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近世代数初步_习题解答(抽象代数)

近世代数初步_习题解答(抽象代数)
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《近世代数初步》

习题答案与解答

引 论 章

一、知识摘要

1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算).

2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足:,,,G c b a ∈?

(1),ba ab = (2)),()(bc a c ab =

(3)存在单位元e 满足,a ae ea ==

(4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素.

则称G 为一个交换群.

(i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群.

3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足:

I. F 对加法构成交换群.

II. F*=F\{0}对乘法构成交换群.

III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈?

就称F 为一个域.

4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足:

I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1).

III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环.

5.群G 中满足消去律:.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且

6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子.

7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合.

8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义:

n n a aa a ...=, 个

n n a a a a e a 1

110...,----==.

则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有

.)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+===

(在加法群中可写出相应的形式.)

9.关于数域上的行列式理论、多项式理论(包括除法算式、整除性、最大公因式、因式分解唯一性定理等)、线性方程组理论、矩阵运算及理论、线性空间及线性变换理论在一般域F 上都成立.

二、习题解答 1、(1)否,(2)否,(3)是,(4)是。

注:因为集合A上的一个代数运算对应了集合A×A到A的一个映射。此类题由此直接判断。

2、证明 由于在F 2上的任一和式中,只要有一项是1,其结果永远是1。而a+b 与b+a ;a+(b+c)与(a+b)+c 中1,0出现的次数分别相同,它们的和就分别相等,故F 2中加法交换律和结合律成立。

由于ab 和ba ;a (bc )和(ab )c 中如有0出现,其积为零,否则其积为1,故这两对积分别相等,于是F 2中乘法交换律和结合律成立。

对a (b+c )和ab+ac ,若a=0,这两式子都为零;若a=1,这两式子都为b+c ,对这两种情形两式子都相等,故F 2中乘法对加法的分配律成立。

注:此类题根据所定义的运算法则直接验证。 3、(1)对a+b=a=a+0用加法消去律,得b=0。

(2)由于[(-a )-b]+a+b=(-a )+[-b+(a+b )]=(-a )+a=0,由负元的定义知(-a )-b=-(a+b ). (3)在(2)中将 b 换为-b ,就得-(a-b )=(-a )+b 。

(4)对a-b=c 两边加上b ,左边=(a-b )+b=a ,右边=c+b ,故a=c+b 。 (5)a ·0+a=a ·0+a ·1=a (0+1)=a,用加法消去律得a ·0=0。

(6)00)()(=?=+-=+-b b a a ab b a ,故b a ab )(-=-,将上式b a ,互换就得)(b a ab -=。 (7).)())(()(ac ab c a ab c b a c b a -=-+=-+=- 注:此题直接根据环上的两个运算的性质和关系进行验证。 4

∑=m i i a 1

∑=n

j j

b

1

=∑=++n

j j

m b

a a 1

1)

( ∑∑==++=n

j j m n j j b a b a 1

1

1

∑∑

∑∑=====++=n

j j

i m

i n

j j m n

j j b

a b a b a 1

1

1

1

1 。

注:此题直接根据环上“乘法对加法的分配律”来证明。

5.分几种情形

(i )0=+n m ,但m ,n 不为零,不妨设m 为正整数。m

m

a a -为m 个a 及m 个1

-a 的乘积,由广义

结合律知)(01m m m

m

a a a

a -+-===。

(ii )若m ,n 中有零,不妨设m=0,则左边右边====+n n n

a a a a

00。

(iii )m ,n 皆为正整数,则a m+n 与a m a n 皆为m+n 个a 的积,由广义结合律知它们相等。若m ,n 皆为负整数,则a m+n 与a m a n 皆为-(m+n )个a -1的乘积,由广义结合律知它们相等。

(iv )m ,n 中有正有负,且0≠+n m ,不妨设m 与m+n 为异号。则由(iii )n m n m m n

m a a a a ==-+-+)(,

两边再乘上()

m m

a a =--1

(参看(i)),则n m n m a a a =+.

以上已证明了m m n m n

m a a a a a

--+==1)(及

再由);0(,)(时当个

个?===+++n a a a a a

n m n m m n m m m mn

个个

个)(11)()()()())((n m n m m n m m mn

a a a a a n m a a m ---------===--=

);0(,)(时当?=n a n m

又.)(100

m m a a

==?

这就证明了.)(n m mn

a a

=

若a,b 交换,当m=0时,显示有.)(m

m

m ab b a =当m 为正整数时,m

m

m ab b a )(与都是m 个a,m 个b 的乘积,由广义结合律知它们相等,当m 为负整数时,m m

m ab b

a ---=)(,即111))(()()(---=m m m a

b b a .左边又是

1)(-m m b a ,故m m m ab b a )(=.

注:此题根据广义结合律和群中元素的方幂的性质进行验证.

6. 参照中学数学中对二项定理的证明,根据环上的运算性质及b a ,的交换性直接证明.

7.由1))((1

11

1111

1121

112121==----------a a a a a a a a a a a a a a m m m m m m m ,故111211

21)

(----=a a a a a a m m .

对第2个问题,上面一段正是证明了它的充分性,再证必要性.设121=?u a a a m ,则任意

i ,1)(111=--u a a a a a m i i i ,故每个i a 有逆元素.

注:直接根据逆元的定义和广义结合律证明.

8.11)1(11)1)(1()1(=+-=-+-=-+-=+-=-ba ba ca ab b ba babca bca ba bca ba d ba

bcaba bca ba ba bca ba d -+-=-+=-1)1)(1()1(.11)1(1=+-=-+-=ba ba a ab bc ba

即1-ba 在R 内也可逆

又由c abc cab c ab ab c =+=+=-=-11,1)1()1(得.故

cab)ab(11abcab ab 1bca)b a(11adb 1++=++=++=+

c abc =+=1.

注:直接根据结合律和环中乘法对加法的分配律验证.

9.当n ≥2时,取

?????????=001A 001 000 0

00

n

n ?????

?

??

B=???????-0011 0000

000 n

n ?????

??? 则0≠A ,0≠B ,但AB=0.A,B 皆为零因子.

注:根据环中零因子的定义直接构造.

第一章 群 第一节 群的例子

一、知识摘要

1.数1的n 次单位根?

?????-===1,...,2,1,0:2n k e U i n

k k n πε关于复数乘法构成群.

2.域F 上的全体n 阶可逆矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶一般线性群,记为).(F GL n

3.)(F GL n 中全体行列式为1的矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶特殊线性群,记为).(F SL n

4.实数域R 上的全体n 阶正交矩阵关于矩阵乘法构成群,称为n 阶正交群,记为).(R O n

5.非空集合M 上的可逆变换全体关于变换乘法构成群,称为集合M 上的全变换群,记为M S .

特别,当M 是有限集{1,2,…,n}时,M 上的可逆变换称为1,2,…,n 的一个置换(或一个n 元置换).此时,全体n 元置换在置换乘法下所成的群称为n 元对称群,记为n S .

6. 域F 上n 维线性空间V 上的全体可逆线性变换在变换乘法下构成群,记为).(V GL

7.实数域上n 维欧氏空间V 上的全体正交变换在变换乘法下构成群,记为).(V O n

8.平面上全体正交变换(保持点之间的距离和直线夹角的变换)在变换变换乘法下构成群,称为平面的正

交变换群.

二、习题解答

1.写仿射点变换T

T

y x y x ),(),(:'' ?(这儿T 是矩阵的转置)为矩阵形式

???

?

??+???? ??=???? ??+???? ?????? ??=???? ??''212122122111b b y x A b b y x a a a a y x ,

其中022

12

2111≠=

a a a a A .

设另一仿射点变换ρ:???

?

??+???? ?????? ??21c c y x B y x ,其中0≠B , 则()T

y x ,经ρ?变成

???

?

??+???? ?????? ??+???? ??=???? ?????? ??+???? ??=???? ?????? ??=????

??212121c c b b y x A B b b y x A y x y x ρ?ρρ? ???

?

?????? ??+???? ??+???? ??=2121c c b b B y x BA

由于ρ?,0≠=A B BA 仍是仿射点变换.

易证:仿射点变换???

?

??+???? ?? ????

?????? ??001001:y x y x I 是恒等变换,它是乘法单位元. 仿射点变换:'????

?

??+???? ?????? ??-???? ?????? ??-00211b b y x A y x 正是?的逆变换. 又变换的乘法自然有结合律,故平面上全体仿射点变换对变换的乘法成为一个群.

注:此类题按照群的定义验证,对逆元和单位元的存在性证明是关键.

2.平面上正交点变换?可写成矩阵形成

?:???

?

??+???? ?????? ??21b b y x A y x ,

其中A 为2×2正交矩阵,即满足I A A AA T ==T (单位矩阵).

正交矩阵的乘积是正交矩阵,正交矩阵的逆也是正交阵。利用这两个性质。完全类似于习题1中的论

证,能证明本习题的结论.

注:此题证明方法与上题一致,关键是掌握正交矩阵的基本性质. 3.由题设有

???? ??--=???? ??--01

010202y y x x l y y x x

在仿射点变换?:???

? ??+???? ??=???? ?????? ??21''b b y x A y x y x 的变换下

.2,1,021=???

? ??+???? ??=???? ??'',i b b y x A y x i i i i 故

???? ??--=???? ??-???? ??=???? ??''-???? ??''=???? ??'-''-'02

02002200220202y y x x A y x A y x A y x y x y y x x

???? ??'-''-'=???? ??--=???? ?????? ??--=0101

010101

01y y x x l y y x x lA y y x x l A

由于0≠A ,A 可逆.于是?将不同的三点()T

i i y x ,变成不同的三点T

i i y x ),('',2,1,0=i .上面一串等式

的最前端与最后端相等即表示这三点也共线。

注:关键是在?下,验证???? ??'-''-'=???? ??'-''-'01

010202

y y x x l y y x x .

4.与第三题类似有

???

? ??--=???? ??'-''-'12121212y y x x A y y x x 其中A 满足I A A AA T

T

==

于是

()()()????

??

'-''-''-''-'='-'+'-'12

12

1212212212

,y y x x y y x x y y x x ()???? ??----=?????????? ??--?????????? ??--=1212

121212

121212,y y x x A A y y x x y y x x A y y x x A T T

()()()2

1221212

121212,y y x x y y x x y y x x -+-=???? ??----=. 注:直接验证()()()()2

122

122

122

12

y y x x y y x x -+-='-'+'-'. 5.设???? ??=a b a A 0,????

??=c d c B 0,其中a,b,c,d 都是复数,a ≠0且c ≠0,则

????

??+=ac bc ad ac AB 0也和A,B 具有相同的形式. 显然, ???? ??=1001I 是单位元且??

??

?

?

?

?-=a a b ab a C 101

2是A 的逆矩阵.又矩阵乘法满足结合律,故结论得证. 注:根据群的定义直接验证,需要说明AB 也和A,B 具有相同的形式. 6.只需要证明逆元存在性且满足结合律即可.显然,),

1(a

b

a -是(a,b)的逆元.又 [(a,b)(c,d)](e,f)=(ac,ad+b)(e,f)=(ace,acf+ad+b)=(a(ce),a(cf+d)+b)=(a,b)(ce,cf+d)=(a,b)[(c,d)(e,f)], 即结合律成立,故G 是一个群. 注:根据群的定义直接验证.

7.对,G a ∈a 有右逆b.b 又有右逆a ',这时a 为b 的左逆.由ab e a b ==',得到

()()a a ab a b a a '='='=,

可知a a '=.这样e ab ba ==,即b 是a 的逆.

8.由题设,().,,222

b a abab ab G b a ==∈?对后一等号两边左乘1-a ,右乘1

-b ,就得到.ba ab =

注:只需要由验证.ba ab =即可. 9.G b a ∈?,,有e b a ==2

2

,故b b a a ==--11

,,又()e abab ab ==2

,a 对后一个等号两边左乘a ,

右乘b ,就得ab ba =.

注:关键在于由e a =2

得到a a

=-1

对G a ∈?都成立.

10.易验证,G 对复数的乘法是封闭的且结合律成立. 显然,1是G 的单位元.又

G bi a z ∈+=?,有1||22==+z b a ,从而G bi a z ∈-=?1且1))((22=+=-+b a bi a bi a .

即z 1是z 的逆元.

注:根据群的定义直接验证.

11. K B ,A ∈???

?

??-=???? ??-=?γδ

δγ

αββα,由βα,不同时为0且γδ,不同时为0易知,δβαγ-和γβαδ+不同时为0,故.)()(AB K ∈???

?

??-+-+-=???? ??+-+-+-=δβαγγβαδγβαδδβαγγαδβδαγβγβαδδβαγ

显然,???? ??=1001I 是K 的单位元且容易验证??

???

?

?

??++--+-+=ββαααββααβββααββ

βααα)(C 是A 在K 中的逆元.由矩阵乘法满足结合律知,K 关于矩阵乘法构成群.

注:根据群的定义直接验证.

12.设{}s g g G ,,1 =.由性质(2),G ag ag G a s ?∈?},{,1 ,且是s 个不同的元,故G ag ag s =}{1 .同样由性质(3)可得,G a g a g s =},{1 。设其中.,a a g a ag j i ==于是;)(,,)(11a g g a g a g g a g s i s i == s s j j ag ag g ag ag g ==)(,)(11 。即g i 是G 的右单位元,g j 是G 的左单位元,分别记为e 及e e e e e '='='则,,

即G 有单位元e.

类似于上面作法,由G ag ag s =},{1 ,有b G ∈使ab=e ,由G a g a g s =},{1 ,而有G b ∈'使

,)()(,b eb b a b ab b e b b e a b =='='='='='于是即G a ∈?有逆元。又题设G 有结合律,故是一个群。

注:证明的关键在于“由G 是非空有限集,得到,G a ∈?G a g a g ag ag s s ==},{}{11 ”.由此去证明单位元和逆元的存在性.

此题给出了非空有限集关于其上定义的乘法作成群的一个条件:“此乘法满足左、右消去律和结合律。”

13.只证(2)。用反证法.设1

2)1(.

,-≠≠≠∈?a a e a e a G a 知由有 取1

111

2221

111

111,.

},{}{\.},{\----≠≠≠∈a a a a ,a a a e G e a a e G a 由于于是外还有元素除了若则互为逆元素,若{}

(){}{}{}12

2

11

1

11

1

12

1

1

1

1

12

21

111

2,,,.,,,,---------∈∈=∈a a a a a a a ,a a a a a a a 故即这不可能则是四个不同的元素.设上面的步骤进行k-1步,得到2(k-1)个元素{}{}e G a

a a a k k \,,,1

1

1111

?---- .同样论证{}e G \除了上述2(k-1)个元素外要么没有元素了,要么同时有{}e G a a a a k k k k \.1

1

可知且及--≠要么

等于{

}1

1

11

11,,,,----k k a a a a ,要么有2k 个元素{}{}e G a a a a k

k

\,,,1

1

1

1

?-- .因{}e G \只有有限个元素,

必然在某个第k 步停止,即{}{}1

1

1

1

,,,\--=k

k

a a a a e G .故G 有2k+1个,即奇数个元素,矛盾.因此G 中

必有元素e a e a =≠2

,.

注:主要根据“群中元和其逆元的阶相同,且不同元的逆元不同”,得到“群中阶大于二的元素个数必为偶数个”.又“群中有且只有单位元的阶是1”,从而由G 是偶数阶群可得,G 中必有2阶元.

14.设112121,.,g G G G G G ,G G G 取因但的子群为不等于≠= ∈G 1.由121,g G G G =2G ∈.同

样可取111

21121211222.,,..,G g G g g g G g G g g g g G g G g ∈∈?=∈∈?=∈∈

-于是矛盾则因若作但,同理 2G g ∈,就得到2121G G G G G g =∈与矛盾.故不能有不等于G 的两个子群.2121G G G ,G G =使得

注:此题的证明主要是基于“对于群G 中的两个互不包含的子群G 1和G 2,分别取自G 1\G 2和G 2\ G 1中的两元素的乘积必定不属于21G G ”这一事实.

15.由于数的加法都满足结合律且?

??

??

?=≠∈=1),(0m Z ,:Q p m n m m n p 且,,其中p 是素数. p p Q k

h

1,)p ,mk (1)p k,(1)p m,(.mk mh kn k h Q k h ,∈+===+=+∈?

m n m n m n 从而知,且由,有. 显然0p Q ∈是单位元且p Q ∈-m

n 是m n

的逆元.故结论成立.

注:根据群的定义直接验证.

16. 由于数的加法都满足结合律且?

??

??

?≥∈=0i Z :Q p ,n p n i

,其中p 是素数. p j i -j j p j Q p m np p m j,i Q p m ,∈+=+≤∈?i i p n p n 有,设.显然0p Q ∈是单位元且p

i Q p ∈-n 是i

p n 的逆元.故结论成立.

注:根据群的定义直接验证.

17.???

?

??=???? ?????? ??=361524634251466554133221162534435261ρσ.

???

?

??=???? ??????

??=566514233241465534132261466554133221στ. ???? ??=???? ??????

??=662514335241162534435261465534132261τρ.?

??

?

??=-5645642312311σ. ???

?

??=???? ?????? ??=???? ?????? ??????

??=-3615246342515645642312312635145362415645642312311625344352614665541332211σρσ. 注:直接根据6元置换的乘法计算. 18.()()()()????

??=???

?

?

?=-n n i i t i i i i n n 2

2111

)()(,)()()2()2()1()1(τττ

τσττσττστσ, ()()()()()()()()()()()()????

?????? ?????? ??=-n n n n n n τττσσσσττσττστστστ 22112211)()2(2)1(11

()()()()()()???

?

??=)()2(2)1(1n n σττσττσττ . 注:此题关键在于熟悉n 元置换的表示形式.

第二节 对称性变换与对称性群,晶体对称性定律

一、知识摘要

1.平面上(或空间中)的一个图形M 在平面上(或空间中)的一个正交变换下变为M 本身,则称此变换是M 的对称性变换.图形M 的全体对称性变换在变换乘法下构成一个群,称为M 的对称性群.

2.f(x 1,x 2,…,x n )是域F 上的n 元多项式,若f(x 1,x 2,…,x n )的各文字的脚标经任意n 元置换n S ∈σ变换后,该多项式完全不变,即

),,...,,()),...,,((2121n n x x x f x x x f =σ

则称它是域F 上的一个n 元对称多项式.

3. f(x 1,x 2,…,x n )是域F 上的n 元多项式(未必对称多项式),若 n 元置换n S ∈σ满足

),,...,,()),...,,((2121n n x x x f x x x f =σ

则称σ是f(x 1,x 2,…,x n )的一个对称性变换. f(x 1,x 2,…,x n )的全体对称性变换在变换乘法下构成一个群,称为f(x 1,x 2,…,x n )的对称性群.

特别,当f(x 1,x 2,…,x n )是域F 上的n 元对称多项式时, f(x 1,x 2,…,x n )的对称性群即是n S .

二、习题解答

1、(1)令绕O 反时针旋转0°,72°,144°,216°,288°的5个旋转变换为T O ,T 1,T 2,T 3,T 4,令平面对直线,,,,,54321l l l l l 的反射变换为,,,,,54321S S S S S 它们都是对称性变换,对于此正五边形的任一个对称性变换T ,它若将顶点A 1,变成i A ,则T T i 1

1--就将A 1变成A 1.易知正五边形的保持A 1不动的对称性变换

只有.,,,11111

11S T T T T T T T T T S T i i o i o i o -----====或故即故全部对称性变换为{

}5,,2,1,,111 =--i T S T i i , {}5,4,3,2,1,,101=-i S T 。i i 而前面已列出个元素最多有共10个对称性变换,故它们必须相等。

(2)令绕O 反时针旋转0°,180°的旋转变换为T 0,T 1,令平面对直线21,l l 的反射为S 1,S 2.它们都是该矩形的对称性变换.使A 1分别变到A 1,A 2,A 3,A 4的对称性变换都只有一个,即分别为T 0,S 1,T 1,S 2.故它们是

全部的对称性变换.

(3)令绕O 反时针旋转任意角θ的放置变换为T θ,令平面对过中心O 的任意直线l 的反射为l S .则圆的

对称性变换群{}

的直线是全部过中心O l S T l ,3600:,0

<≤=θθ

2. .,,324142314321x x x x x x x x x x x x +++

3.能变出6个单项式,即为: .,,,,,13

3221233223321223313322132231x x x x x x x x x x x x x x x x x x 它们的和 1332212332223313322132213x x x x x x x x x x x x x x x ++++是所要求的项数最少的多项式.

注:以32231x x x 作为一项的对称多项式,必定含有用S 3去变32

231x x x 所得到的所有可能的单项式.更一般地,以某个k 元单项式m(x)作为一项的对称多项式,必定含有用S k 去变m(x)所得到的所有可能的单项式.

4. .2133211323213213213?

??

????

??? ?????? ??????

??=,,A 其它证明略去(直接按照群的定义验证A 3在置换乘法下成为群).

5.直接按照群的定义验证V 4在置换乘法下成为群.

6.正四面体为ABCD,O 为△DBC 的中心,E,F,G,L 分别是CD,AB,AC,AD 的中点,我们先找出使顶点A 不动的全体对称性变换的集合H.这些变换使△BCD 变为自己,H 限制在平面BCD 上是△BCD 的对称性群.由此

易确定出{

}3,2,1:,==i S T T H i i ,其中T 1,T 2,T 3是空间绕轴AO 旋转(按某固定方向)转0o,120o,240o的转换变换,S 是空间对面ABE 的镜面反射.

再任选三个对称性变换M 1,M 2,M 3它们分别能将点B,C,D 与A 互变.例可取M 1,M 2,M 3是空间分别对平面CDF,BGD,CBL 的镜面反射,与第1题(1)中的论证类似,可得正四面体ABCD 的对称性群

{}3,2,1,,,,,==j i S T M T M S T T G i j i j i i .G 有24个元.

第三节 子群,同构,同态

一、知识摘要

1.群G 的非空子集H 称为G 的子群,如果H 对G 的乘法构成群. (1) 群G 的非空子集H 是G 的子群当且仅当

(i)H 对G 的乘法封闭, (ii)G 的单位元属于H, (iii)h H h ,∈?在G 中的逆元属于H. (2) 群G 的非空子集H 是G 的子群当且仅当.,,1

H ab H b a ∈∈?-

(3)H 1,H 2,…是群G 的子群,则

=1

k k

H

是G 的子群.设S 是群G 的非空子集,G 的含S 的所有子群的交(还

是G 的子群)称为G 的由S 生成的子群,记为.即是G 的含S 的最小子群.当S={a}时,记=.称为G 的由a 生成的循环子群.有结论:}.:{Z m a a m

∈>=<

(4)若有.>=<∈a G G a 使得则称G 为循环群.

2. 群G 到群G 1的映射?称为群G 到群G 1的同态,如果).()()(,,b a ab G b a ???=∈? (1)})(:{)(1G e g G g Ker =∈=??称为同态?的核,它是G 的子群.

(2)同态?称为满同态(单同态)如果?是满 (单)射.同态?称为同构如果?是双射.G 到自身的同构称为G 的自同构.

3.有无限多个元素的群称为无限群.仅有有限个元素的群称为有限群,此时G 中元素个数称为群G 的阶,记为|G|.集合M 上的变换群S M 的子群都称为变换群.

4.Cayley 定理 任何群G 都同构与G 上(作为集合)的一个变换群. 二、习题解答

1.U 4={1,-1,i,-i},易证U 4对数的乘法和逆运算都封闭. 注:事实上,群的有限非空子集是子群只要运算封闭.

2.(1).,,2

1

H H b a ∈?因,H H b a i

i

是子群,,∈ 于是故.2,1,1

=∈-i H ab

i .2

1

1 H H ab ∈-故

。H H 是子群 21

(2)对a ,b ,1

=∈i i H 来证明.1

1

=-∈i i H ab ,因,H H b a i i 是子群,,∈ 于是故,,2,1,1 =∈-i H ab i

。H H ab i i i i 是子群故 ∞

=∞=-∈1

1

1

.

(3) 设,.,,,1

l k H b H

a l k ,H

b a l k

i i

≤∈∈∈

=不妨设使必有 ,,l l k H b a H H ∈?得于是由又l H

,是子群。H H H ab i i i i l 是子群故知 ∞

=∞

=-?∈1

1

1

.

注:H 是G 的非空子集, 若有,,H b a ∈?H ∈-1ab ,则H 是G 的子群.

3.易见e ∈Z(G),故φ≠)(G Z .故即且有.gb g b ,gb bg ga ag ),(,11--===∈?G Z b a

).G (Z ab ).ab (g b )ga (b )ag ()a(gb g)a(b )g (ab 1111111∈=====-------即从而Z(G)是G 的子群.

注:H 是G 的非空子集, 若有,,H b a ∈?H ∈-1ab ,则H 是G 的子群.

4. (1).易见e ∈C G (S),故φ≠(S)C G .,sb bs sa as S,s ,(S)C ,G ==∈?∈?且有则b a 1

1

sb s b --=即.故

).S (C ab ).ab (s b )sa (b )as ()a(sb s)a(b )s (ab G 1111111∈=====-------即从而C G (S)是G 的子群.

(2).易见e ∈N G (S),故φ≠(S)N G .S bSb S aSa ,(S)N ,-1-1G ==∈?且有b a .先证S Sb b -1

=.

.'s )b 's (b sb b ,'s s ,'s ,Sb,b sb b 1111111S b b b b S bSb S s ∈===∈=∈∈?-------从而使得存在故

S Sb b -1?.Sb b )b (bsb b s ,S bSb bsb S,s 1-11-1-1--∈==∈∈?故.故S Sb b -1?.所以S Sb b -1=.有

).S (ab .S aSa Sb)a a(b ))S(ab (ab G 1-1-11-111N ∈===----即从而N G (S)是G 的子群.

注:H 是G 的非空子集, 若有,,H b a ∈?H ∈-1ab ,则H 是G 的子群. 5.(1). ,从而是子群,,由这里H )'(H H ',,aHa a ah',aha 1-1-1-1∈∈∈?-h h h h

.aHa ]a )a[h(h']a )a(h'[aha )a ah'(aha -1-1-1-1-1-11-1-1∈==-故-1aHa 是子群.

(2). ).b ()b (,G .H ,H ,H ,),()(),(111---=∈∈∈?ττττττ的自同构是又是子群由这里ab b a H b a 从而

).()()()()()(111H ab b a b a ττττττ∈==---故(H)τ是子群.

注:H 是G 的非空子集, 若有,,H b a ∈?H ∈-1ab ,则H 是G 的子群.

6.写V 4中的元为a,b,c,e(单位元),则有.2

22e c b a ===而U 4中个元为.,,1,1i i --假设V 4到U 4有同构τ.不妨设()i a =τ.由()()()()()()

()()τττττττττ,.1,1,.1,22

2

2

a a a a a i

i a e a

e a ≠-=-=====故但不保持

乘法,矛盾.故V 4与U 4不同构.

7.在第二节例3中已计算过正三角形△A 1A 2A 3的对称性群G 有6个元素.每个对称性变换引起顶点

A 1,A 2,A 3的一个置换.这就引起了G 到S 3的一个映射.易检验这6个变换引起S 3的全部6个不同的置换.故这映射是双射.又连续两次作对称性变换引起连续两次顶点的置换.即对称性变换的乘积引起对应的顶点置换的乘积,故这映射保持乘法.因此上述映射是对称性变换群G 到S 3的同构.

注:同构映射的建立三关键.

8.Gayley 定理断言,有限群G 同构于G 上的变换群.设G 的阶为n,则G 同构于S n 的子群.而S n 的子群只有限个,故只有有限个不同构的n 阶群.

注:这是Gayley 定理导出的一个重要结论.

9.(1)..cos sin sin cos ),2,0(,cos sin sin cos ,cos sin sin cos 1

???

? ??-=<≤∈???? ??-=????

??-=?-????π?θ????θθθθ

B L B A 则 ???

?

??+---+=???? ??-???? ??-=-?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ????θθ

θθ

sin sin cos cos )sin cos cos (sin sin cos cos sin sin sin cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos 1AB ???<+-≥-=-???

?

??-----=???? ??-----=?θπ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ若若其中,2)(,,)cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()cos(.

则.L ,L AB ,201

是群故即∈<-≤-π?θ

(2)..e 00e ),2,0(,M e 00e ,e 0

0e i -i 1

i -i i -i ???

? ??=<≤∈???? ??=???? ?

?=?-??

??θθ

π?θB B A 则 ,

e 00e e 00e e 00e e 0

0e )-i(-)

-i()-i(-)

-i(i -i i -i 1

???

? ??=???? ??=???? ?????? ?

?=-?θ?θ?θ?θ??

θθ

AB ???<+-≥-=-?

θπ?θ?θ?θ?θ若若其中,2)(,. 则.M ,M AB ,201

是群故即∈<-≤-π?θ

(3).定义L 到M 的映射???

?

?????? ??-θθ

θθθθi -i e 0

0e cos sin sin cos : f ,则可验证f 是双射.且 ????

??=???? ??++-++=???

?

??-???? ??-++)i(-)i(e 0

e )cos()sin()sin()cos(

)cos sin sin cos cos sin sin cos (?θ?θ?θ?θ?θ?θ????θθθθf f ).cos sin sin cos ()cos sin sin cos (e 00e e 00e i -i )i -i ???

?

??-???? ??-=???

? ?????? ?

?????θθθθ??

θθf f 故L 同构与M. 注:H 是G 的非空子集, 若有,,H b a ∈?H ∈-1ab ,则H 是G 的子群. 10.显然,1

:-x x f 是G 到自身的双射.设G 是交换群,则G,y x,∈?

.G f ),()()()()(111的自同构是故y f x f y x yx yx f xy f ====---

反之,设的自同构是G f , 则f(n).b f(m ),a G ,n m ,G ,b a,==∈∈?使得存在

ba.)m (f )n (f m n m n)(f(m n)f(m )f(n)ab -1-1-1======故G 是交换群.

注:根据群的自同构与交换群的概念直接证明.

11..2,0,2,2,,π?θ?πθπ<≤+=+=∈?h y k x R y x 令

??

?≥+-+<+≤+=+π?θπ?θπ?θ?θ?θ2,2)(20,若若,则???≥+++++<+≤+++=+.2,

)()1(220,)()(2π?θ?θππ

?θ?θπ若若h k h k y x 故

???

?

??++-++=???? ??-????

??-=)cos()sin()sin()cos(cos sin sin cos cos sin sin cos )()(?θ?θ?θ?θ????θθθθ

??y x

)()cos()sin()sin()cos(y x +=???

?

??++-++=??θ?θ?θ?θ.从而.L R 的同态到群是加群? 注:根据三角函数的相关公式直接验证.

12.()(),

x x x t t x x t t S x t x t H x x t t l l k l k i i i i l k 1

111111

111111,,,,,-------=∈∈? 则或其中1

-i i t t 或, ()

i i i x x x =---1

1

1或都属于S,故()().,1

11是子群即H H x x t t l k ∈-

又设H 1是G 的包含S 的子群,则必含所有形为H ,H S t t ,t t i i k ?∈-11

1,故或其中的元素 因而

S H 是包含的最小的子群.即.>=

注:.H H H S ,G H 111???≤?≤>?=<且G H S H

13.设H 是加法群Z 的子群,若Z H ?≠0,则H 中有非零整数t.若t <0,则, +

∈-Z

H

t 故H 中有正整

数.取n 为H 中最小的正整数.任意.00n r r r ,ng m H ,m <<=+=∈或其中作带余式除法:又由于

的最小性则与若n H ,nq m r 0r ≠∈-=矛盾.故.,,0nZ H nq m r ?==即又因为

()().ln ln ,,H nZ H ,n n n n Z l H n l l ?∈-++-=++=∈?∈-即有或个个

因此.nZ H =

注:整数加法群Z 的任一子群H 都有nZ H =,其中若H={0},则n=0,其它情况时n 为H 中最小正整数.

14.设s s p q p q H ,11

=是Q 的有限生成的加法子群.由第12题易知?

?????∈=∑=Z l p q l H i i i s i i 1.取s p p ,,1 的最小公倍数为m,则

()()1,,.,,,.,211=??? ??====s i i i i i s i i

i i i t t t t m

n n Q m n m Q p q n ,Q Q m Q m q p m

p q 则令为则再令令为.取 于是

使.1,,,111=++∈s s s t k t k Z k k

.,,1111111∑∑∑∑∑∑∑=========∈∈===s i i i s

i i i i i s i i i i s i i s i i i i s i i i i s

i i t l m n m n t l p q l H p q l H m n t k m n t m n k p q k 且任意

这就证明了m

n

H =

是循环加法群. 注:证明一个子群是循环子群,通常是先去找该子群的一个特殊元(如这里的m

n ),然后去验证该子群可以由这个元生成.此生成元

m

n

的构造往往是此类题证明的关键,也是难点. 15.由于

1

1

1111,1111211

1

11,

21

1

11--???

?

??-???? ??-=-=-即不是整数矩阵. 故全体2×2整数元素的可逆矩阵不成为群.

取正实数矩阵,,???

?

??--=???? ?????? ??-1112211121111

即正实数可逆矩阵的逆矩阵不是正实数矩阵. 故全体2×2正实数可逆矩阵不成为群.

16.).n (y ),m (x ,,,,),(,).(1,ηηηξ==∈∈?∈?∈使得存在恒等变换显然G n m G y x G Aut G Aut 从而).G (Aut )().y )()(x )(()]y ([x )]([)]y (x )([)]x y ([)x y )((∈====ξηξηξηηξηξηηξηξξη故

m n )]m n ([)]n ()m ([)x y (111===---ηηηηηη)].y ((x )][[)]n ([)]m ([1111----==ηηηηηη故 .)G (Aut ).G (Aut 1是群从而∈-η

注:证明逆运算封闭是关键.

第四节 群在集合上的作用,定义与例子

一、知识摘要

1.群G 到某个集合M 的全变换群SM 有一个同态T.将G 的任意元g 对应于M 上的变换T(g),从而对M 进行变换.就说g 作用于M 上.且称该同态T 是群G 在集合M 上的一个群作用.对.,M m G g ∈?∈记

.)(m g m g T =群G 在集合M 上的一个群作用确定了一个映射 :.),(,m g m g M M G →?

2.M M G 到?的映射m g m g ),(:能确定群G 在集合M 上的一个群作用当且仅当

).G e (m )g g (m )(g g m m e M,m G ,,g ,g 121221的单位元是这里,且有对 ==∈?∈?

二、习题解答

1.定义.).(),(,)(:是映射由高等代数知识知,

W f W f W f M M V GL =→?GL(V)的单位元是V 上的恒等变换I..)(,M M I M I M W ==∈? .),(,M W V GL g f ∈?∈?由f,g 是变换,有

).()]([}:)]([{}:))({())(()(W g f W g f W g f W fg W fg W fg ==∈=∈==αααα

从而, ”“ 决定了GL(V)在M 上的群作用。

2.(1)K ×H 的单位元是(e,e),其中e 是G 的,也是K 和H 的单位元:().,,1

g ege g e e G g ==∈?-

(2)()

(),.,,,,,,,22121211G g H K h k h k H h h K k k ∈??∈∈∈?

()()()()()()()().

),)(,(,,),(,2211212112121111221122112211g h k h k g h h k k h h g k k h gh k k gh k h k g h k h k =====----由命题1,上面映射”“ 决定了K ×H 在G 上的群作用。

3. 定义G ×M 1到M 1的映射.)(),(:i i i A A A ???σ= ;

G ×M 2到M 2的映射.);()()(),(:k j i k j i k j i A A A A A A A A A ?????τ= G ×M 3到M 3的映射.).()(),(:j i j i j i A A A A A A ????ρ= 易证ρτσ,,分别决定了G 在M 1,M 2,M 3上的一个群作用. 4.首先证明()1

,-=PAP A P A P 定义了G ×M 到M 的映射.

A P ,n n M ,A ,P P ,P G P 有实对称阵是对故是正交矩阵?∈?'=∈?-1,= P PA PAP '=-1

.的映射到确定了故实对称阵是M M G M ,A P ,n n ?∈? 易证这映射决定G 在M 上的一个群作用.

5.对z y x F r f F GL G A ,,)(),(3上是?=∈的多项式,()()z y x z y x Ar Ar f f A ''''''==,,,,,中 都是x,y,z 的一次多项式,若设为

z a y a x a x 131211++=' z a y a x a y 232212++=' ,333231z a y a x a z ++='

其中),,(),,()(.333231232221131211z a y a x a z a y a x a z a y a x a f z y x f Ar f F a ij ++++++='''=∈则仍是F 上x,y,z 的多项,故

()()Ar f f A f A = ,

建立了M M G ?的一个映射,易证它决定G 在M 上的一个群作用.

6.记G 的单位元是e,也是K ,H 的单位元。.,tH etH tH e M tH ==∈? .,,M tH K s k ∈?∈?有

)()]([}:)]([{}:{)(tH s k tH s k H h th s k H h ksth kstH tH ks ==∈=∈==.

从而 决定了G 在M 上的一个群作用. 注:以上各题直接根据群作用的概念证明.

第五节 群作用的轨道与不变量,集合上的等价关系

一、知识摘要

1、群G 作用于集合M 上,对M x ∈,称}:{G g x g O x ∈= 为x 在G 作用下的轨道,或过x 的轨道. M 为所有不同轨道的无交并.

2、设映射M M G →?: 能决定一个群作用.若M 上取值于另一集合(域、或复数域、或这些域上多项式的集合)的某个函数F 满足:),()(,,x g F x F g g M x =∈∈?则称F 是该群作用下的一个不变量.(即不变量在任一条轨道上都取常值).

3、设G 在集合M 上有群作用.M 上的一组函数F 1, F 2,…, F k 称为M 在G 作用下的不变量的一个完全

组,如果.,...,2,1),()(,,k i y F x F y x M y x i i ==?∈?同一轨道上和

二、习题解答

1.V 中可逆线性变换若把某子空间W 变成子空间W 1,则把W 的基变成W 1的基,故同一轨道上的子空间具有相同的维数,又设V 的两个子空间W 和W 1,它们有同样维数k>0,分别取W 和W 1的基为

k

k εεεε'',,;,,11 分别补充成n k n k εεεεεε''' 11;,使它们都是V 的基.由线性代数知道必有V 上可逆线性变换A,使.,,2,1,n i A i i ='=εεA 就将子空间W 变成子空间W 1.故W 与W 1在同一条轨道上

故对,,,2,1,0n k =V 中全体k 维子空间的集合V k 构成群作用的一条轨道.共有n+1条轨道.子空间的维数是不变量,并构成不变量的完全组.

2.对A,B 皆为n ×n 实对称矩阵,若A,B 在同一轨道上,即有n ×n 正交阵P 使B=PAP -1,则它们有相同的特征值集合.反之,设A,B 为具有相同特征值集中{})(,,1次现重特征值就在集合中出是k k i n λλλ 的n ×n 实对称矩阵,它们都可用实正交矩阵化为对角阵,即有n ×n 正交阵P 1,P 2使

()

12211

11--=??

??

??????=BP P AP P n λλ 于是()()

1121

1

12112,P P B P P A p P ----=仍为正交阵,故A ,B 在同一条轨道上.

以上说明,特征值的集合是群作用的不变量的完全组.而全部特征值的和,全部特征值的积,特征多项式

都是群作用的不变量.

注:以上两题直接根据群作用的不变量和不变量的完全组的概念解答.

3.实际上KtH 是第4节习题2中群作用下的一条轨道(即t 所在的轨道),两条轨道或重合或不相交,即两个(K,H)双倍集或重合或不相交.作用集G 是全体轨道的无交并也就是全体(K,H)双陪集的无交并.

注:群H K ?在G 上有群作用,则在此群作用下的所有轨道构成G 的一个划分.

第六节 陪集,Lagrange 定理,稳定化子,轨道长

一、知识摘要

1.令H 是有限群G 的子群.,G x ∈? 在H 在G 上的左(或右)乘作用下过x 的轨道

}):{}(:{H h xh h x xH H h hx x h Hx ∈==∈== 或

称为H 在G 中的一个右(或左)陪集.子群H 在G 中的右、左陪集数目相等,称为子群H 在G 中的指数,记为[G:H].

2.(Lagrange 定理) H 是有限群G 的子群,则|G|=[G:H]|H|.

3.设群G 作用于M. 对M x ∈?,}:{)(x x g G g x Stab G =∈= 称为群G 作用下x 的稳定化子(是G 的子群).当G 是有限群时,记过x 的轨道为}:{G g x g O x ∈= ,则O x 是有限集且|O x |=[G:Stab G (x)].

4.G 的元素x 在G 的共轭作用下的稳定化子称为x 在G 中的中心化子.记为C G (x),即

}.:{}:{)(1xg gx G g x gxg G g x C G =∈==∈=-

G 在自身上作共轭作用的轨道叫做G 的一个共轭类. 当G 是有限群时有

(1) G 中x 所在的共轭类的势即类长|C x |=[G:C G (x)].

(2)设x 1,x 2,…,x n 是G 的全体共轭类的一组代表元,则.)](:[||1

∑==

n

i G

x C

G G

5.},:{},:{)(1

G x xg gx G g G x x gxg G g G Z ∈?=∈=∈?=∈=-称为G 的中心(即与G 中所有元

都交换的元素构成的集合).

(1)Z(G)是G 的子群且Z(G)中的每个元素组成一个共轭类.

(2)设y 1,y 2,…,y m 是G 的势大于1的全体共轭类的一组代表元,则.)](:[|)(|||1

∑=+=n

i G

x C

G G Z G 特别,

当G 是交换群时, .|)(|||),(G Z G G Z G ==当然

二、习题解答

1.设.H 'h h 'gh g h ,H '.

gh y ,gh x ,H 'h ,h ,,1

111∈====∈∈----y x gH y x 故是子群由于使得则存在 反之, .x y ,x .x x ,H .

x x h y h,y x ,H h ,H 1

1

H H H y x ∈∈∈==∈∈--即是子群由于则使得则存在若 2.(1)设()()(),.2,1,,,1212121x x g x g g x g g i x x g x Stab g g i G =====∈ 于是又

1111--=g x g ()()

()().,.11211111的子群是即及故G x Stab x Stab g g g x x e x g g x g G G ∈===--

(2)()()()

()x Stab g g x g g x g g x g g x x g x g G g g G ∈?===?=∈----21

12112111112121,, ,

由第1题,这等同于g 1,g 2属于Stab G (x)的同一左陪集.

注:根据习题1的结论证明.

3.(1)设()11,εε=∈ A F GL A n .这等价于

()(),*,*,,,,121 εεεε=A n ()????

?

????

???=**0**0**1,,,21 n εεε. 故()处的稳定化子为在1

εF GL n ???

??

?????????≠??????

?

???

??0a 0a 0a 12222n2

222

112

nn n n nn n n a a a a a a a

其中. (2)则处的稳定化子属于设,W A

,,...,2,1,1

i k i a A j k

j ji ==∑=εε 也即?????

??

??

???O =**),,,,(A ),,,,(111111kk k k

n k n k a a a a εεεεεε.故GL n (F)在

W 处的稳定化子为??

???

?

????????????????≠??????????

?????

???

?

?++++++++0:a ...a ...

0a ...a a ...a *...a ...a 1,,11,11111nn 1

k ,n n ,1k 1k ,1k k k

k 11k 11nn

k n n

k k k kk k k a a a a a a a a

其中. 注:根据稳定化子的概念解答.

4.(1),(2)中的稳定化子相同,都为第2节第6题的证明中的H.

(3)令A 1A 2和A 3A 4的中点分别是F,E,则A 1A 2的稳定化子由恒等变换、绕FE 转180o的旋转变换、对平面A 1A 2E 以及对平面A 3A 4F 的反射共四个变换组成.

注:根据稳定化子的概念解答.

5.在第2节第6题中求正四面体A 1A 2A 3A 4的对称性群的方法与第6节定理2中公式是一致的.那里求出对称性群有24个元素,全体对称性变换对应了顶点A 1,A 2,A 3,A 4的24个置换,正是S 4的全部元素.下面列出顶点置换与正交变换的对应.

???? ??43214321 恒等变换. ???? ??24314321 绕A 1O 旋转120o. ???? ??32414321 绕A 1O 旋转240o. ???? ??34214321 对平面A 1OA 2的镜面反射. ???? ??23414321 对平面A 1OA 3的镜面反射. ???? ??42314321 对平面A 1OA 4的镜面反射. ???

? ??43124321 对平面FA 3A 4的镜面反射. ???? ??14324321 先绕A 1O 旋转120o,再对平面FA 3A 4反射. ???? ??31424321 先绕A 1O 旋转240o,再对平面FA 3A 4进行反射. ???

? ??34124321 绕FE 轴旋转180o.

???? ??13424321 绕四面体过A 3的高绕旋转120o. ???? ??41324321 绕四面体过A 4的高线. ???

? ??41234321 对平面A 2GA 4的镜面反射. ???? ??24134321 先绕A 1O 转120o,再对平面A 2GA 4作反射. ???? ??12434321 先绕A 1O 转240o,再对平面A 2GA 4作反射. ???? ??14234321 绕四面体过A2的高线旋转120o. ???

? ??21434321 绕GH 轴旋转180o. ???? ??42134321 绕四面体过A 4的高线旋转240o. ???

? ??13244321 对平面A 2LA 3的反射. ???? ??21344321 先绕A 1O 转120o再对平面A 2LA 3作反射. ???? ??32144321 先绕A 1O 转240o再对平面A 2LA 作反射. ???? ??31244321 绕四面体过A 2的高线旋转240o. ???? ??23144321 绕四面体过A 3的高线旋转240o. ???

? ??12344321 绕IL 轴旋转180o. 注:根据定理2中公式(2)解答. 6.过tH 的轨道为{}

K k ktH KtH ∈=.

而在tH 处的稳定化子为(){}(){}

H H kt t K k tH ktH K k tH Stab K =∈==∈=-1

||

近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算,2)不是代数运算. 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n. 3. 解例如AοB=E与AοB=AB—A—B. 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1)略 2)例如规定 4.

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射,但非满射和单射;2)是双射,但不是自同构映射3)是自同态映射,但非满射和单射.4)是双射,但非自同构映射. 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是.因为不满足对称性;2)不是.因为不满足传递性; 3)是等价关系;4)是等价关系. 3. 解 3)每个元素是一个类,4)整个实数集作成一个类. 4. 则易知此关系不满足反身性,但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可;实际上这个例子只有数0和0符合关系,此外任何二有理数都不符合关系).5. 6.证 1)略2) 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1.群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子. 2.群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一; 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一: 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G). 4)有限半群作成群?两个消去律成立. 二、释疑解难 有资料指出,群有50多种不同的定义方法.但最常用的有以下四种: 1)教材中的定义方法.简称为“左左定义法”; 2)把左单位元换成有单位元,把左逆元换成右逆元(其余不动〕.简称为“右右定义法”; 3)不分左右,把单位元和逆元都规定成双边的,此简称为“双边定义法”; 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G).此简称为“方程定义法”. “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异,不再多说.“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立,而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的,多了一层手续

多所高校近世代数期末考试题库[]

多所高校近世代数题库 一、(2011年近世代数)判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、近世代数中,群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、(2011年近世代数)单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( )

《抽象代数基础》习题解答

《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月

第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.

近世代数基础习题课答案到第二章9题

第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e

为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.

近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》 习题答案与解答

引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足:,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足: I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足: I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律:.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义: 321个 n n a aa a ...=,43421个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A=B=R(实数集),如果A到B得映射:x→x+2,x∈R,则就就是从A到B得( )A、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素,集合B中含有2个元素,那么,A与B得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 C、7????D、10 3、在群G中方程ax=b,ya=b, a,b∈G都有解,这个解就就是( )乘法来说 A、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得D、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群H所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ) A、不相等B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群H得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数C、约数 D、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合;,则有---------。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae=ea=a,则e称为环R得--------。 3、环得乘法一般不交换。如果环R得乘法交换,则称R就就是一个------。 4、偶数环就就是---------得子环。 5、一个集合A得若干个--变换得乘法作成得群叫做A得一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元a得逆元就就是-------。 8、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想,那么---------。 9、一个除环得中心就就是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换与分别为:,,判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。 3、设集合,定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则(,)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题,第1题10分,第2小题15分,共25分) 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环,F就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。 近世代数模拟试题二 一、单项选择题 二、1、设G有6个元素得循环群,a就就是生成元,则G得子集( )就就是子群。 A、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*)中,( )不就就是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( c )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( D )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( B ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( B ) A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( A )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---{2}--。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为----双射-------------。

近世代数复习试题2010级

《近世代数》复习试题 一 填空题 1.12,,n A A A 是集合A 的子集,如果(1) ,(2) , 则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2.设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ,而且ba ab =,则=||ab ______. 5. 在3S 中,)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二 解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合,在Z 中规定: .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明:),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ,证明:G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群,,,G K G H ≤≤证明:KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤,N G ,证明:HN G ≤. 7.设H G ≤,且2]:[=H G ,证明:.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群,N 的阶是r (1)证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.

抽象代数复习题及答案.docx

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案, 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集,规定 f(x)= x +2; g(x)= x 2 +1, 则( fg ) (x) 等于( B ) A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射, g 是 B 到 C 的单射,则 gf 是 A 到 C 的 ( A ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {( 1),(1 2),( 1 3),( 2 3),( 1 2 3),( 1 3 2)} ,则 S 中与元素 ( 1 32)不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中,可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群, a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A . 2 B. 3 C. 6 D. 9 7.设 G 是有限群,对任意 a,b G ,以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群,则以下结论不正确 的是 ( A ) ... A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射, g 是 B 到 C 的满射,则 gf 是 A 到 C 的 ( B ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {(1),( 1 2),( 1 3),( 2 3),( 1 2 3),( 1 3 2)} ,则 S 3 中与元素( 1 2)能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中,其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设( , +,·)是环 ,则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ,则 x a C. 对 a R , a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ,则 b c 14. 设 G 是群, a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一.概念解释 1.代数运算 2.群的第一定义 3.域的定义 4.满射 5.群的第二定义 6.理想 7.单射 8.置换 9.除环 10.一一映射 11.群的指数 12.环的单位元 二.判断题 1.Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同。 2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3.设N 为正整数集,并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈,那么N 对所给运算 能作成一个群。 4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在n a a a a 321里)(A a i ∈,元的次序可以交换。 5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是: 1)若,,S b a ∈则S b a ∈-; 2),,S b a ∈,则S ab ∈。 7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。 9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τσ是A 到C 的映射。 10.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。 11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是bc a =。 12.设F 是任意一个域,*F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 ( ) 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群,则21H H ?也为G 的子群。 ( ) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 ( ) 三.证明题 1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2.设G=(a )是循环群,证明:当∞=a 时,G=(a )与整数加群同构。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1 -f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整 数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。

近世代数习题解答张禾瑞三章

近世代数习题解答 第三章环与域 1加群、环的定义 1. 证明,本节内所给的加群的一个子集作成一个子群的条件是充分而且必要的. 证 (ⅰ)若S 是一个子群 则S b a S b a ∈+?∈, '0是S 的零元,即a a =+'0 对G 的零元,000' =∴=+a a 即.00S a a s ∈-=-∴∈ (ⅱ)若S b a S b a ∈+?∈, S a S a ∈-?∈ 今证S 是子群 由S S b a S b a ,,∈+?∈对加法是闭的,适合结合律, 由S a S a ∈-?∈,而且得S a a ∈=-0 再证另一个充要条件: 若S 是子群,S b a S b a S b a ∈-?∈-?∈,, 反之S a a S a a S a ∈-=-?∈=-?∈00 故S b a b a S b a ∈+=--?∈)(, 2. },,,0{c b a R =,加法和乘法由以下两个表给定: + 0 a b c ? 0 a b c 0 0 a b c 0 0 0 0 0 a a 0 c b a 0 0 0 0 b b c 0 a b 0 a b c c c b a 0 c 0 a b c 证明,R 作成一个环 证R 对加法和乘法的闭的. 对加法来说,由.9.2习题6,R 和阶是4的非循环群同构,且为交换群. 乘法适合结合律Z xy yz x )()(= 事实上. 当0=x 或a x =,)(A 的两端显然均为0. 当b x =或x=c,)(A 的两端显然均为yz .

这已讨论了所有的可能性,故乘法适合结合律. 两个分配律都成立xz xy z y x +=+)( zx yx x z y +=+)( 事实上,第一个分配律的成立和适合律的讨论完全一样, 只看0=x 或a x =以及b x =或c x =就可以了. 至于第二个分配律的成立的验证,由于加法适合交换律,故可看 0=y 或a y =(可省略a z z ==,0的情形)的情形,此时两端均为zx 剩下的情形就只有 0,0)(=+=+=+x x bx bx x b b 0,0)(=+=+=+x x cx cx x c c 0,0)(=+=+==+x x cx bx ax x c b ∴R 作成一个环. 2交换律、单位元、零因子、整环 1. 证明二项式定理 n n n n n b b a a b a +++=+- 11)()( 在交换环中成立. 证用数学归纳法证明. 当1=n 时,显然成立. 假定k n =时是成立的: k i i k k i k k k k b b a b a a b a +++++=+-- )()()(11 看1+=k n 的情形)()(b a b a k ++ ))()()((11b a b b a b a a k i i k k i k k k ++++++=-- 1111111)]()[()()(++--+++++++++=+k i i k k i k i k k k k b b a b a a b a 1111 11)()(+-+++++++++=k i i k k i k k k b b a b a a (因为)()()(11 k r k r k r -++=) 即二项式定理在交换环中成立. 2. 假定一个环R 对于加法来说作成一个循环群,证明R 是交换环. 证设a 是生成元 则R 的元可以写成 na (n 整数) 2)]([)]([))((nma aa m n ma a n ma na === 2))((mna na ma =

《近世代数》模拟试题2及答案

近世代数模拟试题 一、单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个就是单位元( )。 A 0 B 1 C -1 D 1/n,n就是整数 2、下列说法不正确的就是( )。 A G只包含一个元g,乘法就是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群 B G就是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群 C G就是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群 D G就是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群 3、下列叙述正确的就是( )。 A 群G就是指一个集合 B 环R就是指一个集合 C 群G就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 D 环R就是指一个非空集合与一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆 元存在 4、如果集合M的一个关系就是等价关系,则不一定具备的就是( )。 A 反身性 B 对称性 C 传递性 D 封闭性 S的共轭类( )。 5、下列哪个不就是 3 A (1) B (123),(132),(23) C (123),(132) D (12),(13),(23) 二、计算题(每题10分,共30分) S的正规化子与中心化子。 1、求S={(12),(13)}在三次对称群 3

2、设G ={1,-1,i,-i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶。 3、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,求出其右零因子。

三、证明题(每小题15分,共45分) 1、设R 就是由一切形如??? ? ??0,0,y x (x,y 就是有理数)方阵作成的环,证明??? ? ??0,00,0就是其零因子。 2、设Z 就是整数集,规定a ·b =a +b -3。证明:Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个是单位元(). A. 0 B. 1 C. -1 D. 1/n,n是整数 2、下列说法不正确的是(). A . G只包含一个元g,乘法是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说,下列不正确的是(). A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. -1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是()。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题(每题10分,共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群,试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????, 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗?若是,请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数练习题题库

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§1 第一章 基础知识 1 判断题: 1.1 设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。( ) 1.2 A ×B = B ×A ( ) 1.3 只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1 -f 。( ) 1.4 如果?是A 到A 的一一映射,则?[?(a)]=a 。( ) 1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。( ) 1.6 设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 1.7 在整数集Z 上,定义“ ”:a b=ab(a,b ∈Z),则“ ”是Z 的一个二元运算。( ) 1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2 填空题: 2.1 若A={0,1} , 则A ?A= __________________________________。 2.2 设A = {1,2},B = {a ,b},则A ×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A ?A=_____________________。 2.5 设集合{}1,0,1-=A ;{ }2,1=B ,则有=?A B 。 2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射,a 是A 的一个元,则 ()[]=-a f f 1 。 2.7 设A ={a 1, a 2,…a 8},则A 上不同的二元运算共有 个。

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-5

近世代数课后习题参考答案 第五章 扩域 1 扩域、素域 1. 证明:)(S F 的一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集是一个域. 证 一切添加S 的有限子集于F 所得的子域的并集为∑ 1)若 ∑∈b a , 则一定有),,(2,1n F a ααα ∈ ) ,,(2,1m F b βββ ∈易知 m n F b a βββααα,,,,,,(2121 ∈- 但∑? ),,,,,,(2121m n F βββααα 从而∑∈-a b 2)若,,∑∈b a 且0≠b 则 ),,,(21m F b βββ ∈- 从而有∑ ? ∈-),,,,,,(21211 m n F ab βββααα 2 单扩域 1. 令E 是域F 的一个扩域,而F a ∈证明a 是F 上的一个代数元,并且 F a F =)( 证 因0=-a a 故a 是F 上的代数元.其次,因F a ∈,故 F a F ?)(易见F a F ?)(,从而F a F =)( 2.令F 是有理数域.复数i 和 1 12-+i i 在F 上的极小多项式各是什么? )(i F 与)1 12( -+i i F 是否同构? 证 易知复数i 在F 上的极小多项式为1 12, 12 -++i i x 在F 上的极小多项式为2 52 +-x x 因)1 12()(-+=i i F i F 故这两个域是同构的. 3.详细证明,定理3中a 在域F 上的极小多项式是)(x p 证 令?是)(x F 中的所有适合条件0)(=a f 的多项式作成)(x f 的集 合. 1) ?是)(x F 的一个理想 (ⅰ)若 ?∈)(),(x g x f 则0)(,0)(==a g a f 因而0)()(=-a g a f 故??-)()(x g x f ⅱ)若)(,)(x h x f ?∈是)(x F 的任一元 那么0)()(=a f a h 则?∈)()(x f x h 2)是一个主理想 设 )(1x p 是?中a !的极小多项式

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1(时间120分钟) 二、判断题(对打“√”,错打“×”,每小题2分,共20分) 1. ()循环群的子群是循环子群。 2. ()满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 3. ()存在一个4阶的非交换群。 4. ()素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。 5. ()无零因子环的特征不可能是2001。 6. ()无零因子环的同态象无零因子。 7. ()模97的剩余类环Z97是域。 8. ()在一个环中,若左消去律成立,则消去律成立。 9. ()域是唯一分解整环。 10. ()整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。 一、填空题(共20分,第1、4、6小题各4分,其余每空2分) 1. 设A、B是集合,| A |=3,| B |=2,则共可定义个从A到B的映射,其中 有个单射,有个满射,有个双射。 2. 设群G是24阶群,G中元素a的阶是6,则元素a2的阶为,子群H=< a3>的在G中的指数是。 3. 设G=< a>是10阶循环群,则G的非平凡子群的个数是。 4. 在模12的剩余环R={[0], [1], ……, [11]}中,[5]+[10]=,[5]·[10]=,方程x2=[1]的所有根为。 5. 环Z6的全部零因子是。 6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环,因为它的元素α=在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分 三、解答题(共30分) 1.设S3是3次对称群,a=(123)∈S3. (1)写出H=< a>的所有元素. (2)计算H的所有左陪集和所有右陪集. (3)判断H是否是S3的不变子群,并说明理由.

2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。 3. 在整数环Z中,求由2004,125生成的理想A=(2004,125)。 四、证明题(共30分) 1.设G是一个阶为偶数的有限群,证明 (1)G中阶大于2的元素的个数一定为偶数; (2)G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。 2. 设φ是环(R,+,·,0,1)到环(R,+,·,0/,1/)的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ(x)=0/}, 证明:φ是同构映射当且仅当N={0}。 3. 证明:非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案, 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集,规定f(x)= x +2;g(x)=2 x +1,则(fg )(x)等于( B ) A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射,g 是B 到C 的单射,则gf 是A 到C 的 ( A ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S 3中与元素(1 32)不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中,可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群,a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A . 2 B. 3 C. 6 D. 9 7.设G 是有限群,对任意a,b ∈G ,以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群,则以下结论不正确...的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射,g 是B 到C 的满射,则gf 是A 到C 的 ( B ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S 3中与元素(1 2)能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中,其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设(R ,+,·)是环 ,则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=,则x a =-

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