1 实验意义
在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。倒立摆就是这样一个被控制对象倒立摆系统是一个多变量、快速、非线性和自然不稳定系统。在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题系统的鲁棒性问题，随动问题镇定问题，及跟踪问题等。倒立摆系统作为一个实验装置形象直观结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉，倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观显著，当新的控制理论与方法出现后，可以用倒立摆对其正确性和实用性加以物理验证，并对各种方法进行快捷有效生动的比较。
早在60 年代人们就开始了对倒立摆系统的研究1966 年Schaefer 和Cannon 应用Bang Bang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置在60 年代后期作为一个典型的不稳定严重非线性证例提出了倒立摆的概念并用其检验控制方法对不稳定非线性和快速性系统的控制能力受到世界各国许多科学家的重视从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆成为具有挑战性的课题之一倒立摆的种类很多有悬挂式倒立摆平行倒立摆环形倒立摆平面倒立摆倒立摆的级数可以是一级二级三级四级乃至多级倒立摆的运动轨道可以是水平的还可以是倾斜的(这对实际机器人的步行稳定控制研究更有意义) 控制电机可以是单电机也可以是多级电机。倒立摆的研究具有重要的工程背景：
(1) 机器人的站立与行走类似双倒立摆系统尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史机器人的关键技术机器人的行走控制至今仍未能很好解决
(2) 在火箭等飞行器的飞行过程中为了保持其正确的姿态要不断进行实时控制
(3) 通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时要保持其稳定的姿态使卫星天线一直指向地球使它的太阳能电池板一直指向太阳
(4) 侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响为了提高摄像的质量必须能自动地保持伺服云台的稳定消除震动
(5) 为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭) 其飞行姿态的控制也可以用多级倒立摆系统进行研究。由于倒立摆系统与双足机器人火箭飞行控制和各类伺服云台稳定有很大相似性因此对倒立摆控制机理的研究具有重要的理论和实践意义。
2 倒立摆控制理论研究现状
对倒立摆这样的一个典型被控对象进行研究无论在理论上和方法上都具有重要意义不仅由于其级数增加而产生的控制难度是对人类控制能力的有力挑战更重要的是实现其控制稳定的过程中不断发现新的控制方法探索新的控制理论并进而将新的控制方法应用到更广泛的受控对象中各种控制理论和方法都可以在这里得以充分实践并且可以促成相互间的有机结合当前倒立摆的控制方法可分为以下几类：
1 经典控制理论的方法
一级倒立摆系统的控制对象是一个单输入两输出的非最小相位系统，它提供了用经典控制理论解决单输入多输出系统的控制方法。根据对系统的力学分析，应用牛顿第二定律，建立倒
立摆非线性的运动方程，并进行线性化，拉氏变换，得出传递函数，从而得到零、极点分布情况，根据使闭环系统能稳定工作的思想设计控制器。为此，需引入适当的反馈，使闭环系统特征方程的根都位于左平面上。用经典控制理论的频域法设计非最小相位系统的控制器并不需要十分精确的对象数学模型，因为只要控制器使系统具有充分大的相位裕量，就能获得系统参数很宽范围内的稳定性。但是，由于经典控制理论本身的局限性，它只能用来控制一级倒立摆，对于复杂的二级、三级倒立摆却无能为力。
2 现代控制理论的方法
用现代控制理论控制倒立摆的平衡，主要是用H 状态反馈来实现的。H 状态反馈控制是通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆的数学模型，再用状态空间理论推出状态方程，然后利用H 状态反馈和Kalman滤波相结合的方法，实现对倒立摆的控制。而文献[4]中采用三种状态反馈的方法来设计倒立摆的控制器，即极点配置调节器的方法、LQR最优调节器的方法和LQY最优调节器的方法，并对其实验结果进行了比较，结果表明，三种方法来控制一级倒立摆都是有效的。现代控制理论的方法控制倒立摆，不仅对一级倒立摆可以成功地控制，二级倒立摆的控制效果也不错。
3 智能控制理论的方法
由于倒立摆是一个多变量、非线性、不稳定、强藕合的复杂系统，尽管理论上的一级、二级倒立摆数学模型已经推导出来，但其数学模型很难精确地反应实际系统，所以用经典控制理论和现代控制理论的方法控制倒立摆都不是特别理想，国内外学者对倒立摆的研究集中在智能控制领域。
4 用模糊控制理论控制倒立摆
用模糊控制理论控制倒立摆是智能控制算法中研究最多的一种。大量的实验表明，用模糊控制的方法控制一级、二级倒立摆是非常成功的。模糊控制是采用模糊化、模糊推理、解模糊等运算的模糊控制方法，其主要工作是模糊控制器的设计.
5 用神经网络控制理论控制倒立摆
业已证明，神经网络(Neural Network, NN)能够任意充分地逼近复杂的非线性关系，NN能够学习与适应严重不确定性系统的动态特性，所有定量与定性的信息都等势分布存贮于网络内的各种神经元，故有很强的鲁棒性和容错性。用神经网络方法来实现倒立摆的平衡控制，迄今已经取得了不少成果。
6 模糊控制与神经网络控制相结合控制倒立摆
模糊神经网络控制器控制倒立摆，主要是利用网络的自学习功能，不断修正模糊神经网络控制器的隶属函数和权值，实现模糊控制规则的自动更新，从而解决了模糊控制的自学习、自调整问题，提高了控制精度。
7 神经网络与遗传算法结合控制倒立摆
基于遗传算法学习的神经网络方法在控制倒立摆，以神经网络为基础，用遗传算法来学习神经网络的权系数，既保留了遗传算法的强全局随机搜索能力，又具有神经网络的鲁棒性和自学习能力，能够取得较好的控制效果。
8 神经网络与预测控制算法相结合控制倒立摆
预测控制是工业过程控制领域发展起来的一种计算机控制算法。该算法不基于对象的精确的数学模型，而是建立在对象非参数模型基础上，既具有优化功能又引入了系统的反馈信息。基于神经网络模型的预测控制算法用于倒立摆的平衡控制，首先用前向神经网络描述对象的输入输出关系，根据此关系可计算预测出系统在未来某时刻的输出值，从而得到未来某时刻系统的误差，根据此误差确定系统的目标函数，然后设计在线的优化算法实时解决下一时刻的控制量。
9 用拟人智能控制的方法控制倒立摆
拟人智能控制的核心是“广义归约”和“拟人”。“归约”是人工智能中的一种问题求解方法。这种方法是将待求解的复杂问题分解成复杂程度较低的若干问题集合，再将这些集合分解成更简单问题的集合，依此类推，最终得到一个本原问题集合，即可以直接求解的问题。另一核心概念是“拟人”，其含义是直接利用人的控制经验直觉以及推理分析形成控制规律。
10 用云模型控制倒立摆
用云模型构成语言值，用语言值构成规则，形成一种定性的推理机制。这种方法不要求给出对象的精确的数学模型，而仅依据人的经验、感受和逻辑判断，将人用自然语言表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，就能解决非线性问题和不确定性问题。
3 一阶二阶倒立摆系统介绍
倒立摆作为一种自动控制教学实验设备，能够全面地满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。倒立摆的控制技巧，极富趣味性，很适合学习自动控制课程的学生使用它来验证所学的控制理论和算法，加深对所学课程的理解。基于DSP的旋转式倒立摆系统的最大特点是机械结构简单、可*，成本低廉、体积小，是高等院校理想的自动控制教学的实验设备。
3.1 直线倒立摆系统
直线倒立摆系统如图1所示，它由四个部分组成：倒立摆、小车、轨道和电机。小车受电机的操纵，可以自由地在限定的轨道上左右移动，轨道有水平轨道和倾斜轨道两种。倒立摆一端通过铰链连在小车顶部，可以在一个平面内自由摆动。对电机的控制是通过控制电压使在水平方向产生控制力。在倒立摆的另一端再铰链摆杆2、摆杆3、摆杆4，即可构成二级、三级、四级倒立摆。控制目的是：小车和摆组成的系统在受到干扰后，小车处于轨道的中心位置，摆杆保持垂直位置。
图3- 1
二级倒立摆系统运动分析示意图如图2所示。其机械部分主要由小车，下摆，上摆，导轨，皮带轮，传动皮带等构成，控制对象由小车!下摆!上摆组成，电气部分由电机!晶体管直流动率放大器!传感器以及保护电路组成。
假设条件，上下摆及小车都是刚体，皮带轮与皮带之间无相对滑动，传动皮带无伸长现象，小车的驱动力与直流放大器的输入成正比，且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感，小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度，下摆转动时所受的摩擦力矩正比于下摆的转动速
度，上摆速度所受的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度。
图3- 2
4 固高倒立摆系统试验平台介绍及相关参数
固高科技有限公司开发的直线运动倒立摆系列产品采用开放的控制解决方案和模块化的实验平台，以直线运动模块为基础平台，可以轻松的构建10多种控制教学实验平台，全方位满足控制教学和研究的需要。在自动控制领域中，倒立摆仿真或实物控制实验，已成为检验一个新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一个新的控制方法必须依据的基础实验平台。为全方位满足控制教学和研究的需要，固高科技采用开放的控制解决方案和工业化、模块化的机械结构研发出了一系列倒立摆实验设备。
非常好的用户开放功能，用户可以根据自己设计实现其他控制方法。
系统物理模型和参数
图4- 3 图4- 4
表4-1：一阶直线倒立摆的参数符号，数值和含义
5 一二阶直线倒立摆的建模分析
倒立摆建模的方法一般有两种，牛顿力学和拉格朗日法。牛顿力学主要采用受力分析的原理，二拉格朗日主要是通过对能量含输球偏导得到系统的空间状态方程。下面我们用牛顿法对一阶倒立摆进行建模分析，用拉格朗日法对二阶直线倒立摆进行建模分析。并且对其状
态方程进行稳定性，可观性，可控性进行分析判断，为后面采取不同的控制方法做好准备工作。
5.1 一阶直线倒立摆的建模分析
5.1.1 一阶直线倒立摆的状态方程的建立
图5- 1 图5- 2
忽略掉一些次要因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程，对倒立摆系统进行机理建模。
在忽略了空气阻力, 各种摩擦之后, 可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统F 的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力与F 平衡和绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力力矩平衡，我们可以得到下面运动方程：
θθθθθθθcos sin )(sin cos )(2
2x
ml mgl ml I F ml ml x b x m M -=++=-+++ （5-1）
设φπθ+=，1<<φ，进行近似处理：1cos -=θ，φθ-=sin ，0)(
2
=dt
d θ。用u
来代表被控对象的输入力F ，对式（5-1）进行线性化后得到下面两个运动方程： x
ml mgl ml I u ml x b x
m M =-+=-++φφφ)()(2 （5-2） 整理后得系统的状态方程如下：
CX
Y Bu AX X =+= （5-3）
其中：
2
2
2
2
2
22
0100()00()()0001()00()()I m l b m gl I M m M m l
I M m M m l
A m lb m gl M m I M m M m l
I M m M m l
????-+????++++=?
?????-+??++++?
?
，
2
2
20()0()I m l I M m M m l B m l I M m M m l ?
???+?
???++=?
??
?????++??
，1
0000
1
0C ??
=?
???
1234x x x x
X x x φφ????????
????
==??????????
??
带入固高系统固件的相关参数，可化简为：
5.1.2 直线一级倒立摆系统的性能分析
1）稳定性
系统的稳定性由系统矩阵A的特征值是否均具有负实部来判断。令0
Iλ，系统
=
-A
的开环特征值（0,-0.7412, 0.3264±0.2352i），即系统不稳定。
2）能控性
系统能控的充要条件是：rank[A，AB，…，A n-1B]等于矩阵A的维数
rank[A,AB,…,A n-1B]=rank[A] =4 即，系统能控。
3）能观性
系统能观的充要条件是：rank[C,CA,…,CA n-1]-T等于矩阵A的维数
rank[C,CA,…,CA n-1]-T=rank[A]=4 即，系统能观。
经过如上分析可知，直线一级倒立摆是能控能观的不稳定系统。
5.2 二阶直线倒立摆的建模分析
图5- 3 图5- 4
下列推导过程中，各物理意义为以前所述。利用拉格拉日方程推导倒立摆运动学方程为：
),(),(,q q V q q T q
q -=）（ψ 其中，ψ为拉格拉日算子；q 为系统的广义坐标；T 为系统的动能；V 为系统的势能。拉格拉日方程广义坐标为i q 和ψ表示为：
i i
i f q q
dt d =??-??ψψ
其中，;,3,2,1n i ???=i f 为系统沿该广义坐标方向上的外力，在该系统中，设系统的三个广义坐标分别是X ， 1θ，2θ。
系统的能量方程为： m
m m M T
T
T T T +++=2
1
式中，M T 为小车的动能；1
m T 为摆杆1的动能；2
m T
为摆杆2的动能；m
T
为质量块的动
能。 2
2
1x
M T M =
"
+'=111m m m T T T
其中，'
1m T 为摆杆1质心平动动能；"1m T 为摆杆1绕质心转动动能。"
+'=222
m m m T T T
其中，'2m T 为2摆杆质心平动动能；"
2m T 为摆杆2绕质心转动动能。
2121111121211211112121
)
))cos (())sin (((21θθθθ l m x l m x m dt l d dt l x d m T m +-=+-='
2
1211212112
111
61)31(2121θθω l m l m J T m ==
="
2
1111111211113
2cos 21
θθθ l m x l m x m T
T T m m m +-="
+'
= 同样可以求出：
22221112222211122221122221122)sin sin 2(21
)cos cos 2(21
)
)cos cos 2((21))sin sin 2((21θθθθθθθθθθθθ l l m l l x m dt l l d m dt l l x d m T m ++--=++--='
2
2222222222
2
22
6
1)31(2121θωω l m l m J T m ==
=" )cos(2cos cos 23
2221
1221212222211122
222112222
22θθθθθθθθθθ-+--++=
"
+'
= l l m l x m l x
m l m l m x
m T
T T m m m 因此，可以得到系统的动能为：
)cos(23
2)2232
(
cos )2()(2
112122122
22222121212221112122121θθθθθθθθθ-+++++-++-+++=+++= l l m l m l m m m l x m l x m m m x
m m m M T T T T T m m m M 系统的势能为：
)cos cos 2(cos 2cos 221121111121θθθθl l g m mgl gl m V V V V m m m +++=++=
至此拉格拉日算子ψ：
2
22112112212122
22222121212222111212
21cos cos )22()cos(23
2)2232
(cos cos )22()(2
1θθθθθθθθθθθθψgl m gl m m m l l m l m l m m m l x m x l m m m x
m m m M V T -++--+++++-++-+++=
-=
由于在广义坐标21,θθ上无为力作用，X 上的外力为控制力F ，故有以下等式成立
01
1=??-??θψ
θψ dt d
022=??-??θψ
θψ dt d F x
x
dt d =??-??ψψ
展开以上三式，可得到一下两个方程：
0sin cos 341111111
211=--θθθgl m x l m l m
F l m l m x m M =+-+1
211111111sin cos )(2
1θθθθ 写成矩阵的形式：
??
??
??????=????????????????????32121
3332
31
232221131211b b b x a a a a a a a a a θθ 记为：121
1B x A =????
?????? θθ。 2
12111)443
4(
l m m m a ++=
)cos(21221212θθ-=l l m a
112113cos )22(θl m m m a ++-=
)cos(21221221θθ-=l l m a
2
222234l m a =
22223cos θl m a -=
112131cos )22(θl m m m a ++-= 22232cos θl m a -= m m m M a +++=2133
1121122
22121sin )2()sin(2θθθθgl m m m l l m b +++-=
222122
12122sin )sin(2θθθθgl m l l m b +--=
22
2221211213sin sin )22(θθθθ l m l m m m F b -+++=
将此方程组对F q
q ,, 取倒数，在平衡位置（0==q q ）处进行泰勒级数展开，并线性化得
01
1021
1
01
021
01
1==========??=
????
?????????+????
?????????q
q q
q q
q q
q q
q B x A x A θθθθθθθ
易求得：
;001
1=??==q
q A θ
()????
? ??++=??==002212101
1gl m m m B q
q θ
;)22(3
42)22(2)4434(21221212
222
22
121212122
12101
??
?
????
?
???
????
?+++-++--++-++===m m m M l m l m m m l m l
m l l m l m m m l l m l m m m A q
q 记得：,)(1
01
-==?=q
q A A 则
????
?
?????=????????
??++=????
?????????==312111121021
1
00)22(k k k gl m m m A x q
q θθθ
其中C ：2
1
212
111212
1
2
12
111113
13
4,3
13
4)(l m l Mm g
m k l m l Mm g m M k +
=
+
+=
同理：
;
0010102
102
1
01
1
01=??=
??=
??=
??=
??=
??============q
q q
q q
q q
q q
q q
q F
A x
A A A A x A θθθ
????
?
??=??==00
2
202
1gl m B q
q θ ?????
??=??==10001q
q F
B ;00102
1
01
101=??=??=
??=??========q
q q
q q
q q
q x
B B B x
B
θθ
可解得：
????
??????=????????
??=????
?????????==32
22
12
22021
2
00k k k gl m A x q
q θθθ 0021
021
2
021
1
021
=????
????????=????
????????=????
????????=????
????????========q
q q q q q q
q x x x x x x θθθθθθθθθθ
????
?
?????=???
???????=????
?????????==3727
17
021
100k k k A x F
q
q θθ
系统控制量,F u =取状态变量如下:
,,,32211x x x x ===θθ
x
x x x ===62514,,θθ 则可得到状态空间方程如下：
u k k k x x x x x x k k k k k k x x x x x x
?????????
?
??????????+????????????????????????????????????????=????????????????????37
271765432132
31
22211211654321000
00
00000000100000010000001000 ???
?
?
?????==3213*33
*3][x x x X o I Y
即：0,00
1
0000010000001,000
,00
0000000000100000
010*********
37
27
17
23
22
1312=???
?
?
?????=?????????
?
???????
???=??????
?????????
?????=D C k k k B k k k k A 带入数据后的系统的状态方程为：
将各参数代入系统方程，可得
69.8612=k ，62.2113-=k ，31.4022-=k ，45.3923=k
117=k ，64.627=k ，088.037-=k
即：
0,00
1
0000010000001,088.064.61000,00
45
.3931
.40000062.2169.860000000100000010000001000=???
?
?
?????=?????????
?
????
???
???
-=???
????????????
????
?--=D C B A 则
601400
1031
.130
7501
.00
3896209715.25400741.006366600731.54701349.5140001031
.1307501.00
38962
09715.25400741.006366600731.54701349.50][5
4
3
2
=????
???
?
?
?
?????
???
??
------=rank B A B A B A B A AB B rank 而： ????
???
??
?
??????????≤=???
???
?????????
????
?=?
??
???54
32
610
0010000001000000100
000010000001CA CA CA CA CA C rank rank CA C rank 故，65432
=?????
?
?
??
?
??????????CA CA CA CA CA C rank 系统完全能控，完全能观测。
6 一阶直线倒立摆的控制
6.1 一阶直线倒立摆的PID 控制
PID 控制的原理是通过反馈回路，对偏差e(t) 进行比例、积分、微分运算，运算的和决
定控制器的输出，其数学表达式为：
()()()()t
p i d
de t u t K e t K e t dt K dt
=++?
其中Kp 、Ki 、Kd 为比例、积分、微分运算的系数。 系统控制的结构框图为：
图6- 1
系统的开环传递函数为
PID 控制器的传递函数为：
系统的闭环传递函数为：
()()1()()
G s KD s G s KD s
采用试凑法调整Kp 、Ki 、Kd 的值，在时域内观察闭环系统的单位阶跃响应，直至效果满意为止。
在matlab 中进行命令行仿真：
clear;clc;
M=1.096;m=0.109;b=0.1;l=0.25;I=0.0034;g=9.8; q=(M+m)*(I+m*l^2)-(m*l)^2; a=m*l;b1=I+m*l^2;b2=-m*g*l;
Num1=[a];Den1=[b1,0,b2];Gs1=tf(Num1,Den1); Kp=40;Ki=35;Kd=10;
Num2=[Kd,Kp,Ki];Den2=[1,0];
Gs2=tf(Num2,Den2);Gs3=series(Gs2,Gs1); Gs=feedback(Gs3,1) step(Gs,t); plot(t,y,'r')
图6- 2
调整PID的三个参数，在调整PID参数的过程中，得到三个参数变化对系统的影响：
具体过程如下所示：
图6- 3
可以发现，超调量很大，并且有振荡。
（2）增大Kp为40 ，减少Ki为35 ，增大Kd为10：
图6- 4
可以发现，效果比之前要好很多，继续试验并调整PID的三个参数，可以发现当
Kp=60;Ki=35;Kd=11 时系统能兼顾快速性、稳定性。其单位阶跃响应为：
图6- 5
注：以上并不代表真实试验顺序，因为是在不断试验中，总结出三个参数各自对试验结果的影响，况且试验次数太多，难以一一列举，故以上面例子代表实验过程。
6.2一阶直线倒立摆的极点配置法
由系统分析可知，系统具有不稳定的极点，可以通过自己设计，添加极点来是系统稳定。对车载倒立摆的伺服系统进行设计，实现对其的控制作用，使小车位置作为输出的闭环系统具有极点：5,5,5,31---±-j 倒立摆系统可利用极点配置方法进行设计，实际是在前向通道引入一积分器，对输出y 也即小车位置进行积累作用，如图2.2所示。
此时系统具有指定的性能，如本例指定的极点,5,5,5,31---±-j 可使系统具有设置时间4——5秒，最大超调量15％——16％。
图6-6
%不含积分环节的伺服系统，对小车倒立摆的控制
%系统模型
a=[0 1 0 0;20.601 0 0 0; 0 0 0 1;-0.4905 0 0 0]; b=[0;-1;0;0.5];
c=[0 0 1 0];
d=[0];
a1=[a zeros(4,1);-c 0];
b1=[b;0];
% 系统可控性检查
disp('The rank of controllability matrix')
rc=rank(ctrb(a1,b1))
% 设计极点
p=[-1+sqrt(3)*i -1-sqrt(3)*i -5 -5 -5];
k=acker(a1,b1,p)
% 系统阶跃响应输出
k1=k(1:4)
ki=-k(5)
ac=[a-b*k1 b*ki;-c 0];
bc=[0 0 0 0 1]';
cc=[c 0];
dc=[0];
figure(1)
v=[0 5 -0.4 1.4];
step(ac,bc,cc,dc)
axis(v)
title('μ1á￠°ú?μí3ê?3?μ￥???×???ìó|')
xlabel('??')
ylabel('ê?3? y=x3 ')
text(1.5,0.6,'?ìó|?ú??')
figure(2)
[y,x,t]=step(ac,bc,cc,dc);
plot(t,x)
axis(v)
title('x1,x2,x3,x4,x5 ?ìó|?ú??')
xlabel('??')
ylabel('x1,x2,x3,x4,x5')
text(1.2,0.05,'x1')
text(1.2,-0.33,'x2')
text(4.5,0.9,'x3')
text (2.2,0.25,'x4')
text(4.5,1.15,'x5')
The rank of controllability matrix
rc = 5
k = -157.6336 -35.3733 -56.0652 -36.7466 50.9684
k1 = -157.6336 -35.3733 -56.0652 -36.7466
ki = -50.9684
Simulink仿真
图6- 7
添加极点
图6- 8
图6- 9 图6- 10
6.3一阶直线倒立摆的线性最优控制
6.1中所述的PID 控制只能控制摆杆的角度，并不能控制小车的位置，为了在控制摆杆
全国电子设计大赛旋转倒 立摆 Prepared on 22 November 2020
目录 摘要 本设计综合考虑基础部分和发挥部分要点，采用mega128a为主控芯片，BTS7960驱动电机并在程序中涉及到pid算法对电机进行调控，在设计中，我们采用1000线编码器为角度传感器。在该简单控制装置中，我们实现了摆动，圆周运动和短时间的自动控制下的倒立。 关键字：倒立摆，mega128a，编码器 第一章系统方案比较与选择
总实现方案 方案一：用陀螺仪和加速度计通过卡尔曼数据融合得到角度，用此处的角度为载体用单片机进行数据处理，并调整电机。 方案二：用电位器做角度传感，通过单片机自带ADC来读取电位数值以此为依据来判断角度，并调整电机。 方案三：用编码器做角度传感器，通过读取编码器的输出脉冲来计算角度传感器的输出角度，用此角度做处理调整电机。 通过对两个方案的对比选择，方案一中的加速度计和陀螺仪算法实现复杂，我们在融入卡尔曼滤波后有明显滤波效果，但是由于圆周运动，会使得各个方向轴返回的数据出错，且波动大，会减弱卡尔曼的滤波效果，对于pid的精准调整还是远远达不到预期。在方案二中，考虑到电位器内部结构问题，虽然理论上电位器在转动过程中是线性的，但是考虑到每次停靠的电阻位可能会产生误差，最后考虑到我们最终选定的单片机ADC只有10位，在方案三中，由于实现编码器的功能实现方便简单，并能更多的趋近于精确值，因此最后我们采用了方案三。 主控制器方案比较与选择 为了完成在短时间快速采集并计算角度，主控器件必须有较高的CPU工作频率和存储空间。 方案一：采用51系列加强型STC12C5A60S2作为主控器件，用来实现题目所要求的各种功能。此方案最大的特点是系统规模可以做得很小，成本较低。操作控制简单。但是，我们在利用单片机处理高速信号快速扫描及电机控制时显得吃力， 51系列单片机很难实现这一要求。
单级倒立摆系统的分析与设计 小组成员：武锦张东瀛杨姣 李邦志胡友辉 一．倒立摆系统简介 倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。 单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。 倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。 二．系统建模 1．单级倒立摆系统的物理模型 图1：单级倒立摆系统的物理模型
单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。 各个参数的物理意义为： M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量 F — 作用到小车上的水平驱动力 L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角 整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。 2．单级倒立摆系统的数学模型 令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。 摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0 2013年全国大学生电子设计竞赛试题 参赛注意事项 （1）9月4日8:00竞赛正式开始。本科组参赛队只能在【本科组】题目中任选一题；高职高 专组参赛队在【高职高专组】题目中任选一题，也可以选择【本科组】题目。 （2）参赛队认真填写《登记表》内容，填写好的《登记表》交赛场巡视员暂时保存。 （3）参赛者必须是有正式学籍的全日制在校本、专科学生，应出示能够证明参赛者学生身份 的有效证件（如学生证）随时备查。 （4）每队严格限制3人，开赛后不得中途更换队员。 （5）竞赛期间，可使用各种图书资料和网络资源，但不得在学校指定竞赛场地外进行设计制 作，不得以任何方式与他人交流，包括教师在内的非参赛队员必须迴避，对违纪参赛队取消评审资格。 （6）9月7日20:00竞赛结束，上交设计报告、制作实物及《登记表》，由专人封存。 简易旋转倒立摆及控制装置（C 题 ） 【本科组】 一、任务 设计并制作一套简易旋转倒立摆及其控制装置。旋转倒立摆的结构如图1所示。电动机A 固定在支架B 上，通过转轴F 驱动旋转臂C 旋转。摆杆E 通过转轴D 固定在旋转臂C 的一端，当旋转臂C 在电动机A 驱动下作往复旋转运动时，带动摆杆E 在垂直于旋转臂C 的平面作自由旋转。 二、要求 1．基本要求 （1）摆杆从处于自然下垂状态（摆角0°）开始，驱动电机带动旋转臂作 往复旋转使摆杆摆动，并尽快使摆角达到或超过-60°~ +60°； （2）从摆杆处于自然下垂状态开始，尽快增大摆杆的摆动幅度，直至完成 圆周运动； （3）在摆杆处于自然下垂状态下，外力拉起摆杆至接近165°位置，外力 撤除同时，启动控制旋转臂使摆杆保持倒立状态时间不少于5s ；期间旋转臂的转动角度不大于90°。 图1 旋转倒立摆结构示意图 一级倒立摆控制方法比较 摘要：倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的自然不稳定系统。针对一级倒立摆系统，首先利用牛顿力学的知识建立了数学模型，然后利用Simulink 及其封装功能建立倒立摆的仿真模型，使模型更具灵活性，给仿真带来很大方便。根据状态方程判断系统的能控、能观性。通过LQR控制算法和极点配置设计控制器使系统达到稳定状态，分析两种方法的优缺点，并利用Matlab仿真加以证实。 关键词：倒立摆; LQR ;极点配置 ;Matlab DISCUSSION ON CONTROLOF INVERTED PENDULUM Abstract：the inverted pendulum system is a typical multi-variable, nonlinear, strong coupling and rapid movement of the natural unstable system. According to the level of inverted pendulum system, firstI make use of Newtonian mechanics knowledge to establishthe mathematical model, and use the Simulink and packaging function to establish inverted pendulum simulation model.The model is more flexibility, bringing a lot of convenience for simulation. By the equation of state, controllability and observablityof system can be sure. Designing the LQR control algorithm and pole-place makes the system stable state, analyzes the advantages and disadvantages of two methods confirmed through the simulation of MATLAB. Key words：Inverted pendulum ;LQR ;pole-place ;Matlab 0引言 倒立摆系统作为研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，物理参数和结构易于调整的优点。研究倒立摆系统具有很强的理论意义，同时也具有深远的实践意义。许多抽象的控制概念如稳定性、能控性和能观性，都可以通过倒立摆系统直观地表现出来。希望对倒立摆的研究能够加深对控制理论的了解，为后面学习奠定坚实的基础。 倒立摆[1]的稳定控制主要可分为线性控制和智能控制两大类，下面分别对其归纳介绍。 1）线性理论控制方法 应用线性控制方法的基本前提是倒立摆处在平衡点附近，偏移很小时，系统可以用 《现代控制理论》课程综合设计 单级旋转倒立摆系统 1 引言 单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。 图1 单级旋转倒立摆系统模型 单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。 本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。 2 模型建立 本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆 分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量； 1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。倒立摆模型受力分析如图2所示。 图2 倒立摆模型受力分析 摆杆水平方向受力平衡方程： 2 111222(0sin )2 l d N m l dt θθ=++ （1θ2l —横杆的转动弧长即位移） 摆杆垂直方向受力平衡方程： 211 1122(cos )22 l l d H m g m dt θ-=- 摆杆转矩平衡方程： 22111222sin cos 22 d l l J H N dt θθθ=- 横杆转矩平衡方程： 21 222 d M Nl J dt θ-= N 一级倒立摆的系统分析 一、倒立摆系统的模型建立 如图1-1所示为一级倒立摆的物理模型 图1-1 一级倒立摆物理模型 对于上图的物理模型我们做以下假设： M：小车质量 m：摆杆质量 b：小车摩擦系数 l：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I：摆杆惯量 F：加在小车上的力 x：小车位置 ?：摆杆与垂直向上方向的夹角 θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图1-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆 杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。注意：实际倒立摆系统中的检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。 图1-2 小车及摆杆受力分析 分析小车水平方向受力，可以得到以下方程： M x?＝Ｆ-ｂx?-Ｎ (1-1) 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到以下方程： N =m d 2dt (x +l sin θ) (1-2) 即： N =mx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ (1-3) 将这个等式代入式（1-1）中，可以得到系统的第一个运动方程： (M +m )x?+bx?+mlθcos θ?mlθ2sin θ=F (1-4) 为推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得出以下方程： P ?mg =m d 2dt 2 (l cos θ) (1-5) P ?mg =? mlθsin θ?mlθ2cos θ (1-6) 利用力矩平衡方程可以有： ?Pl sinθ?Nl cosθ=Iθ (1-7) 注意：此方程中的力矩方向，由于θ=π+?，cos?=?cosθ，sin?=?sinθ，所以等式前面含有负号。 合并两个方程，约去P和N可以得到第二个运动方程： (I+ml2)θ+mgl sinθ=?mlx?cosθ (1-8) 设θ=π+?，假设?与1（单位是弧度）相比很小，即?＜＜1，则 可以进行近似处理：cosθ=?1，sinθ=??，（dθ dt ） 2 =0。用u来 代表被控对象的输入力F，线性化后的两个运动方程如下： {(I+ml2)??mgl?=mlx? (M+m)x?+bx??ml?=u (1-9) 假设初始条件为0，则对式（1-9）进行拉普拉斯变换，可以得到： {(I+ml2)Φ(s)s2?mglΦ(s)=mlX(s)s2 (M+m)X(s)s2+bX(s)s?mlΦ(s)s2=U(s) (1-10) 由于输出为角度?，求解方程组的第一个方程，可以得到： X(s)=[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s) (1-11) 或改写为：Φ(s) X(s)=mls2 (I+ml2)s2?mgl (1-12) 如果令v=x?,则有：Φ(s) V（s）=ml (I+ml2)s2?mgl (1-13) 如果将上式代入方程组的第二个方程，可以得到： (M+m)[(I+ml2) ml ?g s ]Φ(s)s2+b[(I+ml2) ml +g s ]Φ(s)s?mlΦ(s)s2= U(s) (1-14) 整理后可得传递函数： Φ(s) U(s)= ml q s2 s4+b(I+ml 2) q s3?(M+m)mgl q s2?bmgl q s (1-15) 简易旋转倒立摆及控制装置（C 题） 参赛队员姓名： 指导教师姓名 参赛队编号： 参赛学校： 简易旋转倒立摆及控制装置（C 题） 摘要：简易旋转倒立摆及控制装置是复杂的高阶闭环控制系统，控制复杂度较高。系统以飞思卡尔MK10DN512ZVLL10单片机为核心，以Mini1024j编码器为角度传感器，配合直流电机组成旋转倒立摆系统，经过充分的系统建模，并考虑单片机运算速度，最终确定采用改进的“模糊PID”控制算法，通过软件控制，可以满足基本部分要求和发挥部分要求。 系统的突出特点在于充分的力学理论分析，通过力学建模和控制系统仿真，获得了大量的定性分析结果，为系统的建立提供了很好的理论依据。 关键字：倒立摆模糊PID 力学建模状态机 一、系统方案 1. 系统方案论证与选择 倒立摆系统是一个复杂的快速、非线性、多变量、强耦合、自然不稳定的系统。对于该控制系统而言，合适的控制算法、精确的反馈信号、适合的电机驱动等都对系统的稳定性、控制精度及抗干扰性起重要作用。针对上述问题，分别设计多种不同的解决方案，并进行选择论证。 （1）控制算法选择 方案一：采用传统PID控制算法。 传统PID控制算法是运用反馈求和后的误差信号的比例(0阶位置项)、积分(误差累积项)、微分(1阶速度项)进行系统校正的一种控制算法。可用于被控对象的结构和参数不能完全掌握，或得不到的精确数学模型的情况，控制器的结构和参数必须依靠经验和反复调试来确定。 方案二：采用模糊PID控制算法 模糊PID控制算法根据PID控制器的三个参数与偏差e和偏差的变化ec之间的模糊关系，在运行时不断检测e及ec，通过事先确定的关系，利用模糊推理的方法，在线修改PID控制器的三个参数，让PID参数可自整定。将模糊控制算法与传统PID控制算法巧妙结合，不但具有PID控制算法精度高等优点，又兼有模糊控制灵活、适应性强的优点。 综合考虑选择方案二的模糊PID控制算法。 （2）电动机选型 方案一：选择步进电动机 步进电动机是将电脉冲激励信号转换成相应的角位移或线位移的离散值控制电动机，这种电动机每当输入一个电脉冲就动一步。虽然控制时序和驱动电路相对复杂，但步进距离很小，保持力矩大，制动能力强。但步进电机速度只在一定范围可调，并且一般步进电机在不旋转时仍有若干相通电，功耗太大。 方案二：选择直流电动机 直流电动机控制简单，利用双极性PWM即可实现调速和正、反转，功率调节范围广、适应性好。直流电机的起动、制动转矩大，易于快速起动、停车，易于控制，且直流电机的调速性能好，调速范围广，易于平滑调节。 综上考虑选择方案二的直流电动机。 （3）传感器的选择 方案一：使用角位移传感器 角位移传感器是一个高精度的电位器，它输出为模拟量。但是在使用角位移传感器时，为得到其与竖直方向(即重力方向)的夹角，要使用重摆，且在角度变化小时，由于传感器自身扭矩，将不会发生角位移，从而得不到采样数据。 方案二：使用主轴编码器 主轴编码器采用与主轴同步的光电脉冲发生器，通过中间轴上的齿轮1:1地同步传动。一般是发光二极管发出红外光束，通过动、静两片光栅后，到达光电二极管，接收到脉冲信号，变换成数字量输出。按编码方式不同，分为增量式编码器和绝对编码器。前者输出脉冲，后者输出8421码。绝对值编码器减轻了电子接收设备的计算任务，从而省去了复杂的和昂贵的输入装置，而且，当机器合上电源或电源故障后再接通电源，不需要回到位置参考点，就可利用当前的位置 倒立摆 倒立摆百度文库解释： 倒立摆系统的输入为小车的位移（即位置）和摆杆的倾斜角度期望值，计算机在每一个采样周期中采集来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号，与期望值进行比较后，通过控制算法得到控制量，再经数模转换驱动直流电机实现倒立摆的实时控制。直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动，摆杆的一端安装在小车上，能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动。作用力u平行于铁轨的方向作用于小车，使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋转，小车沿着水平铁轨运动。当没有作用力时，摆杆处于垂直的稳定的平衡位置（竖直向下）。为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定，需要给小车一个控制力，使其在轨道上被往前或朝后拉动。 倒立摆系统简介 倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统，可以作为一个典型的控制对象对其进行研究。最初研究开始于二十世纪50 年代，麻省理工学院（MIT）的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个典型的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和绝对不稳定系统的能力，从而从中找出最优秀的控制方法。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的典型方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。由于控制理论的广泛应用，由此系统研究产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人控制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制和一般工业应用等方面具有广阔的利用开发前景。平面倒立摆可以比较真实的模拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制等方面的研究。 倒立摆分类 旋转倒立摆 摘要： 倒立摆的控制是控制理论研究中的一个经典问题，通过旋转式倒立摆控制系统的总体结构和工作原理，硬件系统和软件系统的设计与实现等方面，对系统模型进行动力学分析，建立合适的状态空间方程，通过反馈方法实现倒立控制，通过反复的实验，记录，分析数据，总结出比较稳定可行的控制方法。 本系统采用STC89C52作为主控制芯片，WDJ36-1高精度角位移传感器作为系统状态测试装置，通过ADC0832将采集的模拟电压量转化为数字量，传送给STC89C52进行分析处理，并依此为依据控制电机的运转状态，间接地控制摆杆的运动状态。 通过不断地测量、分析，并调整系统控制的参数，基本达到了题目的要求，并通过此次的练习，进一步熟悉掌握了单片机的应用，对控制系统的了解和兴趣。 关键词：单片机最小系统； WDJ36-1角位移传感器; 旋转倒立摆；状态反馈；稳定性； 目录 1.系统方案 (4) 1.1 微控制器模块 (4) 1.2电机模块 (4) 1.3电机驱动模块 (4) 1.4角度传感器模块 (5) 1.5电源模块 (5) 1.6显示模块 (5) 1.7最终方案 (6) 2.主要硬件电路设计 (6) 2.1电机驱动电路的设计 (6) 2.2角度检测电路的设计： (7) 3.软件实现 (7) 3.1理论分析 (7) 3.2总体流程图 (7) 3.3平衡调节流程图 (9) 4 .系统理论分析及计算.................. . (10) 4.1系统分析 (10) 4.2 摆臂摆角的计算.................. . (10) 5．系统功能测试： (10) 5.1测试方案 (10) 5.2测试结果 (10) 5.3测试分析及结论 (10) 6.结束语 (11) 一阶直线倒立摆系统 姓名： 班级： 学号： 目录 摘要 (3) 第一部分单阶倒立摆系统建模 (4) （一）对象模型 (4) （二）电动机、驱动器及机械传动装置的模型 (6) 第二部分单阶倒立摆系统分析 (7) 第三部分单阶倒立摆系统控制 (11) （一）内环控制器的设计 (11) （二）外环控制器的设计 (14) 第四部分单阶倒立摆系统仿真结果 (16) 系统的simulink仿真 (16) 摘要： 该问题源自对于娱乐型”独轮自行车机器人”的控制，实验中对该系统进行系统仿真，通过对该实物模型的理论分析与实物仿真实验研究，有助于实现对独轮自行车机器人的有效控制。 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆控制问题”。另外，诸如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制、卫星飞行中的姿态控制、海上钻井平台的稳定控制、飞机安全着陆控制等均涉及到倒立摆的控制问题。 实验中通过检测小车位置与摆杆的摆动角，来适当控制驱动电动机拖动力的大小，控制器由一台工业控制计算机（IPC）完成。实验将借助于“Simulink封装技术——子系统”，在模型验证的基础上，采用双闭环PID控制方案，实现倒立摆位置伺服控制的数字仿真实验。实验过程涉及对系统的建模、对系统的分析以及对系统的控制等步骤，最终得出实验结果。仿真实验结果不仅证明了PID方案对系统平衡控制的有效性，同时也展示了它们的控制品质和特性。 第一部分单阶倒立摆系统建模 （一） 对象模型 由于此问题为”单一刚性铰链、两自由度动力学问题”，因此，依据经典力学的牛顿定律即可满足要求。 如图1.1所示，设小车的质量为0m ，倒立摆均匀杆的质量为m ，摆长为2l ，摆的偏角为θ，小车的位移为x ，作用在小车上的水平方向上的力为F ，1O 为摆杆的质心。 图1.1 一阶倒立摆的物理模型 根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与角加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴力矩的代数和，则 1）摆杆绕其重心的转动方程为 sin cos y x l F J F l θθθ=-&& （1-1） 2）摆杆重心的水平运动可描述为 2 2(sin )x d F m x l dt θ=+ （1-2） 3）摆杆重心在垂直方向上的运动可描述为 2 2(cos )y d F mg m l dt θ-= （1-3） 4）小车水平方向运动可描述为 202x d x F F m dt -= （1-4） 第1 页共11 页 倒立摆系统的建模及Matlab仿真 1.系统的物理模型 考虑如图(1)所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。 图(1)倒立摆系统 假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.1g l=1m小车的质量：摆杆的长度：2重力加速度：g=9.8m/M=1kg s摆杆的质量在摆杆的中心。 设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量?≤10%，调节时间ts ≤4s ，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。 2.系统的数学模型 2.1建立倒置摆的运动方程并将其线性化。 为简化问题，在数学模型中首先假设：1)摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽略小车与接触面间的摩擦。 ?）,在u设小车瞬时位置为z,摆心瞬时位置为（作用下，小车及摆均产生加速远 动，sin?lz根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与u平衡，于是有 22dzd?)?sinu?M?m(zl22dtdt???2????z(M?mml?)cos?mlusin? 即：??① 绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有． 第2 页共11 页 2??d??? sin??lcosm(z?lsinmgl)??2dt?????22???????即： nis?l?ocgcosincoszs?ls??② 以上两个方程都是非线性方程，为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直?2?????且可忽略则，立，在试驾合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零时合理的，1sincos??,项。于是有 ???M?zm?u?ml??)(③ ????g?z?l??④联立求解可得1mg?u?z????MM 1)?m(M????u??MlMl 列写系统的状态空间表达式。2.2??T xx,x,x,，选取系统变量则 xx,x,xx?,42134123xx??211mgux???x?32MM x?x?431)(M?mu?x?x? 34MlMl 即00100????z??1mg??????000?z?????d MM??Bu?Ax?xux????????00001???dt????1gm?(M)????000??????? MlMl??????Cx?0?y?xx1001代入数据计算得到：0100????000?1??????T0D,?0??1BA?,?001,C100??1000??00011?? 11 页3 页共第 3.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性 1100????0011????23BBAABAB?Q?故被控对象完全可控， rank()=4,Q kk??11?0?10??011?10???22???11?。出现大于零的特征值，故被，，0 解得特征值为 0由特征方程0??11I?A?)(控对象不稳定3.2确定希望的极点， 另一对为远极点，认为系统性能主要由主导，选其中一对为主导极点和希望的极点n=4ss21极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点???42??1????10.?e??t1.67?有，闭环可得；取误差带，于是取，则6.?059?0.02.?0? pns??n2????1?js??=-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点 距离主导极点为?n,21s??15倍，取的54,33.3采用状态反馈方法使系统稳定并配置极点 ??kkkk?k；状态反馈系统的状态方程，馈状态反的控制规律为为kxu??3102?，其 引言 近三十年来，随着控制理论技术和航空航天技术的迅猛发展，一种典型的系统在控制理论的领域中一直成为被关注的焦点，即倒立摆系统。 倒立摆的特点为支点在下，重心在上，是一种非常快速并且不稳定的系统。但正由于它本身所具有的这种特性，许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性和系统抗干扰能力等等，都可以通过倒立摆系统实验直观的表现出来。因此在欧美等许多发达国家的高等院校中，倒立摆系统已经成为必备的控制理论教学实验设备。学生们可以通过倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常的直观、简便，更容易对课程加深理解。 倒立摆装置被公认为自动控制理论中的典型实验设备，也是控制理论教学中不可多得的典型物理模型。它深刻揭示了自然界的一种基本规律，即一个自然不稳定的被控对象，运用控制手段可使之具有良好的稳定性。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象[1-4]。通过对倒立摆系统的研究，不仅可以解决控制中的理论问题，还能将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、数学和电学（含计算机）有机的结合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。在多种控制理论与方法的研究与应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法得到有效的经验，倒立摆为此提供了一个从控制理论通往实践的桥梁。所以，研究倒立摆系统对以后的教育研究领域具有非常深远的影响。 本文为建立倒立摆系统的数学研究模型，在熟悉线性系统的基本理论和非线性系统线性化的基本方法的基础上确定研究的系统方案和实施的控制方法，通过MATLAB软件对其进行编程，以达到完成倒立摆的仿真实验，实现了倒立摆的平衡控制。 单级倒立摆经典控制系统 摘要：倒立摆控制系统虽然作为热门研究课题之一，但见于资料上的大多采用现代控制方法，本课题的目的就是要用经典的方法对单级倒立摆设计控制器进行探索。本文以经典控制理论为基础，建立小车倒立摆系统的数学模型，使用PID控制法设计出确定参数(摆长和摆杆质量)下的控制器使系统稳定，并利用MATLAB软件进行仿真。 关键词：单级倒立摆；经典控制；数学模型；PID控制器；MATLAB 1绪论 自动控制理论是研究自动控制共同规律的技术科学。它的发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，并主要用于工业控制。 控制理论在几十年中，迅速经历了从经典理论到现代理论再到智能控制理论的阶段，并有众多的分支和研究发展方向。 1.1经典控制理论 控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。 至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道。 1.2倒立摆 1.2.1倒立摆的概念 图1 一级倒立摆装置 倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂、多变量、存在严重非线性、非自治不稳定系统。 2013年全国大学生电子设计竞赛简易旋转倒立摆及控制装置(C题) 【本科组】 2013年9月7日 摘要 本题要求设计一个简易旋转倒立摆及控制系统，其中角度传感器、步进电机和单片机890C521是系统核心部件。系统接收角度传感器反馈的信号，通过PCF8591将接收的信号转换成数字信号，将数值送入单片机中进行计算，可得出摆杆的位置，进而单片机控制步进电机,对摆杆进行控制,达到所要的旋转或者倒立的控制目标。 关键词：简易旋转倒立摆步进电机单片机角度传感器 目录 1 设计任务及要求..................................................... 1.1 设计任务.................................................... 1.2 基本要求................................................... 2主控制器件的论证与选择............................................. 2.1控制器选用 .................................................. 2.2控制系统方案选择 ............................................ 2.3角度的获取模块论证与选择 .................................... 2.4步进电机及其驱动模块的选择 .................................. 2.5 AD/DA的选择 ................................................ 3 系统的硬件设计..................................................... 3.1总体电路框图 ................................................ 图3-1 系统框图..................................... 错误!未定义书签。 3.2系统电路与程序设计 .......................................... 3.2.1 STC89C52单片机最小系统............................... 3.2.2 PCF8591模块图如图3-2。............. 错误!未定义书签。 3.3.3 模块芯片TB6560AHQ原理图如图3-3。.................... 3.3.4 供电电源............................................. 4系统软件总体设计框图.............................. 错误!未定义书签。 5 测试方案与测试结果................................................. 6 总结............................................................... 参考文献............................................................. 附录................................................................. 基于stm32的旋转倒立摆 所在院系：工程训练中心 作者：岳伟杨博古元芮2017.7.21 基于stm32的单级旋转倒立摆控制系统的设计与实现 摘要 本文对单级旋转倒立摆的控制系统进行了研究，提出了以STM32F103为核心的控制器设计，在控制策略上采用经典控制理论PID的控制算法，实现对单级旋转倒立摆旋转臂及摆杆的同时闭环控制，通过传感器采集摆杆的状态数据，实时调整直流电机的转向和转速，以调整摆臂的角度，使摆杆恢复到动态平衡状态。在非平衡状态下，通过传感器的实时检测，能够通过功能键设计，使摆杆能稳定到一定的角度。最终测试结果表明系统控制策略有效。 关键词：STM32F103；直流减速电机；增量式PID 1引言 倒立摆控制系统是自动控制理论的重要研究平台，可对应于火箭垂直发射控制技术，因此对它的研究具有重大的实践意义和价值。目前对倒立摆的研究主要分为系统力学分析及建模，控制算法及仿真，而对实现手段少有研究。文章讨论了以STM32为核心的倒立摆控制器的设计与实现，它实现了经典双回路PID控制算法对旋转单级倒立摆的控制策略。 2方案设计与论证 2.1总体方案描述 整个系统分为系统模块、编码器模块、电机驱动模块、电机模块、电源模块、键盘模块、显示模块。各模块的系统框图如图1.1所示。 图 1.1 系统框图 2.2方案比较与选择 2.2.1芯片控制模块 方案一：采用传统的51系列单片机。 传统的51单片机为8位机，价格便宜，控制简单，但是运算速度慢，片内资源少，存储容量小，难以存储大体积的程序和实现快速精准的反应控制。并且受时钟限制，计时精度不高，外围电路也增加了系统的不可靠性。 方案二: 采用stm32f103单片机 stm32f103单片机，具有功能强大、效率高的指令系统，以及高性能模拟技术及丰富的外围模块。方便高效的开发环境使操作更加简便，低功耗是其它类单片机难以比拟的，集成度较高，编程相对简单。 综上，选择了性能跟好的stm32f103单片机。 2.2.2电机选择 方案一：普通直流伺服电机 普通直流伺服电机有价格低使用简单等优点，但其扭矩较小，可控性差，此系统要求控制精度高速度快，直流电机则不能满足要求。 开题报告填表说明 1.开题报告是毕业设计（论文）过程规范管理的重要环节，是培养学生严谨务实工作作风的重要手段，是学生进行毕业设计（论文）的工作方案，是学生进行毕业设计（论文）工作的依据。 2.学生选定毕业设计（论文）题目后，与指导教师进行充分讨论协商，对题意进行较为深入的了解，基本确定工作过程思路，并根据课题要求查阅、收集文献资料，进行毕业实习（社会调查、现场考察、实验室试验等），在此基础上进行开题报告。 3.课题的目的意义，应说明对某一学科发展的意义以及某些理论研究所带来的经济、社会效益等。 4.文献综述是开题报告的重要组成部分，是在广泛查阅国内外有关文献资料后，对与本人所承担课题研究有关方面已取得的成就及尚存的问题进行简要综述，并提出自己对一些问题的看法。 5.研究的内容，要具体写出在哪些方面开展研究，要突出重点，实事求是，所规定的内容经过努力在规定的时间内可以完成。 6.在开始工作前，学生应在指导教师帮助下确定并熟悉研究方法。 7.在研究过程中如要做社会调查、实验或在计算机上进行工作，应详细说明使用的仪器设备、耗材及使用的时间及数量。 8.课题分阶段进度计划，应按研究内容分阶段落实具体时间、地点、工作内容和阶段成果等，以便于有计划地开展工作。 9.开题报告应在指导教师指导下进行填写，指导教师不能包办代替。 10.开题报告要按学生所在系规定的方式进行报告，经系主任批准后方可进行下一步的研究（或设计）工作。 一、课题的目的意义： 倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。 理论是工程的先导，倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走类似倒立摆系统，尽管第一台机器人在美国问世以来已有几十年的历史，但机器人的关键技术至今仍未很好解决。由于倒立摆系统的稳定与空间飞行器控制和各类伺服云台的稳定有很大相似性，也是日常生活中所见到的任何重心在上、支点在下的控制问题的抽象。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。 文献综述（分析国内外研究现状、提出问题，找到研究课题的切入点，附主要参考文献，约2000字）： 倒立摆系统的最初分析开始于二十世纪五十年代，是一个比较复杂的不稳定，多变量，带有强耦合特性的高阶机械系统。倒立摆系统存在严重的不确定性，一方面是系统的参数的不确定性，一方面是系统受到不确定因素的干扰。其控制方法和思路在处理一般工业过程中有很广泛的用途，此外，其相关的研究成果也在航天科技和机器人学习方面得到了大量的应用，如机器人行走过程中平衡控制，火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等，因此，倒立摆系统是进行控制理论研究的理想平台。 倒立摆是机器人技术﹑控制理论﹑计算机控制等多个领域﹑多种技术的有机结合，其被控 简易旋转倒立摆及控制装置设计报告及总结 摘要 倒立摆系统机理的研究不仅具有重要的理论价值，而且具有重要的现实意义，是控制类中经久不衰的经典题型。本题中，简易旋转倒立摆，在C8051F040单片机的基础上，使用ZGB42FM直流减速电机，BTN7971B电机驱动，可变电阻（角度传感器），机械摆杆等模块。通过编写、烧入程序，调控硬件协调工作，使摆杆首先实现一定角度的转动，再完成圆周运动，以及保持竖直向上的倒立状态。用以满足题目的基本要求,进而深一步探究倒立摆在保持运动姿态方面的发展与应用。 关键字：单片机，倒立摆，摆杆，可变电阻。 引言：本题整体上只由一个电机A 提供动力，电机直接控制旋转臂C 做往复旋 转运动，而通过转轴D 连接在旋臂C 上的摆杆E 是非常灵活的。旋臂C 转动一定角度时，摆杆E 由于向心力会使摆杆E 继续向上旋转，以达到E 杆转动一个角度的效果。相似，当C 的转动速度比较快，停下后，E 下端处的速度和向心力都比较大，能够使E 杆完成圆周运动。 为了使摆杆能够倒立，就要求摆杆转动到上半圆周面时，要通过单片机控制电机A 不断的调整使旋转臂C 转动多个角度，尽量的使摆杆E 与竖直面的角度变小，并能够受力平衡，这样就可以保持一段时间的倒立状态。为达到角度的调整，就要测量出E 杆与竖直面间的角度差，经过单片机的控制，使电机A 做出相应的旋转动作，减小这个角度差。 1、方案设计与讨论： 1.1结构框图 1.2方案论证： 1.21控制器模块 本题，单片机只要接收来自传感器的信号，向电机驱动输入信号处理后计算出的高低电平即可。 方案一：用ATMEL 公司生产的AT89S52单片机，低功耗，高性能CMOS 8位处理器，使用广泛,算法较为简单，但是在执行复杂动作时，处理速度不够高。 方案二:用宏晶公司生产的STC89C52RC 单片机，STC 的单片机性能与ATMEL 的单片机相似，但是价格相对便宜。缺点是易受潮湿影响，在调用子程序是频繁出错。 方案三:使用C8051F 单片机该芯片与标准的8051芯片兼容，拥有高速指令处理能力，增加了中断源，复位源，内部有两个12位的ADC 子系统，有JTAG 调试和边界扫描，片内集成的SPI 接口，方便系统外设扩展。 单片机 电机驱动 执行电机 摆杆 角度传感器2013大学生电子设计大赛简易旋转倒立摆及控制装置(C题 )
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