第五节多边形与平行四边形
1．(2016长沙中考)六边形的内角和是( B )
A．540°B．720°C．900°D．360°
2．(2016益阳中考)将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是( D )
A．360°B．540°C．720°D．900°
3．(2016丽水中考)如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( B )
A．13 B．17 C．20 D．26
,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2016泰安中考)如图，在?ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠BCD的平分线交AD于点E，交BA的延长线于点F，则AE＋AF的值等于( C )
A．2 B．3 C．4 D．6
5．(2016原创)如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝6，EF＝2，则BC长为( B )
A．8 B．10 C．12 D．14
,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2016绍兴中考)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( D )
A．①②B．①④C．③④D．②③
7．(2016原创)如图，将?ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为( C ) A．66°B．104°C．114°D．124°
,(第7题图)) ,(第9题图))
8．(2016扬州中考)若多边形的每个内角均为135°，则这个多边形的边数为__8__．
9．(2016河南中考)如图，在?ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是__110°__．
10．(2016原创)如图，在?ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是__1 11．(2016巴中中考)已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使AE ＋CD ＝AD.连接CE ，求证：CE 平分∠BCD. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB∥CD，AB ＝CD ，AD ＝BC ，∴∠E＝∠DCE，∵AE＋CD ＝AD ，∴BE＝BC ，∴∠E＝∠BCE ，∴∠DCE＝∠BCE ，即CE 平分∠BCD. 12．(2016宿迁中考)如图，已知BD 是△ABC 的角平分线，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，ED ∥BC ，EF ∥AC.求证：BE ＝CF. 证明：∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠EBD＝∠DBC ，又∵ED ∥BC ，∴∠EDB＝∠DBC ，∴∠EBD＝∠EDB ，∴BE＝ED.又∵EF ∥AC ，∴四边形EFCD 是平行四边形，∴CF＝ED ，∴BE＝CF. 13．(2016凉山中考)如图，?ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，EF 过点O 且与BC ，AD 分别交于点E ，F.试猜想线段AE ，CF 的关系，并说明理由． 解：AE ＝CF ，AE∥CF.理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，OA ＝OC ，∴∠ACB＝∠CAD ，在△ AOF 和△COE 中，∠AOF ＝∠COE ，OA ＝OC ，∴△AOF≌△COE(ASA )，∴OE＝OF.∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形， ∴AE＝CF ，AE∥CF. 14．(2016陕西中考)如图，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE. 求证：AF∥CE. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠1＝∠2.又∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，∴DF＝BE，∴△ADF≌△CBE，∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE. 15．(2016梅州中考)如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE ＝DF，连接EF交BD于点O. (1)求证：BO＝DO； (2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AE的长． ∠BOE＝∠DOF，解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF.在△OBE与△ODF中，BE＝DF， ∴△OBE≌△ODF(AAS)，∴BO＝DO；(2)∵EF⊥AB，AB∥DC，∴∠GEA＝∠GFD＝90°.∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°.∴AE＝GE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°.∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，∴OF＝FG＝1.由(1)可知，OE＝OF＝1，∴GE＝OE＋OF＋FG＝3，∴AE＝3. 第四章 图形认识初步 4．1多姿多彩的图形 ▲几何图形：我们把从事物中抽象出的各种图形统称为几何图形。 ▲立体图形：几何图形上的各部分不都在同一平面内，这种图形叫做立体图形，又称空间图形。 ▲平面图形：几何图形上的各部分都在同一平面内，这种图形叫做平面图形。 ▲平面展开图：有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。 ▲几何图形的形成：几何体简称为体，长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是几何体。包围着体的是面。面有平的面和曲的面两种。体和体相交的地方形成面，面和面相交的地方形成线，线和线相交的地方是点。点、线、面、体经过运动变化，组合成各种几何图形。点动成线，线动成面，面动成体。 ▲几何图形的结构：点、线、面、体组成几何图形。点是构成图形的基本元素。 4．2直线、射线、线段 ▲点：表示一个物体的位置，通常用一个大写字母表示，如点A 、点B 。 ▲直线的表示方法：①可以用这条直线上任意两点的字母（大写）来表示；②用一个小写字母来表示。 ▲直线的基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为，两点确定一条直线。 ▲直线的特征：①直线没有端点，不可量度，向两方无限延伸；②直线没有粗细；③两点确定一条直线；④两条直线相交有唯一一个交点。 ▲点与直线的位置关系：①点在直线上，也可以说这条直线经过这个点；②点在直线外，也可以说直线不经过这个点。 ▲两条直线的位置关系有两种：①相交，当两条不同的直线有一个公共点时，我们就说这两条直线相交，这个公共点叫做这两条直线的交点。②不相交（即平行）。 ▲射线：直线上一点和它一旁的部分叫做射线。 ▲射线的表示方法：①用两个大写字母表示，表示端点的字母写在前面，在两个字母前加上“射线”；②用一个小写字母表示。 ▲射线的性质：①射线是直线的一部分；②射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量、不能比较长短；③射线上有无穷多个点；④两条射线的公共点可能没有，可能只有一个，可能有无穷多个。 ▲线段：直线上两点和它们之间的部分叫做线段。 ▲线段的特点：线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短。 ▲线段的表示方法：①用两个端点的大写字母表示；②用一个小写字母表示。 ▲线段的基本性质：两点的所有连线中，线段最短。简称，两点之间线段最短。 ▲两点的距离：连接两点间的线段的长度叫做这两点的距离。 ▲线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 如图，点M 将线段AB 分成AM=BM 两段，M 即为线段AB 的中点。 判定M 为中点： 中点M 的性质： ∵ AM ＝BM （或AM ＝BM=2 1AB ， ∵M 是线段AB 的中点， 第18讲相似三角形 命题点相似三角形的性质与判定 1．(2017·T7·3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D) A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1＋10%) D．没有改变 2．(2011·T9·3分)如图,在△ABC 中,∠C＝90°,BC＝6,D,E 分别在 AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处．若A′为CE的中点,则折痕DE的长为(B) A.1 2 B．2 C．3 D．4 3．(2014·T13·3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下: 甲:将边长为3,4,5的三角形按图1的方式向外扩张,得到新三角形,它们的对应边间距为1,则新三角形与原三角形相似． 乙:将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张, 得到新的矩形,它们的对应边间距均为1,则新矩形与原矩形不相似． 图1 图2 对于两人的观点,下列说法正确的是(A) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对,乙不对 D．甲不对,乙对 4．(2016·T15·2分)如图,在△ABC中,∠A＝78°,AB＝4,AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C) 重难点相似三角形的性质与判定 在△ABC中,AB＝AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN＝∠B. (1)如图1,当射线DN 经过点A 时,DM 交边AC 于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE 相似的三角形； (2)如图2,将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转,DM,DN 分别交线段AC,AB 于点E,F(点E 与点A 不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论； (3)在图2中,若AB ＝AC ＝10,BC ＝12,当S △DEF ＝1 4 S △ABC 时,求线段EF 的长． 【思路点拨】(1)由题意得AD ⊥BD,DE ⊥AC,可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义,结合等式的性质,得∠BFD ＝∠CDE,又由∠B ＝∠C,可得△BDF ∽△CED ；由相似三角形的性质得BD CE ＝ DF ED ,进而有CD CE ＝DF ED ,从而△CED ∽△DEF ；(3)首先利用△DEF 的面积等于△ABC 的面积的1 4,求出点D 到AB 的距离,进而利用S △DEF 的值求出EF 即可． 【自主解答】 解:(1)图1中与△ADE 相似的有△ABD,△ACD,△DCE. (2)△BDF ∽△CED ∽△DEF. 证明:∵∠B ＋∠BDF ＋∠BFD ＝180°,∠EDF ＋∠BDF ＋∠CDE ＝180°, 又∵∠EDF ＝∠B,∴∠BFD ＝∠CDE. 由AB ＝AC,得∠B ＝∠C,∴△BDF ∽△CED.∴BD CE ＝DF ED . ∵BD ＝CD,∴CD CE ＝DF ED . 又∵∠C ＝∠EDF,∴△BDF ∽△CED ∽△DEF. (3)连接AD,过点D 作DG ⊥EF,DH ⊥BF,垂足分别为G,H. ∵AB ＝AC,D 是BC 的中点,∴AD ⊥BC,BD ＝1 2BC ＝6. 在Rt △ABD 中,AD 2 ＝AB 2 －BD 2 ,∴AD ＝8. ∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝48.S △DEF ＝1 4S △ABC ＝12. 又∵12AD ·BD ＝1 2AB ·DH,∴DH ＝4.8. ∵△BDF ∽△DEF,∴∠DFB ＝∠EFD. ∵DG ⊥EF,DH ⊥BF,∴DH ＝DG ＝4.8. ∵S △DEF ＝1 2 EF ·DG ＝12,∴EF ＝5. 【变式训练1】(杭州)如图,在△ABC 中,AB ＝AC,AD 为BC 边上的中线,DE ⊥AB 于点E. (1)求证:△BDE ∽△CAD ； (2)若AB ＝13,BC ＝10,求线段DE 的长． 初一年级下册数学图形初步认识的知识点 苏教版初一年级下册数学图形初步认识的知识点 概念、定义: 1、我们把实物中抽象的各种图形统称为几何图形(geometricfigure)。 2、有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形(solidfigure)。 3、有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)的各部分都在同一平面内，它们是平面图形(planefigure)。 4、将由平面图形围成的立体图形表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图(net)。 5、几何体简称为体(solid)。 6、包围着体的是面(surface)，面有平的面和曲的面两种。 7、面与面相交的地方形成线(line)，线和线相交的地方是点(point)。 8、点动成面，面动成线，线动成体。 9、经过探究可以得到一个基本事实:经过两点有一条直线，并且只有一条直线。 简述为:两点确定一条直线(公理)。 10、当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交(intersection)，这个公共点叫做它们的交点(pointofintersection)。 11、点M把线段AB分成相等的两条线段AM和MB，点M叫做线段AB的中点(center)。 13、连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离(distance)。 14、角∠(angle)也是一种基本的几何图形。 15、把一个周角360等分，每一份就是1度(degree)的`角，记作1°;把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′;把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″。 16、从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线(angularbisector)。 17、如果两个角的和等于90°(直角)，就是说这两个叫互为余角(complementaryangle)，即其中的每一个角是另一个角的余角。 18、如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(supplementaryangle)，即其中一个角是另一个角的补角 19、等角的补角相等，等角的余角相等。 《认识图形》教学设计 教学目标： 1．通过操作和观察， 使学生初步认识长方体、正方体、圆柱、球；知道它们的名称；会辨认这几种物体和图形。 2．培养学生动手操作及观察能力，建立空间观念。 3．通过学生活动，激发学习兴趣，培养学生的合作探究和创新意识。 教学重点、难点：初步认识长方体、正方体、圆柱和球的实物与图形，建立空间观念。 教具、学具准备： 1．6袋各种形状的物体。 2．图形卡片。 3．计算机软件、投影片。 教学过程： 一、质疑激情 导语：同学们，今天老师我在上学的路上遇到了智慧之星爷爷，他夸了你们在学校的表现好，还让我给你们带来了小礼物。（老师给每组发一个装满东西的袋子），这是智慧之星爷爷送给你们的礼物，想知道是什么礼物吗？把袋子里的东西倒出来看一看。智慧之星爷爷还提出一个要求，把物体特点说出来。 二、操作感知 1．摸一摸，感知特点。 （1）分组活动。让学生把物体放在一起，看一看摸一摸说说特点，教师巡视。 （2）小组汇报。问：你们是怎样想的？说一说 学生可能回答：有四四方方的；直直的，像柱子；有的圆圆的球。 （3）揭示概念。 教师拿出位置、大小、颜色不同的实物直观揭示长方体、正方体、圆柱和球的概念，并板书名称。 2．分一分，说说特点。 同桌说说，全班汇报交流。 学生可能说出：长方体：是长长方方的，有平平的面。 正方体：是四四方方的，有平平的面。 圆柱：是直直的，上下一样粗细，两头是圆的，平平的。 球：是圆圆的。 （如果学生说出长方体、正方体有6个面等，应给予肯定，但不要求学生必须说出来。） 三、形成表象，初步建立空间观念 1．由实物抽象实物图形。 投影出示实物图“药盒”，引导学生说出它的形状是长方体，然后抽象出长方体图形。 用同样方法出示“魔方”、“茶叶桶”、“足球”等实物图，抽象出正方体、圆柱、和球的图形。 2．记忆想像。 六年级数学下册总复习知识点总结 知识点7：图形的认识测量 姓名记忆情况 一、线和角 1、线 ?直线：直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能 画一条直线。 ?射线：射线只有一个端点；长度无限。 ?线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线 中，线段为最短。 ?平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 两条平行线之间的垂线长度都相等。 ?垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条 直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。 o 从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。2、角 （1）从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的大小与角的两边叉开的大小有关。计量角的大小的单位是度。记着“a°”。 （2）角的分类 ?锐角：小于90°的角叫做锐角。 ?直角：等于90°的角叫做直角。 ?钝角：大于90°而小于180°的角叫做钝角。 ?平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角180°。 ?周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是360°。 二、平面图形 1、长方形 b（宽） a（长） 特征：对边相等，4个角都是直角的四边形。有两条对称轴。 2、正方形 a（边长） 特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有4条对称轴。 3、三角形 h（高） a （底） 锐角三角形直角三角形钝角三角形 （1）特征：由三条线段围成的图形。内角和是180度。三角形具有稳定性。三角形有三条高。三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。（2）分类按角分： ?锐角三角形：三个角都是锐角。 ?直角三角形：有一个角是直角。等腰直角三角形的两个锐角各为45度， 它有一条对称轴。 ?钝角三角形：有一个角是钝角。 按边分： ?不等边三角形：三条边长度不相等。 ?等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。 ?等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。 4、平行四边形 （1）特征：两组对边分别平行的四边形。 相对的边平行且相等。对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。平行四边形容易变形。 第二章 几何图形的初步认识 2.1从生活中认识几何图形 知识点： 一、认识几何图形 几何图形 二、几何图形的构成 1、面与面相交成＿＿＿，线与线相交成＿＿＿。 2、点动成＿＿＿，＿＿＿动成面，面动成＿＿＿。 3、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿是构成几何图形的基本要素，体是由＿＿＿围成的。 4、面有＿＿＿面和＿＿＿面，线有＿＿＿线和＿＿＿线。 引申探讨：n 棱柱有几个顶点、几条棱、几个面 平面图形 立体图形 柱体 锥体 球体 台体 圆柱 棱柱 圆锥 棱锥 圆台 棱台 2.2 点和线 知识点： 1、点的表示： A B 用一个大写的字母,例如:点A、点B 2、线段的表示： 方法一 :用表示端点的两个大写字母(没有次序). 例如:线段AB、线段BA. 方法二:用一个小写字母.例如线段a. 3、射线的表示： 用表示端点的大写字母和其余任一点的字母(表示端点的大写字母必须写在前). 例如:射线AB 4、直线的表示： 方法一 :用表示任两点的两个大写字母(没有次序). 例如:直线AB、直线BA. 方法二:用一个小写字母.例如直线a. 5、线段、射线、直线的比较： 6、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简记为：两点确定一条直线） 7、点与直线的位置关系：点在直线上（直线经过点）；点在直线外（直线不经过点） 引申探讨：1、一条直线上有n个点，会有几条线段？ 2、握手问题、票价问题、车票问题。 2.3线段的长短 知识点： 1、线段长短的比较方法：（两种） （1）度量法：是从数量的角度来比较 （2）叠合法：是从图形的角度来比较 另外了解估测法：依据已有的经验来判断 2、线段的画法： 3、线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短。 （简记为：两点之间，线段最短。） 引申探讨：蚂蚁爬行问题 2.4 线段的和与差 知识点： 一、线段的和与差的概念及作图方法 二、线段的和与差的计算 三、线段的中点 2.5 角以及角的度量 知识点： 一、角的概念 二、角的表示方法： 1、用大写英文字母表示 （1）用三个大写英文字母表示（此时要把表示顶点的字母写在中间）。 （2）用一个大写字母表示（只有在某个顶点处只有一个角，而且这个字母必须用顶点的字母表示）。 2、用阿拉伯数字表示。 3、用小写希腊字母表示。 三、角的度量 《图形的认识》教材分析 本单元在一年级（上册）《认识图形（一）》的基础上编排。那时，学生直观认识四个立体图形：长方体、正方体、圆柱和球，现在要直观认识四个平面图形：长方形、正方形、三角形和圆。直观认识是对图形的整体性认识，是以感知（尤其是观察与操作）为主的认识。直观认识的结果是在头脑里形成图形的表象，以此作为记忆图形、识别图形、区别图形的主要依据。 本单元的教学要求是：学生整体感知每种平面图形的形状，形成初步的表象；能依据表象识别各种图形，在常用的物品表面找到这些形状的面，并说出它们的名称；能用简单的方法做（画）出这些图形，能对这些图形进行拼、折等变换活动。 把这四种图形作为教学内容，主要原因有三点。一是这些图形比较常见、比较简单，适合儿童认识。二是这些图形是几何里的基本图形，后面还有很多这些图形的学习内容要安排，提前作些铺垫或准备有好处。三是有些学具就是这些形状的，学生初步认识图形，也方便了操作活动的进行。 本单元的教学难点在于“体”与“形”的联系和区别。“形”作为“体”的某个面的形状，既离不开“体”，又不同于“体”。儿童要感受到这些关系和区别，确实很难，他们把长方形说成长方体，不只是一般的口误，深层次的原因是“形”与“体”的混淆。教学既不能淡化“形”与“体”的联系和区别，也不能对儿童提出过高的认识要求，实事求是地把握住教学的“程度”十分重要。 1. 儿童建立长方形、正方形、三角形和圆的表象，教材设计的过程是：选择积木画图形→在积木的其他面上寻找同样的图形→出示标准的几何图形并给出图形名称→在身边的物体上找出图形的实例。这个过程从具体到抽象，再回归 具体，符合儿童形成图形表象的一般规律，其中前三步安排在例题里进行，最后一步在“想想做做”里进行。 （1）选择积木画图形。例题从玩积木开始，让学生仿照着教科书的图示，每人选择一块积木，摁在纸上，沿着底面的边，画出一个图形，把积木某个面的形状留在纸上，并把学习兴趣集中到画出的图形上。 设计这种方式呈现平面图形有两个好处：一是能够得到比较标准的图形。积木是比较规则的形体，借助积木画出的图形也比较规范。让学生接触规范的图形十分重要，标准的形体才能形成正确的表象。二是操作方便，内含的数学内容丰富。学生只要把积木摁在纸上，沿着底面的边就能画出图形。在画图活动中不仅能产生兴趣，而且初步感受了“面”与“体”的联系与区别。 教学时，应要求学生认真地画图形，沿着积木的边把图形的边画直，图形的顶点处不要断开。还应要求学生看看积木的那个面，看看纸上画出的图形，体会图形是从积木上“分离”出来的，表示积木的那个面的形状。如果要求儿童用语言表述“形”与“体”的关系和区别，是很难做到的。让他们看看、比比，体会这些联系和区别是能够的。 （2）在积木的其他面上寻找同样的图形。图形的表象是许许多多同类图形形状的概括，需要在丰富的感性认识基础上形成。学生每人用积木只画出一个图形，对图形的感受还不够充分。上面进行的画图形活动，只是利用了积木的一个面。在长方体积木上还有其他长方形的面，正方体积木上的每一个面都是正方形，三棱柱的两个底面都是三角形，圆柱的两个底面都是圆形。所以，在积木上还能找到与所画图形相同的图形。例题要求学生“在积木上找到这样的图形”有两个目的，一是丰富感知材料，充实对图形的感性认识；二是体会每一个图形都是积 ? ? ? ? ? ?图形的初步认识 一、本章的知识结构图 一、立体图形与平面图形 立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1、几何图形 平面图形：三角形、四边形、圆等。 主（正）视图---------从正面看 2、几何体的三视图侧（左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------------从上面看 （1）会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。 （2）能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、立体图形的平面展开图 （1）同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。 （2）了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、点、线、面、体 （1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2）点动成线，线动成面，面动成体。 例1 （1）如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形相类似的物体。 （2）如图2所示，写出图中各立体图形的名称。 图 1 图2 解：（1）①与d类似，②与c类似，③与a类似，④与b类似。 （2）①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④长方体，⑤五棱锥。 例2 如图3所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是左边立体图形的哪个视图。 图3 解：（1）左视图，（2）俯视图，（3）正视图 练习 1．下图是一个由小立方体搭成的几何体由上而看得到的视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，则从正面看它的视图为（） 几何基础图形——三角形的认识 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在．．同一条直线上的线段首尾顺次．．．． 连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性．．． . 表示法及读法： 三角形用符号“△”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“ ABC △ ”，读作“三角形ABC ”． ABC △的三边有时也用a ，b ，c 表示． 顶点A 的对边a （BC ） 顶点B 的对边b （AC ） 顶点C 的对边c （AB ） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ,,A B C ∠∠∠是三 角形的内角 c b a C B A 思路导航 知识互联网 题型一：三角形的边 A B C 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角. 三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 三角形三条边的关系 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边. 即a 、b 、c 三条线段可组成三角形?b c a b c -<<+?两条较小的线段之和大于最大的线段. 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线 段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． a c b +> ||a c b -<, a b c +> ||a b c -<, b c a +> ||b c a -< 【引例】一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长的最小值 直角三角形 钝角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 A B C a b c 例题精讲 三角形（按角分类） 直角三角形：三角形中有一个内角是直角 斜三角形 锐角三角形：三角形中三个内角都是锐角 钝角三角形：三角形中有一个内角是钝角 三角形（按边分类） 不等边三角形：三条边都不相等的三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形：有两边相等的三角形 等边三角形（正三角形）：三边都相等的三角形 锐角三角形 《认识图形》教材分析 单元学习目标 1．经历从实际物体中抽象出角、正方形、长方形和平行四边形的过程，初步发展空间观念。 2．结合生活情境，直观认识角、正方形、长方形和平行四边形；会借助三角板辨认直角、锐角和钝角；结合观察、操作活动，能够用学生自己语言描述长方形、正方形的特征；会用正方形、长方形、平行四边形等图形设计简单的图案，发展初步的审美意识。 3．了解用折、画、比、量等多种认识图形的方法，体会研究图形方法的多样性，激发对图形研究的好奇心。 单元学习内容的前后联系 图形的认识在小学阶段强调活动经验的积累，所以本单元所涉及内容在整套教科书中，均安排了两次学习。如在一年级下册，教科书安排了长方形和正方形的直观认识，本单元教科书则要从边和角的角度进一步研究长方形和正方形的特征。再如，本单元教科书采用生活中的一些常见现象帮助学生初步认识角。第二学段还会进一步认识角，如在学习完平角后，对钝角的认识还会逐步完善等。本单元教科书在认识长方形的基础上，通过拉动长方形两个相对的顶点就可以得到一个平行四边形，直观认识平行四边形。第二学段在学习了平行和垂直的有关知识之后，对平行四边形也会有进一步的认识。 单元学习内容分析 在一年级的学习中，学生积累了由实际物体抽象出长方形、正方形、三角形和圆的活动经验，对平面图形有了最初的认识。本单元是在一年级的学习基础上， 进一步拓展学生对图形的认识。组织本单元学习内容的思路如下。 本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面。 1．利用从实际物体中抽象出平面图形的过程，帮助学生体会图形与现实生活的联系，直观感知图形本单元的学习强调结合生活实例，经历从实际物体中抽象出平面图形的过程。如在角的学习中，教科书采用生活中的一些常见现象帮助学生初步认识角。剪刀张开的两个刀刃夹成一个角，钟面上两根指针夹成一个角，红领巾的两边组成一个角。这样，由多个实际物体中的角抽象出几何图形角，将有助于学生体会到图形与现实生活的联系，加强对平面图形的直观感知。 2．借助丰富的观察、操作活动，帮助学生积累图形认识的活动经验，加深对图形的认识教科书安排了丰富的观察、操作活动，目的是使学生通过探索活动与合作交流，积累图形认识的数学活动经验，加深对图形的认识。例如，用不同大小的三角板比一比对应角，帮助学生初步认识角的大小与边长无关；借助与直角三角板中直角的对比，帮助学生辨认直角、锐角和钝角；通过“折一折，量一量，填一填”，帮助学生探究长方形、正方形的特征；通过拉动长方形的木框，直观认识平行四边形等。 3．借助图形欣赏活动，发展学生的空间观念和审美能力 教科书安排了专门的欣赏与设计内容，一方面，通过图案欣赏发展学生的审美情趣，激发学生对数学学习的兴趣；另一方面，通过引导学生用学过的图形设计自己喜欢的图案，发展学生的空间观念和创新意识。 平面图形的认识-三角形提优题目 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E. (1)若∠B=35°,∠ACB=85°，求∠E的度数； (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明。 已知如图，射线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE 平分∠COF。 （1）求∠EOB的度数； （2）若平行移动AB，那么∠OBC∶∠OFC的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； （3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由。 如图，AD⊥BD，AE平分∠BAC，∠B＝30°，∠ACE＝110°．求∠AED的度数． 现有两块大小相同的直角三角板△ABC、△DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠A＝∠D＝30°． (1)将这两块三角板摆成如图①的形式，使B、F、E、A在同一条直线上，点C在边DF上，DE与AC相交于点G，试求∠AGD的度数； (2)将图①中的△ABC固定，把△DEF绕着点F逆时针旋转成如图②的形式，当旋转的角度等于多少度时，DF∥AC?并说明理由． 如图，△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，D为边BC上一点（D与B、C不重合），连接AD，∠ADB的平分线所在直线分别交直线AB、AC于点E、F． （1）求证：2∠AED-∠CAD=170°； （2）若∠ABC=∠ACB=n°，且D为射线CB上一点，（1）中其他条件不变，请直接写出∠AED与∠CAD的数量关系．（用含n的代数式表示） 第二章 几何图形的初步认识 2.1 从生活中认识几何图形 知识点： 一、认识几何图形 几何图形 二、几何图形的构成 1、面与面相交成＿＿＿，线与线相交成＿＿＿。 2、点动成＿＿＿，＿＿＿动成面，面动成＿＿＿。 3、＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿是构成几何图形的基本要素，体是由＿＿＿围成的。 4、面有＿＿＿面和＿＿＿面，线有＿＿＿线和＿＿＿线。 引申探讨：n棱柱有几个顶点、几条棱、几个面 2.2 点和线 知识点： 1、点的表示： A B 用一个大写的字母,例如:点A、点B 2、线段的表示： 方法一 :用表示端点的两个大写字母(没有次序). 例如:线段AB、线段BA. 方法二:用一个小写字母.例如线段a. 3、射线的表示： 用表示端点的大写字母和其余任一点的字母(表示端点的大写字母必须写在前). 例如:射线AB 4、直线的表示： 方法一 :用表示任两点的两个大写字母(没有次序). 例如:直线AB、直线BA. 方法二:用一个小写字母.例如直线a. 5、线段、射线、直线的比较： 6、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线（简记为：两点确定一条直线） 7、点与直线的位置关系：点在直线上（直线经过点）；点在直线外（直线不经过点） 引申探讨：1、一条直线上有n个点，会有几条线段？ 2、握手问题、票价问题、车票问题。 2.3线段的长短 知识点： 1、线段长短的比较方法：（两种） （1）度量法：是从数量的角度来比较 （2）叠合法：是从图形的角度来比较 另外了解估测法：依据已有的经验来判断 2、线段的画法： 3、线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短。 （简记为：两点之间，线段最短。） 引申探讨：蚂蚁爬行问题 2.4 线段的和与差 知识点： 一、线段的和与差的概念及作图方法 二、线段的和与差的计算 三、线段的中点 2.5 角以及角的度量 知识点： 一、角的概念 二、角的表示方法： 1、用大写英文字母表示 （1）用三个大写英文字母表示（此时要把表示顶点的字母写在中间）。 （2）用一个大写字母表示（只有在某个顶点处只有一个角，而且这个字母必须用顶点的字母表示）。 2、用阿拉伯数字表示。 3、用小写希腊字母表示。 三、角的度量 第一单元单元教材分析： 这部分内容是在上学期“认识物体和图形”的基础上教学的，通过上学期的学习学生已经能够辩论和区分所学的立体图形了，这里主要是通过一些操作活动，让学生初步体会长方形、正方形、三角形、圆的一些特征，并感知平面图形与立体图形间的一些关系。本单元教学的关键是把握好教学要求，既不能在上学期的基础上简单重复，又要能拔高教学要求，上学期在认识物体和图形时，也有拼摆，但那时只是用所学的形状拼搭一引起有趣的图案和事物，使学生加深对所学图形的认识，从中感受数学学习的乐趣，同时体会图形的显著特征。而本单元“图形的拼组”目的是让学生通过摆、拼、剪等活动体会平面图形的一些特征，并感知平面图形与立体图形间和立体图形间以及平面图形与立体图形间的关系。 单元教学要求： 1、让学生认识长方形、正方形、三角形和圆以及正方体的形状，通过折一折、摆一摆、剪一剪、拼一拼，辨别和区分这些图形。 2、培养学生初步发展想象能力和创新能力。 3、通过观察、操作、使学生初步感知所学图形之间的关系。 单元课时安排：约3课时 一年级第一单元《认识图形》教案 认识平面图形 本课目标：知识与技能 1、对过让学生观察长方体、正方体的一个面、圆柱的底面，以及利用这些几何形体的面画图形等活动，使学生直观认识长方形、正方形、圆。丰富直观体验，发展空间观念。 2、对过把长方形或正方形折、剪、拼、直观认识三角形和平行四边形。 过程与方法 让学生经历描、找、说、围、画和玩的学习活动，在活动中知道这些常见图形的名称，能识别这些图形，初步了解这些图形在日常生活中的应用。 情感态度与价值观让学生在学习活动中积累对数学的兴趣，增强与同学交往，合作的意识。 教学重点：引导学生从物体中分离出面、再从表面抽象出平面图形 第五章 图形的认识与三角形 课时18．几何初步及平行线、相交线 【知识考点】 1. 两点确定一条直线，两点之间 最短，即过两点有且只有一条直线。 2. 1周角＝_______，1平角＝_______,1直角＝_______． 3. 如果两个角的和等于90度，就说这两个角互余，同角或等角的余角相等；如果_____________________互为补角，__________________的补角相等. 4. ___________________________________叫对顶角，对顶角___________. 5. 过直线外一点心___________条直线与已知直线平行. 6. 平行线的性质：两直线平行，_________相等，________相等，________互补. 7. 平行线的判定：________相等,或______相等,或______互补，两直线平行. 8. 平面内，过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直. 9．线段的垂直平分线： 性质：线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等； 判定：到线段 的点在线段的垂直平分线上。 10.角的平分线： 性质：角平分线上的点到角 相等； 判定：到角 的点在这个角的平分线上。 【中考试题】 一．选择题 1.（2011年广西桂林）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（ ）． 2．如图，直线a b ∥，则A ∠的度数是（ ） A ．28 B ．31 C ．39 D ．42 第5题 C B A E D O 3．（2011山东日照）如图，已知直线AB ∥CD ，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E 的大小为（ ） A ．70° B ．80° C ．90° D ．100° 4.（2011?南通）如图，AB ∥CD ，∠DCE=80°，则∠BEF=（ ） A 、120° B 、110° C 、100° D 、80° 5.（2011山西）如图所示，∠AOB 的两边OA 、OB 均为平面反光镜，∠AOB ＝35°在OB 上 有一点E ，从E 点射出一束光线经OA 上的点D 反射后，反射光线DC 恰好与OB 平行，则∠DEB 的度数是（ ） A ．35° B ． 70° C ． 110° D ． 120° 6.（2011重庆綦江）如图，直线a ∥b ，AC 丄AB ，AC 交直线b 于点C ，∠1＝65°，则∠2的度数是（ ） (第2题)图 A B D a b 70° 31° 第四章 图形的初步认识 4.1 生活中的立体图形 球体 点：点动成线 线：线动成面 面：面动成体 直线：两点确定一条直 平面图形 线段：两点之间线段最 射线：线段向一方无限 2. 立体图形的面是平的面，像这样的立体图形，又称为多面体。 欧拉公式：顶点 +面数-棱数 =2（V+F-E ） 4.2 画立体图形 三视图：从正面、上面、侧面（左面或右面） 三个不同的方向看一个物体，然后描绘所看 到的图即 视图 这样就把一个物体转化为平面图形。 从正面看到的图形称为正视图 从上面看到的图形称为俯视图 从侧面看到的图形称为侧视图 4.3 立体图形的表面展开图 多面体是由平面图形围成的立体图形，设想沿着多面体的一些棱将他剪开，可以把多面体 的表面展开成一个平面图形。 圆柱的侧面展开 ----- 长方形 圆锥的侧面展开 ----- 扇形 4.4 平面图形 在多边形中，三角形是最基本的图形。每一个多边 形都可以分割成 N-2 个三角形（ N 是 多边形的边数） 4.5 最基本的图形 --- 点和线 一1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 1. 基本几何图形 立方体的展开图 柱体 棱柱 圆柱 立体图形 锥体 圆锥 棱锥 线 短 延伸就得到一条射 3. 把线段向一方无限延伸所形成的图形叫做射线 4. 把线段向两方无限延伸所形成的图形叫做直线 5. 把一条线段分成两条相等线段的点，叫做这条线段的中点。 4.6 角 1. 角是由两条有公共端点的射线组成的图形。角平分线：从一个角顶点引出的一条射线，把这 个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线 2 定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形。射线的端点叫做角的顶点。 起始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。一周角=二平角=四直角一周角=360° —平角=180°1° =60' 1' =60〃 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 定理三角形两边的和大于第三边 6 推论三角形两边的差小于第三边 7 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 8 推论1 直角三角形的两个锐角互余 9 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 10 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 11.角的大小比较：度量法和叠合法 二．两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，有这种关系的两个角，互为邻补角 1. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两 边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角对顶角的性质：对顶角相等 4.7 相交线 1. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直. 它们的交点叫做垂足 垂线的性质：⑴过一点有且只有一条直线与已知直线垂直?⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短. 北师大版小学数学一年级下册 《认识图形》教学设计 一、教材分析: 本课为义务教育课程标准实验教科书数学（北师大版）一年级下册第四单元《有趣的图形》中的内容，教材从描(画、印)出简单几何体的面入手，引入平面图形，使学生直观认识一些平面图形，体会平面图形与简单几何体的头系。这体现了从立体到平面的设计思路，本课教学内容是在学生学习了正方体、长方体、圆柱、球等立体图形之后进行教学的，为以后进一步学习更深层的几何知识打下基础。 二、教学目标: 知识目标：通过观察、操作等活动，初步认识并辨认长方形、正方形、三角形和圆，体会“面”在“体”上。 能力目标：在动手操作的过程中形成空间观念和创新意识。 情感目标：通过图形在生活中的广泛运用，感受到数学知识与生活息息相关，激发学生对数学学习的兴趣。 教学重点：会辨认这四种图形。 教学难点：体会“面”在“体”上。 三、教学设想： 本次教学活动以“问题情境—建立模型—解释与应用”的模式呈现教学内容，注重让学生体验“从立体到平面”的探究、建模过程，以学生的发展为本，强调对学生空间观念的培养，引入新课时主要用到谈话法进行教学通过谈话的形式把立体图形与平面图形联系起来，教学例题时则主要用到操作实验的方法，让学生在动手的过程中体会“面在体上”，在操作实验过程中融观察、操作、交流、合作等学习方法为一体，注重让学生在操作体验中学习。通过“摸、看、描”，在获得直观感受的基础上，辨别三角形、圆、长方形和正方形，体会“面在体上”。 教学准备：多媒体课件、立体图形实物若干、平面图形若干、白纸、彩笔等。 四、教学流程： 一、创设情境，导入新课。 师：今天老师给大家请来了几个老朋友，他们是谁呢？请看：（课件出示长方体、正方体、圆柱、三棱柱） 师：小朋友们的桌面上都有一个这样的物体，请你拿出桌面上的物体，跟着老师这样摸摸你手中物体其中的一个面，说说你有什么感觉？（感知面在体上） 生：平平的、滑滑的。 二、操作交流，探究新知。 1、说一说 师：那我们怎么把这样平平的面请到纸上呢？ 同桌讨论，说一说：你是准备怎么把这样平平的面搬到纸上？ 学生汇报，交流。 生1：我准备用印泥…… 生2：我用水彩笔…… 生3：我用纸把它盖住折出边角痕。 …… 2、搬一搬 师：小朋友真了不起，想出了这么多的好办法，老师给大家准备了一张纸，请你用你喜欢的方法把手中物体其中的一个面搬到纸上， 生动手操作。（师巡视，巡视时注意观察学生的作品。） 汇报： M O a 第六章：平面图形的认识 第一节：直线、射线、线段 知识点1：概念 线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。 线段的画法：（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．（2）以后我们说“连结 ”就是指画以A 、B 为端点的线段． 射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。如手电筒、探照灯 射出的光线等。 射线的画法：画射线 一要画出射线端点 ；二要画出射线经过一点，并向一旁延伸的情况． 直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。如笔直的铁轨等。 直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。 知识点2：线段、直线、射线的表示方法： （1） 点的记法：用一个大写英文字母 （2） 线段的记法：①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 如图： 记作线段AB 或线段BA ， 记作线段a ， 与字母顺序无关 此时要在图中标出此小写字母 温馨提示：线段是直线（或射线）的一部分；2.线段不可向两方无限延伸，但可度量；3.延长线常化成虚线；4.延长线段AB 是指按A 到B 的方向延长，延长线段BA 是指按B 到A 的方向延长. （3） 射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面 如图： 记作射线OM,但不能记作射线MO 温馨提示：1.射线是直线的一部分；2.射线是像一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小；3.射线可作反向延长线，不存在射线的延长线。 （4） 直线的记法：①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示 如图： 记作直线AB 或直线BA ， 记作直线l 与字母顺序无关。 此时要在图中标出此小写字母 知识点3：线段、射线、直线的区别与联系： 联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到 直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。 区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别 见下表： B A l 几何图形 「立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。 1几何图形 .平面图形：三角形、四边形、圆等。 主（正）视图 ------- 从正面看 2、几何体的三视图 侧（左、右）视图-----从左（右）边看 俯视图---------- 从上面看 （1） 会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图。 （2） 能根据三视图描述基本几何体或实物原型。 3、 立体图形的平面展开图 （1） 同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平现图形不一样的。 （2） 了解直棱柱、圆柱、圆锥、的平面展开图，能根据展开图判断和制作立体模型。 4、 点、线、面、体 （1） 几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形。 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。 体：几何体也简称体。 （2） 点动成线，线动成面，面动成体。 例1 （ 1）如图1所示，上面是一些具体的物体，下面是一些立体图形，试找出与下面立体图形 相 类似的物体。 解：（1）①与d 类似，②与C 类似，③与a 类似，④与b 类似。 （2）①圆柱，②五棱柱，③四棱锥，④长方体，⑤五棱锥。 例2如图3所示，讲台上放着一本书，书上放着一个粉笔盒，指出右边三个平面图形分别是 左边立体图形的哪个视图。 图3 解：（1）左视图，（2）俯视图，（3）正视图 练习 1 ?下图是一个由小立方体搭成的几何体由上而看得到的视图，小正方形中的数字表示该位置 小立方块的个数，则从正面看它的视图为（ ） 图形的初步认识 （2）如图2所示，写出图中各立体图形的名 称。 、本章的知识结构图 ①㈱ ③ 立体图瑠 从不同方向看立体图羽 ■展开立体图形 J 平面图形 直线、肘线、线段 两点确定一条直线 两点之间线段最短 平面图形 角的度量 角的大小比较一一角侨分线 等角的补角相等 等角的余角相等 余常和补肃 、立体图形与平面图形 ① ② ③ ④ ⑤图形认识知识点大全
中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形第18讲相似三角形8年真题训练练习
初一年级下册数学图形初步认识的知识点
一年级上册《认识图形》教案教学教材
(完整版)2017小学六年级数学总复习知识点总结知识点7平面图形的认识
七年级数学几何图形的初步认识知识点
一年级下数学教材分析认识图形_青岛版
图形的初步认识知识点
几何基础图形——三角形的认识
北师大版二年级数学下册《认识图形》教材分析
平面图形的认识-三角形提优题目
七年级数学几何图形的初步认识知识点电子教案
【免费下载】人教版一年级数学第一单元认识图形教材分析及教案
中考复习图形的认识与三角形一
图形的初步认识知识点很全 配习题和答案
《认识图形》教学设计@@@@@
(完整版)第六章：平面图形的认识知识点总结
图形的初步认识知识点
相关主题
文本预览