A 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）
1．已知集合{}24M x x =<，{}
2230N x x x =--<，则集合M N = （ ） A ．}2|{- B ．} 3|{>x x C ．}21|{<<-x x D ．}32|{< 2．复数i 12i + (i 是虚数单位)的实部是 （ ） A ．25 B ．25 - C ．15 - D ． 15 3．命题“若00,022===+b a b a 且则”的逆否命题是 （ ） A ．若00,022≠≠≠+b a b a 且则 B ．若00,022≠≠≠+b a b a 或则 C ．若则0,0022≠+==b a b a 则且 D ．若0,0022≠+≠≠b a b a 则或 4．函数2 ln(1)34 x y x x +=--+的定义域为 （ ） A ．(4,1)-- B ．(4,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1]- 5．下列命题中，真命题的是 （ ） A ．0sin cos 22x x x π???∈+≥??? ? ，， B ．2 (3)31x x x ?∈+∞>-，， C ．2 R 1x x x ?∈+=-， D ．( )tan sin 2x x x π π?∈>，， 6．命题甲：p 是q 的充分条件；命题乙：p 是q 的充分必要条件，则命题甲是命题乙的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．从总数为N 的一群学生中抽取一个容量为100的样本，若每个学生被抽取的概率为 4 1 ，则N 的值 （ ） A ．25 B ．75 C ．400 D ．500 8．一空间几何体按比例绘制的三视图如图所示（单位：m ） 则该几何体的体积（单位：m 3 ）为 （ ） A ． 27 B ．29 C ．3 7 D ．4 9 9．阅读程序框图，若输出的S 的值等于16，那么在程序框图中的 判断框内应填写的条件是 （ ） A ．i ＞5 B ．i ＞6 C ．i ＞7 D ．i ＞8 10．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为?60，则该棱锥 的体积为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 11．已知等差数列}{n a ，151=a ，555=S ，则过点),3(2a P ， ),4(4a Q 的直线的斜率为 （ ） A ．4 B ．4 1 C ．4- D ．4 1- 12．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物 线在第一、四象限分别交于A 、B 两点，则| |||BF AF 的值等于 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 B 卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分） 13．过双曲线 222 2 1x y a b - =的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF （O 为 原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为___________． 14．在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项 目至少有一人参加的安排方法有 ． 15．若20 d a x x = ? ，则在2 5 1(3)x a x - 的二项展开式中，常数项为 ． 1 2 3 2 3 3 7 1 0 1 4 7 5 4 2 3 2 甲 乙 16．设{}n a 是一个公差为d （d ＞０）的等差数列．若 12 23 34 11134 a a a a a a + + = ，且其前6 项的和621S =，则n a ＝ ． 三、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．（本小题满分12分） 已知函数)0)(2 sin(sin 3sin )(2>+ +=ωπ ωωωx x x x f 的最小正周期为π． （Ⅰ）求()f x ； （Ⅱ）当]2 , 12[π π - ∈x 时，求函数)(x f 的值域． 18．（本小题满分12分） 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如 图所示的茎叶图表示． （Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于 乙的得分的概率． 19．（本小题满分12分） 已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90o，2==BC RB ．点A 、D 分别是 RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ； （Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 20．（本小题满分12分） 设椭圆)0(1: 2 22 2>>=+ b a b y a x C 的离心率，12 e = 右焦点到直线 1=+ b y a x 的距 离,7 21= d O 为坐标原点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆C 分别交于,A B 两点，证明：点O 到直线 AB 的距离为定值，并求弦AB 长度的最小值． 21．（本小题满分12分） 已知函数()()a x x g x x f += =2 2 1,ln （a 为常数），直线l 与函数()()x g x f 、的 图象都相切，且l 与函数()x f 的图象的切点的横坐标为l ． （Ⅰ）求直线l 的方程及a 的值； （Ⅱ）当k ＞0时，试讨论方程()()k x g x f =--2 1的解的个数． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分） 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，直线MN 切⊙O 于点C ，弦BD ∥MN ，AC 与 BD 相交于点E ． （Ⅰ）求证：△ABE ≌△ACD ； （Ⅱ）若AB ＝6，BC ＝4，求AE ． 23．（本小题满分10分） 已知函数()213f x x x =+--. （Ⅰ）解不等式()f x ≤4； （Ⅱ）若存在x 使得()f x a +≤0成立，求实数a 的取值范围． 24．（本小题满分10分） 已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6 πα=． （Ⅰ）写出直线l 的参数方程 （Ⅱ）设l 与圆x 2＋y 2＝4相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 参考答案 .2 1)6 2s i n (2 1+ - =+ π ωx 18．解：（Ⅰ）运动员甲得分的中位数是22，运动员乙得分的中位数是23………2分 （Ⅱ） 217 32 232224151714=++++++=甲x …………………3分 1213 11 23273130 217 x ++++++==乙…………………4分 ()( )( )()()()( )2 2 2 2 22 2 2 21-1421-1721-15 21-24 21-2221-2321-32 236 7 7 S ++++++= = 甲…………………………………………………………………………………5分 ()( )( )()()()( )2 2 2 2 22 2 2 21-1221-1321-11 21-23 21-2721-3121-30 466 7 7 S ++++++= = 乙 ……………………………………………………………………………………………6分 2 2 S 乙甲<∴S ，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………7分 （Ⅲ）从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为49 ……8分 ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,, ∴ BC ⊥平面PAB ． …… 4分 ∵ ?PB 平面PAB , ∴ PB BC ⊥． …… 6分 （Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0）， P （0，0，1）．∴DC =（－1，1，0）， DP =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n = ，则 z y x R A D B C P （第19题图） ∴ 二面角P CD A --的余弦值是 3 3． ………………12分 20．解：（I ）由.3,22 12 1c b c a a c e =∴===即得 由右焦点到直线 1=+ b y a x 的距离为,7 21= d 即,0)()1(221212==+++m x x km x x k ,043843124) 1(2 222 2 2 =++- +-+∴m k m k k m k 即弦AB 的长度的最小值是.7 214 …………13分 21．解：（1） ()()()()()()a x y x a y l a g x x g x y l f l f x x f +-=-=?? ? ??+-∴??? ??=∴=-=∴== 21,121:. 211,11','1 :1,0111,11',1'即＋，切点为又，即） ，，切点为（的斜率为故直线 比较①和②的系数得2 1,12 1- =∴-=+-a a 。 （2）()()()k x x k x g x f =+ -+=-+2 12 11ln ,12 2 2 即由 ( )()(). 1,1,0,1'. 11112',2 12 11ln 12 2 122 2 1-==++-= -+= =+ -+=x y x x x x x x x y k y x x y 解得令设 ① ② x ()1,-∞- －1 (－1,0) 0 (0，1) 1 ()+∞,1 1'y + 0 － 0 + 0 － 1y ↗ 极大值 ln2 ↘ 极小值2 1 ↗ 极大值 ln2 ↘ 由函数1y 在R 上各区间上的增减及极值情况，可得 （1）当2 10< （2）当2 1=k 时有3个解； （3）当 2ln 2 1< （4）当k=ln2时有2个解； （5）当2ln >k 时无解。 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 解:（Ⅰ）在ΔABE 和ΔACD 中， ∵AC AB = ∠ABE=∠ACD………………2分 又，∠BAE=∠EDC ∵BD//MN ∴∠EDC=∠DCN ∵直线是圆的切线， ∴∠DCN=∠CAD ∴∠BAE=∠CAD （2）把直线312 112 x t y t ?=+????=+??代入422=+y x 得2 22 31(1)(1)4,(31)202 2 t t t t +++ =++-=
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