n=0,1,2,3时，代数式n 2-n+11的值都是质数，于是得到结论：对于所有自然数n, n 2-n+11的值都是质数。你认为呢？ 由此可知：要判断一个数学结论是否正确，仅靠经验、观察或实验是不够的， 必须有根有据地进行推理。 三、练一练 A1、请在教材上完成P163随堂练习1、2；P164数学理解1 A2、当n 为正整数时，132++n n 的值一定是质数吗？ n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … n 2-n+11 是否是质数
A3、八（1）班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n 的取值（n=1，2，3，…39）代入式子412++n n ，结果发现式子412++n n 的值都是质数，于是 他们猜想：“对于所有的自然数，式子412++n n 的值都是质数。”你认为这个 猜想正确吗？验证一下n=40的情形。 B1、给出教材P164数学理解3问题的结论，你能用理由肯定自己的结论吗？ B2、阅读P163“读一读” 班级 小组 姓名 小组评价 教师评价 2 定义与命题（1） 一、读一读 学习目标：了解定义、命题的含义；会判断某些语句是不是命题。 二、试一试 自学指导： 1、研读教材P165-166完成下列问题： （1）什么是定义？ 定义： 。 （2）如右图某地的一个灌溉系统 如果B 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染； 如果C 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染； 如果D 处水流受到污染，那么 处水流便受到污染；
北师大版九年级（上）猜想、证明与拓广教学设计 吕永芳 一、内容解析 课题学习是初中数学四大领域之一的重要内容，课题学习设计的意图是为了将前面某领 域内所学知识进行综合，加深知识间的理解水平，或在数学内部不同领域间建立起联系，或把数学内容与其它学科内容沟通在一起，建立起数学与其它学科的联系。本节课是北师大版 九年级（上）的课题学习《猜想、证明与拓广》的第1课时，它是在学生已经学完证明（二）、证明（三）及一元二次方程和反比例函数的基础上设计的开放性、研究性的课题，主要意图 是给学生提供一个思考、研究的平台，在活动中体会和把握猜想、证明与拓广的数学化思维模式，将数学最本质的东西一一思想和方法进行汇总和梳理，同时感悟处理问题的策略和方 法，积累数学活动经验。因此本节课是数学学习中非常重要的一节思维训练课。 二、目标与目标解析 1、教学目标： （1）经历猜想、证明与拓广的过程，掌握猜想、证明与拓广的方法，培养问题意识和自主探索的能力，获得探索和发现的体验； （2）在问题解决过程中综合运用所学知识，体会知识之间的内在联系，形成对数学的整体认识； （3）在探索过程中，感受由特殊到一般、数形结合的思想方法，体会证明的必要性； （4）在合作交流过程中扩展思路，发展学生的推理能力，培养团队合作精神。 2、目标解析： 本课题学习整体上是一个开放性、研究性的课题，教学设计依照数学化的进程展开，在围绕“是否存在与已知图形的周长和面积同时倍增的图形”的一系列问题展开的，学生在经 历这些问题的探索中加深对数学的领悟，教学实施中对问题的思考以自然的、启发性的方式 进行探究，从中学习并感受数学知识的发生历程，其蕴含的“问题情境T猜想T验证T发现 规律T证明T拓广”这一数学模式及由特殊到一般、数形结合的思想方法是学生应重点把握的。本课题学习的目的不在于对某个具体问题的解决，而在于对猜想、证明与拓广能力的培 养，因此如何在教学实施中使学生学会猜想，学会证明，学会拓广是本节课的教学重点更是 难点，为此我在教学设计中将通过在学生经历猜想、证明与拓广的每一阶段后及时进行反思 提炼，总结方法来培养学生猜想、证明与拓广的能力。 三、学情分析 九年级学生整体推理意识和推理能力较强，但他们往往习惯于对确定性的问题进行一般 证明，而对于判断某一命题的正误问题就感到有些不知所措，缺少由特例尝试去发现规律的 意识，因而在教学中需要把“正方形倍增问题”先具体化，让学生充分经历猜想的过程，感悟合理猜想的方法。由于九年级（上）的学生综合运用各种知识的能力还不够强，对一个问题往往只局限于一两种思维和方法，不能很好的拓宽思路，这样教师在解题策略上就应做好 引导，并充分发挥小组合作学习的资源，提高课堂教学效率。另外九年级学生的解题意识强 但问题意识比较缺乏，对将一个问题拓广开来去发现其他相关的结论或提出新问题方面可能还不够理想，这也将成为本节教学中的一个难点。因而在教学中应引导学生挖掘命题的控制 条件，通过改变某一条件去进行合理的拓广，培养学生良好的思维能力。
竞赛专题讲座2 －类比、归纳、猜想 数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的．类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法． 所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证． 运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下： 可见，运用类比法的关键是寻找一个合适的类比对象．按寻找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型． （1）降维类比 将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比． 【例1】如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点． 求证：++为定值． 分析考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB 上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于
A1、B1，求证+为定值”．这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为 定值1．另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1．于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1． 证明：如图，设平面OA1VA∩BC＝M，平面OB1VB∩AC＝N，平面OC1VC∩AB=L，则 有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1∽△ LCV．得 ++=++。 在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得： ++=1。 ∴++=1。 【例2】以棱长为1的正四面体的各棱为直径作球，S是所作六个球的交集．证明S 中没有一对点的距离大于． 【分析】考虑平面上的类比命题：“边长为1的正三角形，以各边为直径作圆，S‘是所作三个圆的交集”，通过探索S’的类似性质，以寻求本题的论证思路．如图， 易知S‘包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内．因此S’内任意两点的距离不大于．以此方法即可获得解本题的思路．
第一章三角形的证明 1. 等腰三角形（二） 一、学生知识状况分析 在八年级上册第七章《平行线的证明》，学生已经感受了证明的必要性，并通过平行线有关命题的证明过程，习得了一些基本的证明方法和基本规范，积累了一定的证明经验；在七年级下，学生也已经探索得到了有关三角形全等和等腰三角形的有关命题；而前一课时，学生刚刚证明了等腰三角形的性质，这为本课时拓展等腰三角形的性质、研究等要三角形的判定定理都做了很好的铺垫。 二、教学任务分析 本节将利用前一课时所证明的等腰三角形的性质定理，进一步研究等腰三角形的一些特殊性质，探索等边三角形的性质。为此，确定本节课的教学目标如下： 1．知识目标： ①探索——发现——猜想——证明等腰三角形中相等的线段，进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性； 2．能力目标： ①经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力； ②在命题的变式中，发展学生提出问题的能力，拓展命题的能力，从而提高学生的学习能力和思维能力，提高学生学习的主体性； ③在图形的观察中，揭示等腰三角形的本质：对称性，发展学生的几何直觉； 3．情感与价值观要求 ①鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． ②体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性． 4．教学重、难点 重点：经历“探索——发现一一猜想——证明”的过程，能够用综合法证明有关三角形和等腰三角形的一些结论． 三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：提出问题，引入新课；第二环节：自主探究；第三环节：经典例题变式练习；第四环节：拓展延伸、探索等边三角形性质；第五环节：随堂练习及时巩固；第六环节：探讨收获课时小结。 第一环节：提出问题，引入新课 活动内容：在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题： 在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?你能证明你的结论吗? 活动目的：回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓广，有助于提高学生提出问题的能力。 第二环节：自主探究 活动内容：在等腰三角形中自主作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，观察其中有哪些相等的线段，并尝试给出证明。 活动目的：让学生再次经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，并进行证明，从中进一步体会证明过程，感受证明方法的多样性。 活动效果与注意事项：活动中，教师应注意给予适度的引导，如可以渐次提出问题：你可能得到哪些相等的线段？ 你如何验证你的猜测？ 你能证明你的猜测吗？试作图，写出已知、求证和证明过程； 还可以有哪些证明方法？ 通过学生的自主探究和同伴的交流，学生一般都能在直观猜测、测量验证的基础上探究出： 等腰三角形两个底角的平分线相等； 等腰三角形腰上的高相等； 等腰三角形腰上的中线相等． 并对这些命题给予多样的证明。 如对于“等腰三角形两底角的平分线相等”，学生得到了下面的证明方法： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线． 求证：BD=CE．
A B 《圆的证明与计算》专题研究 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.例：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线； （2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O 的切线. （3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线. （4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB 的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
专题七归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；
《勾股定理》教学设计 一、教学目标 1、知识与技能目标 用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。 2、过程与方法目标 让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。发展学生的说理和简单推理的意识及能力。 3、情感态度与价值观 在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐。体会数学与现实生活的紧密联系。 二、教学重难点 重点：经历探索勾股定理的过程，培养学生发现问题、提出问题的能力。 难点：通过观察计算，小组合作交流探索得到勾股定理。 三、教法学法 1.教法：本节课采用“探究—发现—证明—应用”的教学模式。以学生为中 心，教师的教法突出活动的组织设计与方法的引导，为学生搭建参与、交流的平台。 学法：学生的学法突出探究与发现，通过拼图活动，在动手探究，自主思考，小组讨论，互动交流和老师的引导中，获得本节课的知识与思想方法。 2.课前准备：拼图纸片、课件。 四、教学过程 环节１创设情景引入新课 （课前给每一个小组发一个信封，信封里装有拼图时用的纸片，课前请学生不要打开。）在大屏幕上展示一段我国发射第一颗人造地球卫星“东方红一号”发射升空的影片。 学生活动：观看影片 【设计意图】（1）给学生制造了一种神秘感，激起了他们探究新知的欲望。
（2）揭示本堂课的课题：探索直角三角形三边的关系 环节２拆信揭秘拼图游戏 ①拆信揭秘 老师板书课题，并及时追问： （1）信封里装了什么？ （2）数数看，各有几张，各自大小关系又怎样？ （3）你们小组的纸片大小和邻组的相同吗？ 学生活动：拆开信封,观察纸片 ②拼图游戏 你能分别用这两组图片，拼出两个既无缝隙又不重叠的正方形吗？ 学生活动：有趣地拼图 【设计意图】既让学生注意到自己手中的直角三角形与正方形纸片的边长关系，又让他们注意到各小组的纸片大小是不同的，这样更具有普遍性，为将要探索的“一般直角三角形的性质”埋下伏笔。 环节3 成果展示伟大发现 老师让学生把作品展示在黑板上，并让最快的小组来谈谈当时是如何考虑拼接的。然后引导学生通过拼好的图形来发现勾股定理。 学生活动：展示作品,谈拼接理由,并在老师的引导下,自主探索、合作交流发现勾股定理。 【设计意图】让学生体验到成功的喜悦，在老师的几次适时追问和学生的自主探索中，突出本堂课的重点。 环节4 勾股史话叹为观止 老师请两名学生朗诵了大屏幕上展示的有关勾股定理的资料，并在学生朗
东北育才学校教案
附录：关于本节课的一些说明 《猜想、证明与拓广》是义务教育课程标准实验教科书《数学》北师大版九年级（上）“课题学习”的内容，课堂围绕着中心课题——图形“倍增”，通过一系列具体问题逐渐展开，其主要意图是引导学生通过自主探索活动，综合运用已学的知识，体验处理问题的策略和方法，从而使自身解决问题的能力得到提升。 主体体现：猜想—证明—拓广的思路，在不同层面鼓励同学综合运用多种数学模型解决问题。 （1）内容设计方面：补充了“引例问题”和“正方形到矩形的倍增问题”，使学生的猜想、探索进程更易入手，更加自然；具体倍增问题，使学生不断经历猜想、判断、证实或修正，由特殊到一般地探索与发现的过程，体验以数学的方式来“做数学”，感悟处理问题的策略和方法； （2）知识储备方面:：以本学期学习的一元二次方程、反比例函数、相似等为基本素材，从学生的认知水平出发，层层设问、留白，引导学生逐步解决一个个看似简单又具有开放性、 研究性的问题； （3）课堂组织形式方面：本课题学习是一个开放性、研究性且具有挑战性的课题，为学生提供了一个思考、探究的平台，这样的活动显然不能通过讲解、告知的方法，只能让学生在解决问题的过程中去体验、领悟，获得解决问题的方法和途径，所以我选择了以“自主探索， 相似形是否存在“倍增”图形 其他图形（如菱形）是否存在“倍增”问题？ 长方形是否存在“减半”问题，“三倍”问题？……
大胆猜想——启发诱导，数学证明——分组讨论，合理拓广”为主的教学方法．为学生提供充分思考和交流的空间，鼓励学生在自主探索和猜测的基础上及时交流自己的想法和做法；（4）学法指导方面：注意问题的连贯性和前后内容的一致性，引导学生猜测、迁移、举一反三、由特殊到一般，启发学生发现更一般性的结论，寻找一般性的解决方法，鼓励主动参与、积极思考、探究方式多样化； （5）评价方面：于问题解决需要综合运用有关知识和方法，教师在教学中应更多地关注学生参与活动的情况，包括是否积极思考，及时总结和主动交流，关注学生活动过程中思考了多少，包括能否发现并提出新的问题，能否从数学的角度考虑问题并尝试从不同角度分析和解决问题，是否善于进行归纳总结，不宜以是否获得最终答案为唯一标准．对不同学生有不同要求，让每位学生都获得成功的体验，让同学在战士的过程中更有收获！
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1
【课堂例题】 例1.计算并归纳出下列求和的一般公式，并证明. 114 =? 111447 +=?? 1111447710 ++=??? 111114477101013+++=???? 11111447710(32)(31) n n ++++=???-+ 例2.尝试推导正整数立方和公式 3333123?n ++++= 例3.在平面上画n 条直线，任何两条都相交，任意3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成多少部分？
【基础训练】 1.观察下列数字： 1 234 34567 45678910 …… 猜想第n 行的各数之和n S =________________. 2 = . 3任取一个正整数，反复进行下述两种运算： (1)若是奇数，就将该数乘3再加上1； (2)若是偶数，就将该数除以2. 你能据此作出什么猜想？ . 4.已知数列{}n a 满足11a =，且*11429,n n n n a a a a n N ++-+=∈，通过计算若干项n a 后， 可以猜想通项公式n a = . 5.已知数列 1111,,,,,,122334(1) n n ???+ 前n 项和为n S . (1)计算123,,S S S 的值； (2)推测计算n S 的公式并证明. 6.在数列{}n a 中，*1121,2,2,(1) n n n a a a n n N n n -+==+ ≥∈+. (1)求234,,a a a ； (2)猜想数列{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法证明你的猜想.
7.已知数列{}n a 满足：*2,n n S n a n N =-∈（*0,n a n N ≠∈） (1)求1234,,,a a a a . (2)猜想{}n a 的通项公式()n a f n =，并用数学归纳法加以证明. 【巩固提高】 8.是否存在常数,,a b c 使等式: 222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ?-+?-++?-=++ 对于一切正整数n 都成立？证明你的结论. 提示:先利用1,2,3n =求出一组,,a b c ，再……. 9.是否存在大于1的正整数m 使得()(27)39n f n n =+?+ 对于任意正整数n 都能被m 整除？若存在，求出m 的最大值，并证明你的结论； 若不存在，请说明理由.
8.3 基本事实与定理 教学目标： 1、知识目标：了解公理、定理的含义，初步体会公理化思想，并了解本套 教科书所采用的公理。 2、情感目标：通过介绍欧几里得的《原本》，使学生感受公理化方法对数学发展和促进人类文明进步的价值。 教学重难点： 根据命题写出已知、求证 教具准备：投影仪、投影片 教学方法：引导探究、合作交流 教学过程： （一）创设情境，提出问题： 如何通过推理的方法证实一个命题是真命题呢？ （二）设置问题，步步引导： 在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题，公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得将前人积累下来的丰富的几何学成果整理在系统得逻辑体系中，他挑选了一部分不定义的数学名词（称为原名）和一部分公认的真命题（称为公理）作为证实其他命题的起始依据，定义出其他有关的概念，并运用推理的方法，证实了数百个有关的命题，使几何学成为一门具有公理化体系的科学。 （三）层层深入，挖掘特点： 通过长期实践总结出来，并且被人们公认的真命题叫做公理。例如，欧几里德将“两点确定一条直线”“直角都相等”等五条基本几何事实作为公理。通过推理得到证实的真命题叫做定理。 本教科书选用如下命题作为基本事实： 1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单的说：同位角相等，两直线平行。
5、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。 6、两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 7、两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 8、三边分别相等的两个三角形全等。 此外，等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看做公理，例如，“在等式或不等式中，一个量可以用它的等量来代替”简称为“等量代换”。 （四）指导应用，鼓励创新： 证明：等角的补角相等。 已知：∠1=∠2，∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°。 求证：∠3=∠4 证明：∵∠1+∠3=180°，∠2+∠4=180°（已知）， ∴∠3=180°-∠1，∠4=180°-∠2 （等式的性质） ∵∠1=∠2 （已知）， ∴∠3=∠4 （等式的性质）。 这样，我们便可以把上面这个经过证实的命题称作定理了，已经证明的定理可以作为以后推理的依据。 证明一个命题的正确性，要按“已知”“求证”“证明”的顺序和格式写出，其中“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，而“证明”则是由条件（已知）出发，根据已给出的定义，公理，已经证明的定理，经过一步一步的推理，最后证实结 论（求证）的过程。 （五）归纳小结：公理、定理及证明。 （六）随堂练习：第43页1、2 习题8.4 1 （七）作业：习题8.4 2 有能力的同学做联系拓广
2012中考数学复习《圆的证明与计算》专题 圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。 一、考点分析： 1.圆中的重要定理: (1)圆的定义:主要是用来证明四点共圆. (2)垂径定理:主要是用来证明——弧相等、线段相等、垂直关系等等. (3)三者之间的关系定理: 主要是用来证明——弧相等、线段相等、圆心角相等. (4)圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明——直角、角相等、弧相等. (5)切线的性质定理:主要是用来证明——垂直关系. (6)切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线. (7)切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等. 2.圆中几个关键元素之间的相互转化:弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化.这在圆中的证明和计算中经常用到. 二、考题形式分析： 主要以解答题的形式出现,圆与相似圆与面积圆与切线动态圆 三、解题秘笈： 1、判定切线的方法： （1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； （2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线； 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2、与圆有关的计算： 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. （2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。 （3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
《中考专题复习--- 归纳与猜想》教学设计望都县第三中学陈云平规律探究型问题是河北省中考中比较常见的试题之一，反映了由特殊到一般的数学解题方法，在近几年的河北省中考试卷中规律探究型问题通常与图形的变换以及数形结合的思想结合起来考查，主要考查学生的分析、猜想、抽象、归纳能力。规律探究型问题分数字、字母规律探索问题和几何图形规律探索问题等。 教学目标：知识与能力目标：能够根据给出的一组具有特定关系的数、式、图形探索 出蕴含的规律，归纳出一般性的结论。 过程与方法目标: 通过观察、分析、类比、推理，经历规律探索型问题的解答，培养学生的抽象、归纳能力。 情感态度与价值观目标：通过对规律探索型问题的解答，学会从数学的角度，综合运用所学的知识解决问题，发展学生解决问题的应用意识。教学重点：通过观察、分析、类比，探索出蕴含在图形与数字中的规律，能归纳出一般性的结论。 教学难点：规律探索与数形结合思想的综合应用。 教学用具：多媒体课件 教学过程： 师：规律探究型问题是河北省中考中比较常见的试题之一，从近几年的中考试题看，第18 题总是规律探究与图形结合的题目，为了能在中考中轻松的拿到这3 分，我们要掌握这种题型的解答思路、方法，为此我们进行本节课的专题复习。多媒体课件出示：中考专题复习——归纳与猜想
、经历感知----积累经验 1、请你按照如下的数字规律，分别写出第n个数：(n为正整数) (1) 3,6,9,12,15, (2) 2,5,8,11,14, ⑶ 3,9,27,81, ⑷ 1,-1,1,-1,1, 2、给定一组数列：2, -3, 2 , -3, 2 , -3，…根据这个规律，第2012个 数是 _____ 。 3、观察下列各式 设n为正整数，请用关于n的等式表示这个规律为：+ = _____ 4、下面是用棋子摆成的“上”字： 如果按照以上规律继续摆下去，那么通过观察，可以发现： (1) ____________________________ 第四、第五个“上”字分别需用_______________________________________________ 和__________ 枚棋子; (2) _____________________ 第n个“上”字需用枚棋子. 5、请先观察下列算式，再填空： (1) 32一12=8 1 , (2) 52 -32=8 2 . (3) _____________ 72 -52 =8X ; (4) 92—( ) 2= 8X 4； (5) (—) 2—92= 8X 5;…… 通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论: 22 T， 42 1， 2 / 1 25 5 4 ■ 6 6 6 第一个“上”字第二个“上”字第三个“上”字
浅谈新课标下的数学课题学习 普陀二中张杰刘伟 一、课题学习的教案和现状 我校所在的普陀区从2003年九月开始使用北师大版实验教科书《数学》。这套教材在初中学段设置了“课题学习”这个领域，教材在每一册中加入了“课题学习”的教案内容，内容有：七（上）《制成一个尽可能大的无盖长方体》；七（下）《制作人口图》；八（上）《拼图与勾股定理》、《简单平面图形的重心》；八（下）《制作视力表》、《吸烟的危害》；九（上）《猜想、证明与拓广》；九（下）《设计遮阳蓬》。 “课题学习”作为初中数学四大领域之一，是新课程标准的一大特色，更是这套教材的亮点之一。由于它是一块新增内容，一种新型的教案活动，没有现成的教案方法可以遵循，许多教师都是边实践、边教案，从中努力寻求好的教案手段和方法。但是，现阶段的课题学习教案不容乐观。由于长期受应试教育的影响，加上传统的数学课程不够重视与学生熟悉的现实生活的联系，无论是教师、学生还是家长都普遍认为学习书本知识最重要。一方面新课标下的实验教材，虽有部分的活动课内容存在，但缺乏具体的活动方案及案例，使任课老师感到很难操作；另一方面由于评价的滞后，许多老师误认为可有可无，浪费课时，甚至视而不见，束之高阁。另外从功利主义看，数学研究性课题学习对学生的学业考试不能起到立竿见影的作用，因此许多教师对研究性课题学习没有较深的认识，很多人只是把研究性课题学习的内容中的实习作业作为应用题讲一下，缺少真正意义上的探索，没有达到课题学习设置的初衷。 本人在使用北师大版教材提供的案例的基础上，结合学生实际和学校周边可利用的资源，另行设计了一些“课题学习”的案例，在“课题学习”方面进行了有益的探索，对新增课题学习内容和教案目的有了更深的体会，对课题学习的作用有了更深层次的理解。在此，我把从课题学习的教案中得到一些启发与大家交流，不当之处，敬请批评指正。 二、课题学习的意义和作用 课题学习是根据我国的国情和教案现状，改“学数学”为“做数学”，与国际教案接轨的一项举措，是一种全新的课程理念。开展数学课题学习，有助于扩大学生的视野，拓宽学生的知识面，促进学生思维的发展；是培养学生数学的应用能力，大众化普及数学教育，全面提高学生综合数学素质，培养学生创新实践能力的较好手段之一。我认为“课题学习”虽然在教材的整个课时中占的比例不大，却为满足学生以上需要搭建了一个平台，而且它将对人才培养模式的改变，促进全面发展、提高学生的综合素质影响深远。这应该是教材安排这一内容的出发点和落脚点。 1、课题学习有利于改变学生的学习方式 新课标理念下的数学教案，是师生之间、学生之间交流互动与共同发展的过程。根据初中学生年龄特点和新课改的要求，整个初中数学教案都是在进行初步的探究性、创造性教案活动。特别是新增“课题学习”这一内容，更是一个实验、探索、交流的过程，体验从实际问题抽象出数学问题、建立数学模型，综合应用已有知识解决问题的过程，由此发展自己的思维能力，根据要求设计实施最佳数学活动方案。这样的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，传统的接受学习已不能适应课题学习，这就要求学生采取不同以往的学习方式。动手实践、自主探索与合作交流已成为学生学习数学的重要方式。