高一数学必修五第三单元：不等式
单元过关试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.不等式（x+3）2
<1的解集是（ ） A.{x|x>-2} B.{x|x<-4} C.{x|-4 2.已知t=a+2b ，s=a+b 2 +1，则t 和s 的大小关系正确的是（ ） A.t>s B.t ≥s C.t 3.不等式组0,34,34x x y x y ≥?? +≥??+≤? 所表示的平面区域的面积等于（ ） A. 32 B. 23 C. 43 D. 34 4.已知函数f （x ）=log 2（x+1）且a ＞b ＞c ＞0，则 ()f a a 、()f b b 、() f c c 的大小关系是（ ） A. ()f a a ＞()f b b ＞() f c c B. ()f c c ＞()f b b ＞()f a a C. ()f b b ＞()f a a ＞()f c c D. ()f a a ＞()f c c ＞() f b b 5.已知不等式（x+y ）( 1a x y +)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 6.满足不等式y2-x2≥0的点（x，y）的集合（用阴影表示）是（） 7.已知函数f（x）= 1, 1,0, x x x x -+<0, ? ? -≥ ? 则不等式x+（x+1）· f（x+1）≤1的解集是（） A.{x|-1≤x B.{x|x≤1} C.{x|x ≤x-1} 8.设M=(1 a -1)( 1 b -1)( 1 c -1)，且a+b+c=1（a、b、c∈R+），则M的取值范围是（） A. B. 三、解答题 16.（12分）如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中 阴影部分），这两栏目的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告的 高与宽的尺寸（单位:cm）能使矩形广告的面积最小? 17.（12分）不等式（m 2 -2m-3）x 2 -（m-3）x-1<0对一切x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围. 18.（12分）制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，则投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？ 19.（12分）已知二次函数f （x ）满足f （-2）=0，且2x ≤f （x ）≤242 x +对一切实数x 都 成立. （1）求f （2）的值； （2）求f （x ）的解析式 （3）设b n = 1 ()f n ，数列{b n }的前n 项和为S n ， 求证：S n ＞ 43(3) n n +. 20.（13分）某村计划建造一个室内面积为72 m 2 的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 21．已知函数f (x )＝|x －a |. (1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． （备选题）： 22．（本题14分）已知函数()g x =sin x x λ+是区间[,]22 ππ -上的增函数． （1）求λ的取值集合D ； （2）是否存在实数t ，使得()g x 21t t λ>++对?[1,1]x ∈-且D λ∈恒成立； （3）讨论关于x 的方程2ln sin ()(2)x x g x x e x k x λ+=+-++的根的个数． 第三章 不等式（数学人教实验A 版必修5） 答案 一、选择题 1.C 解析：原不等式可化为x 2 +6x+8<0，解得-4 2.D 解析：∵ t-s=a+2b-a-b 2 -1=-（b-1）2 ≤0，∴ t ≤s. 3.C 解析：不等式组表示的平面区域如图所示， 由34, 34 x y x y +=?? +=?得交点A 的坐标为（1，1）， 又B ，C 两点的坐标分别为（0，4），(0，4 3 )， 故S △ABC = 12 (4-43)×1=4 3 . 4.B 解析：特殊值法.令a=7，b=3，c=1，满足a ＞b ＞c ＞0， ∴ 2log (11)1+＞2log (31)3+＞2log (71) 7 +. 5.B 解析：不等式（x+y ）(1a x y +)≥9对任意正实数x ， y 恒成立，则1+a+y ax x y +≥ ≥9， ∴ 2 -4（舍去），∴ 正实数a 的最小值为4. 6.B 解析：取测试点（0，1）可知C ，D 错；再取测试点（0，-1）可知A 错，故选B. 7.C 解析：依题意得10,10, (1)()1(1)1x x x x x x x x +<+≥???? ++-≤++≤?? 或， 所以1,1,11x x x x ≥-?<-?? ?? ?∈≤≤??? R 或x ＜-1或-1≤x 错误！未找到引用源。x ≤，选C. 8. D 解析：M= b c a +·a c b +·a b c + =8. 9.C 解析：令x= cos θ，y=1+ sin θ，则-（x+y ）=- sin θ-cos θ (θ+π 4 )-1. ∴ -（x+y ）max ∵ x+y+c ≥0恒成立，故c ≥-（x+y ）max ，故选C. 10.A 解析：因为a+b =cd=4，由基本不等式得a+b ≥ ab ≤4. 又cd ≤2()4 c d +，故c+d ≥4，所以ab ≤c+d ，当且仅当a=b=c=d=2时，等号成立.故应选A. 11.{x|-3≤x ≤1} 解析：依题意x 2 +2x-4≤-1错误！未找到引用源。（x+3）（x-1）≤0错误！未找到引用源。x ∈［-3，1］. 12.4 解析：由题意知A （1，1），∴ m+n-1=0，即 m+n=1， ∴ 1m +1n =(1m +1n )（m+n ）=2+n m +m n ≥ 13.解析： 在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线y ＝2x －4，结合图形可知，在 该平面区域内所有的点中，点(－1,0)到直线y ＝2x －4的距离最远． 答案：(－1,0) 14.解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为 19.（1）解：∵ 2x≤f（x）≤ 24 2 x+ 对一切实数错误！未找到引用源。都成立， ∴ 4≤f（2）≤4，∴ f（2）=4. （2）解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）. ∵ f（-2）=0，f（2）=4， ∴ 424,1, 42024. a b c b a b c c a ++== ?? ? ?? -+==- ?? ∵ ax2+bx+c≥2x，即ax2-x+2-4a≥0， ∴Δ=1-4a（2-4a）≤0?（4a-1）2≤0， ∴ a=1 4 ，c=2-4a=1，故f（x）= 2 4 x +x+1. （3）证明：∵ b n= 1 () f n = 2 4 (2) n+ ＞ 4 (2)(3) n n ++ =4( 1 2 n+ - 1 3 n+ )， ∴ S n=b1+b2+…+b n＞4=4× 11 33 n ?? - ? + ?? = 4 3(3) n n+ . 20.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，则ab=72， 蔬菜的种植面积S=（a-4）（b-2）=ab-4b-2a+8=80-2（a+2b）≤（m2）. 当且仅当a=2b，即a=12，b=6时，S max=32. 答：当矩形温室的边长为6 m，12 m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积是32 m2. 21.解析：(1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}， 所以??? a －3＝－1，a ＋3＝5， 解得a ＝2. (2)方法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|. 由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5， 当且仅当－3≤x ≤2时等号成立，得g (x )的最小值为5. 从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，实数m 的取值范围为(－∞，5]． 方法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|. 于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝???? ? －2x －1，x ＜－3，5，－3≤x ≤2， 2x ＋1，x ＞2. 所以当x ＜－3时，g (x )＞5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5. 从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，实数m 的取值范围为(－∞，5]． 22.解：(1)因为()g x 在[,]22 ππ-上单调递增，所以'()cos 0g x x λ=+≥， 即cos x λ≥-在[,]22 ππ - 恒成立 …………………2分 所以0λ≥，所以D=[0,)+∞ ………………4分 (2)由题意min ()(1)sin1g x g λ=-=-- ………………5分 所以只需sin1λ-->2 1t t λ++ ………………6分 所以2 (1)sin11t t λ++++<0（0λ≥）恒成立， 令=)(λh 2 (1)sin11t t λ++++，则需10 (0)0t h + ………………7分 而(0)h 2 sin11t =++恒正，故上式无解 所以不存在实数，使得()g x 2 1t t λ>++对?[1,1]x ∈-且D λ∈恒成立.………8分 (3)方程 2ln sin ()(2)x x g x x e x k x λ+=+-++即2ln (2)x x ex k x --= 令()f x =2ln (2)x x ex x --，因为'()f x 2 1ln 2()x e x x -=+- 当(0,)x e ∈时，'() f x 0>；当(,)x e ∈+∞时，'()f x 0< 所以()f x 在(0,)e 递增，(,)e +∞上递减 所以max ()f x ()f e =2 1e e =+ …………… ………………11分 所以当k >2 1e e +时方程无解； 当k = 2 1e e +时方程有一个根； 当k <2 1e e +时方程有两个根 …………………………………………14分 人教版必修五《不等式》单元测试题 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．不等式x 2≥2x の解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |x ≤0或x ≥2} 2．下列说法正确の是( ) A ．a >b ?ac 2>bc 2 B ．a >b ?a 2>b 2 C ．a >b ?a 3>b 3 D ．a 2>b 2?a >b 3．直线3x ＋2y ＋5＝0把平面分成两个区域，下列各点与原点位于同一区域の是( ) A ．(－3,4) B ．(－3，－4) C ．(0，－3) D ．(－3,2) 4．不等式x －1 x ＋2 >1の解集是( ) A ．{x |x <－2} B ．{x |－2 §2.3 等差数列的前n 项和(2) 主备人： 王 浩 审核人： 马 琦 学习目标 1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式； 2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题； 3. 会利用等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究n S 的最大（小）值. 学习过程 一、复习回顾 1：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S . 2：等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求和8S . 二、新课导学 ※ 探究一：如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ ※探究二：记等差数列{}n a 的偶数项和为S 偶，奇数项和为S 奇．当项数为2n 时，则有 S S nd -=奇偶 ；当项数为21n -时，则有n S S a -=奇偶 。 ※探究三：当等差数列{}n a 的项数为21n -时，有12-n S = 。 ※ 典型例题 例1、已知数列{}n a 的前n 项为212 n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列 吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 变式：已知数列{}n a 的前n 项为212 343n S n n =++，求这个数列的通项公式. 小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为 n a =11(1) (2)n n S n S S n -=??-≥?，由此可由n S 求n a . 例2、等差数列{}m a 共有2n 项,其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且 2133n a a -=-，求该数列的公差d 。 变式：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且745 3 n n A n B n +=+，求n n a b 。 例2、已知等差数列24 54377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值. 变式：等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值. 一对一个性化辅导教案 题型1：简单的高次不等式的解法 例1：解下列不等式 （1）340x x ->； （2）22 (1)(56)0x x x --+<； （3）221021x x x +-≥+ 练习： 解不等式（1） 232532≥-+-x x x ； （2）0)4)(23()7()12(632>----x x x x 题型2：简单的无理不等式的解法 例1：解下列不等式 （1 ）21x -> （2 ）2x +< 题型3：指数、对数不等式 例1：若2log 13 a <，则a 的取值范围是（ ） A ．1a > B ．320< 练习： 1、不等式2 x x 432>-的解集是_____________。 2、不等式12 log (2)0x +≥的解集是_____________。 3、设()f x = 1232,2,log (1),2, x e x x x -?的解集为（ ） A ．(1,2)(3,)?+∞ B ．)+∞ C.(1,2))?+∞ D ．(1,2) 题型4：不等式恒成立问题 例1：若关于x 的不等式2122x x mx - +>的解集是{|02}x x <<，则m 的值是_____________。 练习： 一元二次不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23 -，则a b +的值是（ ） A ．10 B ．10- C. 14D ．14- 例2：已知不等式2(1)0x a x a -++<， （1）若不等式的解集为(1,3)，则实数a 的值是_____________。 （2）若不等式在(1,3)上有解，则实数a 的取值范围是_____________。 （3）若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a 的取值范围是_____________。 例3：若一元二次不等式042≤+-a x ax 的解集是R 则a 的取值范围是_____________。 练习： 已知关于x 的不等式() ()012422≥-++-x a x a 的解集为空集，求a 的取值范围。 已知关于x 的一元二次不等式ax 2+(a-1)x+a-1＜0的解集为R ，求a 的取值范围. 若函数f(x)=)8(62++-k kx kx 的定义域为R ，求实数k 的取值范围. 解关于x 的不等式:x 2-(2m+1)x+m 2+m<0. 例12 解关于x 的不等式:x 2+(1-a)x-a<0. 线性规划 高中数学必修五第一章《解三角形》知识 点必修五不等式单元测试题
高中数学必修五第二章数列学案 等差数列的前n项和(2)
高中数学必修五第三章不等式复习知识点与例题
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解