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2012考研数学强化阶段重要题型攻略—概率论与数理统计（七）
万学海文
二维随机变量是考试的重点，二维离散型随机变量的概率分布的建立，2009、2010、2011年连续三年以解答题的形式来考查。二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件概率密度是考试的重点，也是考试的难点。 2009，2010，2011年数三连续三年考查了连续型随机变量的边缘概率和条件概率，都是以解答题的形式考查的。下面，万学海文数学考研辅导专家们就为广大的考生们详细地介绍一下。
1、二维随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布的计算
(1)已知随机变量(),X Y 的概率分布，求其边缘分布和条件分布直接利用定义即可.联合分布可以确定边缘分布、条件分布，但是由边缘分布一般不能确定联合分布，由两个条件分布也不一定能确定联合分布.
(2)利用“归1性”计算随机变量(),X Y 的概率分布、概率密度或相关参数.
(3)已知二维随机变量(),X Y 的边缘分布与一个对应的条件分布，利用条件概率公式可求出(),X Y 的概率分布. 注：以上方法均适用于二维离散型随机变量和二维连续型随机变量.
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2、二维连续型随机变量的分布函数的计算
联合分布函数(,)(,)x
y
F x y du f u v dv -∞-∞
=??
，从几何上表示以点(),x y 为顶点的左下方的无穷矩形区域内的概率.一般情况下，过概率
密度(),f x y 取非零值的有限边界点坐标作平行于坐标轴的直线，这样将整个平面区域划分为几个区域，然后分别讨论点(),x y 落在不同的区域内的分布函数.
3、二维连续随机变量的边缘概率、条件概率的计算 设(,)X Y 为连续型随机变量，概率密度为(,)f x y ,则
(1)X ,Y 的边缘概率密度()(,)X f x f x y dy +∞
-∞
=?
，()(,)Y f y f x y dx +∞
-∞
=?
.
边缘概率密度是一元函数.以X 的边缘概率密度)(x f X 为例，它是自变量x 的一元函数，所以)(x f X 的表达式中不能出现其它的自变量.一般(,)f x y 是分区域的，所以)(x f X 也是分段函数，它的分段点是由具体数值来表示的.
(2)条件概率和条件分布函数
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对于给定的实数x ，边缘概率密度()0X f x >，则称(,)
()()
Y X X f x y f y x f x =
为在条件X x =下Y 的条件概率密度函数. 称(,)
()()
y
y
Y X X f x v f v x dv dv f x -∞
-∞
=?
?
为X x =下Y 的条件分布函数，记为{}P Y y X x ≤=或者()Y X F y x ，即 (){}Y X F y x P Y y X x =≤=()y
Y X f v x dv -∞
=?
(,)
()
y
X f x v dv f x -∞
=?
. 【例1】随机变量(),X Y 的概率密度为()26,01,,0,x y x y
f x y ?<<<=??
其它.．求：
(I),X Y 的边缘概率密度()(),X Y f x f y ； (II)()X Y f x y 和()Y X f y x ；
(III)11132P X Y ??
-<<=???
?.
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【解析】(I)X 的边缘概率密度为()(),X f x f x y dy +∞
-∞
=?.
当1x ≤-或1x ≥时，()0X f x =，
当10x -<<时，()()1
22661X x
f x x dy x x -==+?，
当01x ≤<时，()()1
22661X x
f x x dy x x ==-?.
综上所述，X 的边缘概率密度为
()()()226110,6101,0X x x x f x x x x ?+-<
=-≤
，，，其它.
Y 的边缘概率密度()(),Y f y f x y dx +∞
-∞=?. 当0y ≤或1y ≥时，()0Y f y =， 当01y <<时，()2364y
Y y f x x dx y -==?.
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综上所述，Y 的边缘概率密度为
()34,01,
0,
Y y y f y ?<<=?
?其它. (II)当01y <<时，
()()()2
33,,20,
X Y Y x y x y
f x y f x y y f y ?-<
?其它．
当10x -<<时，
()()()()()21
,,,1,1610Y X X f x y f x y x y f y x x
f x x x ?-<
===+?+?
?，
其它. 当01x <<时，
6
()()()()()21
,,,1,1610Y X X f x y f x y x y f y x x
f x x x ?<
===-?-?
?，其它.
(III)
223
1311,11,12,1222222120,0,2X Y Y x f x x x x f x y f ??
?? ?-<<-<
? ??????? ?????
其它其它 11
233112
1113511232254X Y P X Y f x dx x dx --????
-<<====?? ???????
【评注】求二维连续型随机变量的边缘概率密度和条件概率密度是基本题，要注意积分区间的确定和取非零值的范围．
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