运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动
一、等效法
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相
关概念之间关系。具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
二、题型归类
（1）单摆类问题（振动的对称性）
例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？
运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动， 对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。 等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将
其称为等效重力可得：α
cos mg
g m =
'，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。
规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对
应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，
当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。
针对训练：
1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝
g
'
图2-3 图2-1
缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状
态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是
A ．小球所受电场力的大小为mg tan θ
B ．小球到B 点的速度最大
C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零
D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大 答案：
AB
2、用长为l 的细线悬挂一质量为m ，带电荷量为+Q 的小球，将其置于水平方向向右且大小为E 的匀强电场中，如下图所示。现将小球固定于悬点的正下方且OA l =的位置A 处，然后释放小球。已知电场力大于重力，求悬线受到的最大拉力。
解析：小球释放后受恒力mg 、QE 和变力F T 的作用，在位置A 、B 之间做往复振动，电势能和重
力势能、动能发生相互转化，则在点A 、B 之间必存在一个平衡位置（切向加速度为零），由运动的对称性可知，这个位置必然在点A 、B 中间，设为点C ，与竖直方向的夹角为θ，则
tan /θ=QE mg ，等效重力加速度
g g QE m g '(/)/cos =
+=22θ。
设点C 为等效重力势能的零势能面，则
l mv mg F mv l mg C T C / 2
1)cos 1( 22=-=
-，θ， F mg mg mg mg mg QE mg
T =+-=-=+-''(cos )''cos ()()21323222θθ
3、如图2所示，一条长为L 的细线上端固定，下端拴一个质量为m 的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。
图2
（1）若使细线的偏角由α增大到?，然后将小球由静止释放。则?应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？
（2）若α角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？
解析：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，故不妨将两个力合成，
并称合力为“等效重力”，“等效重力”的大小为：
αcos )()(22mg Eq mg =
+，令'cos mg mg
=α
这里的α
cos 'g
g =
可称为“等效重力加速度”，方向与竖直方向成α角，如图3所示。这样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场。
图3
（1）在“等效重力场”中，观察者认为从A 点由静止开始摆至B 点的速度为零。根据重力场中单摆摆动的特点，可知α?2=。
（2）若α角很小，则在等效重力场中，单摆的摆动周期为g
L g L T α
π
πcos 2'2==，从A →B 的时间为单摆做简谐运动的半周期。
即g
L T t α
π
cos 2==
。 4、在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300
角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动
到最低点D 时的速度大小。
A 处时对球受力分析如右图:
且F=mgtg300
=3
3mg,
mg
T
F
“等效”场力G ’=22)(F mg +=
3
3
2mg 与T 反向 “等效”场加速度g ’=
3
3
2g 从B 到C 小球在等效场力作用下做初速度为零的匀加速直线运动,
S=3L V C =s g '2=2gL 所以V CX =V C sin600
=gL 3
V CY 在绳子拉力作用下，瞬时减小为零
从C 到D 运用动能定理: W G +W F =
21m V D 2--2
1m V CX 2
V D =gL )132(+
5、如图12，带正电的小球用细绳悬挂在两块无限大的平行板电容器间。小球悬点O ，摆长为L ，摆
球质量为m ，两板间距为d ，两板间加电压为U 。今向正极板方向将摆球拉到水平位置B 然后无初速释放，小球在B 、A 间来回振动，OA 为竖直线。
求：（1）小球所带电量为多少？
（2）小球最大速率为多少？ （3）若要使小球能做完整的圆周运动，在B 点至少 需使小球具有多大的竖直向下的初速度？
解析：⑴由题意可知小球运动的等效最低点为AB 弧的中点
且电场力qE 水平向左、重力mg 竖直向下，合力的方向由O 指向AB 弧中点，即O 点左向下45° 则 qE=mg ，E=U/d 得 q=mgd/U
⑵从上一问分析可知小球将在AB 弧中点达到最大速度V m
，由B 静止运动到AB 弧中点的过程，根据动能定理得
21
2
m mV
(12-则V m
⑶小球圆周运动的等效最高点为O 点右向上45°距离为L 处
，设在B 点时具有竖直向下的速度为V B ，由动能定理得
211
22
B mV -
=()L +
解得B V =
6、（12西城二模）如图所示，长度为l 的轻绳上端固定在O 点，下端系一质量为m ，电荷量为+q 的小球。
整个装置处于水平向右，场强大小为
q
mg 43的匀强电场中。
（1）求小球在电场中受到的电场力大小F ；
+
-
O
B A
（2）当小球处于图中A 位置时，保持静止状态。若剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速度大小a ； （3）现把小球置于图中位置B 处，使OB 沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位置B 无初速
度释放。不计小球受到的空气阻力。求小球通过最低点时的速度大小v 。
解析：
（1）小球所受的电场力 Eq F 4
3== ················· 2分
mg Eq F 43
=
=··················2分 （2）根据平行四边形定则,小球受到的重力和电场力的的合力
mg Eq F 45
)()mg 22=
+=（合 · ················2分
根据牛顿第二定律 ma
F =合 ·················2分
所以，小球的加速度 g a 45
= ············ ··2分 （3）根据动能定理有 ：
0212
-=
-mv Eql mgl ·············4分
解 得： 22gl
v =
·················2分
（2）类平抛运动
例1：水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？
解：当微粒不带电时，只受重力做平抛运动d/4=1/2gt 2
，带电后，应根据极板电性不同分两种情况讨论
（1）若上极板带正电，下极板带负电（如图a ）
微粒水平方向仍作匀速直线运动时间为t ，竖直方向受
重力和电场力均向下，竖直位移s=1/2(g+qU/md) t 2
，要使 微粒不再射出电场，则s>d/2,解得U>mgd/q. （2）若上极板带负电，下极板带正电（如图b ） 分析方法上同，只是此时电场力向上，竖直位移 s=1/2(qU/md-g) t 2
，要使微粒不再射出电场，则s>d/2,
解得U>3mgd/q.由于微粒不带电时能射出电场，故当重 力大于电场力时，微粒一定能射出，满足条件。
+
(a) + (b)
（3）竖直平面内的圆周运动
例1、如图3-1所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为
R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。现
有一质量为m 的带正电，电量为E
mg
q 33=小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、
电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道。
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过
山车。 等效分析：如图3-2所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力g m '，
大小332)()(22mg mg qE g m =
+='，3
3
==mg qE tg θ，得?=30θ，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力
场中过山车模型。
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供
向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道。如果将斜面顺时针转过300
，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B ，则B 点应满足“重
力”当好提供向心力即：R
mv g m B
2='
假设以最小初速度v 0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：2
22
1212mv mv R g m B -='- 解得：3
3100gR v =
针对训练：
1、水平向右的匀强电场中，用长为R 的轻质细线在O 点悬挂一质量为m 的带电小球，静止在A 处，
AO 的连线与竖直方向夹角为370
，现给小球施加一个沿圆弧切线方向的初速度V 0，小球便在竖直面内运动，为使小球能在竖直面内完成圆周运动，这个初速度V 0至少应为多大？ 解析：
静止时对球受力分析如右图 且F=mgtg370
=
4
3
mg, “等效”场力G ’=2
2
)(F mg +=4
5
mg 与T 反向 “等效”场加速度g ’=
4
5g 图3-1 E '
B
与重力场相类比可知: 小球能在竖直面内完成圆周运动的临界速度位置在AO 连线B 处, 且最小的V B =R g '
从B 到A 运用动能定理: G ’2R=
21m V 0 2-- 2
1m V B 2
45mg2R=21m V 0 2-- 21m 4
5gR V 0 =2
5gR
2. 如下图所示，在竖直平面内有水平方向的匀强电场，场强E=1041
N C ·-，有一质量m kg =004.，带电荷量Q C =-3105
×的小球，用一长度l =04.m 的细线拴住且悬于电场中的O 点，当小球处于平衡位置静止时，问：在平衡位置以多大的初速度释放小球，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动？（g m s
=-102
·）
解析：小球在复合场中处于平衡时，受到恒力QE 、mg 和变力F T 的作用，设平衡位置在A 处，此时悬线与竖直方向的夹角为θ，等效重力加速度 g g QE m m s '(/).=
+=-221252·。
小球运动的最高点为AO 连线的反向延长线与圆弧的交点B 。因为只有重力和电场力做功，故能
量守恒。取A 处为等效“重力零势能面”，则E E E KA KB PB =+，即
1212
222
mv mv mg l A B =+'()。 若要维持带电粒子做圆周运动，粒子到达最高点的临界条件为
mg mv l v B B '/lg'==
2
，。
则
121
2
202mv mg l mg l =+''， v g l m s 0155==-'·。
3、半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图11所示.在A 点时小球对轨道的压力
.
B
F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：
（1）小球最小动能等于多少？
(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 0.04s 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少？
解析 （1）依题意：我们将带电小球受到的重力和电场力的等效为一个力F （F 即为重力和电场力的合力），设小球动能最小位置在B 处（该点必在A 点的对称位置），此时，由牛顿第二定
律和圆周运动向心力公式可得：2
A
N v F F m R
-=，从A 到B ，由动能定理得：
2kB kA F R E E -?=-，可解得：40kA E J =，8kB E J =，20F N =
（2）撤去轨道后，小球将做类平抛运动（BA 方向上匀加速、垂直于OA 方向上匀速直线运动的合
运动），根据机械能守恒，0.04s 后，将运动到过A 点且垂直于OA 的直线上.运动过程的加速
度为：F a m =，根据平抛运动规律可得：2
122
R at =，可解得：20.014Ft m kg R ==。 4、（07宣武）（本题9分）如图14所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104
V/m 的水平匀强电场中
的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4
C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静
止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s 2
）求： （1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？ 答案：（9分）概述：对于本题，无论应用功能关系、动能定理或广义机械能守恒
定律观点，只要叙述准确以及对应的方程符合规范，都要给相应的分。以下仅用动能定律的观点求解，供参考。） 解：（1）、（2）设：小球在C 点的速度大小是V c ，对轨道的压力大小为N C ，则对于小球由A →C 的过程中，应用动能定律列出：
02
1
2.2-=
-C mV mgR R qE …………………① 在C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：R
V m qE N C C 2
=-……②
⌒
解得：s m gR m
qER
V C /224=-=
………③ N mg qE N C 325=-=…………………………④
（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B 、C 点的连线BC
∴合场势能最低的点在BC
的中点D 如图：……………………⑤ ∴小球的最大能动E KM ：
)45cos 1(.)45sin 1(min ?-+?+===R mg qER Ep Ep E D KM J 5
2
=
…………⑥ 例2：“最低点”类问题
如图1-1所示，ab 是半径为R 的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。现在该平面内，将一带正电的粒子从a 点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c 点时粒子的动能最大。已知∠cab=30°，若不计重力和空气阻力，试求：（1）电场方向与ac 间的夹角θ。 （2）若小球在a 点时初速度方向与电场方向垂直，则小球恰好能落在c 点，那么初动能为多大？
运动特点：小球只受恒定电场力作用下的运动
对应联想：重力场中存在的类似的问题，如图1-2所示，在竖直平面内，从圆周的d 点以相同
的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，可知到达圆周最低点e 时小球的动能最大，且“最低点”e 的特点：重力方向上过圆心的直径上的点。
等效分析：重力场的问题中，存在一个“最低点”对应的速度最大。同理恒定电场中也是对应
的“最低点”时速度最大，且“最低点”就是c 点。
规律应用：电场力方向即为如图1-3所示过圆心作一条过c 点的直径方向，由于粒子带正电，
电场方向应为斜向上，可得θ=30°。
解析：（1）对这道例题不少同学感到无从下手，其实在重力场中有一个我们非常熟悉的事实：如图
1所示，在竖直平面内，从圆周的a 点以相同的动能抛出小球，抛出方向不同时，小球会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达圆周最低点d 时小球的动能最大，最低点是过圆心的竖直直径的一点，根据这一事实，我们将电场等效为重力场，那么小球也应该是在“最低点”时速度最大，所以过圆心作一条过c 点的直径，这就是电场的方向，如图2所示，所以θ=30°。
c
图
1-1
图1-2
图1-3
A
⌒
图1 图
2 （2）小球做类似平抛运动，由平抛运动知识可知
x v t y at EQt m
===022
122，，
而 x R y x ==cos /tan θθ，，
解得 E mv REQ k =
=121
8
02。 针对训练：
1、（09海淀反馈）如图15所示，BD 是竖直平面上圆的一条竖直直径，AC 是该圆的任意一条直径，已知AC 和BD 不重合，且该圆处于匀强电场中，场强大小为E ，方向在圆周平面内。将一带负电的粒子Q 从O 点以相同的动能射出，射出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达A 点时粒子的动量总是最小。如果不考虑重力作用的影响，则关于电场强度的下列说法中正确的是 （ ）
A ．一定由C 点指向A 点
B ．一定由A 点指向
C 点 C ．可能由B 点指向
D 点 D ．可能由D 点指向B 点 答案：A
2、(09海淀)如图9所示，BD 是竖直平面内圆上的一条竖直直径，AC 是该圆的
另一条直径，该圆处于匀强电场中，场强方向平行于圆周平面。将带等量
负电荷的相同小球从O 点以相同的动能射出，射出方向不同时，小球会经过圆 周上不同的点，在这些所有的点中，到达A 点时小球的动量总是最小。忽略空 气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A ．可以断定电场方向由O 点指向圆弧AE
B 上的某一点
B ．到达B 点时小球的动能和电势能之和总是最小
C ．到达C 点时小球的电势能和重力势能之和总是最小
D ．对到达圆上的所有小球中，机械能最小的小球应落在圆弧CFD 上的某一点 答案：BC （4）、斜面类问题
如图4-1所示，一根对称的“Λ”型玻璃管ABC 置于竖直平面内，管与水平面夹角为θ＝300
, 一侧管长为L=2m ，管对称线OO ′的左侧的空间存在竖直向上的匀强电场E 1，管对称线OO ′的右
侧的空间存在与竖直方向成0
30=α，大小为E 2的匀强电场。质量为m ，带正电电量为q 的小球在管内从A 点由静止开始运动，且与管壁的摩擦系数为μ，如果小球在B 端与管作用没有机械能量损失，已知5.0=μ，mg qE 31=，mg qE 32=，求小球从A 点开始至第一次速度为
零的位置在何处？
B 图9
运动特点：如图4-2所示，对小球在AB 斜面上受力分析，电场力和重力的等效为重力1mg ，大小为mg mg qE mg 211=-=，方向竖直向上。对小球在BC 斜面上受力分析，电场力和重力等效为重力2mg ，大小为mg mg =2，方向垂直斜面向上，如果将整个模型转1800
就成了如图4-3所示的问题。
对应联想：物体先在斜面上运动，然后在水平面上运动的斜面运动模型。 规律应用：
分析BC 斜面上的受力特点，将BC 斜面顺时针转300
，就成了如图4-4所示最熟悉的斜面模型。
在斜面AB 上的加速度为：)32(530cos 30sin 0
1011-=-=ug g a m/s 2
第一次到B 点的速度为：)32(2021-==
L a v m/s
在斜面BC 上的加速度为：522==g a μ m/s 2
速度为零时，到B 点的距离为：32422
2
-==a v s m
针对训练：
1、如图1所示，在离坡顶为l 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L 。杆上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q 、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角
30=θ。若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦
的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。（2
/10s m g =，
60.037sin = ，80.037cos = ）
解析 因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存
在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向。 建立“等效重力场”如图2所示，“等效重力场”的“等效重力加速度”，
方向：与竖直方向的夹角
30，大小：
30cos g
g ='
图4-3
E
带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g '
的匀加速运动
30cos 2L S AB = ①
221t g S AB '=
②
由①②两式解得g L
t 3
=
（5）、斜抛类问题
例1、如图5-1所示，匀强电场水平向右，310=E N/C ，一带正电的油滴的质量5100.2-?=m kg ，电量5100.2-?=q C 。在A 点时速度大小为20=v m/s ，方向为竖直向上，则油
滴在何时速度最小且求出最小速度？
运动特点：小球具有一定初速度，在运动只受重力、电场力两个恒力的曲线运动。 对应联想：在重力场中物体只受重力，具有初速度的运动，对应有平抛、斜抛。 等效分析：如图5-2所示仍把重力与电场力等效成一个重力，mg mg qE g m 2)()(22=+=
'，
等效重力加速度g g 2='，等效重力与初速度不垂直，于是可等效为重力场中斜抛运动。 规律应用：研究斜抛运动方法是建立水平、竖直坐标，即沿重力方向与垂直方向的坐标，对应分解速度，运动可等效为水平匀速速度，竖直先匀减速运动后匀加速运动，当竖直方向速度为零时速度最小。如果整个模型面顺时针转过60°就成如图5-3所示的重力场中斜抛模型。建立坐标，同时对应分解初速度。则油滴的运动可等效为x 方向匀速运动，y 方向做先匀减速运动后匀加速的运动。
分析可得，当y 方向速度为零，油滴的速度最小为
31030cos 0min =?==v v v x m/s ，
对应时间为：5.0230sin 0=?
=
'
=g
v g v t y s
针对训练：
1、在电场强度为E 的水平电场中，以初速度v 0竖直向上发射一个质量为m 、电荷量为Q 的小球，这
个小球在运动中的最小速度为__________。
图5-2
A
图5-1
图2
解析：如下图，小球受电场力EQ ，重力mg 作用，等效重力加速度
g g QE m '(/)=
+22，
与水平方向夹角为θ， cos ()()
θ=
+EQ mg EQ 2
2
。
将初速度v 0分解为沿等效重力加速度g'方向的v y 和垂直g'方向的v x ， v v EQv mg EQ x ==
+002
2
cos ()()
θ。
小球在运动过程中，当v y =0时，合速度v 最小为v EQv mg EQ x =
+02
2
()()
。
2、（10宣武一模）如图所示，一个质量为m ，带电量为+q 的微粒，从a 点以大小为v 0的初速度竖
直向上射入水平方向的匀强电场中。微粒通过最高点b 时的速度大小为2v 0，方向水平向右。求： （1）该匀强电场的场强大小E ； （2）a 、b 两点间的电势差U ab ；
（3）该微粒从a 点到b 点过程中速率的最小值v min 。
解析：（1）分析：沿竖直方向和方向建立直角坐标，带电微粒受到重力及电场力作用，两力分别沿竖直方向和水平方向，将物体的运动分解为竖直方向和水平方向的两个分运动：
在竖直方向物体做匀减速运动，加速度y a g =， 水平方向物体做匀加速运动，初速度为0，加速度.x qE a m
= b 点是最高点，竖直分速度为0，有：0
v t g
=
。 水平方向有：02qE
v t m
=
联立两式得：2mg E q = （2）水平位移：200v x v t v t g =?== ab 两点间的电势差：2
2mv U E x q
=?=
（3）设重力与电场力的合力为F ，其与水平方向的夹角为θ，
则：1
tan 2
mg qE θ=
= 3、如图所示，开始一段时间内，F 与速度方向夹角大于90°，合力做负功，动能减小，后来F 与速度夹角小于90°，合力做正功，动能增加，因此，当F 与速度v 的方向垂直时，小球的动能最小，速度也最小，设为min v 。 即：tan x
y
v v θ=
2x qE
v t gt m
=
= 0y v v gt =-
联立以上三式得：00024,,555
x y v v v t v v g =
==
所以最小速度：0
min 5
v -=
计数原理与排列组合题型解题方法总结 计数原理 一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理： 特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类） 如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质 二、.典例解析 题型1:计数原理 例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;
③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。 例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有 条不同的线路可通电。 例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？ 例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？ 例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A
某公司目前每股普通股市价为20元，本年发放股利数额为3元，预期每年的股利增长率为8%，又已知股票的筹资费用率 为2%，则该股票的资本成本为（）。 答案：由股利增长模型可以计算：股票资本成本＝3×（1＋8%）/[20×（1－2%）]＋8%＝%。 某公司息税前利润为500万元，债务资金200万元（账面价值），平均债务税后利息率为7%，所得税税率为30%，权益资金2000万元，普通股的成本为15%，则公司价值分析法下，公司此时股票的市场价值为（）万元。 【答案解析】本题考核资本结构。股票的市场价值＝[500×（1－30%）－200×7%]/15%＝2240（万元）。 【提示】公司价值分析法中，计算股票的市场价值时，实际上是假设公司各期的净利润保持不变，并且净利润全部用来发放股利，即股利构成永续年金，股票的市场价值＝永续股利的现值＝净利润/普通股的成本。 如果甲企业明年经营杠杆系数为，总杠杆系数为3，则下列说法不正确的是（D）。 A、如果销售量增加10%，息税前利润将增加15% B、如果息税前利润增加20%，每股收益将增加40% C、如果销售量增加10%，每股收益将增加30% D、如果每股收益增加10%，销售量需要增加30% 【答案解析】本题考核杠杆效应。因为经营杠杆系数为，所以销售量增加10%，息税前利润将增加10%×＝15%，选项A的说法正确。由于总杠杆系数为3，所以如果销售量增加10%，每股收益将增加10%×3＝30%，选项C的说法正确。由于财务杠杆系数为3/＝2，所以息税前利润增加20%，每股收益将增加20%×2＝40%，选项B的说法正确。由于总杠杆系数为3，所以每股收益增加10%，销售量增加10%/3＝%，选项D的说法不正确。 某企业本年营业收入1200万元，变动成本率为60%，下年经营杠杆系数为，本年的经营杠杆系数为2，则该企业的固定性经营成本为（）万元。 【答案解析】本题考核杠杆效应。下年经营杠杆系数＝本年边际贡献/（本年边际贡献－固定性经营成本）＝1200×（1－60%）/[1200×（1－60%）－固定性经营成本]＝，解得：固定性经营成本为160万元。 某企业2011年及2012年的经营杠杆系数分别为和3，2011年的边际贡献总额为75万元，若预计2012年的销售额增长15%，则2012年的息税前利润为（）万元。 【答案解析】本题考核杠杆效应。2011年的息税前利润＝75/3＝25（万元） 2012年的息税前利润＝25×（1＋3×15%）＝（万元） 某公司的经营杠杆系数为，财务杠杆系数为，则该公司销售额每增长1倍，就会造成每股收益增加（）倍。 【答案解析】本题考核杠杆效应。因为DTL＝DOL×DFL＝×＝，ΔQ/Q＝1，则ΔEPS/EPS＝ 某企业2011年税前利润500万元，利息50万元，2012年税前利润600万元，利息80万元，所得税税率为25%。则该企业2012年财务杠杆系数为（）。 【答案解析】本题考核杠杆效应。计算财务杠杆需要使用基期数据，所以计算2012年财务杠杆系数要使用2011年数据，财务杠杆系数＝（500＋50）/500＝ 判断：如果经营性固定成本为零，则经营杠杆系数为1，则企业没有经营风险。（） 【正确答案】错 【答案解析】本题考核杠杆效应。引起经营风险的主要原因是市场需求和生产成本等因素的不确定性，经营杠杆本身并不是资产报酬不确定的根源，它只是放大了经营风险。如果经营杠杆系数为1，则说明不存在经营杠杆效应，没有放大经营风险。企业只要经营就存在经营风险 在其他因素不变的情况下，销售额越小，经营杠杆系数越小。（） 【正确答案】错
排列组合知识点汇总及典型例题(全)
一．基本原理 1．加法原理：做一件事有n 类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 注：做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一 .m n m n A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从 1.公式：1.()()()()! ! 121m n n m n n n n A m n -= +---=…… 2. 规定：0!1= (1)!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =?-+?=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ?=+-?=+?-=+-； (3) 111111 (1)!(1)!(1)!(1)!!(1)! n n n n n n n n n +-+==-=- +++++ 三．组合：从n 个不同元素中任取m （m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。 1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n m n m m m ==--+= -11……!!!! 10 =n C 规定： 组合数性质：.2 n n n n n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②；③；④ 111 12111212211r r r r r r r r r r r r r r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=+++ +=++ +=注： 若1 2 m m 1212m =m m +m n n n C C ==则或 四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事（审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。 2．解排列、组合题的基本策略 （1）两种思路：①直接法； ②间接法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用的解题方法。 （2）分类处理：当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集， 所有各类的并集为全集。 （3）分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合问题时，常常既要分 类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 （43．排列应用题： （1）穷举法（列举法）：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来； (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考虑； （3）．相邻问题：捆邦法： 对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列。 （4）、全不相邻问题，插空法：某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件的元素，然后再将不相 邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 （5）、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 解法一：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 解法二：在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法；若不要求，则有2种排法； （6）“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列。 （7）分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 （8）．数字问题（组成无重复数字的整数） ① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数； ③能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数④能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。 ⑤能被5整除的数的特征：末位数是0或5。 ⑥能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。 ⑦能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。 4．组合应用题：（1）.“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: （2）． “含”与“不含” 用间接排除法或分类法: 3．分组问题： 均匀分组：分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 非均匀分组：分步取，得组合数相乘。即组合处理。 混合分组：分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 4．分配问题： 定额分配：（指定到具体位置）即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。
1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l 的轻、软绝缘细线悬挂一 质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是 A ．小球所受电场力的大小为mg tan θ B ．小球到B 点的速度最大 C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零 D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大 2、、半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨 道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ， 如图所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球 能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求： （1）小球最小动能等于多少？ (2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 0.04s 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少？ 3、如图14所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其 中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨 道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s 2）求： （1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？ 4、水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行 于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少？并说明上下板间带电性？ 5、如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E 、方向水平向右的匀强电场中。现有一质量为m 的带正电，电量为E mg q 33=小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O 点的初速度应为多大？ 6、如图所示，在离坡顶为l 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L 。杆上端A 到坡底 B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q 、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角 30=θ。若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑 下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。（2/10s m g =，60.037sin = ，80.037cos = ） 7、如图所示，匀强电场水平向右，310=E N/C ，一带正电的油滴的质量5100.2-?=m kg ，电量 5100.2-?=q C 。在A 点时速度大小为20=v m/s ，方向为竖直向上，则油滴在何时速度最小且求出最小速度？ 4．如右图所示，M 、N 是竖直放置的两平行金属板，分别带等量异种电荷，两极间产生一个水平向右的匀强电场， 场强为E ，一质量为m 、电荷量为＋q 的微粒，以初速度v 0竖直向上从两极正中间的A 点射入匀强电场中，微粒垂直打到N 极上的C 点，已知AB ＝BC ．不计空气阻力，则可知（ ） A ．微粒打到C 点时的速率与射入电场时的速率相等 B ．微粒打到 C 点以前最小动能是初动能的一半 C ．MN 板间的电势差为q mv 20 D ．MN 板间的电势差为202Ev U g = E A v A B C E O θ θ R 300 E O E A B C ⌒ . B
第九章 收入与分配管理 一.趋势预测分析法 Y n ＋1＝αX n ＋（1－α）Y n 式中： Y n ＋1——未来第n ＋1期的预测值； Y n ——第n 期预测值，即预测前期的预测值； X n ——第n 期的实际销售量，即预测前期的实际销售量； α——平滑指数； n ——期数。 一般地，平滑指数的取值通常在0.3～0.7之间。 二.因果预测分析法 预测公式: Y ＝a+bx 其常数项a 、b 的计算公式为： 2 2 )(∑∑∑∑∑--= x x n y x xy n b n x b y a ∑∑-= 三.销售定价公式 （1）全部成本费用加成定价法 计算公式：
①成本利润率定价 单位利润＝单位成本×成本利润率 ＝单位成本×（1＋成本利润率）单位产品价格＝单位成本×（1＋成本利润率） /（1－适用税率） ②销售利润率定价 单位利润＝单位价格×销售利润率 单位产品价格×（1－适用税率）＝单位成本＋价格×销售利润率单位产品价格＝单位成本 /（1－销售利润率－适用税率） 利润为已知的目标利润。 价格×（1－适用税率）＝单位成本＋单位目标利润 1－适用税率） 价格＝单位成本＋单位目标利润/（
（2）边际分析定价法 利润＝收入－成本 边际利润＝边际收入－边际成本＝0 边际收入＝边际成本 【结论】边际收入等于边际成本时，利润最大，此时的价格为最优价格。 【定价方法小结】 【典型习题】 [单选题] 1、某企业生产B产品，本期计划销售量为5000件，目标利润总额为120000元，完全成本总额为200000元，适用的消费税税率为5%，根据以上资料，运用目标利润法预测单位B 产品的价格为（）元。 A、24 B、45.11 C、64 D、67.37 【正确答案】D 【答案解析】单位产品价格＝（目标利润总额＋完全成本总额）/[产品销量×（1－适用税率）]＝（120000＋200000）/[5000×（1－5%）]＝67.37（元）。 [单选题] 2、某企业生产销售C产品，20×3年前三个季度的销售单价分别为50元、55元和57元；销售数量分别为210万件、190万件和196万件。若企业在第四季度预计完成200万件产品的销售任务，根据需求价格弹性系数定价法预测的产品单价为（）元。 A、34.40 B、24.40 C、54 D、56.43 【正确答案】A 【答案解析】本题考核需求价格弹性系数定价法。E1＝[（190－210）/210]/[（55－50）/50]＝－0.95，E2＝[（196－190）/190]/[（57－55）/55]＝0.87，E＝（E1＋E2）/2＝（－0.95＋0.87）/2＝－0.04，P＝57×（196/200）（1/0.04）＝34.40（元）。
例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 例2三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 例3 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。 （1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？ （2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？ 例4某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法． 例5现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员．问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？ 例6下是表是高考第一批录取的一份志愿表．如果有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择．若表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有多少种不同的填表方法？ 例77名同学排队照相． (1)若分成两排照，前排3人，后排4人，有多少种不同的排法？
(2)若排成两排照，前排3人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种不同的排法？ (3)若排成一排照，甲、乙、丙三人必须相邻，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照，7人中有4名男生，3名女生，女生不能相邻，有多少种不面的排法？ 例8计算下列各题： (1) 215 A ； (2) 66 A ； (3) 1 1 11------?n n m n m n m n A A A ； 例9 f e d c b a ,,,,,六人排一列纵队，限定a 要排在b 的前面（a 与b 可以相邻，也可以不相邻），求共有几种排法． 例10 八个人分两排坐，每排四人，限定甲必须坐在前排，乙、丙必须坐在同一排，共有多少种安排办法？ 例11 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且不彩画不放在两端，那么不同陈列方式有 例12 由数字5,4,3,2,1,0组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数的个数共有（ ）． 例13 用5,4,3,2,1，这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）． 例14 用543210、、、、、共六个数字，组成无重复数字的自然数，(1)可以组成多少个无重 复数字的3位偶数？(2)可以组成多少个无重复数字且被3整除的三位数？
圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题） 绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律 最高点 最低点（平衡位置） 临界最高点：重力提供向心力，速度最小 速度最大、拉力最大 等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向 ②在复合场中找出等效最低点、最高点。最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理 例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为 mg 3 3 ，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 及运动过程中的最大拉力 变式1：如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且 .2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后 ，在轨道的内侧运动。（g=10m/s2）求： （1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？ 例2：在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A 处，悬线与竖直方向成300 角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小 A B C 300 A O D V C B V C Y
1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长 为l 的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球， 当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方 向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直 方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加 速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列 判断中正确的是 A ．小球所受电场力的大小为mg tan θ B ．小球到B 点的速度最大 C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零 D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大 2、、半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任 意一点（不计空气阻力）.试求： （1）小球最小动能等于多少 (2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少 3、如图14所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强 电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且 .2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。（g=10m/s 2）求： （1）它到达C 点时的速度是多大 （2）它到达C 点时对轨道压力是多大 （3）小球所能获得的最大动能是多少 4、水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少并说明上下板间带电性 5、如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。整个装置处于场强为E 、方向水平向右 A B C E O θ θ R 300 E O ⌒ . B
高考排列组合典型例题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
排列组合典型例题 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有39A 个； 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有281814A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296179250428181439 =+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有39A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千 位数是“0”排列数得：)(283914 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 22961792504)(28391439 =+=-?+A A A A 个．
探讨等效法在匀强电场中竖直面圆周运动的应用 王 强 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那么，如何实现这一思想方法呢？ 首先我们明确一下等效法，等效法是把复杂的物理现象、物理过程转化为简单的物理现象、物理过程来研究和处理的一种科学思想方法。它是物理学研究的一种重要方法。在中学物理中，合力与分力、合运动与分运动、总电阻与分电阻、平均值、有效值等，都是根据等效概念引入的。常见的等效法有“分解”、“合成”、等效类比、等效替换、等效变换,等效简化等，从而化繁为简、化难为易。匀强电场有许多性质与重力场非常相似，所以在有些电场问题解题的过程中，可以将电场与重力场加以比较，将匀强电场等效类比为重力场中熟悉的模型问题。今天我们将用此方法研究带电物体在匀强电场中的运动。 一、寻找竖直面内圆周运动“等效最低点”方法 1、在只有重力场的情况最低点是速度最大位置即动能最大，重力做正功最多，重力势能最小动能最大。当既有重力场和匀强电场时，合场也是恒定不变的，与重力场类似。所以可以把重力和电场力合成，求出合把这个合力等效成重力，我们把该合力称之为等效重力，此时相当于只有等效重力作用 ，那么运动过程中沿着等效重力的方向，合力做正功最多，则势能最少的地点则为等效最低点。 2、 受力平衡，最低点可以静止 在重力场中当物体处于静止和平衡时一点在最低点，且此时重力作用线与绳子拉力在一条线且沿半径背向圆心，如图1所示。当物体静止时，图 示位置即为最低点。带电粒子在复合场中做圆周运动的过程中与只有重力 场类似，由于电场重力场恒，所以合力是恒定的，因此当物体静止时一定 是平衡，此时等效重力的方向也应该和绳子的拉力在一条直线上，且也沿半径背向圆心。把我以上特点在匀强电场中寻找等效最低点方便快捷，从而使复杂问题简单化。 例 1 、如图2 在水平向左的匀强电场中，有一质量为m 带正电的小球， 用长为L 的绝缘细线悬挂于O 点，当小球所受到的电场力与重力大小相等，现给小球一个垂直于细线的初速度，使小球恰能在竖直面内做圆周运动．试问：小球在做圆 周运动的过程中，哪一位置速度最大． 解析 由于已经知道了重力 与电场力大小相等， 又已知小球 带正电，根据小球在复合场中的特 点， 则可以根据平行四边形定则 ( 如图3) 得出等效重力的方向， 与竖直方向成 4 5度角． 由此很 容易就知道速度最大的位置在绳子与竖直方向成 4 5度角的位置． ( 如图4 ) 二、寻找竖直面内圆周运动“物理最高点”方法 e mg 图1 图 2 图 3 图 4
排列组合典型例题
典型例题一 例1 用0到9这10 个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 分析：这一问题的限制条件是：①没有重复数字；②数字“0”不能排在千位数上；③个位数字只能是0、2、4、6、8、，从限制条件入手，可划分如下： 如果从个位数入手，四位偶数可分为：个位数是“0”的四位偶做，个位数是 2、4、6、8的四位偶数（这是因为零不能放在千位数上）．由此解法一与二． 如果从千位数入手．四位偶数可分为：千位数是1、3、5、7、9和千位数是2、4、6、8两类，由此得解法三． 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类，先求出四位个数的个数，用排除法，得解法四． 解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有3 A个； 9 当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，
则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有2 8181 4 A A A ??（个）． ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 179250428181439=+=??+A A A A 个． 解法2：当个位数上排“0”时，同解一有3 9 A 个；当个位数上排2、4、6、8中之一时，千位，百位，十位上可从余下9个数字中任选3个的排列数中减去千位数是“0”排列数得：) (28391 4 A A A -?个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有 2296 1792504)(28391439=+=-?+A A A A 个． 解法3：千位数上从1、3、5、7、9中任选一个，个位数上从0、2、4、6、8中任选一个，百位，十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 2 81 515A A A ??个 干位上从2、4、6、8中任选一个，个位数上从余下的四个偶数中任意选一个（包括0在内），百位，十位从余下的八个数字中任意选两个作排列，有 2 81414A A A ??个 ∴ 没有重复数字的四位偶数有
将等效重力场法运用到底 物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。那么，如何实现这一思想方法呢？ 一、概念的全面类比 为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积 二、处理方法的迁移 例1 如图所示，倾角的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度，有一个质量为的带电小球，以速度沿斜面匀速下滑，求：（1）小球带何种电荷？电荷量为多少？（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经 内小球的位移是多大？（取） 解析：（1）由于小球匀速运动，所受重力与电场力的合力和斜面对小球的支持力平衡，如图可知， 小球必带正电，且，所以； 从“等效重力场”观点看，实际上就是小球所受等效重力与斜面对小球的支持力平衡，故等效重力大 小、等效重力加速度大小可分别表示为、。 （2）撤去斜面后，小球仅受等效重力作用，且具有与等效重力方 向垂直的初速度，所以小球做“平抛运动”（严格地讲是类平抛运动， 这里只是为了方便说明和处理，以下带引号的名称意义同样如此。）， 基本处理的方法是运动的分解。
难点分析：为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。具体对应如下： 等效重力场： 重力场、电场叠加而成的复合场。 等效重力： 重力、电场力的合力。 等效重力加速度： 等效重力与物体质量的比值。 等效“最低点”： 物体自由时能处于稳定平衡状态的位置。 等效“最高点”： 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置。 等效重力势能： 等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积。 突破策略 在解答重力不可忽略的带电物体在匀强电场中运动问题及相关的能量问题时，我们常采用的方法是：把物体的运动分解成沿重力和电场力方向的两个分运动，然后根据要求解答有关的问题。用该种方法处理一些电场问题时，显的烦琐。根据匀强电场和重力场的等效性，如果把重力场和匀强电场两场的问题转化为一个场的问题——建立“等效重力场”来处理该类有些题目，就会显得简洁，而且便于理解。 “等效重力场”建立方法 当一个质量为m 、带电量为q 的物体同时处在重力场和场强为E 的匀强电场中，可将两场叠加为一个等效的重力场。等效重力场的“重力加速度”可表示为qE g g m '=+ ，g '的方向与重力mg 和电场力qE 合力的方向一致；若合力的方向与重力mg 方向夹角为θ，则g 也可表示为cos g g θ = 。 解题应用解圆周运动 例. 如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O ，用一根长度0.40m L =的绝缘细绳把质量为0.10kg m =、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37θ=。现将小球拉至位置A 使细线水平后由静止释放，求： ⑴小球通过最低点C 时的速度的大小； ⑵小球在摆动过程中细线对小球的最大拉力。 （2 10m/s g =，sin 370.60=，cos370.80=） 解析： ⑴建立“等效重力场”如图8所示，“等效重力加速度”g '， 方向：与竖直方向的夹角30，大小： 1.25cos 37 g g g '= = 由A 、C 点分别做绳OB 的垂线，交点分别为A'、C'，由动能定理得带电小球从A 点运动到C 点等效重力做功 2 1m ()(cos sin )2 OA OC C g L L mg L mv θθ''''-=-= 代入数值得 1.4C v ≈m/s （2）当带电小球摆到B 点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为B v ，绳上的拉力为F ，则 21sin 2B mg L L mv θ'-=（） ① 2B v F mg m L '-= ② 联立①②两式子得 2.25F =N 。 O A B C E θ L + θ g' O A B C θ A' C' +
高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种
等效重力场问题 一、在重力场中竖直平面问题 绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律 最高点最低点（平衡位置） 临界最高点：重力提供向心力，速度最小速度最大、拉力最大 二、在力场、电场等叠加而成的复合场问题 等效重力场：力场、电场等叠加而成的复合场。 重等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向 ②在复合场中找出等效最低点、最高点。过圆心做等效重力的平行线与圆相交。 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理 例 1．光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点 A 处放一质量为m 的带电小球，整个空 间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为3 mg ，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度v0，3 使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v0及运动过程中的最大拉力 例 2．如图所示， ABCD 为表示竖立放在场强为E=10 4V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切 A 为水平轨道的一点，而且 AB R 0.2m.把一质量m=100g、带电 q=10－4C 的小球，放在水平轨道的 A 点上面由静止开始被释放后， 在轨道的内侧运动。（ g=10m/s2）求： （1）它到达 C 点时的速度是多大？ （2）它到达 C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？
例 3. 在水平方向的匀强电场中，用长为 3 L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在 A 处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至 B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低 点 D 时的速度大小 例 4. 如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L 0.40m 的绝缘细绳把质量为m 0.10kg 、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在 B 点时细绳与竖直方向的夹角为 37 。现将小球拉至位置 A 使细线水平后由静止释放，求： ⑴小球通过最低点 C 时的速度的大小； ⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力 O A θ L E + B C
财务管理典型例题 一、单项选择题（下列各题中，只有一个是符合题意的正确答案，将你选定的答案编号用 英文大写字母填入下表中。多答、不答、错答、本题均不得分。每题1分, 共15分。）1．经营和资信状况良好的大公司发行的普通股股票是（ A ）。 A. 蓝筹股股票 B. 成长性股票 C.周期性股票 D.防守性股票 2.下列各项中，不会对内部收益率有影响的是（A ）。 A、资金成本率 B、投资项目有效年限 C、原始投资额 D、投资项目的现金流量 3.下列经济活动中，体现企业与投资者之间财务关系的是（B ）。 A、企业向职工支付工资 B、企业向股东支付股利 C、企业向债权人支付货款 D、企业向国家税务机关缴纳税款 4. 根据营运资金管理理论，下列各项中不属于企业应收账款成本内容的是（C）。 A.机会成本 B.管理成本 C.短缺成本 D.坏账成本（损失） 5企业由于应收账款占用了资金而放弃的其他投资收益是（C） A．应收账款的管理成本 B．应收账款的坏账成本 C．应收账款的机会成本 D．应收账款的短缺成本 6..以现值指数判断投资项目可行性，可以采用的标准是( ) A. 现值指数大于1 B.现值指数大于零 C. 现值指数小于零 D. 现值指数小于1 7.一项资产组合的β系数为1.8，如果无风险收益率为10%，证券市场平均收益率为15%，那么该项资产组合的必要收益率为（）。 A、15% B、19% C、17% D、20% ⒏.假定某企业的权益资金与负债资金的比例为60：40，据此可断定该企业（C）。 A.只存在经营风险 B.经营风险大于财务风险 C. 同时存在经营风险和财务风险 D. 经营风险小于财务风险 ⒐年金的收付款方式有多种，其中每期期末收付款的年金是( A ) A. 普通年金 B. 预付年金 C. 延期年金 D. 永续年金 ⒑在下列股利分配政策中，能保持股利与收益之间一定的比例关系，并体现多盈多分、少盈少分、无盈不分原则的是（D）。 A.剩余股利政策 B.固定或稳定增长股利政策 C. 低正常股利加额外股利政策 D. 固定股利支付率政策 11．某公司普通股每年股利额为2 元/ 股，假设投资者准备长期持有该公司股票，并要求得到10 ％的必要收益率，则该普通股的内在价值应是( B ) A. 18元 B. 20元 C. 16元 D.22 元 12．在EXCEL中，用来计算现值的函数是（C ）。 A.NPV函数 B. FV函数 C. PV函数 D.IRR函数 13．影响经营杠杆系数变动的因素不包括（D）。 A、销售价格 B、销售量 C、固定成本 D、固定利息 14．在个别资金成本的计算中，不必考虑筹资费用影响因素的是（A. ）。 A. 留存利润成本B．债券成本C. 优先股成本 D.普通股成本 15. 某企业按年利率8%向银行借款100万元，银行要求维持贷款限额10%的补偿性余额， 该项贷款的实际年利率是（）