2009年山东省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（2009?山东）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．4
【考点】并集及其运算．
【专题】集合．
【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案．【解答】解：∵A={0，2，a}，B={1，a2}，A∪B={0，1，2，4，16}
∴
∴a=4，
故选D．
【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题．
2．（5分）（2009?山东）复数等于（）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．
【解答】解：复数===2+i，
故选C．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．
3．（5分）（2009?山东）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）
A．y=2cos2x B．y=2sin2x C．D．y=cos2x
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．
【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，
得到函数=cos2x的图象，
再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，
故选A．
【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查图象变化，是基础题．
4．（5分）（2009?山东）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．2π+2B．4π+2C．2π+D．4π+
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】立体几何．
【分析】由三视图及题设条件知，此几何体为一个上部是四棱锥，下部是圆柱其高已知，底面是半径为1的圆，故分别求出两个几何体的体积，再相加即得组合体的体积．
【解答】解：此几何体为一个上部是正四棱锥，下部是圆柱
由于圆柱的底面半径为1，其高为2，故其体积为π×12×2=2π
棱锥底面是对角线为2的正方形，故其边长为，其底面积为2，又母线长为2，
故其高为
由此知其体积为=
故组合体的体积为2π+
故选C
【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是组合体的体积，其方法是分部来求，再求总体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．
5．（5分）（2009?山东）在R上定义运算?：a?b=ab+2a+b，则满足x?（x﹣2）＜0的实数x的取值范围为（）
A．（0，2）B．（﹣2，1）C．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）D．（﹣1，2）
【考点】一元二次不等式的解法．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】根据规定的新定义运算法则先把不等式化简，然后利用一元二次不等式求解集的方法求出x的范围即可．
【解答】解：∵x⊙（x﹣2）=x（x﹣2）+2x+x﹣2＜0，
∴化简得x2+x﹣2＜0即（x﹣1）（x+2）＜0，
得到x﹣1＜0且x+2＞0①或x﹣1＞0且x+2＜0②，解出①得﹣2＜x＜1；解出②得x＞1且x＜﹣2无解．
∴﹣2＜x＜1．
故选B
【点评】此题是一道基础题，要求学生会根据已知的新定义化简求值，会求一元二次不等式的解集．
6．（5分）（2009?山东）函数y=的图象大致为（）
A．B．C．
D．
【考点】函数的图象与图象变化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域{x|x≠0}方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x＞0时函数为减函数）方面进行考虑即可．
【解答】解析：函数有意义，需使e x﹣e﹣x≠0，
其定义域为{x|x≠0}，排除C，D，
又因为，
所以当x＞0时函数为减函数，故选A
答案：A．
【点评】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质．本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质．
7．（5分）（2009?山东）定义在R上的函数f（x）满足
，则f（2009）的值为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质，要求f（2009）的值，则函数的函数值必然呈周期性变化，由函数的解析式
，我们列出函数的前若干项的值，然后归纳出
函数的周期，即可求出f（2009）的值．
【解答】解：由已知得f（﹣1）=log22=1，f（0）=0，
f（1）=f（0）﹣f（﹣1）=﹣1，
f（2）=f（1）﹣f（0）=﹣1，
f（3）=f（2）﹣f（1）=﹣1﹣（﹣1）=0，
f（4）=f（3）﹣f（2）=0﹣（﹣1）=1，
f（5）=f（4）﹣f（3）=1，
f（6）=f（5）﹣f（4）=0，
所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现．，所以f（2009）=f（5）=1，故选C．
故选C．
【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．
8．（5分）（2009?山东）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．
【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．
【解答】解：∵，
∴，
∴
∴
∴
故选B．
【点评】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．
9．（5分）（2009?山东）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．
【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑．
【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．
【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β，所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
故选B．
【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题．
10．（5分）（2009?山东）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）
A．y2=±4x B．y2=4x C．y2=±8x D．y2=8x
【考点】抛物线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据抛物线方程表示出F的坐标，进而根据点斜式表示出直线l的方程，求得A 的坐标，进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得a，则抛物线的方程可得．
【解答】解：抛物线y2=ax（a≠0）的焦点F坐标为，
则直线l的方程为，
它与y轴的交点为A，
所以△OAF的面积为，
解得a=±8．
所以抛物线方程为y2=±8x，
故选C．
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程，点斜式求直线方程等．考查学生的数形结合的思想的运用和基础知识的灵活运用．
11．（5分）（2009?山东）在区间[﹣，]上随机取一个数x，cosx的值介于0到之间的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型．
【专题】概率与统计．
【分析】求出所有的基本事件构成的区间长度；通过解三角不等式求出事件“cos x的值介于0到”构成的区间长度，利用几何概型概率公式求出事件的概率．
【解答】解：所有的基本事件构成的区间长度为
∵解得或
∴“cos x的值介于0到”包含的基本事件构成的区间长度为
由几何概型概率公式得
cos x的值介于0到之间的概率为P=
故选A．
【点评】本题考查结合三角函数的图象解三角不等式、考查几何概型的概率公式．易错题．
12．（5分）（2009?山东）已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x﹣4）=﹣f（x）且在区间[0，2]上是增函数，则（）
A．f（﹣25）＜f（11）＜f（80）B．f（80）＜f（11）＜f（﹣25）C．f（11）＜f（80）＜f（﹣25）D．f（﹣25）＜f（80）＜f（11）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x﹣4）=﹣f（x），
∴f（x﹣8）=﹣f（x﹣4）=f（x），
即函数的周期是8，
则f（11）=f（3）=﹣f（3﹣4）=﹣f（﹣1）=f（1），
f（80）=f（0），
f（﹣25）=f（﹣1），
∵f（x）是奇函数，且在区间[0，2]上是增函数，
∴f（x）在区间[﹣2，2]上是增函数，
∴f（﹣1）＜f（0）＜f（1），
即f（﹣25）＜f（80）＜f（11），
故选：D
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性和单调性之间的关系进行转化是解决本题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．（4分）（2009?山东）在等差数列{a n}中，a3=7，a5=a2+6，则a6=13．
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】根据等差数列的性质可知第五项减去第二项等于公差的3倍，由a5=a2+6得到3d 等于6，然后再根据等差数列的性质得到第六项等于第三项加上公差的3倍，把a3的值和
3d的值代入即可求出a6的值．
【解答】解：由a5=a2+6得到a5﹣a2=3d=6，
所以a6=a3+3d=7+6=13
故答案为：13
【点评】此题考查学生灵活运用等差数列的性质解决实际问题，是一道基础题．
14．（4分）（2009?山东）若函数f（x）=a x﹣x﹣a（a＞0，且a≠1）有两个零点，则实数a 的取值范围是（1，+∞）．
【考点】函数的零点．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=a x（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解．
【解答】解：令g（x）=a x（a＞0，且a≠1），h（x）=x+a，分0＜a＜1，a＞1两种情况．
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=a x﹣x﹣a有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点．根据画出的图象只有当a＞1时符合题目要求．
故答案为：（1，+∞）
【点评】作出图象，数形结合，事半功倍．
15．（4分）（2009?山东）执行程序框图，输出的T=30．
【考点】程序框图．
【专题】算法和程序框图．
【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．
【解答】解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；
S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；
S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30＞S，输出T=30．
故答案为：30．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．
16．（4分）（2009?山东）某公司租赁甲、乙两种设备生产A，B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为2300元．
【考点】简单线性规划的应用．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】本题考查的知识点是简单的线性规划的应用，根据已知条件中甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元，现该公司至少要生产A 类产品50件，B类产品140件，我们可以列出满足条件的约束条件，及目标函数，然后利用线性规划，求出最优解．
【解答】解：设需租赁甲种设备x天，乙种设备y天，
则
目标函数为z=200x+300y．
作出其可行域，易知当x=4，y=5时，z=200x+300y有最小值2300元．
【点评】在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件?②由约束条件画出可行域?③分析目标函数Z与直线截距之间的关系?④使用平移直线法求出最优解?⑤还原到现实问题中．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（12分）（2009?山东）已知函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinθ﹣sinx（0＜θ＜π），在x=π
处取最小值．
（Ⅰ）求θ的值；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a=1，b=，f（A）=，
求角C．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的最值．
【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．
【分析】（Ⅰ）把函数解析式中第一项利用二倍角的余弦函数公式化简后，利用两角和的正弦函数公式化简，由函数在x=π处取最小值，把x=π代入到化简后的式子中并令f（x）等于﹣1，得到sinθ的值，然后利用θ的范围及特殊角的三角函数值即可求出θ的度数；（Ⅱ）把θ的值代入到f（x）中化简可得f（x）的解析式，然后把x等于A代入解析式，
利用其值等于，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，然后由a，b
和sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B的范围和特殊角的三角函数值即可求出B的度数，根据三角形的内角和定理即可求出C的度数．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sinx
=sinx+sinxcosθ+cosxsinθ﹣sinx
=sin（x+θ）．
因为f（x）在x=π时取最小值，
所以sin（π+θ）=﹣1，
故sinθ=1．
又0＜θ＜π，所以θ=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+）=cosx．
因为f（A）=cosA=，
且A为△ABC的角，
所以A=．
由正弦定理得sinB==，
又b＞a，
所以B=时，，
当B=时，C=π﹣A﹣B=π﹣．
【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，灵活运用正弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道多知识的综合题．学生做题时应注意C的度数有两个解．
18．（12分）（2009?山东）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点，F为AB的中点．证明：
（1）EE1∥平面FCC1．
（2）平面D1AC⊥平面BB1C1C．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；立体几何．
【分析】（1）法一：由EE1∥A1D?EE1∥F1C?EE1∥平面FCC1．即用利用线线平行来推线面平行．
法二：由平面ADD1A1∥平面FCC1?EE1∥平面FCC1．即用利用面面平行来推线面平行．
（2）先证AC⊥BC，又由AC⊥CC1?AC⊥平面BB1C1C?平面D1AC⊥平面BB1C1C．即利用线线垂直来推线面垂直再推2面面垂直．
【解答】证明：（1）证法一：取A1B1的中点为F1，
连接FF1，C1F1，
由于FF1∥BB1∥CC1，
所以F1∈平面FCC1F1，
因为平面FCC1F1即为平面C1CFF1，
连接A1D，F1C，
由于A1F1和D1C1和CD平行且相等．
所以四边形A1DCF1为平行四边形，
因为A1D∥F1C．
又EE1∥A1D，
得EE1∥F1C，
而EE1?平面FCC1F1，F1C?平面FCC1F1，
故EE1∥平面FCC1F1．
证法二：因为F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，
所以CD∥AF，
因此四边形AFCD为平行四边形，
所以AD∥FC．
又CC1∥DD1，FC∩CC1=C，
FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1F1，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1F1，
又EE1?平面ADD1A1，
所以EE1∥平面FCC1．
（2）证明：连接AC，连△FBC中，FC=BC=FB，
又F为AB的中点，
所以AF=FC=FB，
因此∠ACB=90°，
即AC⊥BC．
又AC⊥CC1，且CC1∩BC=C，
所以AC⊥平面BB1C1C，
而AC?平面D1AC，
故平面D1AC⊥平面BB1C1C．
【点评】本题考查平面和平面垂直的判定和性质和线面平行的推导．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
19．（12分）（2009?山东）汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型
；
50辆，其中有A类轿车10辆．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；
（Ⅲ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2．把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．
【专题】概率与统计．
【分析】（Ⅰ）根据用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，得每个个体被抽到的概率，列出关系式，得到n的值
（Ⅱ）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，可以通过列举数出结果，根据古典概型的概率公式得到结果．
（Ⅲ）首先做出样本的平均数，做出试验发生包含的事件数，和满足条件的事件数，根据古典概型的概率公式得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）设该厂这个月共生产轿车n辆，
由题意得=，
∴n=2000，
∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400．
（Ⅱ）设所抽样本中有a辆舒适型轿车，
由题意，得a=2．
因此抽取的容量为5的样本中，
有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．
用A1，A2表示2辆舒适型轿车，
用B1，B2，B3表示3辆标准轿车，
用E表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，
则基本事件空间包含的基本事件有：
（A1，A2），（A1B1），（A1B2），
（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），
（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10个，
事件E包含的基本事件有：
（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），
（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7个，
故P（E）=，
即所求概率为．
（Ⅲ）样本平均数=（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．
设D表示事件“从样本中任取一数，
该数与样本平均数之差的绝对不超过0.5”，
则基本事件空间中有8个基本事件，
事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，
∴P（D）=，即所求概率为．
【点评】本题考查古典概型，考查用列举法来得到事件数，考查分层抽样，是一个概率与统计的综合题目，这种题目看起来比较麻烦，但是解题的原理并不复杂．
20．（12分）（2009?山东）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
（1）求r的值；
（2）当b=2时，记b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列与函数的综合；数列的求和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）由“对任意的n∈N+，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上”可得到S n=b n+r，依次求出a1、a2、a3，由等比数列的性质（a2）2=a1×a3，解可得答案．
（2）结合（1）可知a n=（b﹣1）b n﹣1=2n﹣1，从而bn=，符合一个等
差数列与等比数列相应项之积的形式，用错位相减法求解即可．
【解答】解：（1）因为对任意的n∈N+，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图象上．
所以得S n=b n+r，
当n=1时，a1=S1=b+r，
a2=S2﹣S1=b2+r﹣（b1+r）=b2﹣b1=（b﹣1）b，
a3=S3﹣S2=b3+r﹣（b2+r）=b3﹣b2=（b﹣1）b2，
又因为{a n}为等比数列，所以（a2）2=a1×a3，则[（b﹣1）b]2=（b﹣1）b2×（b+r）
解可得r=﹣1，
（2）当b=2时，a n=（b﹣1）b n﹣1=2n﹣1，bn=
则T n=
Tn=
相减，得Tn=
+=
所以Tn=
【点评】本题主要考查数列与函数的综合运用，主要涉及了数列的通项与前n项和间的关系，错位相减法求和等问题，属中档题，是常考类型．
21．（12分）（2009?山东）已知函数，其中a≠0．
（1）当a，b满足什么条件时，f（x）取得极值？
（2）已知a＞0，且f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示出b的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（1）对函数求导，由题意可得f′（x）=0有解，由a≠0，分a＞0，a＜0讨论可求解（2）f（x）在区间（0，1]上单调递增，可得f′（x）≥0在[0，1]上恒成立，从而转化为求函数的最值，可求解．
【解答】解：（1）由已知得f′（x）=ax2+2bx+1，
令f′（x）=0，得ax2+2bx+1=0，
f（x）要取得极值，方程ax2+2bx+1=0，必须有解，
所以△=4b2﹣4a＞0，即b2＞a，
此时方程ax2+2bx+1=0的根为
x1==，x2==，
所以f′（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）
12
12
综上，当a，b满足b2＞a时，f（x）取得极值．
（2）要使f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．即b≥﹣﹣，x∈（0，1]恒成立，
所以b≥﹣
设g（x）=﹣﹣，g′（x）=﹣+=﹣，
令g′（x）=0得x=或x=﹣（舍去），
当a＞1时，0＜＜1，当x∈（0，]时g′（x）＞0，g（x）=﹣﹣单调增函数；
当x∈（，1]时g′（x）＜0，g（x）=﹣﹣单调减函数，
所以当x=时，g（x）取得最大，最大值为g（）=﹣．
所以b≥﹣
当0＜a≤1时，≥1，
此时g′（x）≥0在区间（0，1]恒成立，
所以g（x）=﹣﹣在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）
=﹣，
所以b≥﹣
综上，当a＞1时，b≥﹣；
0＜a≤1时，b≥﹣；
【点评】本题考查了函数极值取得的条件，函数的单调区间问题：由f′（x）＞0，解得函数的单调增区间；反之函数在[a，b]上单调递增，则f′（x）≥0恒成立，进而转化为求函数在区间[a，b]上的最值问题，体现了分类讨论及转化思想在解题中的应用．
22．（14分）（2009?山东）设m∈R，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y﹣1），a⊥b，动点M（x，y）的轨迹为E．
（Ⅰ）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；
（Ⅱ）已知m=．证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OA⊥OB（O为坐标原点），并求该圆的方程；
（Ⅲ）已知m=．设直线l与圆C：x2+y2=R2（1＜R＜2）相切于A1，且l与轨迹E只有一
个公共点B1．当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值．
【考点】平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用．
【专题】平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）由a⊥b，所以a?b=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1．
此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m＞0且m≠1和m＜0四种情况讨论；
（2）当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），
当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OA⊥OB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r．
当切线斜率不存在时，代入检验即可．
（3）因为l与圆C相切，故△OA1B1为直角△，故|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，
直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值．【解答】解：（Ⅰ）因为a⊥b，
所以a?b=0，即（mx，y+1）?（x，y﹣1）=0，
故mx2+y2﹣1=0，即mx2+y2=1．
当m=0时，该方程表示两条直线；
当m=1时，该方程表示圆；
当m＞0且m≠1时，该方程表示椭圆；
当m＜0时，该方程表示双曲线．
（Ⅱ）当时，轨迹E的方程为，
设圆的方程为x2+y2=r2（0＜r＜1），当
切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，
A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，
即t2=r2（1+k2）．①
因为OA⊥OB，
所以x1x2+y1y1=0，
即x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，
整理得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0．②
由方程组
消去y得
（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0．③
由韦达定理
代入②式并整理得
（1+k2），
即5t2=4+4k2．
结合①式有5r2=4，r=，
当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，
故所求圆的方程为x2+y2=．
（Ⅲ）显然，直线l的斜率存在，
设l的方程y=k1x+t1，B1（x3，y3）
轨迹E的方程为．
由直线l与圆相切得t12=R2（1+k12），
且对应③式有△=（8k1t1）2﹣4（1+4k12）（4t12﹣4）=0，
即t12=1+4k12，
由方程组，
解得
当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程③应有两个相等的．
由韦达定理x32===，
又B1在椭圆上，
所以，
因为l与圆C相切，
所以|A1B1|2=|OB1|2﹣|OA1|2=x32+y32﹣R2
=
=
=≤，
其中，等号成立的条件
，
．
即故当时，|A1B1|的最大值为1．
【点评】本题考查求轨迹方程、及方程所表示的曲线、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等知识，考查计算能力和分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大．