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2010年盐城市高中阶段教育招生统一考试试题
数 学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题（本大题共有８小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（2010年江苏盐城，1，3分）20100的值是 A ．2010 B ．0 C ．1 D ．－1 【分析】任何一个非零数的零次幂等于1，因此20100=1. 【答案】A
【涉及知识点】零指数幂的运算
【点评】解答本题要注意记忆a 0=1（a ≠0）. 【推荐指数】★
2．（2010年江苏盐城，2，3分）－1
2 的相反数是
A ．12
B ．－2
C ．－1
2
D ．2
【分析】－12 的相反数是1
2
.
【答案】A
【涉及知识点】相反数
【点评】本题是基础题，熟悉概念即可。 【推荐指数】★
3．（2010年江苏盐城，3，3分）下列四个几何体中，主视图、左视图、俯视图完全相同的是
A ．圆锥
B ．圆柱
C ．球
D ．三棱柱
【分析】球的三视图都是圆，因此选C.
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【答案】C.
【涉及知识点】三视图
【点评】三视图应用非常广泛，要注意把握三视图的特征. 【推荐指数】★
4．（2010年江苏盐城，4，3分）以下图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A ．等边三角形
B ．矩形
C ．等腰梯形
D ．平行四边形 【分析】根据概念可以判断矩形符合条件，而A 不是中心对称图形，C 不是中心对称图形，D 是中心对称图形，但不是轴对称图形. 【答案】B
【涉及知识点】中心对称图形、轴对称图形
【点评】中心对称图形是绕某点旋转180°能和它本身重合的图形，轴对称图形要找出对称轴即可. 【推荐指数】★
5．（2010年江苏盐城，5，3分）下列说法或运算正确的是 A ．1.0×102有3个有效数字 B ．2
22)(b a b a -=- C ．5
32a a a =+
D ．a 10÷a 4= a 6
【分析】A ． 1.0×102
有
2个有效数字
B ．2
2
2
ab 2)(b a b a +-=-C ．=+3
2
a a 不能计算， D ．a 10÷a 4=
a 6正确； 【答案】D
【涉及知识点】有效数字 完全平方公式 同底数幂的除法 【点评】解答此类试题的关键是概念要清楚. 【推荐指数】★
6．（2010年江苏盐城，6，3分）如图所示，在菱形ABCD 中，两条对角线AC ＝6，BD ＝8，则此菱形的边长为 A ．5 B ．6 C ．8 D ．10
【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分，设交点为 O,则OA=3，
OB=4.根据勾股定理可以得到AB=5.
【答案】A
【涉及知识点】菱形的性质 勾股定理
【点评】本题属于基础题，菱形的特殊性质要记清. A B D
（第6题）
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【推荐指数】★ 7．（2010年江苏盐城，7，3分）给出下列四个函数：①x y -=；②x y =；
③x
y 1=
；④2
x y =．0 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【分析】0 y 1=；④2 x y =． 【答案】C 【涉及知识点】一次函数 二次函数 反比例函数的性质 【点评】解答此类试题的关键是根据解析式画出草图，然后分析其增减性. 【推荐指数】★★ 8．（2010年江苏盐城，8，3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m 的值是 A ．38 B ．52 C ．66 D ．74 【分析】根据图形所填数字可以看出：2×4-0=8；4×6-2=22；6×8-4=44；8×10-6=74. 【答案】D 【涉及知识点】有理数运算 找规律 【点评】本题属于探究类试题，解答此类试题时，要充分分析试题的特点，各个量之间的关系，然后得到一般的结论. 【推荐指数】★★★★ 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过 程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9．（2010年江苏盐城，9，3分） 4的算术平方根是 ▲ ． 【分析】4的算术平方根是2。 【答案】2 【涉及知识点】算数平方根 【点评】本题是基础题，必须熟练掌握算数平方根是一个正数的正的平方 0 2 8 4 2 4 6 22 4 6 8 44 - 4 - 根. 【推荐指数】★ 10．（2010年江苏盐城，10，3分）使2-x 有意义的x 的取值范围是 ▲ ． 【分析】使2-x 有意义，即x -2≥0，即x 的取值范围是x ≥2. 【答案】x ≥2 【涉及知识点】二次根式 【点评】要使二次根式有意义，就必须使被开方数≥0. 【推荐指数】★ 11．（2010年江苏盐城，11，3分）实数a 、b 在数轴 上对应点的位置如图所示， 则a ▲ b (填“<”、“>”或“=”) ． 【分析】如图所示，a b 都在原点的左边，数轴上右边的数总比左边的数 大，因此，a ＜b . 【答案】＜ 【涉及知识点】数轴 实数比较大小 【点评】本题属于数形结合思想的应用的试题，因此要结合数轴去解答更为简单. 【推荐指数】★★ 12．（2010年江苏盐城，12，3分）因式分解：=-a a 422 ▲ ． 【分析】=-a a 422 2a (a -2) 【答案】2a (a -2) 【涉及知识点】因式分解 【点评】因式分解的一般程序是：先提公因式，然后再运用公式分解因式. 【推荐指数】★ 13．（2010年江苏盐城，13，3分）不透明的袋子中装有4个红球、3个黄 球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 ▲ 球的可能性最大． a b （第11题） - 5 - 【分析】球的数目决定了摸出的可能性的大小，不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，因此摸到的可能性的大小依次为：蓝球，红球，黄球. 【答案】蓝 【涉及知识点】概率 【点评】本题考查可能性的大小，解决方法也可以求出每种球摸出的概率，然后比较大小即可. 【推荐指数】★★ 14．（2010年江苏盐城，14，3分）12名学生参加江苏省初中英语听力口语 自动化考试成绩如下：28，21，26，30，28，27，30，30，18，28，30，25．这组数据的众数为 ▲ ． 【分析】众数的概念就是出现的次数最多的数据，30出现了4次，次数 最多，因此众数是30. 【答案】30 【涉及知识点】众数 【点评】其实本题是统计的一种方法的考查，在进行解答时，注意每种数据都要将次数弄清. 【推荐指数】★★★ 15．（2010年江苏盐城，15，3分）写出图象经过点(1，－1)的一个函数关系式 ▲ ． 【分析】本题属于开放性试题，考查函数的解析式的知识，可以写一次函数y =-x ，也可以写反比例函数y =-1 x 还可以写二次函数y =x 2-2x . 【答案】y =-x 或y =-1 x 或y =x 2-2x ，答案不唯一 【涉及知识点】函数解析式的求法 【点评】此类试题属于开放性试题，解决的关键是熟悉其中一种关系式即可. 【推荐指数】★★★★ 16．（2010年江苏盐城，16，3分）已知圆锥的底面半径为3，侧面积为15 ，则这个圆锥的高为 ▲ ． - 6 - 【分析】圆锥的侧面积=扇形弧长×扇形半径÷2，侧面半径为5，根据勾股定理可以得出圆锥的高为4. 【答案】4 【涉及知识点】圆锥 【点评】圆锥的面积计算是经常考核的内容，圆锥的底面周长等于侧面的扇形的弧长. 【推荐指数】★★★★ 17．（2010年江苏盐城，17，3分）小明尝试着将矩形纸片ABCD （如图①， AD >CD ）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE （如图②）；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG （如图③）．如果第二次折叠后，M 点正好在∠NDG 的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为 ▲ ． 【分析】沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F 处，折痕为AE ，则AF=AB,∠FAE=∠FEA=45°；再沿过D 点的直线折叠，使得C 点落在DA 边上的点N 处，E 点落在AE 边上的点M 处，折痕为DG ，则DN=DC,四边形DGEC ≌四边形DGMN ，∠GDA=45°，M 点正好在∠NDG 的平分线上，可以得出DG=DN=DC ，在Rt △AGD 中，AD:AG==AD:DC= 2 ：1. 【答案】 2 【涉及知识点】矩形 轴对称 【点评】折叠的实质是轴对称，两旁的部分是全等形，对应边相等，对应角相等. 【推荐指数】★★★★ ① ② D ③ - 7 - 18．如图，A 、B 是双曲线 y = k x (k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= ▲ ． 【分析】过A ，B 分别做X 轴的垂线交X 轴于D ，E 。可得AD=2BE ，由相似可以得到CD=2CE ，于是D ，E 为OC 的三等分点，得C 点横坐标 为（3a ，0），a ak 3×2 1 =6，得k=4. 【答案】4 【涉及知识点】反比例函数 三角形 【点评】本题属于反比例函数和相似三角形知识的小综 合题，在解答此类试题时， 从而作出辅助线即可得解. 【推荐指数】★★★★★ 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2010年江苏盐城，19，8分）计算： （1） 30cos )3 1(31-+-- 【答案】解：原式=3+3-3 2 …………………………（3分） =6-3 2 ………………………………………（4分） 【涉及知识点】绝对值 负指数幂 特殊角的三角函数值 【点评】对此类试题，属于基础题，考核计算的准确性，属于送分题. 【推荐指数】★★ （2）(12-a )÷(1a 1- ) 【答案】（2）解：原式=(a +1)(a -1)÷a -1 a …………………（2分） =a 2 +a …………………………………………（4分） 【涉及知识点】分式除法 因式分解 【点评】注意运算顺序是解答此类试题的关键. 【推荐指数】★★ - 8 - 20．（2010年江苏盐城，20，8分）如图，A 、B 两个转盘分别被平均分成三 个、四个扇形，分别转动A 盘、B 盘各一次．转动过程中，指针保持不动，如果指针恰好指在分割线上，则重转一次，直到指针指向一个数字所在的区域为止．请用列表或画树状图的方法，求两个转盘停止后指针所指区域内的数字之和小于6的概率． 【分析】本题考查利用树状图或列表求概率的方法，由于A 盘有三种等可能情况，而B 盘有四种等可能情况，因此总共和有12种情况，通过列表可以得出和为6的情况有6种，因此概率为1 2 . 【答案】解：解法一：画树状图 树状图正确…………………………………………………（6分） P 和小于6= 612 =1 2 ……………………………………（8分） 解法二：用列表法： 列表正确 …………………………………………（6分） P 和小于6= 612 =1 2 ……………………………………（8分） A B A 和 B 开始 1 2 3 4 5 6 和 3 4 5 6 3 4 6 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 B A - 9 - 【涉及知识点】概率计算 树状图 列表法 【点评】概率的计算问题属于综合类试题，在解答时要注意等可能情况罗列全即可. 【推荐指数】★★★ 21．（2010年江苏盐城，21，8分）上海世博园开放后，前往参观的人非常 多．5月中旬的一天某一时段，随机调查了部分入园游客，统计了他们进园前等候检票的时间，并绘制成如下图表．表中“10~20”表示等候检票的时间大于或等于10min 而小于20min ，其它类同． （1）这里采用的调查方式是 ▲ ； （2）求表中a 、b 、c 的值，并请补全频数分布直方图； （3）在调查人数里，等候时间少于40min 的有 ▲ 人； （4）此次调查中，中位数所在的时间段是 ▲ ~ ▲ min ． 【分析】（1）调查方式分为普查和抽样调查两类，本题采用抽样调查；（2）根据 可以得出抽样的总人数为：c=8÷0.2=40人，因此b=40 ×0.125=5；a=14÷40=0.350.；（3）等候时间少于40min 的有8+14+10=32人；（4）中位数是处于中间位置的数是：第20与21两数的平均数：在20~30. 【答案】解：（1）抽样调查或抽查（填“抽样”也可以）……………（1分） （2）a =0.350；b=5：c =40；频数分布直方图略 ………………（5分） （3）32 ……………………………………………………（6分） （4）20~30………………………………………………………（8分） 【涉及知识点】调查方式 频率频数计算 中位数 【点评】频率=频数：总数，中位数是先排序，后找最中间的数即可. 【推荐指数】★★★★ min ） - 10 - 22．（2010年江苏盐城，22，8分）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB =CD =AD ，BD ⊥CD ． （1）求sin ∠DBC 的值； （2）若BC 长度为4cm ，求梯形ABCD 的面积． 【分析】要求sin ∠DBC 的值，只要求出∠DBC 的度数即可；要求梯形 ABCD 的面积，必须求出两底和高，需作辅助线过D 作DF ⊥BC 于F ， 容易求出CD=1 2 BC=2=AD ，而BD 要放到Rt △CDB 中去求；DF 放在 Rt △BDF 中去求即可. 【答案】解：(1)∵AD =AB ∴∠ADB =∠ABD ∵AD ∥CB ∴∠DBC = ∠ADB =∠ABD ……………（1分） ∵在梯形ABCD 中，AB =CD ，∴∠ABD +∠DBC =∠C =2∠DBC ∵BD ⊥CD ∴3∠DBC =90o ∴∠DBC =30o ……（3分） ∴sin ∠DBC =1 2 ……………………（4分） （2）过D 作DF ⊥BC 于F …………………………（5分） 在Rt △CDB 中，BD =BC ×c os ∠DBC =2 3 （cm ） …………………（6分） 在Rt △BDF 中，DF =BD ×sin ∠DBC = 3 （cm ）…………………（7分） ∴S 梯=1 2 (2+4)·3 =3 3 （cm 2）……………………………（8分） （其它解法仿此得分） 【涉及知识点】梯形 解直角三角形 【点评】解决梯形试题最常用的辅助线是过上底的端点作下底的高线. 【推荐指数】★★★★ 23．（2010年江苏盐城，23，10分）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐 款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人 B A D B A C D F （第22题图） 数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程． 【分析】本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可. 【答案】解法一：求两个班人均捐款各多少元？ …………………（2分） 设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得 1800x ·90%=1800x +4 …………………………………（5分） 解得x =36 经检验x =36是原方程的根 ……………………（8分） ∴x +4=40 ………………………………………（9分） 答：1班人均捐36元，2班人均捐40元……………………………（10分） 解法二：求两个班人数各多少人？…………………………………（2分） 设1班有x 人，则根据题意得 1800x +4=1800 90x % …………（5分） 解得x =50 ，经检验x =50是原方程的根…（8分） ∴90x % =45 ……………（9分） 答：1班有50人，2班有45人 …………（10分） （不检验、不作答各扣1分） 【涉及知识点】分式方程 【点评】本题属于列方程解应用题，但结尾让学生去自己根据要求提问并解答，属于结论开放题类型.解决列方程解应用题的关键是找等量关系. 【推荐指数】★★★★★ 24．（2010年江苏盐城，24，10分）图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上． （1）以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′； （2）△A ′B ′C ′绕点B ′顺时针旋转 90，画出旋转后得到的△A ″B ′C ″，并 求边A ′B ′在旋转过程中扫过的图形面积． - 12 - 【分析】以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，只要作出关键点即可，即连接AO 并延长使A ’O=2AO,连接CO 并延长CO 使C ’O=2CO,然后连接BO ，并延长使B ’O=2BO,即可作出需要图形.旋转作图的关键是弄清旋转方向和旋转角度即可. 【答案】解：（1）见图中△A ′B ′C ′ ………………（4分） （直接画出图形，不画辅助线不 扣分） （2）见图中△ A ″ B ′ C ″ ………………………（8分） （直接画出图形，不画辅助线不扣分） S=90360 π ( 22+42)=14 π·20=5π(平方单位) …………………………（10分） 【涉及知识点】位似图形 旋转作图 【点评】位似图形必须清楚位似中心和位似比；旋转作图的关键是弄清旋转方向和旋转角度即可. 【推荐指数】★★★ 25．（2010年江苏盐城，25，10分）如图所示，小杨在广场上的A 处正面 观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为30o，然后他正对大楼方向前进5m 到达B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45o．若该楼高为26.65m ，小杨的眼睛离地面1.65m ，广告屏幕的上端 与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ 3 ≈1.732，结果精确到0.1m ）． A B C D E - 13 - 【分析】要求CD 的长，因为CD=CE-DE ，因此需求出CE 和DE 的长即可；在B 处，又测得该屏幕上端C 处的仰角为45o．因此有CE=BE26.65-1.65=25；在Rt △ADE 中，求出DE 即可. 【答案】解：设AB 、CD 的延长线相交于点E ∵∠CBE =45o CE ⊥AE ∴CE =BE ………………………（2分） ∵CE =26.65-1.65=25 ∴BE =25 ∴AE =AB +BE =30 …………（4分） 在Rt △ADE 中，∵∠DAE =30o ∴DE =AE ×tan30 o =30× 3 3 =10 3 （7分） ∴CD =CE -DE =25-10 3 ≈25-10×1.732=7.68≈7.7(m)……（9分） 答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m …………………（10分） （注：不作答不扣分） 【涉及知识点】三角函数 解直角三角形 【点评】解决此类题先将文字题用几何语言描述，然后再分析出和差倍分，分别计算. 【推荐指数】★★★★ 26．（2010年江苏盐城，26，10分）整顿药品市场、降低药品价格是国家的 惠民政策之一．根据国家《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%．根据相关信息解决下列问题： （1）降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中 间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格A B C D E - 14 - 分别是多少元？ （2）降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和 5元的价格销售给医院，医院根据实际情况决定：对甲种药品每盒加价15%、对乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？ 【分析】（1）降价前，本题的等量关系是甲药品价格+乙药品价格=6.6元；甲药品零售价+乙药品零售价=33.8元；根据等量关系列出方程即可；（2）降价后，等量关系是：甲种药品零售价=8×（1+15%）；乙种药品零售价=5×（1+10%）；甲药品箱数+乙药品箱数=100箱，乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．然后列出不等式即可. 【答案】解：（1）设甲种药品的出厂价格为每盒x 元，乙种药品的出厂价格为每盒y 元． 则根据题意列方程组得：?? ?=+-=+8 .3362.256.6y x y x ……………（2分） 解之得：?? ?==3 6.3y x …………………………（4分） 5×3.6-2.2=18-2.2=15.8（元） 6×3=18（元） 答：降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是15.8元和18元… （5分） （2）设购进甲药品x 箱（x 为非负整数），购进乙药品（100-x ）箱，则根据题意列不等式组得： ?? ?≥-≥-??+??40 100900)100(10%10510%158x x x …………………（7分） 解之得：607 157≤≤x ……………………………………（8分） 则x 可取：58，59，60，此时100-x 的值分别是：42，41，40 有3种方案供选择：第一种方案，甲药品购买58箱，乙药品购买42箱； 第二种方案，甲药品购买59箱，乙药品购买41箱； 第三种方案，甲药品购买60箱，乙药品购买40 箱； ……（10分） （注：（1）中不作答不扣分，（2）中在方案不写或写错扣1分） - 15 - 【涉及知识点】方程组 不等式（组） 【点评】本题属于二元一次方程组和不等式组的综合应用题，有一定的区分度，要注意分类讨论解答问题. 【推荐指数】★★★★ 27．（2010年江苏盐城，27，12分）如图1所示，在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB =75o，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB =BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC =30o． 求 DF FC 的值． 【分析】要求∠AED 的度数，只要求∠ADE 的度数，或者求∠DEA 的度 数，本题容易求得∠ADE 的度数.要证明AB=BC,则可作辅助线，过D 点作DF ⊥BC ，交BC 于点利用△DFC ≌△CBE 可以得到DF=BC 从而得证，最为简洁。（3）要求 DF FC ，连接AF ，BF 、AD 的延长线相交于点G ，可得BC =BF ， 由(2)知：BA =BC ，从而推出△BCF ≌△GDF ，可得DF =CF ，即可得解. 【答案】解：(1)∵∠BCD =75o，AD ∥BC ∴∠ADC =105o …………………………………（1分） 由等边△DCE 可知：∠CDE =60o，故∠ADE =45o 由AB ⊥BC ，AD ∥BC 可得：∠DAB =90o ， ∴∠AED =45o（3分） (2)方法一：由(1)知：∠AED =45o，∴AD =AE ，故点A 在线段DE 的垂直平分线上． 由△DCE 是等边三角形得：CD =CE ，故点C 也在线段DE 的垂直 平分线上． ∴AC 就是线段DE 的垂直平分线，即AC ⊥DE ……………（5分） 连接AC ，∵∠AED =45o，∴∠BAC =45o，又AB ⊥BC ∴BA =BC ．…………（7分） 方法二：过D 点作DF ⊥BC ，交BC 于点 ………………（4分） 可证得：△DFC ≌△CBE 则DF=BC ……………………（6分） 从而：AB =CB ………………………………………………（7分） A B C D E 图1 A D - 16 - （3）∵∠FBC =30o，∴∠ABF =60o 连接AF ，BF 、AD 的延长线相交于点G ， ∵∠FBC =30o，∠DCB =75o，∴∠BFC =75o，故BC =BF 由(2)知：BA =BC ，故BA =BF ，∵∠ABF =60o，∴AB =BF =F A ， 又∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴∠F AG =∠G =30o ∴FG =F A = FB ……………………………（10分） ∵∠G =∠FBC =30o，∠DFG =∠CFB ，FB =FG ∴△BCF ≌△GDF ………………………（11分） ∴DF =CF ，即点F 是线段CD 的中点． ∴DF FC =1………………………………………（12分） (注:如其它方法仿此得分) 【涉及知识点】全等三角形 梯形 【点评】本题属于全等三角形和梯形相关知识的综合运用，属于小综合题，区分度可以，解决此类问题，我们必须灵活运用所学知识，进行解答. 【推荐指数】★★★★★ 28．（2010年江苏盐城，28，12分）已知：函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次．．函数y =ax 2 +x +1图象的顶点为B ，与y 轴的交点为A ，P 为图象上的一点，若以线段PB 为直径的圆与直线AB 相 切于点B ，求P 点的坐标； （3）在(2)中，若圆与x 轴另一交点关于直线PB 的对称点为M ，试探索 点M 是否在抛物线y =ax 2+x +1上，若在抛物线上，求出M 点的坐标；若不在，请说明理由． B E 图1 A B C D E F 图2 G - 17 - 【分析】（1）根据根与系数的关系，可以得出函数y =ax 2+x +1的图象与x 轴只有一个公共点则，△=1- 4a =0，可以求出函数的解析式为：y =x +1 或`y =14 x 2+x +1.（2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ．可得解析式为：y =1 4 x 2+x +1. 则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点坐标为A （0， 1），坐标为A （0，1），从而可以得到Rt △PCB ∽Rt △BOA ，可得PC =2BC ， 设P 点的坐标为(x ，y )，可求出x <-2。从而得出BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， 得到P 点的坐标为(x ，-4-2x )，代入关系式可求出P 点的坐标为：(-10，16). （3）要求点M 在不在抛物线y =ax 2+x +1上，可以代入使左边等于右边即可. 【答案】解：（1）当a = 0时，y = x +1，图象与x 轴只有一个公共点………(1分) 当a ≠0时，△=1- 4a =0，a = 1 4 ，此时，图象与x 轴只有一个公共点． ∴函数的解析式为：y =x +1 或`y =1 4 x 2+x +1……（3分） （2）设P 为二次函数图象上的一点，过点P 作PC ⊥x 轴于点C ． ∵y =ax 2 +x +1 是二次函数，由（1）知该函数关系式为： y =1 4 x 2+x +1，则顶点为B （-2，0），图象与y 轴的交点 坐标为A （0，1）………（4分） ∵以PB 为直径的圆与直线AB 相切于点B ∴PB ⊥AB 则∠PBC =∠BAO ∴Rt △PCB ∽Rt △BOA ∴AO BC OB PC ，故PC =2BC ，…………………………（5分） 设P 点的坐标为(x ，y )，∵∠ABO 是锐角，∠PBA 是直角，∴∠PBO 是钝角，∴x <-2 ∴BC =-2-x ，PC =-4-2x ，即y =-4-2x ， P 点的坐标为(x ，-4-2x ) - 18 - ∵点P 在二次函数y =14 x 2+x +1的图象上，∴-4-2x =1 4 x 2+x +1……（6分） 解之得：x 1=-2，x 2=-10 ∵x <-2 ∴x =-10，∴P 点的坐标为：(-10，16)……………（7分） （3）点M 不在抛物线y =ax 2 +x +1 上………………（8分） 由（2）知：C 为圆与x 轴的另一交点，连接CM ，CM 与直线PB 的交点为Q ，过点M 作x 轴的垂线，垂足为D ，取CD 的中点E ，连接QE ，则CM ⊥PB ，且CQ =MQ ∴QE ∥MD ，QE =1 2 MD ，QE ⊥CE ∵CM ⊥PB ，QE ⊥CE PC ⊥x 轴 ∴∠QCE =∠EQB =∠CPB ∴tan ∠QCE = tan ∠EQB = tan ∠CPB =1 2 CE =2QE =2×2BE =4BE ，又CB =8，故BE QE =165 ∴Q 点的坐标为(-185 ，16 5 ) 可求得M 点的坐标为(14 5 32 5 )分） ∵14(145)2+(145)+1 =14425 ≠325 ∴C 点关于直线PB 的对称点M 不在抛物线y =ax 2 +x +1 上……………………（12分） (其它解法，仿此得分) 【涉及知识点】二次函数 圆 一次函数 【点评】本题是二次函数与圆的经典综合题，解答此类压轴题的关键是结合图形进行分析，将每一小题分别解答，有些题目可以通过猜想得到答案. 【推荐指数】★★★★★ - 19 - 绝密★启用前 盐城市二○一○年高中阶段教育招生统一考试 数学试题参考答案及评分说明 一、选择题（每小题3分，共24分） 9．2 10． x ≥2 11．＜ 12．2a (a -2) 13．蓝 14．30 15．y =-x 或y =-1 x 或y =x 2-2x ，答案不唯一 16．4 17． 2 - 20 - 18．4 三、解答题 19．（1）解：原式=3+3-3 2 ……………………………………………………（3分） =6-3 2 ………………………………………………………………（4分） （2）解：原式 =(a +1)(a -1)÷a -1 a ………………………………………………（2分） =a 2+a …………………………………………………………………………（4分） 20．解：解法一：画树状图 树状图正确…………………………………………………………………………（6分） P 和 小 于 6= 612 =1 2 ……………………………………………………………………（8分） 解法二：用列表法： 列表正确 …………………………………………（6分） P 和小于6= 612 =1 2 ……………………………………（8分） 21．解：（1）抽样调查或抽查（填“抽样”也可以）…………………………（1分） A 和 B 开始 1 2 3 4 5 6 和 3 4 5 6 3 4 6 3 4 5 6 4 5 6 7 5 6 7 8 B A
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