【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 学业分层测评3 相似三角形的判定 新人教A 版选修4-1
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．如图1-3-12，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC ，②△BCD ，③△BDE ，④△
BFG ，⑤△FGH ，⑥△EFK .其中，②～⑥中与三角形①相似的是
( )
图1-3-12
A ．②③④
B ．③④⑤
C ．④⑤⑥
D ．②③⑥
【解析】 由相似三角形判定定理知选B. 【答案】 B
2．如图1-3-13，在△ABC 中，M 在BC 上，N 在AM 上，CM ＝CN ，且AM AN ＝BM
CN
，下列结论中正确的是( )
图1-3-13
A ．△ABM ∽△AC
B B ．△AN
C ∽△AMB C ．△ANC ∽△ACM
D ．△CMN ∽△BCA
【解析】 ∵CM ＝CN ，∴∠CMN ＝∠CNM . ∵∠AMB ＝∠CNM ＋∠MCN ，
∠ANC ＝∠CMN ＋∠MCN ，∴∠AMB ＝∠ANC . 又AM AN ＝BM CN
， ∴△ANC ∽△AM
B.
【答案】 B
3．如图1-3-14，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ，则AO DO
等于( )
【导学号：07370013】
图1-3-14
A.2
5 5 B.13 C.23
D.12
【解析】 ∵AF ⊥DE ，∴Rt △DAO ∽Rt △DEA ，
∴AO DO ＝AE DA ＝12
. 【答案】 D
4．如图1-3-15，在等边三角形ABC 中，E 为AB 中点，点D 在AC 上，使得AD AC ＝1
3
，则有
( )
图1-3-15
A ．△AED ∽△BED
B ．△AED ∽△CBD
C ．△AE
D ∽△ABD D ．△BAD ∽△BCD 【解析】 因为∠A ＝∠C ，BC A
E ＝CD
AD
＝2，所以△AED ∽△CBD . 【答案】 B
5.如图1-3-16所示，已知点E ，F 分别是△ABC 中AC ，AB 边的中点，BE ，CF 相交于点
G ，FG ＝2，则CF 的长为( )
图1-3-16
A ．4
B ．4.5
C ．5
D ．6
【解析】 ∵E ，F 分别是△ABC 中AC ，AB 边的中点，∴FE ∥BC ，由相似三角形的预备定理，得△FEG ∽△CBG ，∴
FG GC ＝EF BC ＝12
. 又FG ＝2，∴GC ＝4，∴CF ＝6. 【答案】 D 二、填空题
6．如图1-3-17，BD ⊥AE ，∠C ＝90°，AB ＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________，CE ＝________.
图1-3-17
【解析】 在Rt △ACE 和Rt △ADB 中，∠A 为公共角，∴△ACE ∽△ADB ，∴AB AE ＝AD
AC
， ∴AE ＝
AB ·AC AD ＝AB AB ＋BC
AD
＝＋3
＝8，则DE ＝AE －AD ＝5，
在Rt △ACE 中，CE ＝AE 2
－AC 2
＝82
－＋
2
＝27.
【答案】 5 27
7．如图1-3-18，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则AE ＝________.
图1-3-18
【解析】 由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC 及∠ACD ＝90°可以推得： Rt △ABE ∽Rt △ADC ，故AE AC ＝AB
AD
∴AE ＝6×4
12
＝2.
【答案】 2
8.如图1-3-19，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________. 【导学号：07370014】
图1-3-19
【解析】∵DE∶EC＝1∶2，
∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2.
∵AB∥EC，
∴△ABF∽△CEF，
∴BF
EF
＝
AB
EC
＝
3
2
，∴
BF
BE
＝
3
5
.
【答案】3∶5
三、解答题
9．如图1-3-20，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.
求证：PB2＝PE·PF.
图1-3-20
【证明】连接PC.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵AD是中线，∴AD垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴∠PBD＝∠PCD，
∴∠ABP＝∠ACP.
又∵CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，
而∠CPE＝∠FPC.
∴△PCE∽△PFC，
∴PE
PC
＝
PC
PF
，∴PC2＝PE·PF，
即PB 2
＝PE ·PF .
10.如图1-3-21，某市经济开发区建有B ，C ，D 三个食品加工厂，这三个工厂和开发区
A 处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且A
B ＝CD ＝900米，AD ＝B
C ＝1 700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN ，B ，C 两厂之间的公路与自
来水主管道交于E 处，EC ＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．
图1-3-21
(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；
(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？ 【解】 (1)如图，过B ，C ，D 分别作AN 的垂线段BH ，CF ，DG 交
AN 于H ，F ，G ，BH ，CF ，DG 即为所求的造价最低的管道路线．
(2)在Rt △ABE 中，AB ＝900米，
BE ＝1 700－500＝1 200米，
∴AE ＝ 1 2002
＋9002
＝1 500(米)， 由△ABE ∽△CFE ，得到CF AB ＝CE
AE
，
即
CF
900＝500
1 500
， 可得CF ＝300(米)．由△BHE ∽△CFE ， 得BH CF ＝BE CE ， 即
BH
300＝1 200500
，可得BH ＝720(米)． 由△ABE ∽△DGA ，得AB DG ＝AE AD
， 即
900DG ＝1 5001 700
， 可得DG ＝1020(米)．
所以，B ，C ，D 三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576 000(元)，300×800＝240 000(元)，1 020×800＝816 000(元)．
[能力提升]
1.如图1-3-22所示，要使△ACD ∽△BCA ，下列各式中必须成立的是( )
图1-3-22
A.
AC AB ＝AD
BC
B.
AD CD ＝AC BC
C ．AC 2
＝CD ·CB D ．CD 2
＝AC ·AB
【解析】 ∠C ＝∠C ，只有AC CD ＝CB AC
，即AC 2
＝CD ·CB 时，才能使△ACD ∽△BCA . 【答案】 C
2．如图1-3-23所示，∠AOD ＝90°，OA ＝OB ＝BC ＝CD ，则下列结论正确的是( )
图1-3-23
A ．△DA
B ∽△OCA B ．△OAB ∽△ODA
C ．△BAC ∽△BDA
D ．△OAC ∽△ABD
【解析】 设OA ＝OB ＝BC ＝CD ＝a ， 则AB ＝2a ，BD ＝2a ， ∴AB BD
＝
22，BC AB ＝a 2a ＝22
， ∴AB BD ＝BC AB
，且∠ABC ＝∠DBA ， ∴△BAC ∽△BDA . 【答案】 C
3．如图1-3-24所示，∠BAC ＝∠DCB ，∠CDB ＝∠ABC ＝90°，AC ＝a ，BC ＝B.当BD ＝__________时，△ABC ∽△CDB.
图1-3-24
【解析】 由AC BC ＝
BC
BD
即可得到．
【答案】 b 2
a
4．如图1-3-25所示，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接FC (AB >AE )．
图1-3-25
(1)△AEF 与△ECF 是否相似？若相似证明你的结论；若不相似，请说明理由； (2)设AB
BC
＝k ，是否存在这样的k 值 ，使得△AEF 与△BFC 相似，若存在，证明你的结论，并求出k 的值；若不存在，说明理由．
【解】 (1)相似．在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°. ∵EF ⊥EC ，A ，E ，D 共线，∴∠AEF ＋∠DEC ＝90°.
又∵∠DCE ＋∠DEC ＝90°，∴∠AEF ＝∠DCE ， ∴△AEF ∽△DCE ，∴EF EC ＝AF DE
， ∴AE ＝DE ，∴EF EC ＝
AF
AE
.
又∵∠A ＝∠FEC ＝90°，∴△AEF ∽△ECF .
(2)存在．由于∠AEF ＝90°－∠AFE <180°－∠CFE －∠AFE ＝∠BFC ， ∴只能是△AEF ∽△BCF ，∠AEF ＝∠BCF . 由(1)知∠AEF ＝∠DCE ＝∠ECF ＝∠FCB ＝30°. ∴AB BC ＝CD BC ＝
CD 2DE ＝32，即k ＝3
2
.
反过来，在k ＝
32时，DE CD ＝1
3
，∠DCE ＝30°， ∠AEF ＝∠DCE ＝30°，∠ECF ＝∠AEF ＝30°， ∠BCF ＝90°－30°－30°＝30°＝∠AEF . ∴△AEF ∽△BCF .