2011年最新高考+最新模拟——平面向量
1. 【2010?全国卷2理数】ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若C B a =u r ，CA b =uu r
，
1a =，2b =，则CD =u u u r
（ ）
A.1233a b +
B.2133a b +
C.3455a b +
D.4355
a b + 【答案】B
【解析】因为CD 平分ACB ∠，由角平分线定理得
AD
CA 2
=
DB
CB
1
=
，所以D 为AB 的三等
分点，且22AD AB (CB CA)33==- ，所以
2121CD CA+AD CB CA a b
3333==+=+ ，故选B.
2. 【2010?辽宁文数】平面上,,O A B 三点不共线，设,OA a OB b ==
,则OAB ?的面积等
于（ ）
【答案】C 【解析】
111||||sin ,|||||||222OAB
S a b a b a b a b ?=<>=
=
3.【2010?辽宁理数】平面上O,A,B 三点不共线，设,OA =a OB b =，则△OAB 的面积等于
【答案】C
【解析】三角形的面积S=
1
2
|a||b|sin
=
11
||||||||sin ,22
a b a b a b =<>
4.【2010?全国卷2文数】△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB = a , CA
=
b , a = 1 ，b = 2, 则CD
=（ ）
A.
13a + 23b B.23a +13b C.35a +45b D.45a +35
b 【答案】B
【解析】∵ CD 为角平分线，∴ 1
2BD BC AD AC ==
，∵ AB CB CA a b =-=- ， ∴ 222333AD AB a b ==- ，∴
22213333CD CA AD b a b a b
=+=+-=+
（
5.【2010?安徽文数】设向量(1,0)a =,11(,)22
b =,则下列结论中正确的是( )
A.a b =
B.a b =
C.//a b
D.a b -与b 垂直 【答案】D
【解析】1
1(,)22
--a b =，()0a b b -=
，所以-a b 与b 垂直. 6. 【2010?重庆文数】若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =
，则实数m 的值为 A.32-
B.32
C.2
D.6 【答案】D
【解析】60a b m =-=
，所以m =6
7. 【2010?重庆理数】已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b ?===，则2a b -= A. 0 B.
C. 4
D. 8 【答案】B 【解析】2a b -=
22844)2(222==+?-=-b b a a b a
8.【2010?山东文数】定义平面向量之间的一种运算“ ”如下：对任意的(,)a m n =，
(,)b p q =，令a b mq np =- ，下面说法错误的是
A.若a 与b 共线，则0a b =
B.a b b a =
C.对任意的R λ∈，有()()a b a b λλ=
D.2222()()||||a b a b a b +?=
【答案】B
9. 【2010?四川理数】设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，
2
16,B C A B A C A B A C =∣+∣=∣-∣, 则AM ∣∣= （ ）
A.8
B.4
C. 2
D.1
【答案】C
【解析】由2
BC ＝16，得|BC |＝4
AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=|| ＝4
而AB AC AM ∣+∣=2∣∣ 故AM ∣∣= 2
10. 【2010?天津文数】 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，BC = BD ，1AD =
，则AC AD ?
=（ ）
A.【答案】D
【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题。
||||cos ||cos ||sin AC AD AC AD DAC AC DAC AC BAC ?=?=?=
∠∠∠
sin B BC ==
11. 【2010?全国卷1文数】已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切
点，那么PA PB ?
的最小值为（ ）
A .4-
3-
4-+
3-+【答案】D
【解析】法一：如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，
，sin α=
||||cos2PA PB PA PB α
?=?
=
22(12sin )
x α-=
222(1)1x x x -+=4221
x x x -+，令PA PB y ?= ，则42
21x x y x -=+，
即42(1)0x y x y -+-=，由2
x 是实数，所以
2[(1)]41()0y y ?=-+-??-≥，2610y y ++≥
，解得3y ≤--
或3y ≥-+.
故min ()3PA PB ?=-+
此时x =
法二：设,0APB θθπ∠=<<，()()2
cos 1/tan cos 2PA PB PA PB θθθ?
??== ??
? 222
2221sin 12sin cos 22212sin 2sin sin 22
θθθ
θθθ????-- ?????????=?-=
???换元：2s i n ,01
2x x θ=<≤，()(
)1121233
x x PA PB x x x
--?==+-≥ 法三：建系：园的方程为22
1x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，
()()2211101110110,,001AO PA x y x x y x x x y x x ⊥??-=?-+=?=
(
)222222221100110110221233PA PB x x x x y x x x x x ?=-+-=-+--=+-≥
12. 【2010?四川文数】设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC = ，
()()22
210110111001,,2PA PB x x y x x y x x x x y ?=-?--=-+-
AB AC AB AC +=- ，则AM
=（ ）
A.8
B.4
C.2
D.1 【答案】C
【解析】由2
BC ＝16，得|BC |＝4
AB AC AB AC BC ∣+∣=∣-∣=|| ＝4 而AB AC AM ∣+∣=2∣∣ 故AM ∣∣= 2
13. 【2010?湖北文数】已知ABC ?和点M 满足0MA MB MC ++=
.若存在实m 使得AM AC mAM +=
成立，则m =（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5
14. 【2010?山东理数】定义平面向量之间的一种运算“ ”如下，对任意的a=(m,n)
，b p,q)= （，令a b=mq-np ，下面说法错误的是（ ）
A.若a 与b 共线，则a b=0
B.a b=b a
C.对任意的R λ∈，有a)b=(λλ （a b)
D. 2222
(a b)+(ab)=|a||b|
【答案】B
【解析】若a 与b 共线，则有a b=mq-np=0 ，故A 正确；因为b a pn-qm =
，而
a b=mq-np
，所以有a b b a ≠ ，故选项B 错误，故选B 。
【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。
15. 【2010?湖南理数】在Rt ABC ?中，C ∠=90°AC=4，则AB AC ?uu u r uu u r
等于（ ）
A.-16
B.-8
C.8
D.16
16.【2010·抚顺市一模】已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA OB OC ++=0
，则
下列结论正确的是 （ ）
A ．1233OA A
B B
C =+ B ．2133OA AB BC =+
C ．1233OA AB BC =--
D ．2133
OA AB BC =--
【答案】D
【解析】依题意，由OA OB OC ++=0 得OA AB AC =--3 ，所以1233
OA AB BC =--
，
选择D
17.【2010·河北隆尧一中二月考】已知向量,,a b c
都不平行，且1230a b c λλλ++= ，123(,,)R λλλ∈, 则（ ）
A.
123,,λλλ一定全为0 , B. 123,,λλλ中至少有一个为0 ,
C.123,,λλλ全不为0,
D.123,,λλλ的值只有一组
【答案】C
【解析】在ABC ?中，设,,AB a BC b CA c === ，则,,a b c
都不平行，且0a b c ++= ，
排除A ，B 。且有2220a b c ++=
，排除D ，所以选C
18.【2010·北京市东城区二模】对于非零向量,a b ，“20+=a b ”是“//a b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】“20+=a b ”?“//a b ”，但“//a b ”?“20+=a b ”，所以“20+=a b ”是
“//a b ”的充分不必要条件；
19.【2010·武汉市四月调研】飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km 到达乙地，再从乙
地以南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地，那么丙地距甲地距离为（ ）
A ．1400km B
． C
． D
．【答案】A
【解析】依题意，作出示意图（如图）设A ，B ，C 分别对应甲、乙、丙三地，易知A 、B 、C 三点构成正三角形，所以丙地距甲地距离为1400km ，选择A
20.【2010·衡水中学高三第一次模拟考试】设向量→a =（1, x-1），→b =（x +1,3），则“x =2”
是“→a //→b ”的
（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】依题意，→a //→b ?3-（x-1）(x+1)=0?x=±2,所以“x =2”是“→a //→b ”的充分但不必要条件；
21.【2010·北京海淀区一摸】在四边形ABCD 中，AB DC = ，且0A C B D ?=
，则四边形ABCD
（ ）
A ．矩形
B ．菱形
C ．直角梯形
D ．等腰梯形 【答案】B
【解析】∵AB DC = 即一组对边平行且相等，0AC BD ?=
即对角线互相垂直；∴该四边形ABCD 为菱形．选择B 。
22.【2010·崇文区二模】若非零向量,a b 满足||||+=a b b ，则( ) A. |2||2|>+a a b B ..|2||2|<+a a b C |2||2|>+b a b D.|2||2|<+b a b 【答案】C
【解析】因为||||+=a b b ，所以(2)0a a b ?+= ，即(2)a a b ⊥+ ，因此|a |、|2a b + |、|2b |构成直角三角形的三边，|2b
|为斜边，所以|2||2|>+b a b ，选择C
23.【2010·淄博市二模】设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于（ ） A
B
C
D
【答案】A
【解析】a b ∥，则2(2)104y y ?--?=?=-，从而3(1,2)+=a b ，|3|+a b
24.【2010·重庆市四月考】已知()()2,1,1,3,a b ==-- 且()
,a b b λ+⊥ 则λ=（ ）
A.
12 B. 2 C. 2- D. 1
2
- 【答案】A
【解析】由题意的：()
25100a b b a b b λλλ+?=?+=-+= ，解得12
λ=。
25.【2010·石家庄市教学质量检测（二）】已知向量a =（cos θ，sin θ），b
=（cos φ，sin φ），
若(θ-φ)=3π
，则向量a 与向量a +b 的夹角是
（ ）
A ．3π
B ．6
π C ．65π
D ．
3
2π
【答案】B
【解析】设向量a 与向量a +b 的夹角为α，则cosα=cos(θ-φ)=cos 3π,α=3
π
,选择B
26.【2010·茂名市二模】如右图，在ABC ?中，
04,30A B B C A B C ==∠=，AD 是边BC′上的高，则
AD AC ?
的值等于 （ ）
A ．0
B ．4
C ．8
D ．-4
【答案】B
【解析】因为0
4,30AB BC ABC ==∠=，AD 是边BC 上的高
,
AD=2
BD =所以
1(
)242
A D A
C
A D A B
?
=
?
+=
?
,选择B
27.【2010·北京海淀区二模】已知a =(1,0)，b =(,1)x
，若a b ?=
x 的值为（ ）
A.
B.
C. 1
D. 【答案】D
【解析】依题意，a b ?=
D
第3题
28.【2010·宁波市二模】若两个非零向量,a b
满足2a b a b a +=-= ，则向量a b + 与a b
- 的夹角是（ ） （A ）
6π （B ）3
π （C ）23π （D ）56π
【答案】C
【
解
析
】
依
题
意
，
由
||||2||
a b a b a +=-= 得
a b
⊥ ，
223b a = ,cos=22
12||||
a b a b a b -=-+- ,所以向量a b + 与a b - 的夹角是
23π
，选择C ；
29．【2010?重庆八中第二次月考】把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有的点向左平行移动
3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A ．sin()23
x y π
=+
，x ∈R B ．sin 26x y x π??
=+∈
???R ，
C ．sin 23y x x π??
=+
∈ ???
R ， D ．sin 23y x x 2π??
=+
∈ ??
?
R ， 【答案】C
【解析】根据三角函数图像平移规律知得到的图象所表示的函数是
sin 23y x x π?
?=+∈ ??
?R ，，选择C
30．【2010·抚州市四月质检】若将函数()y f x =的图像按向量
,13a π??
= ?
?? ,平移得到sin(2)
6y x π
=-的图像,则()f x 的解析式为
.A sin 21x - .B cos 21x + .C cos 21x - .D sin 21x +
【答案】C
【解析】依题意，函数sin(2)6y x π
=-按向量(,1)3
a π=-- 平移得到f(x)= cos 21x -,选择
C ；
31．【2010·河北隆尧一中三月月考】在△ABC 所在平面上有三点P 、Q 、R ，满足
=++，=++，=++，则△PQR 的面
积与△ABC 的面积之比为 ( )
A ．1:2 B. 1:3 C ．1:4 D ． 1:5 【答案】B
【解析】由PA PB PC AB ++= ,PA PC AB PB +=- ,即PA PC AB BP +=+
， PA PC AP += ,∴2PC AP =
,P 为线段AC 的一个三等分点，
同理可得Q 、R 的位置，△PQR 的面积为△ABC 的面积减去三个小三角形面积，∴面积比为1：3．
32．【2010·河北隆尧一中四月模拟】设P 为ABC ?内一点，且3145
AP AB AC =+
，则ABP
?的面积与ABC ?面积之比为 （ ）
A. 14
B. 34
C. 15
D. 45
【答案】C
【解析】如图，过P 作PM ∥AC ，PN ∥AB ，因为3145
AP AB AC =+
，所以N
为AC 靠近A 的五等分点，所以连接CP 并延长，交AB 于D ，则4CP PD =
，
故5CD PD = ，则ABP ?的面积与ABC ?面积之比为15
。
33．【2010?襄樊五中5月调研】若y=sin(-12x-π6) 的图像按照向量a
平移后得到y=sin(-1
2
x) 的图
象，则a
可以是（ ）
A ．(－π
3
，0)
B ．(π
3
，0)
C ．(－π
6
，0)
D ．(π
6
，0)
【答案】B
【解析】依题意，y=sin(-12x-π6) =sin[-12(x+π3)],所以a
=(π
3，0)，选择B;
34．【2010?绵阳南山中学热身考试】将函数sin (0)y x ωω=>的图象按
向量,06a π??
=- ???
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象
所对应函数的解析式是 （ ）
A ．sin()6y x π
=+
B ．sin(6
y x π
=-
C ．sin(2)3y x π
=+
D ．sin(2)3
y x π
=- 【答案】C
【解析】依题意，将x=7π
12 代入检验易知C 正确；
35．【2010·四川省绵阳市三诊】把圆C ：2
1
22=
+y x 按向量a =(h ，-1)平移后得圆C 1，若圆C 1在不等式x +y +1≥0所确定的平面区域内，则h 的最小值为 （A ）1
（B ）-1
（C ）
3
3
（D ）3
3-
【答案】A
【解析】圆C ：2122=
+y x 按向量a =(h ，-1)平移后得圆C 122
1()(1)2
x h y -++=，若圆C 1在不等式x +y +1≥0
2≥且0h >，所以h≥1,选择A ； 36．【2010·南宁市二模】在ABC ?中，若2sin sin cos(
)A B B A <-, 则ABC ?的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
【答案】B
【解析】依题意，sinAsinB 2 ,ABC ?的形状是钝角三 角形,选择B ； 37．【2010·深圳市第二次调研】在△ABC 中， 若sin :sin :sin 4A B C =则ABC ?是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 【答案】C 【解析】依题意，由正弦定理得 a:b:c=3:4:30 ，令a= 3 ，则最大角为C ， 0<,所以ABC ?是钝角三角形，选择C 38．【2010·抚顺市一模】在ABC ?中，A ∠，B ∠，C ∠所对的边分别为a ，b ，c ，若 12A B ∠∠=∶∶ ，且1a b =∶ ，则cos 2B 的值是 （ ） A ．12- B ．12 C ． D 【答案】A 【解析】依题意，因为1a b =∶ ，所以sinA:sinB=1: 3 ,又12A B ∠∠=∶∶，则cosA= 32 ,所以A=300，B=600, cos2B= - 1 2 ,选择A 39．【2010·北京宣武区一模】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC △的面积，若2221 cos cos sin ,()4 a B b A c C S b c a +==+-，则B ∠=（ ） A ．90? B ．60? C ．45? D ．30? 【答案】C 【解析】由余弦定理可知cos cos a B b A c +=，于是s i n 1C =，π 2 C = ．从而22222111 ()()244S ab b c a b b ==+-=+，解得a b =，因此45B ∠=?．选择C 40．【2010·四川省绵阳市三诊】已知向量a 、b 不共线，若向量a +λb 与b +λa 的方向相反，则λ=（ ） A 1 B 0 C -1 D ±1 【答案】C 【解析】逐个代入检验知，C 正确。 41．【2010·北京顺义区二模】已知向量(3cos ,2)a α=r ，(3,4sin )b α=r ，且a b r r P ，则锐角 α等于（ ） A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 512 π 【答案】B 【解析】依题意，12cosαsinα-6=0,sin2α=1, α为锐角，所以α=4 π ； 42．【2010?河北隆尧一中二月考】已知等差数列}{n a 的前项和为n S ，若 1200O C a O A a O B =+ ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点），则=200S （ ） A.100 B.101 C.200 D.201 【答案】A 【解析】依题意，12001a a +=，1200200200() 1002 a a S += =，选择A 43．【2010?郑州市三模】已知向量a ＝（3，4），b ＝（2，－1），如果向量a ＋kb 与b 垂直，则实数k 的值为( ) A ．233 B ．323 C ．2 D ．－25 【答案】Ｄ 【解析】依题意，a ＋kb=(3+2k,4-k), 向量a ＋kb 与b 垂直，所以6+4k-4+k=0，k= -2 5 ,选择D; 44．【2010?抚顺市一模】已知A 、B 、C 三点不共线，且点O 满足OA OB OC ++=0 ， 则下列 结 论 正 确 的 是 （ ） A ．1233OA A B B C =+ B ．2133OA AB BC =+ C ．1233OA AB BC =-- D ．2133 OA AB BC =-- 【答案】D 【解析】依题意，由OA OB OC ++=0 得OA AB AC =--3 ,2OA AB BC =--3 ,则 2133 OA AB BC =-- ，选择D 45．【2010?郑州市第二次质检】函数y ＝tan （ 4πx －2 π ）的部分图像如图所示，则（OB －OA ）·OB ＝ （ ） A ．－4 B ．2 C ．－2 D ．4 【答案】D 【解析】依题意，由图知，A （2,0），B （3,1），（OB －OA ）·OB ＝4； 46．【2010?重庆八中第二次月考】已知向量 )3,2(=→ a ，)2,1(-=→ b ，若→ →+b n a m 与 → → -b a 2共线，则 n m 等于（ ） A ．21- B ．2 1 C ．2- D ．2 【答案】A 【解析】依题意， →→+b n a m =（2m-n,3m+2n ）, →→ -b a 2=(4,-1), 若→ →+b n a m 与 → → -b a 2共线，则4(3m+2n)+( 2m-n)=0,所以 n m =21-，选择A ； 47. 【2010?上海文数】在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标 为，1(2,1)e = 、2(2,1)e =- 分别是两条渐近线的方向向量。 任取双曲线Γ上的点P ， 若12OP ae be =+ （a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 。 【答案】4ab =1 【解析】因为1(2,1)e = 、2(2,1)e =- 是渐进线方向向量，所以双曲线渐近线方程为 x y 21±=，又1,2,5==∴=b a c 双曲线方程为1422=-y x ，12OP ae be =+ =),22(b a b a -+， 1 )(4)22(22 =--+∴b a b a ，化简得4ab =1 48. 【2010?陕西文数】已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2）若（a ＋b ） ∥c ，则m ＝ . 【答案】-1 【解析】0)1()1(21//)(),1,1(=-?--?+-=+m c b a m b a 得由，所以m=-1。 49. 【2010?江西理数】已知向量a ，b 满足1a = ，2b = ， a 与b 的 夹角为60°，则a b -= 【答案】【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式，以及向量三角形法则、余弦 定理等知识，如图,,a OA b OB a b OA OB BA ==-=-= ，由余弦定理 得：a b -= 50.【2010?浙江文数】在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，P 、Q 、M 、N 分别是线段OA 、OB 、OC 、OD 的中点，在APMC 中任取一点记为E ，在B 、Q 、N 、D 中任取 一点记为F ，设G 为满足向量OG OE OF =+ 的点，则在上述的点G 组成的集合中的点， 落在平行四边形ABCD 外（不含边界）的概率为 。 【答案】 3 4 51. 【2010?广东理数】若向量a r =（1,1,x ）, b r =(1,2,1), c r =(1,1,1),满足条件()(2)c a b -?r r r =-2, 则x = . 【答案】2 【解析】(0,0,1) c a x -=- ，()(2)2(0,0,1)(1,2,1)2(1)2c a b x x -?=-?=-=- ，解得 2x =． 52.【2010·北京东城区一摸·理科题11】在平行四边形ABCD 中，若(1,3)AB = ，(2,5)AC = ，则AD = ，BD = ． 【答案】(1,2) (0,1)- 【解析】(1,2)AD BC AC AB ==-= ，(0,1)BD AD AB =-=- ． 53.【2010·北京丰台区一模】已知向量(),a x y = ，()1,2b =- ，()1,3a b += 且，则|2|a b - 等于 ． 【答案】5 【解析】()1,2a b x y +=-+ ，∴2,1x y ==，|2|a b - ()|2,4|x y =+-= 5= =． 54.【2010?黄冈中学5月第一模拟考试】已知向量(2,3)=a ，(2,1)=-b ，则a 在b 方向上 的投影等于 ． 【答案】 【解析】a 在b 方向上的投影为cos ,5 ===- a b a b a a b a a b b ． 55.【2010·重庆市四月考】已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，且|a ＋b ||a －b |，则向量a 与b 的夹角是 . 【答案】60° 【解析】由已知，(a ＋b )2＝3(a －b )2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝3(a 2－2a ·b ＋b 2).因为|a |＝|b |＝1，则a 2＝b 2＝1，所以2＋2a ·b ＝3(2－2a ·b )，即a ·b ＝ 1 2 .设向量a 与b 的夹角为θ，则|a |·|b |cosθ＝12，即cosθ＝1 2 ，故θ＝60°. 56.【2010·重庆市四月考】若向量a 与b 的夹角为120° ，且1= a ，2b = ，c a b =+ ， 则c = ___________． 【 解析】因为c = === 。 57. 【2010·北京西城区一摸】已知||2a = ，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -= ． 【解析】依题意222(2)44cos6013a b a a b b -=-??+= ，|2|a b -= 58.【2010·北京崇文区一模】关于平面向量有下列四个命题：①若?=?a b a c ，则=b c ； ②已知(,3),(2,6)k ==-a b ．若a b ∥，则1k =-；③非零向量a 和b ，满足||=|a |=|b |a -b ， 则a 与a +b 的夹角为30 ；④()()0|||||||| +?-=a b a b a b a b ．其中正确的命题为___________．（写出所有正确命题的序号） 【答案】②③④ 【解析】①中()0?=???-=a b a c a b c ．当0=a 时也成立；②中若a b ∥，则有 2136 k k -=?=-；③中易知,a b 夹角60 ，a 与a +b 的夹角为30 ；④中()()||||||||+?-a b a b a b a b ()()||||||||=+?-a b a b a b a b 2 2 |||| =- a b a b ||||+?a b a b ||||-?a b a b 0=． 59．【2010·北京东城区一摸】海上有A 、B 、C 三个小岛，测得A 、B 两岛相距10n mile ， 60,75BAC ABC ∠=?∠=?，则B 、C 间的距离是 n mile ． 【答案】 【解析】由正弦定理知sin 60sin(1806075) BC AB =??-?-?，解得BC =． 60．【2010·北京西城区一摸·文科题13】在ABC ?中，C 为钝角，32AB BC =，1 sin 3 A =，则角C = ，sin B = ． 【答案】150° 【解析】由正弦定理知 sin 31 sin sin 22 AB C C BC A ==?=，又C 为钝角，故150C =?； 11sin sin()sin cos cos sin 32B A C A C A C ?=+=+=?= ?? ． 61． 【2010上海市长宁区二模理科】在ABC ?中，0 60=∠A ，,5=AB 且35=?S ， 则BC 的长为._______ 【答案】21 【解析】依题意，12 AB×AC×sinA=5 3 ,060=∠A ，,5=AB 所以AC=4，由余弦定理得， BC =21。 62．【2010·河北隆尧一中五月模拟】（理）若向量(2sin ,1)a α= ，2 (2sin ,cos )b m αα=+ ()R α∈，且//a b 则m 的最小值为 _______。 【答案】12-- 【解析】因 2(2sin ,1),(2sin ,cos ),(),//a b m R a b αααα==+∈且，得 22sin cos 2sin m ααα=+，得22sin 2sin cos m ααα=-+ cos 2sin 21)14 π ααα=+-=+-，m 的最小值为12--。 63.【2010?江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。 (1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(OC t AB -)·OC =0，求t 的值。 【解析】本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。 解：（1）方法一：由题设知(3,5),(1,1)AB AC ==- ，则 (2,6),(4,4).AB AC AB AC +=-= 所以|||AB AC AB AC +=-= 故所求的两条对角线的长分别为。 方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D ，两条对角线的交点为E ，则: E 为B 、C 的中点，E （0，1） 又E （0，1）为A 、D 的中点，所以D （1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=AD=； （2）由题设知：OC =(－2,－1)，(32,5)AB tOC t t -=++ 。 由(t -)·=0，得：(32,5)(2,1)0t t ++?--=， 从而511,t =-所以115 t =- 。 或者：2· AB OC tOC = ，(3,5),AB = 2115 || AB OC t OC ?==- 64.【2010·重庆市南开中学考前第一次模拟】已知A B C 、、为ABC ?的三内角，且其对边 分别为,a b c 、、若(2cos ,tan ),2A m A = (cos ,cot ),2A n A =- 且1. 2m n ?= (Ⅰ)求角;A (Ⅱ)若4,b c +=ABC ? 求.a 解：(Ⅰ)由1,2m n ?= 得2112cos 1cos ,222A A -+=?=- 所以120A = ； (Ⅱ) 由11sin sin12022 ABC S bc A bc ?=== 得4,bc = 2222222cos ()12,a b c bc A b c bc b c bc =+-=++=+-= 所以a = 65．【2010·陕西省西工大附中第七次适应性训练】如图， 为了计算某湖岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上A 和D 两个测量点，现测得AD CD ⊥，AD=10km,AB=14km, 60BDA ∠= , 135BCD ∠= ，求两景点B 与C 之间的距离（假设A 、B 、C 、D 在同一平面内， 测量结果精确到0.1km, 2.236=== ） 解：在△ABD 中，设BD=x ，则222 2cos BA BD AD BD AD BDA =+-∠ 即222141020cos60x x =+- ，整理得210960x x --=，解之，得1 216,6x x ==-（舍去） ,由正弦定理，得sin sin BC BD CDB BCD = ∠∠， 所以 16 sin 3011.3sin135BC = ?=≈ （km ） 66．【2010·云南省昆明三中第七次月考】在ABC ?中，c b a ,,分别是C B A ∠∠∠,,的对边长，已知A A cos 3sin 2=. （I ）若mbc b c a -=-2 2 2 ,求实数m 的值; （II ）若3=a ,求ABC ?面积的最大值. 解：（I ）由 A A c o s 3s i n 2=两边平方得:A A cos 3sin 22=，即 0)2)(cos 1cos 2(=+-A A ，解得: 2 1cos = A ，而m b c b c a -=-2 22可以变形为22222m bc a c b =-+， 即212cos == m A ，所以1m = ； （II ）由（Ⅰ）知 21cos =A ，则2 3 s i n =A ，又 212222=-+bc a c b ，所以 22222a bc a c b bc -≥-+=，即2 a bc ≤，故2sin 22ABC bc a S A ?=≤= 67．【2010·北京宣武区二模】如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30 ，相距10海里C 处的乙船. （Ⅰ）求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离； （Ⅱ）设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与成θ角， 求()x x x f cos cos sin sin 2 2 θ+θ= (x ∈R )的值域. 解：（Ⅰ）连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10COS120°=700.∴BC=107. （Ⅱ）∵ 7 10120sin 20sin ?=θ， ∴sin θ =73 ，∵θ是锐角，∴74cos =θ ()x x x f cos cos sin sin 22θ+θ==()?+=+x x x sin 7 5 cos 74sin 73，∴()x f 的值 域为?? ? ???- 75,75. 68．【2010·河南省示范性高中五校联谊模拟】向量s i n ,c o s )2 2 x x a = ，(cos ,cos )22x x b = ，记()f x a b = ，当,64x ππ??-????∈时， 试求'()()f x f x +的值域. 解：21 ()cos cos sin()22262 x x x f x a b x π==+=++ 151 ()()sin()cos())626122 f x f x x x x πππ∴+=++++=++' 又,64x ππ?? ∈- ???? ∴524123x πππ+≤≤ ∴5sin()1212x π+≤ ∴()()f x f x +'的值域为312 2?????? 69．【2010·陕西省西工大附中第四次适应性训练】已知,,A B C 是ABC ?的三个内角，向量 (m =- (cos ,sin )n A A = ，且1m n ?= . （1）求角A ； （2）若22 1sin2cos sin 3 B B B +-=-，求tan C . 解：（1）因为1m n ?= 1623cos 1sin()A A A A ππ?-=?-=?=，所以60A = ； （2） 221sin2cos sin 3 B B B +-=-? 2 22(sin cos )cos sin 3B B B B +-=-? sin cos cos sin 3B B B B +-=-， tan 1 1tan 3tan 2B B B +-?=-?= tan tan()tan(60)C A B B =-+=-+= tan C = 70．【2010·重庆市西南师大附中5月模拟】已知函数2 1()sin cos 2g x x x x = --的图象按向量1()42m π=- ，平移得到函数2()cos ()3 f x a x b π =++的图象． （1）求实数a 、b 的值； （2）设函数()()()[0]2x g x x x π ?=∈，，，求函数()x ?的单调递增区间和最值． 解：(1) 依题意按向量0平移()g x 得f (x )－12＝12sin ［2(x ＋4π)＋23π］ 得f (x )＝－12 sin(2x ＋6π)＋12 ，又f (x )＝acos 2 (x ＋3π)＋b ＝－2a sin(2x ＋6π)＋2a ＋b ，比较得a ＝1，b ＝0 ； (2)?(x )＝g (x )－3f (x )＝12sin(2x ＋23π)cos(2x ＋23π)＝sin(2x ＋3π)， ∴?(x )的单调增区间为[0,]6 π ， 值域为[ 5．平面向量（含解析） 一、选择题 【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A ．(-7,-4) B ．(7,4) C ．(-1,4) D ．(1,4) 【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( ) A ． B ． 21 C ．2 1 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-，(),1b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ． 【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 【2012，15】15．已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4．平面向量 一、选择题 （2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ） A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b （2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 （2014·4）设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a ，则=?b a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 二、填空题 （2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. （2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?=uu u r uu u r _______. （2012·15）已知向量a ，b 夹角为45o，且|a |=1，|2-a b |b |= . （2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = . 三年高考真题分类汇编 平面向量 五年高考真题分类汇编 平面向量 1．（19全国1文理）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 2．（19全国2理）已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ?u u u r u u u r =（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 3．（19全国2文）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（ ） A B ．2 C ． D ．50 4．（19全国3理）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0 ，若2=c a ，则cos ,<>=a c 23 5．（19全国3文）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>= a b 6.（19天津文理）在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥， 点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ?=u u u r u u u r 1- 7．（18浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3 ，向量b 满足b 2?4e ·b +3=0，则|a ?b |的最小值是（ ） A 1 B C ．2 D ．2 8．（18天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o , 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ） （A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）0 9．（18天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则?uu u r uur AE BE 的最小值为 （ ） 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时 平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量） 平面向量高考试题精选(含详细答案) 平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则 的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC 的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D． 14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2 C．3 D．4 二．选择题（共8小题） 15．（2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于． 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x 平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0 一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=? 高考数学平面向量的概念与运算 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ．31 44AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“ 33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ， 1?=-a b ，则(2)?-=a a b ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】 4．(2017北京)设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0? 2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r 平面向量高考经典试题 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与 b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与 b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______； 答案：3 2 ； 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．1 3 - D ．2 3 - 9（全国2文9）把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x + B ．e 2x - C ．2 e x - D ．2 e x + 10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是 A 若 ，则a ＝0或b ＝0 B 若 ，则λ＝0或a ＝0 C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若 ，则b ＝c 13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条 高三数学复习专题平面向量 一、考点透视 本章考试内容及要求： 平面向量的有关概念B级 平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）C级 平面向量的数量积C级（老教材为D级） 向量的坐标表示C级 向量运算的坐标表示C级 平行向量及垂直向量的坐标关系C级 向量的度量计算C级 注： B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。 C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。 二、复习要求 1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念； 2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式； 3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式； 4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。 概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。 三、复习建议 向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。 向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。 2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（） A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________. 15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值． 高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7） 历年平面向量高考试 题汇集 高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 向量 一.知识清单 向量有关概念 1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素 2.向量： 叫做向量 ３．向量的长度(或模）： 就是此向量的长度 ４.向量的表示： 表示向量，如AB a 或 ５.零向量： 叫做零向量,记作 0 6．单位向量： 叫做单位向量 7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a 与b 平行（或共线）,记作//a b 8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等,记作a =b 二.基础训练 1.在下列各命题中,真命题为( ) A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 B 模为0的向量与任一向量平行 C 向量就是有向线段 D a =b 是a b =的必要不充分条件 ２．下列命题中,假命题是( ） A 向量AB 与向量BA 长度相等 Ｂ 两个相等向量若起点相同,则终点必相同 C 只有零向量的模等于0 Ｄ 共线的单位向量相等 ３.已知下列命题：①ａ=b,ｂ=c ，则ａ＝ｃ; ②若ａ／/b,b//c 则a//c;③若ａ=b,则a/／b; ④若ａ／/ｂ,则a=ｂ.其中命题正确的序号是( ) A ①③ B ②③ C ④③ D ①② ４．在四边形AB ＣＤ中, AB DC =,且AB AD =，则四边形ＡBCD 是 5.如图，D 、 E 、 F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 和AB 的中点,试写出: (1）与EF 平行的向量； (2)与EF 相等的向量； 三.强化训练 1．下列说法正确的是（ ) Ａ 方向相同或相反的向量是平行向量 B 零向量的长度是０ C 长度相等的向量叫相等向量 D 共线向量是在一条直线上的向量 2.下列命题中，真命题的个数为( ） ① 若a b =，则a =b 或a =b - ② 若AB DC =,则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点 ③ 若a ＝b ，b c =，则a =c ④ 若//a b ,//b c ，则//a c A ４ B 3 C ２ D 1 3．下列命题,正确的是（ ） A a b a b =?= B a b a b >?> C //a b a b =? Ｄ 00a a =?= 4．如图,ABCD 是边厂为３的正方形，把各边三等分后，共有1 ６个交点，从中选取2个交点组成向量，则与AC 平行且长度为的向量个数是 A B C D B C D最新全国卷-高考—平面向量试题带答案
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