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概率论与数理统计论文

特征函数的概念应用及对其另一种诠释

概率论中我们研究的随机变量是人们生活和数学研究中经常遇到的一项重要内容,而随机变量的分布函数则可以全面的描述随机变量的统计规律。但是有时候分布函数或分布密度这些工具使用起来并不方便,例如求独立随机变量和的分布密度,用卷积求太烦琐和复杂。因此引入特征函数,本文将从介绍特征函数的由来,概念,应用出发,先来介绍如何用特征函数更方便、优越的表示随机变量的分布借以加深大家对特征函数及其应用的认识。

而之后,我们提出另一种对特征函数的解释:在基于傅立叶变换物理意义的特征函数直观解释的基础上,提出了特征函数的一种基于坐标分解的新解释。

傅里叶变换是数学中非常重要而有效的工具,把它应用于分布函数或密度函数,就产生了所谓“特征函数”。

首先,我们分别给出了离散型和连续型随机变量的特征函数和概率(密度)函数的新解释。然后利用这种新解释来求随机变量的分布函数。最后得出一个结论,即这种新解释能加深对特征函数的理解,而且能使特征函数相关的求解问题更为简便。

关键词:特征函数概念应用

1特征函数的由来与概念

1.1特征函数的由来

1.2特征函数的概念:

1.2.1特征函数定义

1.2.2特征函数性质

2.特征函数的应用

2.1几种特征函数介绍

2.2特征函数应用

2.2.1特征函数在大数定律中的应用

2.2.2特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中

3.特征函数的另一种诠释

3.1要用到的定义与定理

3.2特征函数的新解释

3.2.1基于傅立叶变换物理意义的直观解释

3.2.2基于坐标分解的新解释

3.3新解释在求分布函数时的应用

参考文献

1特征函数的由来与概念

1.1特征函数的由来

我们知道随机变量的分布函数全面地描述了随机变量的统计规律,而以分布函数为基础,我们可以讨论随机变量的数字特征、运算性质等问题。同时,我们也发现分布函数或分布密度这些工具,有时使用起来很不方便。

例如:当我们讨论随机变量和的分布时,若是考查两个相互独立的随机变量,其概率密度函数分别为符合P1(x),P2(x),则两个随机变量的和的分布=P1(x)*P2(x )。

如果要求N 个相互独立的随机变量和12N

X +X +......+X 的分布密度,那么就要计算n-1次卷积,利用卷积公式N-1次,这显然很复杂。但这种问题在概率中是非常常见的,因此,有必要进一步发展研究随机变量统计规律的工具。

在数学分析中,我们知道Fourier 变换能把卷积运算变成乘法运算,因此,若果我们将Fourier 变换引入到概率中,那么我们就产生了特征函数。通过对特征函数的研究,我们发现特征函数与分布函数一一对应,分布函数唯一决定特征函数,特征函数也唯一决定分布函数,特别地,如果有一分布函数列和与之相对应的一个特征函数列,则他们在一定收敛意义下的极限值也是相对应的。

其次,用特征函数作随机变量研究工具比用分布函数有许多方便之处。例如独立随机变量之和的概率分布是各被加项分布的卷积,而独立随机变量之和的特征函数则是各被加项特征函数的普通乘积等。 1.2特征函数的概念: 1.2.1特征函数定义

设X 是一个随机变量,称 (t)()itX E e ?=,-

因为|e |itX =1,所以(t)()itX E e ?=总是存在的,即任一随机变量的特征函数总是存在的.。

当离散随机变量X 的分布列为K K P =P(X=X ),K=1,2,3..... 则X 的特征函数为1()k itX K K t e p ?+∞

==∑,-

当连续随机变量X 的密度函数为P(X)则X 的特征函数为

与随机变量的数学期望,方差及各阶矩阵一样,特征函数只依赖于随机变量的分布,分布相同则特征函数也相同,所以我们也常称为某分布的特征函数 1.2.2特征函数性质

性质1:特征函数(t)?在(-,+)∞∞上一致连续,

且有|(t)|(0)=1??≤ (-t)=()t ??其中(t)?表示共轭

性质2:独立随机变量和的特征函数为特征函数的积,即设X 与Y 相互独立,则 X +Y 的概率为X 的概率与Y 的乘积

性质3:若E(L

X )存在,则X 的特征函数可L 次求导,且对1≤k ≤L,有以下公式:

性质4:一致连续性随机变量X的特征函数在(+∞,-∞)上一致连续.

性质5:非负定性随机变量X的特征函数()t?是非负定的,即对任意正整数n,及n 个实数t1 t2.....tn和n个复数z1,z2....zn有

性质6:唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一确定

1.2.3有关性质几个定理

(1)勒维连续定理:

勒维连续定理说明,假设为一个随机变量序列,其中每一个都有特征函数,那么它依分布收敛于某个随机变量:

当如果当且在处连续,是

的特征函数。

勒维连续定理可以用来证明弱大数定律。

(2)反演定理

在累积概率分布函数与特征函数之间存在双射。也就是说,两个不同的概率分布不能有相同的特征函数。

给定一个特征函数φ,可以用以下公式求得对应的累积概率分布函数F:

一般地,这是一个广义积分;被积分的函数可能只是条件可积而不是勒贝格可积的,也就是说,它的绝对值的积分可能是无穷大。

(2)博赫纳-辛钦定理/公理化定义

博赫纳定理

任意一个函数是对应于某个概率律的特征函数,当且仅当满足以下三个条件:是连续的;

(0)=1;

是一个正定函数(注意这是一个复杂的条件,与不等价)。

(3)计算性质

特征函数对于处理独立随机变量的函数特别有用。例如,如果X1、X2、……、Xn 是一个独立(不一定同分布)的随机变量的序列,且

其中ai是常数,那么Sn的特征函数为:

特别地,。这是因为:

注意我们需要和的独立性来确立第三和第四个表达式的相等性。

另外一个特殊情况,是且为样本平均值。在这个情况下,用表示

平均值,我们便有:

2.1几种特征函数介绍

(1)单点分布:P(X=a)=1其特征函数为

ita (t)=e ?

(2) 0?1分布:1P(X=x)(1)

,0,1,x

x

p p x -=-=,其特征函数为

()x

t pe q ?=+其中p=1-q (3)泊松分布P(λ)k

-P(X=k)=

e k!

λλ,其中k=0,1,

····其特征函数为 0

()!

k

k

itk

e k t e

e e e k λλλλ?+∞

--===∑

(4)均匀分布:因为密度函数为 当x 在(a ,b )中p(x)=

1

b-a

所以特征函数为 a

(x)=b

itx

e dx b a ?-?

2.2特征函数应用

2.2.1特征函数在大数定律中的应用 在证明辛钦定律中的应用 首先介绍什么是辛钦定律,设

1δ,2δ·

··是独立同分布随机变量,且数学期望存在等于a ,则

证明:因为

1δ,2δ·

··同分布,所以也有相同的特征函数,即为(t)?,又因为E 存在,从

而特征函数(t)?有展开式:

再由独立性可知

的特征函数为

对任意取定的t 有

而已经知道后者为单点分布特征函数,相应分布函数为

由连续性定理知的分布函数弱收敛与F(x),

因a为常数,可知

故定理成立

2.2.2特征函数被用于中心极限定理的最常见的证明中

相关概念:

相关概念有矩母函数和概率母函数。特征函数对于所有概率分布都存在,但矩母函数不是这样。

特征函数与傅里叶变换有密切的关系:一个概率密度函数的特征函数是的连续傅里叶变换的共轭复数(按照通常的惯例)。

其中表示概率密度函数的连续傅里叶变换。类似地,从可以通过傅里叶逆变

换求出:

确实,即使当随机变量没有密度时,特征函数仍然可以视为对应于该随机变量的测度的傅里叶变换。

(1)矩

特征函数还可以用来求出某个随机变量的矩。只要第n个矩存在,特征函数就可以微分n次,得到:

例如,假设具有标准柯西分布。那么。它在处不可微,说明柯西分布

没有期望值。另外,注意到个独立的观测的样本平均值具有特征函数

,利用前一节的结果。这就是标准柯西分布的特征函数;因此,样本平均值与总体本身具有相同的分布。

特征函数的对数是一个累积量母函数,它对于求出累积量是十分有用的;注意有时定义累积量母函数为矩母函数的对数,而把特征函数的对数称为第二累积量母函数。

一个例子

具有尺度参数θ和形状参数k的伽玛分布的特征函数为:

现在假设我们有:

其中X和Y相互独立,我们想要知道X + Y的分布是什么。X和Y特征函数分别为:

根据独立性和特征函数的基本性质,可得:

这就是尺度参数为θ、形状参数为k1 + k2的伽玛分布的特征函数,因此我们得出结论:

这个结果可以推广到n个独立、具有相同尺度参数的伽玛随机变量:

。(2)多元特征函数

如果是一个多元随机变量,那么它的特征函数定义为:

这里的点表示向量的点积,而向量位于的对偶空间内。用更加常见的矩阵表示法,就是:

例子:

如果是一个平均值为零的多元高斯随机变量,那么:

其中表示正定矩阵Σ的行列式。

[(3)矩阵值随机变量

如果是一个矩阵值随机变量,那么它的特征函数为:

在这里,Tr()是迹函数,表示与的矩阵乘积。由于矩阵XT一定有迹,因此矩阵X 必须与矩阵T的转置的大小相同;因此,如果X是m × n矩阵,那么T必须是n × m矩阵。

注意乘法的顺序不重要(但)。

矩阵值随机变量的例子包括威沙特分布和矩阵正态分布。

3.特征函数的另一种诠释

特征函数既然为概率论中的有力工具,其运算简化与理解简化很重要,有一种新的解释是基于坐标分解做出。

具体如下:

3.1要用到的定义与定理

定义:设δ是定义在概率空间(,F,P)

Ω上的随机变量,它的分布函数为F(x),称it eδ的

?,知道:

数学期望为δ的特征函数。其中j=-1,并记为(t)

因此,δ的特征函数也可称之为对分布函数F(X)的傅立叶一斯蒂尔切斯变换. 当δ为离散型随机变量时,其特征函数为:

当δ为连续型随机变量时,其特征函数为:

定理 若随机变量X 的特征函数(t)?于R 上绝对可积,则X 为具有密度函数f (x )的连续型随机变量,且f (x )作为其密度函数具有如下公式:

定理

若X 为取整数值的随机变量,其概率函数为

其特征函数为(t)?,则

K -1P =

(t 2jtk

e dt π

π

-?

) 3.2特征函数的新解释

3.2.1基于傅立叶变换物理意义的直观解释

显然特征函数是一种特殊的傅立叶变换,那么它也就有傅立叶变换所具有的物理意义。

离散情况下,首先(t)?=的物理解释::在振动理论中,把特征函数(t)?看作一个振动,e k jtX 相当于单位谐波,(t)?可解释成由简谐运动叠加产生的运动。

再次K -

1

P =

(t 2jtk

e dt π

π

-?)的物理解释:在振动理论中,pk 是由简谐振动去叠加(即积

分)产生的运动.

连续情况下,特征函数也有相应的物理解释:

特征函数(t)?的物理解释:在振动理论中,把特征函数(t)?看作一个振动,e 相当于单位谐波,特征函数(t)?即可理解为由简谐振动叠加(即积分)产生的运动.

同理,f (x )也有类似的物理解释:在振动理论中,f(x)是由一切角频率为的简谐

振动叠加(即积分)产生的运动,为初始向量,-e k jtX

为单位谐波。 3.2.2基于坐标分解的新解释

受傅立叶变换物理意义的启发,得到基于坐标分解的特征函数的新解释.离散情况

下,特征函数新解释:(t)?可以看作是以e k jtX (k 从一∞到∞)为基的可列无穷维空间下的坐标分解,第k 维的坐标值为Pk,对于其第K 维的坐标值,我们有:

K -1P =

(t 2jtk

e dt π

π

-?

) Pk 可以看作是以e k jtX dt(t 从一∞到∞)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解,而对于 是在基e k jtX dt(t 从一∞到∞)下的坐标值.

同理,连续情况下,特征函数(t)?的新解释:(t)?)可以看作是以e jtX (x 从一∞到∞)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解,f (x )为在基e jtX 下的坐标值。

的新解释:可看做是e k jtX dt(t 从一∞到∞)为基的实数

势无穷维空间下的坐标分解,是在基e k jtX dt 下的坐标值. 3.3新解释在求分布函数时的应用

如求下列各随机变量}的概率分布,已知其特征函数分别为 (1)cos (t )(2)2cos ()t ,

由反演公式可以解决此问题,但较为复杂,.如果利用本文提出的新解释 去求这个问题就非常简单,现用此法求解.

分析:只要将特征函数进行坐标分解即可以看作是以k e jt (k 从一∞到∞)为基的实数势无穷维空间下的坐标分解,第k 维的坐标值为Pk ,由惟一性定理可解: (1)对于cos (t )因有

由惟一性定理可知,它的概率分布惟一,又:

故可根据以上式子求出

(2)对于2cos ()t ,因为有:

同理:由唯一性定理可求,可见,基于坐标分解的特征函数的新解释能加深我们对特征函数的理解,而且能使特征函数相关的求解问题化繁为简.

参考文献:

[1]徐玉华.关于概率论中特征函数性质的几点讨论[J].荆州师范学院学报,2003,2:36—39.

[2]乌兰,金珩.利用特征函数讨论特殊分布的有关性质[J].内蒙古统计,2004,5:43—46.

[3]周茂袁,王秀丽,李雪艳特征函数的一种新解释及其应用吉林师范大学学报(自然科学版)2008年5月

[4]缪铨生.概率论与数理统计教程.上海:华东师大出版社.2005.

[5]李少辅.概率论与数理统计(上册)[M].开封:河南大学出社,1996

[6]粱之舜,邓集贤。等.概率论及数理统计(上册)[M].第3版.北京:高等教育出版社,2005.

概率论大作业讲解

现实生活中的大数定理及中心值定理的应用 电子工程学院

目录 摘要........................................... 错误!未定义书签。第一章引言...................................... 错误!未定义书签。第二章大数定律 (2) 2.1大数定律的发展历史 (2) 2.2大数定律的定义 (3) 2.3几个常用的大数定律 (3) 第三章大数定律的一些应用 (6) 3.1大数定律在数学分析中的一些应用 (6) 3.2大数定律在保险业的应用 (6) 3.3大数定律在银行经营管理中的应用 9结论 (11) 参考文献 (12)

对于随机现象而言,其统计规律性只有在基本相同的条件下进行大量的重复试验才能显现出来.本文主要是通过大数定律来讨论随机现象最根本的性质——平均结果稳定性的相关内容.大数定律,描述当试验次数很大时所呈现的概率性质的定律,是随机现象统计规律性的具体表现. 本文首先介绍了大数定律涉及的一些基础知识,以便于对文中相关知识的理解.通过比较,就不同条件下存在的大数定律做了具体的分析,介绍了几种较为常见的大数定律和强大数定律,总结了大数定律的应用,主要有大数定律在数学分析中的应用,大数定律在生产生活中的应用,大数定律在经济如:保险、银行经营管理中的应用等等,将理论具体化,将可行的结论用于具体的数学模型中,使大家对大数定律在实际生活中的应用价值有了更深的认识.

概率论与数理统计是研究随机现象的统计规律的科学,而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来.在随机事件的大量重复出现中,往往呈现几乎必然的规律,这个规律就是大数定律.大数定律是概率论中一个非常重要的课题,而且是概率论与数理统计之间一个承前启后的重要纽带.大数定律阐明了大量随机现象平均结果具有稳定性,证明了在大样本条件下,样本平均值可以看作总体平均值,它是“算数平均值法则”的基本理论,通俗地说,这个定理就是在试验不变的条件下,重复试验多次,随机事件的频率以概率为稳定值. 在现实生活中,经常可以见到这一类型的数学模型,比如,我们向上抛一枚硬币,硬币落下后哪一面朝上本来是偶然的,但当我们向上抛硬币的次数足够多时,达到上万次甚至几十万几百万次之后,我们会发现,硬币向上的次数约占总次数的二分之一,偶然中包含着必然.又如:在分析天平上称重量为a 的物品,若以12,,x x 3,...,n x x 表示n 次重复称量的结果,经验告诉我们,当n 充分大时,它们的算术平均值1 1n i i X n =∑与a 的偏差就越小.这种思想,不仅在整个概率论中起着重要00作用,而且在其他数学领域里面也占据着相当重要的地位. 大数定律的发展与研究也经历了很长一段时间,伯努利是第一个研究这一问题的数学家,他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理.现在,大数定律的相关模型已经被国内外广大学者所研究,特别是应用在实际生活中,如保险业得以存在并不断发展壮大的两大基石的一个就是大数定律.许多学者也已经在此领域中研究出了许多有价值的成果,讨论了在统计,信息论,分析、数论等方面的应用.在许多数学领域中,广大学者对某些具有特定类型的数学模型,都能利用大数定律的思考方式总结其代表性的性质及结论,使得这些类型的数学模型在进行讨论的时候大大简化了繁琐的论证过程,方便了研究.大数定律作为概率论的重要内容,其理论成果相对比较完善,这方面的文章较多,结果也比较完美,但对大数定律的应用问题的推广也是一项非常有价值的研究方向,通过对这些问题的应用推广,不仅能加深对大数定律的理解,而且能使之更为有效的服务于各项知识领域中.下面文中就通过对大数定律的讨论,给出了各大数定律之间的关系,归结出一般性结论.最后列举了一些能用大数定律来解决的实例,希望能通过这些实例,来进一步阐明大数定律在各个分支学科中的重要作用,以及在实际生活中的应用价值,加深大家对大数定律的理解.

哈工大概率论参考答案习题

习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i =, 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1 {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = (4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生;

哈工大概率论与数理统计课后习题答案 一

·1· 习 题 一 1.写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. A =‘出现奇数点’; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’,B =‘第一次的点数,比第二次的点数大2’; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,A =‘球的最小号码为1’; (4)将,a b 两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,A =‘甲盒中至少有一球’; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,A =‘通过汽车不足5台’,B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 (1)123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’1,2,,6i = , 135{,,}A e e e =。 (2){(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}; {(4,6),(5,5),(6,4)}A =; {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 (3){(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5)S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = (4){(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---,其中‘-’表示空盒; {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 (5){0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B === 。 2.设,,A B C 是随机试验E 的三个事件,试用,,A B C 表示下列事件: (1)仅A 发生; (2),,A B C 中至少有两个发生;

济南大学概率论A大作业答案

第一章 概率论的基本概念 一、填空题 1.;)3(;)2(;)1(C B A C B A C B A C B A C AB )()4(C B C A B A C B A C B A C B A C B A 或; 2. 2 1 81,; 3.6.0; 4. 733.0,; 5. 8.0,7.0; 6. 87; 7. 85; 8. 996.01211010 12或A -; 9. 2778.0185 6 446==A ;10. p -1. 二、选择题 D ;C ;B ;A ;D ; C ;D ;C ;D ;B . 三、解答题 1.解:).()()()(),((AB P B P AB P A P A B P B A P -=-∴=) 相互独立, 又)B A B A P B P A P ,,9 1 )(),((==∴ .3 2 )(,91)](1[)()()()(22=∴=-===∴A P A P A P B P A P B A P 2.解: 设事件A 表示“取得的三个数字排成一个三位偶数”,事件B 表示“此三位偶数的末 尾为0”,事件B 表示“此三位偶数的末尾不为0”,则: =)(A P )()(B P B P += .125 3 4 1 2123423=+A A A A A 3.解:设A i =“飞机被i 人击中”,i =1,2,3 , B =“飞机被击落”, 则由全概率公式: )()()()((321321B A P B A P B A P B A B A B A P B P ++== ) )()()()()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P ++= (1) 设1H =“飞机被甲击中”,2H =“飞机被乙击中”,3H =“飞机被丙击中”, 则: =)(1A P 321(H H H P 321(H H H P 321(H H H P ) =+)(321H H H P +)(321H H H P )(321H H H P ) 由于甲、乙、丙的射击是相互独立的,

概率论课程期末论文大作业

《概率论与数理统计》论文题目:正态分布及其应用 学院:航天学院 专业:空间科学与技术 姓名:黄海京 学号:1131850108

正态分布及其应用 摘要:正态分布(normal distribution),是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。正态分布有极其广泛的实际背景, 例如测量误差, 人的生理特征尺寸如身高、体重等 ,正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度,炮弹的弹落点的分布等, 都服从或近似服从正态分布,以及确定医学参考值范围,药品规格,用量等。可以说,正态分布是自然界和社会现象中最为常见的一种分布, 一个变量如果受到大量微小的、独立的随机因素的影响, 那么这个变量一般是一个正态随机变量。 关键词:正态分布, 一、正态分布的由来 正态分布(normal distribution)又名高斯分布(Gaussian distribution)。正态分布概念是由德国的数学家和天文学家Moivre于1733年受次提出的,但由于德国数学家Gauss率先将其应用于天文学家研究,故正态分布又叫高斯分布,高斯这项工作对后世的影响极大,他使正态分布同时有了“高斯分布”的名称,后世之所以多将最小二乘法的发明权归之于他,也是出于这一工作。 正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布,在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布,记为:则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置,其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是μ= 0,σ= 1的正态分布。 二、正态分布的特性 1. 正太分布的曲线特征 正态曲线呈钟型,两头低,中间高,左右对称,曲线与横轴间的面积总等于1。 (1)集中性:正态曲线的高峰位于正中央,即均数所在的位置。 (2)对称性:正态曲线以均数为中心,左右对称,曲线两端永远不与横轴相交。 (3)均匀变动性:正态曲线由均数所在处开始,分别向左右两侧逐渐均匀下降。

概率论和数理统计[西安电子科技大学大作业]

学习中心/函授站_ 姓 名 学 号 西安电子科技大学网络与继续教育学院 2018学年上学期 《概率论与数理统计》期末考试试题 (综合大作业) 考试说明: 1、大作业于2018年4月19日下发,2018年5月5日交回,此页须在答卷中保留; 2、考试必须独立完成,如发现抄袭、雷同均按零分计; 3、答案须手写完成,要求字迹工整、卷面干净。 一、选择题(每题3分,共30分) 1.设A 、B 、C 是随机事件,且AB C ?,则( )。 A .C A B ? B .A C ?且B C ? C .C AB ? D .A C ?或B C ? 2.设一盒子中有5件产品,其中3件正品,2件次品。从盒子中任取2件,则取出的2件产品中至少有1件次品的概率为( )。 A . 310 B .510 C .710 D .1 5 3.设()F x 是随机变量X 的分布函数,则( )。 A .()F x 一定连续 B .()F x 一定右连续 C .()F x 是单调不增的 D .()F x 一定左连续 4.设连续型随机变量X 的概率密度为()x ?,且()()x x ??-=,()F x 是X 的分布函数,则对任何的实数a ,有( )。

A .0()1()a F a x dx ?-=-? B .0 1 ()()2a F a x dx ?-=-? C .()()F a F a -= D .()2()1F a F a -=- 5.设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合概率密度为 22 6 (,), , x y f x y Ae x y +- =-∞<<+∞-∞<<+∞ 则常数A =( )。 A . 12π B .112π C .124π D .16π 6.设随机变量X 、Y 相互独立,且分别服从参数为1和参数为4的指数分布,则 ()P X Y <=( ) 。 A. 15 B.13 C.25 D.4 5 7.有10张奖券,其中8张2元,2张5元,今某人从中随机地抽取3张,则此人得奖 金额的数学期望为( )。 A .6 B .12 C .7.8 D .9 8. 设连续型随机变量X 的概率密度为 , 01 ()0, a bx x f x +<

哈工大2015年概率统计试题及答案

2015年哈工大概率统计试题 一、填空题(每小题3分,共5小题,满分15分) 1.设()()0.7P A P B +=,且,A B 只发生一个的概率为0.5,则,A B 都发生的概率为 ________________ . 2.设随机变量X 的概率密度为???<≥=0 ,00e )(-x x x f x X ,,则随机变量X Y e =的概率密度为 ()Y f y = ______________ _ _ . 3.设随机变量, X Y 的相关系数为0.5,220,2EX EY EX EY ====,则 2()E X Y +=. 4.生产一个零件所需时间2(,)X N μσ ,观察25个零件的生产时间得 5.5x =秒,样本 标准差 1.73s =秒,则μ的置信度为0.95的置信区间为________________ __. 5.设随机变量, X Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则 {max(,)1}P X Y ≤=______ . 注:可选用的部分数值:0.050.0250.025(24) 1.7109, (24) 2.0639, (25) 2.0595,t t t === .95.0645.1975.096.1=Φ=Φ)(,)( 二、选择题(每小题3分,共5小题,满分15分) 1.设()01,P B <<(|)(|)1P A B P A B +=,则 (A ),A B 互不相容.(B ),A B 互为对立事件. (C ),A B 相互独立.(D ),A B 不独立.【】 2.下列函数可作为随机变量的分布函数的是 (A )()2 1,1F x x x =-∞<<+∞+.(B ), 0() 1 0, 0 x x F x x x ?≥? =+??

概率论与数理统计大纲各章节作业

第一章随机事件与概率 1. 将一枚均匀的硬币抛两次,事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解:Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)}; A={(正,反),(正,正)}; B={(正,正),(反,反)}; C={(正,反),(正,正),(反,正)}。 2.设31)(=A P ,2 1)(=B P ,试就以下三种情况分别求)(A B P : (1)AB =?,(2)B A ?,(3)81)(=AB P 解: (1)5.0)()()()()(==-=-=B P AB P B P AB B P A B P (2)6/13/15.0)()()()()()(=-=-=-=-=A P B P AB P B P AB B P A B P (3)375 .0125.05.0)()()()(=-=-=-=AB P B P AB B P A B P 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他 拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少 解: 记H 表拨号不超过三次而能接通。 Ai 表第i 次拨号能接通。 注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。 10 3819810991109101) |()|()()|()()()(2131211211321211=??+?+= ++=∴ ++=A A A P A A P A P A A P A P A P H P A A A A A A H 三种情况互斥 Θ 如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B )问题变为在B 已发生的条件下,求H 再发生的概率。

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要:最大似然估计是一种统计方法,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型,其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词:最大似然估计;离散;连续;概率密度最大似然估计是一种统计方法,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译,“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而,若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型,其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。

最大似然法是要解决这样一个问题:给定一组数据和一个参数待定的模型,如何确定模型的参数,使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲,就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子,假如有一个罐子,里面有黑白两种颜色的球,数目多少不知,两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例,但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来,记录球的颜色,然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复,我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中,有七十次是白球,请问罐中白球所占的比例最有可能是多少? 我想很多人立马有答案:70%。这个答案是正确的。可是为什么呢?(常识嘛!这还要问?!)其实,在很多常识的背后,都有相应的理论支持。在上面的问题中,就有最大似然法的支持例如,转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中,如果发现其中有一列为一个C,一个T和一个G,我们有理由认为,C和T所

哈工大概率论与数理统计课后习题答案四

习 题 四 1.一个袋子中装有四个球,它们上面分别标有数字1,2,2,3,今从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一球,以,X Y 分别表示第一次,第二次取出的球上的标号,求(,)X Y 的 分布列. 解 (,)X Y 的分布列为 其中 (1,1)(1)(1|1)0P X Y P X P Y X ======= (1,2)(1)(2|1)P X Y P X P Y X ====== 121436 =?= 余者类推。 2.将一枚硬币连掷三次,以 X 表示在三次中出现正面的次数,以Y 表示三次中出现正 面次数与出现反面次数之差的绝对值,试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。 解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验,故1 ~(3,).2 X B 331 ()(),0,1,2,32 k P X k C k ===,于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为 其中 (0,1)(0)(1|0)0P X Y P X P Y X =======,

13 313(1,1)(1)(1|1)()128 P X Y P X P Y X C =======?=, 余者类推。 3.设(,)X Y 的概率密度为 1 (6),02,24, (,)80,.x y x y f x y ?--<<<

吉林大学2015概率论与数理统计大作业完整版

吉林大学网络教育 大作业 1.仪器中有三个元件,它们损坏的概率都是0.2,并且损坏与否相互独立.当一个元件损坏时, 仪器发生故障的概率为0.25,当两个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.6,当三个元件损坏时,仪器发生故障的概率为0.95, 当三个元件都不损坏时,仪器不发生故障.求:(1)仪器发生故障的概率;(2)仪器发生故障时恰有二个元件损坏的概率. (1)解:设A 表示事件“仪器发生故障”,i=1,2,3 P(A)= )/()(3 1 B B i i i A P P ∑=, P(B1)=3*0.2*0.80.2=0.384,P(B2)=3*0.22*0.8=0.096,P(B3)=0.23=0.008 所以P(A)=0.384*0.25+0.096*0.6+0.008*0.95+0.1612 (2) P(B 2/A)= ) ()(2A P A p B =0.96*0.6/0.1612=0.3573 2.设连续型随机变量X 的分布函数为 0, ,()arcsin ,,(0)1, ,x a x F x A B a x a a a x a ≤-??? =+-<<>?? ≥?? 求:(1)常数A 、B .(2)随机变量X 落在,22a a ?? - ??? 内的概率.(3)X 的概率密度函数. 解:(1)F (a+0)=A-2πB=0,F (a-0) =A+2πB=1 所以A=0.5 B=π 1 (2)P{-2a

概率论与数理统计作业

概率论与数理统计作业 第一章随机事件与概率 1?将一枚均匀的硬币抛两次,事件代B,C分别表示“第一次出现正面”,“两次出现同一面”,“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件A,B,C中的样本点。 解:舄」正正、正反、反正、反反] A=.正正、正反/, B =「正正1, C =:正正、正反、反正 / 2.设P(A)二3,P(B)二2,试就以下三种情况分别求P(BA): 3 2 (1)AB=必,(2)A B,( 3)P(AB)=1 8 解: (1)P(BA) =P(B — AB) =P(B) — P(AB) =P(B) =0.5 (2)P(BA)二P(B —AB)二P(B) —P(AB)二P(B) 一P(A) = 0.5 -1/3 = 1/6 (3)P(BA)二P(B — AB)二P(B) —P(AB) =0.5 —0.125 =0.375 3.某人忘记了电话号码的最后一个数字,因而随机的拨号,求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少?如果已知最后一个数字是奇数,那么此概率是多少? 解:记H表拨号不超过三次而能接通。 Ai表第i次拨号能接通。 注意:第一次拨号不通,第二拨号就不再拨这个号码。

寫H = A +瓦人 2 +瓦入2民三种情况互斥 二P(H) =P(A)+P(AjP(A2 |瓦)+ 卩(瓦)卩(入2丨A I)P(A3 1A1A2) 19 19 8 13 =—+—X —+ —X —X —=— 10 10 9 10 9 8 10 如果已知最后一个数字是奇数(记为事件B)问题变为在B已发生的条件下,求H再发 生的概率。 P(H |B) =PA |B A A2 |B A1A2A3| B) = P(A!|B) P(A1| B)P(A2|BA1) P(A1| B)P(A2| BA!)P(A3 |B^A2) 14 14 3 13 = ---- i ----- 4 --- I ------ A. ---- A. --- = ------ 5 5 4 5 4 3 5 4?进行一系列独立试验,每次试验成功的概率均为,试求以下事件的概率: (1)直到第r次才成功; (2)在n次中取得r(「乞r乞n)次成功; 解:(1) P=(1—p)rJL p (2) P =C:p r(1 一p)^ 5.设事件A, B的概率都大于零,说明以下四种叙述分别属于那一种:(a)必然对,(b) 必然错,(c)可能对也可能错,并说明理由。 (1)若A,B互不相容,则它们相互独立。 (2)若A与B相互独立,则它们互不相容。 (3)P(A)二P(B) =0.6,则 A与 B互不相容。 (4)P(A)二P(B) =0.6,则 A与 B相互独立。 解:(1)b, 互斥事件,一定不是独立事件 (2)c, 独立事件不一定是互斥事件, (3)b, P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)若 A与 B互不相容,则P(AB) = 0 而P(A B) =P(A) P(B) - P(AB) =1.2 1 ⑷a, 若A与B相互独立,则P(AB) = P(A)P(B) J 这时P(A B)二P(A) P(B) -P(AB) =1.2 -0.36 =0.84 6.有甲、乙两个盒子,甲盒中放有 3个白球,2个红球;乙盒中放有4个白球,4个红球,现从甲盒中随机地取一个球放到乙盒中,再从乙盒中取出一球,试求: (1)从乙盒中取出的球是白球的概率; ⑵若已知从乙盒中取出的球是白球,则从甲盒中取出的球是白球的概率。 解:(1)记A, A分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”

概率论大作业

学习概率论的体会 在刚刚开始学习概率论的时候,了解了一些有关概率论起源和发展的历史。概率论起源于16世纪的赌博,促使概率论产生的强大动力来自社会实践.首先是保险事业,保险的对象都是偶然性事件.为了保证保险公司赢利,又使参加保险的人愿意参加保险,就需要根据对大量偶然现象规律性的分析,去创立保险的一般理论.于是,一种专门适用于分析偶然现象的数学工具也就成为十分必要了. 而18世纪是概率论的正式形成和发展时期,在名著《推想的艺术》中,贝努利明确指出了概率论最重要的定律之一――“大数定律”,并且给出了证明,这使以往建立在经验之上的频率稳定性推测理论化了,从此概率论从对特殊问题的求解,发展到了一般的理论概括.这就使得概率论从研究特殊现象转变到能够研究一般问题的一个数学分支,概率论也就得到了广泛的应用。 但这似乎对于我们的生活没有什么关系,看看,我们又有那些需要用到概率论的。玩游戏,不需要,知道输赢就行;购物,更不需要,明白多少钱就行。如此一来,概率论似乎学与不学对于我们的生活没有多大的影响。但概率论的历史彰示着:概率论的发展离不开生活,而它的发展也必将服务与生活,它影响到生活的每一点一滴。 太阳每天都会东升西落,这件事发生的概率就是100%,或者说是,因为它肯定会发生;而太阳西升东落的概率就是0,因为它肯定不会发生。但生活中的很多现象是既有可能发生,也有可能不发生的,比如某天会不会下雨,买东西买到次品,同班同学生日相同概率,碰运气能否通过计算机等级考试VISUAL BASIC的笔试,彩票等等,这类事件的概率就介于O和100%之间,或者说0和1之间。在日常生活中无论是股市涨跌,还是发生某类事故,但凡捉摸不定、需要用“运气”来解释的事件,都可用概率模型进行定量分析。不确定性既给人们带来许多麻烦,同时又常常是解决问题的一种有效手段甚至唯一手段。 现在就用生活中的一个具体的例子来说明。其中就要涉及到概率统计中随机变量分布的应用。以计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试为例,因为到时候我们要考计算机二级证。计算机等级考试VASUAL BA—SIC笔试试卷100分制,一共50题,其中35道单选题,15道填空题,每题两分。60分以上为通过。填空题是无法猜测的,就排除在外,也就是说我们只能在选择题上用猜测的方法。在35道选择题中,每题答对的概率为P=0.25,若要答对6O 分以上必须在35题中选对30题以上。这就看作是一个35重的伯努利试验设随机变量x为答对的题数,则x~ b(k;35,0.25),其分布为:P(X:k)=C35(取k)O.25k ×0.75(35-k),k=1,2,. .35若要通过则k≥30,其概率为P(X=k≥30)=Σc35(取k)O.25k X0.75(35-k),k =30,31,. .35 ≈3.23 × 10-1 5=0.0000O00000000O3 由此可见这个概率是非常之小的,相当于在1000亿个碰运气的考生中只有0.00000323个人才能过,而地球上只有60亿人。因此不要存在侥幸心里通过碰运气考过,这是基本上没有可能的。其实,概率学与运气之间的关系,实质上是科学与运气的关系。可以这么说,概率学对碰运气是有帮助的,而关键在于如何应用和理解。概率是以科学为基础的,而运气是在对解释不清的事物所作的一种解释,或者说是概率学的一种随机现象。 人们在生活和工作中,无论做什么事都要脚踏实地,对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待。一位哲学家曾经说过:“概率是人生的真正指南”。随着生产的发展和科学技术水平的提高,概率已渗透到我们生活的各个领域。总之,由于随机现象在现实世界中大量存在,概率必将越来越显示出它巨大的威力。是以,我们要善于利用概率的知识去解决生活和工作中的问题,概率论就会对我们的生活产生积极的影响。 但是,概率也仅仅是个数字,它或许会代表着什么,会给我们的行为有些指导作用。面对这它的时候,切莫太过大意,也更莫失去自信。就比如有四张彩票供三个人抽取,其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽,他的中奖概率是25%,结果没抽到。第二个人看了,心里有些踏实了,他中奖的概率是33%,可结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花,一来其他的人都失败了,觉得自己很幸运。二来自己中奖的机率高达50%。可结果他同样没中奖。这1%的概率和99%的概率有区别吗?有,概率有大小之分,但那不应该是针对个体而言,而是从一个群体出发,因为不同的人有不同的信念,有不同的做事方法。把地球给撬起来,这在大多数人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里,他觉得成功做这事的概率那是100%——绝对没问题,只要你给他一个支点和足够长的杠杆。在自己没做一件事之前,不要在外界评价的“容易”和“困难”之间对号入座。要对自己有个清楚的认识,不要膨胀了“自信”,更不要埋没了自己的“潜质”。不要被“绝对有希望”所蒙蔽,也不要被“希望渺茫”所打垮。

自考作业答案概率论与数理统计(山大)

答案和题目 概率论与数理统计(经管类)综合试题一 (课程代码 4183) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>,则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币,则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上,则从左到右或从右到左卷号恰为1,2,3,4,5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ,B 满足B A ?,则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x ),则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===,且0b >,则参数b 的 值为 ( D ).

哈工大概率论练习题

第一章 随机事件与概率 1.设事件A,B,C 两两独立,且ABC=¢,P(A)=P(B)=P(C)<0.5,P(A ∪B ∪C)=9/16,则P(A)=____ 2.设在每次实验中,事件A 出现的概率均为P ,若已知在三次独立的试验中A 至少出现一次的概率等于19/27,则P=____ 3.设A B C 是三个独立的随机事件且00,A 1A 2=¢,则下列各式中不正确的是( ) A. P(A 1A 2|B)=0 B. P(A 1∪ A 2|B)=P(A 1|B)+P(A 2|B) C. P (1A 2A |B)=1 D. P(1A ∪2A |B)=1 16.设A,B 为两事件,且P(A)=P,P(AB)=P(AB ),则P(B)=_____ 17.设A,B 为两个事件,P(A)≠P(B)>0,且B 属于A,则( )一定成立 A. P(A|B)=1 B.P(B|A)=1 C. P(B|A ) =1 D. P(A|B )=0 18. 已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8则P(A ∪B)=_____

最大似然估计学习总结(概率论大作业)

最大似然估计学习总结 航天学院探测制导与控制技术杨若眉1110420123 摘要:最大似然估计是一种统计方法,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。最大似然法明确地使用概率模型,其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。 关键词:最大似然估计;离散;连续;概率密度 最大似然估计是一种统计方法,它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德·费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。 “似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译,“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而,若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。最大似然法明确地使用概率模型,其目标是寻找能够以较高概率产生观察数据的系统发生树。最大似然法是一类完全基于统计的系统发生树重建方法的代表。该方法在每组序列比对中考虑了每个核苷酸替换的概率。 最大似然法是要解决这样一个问题:给定一组数据和一个参数待定的模型,如何确定模型的参数,使得这个确定参数后的模型在所有模型中产生已知数据的概率最大。通俗一点讲,就是在什么情况下最有可能发生已知的事件。举个例子,假如有一个罐子,里面有黑白两种颜色的球,数目多少不知,两种颜色的比例也不知。我们想知道罐中白球和黑球的比例,但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来,记录球的颜色,然后把拿出来的球再放回罐中。这个过程可以重复,我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中,有七十次是白球,请问罐中白球所占的比例最有可能是多少? 我想很多人立马有答案:70%。这个答案是正确的。可是为什么呢?(常识嘛!这还要问?!)其实,在很多常识的背后,都有相应的理论支持。在上面的问题中,就有最大似然法的支持例如,转换出现的概率大约是颠换的三倍。在一个三条序列的比对中,如果发现其中有一列为一个C,一个T和一个G,我们有理由认为,C和T所在的序列之间的关系很有可能更接近。由于被研究序列的共同祖先序列是未知的,概率的计算变得复杂;又由于可

概率论与数理统计习题 三解析【哈工大版】

习 题 三 1.掷一枚非均质的硬币,出现正面的概率为p (01)p <<,若以X 表示直至掷到正、反面都出现时为止所需投掷次数,求X 的分布列。 解 ()X k =表示事件:前1k -次出现正面,第k 次出现反面,或前1k -次出现反面,第k 次出现正面,所以 11()(1)(1),2,3,.k k P X k p p p p k --==-+-= 2.袋中有b 个黑球a 个白球,从袋中任意取出r 个球,求r 个球中黑球个 数X 的分布列。 解 从a b +个球中任取r 个球共有r a b C +种取法,r 个球中有k 个黑球的取法有k r k b a C C -,所以X 的分布列为 ()k r k b a r a b C C P X k C -+==,max(0,),max(0,)1,,min(,)k r a r a b r =--+ , 此乃因为,如果r a <,则r 个球中可以全是白球,没有黑球,即0k =;如果r a >则r 个球中至少有r a -个黑球,此时k 应从r a -开始。 3.一实习生用一台机器接连生产了三个同种零件,第i 个零件是不合格品的概率1 (1,2,3)1 i p i i ==+,以X 表示三个零件中合格品的个数,求X 的分布列。 解 设i A =‘第i 个零件是合格品’1,2,3i =。则 1231111(0)()23424 P X P A A A === ??=, 123123123(1)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 1111211136 23423423424 = ??+??+??=, 123123123(2)()P X P A A A A A A A A A ==++ 123123123()()()P A A A P A A A P A A A =++ 12111312311 23423423424 = ??+???+??=, 1231236 (3)()23424 P X P A A A ===??=. 即X 的分布列为

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