逆矩阵的几种求法与解析
矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法.
1.利用定义求逆矩阵
定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用.
例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且
（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K
证明 因为E 与A 可以交换, 所以
(E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K ,
因A K = 0 ,于是得
(E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，
因此E-A 是可逆矩阵,且
(E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K .
同理可以证明(E+ A)也可逆,且
(E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K .
由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵.
例2 设 A =?
?
??
?
????
???0000
30000020
0010,求 E-A 的逆矩阵.
分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵.
解 容易验证
A 2
=?????????
???0000000060000200， A 3=?
?
??
?
?
?
??
???00000000
00006000
， A 4=0
而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以
(E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3=
?
?
??
?
???????1000
31006210
6211.
2.初等变换法
求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21 使
（1）s p p p 21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：
（2） s p p p 21I= A 1-
比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-.
用矩阵表示（A I ）???
→?初等行变换
为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=????
?
?????521310132.
解 [A I]→??????????100521010310001132→????
?
?????001132010310100521
→ ??????????--3/16/16/1100010310100521→????
??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
故 A 1-=????
?
?????-----3/16/16/112/32
/13/46/136/1. 在事先不知道n 阶矩阵是否可逆的情况下，也可以直接用此方法.如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为0，则意味着A 不可逆，因为此时表明A =0，则A 1-不存在.
例2 求A=????
?
?????987654321.
解 [A E]=??????????100987010654001321→????
??????------107126001463000132
1
→ ??
??
??????----12100001463000132
1. 由于左端矩阵中有一行元素全为0，于是它不可逆，因此A 不可逆.
3.伴随阵法
定理 n 阶矩阵A=[a ij ]为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且
A 1-=
A 1?
?
?
?
?
?
??????nn n
n
n n A A A A A A A A A (212221212111)
其中A ij 是A 中元素a ij 的代数余子式.
矩阵?
?
??
?
?
??????nn n
n n n A A A A A A
A A A (2122212)
12111称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A 3，于是有A 1-=A 1
A 3.
证明 必要性：设A 可逆，由A A 1-=I ，有1-AA =I ，则A 1-A =I ，所以A ≠0，即A 为非奇异.
充分性： 设A 为非奇异，存在矩阵
B=
A 1?
??
?
?
?
??????nn n
n
n n A A A A A A A A A .....................212221212111， 其中
AB=?
???????????nn n n n n a a a a a a a a a (2)
1
22221
11211?
A 1?
?
?
?
?
?
????
??nn n
n n n A A A A A A A A A ...............
(2122212)
12111
=
A 1????????????A A A A ...
.........0...00...0=?
?
??
?
???????1 (00)
...1......0...100...01=I
同理可证BA=I.
由此可知，若A 可逆，则A 1-=
A
1
A 3. 用此方法求逆矩阵，对于小型矩阵，特别是二阶方阵求逆既方便、快阵，又有规律可循.因为二阶可逆矩阵的伴随矩阵，只需要将主对角线元素的位置互换，次对角线的元素变号即可.
若可逆矩阵是三阶或三阶以上矩阵，在求逆矩阵的过程中，需要求9个或9个以上代数余子式，还要计算一个三阶或三阶以上行列式，工作量大且中途难免 出现符号及计算的差错.对于求出的逆矩阵是否正确，一般要通过AA 1-=I 来检验.一旦发现错误，必须对每一计算逐一排查.
4．分块矩阵求逆法
4.1.准对角形矩阵的求逆
命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，且A 11为n 阶方阵，A 22为m 阶方阵
?????
?221100A A ??
?
???--1221
1100A A 证明 因为A =
22
110
0A A =11A 22A ≠0, 所以A 可逆.
设A 1-=????
??W Z
Y X
，于是有??????W Z Y X
??????2211
00A A =??
?
???m n
I I 00,
其中 X A 11=I n ， Y A 22=0，Z A 11=0，W A 22=I m .又因为A 11、A 22都可逆，用A 1
11-、A 1
22-分别右乘上面左右两组等式得：
X= A 1
11-，Y=0，Z=0，W= A 1
22-
故 A 21
= ??
??
??--1221
110
0A A 把上述结论推广到每一个子块都是非奇异矩阵的准对角形状矩阵中去，即：
1
2
1...-???????????
?k A A A =??????
?
???
???
?---11
2
1
1...
k A A A 4.2.准三角形矩阵求逆
命题 设A 11、A 22都是非奇异矩阵，则有
1
221211
0-?????
?A A A =??
?
???-----1
221
22121111
110
A A A A A
证明 因为??????221211
0A A A
??????--I A A I 012111=??
?
?
??2211
0A A 两边求逆得
1
121110--??????-I A A I 1
221211
0-??????A A A =??
????--1221
110
0A A 所以 1
221211
-????
??A A A =??
?
???--I A A I 012111??
?
???--1221110
0A A =??
?
???-----1
221
22121111
110
A A A A A
同理可证
1
2221
110-??????A A A =??
?
???-----1221
22
211111
110A A A A A 此方法适用于大型且能化成对角子块阵或三角块阵的矩阵. 是特殊方阵求逆的一种方法，并且在求逆矩阵之前，首先要将已给定矩阵进行合理分块后方能使用.
5.恒等变形法
恒等变形法求逆矩阵的理论依据为逆矩阵的定义，此方法也常用与矩阵的理论推导上.就是通过恒等变形把要求的值化简出来，题目中的逆矩阵可以不求，利用AA 1-=E ，把题目中的逆矩阵化简掉。
例1 计算（A+4E ）T （4E-A ）1-（16E-A 2）的行列式，其中 A=??
??
?
?????-141021001 解 令 )16()4()4(21A E A E E A T --+-=D
D=)16()4()4(21A E A E E A T --+- =)4)(4()4()4(1A E A E A E A E T +--+-
=T A E A E )4)(4(++=2
)4(A E +.
虽然题目中出现了（4E-A ）1-.但是经过化简之后不再出现此式，因此得
D=2
4A E -=22500.
例2 已知 n 阶矩阵A 满足A 2+2A-3E=0.求证：A+4E 可逆并求出A+4E 的逆. 证明 把A 2+2A-3E=0变形为A 2+2A-8E=5E ，即
（A+4E ）（A-2E ）=-5E ，可得（A+4E ）（-A/5+2E/5）=E ，
所以存在一个矩阵B=-A/5+2E/5，使（A+4E ）B=E ，由定义得A+4E 可逆，且
（A+4E ）1-=B=-A/5+2E/5.
另外，有些计算命题中虽出现逆矩阵，但通过适当的矩阵运算可消去，因而不必急于求出逆矩阵.
6．利用线性方程组求逆矩阵
若n 阶矩阵A 可逆，则A A 1-=E ，于是A 1-的第i 列是线性方程组AX=E 的解，i=1,2,…,n,E 是第i 个分量是I 的单位向量.因此，我们可以去解线性方程组AX=B ， 其中B=（b 1,b 2,…,b n ）T , 然后把所求的解的公式中的b 1,b 2,…,b n 分别用
E 1=（1,0,0,…,0）， E 2=（0,1,0,…,0），
……，
E n =(0,0,0, (1)
代替，便可以求得A 1-的第1，2，…n 列，这种方法在某些时候可能比初等变换法求逆矩阵稍微简一点.下面例子说明该方法的应用.
例 求矩阵A=???
??
?
?
?
?????
???300001300001300
0013000013的逆矩阵.
解 设X=（x 1,x 2,x 3,x 4,x 5）T ,B=(b 1,b 2,b 3,b 4,b 5)T 解方程组 AX=B ，即：
?????
????==+=+=+=+5
54
543432321
2133333b x b
x x b x x b x x b x x 解得： ?????
????=-=+-=-+-=+-+-=-----51554245432335432
234254322314513)3(3)
33(3)333(3)3333(3b x b b x b b b x b b b b x b b b b b x 然后把B=（b 1,b 2,…,b n ）列，分别用
E 1=（1,0,0,…,0）， E 2=（0,1,0,…,0），
……，
E n =(0,0,0, (1)
代入，得到矩阵A 1-的第1，2 ，3，4，5列，分别用
x 1=(13-,0,0,0,0)T , x 2=(32-,13-,0,0,0)T , x 3=(33-,32-,13-,0,0)T ,
x 4=(34-,33-,32-,13-,0)T , x 5=(35-,34-,33-,32-,13-)T
A 1
-=???????
????
?????---------------1213214321543
2130
000
330003330
03333033333. 这种方法特别适用于线性方程组AX=B 比较容易求解的情形，也是很多工程类问题的解决方法.
以上各种求逆方法只是我的一些粗浅的认识，也许有很多的不当之处，我希望我的这篇文章能给大家带来帮助，能帮助我们更快更准地解决好繁琐的求逆矩阵问题.同时，它还是我们更好的学习线性代数的必备基础知识，认真掌握它，可供我们以后继续在数学方面深造打下坚实的基础.但我很希望各位老师和同学给于指导.能使我的这篇文章更加完善和实用.
参 考 文 献
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育
出版社, 2001.
[2] 杨明顺. 三角矩阵求逆的一种方法[J ]. 渭南师范学院学报, 2003. [3] 丘维声. 高等代数[M ]. 北京: 高等教育出版社,2001.
[4] 杨子胥. 高等代数习题集[M] . 济南:山东科学技术出版社,1984. [5] 赵树原. 线性代数[M] . 北京:中国人民大学出版社,1997. [6] 李宗铎. 求逆矩阵的一个方法[ J ] . 数学通报,1983.
[7] 贺福利等. 关于矩阵对角化的几个条件[J ] . 高等函授学报(自然科学
版) ,2004 , (1)
[8] 张禾瑞.郝炳新.高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社.1999. [9] 王永葆. 线性代数[M].长春：东北大学出版社.2001.
[10] 同济大学遍.线性代数（第二版）. 北京: 高等教育出版社，1982. [11] 王萼芳，丘维声编，高等代数讲义. 北京大学出版社，1983. [13] 华东师范大学数学系编.数学分析.人民教育出版社，1980
[14] 杜汉玲 求逆矩阵的方法与解析 高等函授学报(自然科学版) 第17卷第4期
2004年8月
[15] 苏敏逆矩阵求法的进一步研究河南纺织高等专科学校学报，2004 年第16
卷第2 期
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快 捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩 阵中的位置。比如，或表示一个矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对 角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称 为单位矩阵，记为，即：。如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如， 是一个阶下三角矩阵，而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成
逆矩阵的几种常见求法 潘风岭 摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较. 关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换． 1． 相关知识 1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ． 定义2 设()ij n n A a ?=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ?? ? ? ? ??? 称为A 的伴随矩阵，记为A *. 伴随矩阵有以下重要性质 AA *= A *A=A E. 注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理
设A 是数域P 上的一个n n ?矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式， 则 11122()10n n n nn f A A a a a A A E -=-++ ++ +-=（）（） (证明参见[1]） ． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件 1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）; 1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）； 1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）； 1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）； 1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ?矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ?初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ?初等矩阵.（证明参见[1]） 2．矩阵的求逆 2.1 利用定义求逆矩阵 对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.
总结求矩阵的逆矩阵的方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
总结求矩阵的逆矩阵的方法 课程名称： 专业班级： 成员组成： 联系方式：
摘要：矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数 研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 关键词：矩阵逆矩阵方法 Method of finding inverse matrix Abstract: Matrix in linear algebra is the main content,many prictical problems with the matrix theory is simple and fast. The inverse matrix andmatrix theory the important content, the solution of inverse matrix nature has become one of the main research contents of linear algebra. The paper will give some method of finding inverse matrix. Key words: Matrix inversematrix method
正文： 1.引言:矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 2.求矩阵的逆矩阵的方法总结： 2.1 矩阵的基本概念 矩阵，是由个数组成的一个行列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素 在矩阵中的位置。比如，或表示一个 矩阵，下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。 特别地，一个矩阵，也称为一个维列向量；而一个矩阵，也称为一个维行向量。 当一个矩阵的行数与烈数相等时，该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称 为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即：。如一个阶
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 目录 摘要 (1) 第1章．矩阵 (2) 1.1矩阵的定义 (2) 1.2矩阵的运算 (2) 第2章．矩阵的可逆性及逆矩阵 (5) 2.1矩阵的基本概念 (5) 2.2矩阵可逆的判断方法 (6) 2.3矩阵可逆性的求法 (10) 第3章．逆矩阵的拓展 (17) 3.1广义逆矩阵的引入 (17) 3.2广义逆矩阵的定义及存在 (17) 第4章．总结 (21) 参考文献 (22) 致谢 (23) 附件：论文英文简介
矩阵的可逆性与逆矩阵的求法 [摘要]：矩阵理论是现代代数学的重要分支理论之一，它也为现代科技及现代经济理论研究提供不可或缺的数学支持。在线性代数研究中引入矩阵的目的之一就是为了研究线性方程组B AX 求解及更一般的矩阵方程求解提供数学工具，其中矩阵的可逆性及逆矩阵的求法是最主要的内容。本文从矩阵的基本概念及运算入手，主要探讨和归纳矩阵可逆性的四种判定方法和求逆矩阵的五种方法，并引进Matlab这一数学软件求逆矩阵的程序，同时关注广义逆矩阵意义及求法。 [关键词]：矩阵可逆性逆矩阵广义逆求法
矩阵可逆性的判断和可逆矩阵的求法是矩阵理论学习的重点与难点，也是研究矩阵性质及运算中必不可少的一部分。本文在分析和归纳判断矩阵的可逆性和逆矩阵的求法，给出了四种判断矩阵可逆的方法，其中有初等矩阵的应用，有行列式的应用，还有向量的线性无关和线性方程组的应用。逆矩阵的求法给出了五种方法：分别是行变换、列变换、伴随矩阵、分块矩阵法以及Matlab 软件的解法，同时也讨论了广义逆矩阵的求法。对矩阵可逆性的判断与逆矩阵的求法将会给矩阵的学习带来很大的帮助。 第1章 矩 阵 1.1矩阵的定义 定义1 由st 个数ij c 排成一个s 行t 列的表 ???? ?? ? ??st s s t t c c c c c c c c c 2 1 2222111211 叫作一个s 行t 列（或t s ?）矩阵，ij c 叫作这个矩阵的元素。 定义2 矩阵的行（列）初等变换指的是对一个矩阵施行的下列变换： )(i 交换矩阵的两行（列）； )(ii 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的元素； )(iii 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一元素后加到另一行（列）的对应元素上。 矩阵的初等变换在线性方程组求解，求矩阵的秩及求矩阵的逆矩阵方面都有重要的作用。 1.2矩阵运算 定义1 数域F 的数a 与F 上一个n m ?矩阵)(ij a A =的乘积aA 指的是n m ?矩阵 )(ij aa ，求数与矩阵的乘积的运算叫作数与矩阵的乘法。 定义2 两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==的和B A +指的是n m ?矩阵)(ij ij b a +，求两
逆矩阵的几种求法与解 析 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么E-A 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ???? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →???? ? ??----123200124010112001→
逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且 （E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E， 同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E， 因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.
例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.
E-A) 1= E + A + 2 K1 + … +A (E- A )(E+A + A 2+…+ A K 1)= E-A K (E-A) (E+A+A 2 + …+A K 1)=E， 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容 ,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷 .逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容 , 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一 .本文将给出几种求逆矩阵的方法 . 1. 利用定义求逆矩阵 定义：设A、B都是n阶方阵,如果存在n阶方阵B使得AB= BA = E,则称A 为可逆矩阵，而称B为A的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证：如果方阵A满足A k= 0,那么EA是可逆矩阵,且 证明因为E与A可以交换，所以 因A K= 0 ,于是得 同理可得( E + A + A 2 + … +A K 1 )(E-A)=E ， 因此E-A是可逆矩阵，且 (E-A) 1 = E + A + A 2 +…+A K 1 同理可以证明 (E+ A) 也可逆,且
E-A 的逆矩阵. (E+ A) 1 = E -A + A 2+…+ (-1 ) K1A K1 . 由此可知，只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E A 的逆矩阵. 例2 设 A = 00 20 00 03 ,求 0003 0000 分析 由于A 中有许多元素为零，考虑A K 是否为零矩阵，若为零矩阵，则可以 采用例2的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 00 2 0 0 0 0 6 2 00 0 6 3 0 0 0 0 4 A 2 = ■ A 3= ， A 4 =0 00 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 而 (E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E , 所以 1 1 2 6 1 2 3 0 1 2 6 (E-A) E+A+ A 2 + A . 0 0 1 3 0 0 0 1 2. 初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法 ?如果A 可逆，则A 可通过 初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵R,P 2 , P S 使 （1） p 1 p 2 p s A=I ，用 A 1 右乘上式两端，得： （2） p 1 p 2 p s I= A 1 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单 位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1. 用矩阵表示（ A I ） 为（ I A 1 ），就是求逆矩阵的初等行变换法， 它是实际应用中比较简单的一种方法 .需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初 等
逆矩阵的几种求法与解析
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逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法． 1．利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA ＝ Ｅ, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A K = 0, 那么Ｅ-A 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + Ａ + A 2+…+Ａ1-K 证明 因为E 与A 可以交换， 所以 （E － A ）（Ｅ+A ＋ A 2＋…＋ Ａ1-K )＝ E-A K , 因ＡK = 0 ,于是得 （E-Ａ）(Ｅ+A+A 2＋…＋Ａ1-K ）＝Ｅ， 同理可得（E + A + Ａ2+…+A 1-K )(E －A)=Ｅ, 因此E-A 是可逆矩阵，且 (E-Ａ)1-＝ E ＋ A + A 2＋…+A 1-K . 同理可以证明（E ＋ A ）也可逆，且 (E+ A ）1-＝ E -A + A 2＋…+（-1)1-K Ａ1-K ． 由此可知, 只要满足A K ＝０，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A ＝? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010 ,求 E －A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例２ 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用 摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。 关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用 The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix