学生实验报告
课程名称: 倒立摆系统课程设计组号：7
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2010年11 月11 1日
目录
倒立摆系统的构成 (3)
单级倒立摆数学模型的建立 (3)
传递函数 (6)
状态空间方程 (6)
系统M ATLAB 仿真和开环响应 (7)
稳定性与可控性分析 (11)
控制器设计 (12)
基于状态反馈的控制算法设计与仿真LQR (12)
极点配置法 (16)
PID控制算法 (19)
实验结果及与仿真结果的对比分析 (29)
感想和建议 (30)
倒立摆系统的构成
图1 倒立摆系统的组成框图
如图1所示为倒立摆的结构图。系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体和光电码盘几大部分，组成了一个闭环系统。光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，摆杆的位置、速度信号由光电码盘2反馈回控制卡。计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策（小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。
单级倒立摆数学模型的建立
在忽略了空气流动，各种摩擦之后，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图2所示
图2 单级倒立摆模型示意图
那我们在本实验中定义如下变量：
M 小车质量（本实验系统0.5 Kg）
m 摆杆质量（本实验系统0.2 Kg）
b 小车摩擦系数（本实验系统0.1 N/m/sec）
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度（0.3 m）
I 摆杆惯量（0.006 kg*m*m）
F 加在小车上的力
x 小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
下面我们对这个系统作一下受力分析。下图3是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图，图示方向为矢量正方向。
图3 倒立摆模型受力分析
分析小车水平方向所受的合力，可以得到等式：
应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下：
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
N x b F x
M --= 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
)sin (2
2θl x dt
d m
N +=
即 θθθθsin cos 2 ml ml x
m N -+= 把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：
F ml ml x b x
m M =-+++θθθθsin cos )(2 （1） 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
θθθθ
θcos sin )
cos (222
ml ml mg P l dt
d m mg P --=-=-即：
力矩平衡方程如下：
θ
θθ I Nl Pl =--cos sin 注意：此方程中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P 和N ，由2
31ml I =得到第二个运动方程：
θθθcos sin 23
4
x
ml mgl ml -=+ （2） 设φπθ+=（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧度）相比很小，即φ《1，则可以进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(2
=dt
d θ。用u 来代表被控对象的输入力F ，线性化后两个运动方程如下：
?????=-++=-u ml x b x m M x g l φφφ
)(34 （3）
传递函数
对方程组(3)进行拉普拉斯变换，得到
??
???=Φ-++=Φ-Φ)()()()()()()()(3
42222s U s s ml s s bX s s X m M s
s X s g s s l （4） 注意：推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组（4）的第一个方程，可以得到
)(]34[)(2s s
g
l s X Φ-=
把上式代入方程组（4）的第二个方程，得到
)()()()()()()(2222
2s U s s ml s s s g ml
ml I b s s s g ml ml I m M =Φ-Φ??????+++Φ??????-++
整理后得到传递函数：
s
q
bmgl
s q mgl m M s q
bml s s q
ml s U s -+-
+
=Φ232
3
442
)()
()(
其中 ])())([(2
2
ml ml I m M q -++=
状态空间方程
系统状态空间方程为
Du
CX y Bu AX X
+=+=
方程组（3）对φ
,x 解代数方程，得到解如下：
????
?
????++++++-==+++++-==u l m M l m M m M g x l m M b u
m M m M mg x m M b x x x )4(3)4()(3)4(3)4(4)4(3)4(4φφ
φφφ
整理后得到系统状态空间方程：
u
l m M m M x x l m M m M g l m M b m M mg m M b x x ????????
????????+++?????????????????????
???????
??+++-++-=??????????????)4(30)4(400)4()(3)4(3010000)4(3)4(400010φφφφ u x x x y ??
????+?????
?
??????????????=??????=0001000001φφφ 系统Matlab 仿真和开环响应
实际系统参数如下，求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的Matlab 仿真。
M 小车质量 1.096 Kg m 摆杆质量
0.109 Kg b 小车摩擦系数
0 .1N/m/sec
l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.2 5m I 摆杆惯量
0.0034 kg*m*m
F 加在小车上的力 x 小车位置
θ 摆杆与垂直方向的夹角 T 采样频率
0.005秒
注意：在进行实际系统的Matlab 仿真时，请将采样频率改为实际系统的采样频率。 传递函数：
在Matlab中，拉普拉斯变换后得到的传递函数可以通过计算并输入分子和分母矩阵来实现。求系统传递函数的m-文件内容如下：
M = 1.096;
m = 0.109;
b = 0.1;
I= 0.0034;
g = 9.8;
l = 0.25;
q = (M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; %simplifies input
num = [m*l/q 0]
den = [1 b*(I+m*l^2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q]
t = 0 : 0.01 : 5;
impulse ( num , den , t )
axis ( [ 0 1.1 0 70 ])
执行上面的文件，就可以求出系统传递函数的分子与分母多项式的Matlab 表示：num =
2.3566 0
den =
1.0000 0.0883 -27.8285 -
2.3094
可以得到系统开环脉冲响应的曲线如下：
00.20.40.6
0.81
10
20
30
40
50
60
70
Impulse Response
Time (sec)
A m p l i t u d e
图4 系统开环脉冲响应曲线
状态空间法：
状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，(从实验二开始，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制)。为了更具挑战性，给小车一个阶跃输入信号，设计指标如下：
● 小车位置x 和摆杆角度θ的稳定时间小于5秒； ● 位置x 的上升时间小于0.5秒；
● 摆杆角度的超调量小于20度（0.35弧度）。
下面，我们用 Matlab 求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。在这里同样给出了一个m-文件，执行这个文件，Matlab 将会给出系统状态空间方程的A ，B ，C 和D 矩阵，并可以绘出在给定输入为一个0.2 m 的阶跃信号时系统的响应曲线。
M = 1.096; m = 0.109; b = 0.1; I= 0.0034; g = 9.8; l = 0.25;
p = I*(M+m)+M*m*l^2; %denominator for the A and B matricies
A = [0 1 0 0;
0 -(I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0;
0 0 0 1;
0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0]
B = [ 0;
(I+m*l^2)/p;
0;
m*l/p]
C = [1 0 0 0;
0 0 1 0]
D = [0;
0]
T=0:0.005:10;
U=0.2*ones(size(T));
[Y,X]=lsim(A,B,C,D,U,T);
plot(T,Y)
axis([0 2.5 0 100])
执行该m文件，可以求出系统的状态空间A、B、C、D矩阵,得到开环系统阶跃响应的曲线。
A =
0 1.0000 0 0
0 -0.0883 0.6293 0
0 0 0 1.0000
0 -0.2357 27.8285 0
B =
0.8832
2.3566
C =
1 0 0 0
0 0 1 0
D =
1
图5 倒立摆状态空间开环系统阶跃响应曲线
图中，实线是摆杆角度响应曲线，虚线是小车位置响应曲线。
稳定性与可控性分析
我们先看一看系统的稳定性，将数据代入状态方程中，利用matlab程序可以求出系统的零极点。源代码如下：
M = 1.096;
m = 0.109;
b = 0.1;
I= 0.0034;
l = 0.25;
[a b c d]=wer_ss(M,m,b,l);%自己编写的函数，建立模型之用，具体程序见下面
sysc=ss(a,b,c,d);
sysd=c2d(sysc,0.005);
[da db dc dd]=ssdata(sysd);
[z p gain]=ss2zp(da,db,dc,dd,1)
z =
-0.9999 -0.9999
1.0275 1.0000 + 0.0000i
0.9733 1.0000 - 0.0000i p =
1.0000 0.9996 1.0285 0.9723 gain =
1.0e-004 * 0.1113 0.3338
wer_ss 源程序：
function [a b c d]=wer_ss(M,m,b,l)
a=[0 1 0 0;0 -4*b/(4*M+m) 3*m*9.8/(4*M+m) 0;0 0 0 1;0 -3*b/((4*M+m)*l) 3*9.8*(M+m)/((4*M+m)*l) 0]; b=[0;4/(4*M+m);0;3/((4*M+m)*l)]; c=[1 0 0 0;0 0 1 0]; d=[0;0]
由得到的p （极点）可知，有的极点在单位圆外，所以可知原系统是不稳定的。 同样，我们可以利用matlab 来得到系统的能控性，源代码如下： ud=ctrb(da,db);
rank(ud) ans = 4
由得到的rank （ud ）的值可知，原系统的能控性矩阵为4，所以我们可知原系统是能控的。
控制器设计
基于状态反馈的控制算法设计与仿真LQR
由理论分析知，可以设计基于最优控制的状态调节器，使系统闭环稳定。 设状态反馈调节律的形式为
)()(k x K k u r -=
通过使性能指标函数
)]
()()()()()([21)()(2110
k u k R k u k X k Q k X N PX N X J r T N k r T
T ++=∑-=
为最小，根据在附录1中我们所介绍的求得
G k P H H K P H R K T T r r )1(])1([1+++=-
其中P 由下列黎卡提方程获得
G k P H H k P H R H k P G G k P G Q k P T T r T T r )1(])1([)1()1()(1++++-++=-
其中r Q ，r R 分别用来对状态向量x(k)，控制向量u(k)引起的性能度量的相对重要性进行加权。在实际运算中我们运用Matlab 控制系统工具箱中的“dlqr ”函数直接进行运算。
利用dlqr 函数，我们需要提供两个权值矩阵：Q 、R 。通常我们取R=1，而对于Q 我们只能通过不断的凑取来得到。源代码如下：
>> R=1;
>> Q=[10 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0] Q =
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 >> T=0.005;
>> [syse k]=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T);%wer_lqr 是自己定义的函数，具体见下面程序 >> x0=[0.05;0;0.0175;0]; >> t=0:0.005:10;
>> [y x1]=initial(syse,x0,t);
>>plot(t,y(:,1),'red',t,y(:,2),'blue') wer_lqr 源程序：
function [sysresult k]=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T); %[sysresult k]=wer_lqr(da,db,dc,dd,Q,R,T); [k S e]=dlqr(da,db,Q,R); G=da-db*k;
sysresult=ss(G,db,dc,dd,T);
我们已开始的Q 为：Q1=[10 0 0 0;0 0 0 0;0 0 1 0;0 0 0 0]；结果得到的图为图6； Q2取为：Q=[100 0 0 0;0 0 0 0;0 0 10 0;0 0 0 0];结果得到的图为图7；
通过比较，我们发现当Q11、Q33比值一定时，取大的值时系统的响应速度加快，但是超调加大；反之则响应变慢但是超调减小。
012345678910
-0.01
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
图6 Q1响应图
012345678910
-0.01
00.01
0.02
0.03
0.04
0.05
图7 Q2响应图
在左右权衡之间，我们最终选取了： Q=[300 0 0 0;0 0 0 0;0 0 30 0;0 0 0 0] 此时的响应曲线如图8，而k 值为： k =
-16.6147 -12.4226 56.5909 10.2444
012345678910
-0.01
00.01
0.02
0.03
0.04
0.05
图8 最优的响应曲线
此时的单位阶跃响应曲线为图9：
012345678910
-0.07
-0.06-0.05
-0.04-0.03-0.02-0.010
0.01
0.02
图9 单位阶跃响应曲线
从仿真效果来看，零状态响应和单位阶跃响应都符合要求。
极点配置法
采用极点配置法设计多输出的倒立摆系统的控制方案。可以用完全状态反馈来解决，控制摆杆和小车的位置。 图10是控制系统的示意图。
图10 控制系统框图
假定所有的状态变量都可以测量和反馈，可以证明：若所研究的系统是状态完全可控的，那么，利用状态反馈的方法，经过适当的状态反馈增益矩阵，就可以把闭环系统的极点配置到任何期望的位置。
设开环控制系统的离散状态方程为： x(k+1) = Gx(k) + Hu(k) 其中，假设系统是状态完全可控的
x(k) 为在第k 次采样时刻的状态矢量（n 维矢量） u(k) 为在第k 次采样时刻的控制信号（标量） G = n ?n 矩阵 H = n ?1矩阵
设极点配置的控制律形式为
)
()(k x K k u p -=
式中
p
K 是状态反馈增益矩阵（n ?1矩阵），于是该系统就成为一个闭环控制系统。其
闭环状态方程为
)
()()1(k x HK G k x p -=+
注意，
p
HK G -的特征值就是所要求的闭环极点
n μμμ ,,21。
我们希望利用状态反馈
)
()(k x K k u p -=把闭环极点布置在1μ=z ，2μ=z ，…，
n
z μ=。即要求特征方程为：
)
())((21n p z z z HK G zI μμμ-???--=+-
12211=++???+++=---n n n n n a z a z a z a z
根据Cayley_hamiton 定理, 经过推导 (此略) 可以得到 [])
(][100011G H G GH H K n p φ--=
其中
I
a G a G a G a G G n n n n n +++++=---12211)( φ
上式给出所要求的状态反馈增益矩阵
p
K 。矩阵
p
K 的这种特殊表达式就是常说的阿克
曼公式。
状态反馈增益矩阵按这样的方法确定，即可使误差（由扰动所引起的）以足够快的速度降到零。注意，对于一个给定的系统，矩阵
p
K 并不是唯一的，而是取决于所期望的闭环极
点位置（它决定响应速度）的选择。选择期望的闭环极点或期望的特征方程是在误差矢量响应的快速性与对扰动和测量噪声敏感型之间的一个折衷方案。也就是说，如果我们使误差响应的速度提高，那么扰动和测量噪声的有害影响往往也会增强。在确定给定系统的状态反馈增益矩阵
p
K 时，通常是通过比较按不同的期望闭环极点或期望特征方程得到的矩阵
p
K ，
并从中选出使整个系统达到的特性最好的那个矩阵
p
K 。在实际设计时, 我们运用Matlab 控
制系统工具箱中的“place ”函数直接进行仿真和运算。
先在连续域中进行计算，然后再转到离散域。根据系统的性能要求，我们可取=0.707ζ，
w 3n =，这时完全满足题中的性能要求。那么我们就可以进行离散域设计了：
>> z1=exp(((-3*2^0.5)/2+(-3*2^0.5)*j/2)*0.005) z1 =
0.9894 - 0.0105i
>> z2=exp(((-3*2^0.5)/2-(-3*2^0.5)*j/2)*0.005) z2 =
0.9894 + 0.0105i >> z3=exp(-10*0.005) z3 =
0.9512
>> z4=exp(-12*0.005) z4 =
0.9418
>> p=[z1 z2 z3 z4]; >>K=place(da,db,p) K =
-38.6579 -25.5096 103.3247 17.9041 >> G=da-db*K;
>> syse=ss(G,db,dc,dd,0.005); >> t=0:0.005:10;
>> x0=[0.05; 0; 0.0175; 0]; >> [y1,x]=initial(syse,x0,t);
>> plot(t,y1(:,1),'red',t,y1(:,2),'blue')
012345678910
-0.01
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
图11极点配置图零输入响应
而它的单位阶跃响应是： >>u=ones(1,length(t)); >> [y,x]=lsim(syse,u,t)
图12极点配置单位阶跃响应
从仿真效果来看，也是基本上达到了系统的要求。
PID 控制算法
目的：
设计PID 控制器，使得当在小车上施加1N 的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： 1、稳定时间小于5秒
2、稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度 分析：
系统输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。系统框图如下：
图13 PID 系统框图
图中)(s KD 是控制器传递函数，)(s G 是被控对象传递函数。 考虑到输入0)( s r ，结构图可以很容易的变换成
图14 PID 系统反馈控制框图
该系统的输出为
)()
)(())(()
()
()
)(())((1)()
()(1)()(s F num numPID den denPID denPID num s F den denPID num numPID den num
s F s G s KD s G s y +=+=+=
其中， num ——被控对象传递函数的分子项
den ——被控对象传递函数的分母项
numPID ——PID 控制器传递函数的分子项 denPID ——PID 控制器传递函数的分母项
被控对象的传递函数是
den
num q
bmgl
s q mgl m M s q
bml s s q
ml s U s =
-+-
+
=Φ)()
()
(223
43
其中 ])())([(2
2
ml ml I m M q -++= PID 控制器的传递函数为
denPID
numPID
s K s K s K s K K s K s KD I P D I P D =++=++=2)(
调节PID 控制器的各个参数，以得到满意的控制效果。
前面讨论的输出量只考虑了摆杆角度，那么，在我们施加扰动的过程中，小车位置如何变化？
考虑小车位置，得到改进的系统框图如下：
图15 改进的PID 系统控制框图
倒立摆控制系统控制器设计实验报告
成员：陈乾睿 2220150423 郑文 2220150493 学院：自动化 倒立摆控制系统控制器设计实验 一、实验目的和要求 1、目的 （1）通过本设计实验，加强对经典控制方法（LQR控制器、PID控制器）和智能控制方法（神经网络、模糊控制、遗传算法等）在实际控制系统中的应用研究。（2）提高学生有关控制系统控制器的程序设计、仿真和实际运行能力. （3）熟悉MATLAB语言以及在控制系统设计中的应用。 2、要求 （1）完成倒立摆控制系统的开环系统仿真、控制器的设计与仿真以及实际运行结果 （2）认真理解设计内容，独立完成实验报告，实验报告要求：设计题目，设计的具体内容及实验运行结果，实验结果分析、个人收获和不足，参考资料。程序
清单文件。 二、实验内容 倒立摆控制系统是一个典型的非线性系统，其执行机构具有很多非线性，包括：死区、电机和带轮的传动非线性等。 本设计实验的主要内容是设计一个稳定的控制系统，其核心是设计控制器，并在MATLAB/SIMULINK环境下进行仿真实验，并在倒立摆控制实验平台上实际验证。 算法要求：使用LQR以外的其它控制算法。 三、倒立摆系统介绍 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的应用开发前景。 倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：非线性，不确定性，耦合性，开环不稳定性，约束限制。 经过相关论文和文献的查询，我们决定采用模糊控制的方法进行倒立摆的控制。
实用文档 研究生课程实验报告 课程名称：线性系统 实验名称：平面二级倒立摆实验 班级： 12S0441 学号：12S104057 姓名：白俊林 实验时间： 2012 年12 月 21 日 控制科学与工程教学实验中心
1.实验目的 1)熟悉Matlab/Simulink仿真； 2)掌握LQR控制器设计和调节； 3)理解控制理论在实际中的应用。 倒立摆研究的意义是，作为一个实验装置，它形象直观，简单，而且参数和形状易于改变；但它又是一个高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统的被控系统，必须采用十分有效的控制手段才能使之稳定。因此，许多新的控制理论，都通过倒立摆试验对理论加以实物验证，然后在应用到实际工程中去。因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，是验证各种控制算法的一个优秀平台，故通过设计倒立摆的控制器，可以对控制学科中的控制理论有一个学习和实践机会。 2.实验内容 1）建立直线二级倒立摆数学模型 对直线二级倒立摆进行数学建模，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建立模型存在一定的困难，但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。对于直线二级倒立摆，由于其复杂程度，在这里利用拉格朗日方程推导运动学方程。 由于模型的动力学方程中存在三角函数，因此方程是非线性的，通过小角度线性化处理，将动力学非线性方程变成线性方程，便于后续的工作的进行。 2）系统的MATLAB仿真 依据建立的数学模型，通过MATLAB仿真得出系统的开环特性，采取相应的控制策略，设计控制器，再加入到系统的闭环中，验证控制器的作用，并进一步调试。控制系统设计过程中需要分析内容主要包括得出原未加控制器时系统的极点分布，系统的能观
倒立摆实验报告 机自82 组员：李宗泽 李航 刘凯 付荣
倒立摆与自动控制原理实验 一．实验目的: 1.运用经典控制理论控制直线一级倒立摆,包括实际系统模型的建立、根轨迹分析和控制器设计、频率响应分析、PID 控制分析等内容. 2.运用现代控制理论中的线性最优控制LQR 方法实验控制倒立摆 3.学习运用模糊控制理论控制倒立摆系统 4.学习MATLAB工具软件在控制工程中的应用 5.掌握对实际系统进行建模的方法，熟悉利用MATLAB 对系统模型进行仿真，利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计，并对系统进行实际控制实验，对实验结果进行观察和分析，非常直观的感受控制器的控制作用。 二. 实验设备 计算机及等相关软件 固高倒立摆系统的软件 固高一级直线倒立摆系统,包括运动卡和倒立摆实物 倒立摆相关安装工具 三．倒立摆系统介绍 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种
技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。 倒立摆已经由原来的直线一级倒立摆扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等，本次实验采用的是直线一级倒立摆。 倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性: 1) 非线性2) 不确定性3) 耦合性4) 开环不稳定性5) 约束限制 倒立摆控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定并且可以承受一定的干扰，需要给系统设计控制器，本小组采用的控制方法有：PID 控制、双PID 控制、LQR控制、模糊PID控制、纯模糊控制 四．直线一级倒立摆的物理模型： 系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励
目录 一、倒立摆系统介绍 (2) 1.1倒立摆系统简介 (2) 1.2 倒立摆组成及其原理 (2) 1.3 倒立摆特性 (3) 二、一级倒立摆 (3) 2.1一级倒立摆建模 (3) 2.2 一级倒立摆控制方法 (11) 2.2.1 单输入—单输出控制方法 (11) 超前滞后控制方法 2.2.2 单输入—多输出控制方法 (22) 双PID控制方法 2.2.3 多输入—多输出控制方法 (30) 极点配置法 二次线性最优控制法 三、二级倒立摆 (36) 3.1二级倒立摆建模 (36) 3.2 二级倒立摆控制方法 (46) 3.2.1 二次线性最优控制法 (46) 3.2.2 基于融合技术的模糊控制法 (48) 四、总结 (60) 五、参考文献 (63)
一、倒立摆系统介绍 1.1倒立摆系统简介 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 1.2倒立摆组成及其原理 倒立摆的组成包括计算机、运动控制卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘、反馈测量元件等几大部分，组成一个闭环系统。对于直线型倒立摆，可以根据伺服电机自带的码盘反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到；各个摆杆的角度由光电码盘测得并直接反馈到控制卡，速度信号可以通过差分方法得到。计算机从运动控制卡中实时读取数据，确定控制策略（电机的输出力矩），并发送给运动控制卡。运动控制卡经过DSP 内部的控制算法实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。
研究生课程实验报告 课程名称：线性系统 实验名称：平面二级倒立摆实验 班级：12S0441 学号：12S104057 姓名：白俊林 实验时间：2012 年12 月21 日
控制科学与工程教学实验中心
1.实验目的 1)熟悉Matlab/Simulink仿真； 2)掌握LQR控制器设计和调节； 3)理解控制理论在实际中的应用。 倒立摆研究的意义是，作为一个实验装置，它形象直观，简单，而且参数和形状易于改变；但它又是一个高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统的被控系统，必须采用十分有效的控制手段才能使之稳定。因此，许多新的控制理论，都通过倒立摆试验对理论加以实物验证，然后在应用到实际工程中去。因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，是验证各种控制算法的一个优秀平台，故通过设计倒立摆的控制器，可以对控制学科中的控制理论有一个学习和实践机会。 2.实验内容 1）建立直线二级倒立摆数学模型 对直线二级倒立摆进行数学建模，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建立模型存在一定的困难，但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的
动力学方程。对于直线二级倒立摆，由于其复杂程度，在这里利用拉格朗日方程推导运动学方程。 由于模型的动力学方程中存在三角函数，因此方程是非线性的，通过小角度线性化处理，将动力学非线性方程变成线性方程，便于后续的工作的进行。 2）系统的MATLAB仿真 依据建立的数学模型，通过MATLAB仿真得出系统的开环特性，采取相应的控制策略，设计控制器，再加入到系统的闭环中，验证控制器的作用，并进一步调试。控制系统设计过程中需要分析内容主要包括得出原未加控制器时系统的极点分布，系统的能观性，能控性。 3）LQR控制器设计与调节实验 利用线性二次型最优（LQR）调节器MATLAB仿真设计的参数结果对平面二阶倒立摆进行实际控制实验，参数微调得到较好的控制效果，记录实验曲线。 4）改变控制对象的模型参数实验 调整摆杆位置，将摆杆1朝下，摆杆2朝上修改模型参数、起摆条件和控制参数，重复3的内容。 3.实验步骤
摘要：倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台。由于倒立摆系统的控制策略和杂技运动员顶杆平衡表演的技巧有异曲同工之处，极富趣味性，而且许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来，因此在欧美发达国家的高等院校，它已成为必备的控制理论教学实验设备。学习自动控制理论的学生通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，在轻松的实验中对所学课程加深了理解。 本论文在自动控制原理校正的基本思想上，通过采用根轨迹校正法，频域法，分别对倒立摆系统进行校正，使之满足性能要求。 关键词：倒立摆，自动控制，根轨迹，频域法 1、引言 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 法控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定
. I 线性系统实验报告 ： 院系：航天学院 学号： . .
2015年12月
1.实验目的 1)熟悉Matlab/Simulink仿真； 2)掌握LQR控制器设计和调节； 3)理解控制理论在实际中的应用。 倒立摆研究的意义是，作为一个实验装置，它形象直观，简单，而且参数和形状易于改变；但它又是一个高阶次、多变量、非线性、强耦合、不确定的绝对不稳定系统的被控系统，必须采用十分有效的控制手段才能使之稳定。因此，许多新的控制理论，都通过倒立摆试验对理论加以实物验证，然后在应用到实际工程中去。因此，倒立摆成为控制理论中经久不衰的研究课题，是验证各种控制算法的一个优秀平台，故通过设计倒立摆的控制器，可以对控制学科中的控制理论有一个学习和实践机会。 2.实验容 1）建立直线二级倒立摆数学模型 对直线二级倒立摆进行数学建模，并将非线性数学模型在一定条件下化简成线性数学模型。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建立模型存在一定的困难，但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系应用经典力学理论建立系统的动
力学方程。对于直线二级倒立摆，由于其复杂程度，在这里利用拉格朗日方程推导运动学方程。 由于模型的动力学方程中存在三角函数，因此方程是非线性的，通过小角度线性化处理，将动力学非线性方程变成线性方程，便于后续的工作的进行。 2）系统的MATLAB仿真 依据建立的数学模型，通过MATLAB仿真得出系统的开环特性，采取相应的控制策略，设计控制器，再加入到系统的闭环中，验证控制器的作用，并进一步调试。控制系统设计过程中需要分析容主要包括得出原未加控制器时系统的极点分布，系统的能观性，能控性。 3）LQR控制器设计与调节实验 利用线性二次型最优（LQR）调节器MATLAB仿真设计的参数结果对平面二阶倒立摆进行实际控制实验，参数微调得到较好的控制效果，记录实验曲线。 4）改变控制对象的模型参数实验 调整摆杆位置，将摆杆1朝下，摆杆2朝上修改模型参数、起摆条件和控制参数，重复3的容。 3.实验步骤
控制系统综合设计 倒立摆控制系统 院（系、部）： 组长： 组员 班级： 指导教师： 2014年1月2日星期四
目录 摘要----------------------------------------------------------------------------------3 引言----------------------------------------------------------------------------------3 一、整体方案设计--------------------------------------------------------------3 1、需求-----------------------------------------------------------------------------3 2、目标-----------------------------------------------------------------------------3 3、概念设计----------------------------------------------------------------------3 4、整体开发方案设计---------------------------------------------------------3 5、评估----------------------------------------------------------------------------4 二、系统设计--------------------------------------------------------------------4 （一）系统设计-----------------------------------------------------------------4 1、功能分析----------------------------------------------------------------------4 2、设计规范和约束------------------------------------------------------------6 3、详细设计----------------------------------------------------------------------7 （二）机械系统设计-----------------------------------------------------------8 三、理论分析---------------------------------------------------------------------9 1、控制系统建模----------------------------------------------------------------9 2、时域和频域分析------------------------------------------------------------13 3、设计PID或其他控制器---------------------------------------------------21 四、元器件、设备选型--------------------------------------------------------30
*欧阳光明*创编 2021.03.07
I 摆杆惯量0.0034 kg*m*m g 重力加速度9.8 kg.m/s （2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理 基于根轨迹法校正的基本思想是：假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；否则，可在系统中串联一个超前校正装置。 常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。 2. 实验方法 （1）直线倒立摆建模、仿真与分析 利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步骤得到系统的控制器，利用MA TLAB Simulink中的工具进行仿真分析。 （3）直线一级倒立摆根轨迹校正控制 利用MATLAB Simulink来实现根轨迹校正控制参数设定和仿真，并利用该参数来设定只限一级倒立摆的根轨迹校正控制器值，分析和仿真倒立摆的运行情况。 3. 实验装置 直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。 图1 一级倒立摆实验硬件结构图 对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电
第 1 页 目录 摘要............................................................................................... 3 1．一阶倒立摆的概述.. (4) 1.1倒立摆的起源与国内外发展现状................................. 4 1.2倒立摆系统的组成......................................................... 5 1.3倒立摆的分类：............................................................. 5 1.4倒立摆的控制方法：..................................................... 5 1.5本文研究内容及安排..................................................... 6 1.6系统内部各相关参数为：............................................. 6 2．一阶倒立摆数学模型的建立. (7) 2.1概述................................................................................. 7 2.2数学模型的建立............................................................. 8 2.3一阶倒立摆的状态空间模型：....................................11 2.4实际参数代入：........................................................... 12 3．定量、定性分析系统的性能.. (13) 3.1，对系统的稳定性进行分析........................................ 13 3.2 对系统的稳定性进行分析：...................................... 15 4．状态反馈控制器的设计. (16) 4.1反馈控制结构............................................................... 16 4.2单输入极点配置........................................................... 17 4.3利用MATLAB 编写程序 ............................................ 20 5．系统的仿真研究，校验与分析. (22) 5.1使用Matlab 中的SIMULINK 仿真............................ 22 6．设计状态观测器，讨论带有状态观测器的状态反馈系统的
直线一级倒立摆系统实验报告 西北工业大学 ：云虎 探测制导与控制技术 学号：2013300925 1.实验参数介绍
Fg Fs与Fh的合力不计 g 重力加速度9.8m/s 2.根据实验指导书给的受力分析结合newton定律得出动力学方程：分析水平方向的合力有： M=F-f-N （1） 分析摆杆水平方向的受力得； N-Fs=m（x+lsinθ) ps：Fs=0 即 N=m+ml cosθ-ml sinθ（2） 把（2）带入（1）得到： （M+m）+f+ ml cosθ-ml sinθ=F（3） 对垂直方向的合力进行分析得到： -P+mg+Fh=m(l-lcosθ) ps:Fh=0 即 P-mg= ml sinθ+ml cosθ（4） 力矩平衡方程： Plsinθ+Nlcosθ+I=0 （5） 把公式（2）（4）带进（5）得到： （I+m）θ+mglsinθ=-ml（6）
近似化处理得到： (I+m )-mglф=ml (M+m)+f -ml=u 写出状态空间模型： =Ax+Bu y=Cx+Du = =+ф+ u = = +ф+ u 写成矩阵形式，带入参数化简如下： = = u y= = + u 3.MATLAB分析：
>> A=[0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0] A = 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0000 0 0 29.4000 0 >> B=[0;1;0;3] B = 1 3 >> C1=[1 0 0 0] C1 = 1 0 0 0 >> C2=[0 0 1 0] C2 = 0 0 1 0 >> C=[C1;C2] C = 1 0 0 0 0 0 1 0 >> D=[0;0] D =
控制系统课程设计---直线一级倒立摆控制器设计
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计说明书（论文） 课程名称：控制系统设计课程设计 设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 院系： 班级： 设计者： 学号： 指导教师：罗晶周乃馨 设计时间：2013.9.2——2013.9.13
哈尔滨工业大学课程设计任务书 姓名：院（系）：英才学院 专业：班号： 任务起至日期：2013 年9 月 2 日至2013 年9 月13 日 课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为： M小车质量0.5 Kg ；m摆杆质量0.2 Kg ；b小车摩擦系数0.1 N/m/sec ；l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3 m ；I摆杆惯量0.006 kg*m*m ；T采样时间0.005 秒。 设计要求： 1．推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab 进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2．设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒；
（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1 弧度。 3．设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：（1）摆杆角度θ和小车位移x的稳定时间小于3秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）θ的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。 工作量： 1. 建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2. 倒立摆系统的PID控制器设计、MATLAB仿真及 实物调试； 3. 倒立摆系统的极点配置控制器设计、MATLAB仿 真及实物调试。
专业实验报告
（2）直线一级倒立摆根轨迹校正控制原理 基于根轨迹法校正的基本思想是：假设系统的动态性能指标可由靠近虚轴的一对共轭闭环主导极点来表征，因此，可把对系统提出的时域性能指标的要求转化为一对期望闭环主导极点。确定这对闭环主导极点的位置后，首先根据绘制根轨迹的相角条件判断一下它们是否位于校正前系统的根轨迹上。如果这对闭环主导极点正好落在校正前系统的根轨迹上，则无需校正，只需调整系统的根轨迹增益即可；否则，可在系统中串联一个超前校正装置。 常见的校正器有超前校正、滞后校正以及超前滞后校正等。 2. 实验方法 （1）直线倒立摆建模、仿真与分析 利用牛顿-欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型；依照根轨迹设计的步骤得到系统的控制器，利用MATLAB Simulink中的工具进行仿真分析。 （3）直线一级倒立摆根轨迹校正控制 利用MATLAB Simulink来实现根轨迹校正控制参数设定和仿真，并利用该参数来设定只限一级倒立摆的根轨迹校正控制器值，分析和仿真倒立摆的运行情况。 3. 实验装置 直线单级倒立摆控制系统硬件结构框图如图1所示，包括计算机、I/O设备、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成了一个闭环系统。 图1 一级倒立摆实验硬件结构图 对于倒立摆本体而言，可以根据光电码盘的反馈通过换算获得小车的位移，小车的速度信号可以通过差分法得到。摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，速度信号可以通过差分法得到。计算机从I/O设备中实时读取数据，确定控制策略（实际上是电机的输出力矩），并发送给I/O设备，I/O设备产生相应的控制量，交与伺服驱动器处理，然后使电机转动，带动小车运动，保持摆杆平衡。
单级倒立摆实验报告 1. 单级倒立摆系统的建模 单级倒立摆系统的建模可采用受力分析或Lagrange 方程建立得到。这里采用受力分析方法建模。如图所示： 根据牛顿第二定律： (cos )0Mx m x L u θθ++-= (2-1) cos sin 0mLx I mLg θθθ--= (2-2) 以摆杆偏角θ、角速度θ 、小车的位移x 和 小车速度x 为状态变量，即令： () T X x x θθ= (2-3) 同时假设倒立摆摆杆的垂直倾斜角度θ与1 （单位为rad ）相比很小，即1θ 。 则可以近似处理：cos θ≈1，sin 0θ≈，并 忽略高阶小量，则可得： 2222 ()()m L g I x u I m M mML I m M mML θ=+++++ （2-4） 22 ()()()mL m M g mL u I m M mML I m M mML θ θ+=-+++++ （2-5） 摆杆系统的状态方程为： 1222 2122 344122 ()()()()()x x m L g I x x u I m M mML I m M mML x x mL m M g mL x x u I m M mML I m M mML =???=+?++++? =??+=-+?++++? （2-6） 写成向量的形式为： X AX Bu y CX Du ?=+? =+? (2-7) 其中
0100000A 00010 00a b ?? ? ?= ? ? ??, 00c B d ?? ? ?= ? ??? ,10000010C ??= ???,00D ??= ??? （2-8） 参数a 、b 、c 、d 分别为： 222()m L g b I m M mML = ++ （2-9） 2 ()()mL m M g a I m M mML +=- ++ （2-10） 2 ()I c I m M mML = ++ （2-11） 2 ()mL d I m M mML =++ （2-12） 选择摆杆的倾斜角度θ和小车的水平位移x 作为系统的输出，则输出方程为： y CX = (2-13) 根据金棒-2型倒立摆系统实验平台的参数，m=0.2kg ，M=0.6kg ，L=0.158m ，I=0.001654kg.m 2 ，g=10N/kg.同时，这里建模时候使用的ｕ是以力作为输入信号的，实际上采用的是以电压作为输入信号，通过电机作了一定的转化，这里我们约定：先暂时以力作为输入信号，最后再统一处理。则有，a=2.3121，b=-58.5337，c=0.3830，d=7.3167。 因此，010000 2.31210A 00010058.53370?? ? ?= ? ?-??,00.383007.3167B ?? ? ?= ? ??? 2. 全状态反馈设计 2.1. 检验系统可控性 可控性矩阵纯ctrB=105 *0 00.00020.005300.00020.00530.148200.0001-0.00310.09370.0001-0.00310.0937 2.5164-????--? ?????-?? 显然rank(ctrB)=4,系统可控. 2.2. 反馈设计 要求：稳定调节时间3s n t s π ξω= <，摆角5θ< ，(5/90100) 5.56p σ
最优控制实验报告 二零一五年一月
目录 第1章一级倒立摆实验 (3) 1.1 一级倒立摆动力学建模 (3) 1.1.1 一级倒立摆非线性模型建立 (3) 1.1.2 一级倒立摆线性模型建立 (5) 1.2 一级倒立摆t∞状态调节器仿真 (5) 1.3 一级倒立摆t∞状态调节器实验 (9) 1.4 一级倒立摆t∞输出调节器仿真 (11) 1.5 一级倒立摆t∞输出调节器实验 (13) 1.6 一级倒立摆非零给定调节器仿真 (14) 1.7 一级倒立摆非零给定调节器实验 (16) 第2章二级倒立摆实验 (16) 2.1 二级倒立摆动力学模型 (16) 2.1.1 二级倒立摆非线性模型建立 (17) 2.1.2 二级倒立摆线性模型建立 (18) 2.2 二级倒立摆t∞状态调节器仿真 (19) 2.3 二级倒立摆t∞状态调节器实验 (21) 2.4 二级倒立摆t∞输出调节器仿真 (22) 2.5 二级倒立摆t∞输出调节器实验 (22) 2.6 二级倒立摆非零给定调节器仿真 (23) 2.7 二级倒立摆非零给定调节器实验 (24)
第1章一级倒立摆实验 1.1一级倒立摆动力学建模 在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和 匀质杆组成的系统，如图所示 图1-1 直线一级倒立摆模型 M小车质量1.096 kg； m 摆杆质量0.109 kg； b 小车摩擦系数0 .1N/m/sec； l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m； I 摆杆惯量0.0034 kg·m2； φ摆杆与垂直向上方向的夹角，规定角度逆时针方向为正； x 小车运动位移，规定向右为正。 1.1.1一级倒立摆非线性模型建立 采用拉格朗日方法，系统的拉格朗日方程为： ()()() (1.1) =- L q q T q q V q q ,,, 其中，L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的动能，V为系 q和L表示为： 统的势能。拉格朗日方程由广义坐标 i
《线性系统理论》课程——倒立摆实验报告
基本情况 实验完成了基本要求，通过pid、极点配置、根轨迹、和ldr方法调试运行一级倒立摆，设计新的pid参数，调试运行状态，逐渐使一级倒立摆稳定，完成了实验的基本要求。 在对一级倒立摆完成实验的基础上，进一步对二级倒立摆进行了分析研究。这其中的工作主要包括针对LDR方法运行demo，观察系统稳定性，快速性，调整系统参数，查看有什么问题，并且针对问题提出修改意见。在多次试验后，对系统有了进一步的了解，便开始着手二级倒立摆极点配置方法的实现问题。 这部分继续学习了极点配置的方法，通过编写m文件，计算K，仿真运行系统，查看系统图像，查看调节时间，超调量等。逐渐调试参数，使系统指标顺利达到。最后是进行试验，进一步调整系统参数。在这一个过程中，经验很重要，同时偶然因素也起到了重要的作用。所以调试一个系统真的不容易。 这一部分的内容在第六节中进行了较为详细的介绍 收获 对倒立摆的系统原理有了更深层次的了解 掌握了pid、极点配置、根轨迹、ldr方法设计系统 学会了一些调试运行系统的经验 加强了和同学之间的交流，锻炼了软件实现编程能力 改进意见 这里我有一个小小的建议，这是我在做实验的时候遇到了问题总
结。 系统参数含义还不是很清楚。在这个方面尤其是参数对应着系统的具体实际含义不明确，只能在尝试凑参数，有时出现了一个问题，不知道是哪个参数引起的，所以影响了效率，结果也不是很明显。 改进意见：共有四次实验，第一次实验安排不变但是试验后，负责人要收集问题，主要是要老师来解决的，在第二次实验前针对上一次的问题进行集体讲解一下，尤其是与物理的联系，不要仅仅是自己做实验吧，第三次和第一次相同，第四次与第二次相同。在这个完成后，如果课堂有时间，可以进行了一个小小的试验心得介绍，和大家交流心得体会。或者是老师统一解决一下这个总体过程中的问题，我觉得这样结果会更好一点。 下面是具体的详细报告 一、倒立摆系统介绍 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹
哈尔滨工业大学 控制科学与工程系 控制系统设计课程设计报告
姓名：院（系）：英才学院专业：自动化班号： 任务起至日期： 2011 年8 月22 日至 2011 年9 月9 日 课程设计题目：直线一级倒立摆控制器设计 已知技术参数和设计要求： 本课程设计的被控对象采用固高公司的直线一级倒立摆系统GIP-100-L。 系统内部各相关参数为: M小车质量0.5kg; m摆杆质量0.2kg; b小车摩擦系数0.1N/m/sec; l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m; I摆杆惯量0.006kg*m*m; T采样时间0.005秒。 设计要求： 1.推导出系统的传递函数和状态空间方程。用Matlab进行阶跃输入仿真，验证系统的稳定性。 2.设计PID控制器，使得当在小车上施加0.1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为： （1）稳定时间小于5秒； （2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。 3.设计状态空间极点配置控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为： （1）摆杆角度和小车位移x的稳定时间小于3秒 （2）x的上升时间小于1秒 （3）的超调量小于20度（0.35弧度） （4）稳态误差小于2%。
工作量： 1.建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； 2.倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真及实物调试； 3.倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真及实物调试。 工作计划安排： 第3周：（1）建立直线一级倒立摆的线性化数学模型； （2）倒立摆系统的PID控制器设计、Matlab仿真； （3）倒立摆系统的极点配置控制器设计、Matlab仿真。 第4周：实物调试； 撰写课程设计论文。 同组设计者及分工： 各项工作独立完成 指导教师签字 年月日教研室主任意见：
现代控制理论实验报告 ——倒立摆 小组成员： 指导老师： 2013.5
实验一建立一级倒立摆的数学模型一、实验目的 学习建立一级倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。二、实验内容 写出系统传递函数和状态空间方程，用Matlab进行仿真。三、Matlab源程序及程序运行的结果 （1）Matlab源程序见附页 （2）给出系统的传递函数和状态方程 （a）传递函数gs为摆杆的角度： >> gs Transfer function: 2.054 s ----------------------------------- s^3 + 0.07391 s^2 - 29.23 s - 2.013 （b）传递函数gspo为小车的位移传递函数： >> gspo Transfer function: 0.7391 s^2 - 20.13 --------------------------------------- s^4 + 0.07391 s^3 - 29.23 s^2 - 2.013 s （c）状态矩阵A,B,C,D： >> sys a = x1 x2 x3 x4 x1 0 1 0 0 x2 0 -0.07391 0.7175 0 x3 0 0 0 1 x4 0 -0.2054 29.23 0 b = u1 x1 0 x2 0.7391 x3 0 x4 2.054 c = x1 x2 x3 x4 y1 1 0 0 0 y2 0 0 1 0 d = u1
y1 0 y2 0 Continuous-time model. （3）给出传递函数极点和系统状态矩阵A的特征值（a）传递函数gs的极点 >> P P = 5.4042 -5.4093 -0.0689 （b）传递函数gspo的极点 >> Po Po = 5.4042 -5.4093 -0.0689 （c）状态矩阵A的特征值 >> E E = -0.0689 5.4042 -5.4093 （4）给出系统开环脉冲响应和阶跃响应的曲线（a）开环脉冲响应曲线
摘要 倒立摆系统作为一个具有绝对不稳定、高阶次、多变量、强祸合 的典型的非线性系统，是检验新的控制理论和方法的理想模型，所以 本文选择倒立摆系统作为研究对象具有重要的理论意义和应用价值。 相对于其他研究倒立摆系统的控制方法，Backstepping方法最大的优点是不必对’系统进行线性化，可以直接对系统进行递推性的控制器设计，保留了被控对象中有用的非线性项，使得控制设计更接近实际情况，而且所设计的控制器具有很强的鲁棒性。 本文主要利用Backstepping方法设计了直线型一级倒立摆系统控制器并基于/ MATLAB Simulink对系统进行了离线仿真。本文所作的主要工作或要达到的主要目的是: (一)建立直线型一级倒立摆系统的数学模型，并利用Backstepping方法设计了该倒立摆系统的控制器，然后对闭环系统进行了数值仿真并与其他方法进行了数值仿真分析比较。与当前的倒立摆研究成果相比，具有研究方法新颖、控制效果好的特点。 (二)本文利用所设计的非线性控制器在/ MATLAB Simulink环境下对系统进行了离线仿真分析，并与固高公司提供的算法进行了仿真效果比较。 关键词:倒立摆系统，Backstepping, / MATLAB Simulink，实时控制
目录 1.倒立摆系统的简介 (1) 1.1倒立摆系统的研究背景 (1) 1.2倒立摆系统的研究历史、现状及发展趋势 (2) 1.3倒立摆的主要控制方法 (4) 2.一级倒立摆数学模型 (6) 2.1一级倒立摆系统的组成 (6) 2.2一级倒立摆系统数学模型的建立 (7) 3.系统控制器的设计和闭环系统的数值仿真 (9) 4.直线型一级倒立摆系统的Simulink模型和离线仿真 (12) 4.1基于线性控制器对线性系统的离线仿真 (12) 4.2基于线性控制器对非线性系统的离线仿真 (15) 4.3基于非线性控制器对非线性系统的离线仿真 (16) 5.模型的优点 (18) 6.结论和展望 (19) 7.参考文献 (20)