6.7一次函数图像的平移对称旋转问题

一次函数图象的平移变换问题的探究

求一次函数图象平移后的解析式是一类重要题型，在各省市中考试题频繁亮相.在一次函数

y kx b =+中常数k 决定着直线的倾斜程度：直线111y k x b =+与直线222y k x b =+平行?12k k =.

一、一次函数平移的三种方式：

⑴上下平移：在这种平移中，横坐标不变，改变的是纵坐标也就是函数值y .平移规律是上加下减.

⑵左右平移：在这种平移中，纵坐标不变，改变的是横坐标也就是自变量x .平移规律是左加右减.

⑶沿某条直线平移：这类题目稍有难度.“沿”的含义是一次函数图象在平移的过程中与沿着的那条直线的夹角不变.解题时抓住平移前后关键点坐标的变化. 二、典型例题：

所谓平移变换就是在平面内，

.经过平移后的图形与原来的图形相比大小、形状不变，只是位置发生了变化.简单的点P （x ，y ）平移规律如下：

（1）将点P （x ，y ）向左平移a 个单位，得到P 1（x －a ，y ） （2）将点P （x ，y ）向右平移a 个单位，得到P 2（x+a ，y ） （3）将点P （x ，y ）向下平移a 个单位，得到P 3（x ，y －a ）

（4）将点P （x ，y ）向上平移a 个单位，得到P 4（x ，y+a ）反之也成立.

下面我们来探索直线的平移问题.

【引例1】探究一次函数l ：y=

32x 与1l ：y=32x+2，2l ：y=3

2

x －2的关系. .

【拓广】：一般地，一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx 的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移b 个单位长度得到的一条直线.

2

l x

【应用】：例1、（08上海市）在图2中，将直线OA 向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．

练习1. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 2. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线 3. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x 的直线是____ _____。 4. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是___________. 5.一次函数的图像与y=2x-5平行且与x 轴交于点（-2,0）求解析式。

平移的规律 两种方法 642y = 2?x + 3

y = 2?x 1

【引例2】探究一次函数l ：y=

32x 与1l ：y=32（x+3），2l ：y=3

2

（x －3）的关系. 【探究】观察引例1与引例2中的3个函数的解析式，经过变形我们可以发现他们是完全相同的，因而，画

出3个函数的图象仍然是图1的情况.从位置上看，它们是3条平行的直线.（这是因为它们的k 值相同）；从数量上看，对于同一因变量的取值（不妨取y=0，即直线与x 轴的交点），可以看出直线1l 在直线l 的左方3个单位处，直线2l 在直线l 的右方3个单位处，因此，一次函数1l ：y=3

2

（x+3）的图象可以看作是由正比例函数l ：y=

32x 的图象沿x 轴向左平移3个单位得到的；一次函数2l ：y=3

2

（x －3）的图象可以看作是由正比例函数l ：y=32

x 的图象沿x 轴向右平移3

个单位得到的. 【拓广】：一般地由正比例函数y=kx 的图象沿x 轴向左平移m （m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k （x+m ）=kx+km ；沿x 轴向右平移m （m>0）个单位，得到的一次函数解析式为y=k （x －m ）=kx －km ；

综合上述归纳推广可以发现，直线上下平移时，影响的y 值的变化，直线左右平移时影响x 值的变化.

【应用】：武汉市）⑴点（0，1）向下平移2个单位后的坐标是 ，

x

直线21y x =+向下平移2个单位后的解析式是 ； ⑵直线21y x =+向右平移2个单位后的解析式是 ；

⑶如图，已知点C 为直线y x =上在第一象限内一点，直线21y x =+交y 轴于点A ，交x 轴于B ，将直线

AB 沿射线OC 方向平移

1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。

2. 直线y=-x-2向右平移2个单位得到直线

3. 直线y=

21

x 向右平移2个单位得到直线 4. 直线y=22

3

+-x 向左平移2个单位得到直线

11．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得函数是____________； 12．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上， 则a=____________；

求一次函数解析式----对称

若直线2l 与直线1l y k x b =+关于

（1）x 轴对称，则直线2l 的解析式为y kx b =--

解：设直线2l 上的某一点A （x,y ）,则点A 关于x 轴对称的点一定在直线1l y k x b =+上， 假设是点B ，那么B 点的坐标是（x, -y ）,然后把点B 的坐标值代入它所在的 直线1l y k x b =+上，即得2l 的解析式为y kx b =-- （2）y 轴对称，则直线2l 的解析式为y kx b =-+

（3）原点对称，则直线2l 的解析式为y k x b =-

（4）直线y ＝x 对称，则直线2l 的解析式为y k x b

k

=-1

（5）直线y x =-对称，则直线2l 的解析式为y k x b k

=+1

（6）直线y ＝2对称，则直线2l 的解析式为?

15.已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于y 轴对称，求k 、b 的值。

16.已知直线y=kx+b 与直线y= -3x+7关于x 轴对称，求k 、b 的值。

二次函数图像平移习题

二次函数图像平移习题 1．要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 2将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为223y x x =-+，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 4.已知二次函数21(11)y x bx b =-+-≤≤，当b 从-1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（ ） A. 先往左上方移动，再往右下方移动 B.先往左下方移动，再往左上方移动 B.先往右上方移动，再往右下方移动 D.先往右下方移动，再往右上方移动 5.把二次函数2 x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y C. ()522---=x y D. ()522-+-=x y 6．对于抛物线22 (2)34(2)1y x y x =-+=-+与，下列叙述错误的是（ ） A.开口方向相同 B. 对称轴相同 C. 顶点坐标相同 D. 图象都在x 轴上方 7.已知二次函数的图像过点（0，3），图像向左平移2个单位后的对称轴是y 轴，向下平移1个单位后与x 轴只有一个交点，则此二次函数的解析式为 。 8．关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 （ ） （A ）1k >- （B ）1k >- （C ）0k ≠ （D ）10 k k >-≠且

二次函数(旋转-折叠)

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移） 1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式． （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．

2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上． （1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．

3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中， （1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为； （2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标； （4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题： （1）求出该抛物线所表示的函数解析式； （2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由； （3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

二次函数图像的平移、旋转、对称

一、抛物线的变化的实质练习 （一）平移 1、y=－8x2的顶点坐标为；所以沿y轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为，顶点坐标为。 2、y=7(x－2)2的顶点坐标为；所以将抛物线y=7(x－2)2向左平移2个单位所得的抛物线的顶点是，函数关系式是：。 3、y=－3x2的顶点坐标为；所以将抛物线y=－3x2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线的顶点是，解析式是。 （二）旋转 1、y=x2+2x+3的顶点是，将抛物线y=x2+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 2、y=2x2﹣12x+16的顶点是。将抛物线y=2x2﹣12x+16绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的顶点是，解析式是 （三）轴对称 1、将抛物线C：y=x2+3x﹣10，的顶点是；将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，对称后的顶点为；则下列平移方法中正确的是（） A．将抛物线C向右平移个单位B．将抛物线C向右平移3个单位C．将抛物线C向右平移5个单位D．将抛物线C向右平移6个单位 二、练习： 1、将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是 1.1将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 2、把二次函数y=x2的图象沿着x轴向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到的函数图象的解析式为 2.1在平面直角坐标系中，如果抛物线y=3x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是 3、抛物线y=﹣6x2可以看作是由抛物线y=﹣6x2+5按下列何种变换得到（）

新教材高中数学必修第一册第4章 4.2.2指数函数的图象和性质(一)

4．2.2指数函数的图象和性质(一) 学习目标 1.掌握指数函数的图象和性质. 2.学会利用指数函数的图象和性质求函数的定义域、值域．

知识点指数函数的图象和性质 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表： 预习小测自我检验 1．函数y＝(3－1)x在R上是________函数．(填“增”“减”) 答案减 2．函数y＝2－x的图象是________．(填序号)

答案 ② 3．函数f (x )＝????131－x 的定义域为________． 答案 R 4．函数f (x )＝2x ＋3的值域为________． 答案 (3，＋∞) 一、指数函数的图象及应用 例1 (1)函数y ＝a x －1 a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )

答案 D (2)函数f (x )＝1＋a x － 2(a >0，且a ≠1)恒过定点________． 答案 (2,2) (3)已知函数y ＝3x 的图象，怎样变换得到y ＝????13x ＋1 ＋2的图象？并画出相应图象． 解 y ＝????13x ＋1 ＋2＝3 －(x ＋1)＋2. 作函数y ＝3x 关于y 轴的对称图象得函数y ＝3－x 的图象，再向左平移1个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)的图象，最后再向上平移2个单位长度就得到函数y ＝3－(x ＋1)＋2＝????13x ＋1 ＋2的图象，如图所示． 反思感悟 处理函数图象问题的策略

(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 跟踪训练1(1)已知0

超经典二次函数图象的平移和对称变换总结

二次函数图象的几何变换 内容基本要求略高要求较高要求 二次函数 1.能根据实际情境了解 二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二 次函数的图像； 1.能通过对实际问题中 的情境分析确定二次函 数的表达式； 2.能从函数图像上认识 函数的性质； 3.会确定图像的顶点、 对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图 像求出二次方程的近似 解； 1.能用二次 函数解决简 单的实际问 题； 2.能解决二 次函数与其 他知识结合 的有关问 题； 一、二次函数图象的平移变换 （1）具体步骤： 先利用配方法把二次函数化成2 () y a x h k =-+的形式，确定其顶点(,) h k，然后做出二次函数2 y ax =的图像，将抛物线2 y ax =平移，使其顶点平移到(,) h k.具体平移方法如图所示： （2）平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”.

二、二次函数图象的对称变换 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+-； ()2 y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式-教师版

运用平移、对称、旋转求二次函数解析式 一、运用平移求解析式 1．将二次函数223y x x =-++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 22314y x x x =-++=--+，所以平移后的解析式为22y x =-+ 2．将抛物线2y x bx c =++先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线221y x x =-+，求b 、c 的值． 【答案】因为()22211y x x x =-+=-，所以平移前的解析式为：()2 33y x =-- 所以可得6b =-，6c = 3．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()10A ，，()30B ，，且过点()03C -，，请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y x =-上，并写出平移后抛物线的解析式． 【答案】可得()()13y a x x =--，代入()03C -， ，可得1a =-， 所以()()()2 2134321y x x x x x =---=-+-=--+，所以顶点为()21，， 向左平移3个单位得到()211y x =-++ 二、运用对称求解析式 4．将抛物线()214y x =--沿直线32 x = 翻折，得到一个新抛物线，求新抛物线的解析式． 【答案】可得顶点()14-，，顶点翻折后得到()24-，，所以新抛物线解析式为()224y x =-- 5．如图，已知抛物线1C ：2216833 y x x = ++与抛物线2C 关于y 轴对称，求抛物线2C 的解析式．

【答案】因为()2221628843333y x x x =++=+-，顶点为843??-- ?? ?，，关于y 轴对称后顶点为 843??- ?? ?，，所以对称后的解析式为：()2228216483333y x x x =--=-+ 三、运用旋转求解析式 6．将抛物线221y x x =-+的图象绕它的顶点A 旋转180°，求旋转后的抛物线的解析式． 【答案】因为()2 2211y x x x =-+=-，顶点()10A ，，旋转180°即为沿x 轴翻折后对称 所以()21y x =--

二次函数平移规律

二次函数平移专项练习题 平移规律：针对顶点式抛物线的解析式是“左加右减（括号内），上加下减” 要注意如果知道了顶点坐标在移动时是“左减右加” ｜a ｜的大小决定抛物线开口的大小,｜a ｜越大,抛物线的开口越小. a>0时 抛物线开口向上，反之向上 c>0时 抛物线交y 轴于正半轴，反之在负半轴 a 、 b 同号时 对称轴在y 轴左侧，异号时在右侧 抛物线平移时只有二次项系数a 是不变的 1、 把抛物线2y x =-向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛 物线的表达式为（ ） A. 2(1)3y x =--+ B. 2(1)3y x =-++ C. 2(1)3y x =--- D. 2(1)3y x =-+- 根据左加右减、上加下减可得：B. 2(1)3y x =-++ 2、将函数2y x x =+的图像向右平移(0)a a >个单位，得到函数232y x x =-+的图像，则a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 由：2 y x x =+=-（x+21）2-41 232y x x =-+=(x-23)2-4 1 得：a=21-（-23）= 2 ，所以选B 3、抛物线2y x bx c =++的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图像的函数解析式为y=x 2-2x-3，则b 、c 的值为（ ） A.b=2，c=3 B.b=2，c=0 C.b=-2.，c=-1 D.b=-3，c=2 由y=x 2-2x-3=(x-1)2 -4，

再根据左加右减、上加下减可得平移前的解析式为： y=(x+2-1)2-4+3=x 2 +2x 所以：b=2 c=0 4、要从抛物线y=-2x 2的图象得到y=-2x 2-1的图象，则抛物线y=-2x 2必须 [ ] A ．向上平移1个单位； B ．向下平移1个单位； C ．向左平移1个单位； D ．向右平移1个单位． 根据上加下减可得：B 5、将抛物线y=-3x 2的图象向右平移1个单位，再向下平移两个单位后，则所得抛物线解析式为 [ ] A ．y=-3(x-1)2-2； B ．y=-3(x-1)2+2； C ．y=-3(x+1)2-2； D ．y=-3(x+1)2+2． 根据左加右减、上加下减可得：A ．y=-3(x-1)2-2； 6、要从抛物线212y x =-得到21(1)32y x =-+-的图像，则抛物线y=-21x 2必须[ ] A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位； B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位； C ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位； D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位． 根据左加右减、上加下减可得：B ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 7. 把二次函数2x y -=的图象先向右平移2个单位，再向上平移5个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是 ( ) A. ()522+--=x y B. ()522++-=x y

二次函数平移旋转轴对称变换

二次函数专题训练（平移、旋转、轴对称变换） 一、二次函数图象的平移、旋转（只研究中心对称）、轴对称变换 1、抛物线的平移变换：一般都是在顶点式的情况下进行的。 ±m 练习：（1）函数图象沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到函数__________________的图象。 （2）抛物线225y x x =-+向左平移3个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的解析式是。 2、抛物线的旋转变换（只研究中心对称）：一般都是在顶点式的情况下进行的。 （1）将抛物线绕其顶点旋转180?（即两条抛物线关于其顶点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+。 （2）将抛物线绕原点旋转180?（即两条抛物线关于原点成中心对称） ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-。 练习：（1）抛物线2246y x x =-+绕其顶点旋转180?后，所得抛物线的解析式是 （2）将抛物线y ＝x 2＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为() A ．y ＝－x 2 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝x 2－1 D ．y ＝－x 2－1 3、抛物线的轴对称变换： 关于x 轴对称 2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 练习：已知抛物线C 1：2(2)3y x =-+ （1）抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，则抛物线C 2的解析式为 （2）抛物线C 3与抛物线C 1关于x 轴对称，则抛物线C 3的解析式为 总结：根据平移、旋转、轴对称的性质，显然无论作何种变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变。 二、二次函数的系数与图象的关系。 热身练习：1、抛物线y=ax 2+bx+c 的开口方向与有关。 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的对称轴是.

指数函数单调性的判断

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 （2）指数函数的值域为大于0的实数集合。 （3）函数图形都是下凹的。 （4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。 （5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y 轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。 （6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。 （7）函数总是通过（0，1）这点,(若y=a^x+b,则函数定过点(0,1+b) （8）显然指数函数无界。 （9）指数函数既不是奇函数也不是偶函数。 （10）当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 底数的平移： 对于任何一个有意义的指数函数： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。 即“上加下减，左加右减” 底数与指数函数图像： （1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。 幂的大小比较： 比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。例如：y1=3^4,y2=3^5，因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于4，所以y2大于y1. （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：y1=1/2^4,y2=3^4,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而y2上升，在x等于4时，y2大于y1. （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。如： <1> 对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

一元二次方程,二次函数,旋转,圆练习进步

九年级上册复习 （一）一元二次方程： 一元二次方程的认识： 1、把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________,其二次项系数是__, 一次项系数是__ _ 常数项是____. 2、方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x的一元二次方程，则m=( ) 3、用直接开平方法：(x+2)2=９ 4、用配方法解方程4x2-8x-5=0 5、用公式法解方程3x2=4x+7 6、用分解因式法解方程（y+2)2=3(y+2） 7、解下列方程 1、(x+5)(x-5)=7 2. x(x-1)=3-3x 3. x2-4x+4=0 4、3x2+x-1=0 5. x2+6x=8 6、m2-10m+24=0 8方程x2-4x+4=0根的情况是（） 9如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有实数根，那么k的取值范围是（） 10若方程x2-(k+1)x+k=0两个实数根互为相反数，则k=___ 11、求证关于x的方程x2-（m-2）x-2m-1=0总有两个不相等的实数根 12、x1、x2 是方程x2-（m-2）x-2m-1=0的两个根。且x12 + x22 =10，求m的值 13、若一元二次方程x2-10x+21=0的两根恰好是一等腰三角形的两边，则该三角形的周长是( ) .

14、已知a2+3a-1=0则2a2+6a-3=_____ 15、某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，已知两次降价百分率相同，求两次降价的百分率。 16 求这个百分数。 17、某水果批发商场经销一种高档水果 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？商场最多每天可赚多少钱？ 18、百货大搂服装柜在销售中发现：“七彩”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“元旦”，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 19、如图是宽为20米,长为32米的矩形耕地,要修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,且互相垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验地的面积为570平方米,问:道路宽为多少米? 20、某服装店花2000元进了批服装，按50%的利润定价，无人购买。决定打

对数函数图像和性质-函数专题平移和变换

函数专题：对数函数图象及其性质（1） 学习目标： 1．知道对数函数的定义 2．能够画出对数函数图象及并通过图象研究函数基本性质 3．会求简单的与对数有关的复合函数的定义域 4.掌握通过图象比较两个对数的大小的方法 学习重点：对数函数的图象、性质及其应用 学习过程： 一、复习引入： 1、指对数互化关系： 2、 )10(≠>=a a a y x 且 的图象和性质 3、我们曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y 是分裂次数x 的 函数，这个函数可以用指数函数y =x 2表示现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞? 二、新课学习： 1．对数函数的定义： 一般地，形如y=a log x （a ＞0且a ≠1）的函数叫对数函数。 练习：判断以下函数是对数函数的为（D ） 2A log (32)y x =-、(1)B log x y x -=、2 13 C log y x =、 D ln y x =、 2．对数函数的图象研究： 画出下列函数的图象2()log f x x =， 12 ()log f x x =图像略

3．对数函数的性质： 分析说明： 根据定义知，指数函数和对数函数互为反函数，所以定义域值域互换可得；图像关于y=x 直线对称，所以对数函数的性质及图像就一目了然了。 三、知识应用： 例1：求下列函数的定义域： （1）2 log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）y = 练习：（1）5log (1)y x =- （2）21log y x = 例2. 比较下列各组数中的两个值大小 （1）22log 3.4,log 8.5 （2）0.30.3log 1.8,log 2.7 （3）log 5.1, log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1） 32(4)log 5, log 5 解析技巧： 对数比较大小的步骤：1.与0比其乐无穷满足口诀“同步为正，不同步为负” 2.与1比其乐融融 满足口诀“每个对数换为a log a 比较” 3.同底比~ 应用公式“换底公式①、②” 四、思考： 2 (1)a x ax -+函数f(x)=log 的定义域为R ，求的取值范围？2

二次函数中的旋转平移对称变换

二次函数中的旋转、平移、对称变换 2 1、如图，已知抛物线 y=x+bx+c 经过A （1，0），B （0，2）两点，顶点为D 。 （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB 绕点A 顺时针旋转90°后，点B 落到点C 的位置，将抛物线沿y 轴平移后经过点C ，求平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y 轴的交点为B ，顶点为D ，若点N 在平移后的抛物线11 上，且满足△NBB 的面积是△NDD 面积的2倍，求点N 的坐标。 11 2 ），，2），B （0，解：（1）已知抛物线y=x+bx+c 经过A （10 2 -3x+2；∴y=x ，解得，∴所求抛物线的解析式为（2）∵A （1，0） ，B （0，2），∴OA=1，OB=2， 2 ，-3x+2得y=2x=33，1），当时，由y=x 可得旋转后C 点的坐标为 （ 2 2），y=x-3x+2过点（3，可知抛物线 ，y 轴向下平移1个单位后过点C ∴将原抛物线沿2 y=x-3x+1； ∴平移后的抛物线解析式为：22 点坐标为（+1），x ，x-3x-3x+1）∵点（3N 在y=x 上，可设N 000 2 -3x+1将y=x ，∴其对称轴为配方得，

时，如图①， ）；的坐标为（N1，-1此时∴点 ②当时，如图②， 同理可 得． ），N的坐标为（3， 1此时∴点）或（3，1）。综上，点 N的坐标为（1，-1 m（，1）如图所示放置，点2、在平面直角坐标系中，矩形OABCA在x轴上，点B的坐标为（m ，得到矩形OA′B′C′．，将此矩形绕＞0）O点逆时针旋转90°、C′的坐标；（1）写出点A、A′可用含cb（2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、、的式子表示）m）中的抛物线上？D（3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点是否可能落在（2 若能，求出此时m的 值．

二次函数图像与性质总结

二次函数图像与性质总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质： y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.

二次函数中的旋转、平移、对称变换

二次函数中的旋转、平移、对称变换 1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D。 （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式； （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标。 解：（1）已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）， ∴，解得，∴所求抛物线的解析式为y=x2-3x+2； （2）∵A（1，0），B（0，2），∴OA=1，OB=2， 可得旋转后C点的坐标为（3，1），当x=3时，由y=x2-3x+2得y=2， 可知抛物线y=x2-3x+2过点（3，2）， ∴将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C， ∴平移后的抛物线解析式为：y=x2-3x+1； （3）∵点N在y=x2-3x+1上，可设N点坐标为（x0，x02-3x0+1）， 将y=x2-3x+1配方得，∴其对称轴为， 时，如图①， 此时∴点N的坐标为（1，-1）； ②当时，如图②， 同理可得

此时∴点N的坐标为（3，1）， 综上，点N的坐标为（1，-1）或（3，1）。 2、在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B的坐标为（m，1）（m ＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′． （1）写出点A、A′、C′的坐标； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c可用含m的式子表示） （3）试探究：当m的值改变时，点B关于点O的对称点D是否可能落在（2）中的抛物线上？若能，求出此时m的值． 解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（m，1）（m＞0）， ∴A（m，0），C（0，1）， ∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成， ∴A′（0，m），C′（-1，0）； （2）设过点A、A′、C′的抛物线解析式为y=ax2+bx+c， ∵A（m，0），A′（0，m），C′（-1，0）， ∴，解得， ∴此抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； （3）存在． ∵点B与点D关于原点对称，B（m，1）， ∴点D的坐标为：（-m，-1）， ∵抛物线的解析式为：y=-x2+（m-1）x+m； 假设点D（-m，-1）在（2）中的抛物线上， 则y=-（-m）2+（m-1）×（-m）+m=-1，即-2m2+2m+1=0， ∵△=22-4×（-2）×1=12＞0， ∴此点在抛物线上，解得m=或m=（舍去）． 3、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB

初中数学二次函数图像的平移

二次函数图象的平移 【知识要点】 1．二次函数()02≠+=a c ax y 的图象画法． 方法一，用“列表、描点、连线”方法来画； 方法二，将二次函数()20y ax a =≠的图象向上平移c 个单位. 2．二次函数()02≠+=a c ax y 的性质 二次函数 02 3．利用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解有关简单的实际问题. （1）根据题意建立二次函数关系式，并注意其定义域； （2）应用二次函数()02 ≠+=a c ax y 的性质解决相关的实际问题. 4．y=ax 2 +bx+c 配成顶点式的一般步骤： 【经典例题】 例1 （1）在同一直角坐标系中，分别画出下列函数的图象．221x y -=，2212+-=x y ，12 1 2--=x y .

（2）在同一坐标系中画出函数y=x 2，y=(x+1)2，y=(x －2)2 的图像，并说出它们的位置关系。 例2 如图，一次函数b ax y +=2与二次函数b ax y -=2在同一坐标系中的图象是（ ）. 例3 （1）抛物线y=23 12 +x 的顶点坐标是 ，对称轴是 。 （2）y=2x 2 +5的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口方向 ，当x= 时，y 有最 值为 ，这是由y=2x 2 得到的。 （3）y=－8x 2 沿y 轴向上平移4个单位得y= ，其对称轴为 ，顶点坐标为 。 （4）已知函数y=ax 2 与函数y=－2 3 2x +c 的图象形状相同，且将抛物线y=ax 2沿对称轴平移2个单位就得到与抛物线y=－ 2 3 2x +c 完全重合，则a= ，c= （5）一条抛物线其形状与抛物线y=2x 2 相同，对称轴与抛物线y=(x －2)2 相同，且顶点的纵坐标是3，则这条抛物线的函数解析式是 。 （6）将抛物线y=7(x －2)2 向左平移2个单位所得的抛物线的函数关系式是： 。 （7）函数y=(3－2x)2 －2有最 值，当x= 时，这个值等于 。 例5 直接说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。 （1）y=2(x+3)2 +5 （2）y=－3(x －1)2 －2 （3）y=4(x －3)2 +7 （4）y=－5(x+2)2 －6 O A O B O C O D

(完整版)二次函数平移旋转总归纳及二次函数典型习题.doc

二次函数图像平移、旋转总归纳 一、二次函数的图象的平移，先作出二次函数y=2x 2 +1 的图象 ①向上平移 3个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2+4 ； ②向下平移 4个单位，所得图象的函数表达式是：y=2x 2-3 ； ③向左平移 5个单位，所得图象的函数表达式是：y=2 （x+5 ）2 +1 ； ④向右平移 6个单位，所得图象的函数表达式是：y=2 （x-6 ）2+1 ． 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+c 向上平移 m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2 +c+m ； 向下平移 m 个单位，所得图象的函数表达式是:y=ax 2 +c-m ； 向左平移 n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （ x+n ）2 +c ； 向右平移 n 个单位，所得图象的函数表达式是:y=a （ x-n ）2 +c ， 二、二次函数的图象的翻折 在一张纸上作出二次函数 y=x 2 -2x-3 的图象， ⑤沿 x 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是:y=x 2+2x-3 ． ⑥沿 y 轴把这张纸对折，所得图象的函数表达式是：y=x 2+2x-3 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+bx+c 若沿 x 轴翻折，所得图象的函数表达式是:y=-ax 2-bx-c ， 若沿 y 轴翻折，所得图象的函数表达式是：y=ax 2 -bx+c 三、二次函数的图象的旋转， 1 1 将二次函数 y=- 2x2+x-1的图象，绕原点旋转180°，所得图象的函数表达式是 y=2x2-x+1 ； 由此可以归纳二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象绕原点旋转 180 °，所得图象的函数表达式是 y=-ax 2-bx-c ．（备用图如下）

第三次课二次函数的平移翻折与旋转问题abc符号问题

二次函数的平移、翻折与旋转以及a、b、c符号问题 1、抛物线的一般式与顶点式的互化关系：y＝ax2＋bx＋c————→y＝a(x＋b 2a)2＋ 4ac－b2 4a 2、强调利用抛物线的对称性进行画图，先确定抛物线的顶点、对称轴，利用对称性列表、描点、连线。 3、抛物线的平移抓住关键点顶点的移动； 例题： 1、（2015?龙岩）抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式 是． 考点：二次函数图象与几何变换． 分析：根据旋转的性质，可得a的绝对值不变，根据中心对称，可得答案． 解答：解：将y=2x2﹣4x+3化为顶点式，得y=2（x﹣1）2+1， 抛物线y=2x2﹣4x+3绕坐标原点旋转180°所得的抛物线的解析式是y=﹣2（x+1）2﹣1，化为一般式，得 y=﹣2x2﹣4x﹣3， 故答案为：y=﹣2x2﹣4x﹣3． 点评：本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了中心对称的性质． 2、（2015?湖州）如图，已知抛物线C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则称抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是 和．

考点：二次函数图象与几何变换． 专题：新定义． 分析：连接AB，根据姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零，设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等边三角形，设OM=2，则点A的坐标是（1，），求出抛物线C1的解析式，从而求出抛物线C2的解析式． 解答：解：连接AB， 根据姐妹抛物线的定义，可得姐妹抛物线的二次项的系数互为相反数，一次项系数相等且不等于零，常数项都是零， 设抛物线C1的解析式为y=ax2+bx， 根据四边形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM， ∵OA=MA， ∴△AOM是等边三角形， 设OM=2，则点A的坐标是（1，）， 则， 解得： 则抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x， 抛物线C2的解析式为y=x2+2x， 故答案为：y=﹣x2+2x，y=x2+2x． w W w .x K b 1.c o M 点评：此题考查了二次函数的图象与几何变换，用到的知识点是姐妹抛物线的定义、二次函数的图象与性质、矩形的判定，关键是根据姐妹抛物线的定义得出姐妹抛物线的二次项的系数、一次项系数、常数项之间的关系．

二次函数图形的变化

二次函数教学设计 一、知识点复习 1、二次函数的一般形式是什么？顶点坐标呢？ 2、二次函数图像平移的规律是什么？ 设计意图：通过简单的知识点复习，引导学生将知识进行拓展。 二、知识提升 例1：若函数y ＝(m －3) 是二次函数，则m ＝______. 设计意图：本题其实是针对二次函数定义的练习，若此函数为二次函数，只要满足两点即可：一是最高项次数是2，二是最高项的系数不能为0。但此时，不妨借机引导学生升华知识，若函数为一次函数、反比例函数呢？ 跟踪训练 1、若函数 是一次函数， 则m ＝_____. 2、若函数 是反比例函数，则m ＝_____ 拓展提高 若函数 与x 轴只有一个交点，那么m 的值为多少？ 例2：将抛物线y ＝3x 2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为( ) A ．y ＝3(x －2)2－1 B ．y ＝3(x －2)2＋1 C ．y ＝3(x ＋2)2－1 D ．y ＝3(x ＋2)2＋1 设计意图：此题为二次函数图像平移的基础题，只要学生对二次函数图像平移的规律理解就能做，因此，可以借此复习二次函数图像的简单平移，同时引导学生，二次函数并不一定是顶点式，那么一般的二次函数怎么平移呢，进行知识上的升华。同时，也与点的平移进行区别。 跟踪训练 2213m m x ＋－4)1(222+-=-+m m x m y 122-+=m m mx y 121)2(2++++=m x m mx y

将抛物线y＝3x2向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线为( ) A．y＝3(x－2)2－1 B．y＝3(x－2)2＋1 C．y＝3(x＋2)2－1 D．y＝3(x＋2)2＋1 拓展提高 1、将抛物线y=x2-2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是什么？ 2、已知点A（－1， 2），将它先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点B，则点B的坐标是________ 三、课堂小结 四、当堂检测