2007年数学二试题分析、详解和评注
分析解答所用参考书：1.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学经典讲义（理工
类）》，简称经典讲义（人大社出版）. 2.黄先开、曹显兵教授主编的《2007考研数学历年真题题型解析》，简称真题（人大社出版）. 3.黄先开、曹显兵教授在2006强化辅导班上的讲稿.
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (1)当0x +→
(A)
1-
(B) ln
(C)
1.
(D) 1cos -. 【 】
【答案】 应选(B).
【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.
【详解】当0x +→
时，有1(1)~-=--
1~
；
2
111cos
~
.2
2
x -= 利用排除法知应选(B).
【评注】
本题直接找出ln
但由于另三个的等价无穷小
很容易得到，因此通过排除法可得到答案。事实上，
2
1ln(1)ln(1)
lim lim lim t
x x t x t t t
+
+
+
→→→++--=
=2
2
20
021
2(1)111lim lim 1.1(1)(1)
t t t
t t t t
t t t ++
→→+
-+++-==+-
完全类似例题见《经典讲义》P.28例1.63, 例1.64, 例1.65及辅导班讲义例1.6.
(2) 函数1
1
()tan ()()
x x e e x
f x x e e +=
-在[,]ππ-上的第一类间断点是x =
(A) 0. (B) 1. (C) 2
π
-
. (D)
2
π
. 【 】
【分析】 本题f (x )为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类
型。
【详解】 f (x )在[,]ππ-上的无定义点，即间断点为x =0,1,.2
π
±
又 1
1
1
10
0()tan tan lim lim 1(1)1()
x x x x x x e e x
x e e
x
x e e e e
-
-→→++=?=?-=---， 1
1
1
10
0()tan tan lim lim 111()
x
x x x x x e e x
x e e
x
x e e e e
+
+→→++=?=?=--， 可见x =0为第一类间断点，因此应选(A).
【评注】本题尽管可计算出1
2
lim (),lim ()x x f x f x π
→→±
=∞=∞，从而1,2
x π
=±
均为第二类间
断点，但根据四个选项的答案，已经确定x=0为第一类间断点后，后面三个极限问题事实上没必要再计算。
完全类似例题见《经典讲义》P.30例1.69, P.32例1.72及辅导班讲义例1.11.
(3)如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0
()().x F x f t dt =?
则
下列结论正确的是
(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4
F F =
. (C) )2(4
3)3(F F =
-. (D) )2(4
5)3(--
=-F F . 【 】
【答案】 应选(C).
【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1(2)2
F π=，
F (3)是两个半圆面积之差：2
21
13(3)[1()]228F πππ=
?-?==3(2)4
F ， ?
?
---==
-03
30
)()()3(dx x f dx x f F )3()(30
F dx x f ==
?
因此应选(C).
【评注1】 本题F (x )由积分所定义，应注意其下限为0，因此 2
00
2
(2)()()F f x dx f x dx ---=
=
-?
?
，也为半径是1的半圆面积。可知(A) (B) (D)均不成立.
【评注2】若试图直接去计算定积分，则本题的计算将十分复杂，而这正是本题设计的
巧妙之处。
完全类似例题见《经典讲义》P.152例7.15, 例7.16，例7.18及辅导班讲义例7.12
(4)设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0
()
lim
x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0
()()lim
x f x f x x
→+-存在，则f (0)=0. (C) 若0
()lim
x f x x
→存在，则(0)f '存在. (D) 若0
()()
lim
x f x f x x
→--存在，则(0)f '存在
【 】
【答案】 应选(D).
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算等进行分析讨论。
【详解】(A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f (0)=0. 若0
()lim
x f x x
→存在，则0
()(0)
()(0)0,(0)lim
lim
00
x x f x f f x f f x x
→→-'====-，可见(C)也正确，
故应选(D). 事实上，可举反例：()f x x =在x =0处连续，且
()()
lim
x f x f x x
→--=0
lim
0x x x x
→--=存在，但()f x x =在x =0处不可导.
重要知识点提示见《经典讲义》P.39，完全类似例题见P.41例2.1, P .42例2.6及P.60习题2及辅导班讲义例2.5.
(5)曲线1ln(1)x
y e x
=
++，渐近线的条数为
(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. 【 】 【答案】 应选(D).
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0
1lim[
ln(1)]x
x e x
→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；
又 1lim [
ln(1)]0x
x e x
→-∞
++=，所以y=0为水平渐近线；
进一步，2
1ln(1)
ln(1)
lim
lim [
]lim
x
x
x x x y e e x
x
x
x
→+∞
→+∞
→+∞
++=+
==lim
11x x
x e
e
→+∞
=+，
1
l i m [1
]l i m [l n (1)]x x x y x e x x
→+∞
→+∞-?=++-=lim [ln(1)]x
x e x →+∞
+-
=lim [ln (1)]lim ln(1)0x
x
x
x x e e x e --→+∞
→+∞
+-=+=，
于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).
【评注】 一般来说，有水平渐近线(即lim x y c →∞
=)就不再考虑斜渐近线，但当lim x y →∞
不
存在时，就要分别讨论x →-∞和x →+∞两种情况，即左右两侧的渐近线。本题在x <0 的
一侧有水平渐近线，而在x >0的一侧有斜渐近线。关键应注意指数函数x
e 当x →∞时极限
不存在，必须分x →-∞和x →+∞进行讨论。
重点提示见《经典讲义》P.145，类似例题见P .150例7.13, 例7.14及辅导班讲义例7.8.
(6) 设函数f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且()0.f x ''> 令),,2,1)(( ==n n f u n , 则下列结论正确的是：
(A) 若12u u >，则{}n u 必收敛. (B) 若12u u >，则{}n u 必发散.
(C) 若12u u <，则{}n u 必收敛. (D) 若12u u <，则{}n u 必发散. 【 】
【答案】 应选(D).
【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】 设f (x )=2x , 则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''><，但
2
{}{}n u n =发散，排除(C); 设f (x )=
1x
, 则 f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且
12()0,f x u u ''>>，但1
{}{}n u n
=收敛，排除(B); 又若设()ln f x x =-，则f (x )在(0,)+∞上具有二阶导数，且12()0,f x u u ''>>，但{}{ln }n u n =-发散，排除(A). 故应选(D).
【评注】也可直接证明(D)为正确选项. 若12u u <，则存在0k >，使得210u u k ->>. 在区间[1,2]上应用拉格朗日中值定理, 存在1(1,2)ξ∈使得
211(2)(1)()021
21
u u f f f k ξ--'=
=>>--,
又因为在(0,)+∞上()0,f x ''> 因此()f x '在1(,)ξ+∞上单调增加，于是对1(,)x ξ?∈+∞有
1()()0f x f k ξ''>>>.
在区间1[,]x ξ上应用拉格朗日中值定理, 存在21(,)x ξξ∈使得
121
()()
()f x f f x ξξξ-'=-,
即 121
()()()(),()
f x f f x x ξξξ'=+-→+∞→+∞ 故应选(D).
重要提示与例题见《经典讲义》P.19例1.40, 例1.41、《真题（二）P .80题2》及辅导班讲义例1.12
(7) 二元函数f (x , y )在点(0，0) 处可微的一个充分条件是
(A)
(,)(0,0)
lim [(,)(0,0)]0x y f x y f →-=.
(B) 0
(,0)(0,0)
lim
0x f x f x
→-=，且0
(0,)(0,0)
lim
0y f y f y
→-=.
(C)
(,)(0,0)
(,)(0,0)
lim
0x y f x y f →-=.
(D) 0
lim[(,0)(0,0)]0x x x f x f →''-=，且0
lim[(0,)(0,0)]0y y y f y f →''-=. 【 】
【答案】 应选(C).
【详解】 选项(A)相当于已知f (x , y )在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数
(0,0),(0,0)x y f f ''存在，因此(A),(B) 均不能保证f (x , y )在点（0，0）处可微。
选项(D)相当于已知两个一阶偏导数(0,0),(0,0)x y f f ''存在，但不能推导出两个一阶偏导函数(,),(,)x y f x y f x y ''在点(0,0) 处连续，因此也不能保证f (x , y )在点 (0，0) 处可微。
若
(,)(0,0lim
0x y →=，则
(,0)(0,0)
lim
lim
0x x f x f x
x
→→-==，即(0,0)0,x f '=同理有
(0,0)0.y f '=
从而 0
[(,)(0,0)](
(0,0)
(0,0)
)
l i m
x
y f x y f f x f y ρρ→''??--?+?
= 0
(,)0
(,)(0,0)lim
lim
x y f x y f ρρ
→??→??-=
=0
根据可微的定义，知函数f (x , y ) 在(0，0) 处可微，故应选(C).
几乎原题见《经典讲义》P .182例9.2，本题难度较大，概念性强
(8) 设函数f (x , y )连续，则二次积分1sin 2
(,)x
dx f x y dy ππ??
等于
(A) 10arcsin (,)y
dy f x y dx π
π+??
. (B) 10
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-?
?
.
(C)
1arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
+?
?. (D)
1arcsin 0
2
(,)y
dy f x y dx ππ
-?
?. 【 】
【答案】 应选(B).
【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。
【详解】 积分区域 D:
,sin 12
x x y π
π≤≤≤≤, 也可表示为 D: 01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤,
故
1sin 2
(,)x
dx f x y dy π
π
??
=10
arcsin (,)y
dy f x y dx π
π-??
，应选(B).
【评注】 确定y 的取值范围时应注意：当
2
x π
π≤≤时，
y =sinx=sin(),02
x x π
ππ-≤-≤,
于是sin x arc y π-=，从而arcsin .x y π=-
完全类似例题见《经典讲义》P.208例10.13, 例10.14,例10.15及辅导班讲义例10.9
(9) 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A) 133221,,αααααα---. (B) 133221,,αααααα+++.
(C) 1332212,2,2αααααα---. (D) 1332212,2,2αααααα+++. 【 】 【答案】应选(A) .
【详解1】直接可看出(A)中3个向量组有关系 )()()(133221αααααα--=-+- 即(A)中3个向量组有线性相关, 所以选(A) . 【详解2】用定义进行判定:令
0)()()(133322211=-+-+-ααααααx x x ，
得 0)()()(332221131=+-++-+-αααx x x x x x . 因321,,ααα线性无关，所以 1312230,0,0.x x x x x x -=??
-+=??-+=?
又 01
1
011
101
=---， 故上述齐次线性方程组有非零解, 即133221,,αααααα---线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
这是一个基本题，完全类似的问题见《经典讲义》P.314例3.5和辅导班上对应章节的例题
(10) 设矩阵?????
?
?------=21
1121
112
A , ???
?
?
?
?=00
0010
001B ,则A 与B (A)合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C)不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. 【 】
【答案】应选 (B) .
【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1，从而A 与B 不相似.
又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同. 故选(A) .
【评注】1)若A 与B 相似, 则| A |=| B |；r (A )= r (B )；tr (A )= tr (B ); A 与B 有相同的特征值. 2)若A 、B 为实对称矩阵, 则 A 与B 合同? r (A )= r (B ), 且A 、B 有相同的正惯性指数. 这是数学二首次要求考查的内容，完全类似的问题见《历年真题（一）》P307的小结
二、填空题 (11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)
(11) 3
arctan sin lim
x x x
x
→-= .
【答案】 应填1.6
-
【详解】 3
arctan sin lim
x x x
x
→-=2
2
2
22
1
cos 1
11(1)cos 1lim lim
331x x x
x x
x
x
x
x
→→--++=??+
=2
1
2cos (1)sin 111lim
(1).323
2
6
x x x x x
x
→-++=
?-+
=-
完全类似例题见《经典讲义》P.14例1.24, 例1.25及辅导班讲义例1.7.
(12) 曲线2cos cos ,1sin x t t y t ?=+?=+?
上对应于4t π
=的点处的法线斜率为 .
【答案】
应填1+
【详解】 因为 cos sin 2cos sin t t y dy t
dx
x t t t
'=='
--，
于是
4
t dy dx
π
=
=-
故法线斜率
为
1+
完全类似例题见《经典讲义》P.46例2.15, 例2.16及辅导班讲义例2.14.
(13) 设函数1,23
y x =
+则()
(0)n y = .
【答案】 应填1
2
(1)!().3
3
n
n
n -
【详解】 1(23),y x -=+ 2
23
12(2
3),1(2)2(23)
y x y x --'''=-?+=-?-?+
一般地，()
1
(1)!2(23)
n n n n y
n x --=-?+，
从而 ()(0)n y =1
2
(1)!().3
3
n n n -
完全类似例题见《经典讲义》P.56例2.49, 例2.50及辅导班讲义例2.16.
(14) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的通解为 . 【答案】 32122.x x x y C e C e e =+- 其中21,C C 为任意常数.
【详解】 特征方程为 2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x x y C e C e =+
设非齐次线性微分方程2432x y y y e '''-+=的特解为*2x y ke =，代入非齐次方程可得k = ?2. 故通解为32122.x x x y C e C e e =+-
完全类似例题见《经典讲义》P.172例题8.7及辅导班讲义例8.9.
(15) 设f (u ,v )是二元可微函数，(
,),y x z f x y =则z z
x
y x y
??-=?? . 【答案】 1222.y x f f x
y ''-
+
【详解】
122
1()z y f f x
x
y
?''=?-+??，
122
1()z x f f y x y
?''=?
+?-
?，于是有
z z x
y
x
y
??-=??12122
2
11[][]y x x f f y f f x
y
x
y
''''-
+--
=1222.y x f f x
y
''-
+
完全类似例题见辅导班讲义例9.6及《经典讲义》P199习题三1-3.
(16) 设矩阵????
??
? ?
?=
00
010000100
0010
A , 则3A 的秩为___________. 【答案】应填1 .
【详解】依矩阵乘法直接计算得 ??????
?
?
?=00
0000000001000
3
A , 故r (3
A )=1.
完全类似的问题见《经典讲义》P300题型七和辅导班上对应章节的例题
三、解答题：17－24小题，共86分. (17) （本题满分10分）
设f (x )是区间[0,]4
π
上的单调、可导函数，且满足
()1
cos sin ()sin cos f x x t t f
t dt t
dt t t
--=
+?
?
，
其中1
f
-是f 的反函数，求f (x ).
【分析】 等式两端先对x 求导，再积分即可。 【详解】 在等式()1
cos sin ()sin cos f x x t t
f
t dt t
dt t t --=
+??
两端先对x 求导，得
1
c o s s i n
[()]()s i n c o s
x x f f x f x x
x x --'=+
，
即 c o s s i n
()sin cos x x xf x x x x
-'=+， 也即 c o s s i n ()sin cos x x f x x x
-'=
+.
于是 c o s s i n
(s i n
c o s
)
()sin cos sin cos x x d x x f x dx x x
x x
-
+=
=
++?
?
=ln(sin cos ).x x c ++
由题设知, f (0)=0, 于是c = 0，故()ln(sin cos ).f x x x =+
几乎原题见《经典讲义》P .50例2.28.
(18) （本题满分11分） 设D
是位于曲线2(1,0)x a
y a x -=
>≤<+∞下方、x 轴上方的无界区域 。
(I) 求区域D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V (a );
(II) 当a 为何值时，V (a )最小? 并求此最小值.
【分析】V (a )的可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V (a ) 的最值即可。 【详解】 (I) 2
()x a
V a y dx xa
dx π
π
-
+∞+∞==?
?
=0
ln x a
a xda
a
π-
+∞-
?
=0
[]ln x x a
a
a
xa
a
dx a
π-
-
+∞+∞-
-
=
?
2
2
.(ln )
a a π
(II) 22
4
12(ln )(2ln )()0(ln )
a a a a a V a a π-?
'=?
=,
得 l n [l n 1]0
a a -=， 即 a = e .
由于a = e 是惟一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为2().V e e π=
【评注】事实上, 当1e 时, 0)(>'a V , V (a )单调增加, 所以a = e 是V (a )的极小值点，也是最小值点
完全类似例题见辅导班讲义例7.16及《经典讲义》P162习题17.
(19) （本题满分10分）
求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解。
【分析】本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。 【详解】令y u '=，则原方程化为 2()u x u u '+= 即 1dx x u du
u
-
=，
其解为 11
()(),du
du
u
u x e
ue
du C u u C --
-?
?=+=+?
利用u =(1)1y '=,有C =0, 于是 2x u =, 由 1)1(='y 知应取u =
再由 y '=3
2123
y x C =
=
+?
，代入初始条件y (1)=1，得113
C =
，
故满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解为3
2213
3
y x =
+
.
完全类似例题见辅导班讲义例8.9及《经典讲义》P.171例8.6.
(20) （本题满分11分）
已知函数f (u )具有二阶导数，且(0)1f '=，函数y =y (x )由方程1
1y y xe
--=所确定，
设(ln sin )z f y x =-，求2
2
,
.x x dz d z dx
dx
==
【详解】
(ln sin )(
cos )dz y f y x x dx
y
''=-?-，
2
2
2
2
2
(
cos )(
sin )d z y y y y f x f x dx
y
y
''''-'''=?-+?+
在1
1y y xe
--=中, 令x = 0 得y =1 . 而由1
1y y xe
--=两边对x 求导得
1
1
0y y y e
xe
y --''--=
再对x 求导得 11
1
2
1
0y y y y y e y e y x e
y x e y ----'''''''---
-
=
将x =0, y =1代入上面两式得 (0)1,(0)y y '''==
故
(0)(00)0,
x dz f dx
='=-= 20
2
(0)(21) 1.x d z f dx
='=?-=
完全类似例题见辅导班讲义例2.16及《经典讲义》P.54例2.42,P .55例2.45.
（21）（本题满分11分）
设函数f (x ), g (x )在[a , b ]上连续，在(a , b )内具有二阶导数且存在相等的最大值，f (a )=g (a ), f (b )=g (b ), 证明：存在(,)a b ξ∈，使得()().f g ξξ''''=
【分析】需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理，事实上，若令
()()()F x f x g x =-，则问题转化为证明()0F ξ''=, 只需对()F x '用罗尔定理，关键是找
到()F x '的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F (a )=F (b )=0, 若能再找一点(,)c a b ∈，使得()0F c =，则在区间[,],[,]a c c b 上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对()F x '用罗尔定理即可。
【证明】构造辅助函数()()()F x f x g x =-，由题设有F (a )=F (b )=0. 又f (x ), g (x )在(a , b )内具有相等的最大值, 不妨设存在21x x ≤, ),(,21b a x x ∈使得
12[,]
[,]
()max (),()max ()a b a b f x M f x g x M g x ====，
若21x x =，令1x c =, 则()0.F c =
若21x x <，因111222()()()0,()()()0F x f x g x F x f x g x =-≥=-≤，从而存在
12[,](,)c x x a b ∈?，使()0.F c =
在区间[,],[,]a c c b 上分别利用罗尔定理知，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得
12()()0F F ξξ''==.
再对()F x '在区间12[,]ξξ上应用罗尔定理，知存在12(,)(,)a b ξξξ∈?，有
()0F ξ''=， 即 ()(
)
.f g ξξ''''=
完全类似例题见《经典讲义》P.120例5.11，例5.12,例5.13, P.127例5.27及辅导班讲义例5.3-5.
（22）（本题满分11分） 设二元函数
2
,1,(,)12,
x x y f x y x y ?+≤?
=<+≤
计算二重积分(,)D
f x y d σ??，其中{(,)2}.D x y x y =+≤
【分析】被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。
【详解1】由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
????
=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ
其中1D 为D 在第一象限的部分. 设 }1010|),{(11
≤≤-≤≤=x x y y x D
，, }0,021|),{(12
≥≥≤+≤=y x y x y x D
，
??
??
=
11
2
),(D D d x d y x f σσ?
?
-=
x dx x dx 10
2
10
?
-=
10
2
)1(dx x x 12
1=
,
??
??
+=
12
12
2
2
1),(D D d y
x d y x f σσ?
?
++=
θ
θθ
θπ
θcos sin 2
cos sin 220dr d
)12ln(2+=.
因此
????
=1
),(4),(D D
d y x f d y x f σσ)12l n (243
1++=
.
【详解2】记121{(,)1},D x y x y D D D =+≤=-，则
(,)D
f x y d σ??
=1
2
(,)(,)D D f x y d f x y d σσ+
????
=1
2
2
1D D x d σσ+
????
=1
12211200
1144[]x x x x dx dy dx dx ---+-
??
??
?
?
=1
1).3
+
【评注】被积函数包含
2
2y
x +时,
可考虑用极坐标较容易；解法二在计算积分
2
D σ??
时, 利用了将区域2D 转化为区域D 减去1D ,而后面这两块区域均方便积分.
完全类似例题见《经典讲义》P.210例10.19及辅导班讲义例10.9.
(23) (本题满分11分) 设线性方程组
???
??=++=++=++.
04,02,
03221
3
21321x
a x x ax x x x x x ① 与方程 12321-=++a x x x ②
有公共解，求a 的值及所有公共解．
【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解1】将①与②联立得非齐次线性方程组:
?????
??-=++=++=++=++.12,04,02,0321
32
213
213
21a x x x x a x x ax x x x x x ③ 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得:
→???????
?
?-=11
2
1041021
0111
2
a a
a A ????
??
?
?
?-----110
00)
1)(2(000110
0111a a
a a a . 于是1° 当a =1时，有)()(A r A r ==2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
??????
?
?
?→00
0000000100101A ， 此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ???
??
??-101, 所以①与②的全部公共解为
???
?
?
??-101k ，k 为任意常数. 2° 当a =2时，有)()(A r A r ==3，方程组③有唯一解, 此时
????
??
?
?
?-→00
0110010100001
A ， 故方程组③的解为: ?????
??-110, 即①与②有唯一公共解: 为???
?
? ??-=????? ??=110321x x x x .
【详解2】将方程组的系数行列式:
2
4
1
21
1
11
a
a )2)(1(1
3
1101
112
--=--=a a a
a 当21≠≠a a 且时，①只有唯一零解, 但它不是②的解, 此时①与②没有公共解. 当a =1时, ????? ?
?→?????
?
?00
0010
10114
1121
111
, ①
的解为 ???
?
?
??-101k , k 为任意常数. 将其代入与方程 112321-=++x x x 知， ???
?? ??-101k 也是②的解.
所以①与②的全部公共解为???
?
?
??-101k ，k 为任意常数.
当a = 2时, ????? ?
?→?????
?
?00
0110
00144
1221
111, ①
的解为 ???
?
?
??-110k , k 为任意常数; 将其代入与方程 122321-=++x x x ，得k = ?1.
即①与②有唯一公共解: 为???
??
??-=????
? ??=110321x x x x .
完全类似的问题见《经典讲义》P.350题型四例4.20-4.22和辅导班上对应章节的例题
(24) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值,2,2,1321-===λλλ T )1,1,1(1-=α是Ａ 的属于1λ的一个特征向量,记E A A B +-=354其中E 为3阶单位矩阵. (I) 验证1α是矩阵Ｂ的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量． (II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B 的特征值, 然后由B 也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的.
【详解】(I) 由11αα=A 得 1112ααα==A A , 进一步 113αα=A , 115αα=A ， 故 13
5
1)4(ααE A A B +-=
113
15
4ααα+-=A A
1114ααα+-= 12α-=，
从而1α是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.
因E A A B +-=354, 及Ａ的3个特征值,2,2,1321-===λλλ 得 B 的3个特征值为1,1,2321==-=μμμ.
设32,αα为B 的属于132==μμ的两个线性无关的特征向量, 又 为Ａ对称矩阵，得B 也是对称矩阵, 因此1α与32,αα正交, 即
0,03121==ααααT
T
所以32,αα可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
0)1,1,1(321=???
?
? ??-x x x ,
其基础解系为: ???
??
??011,
????? ??-101 , 故可取2α=???
?? ??011, 3α=????
? ??-101. 即B 的全部特征值的特征向量为: ????? ??-1111k , ???
?
?
??-+????? ??10101132k k , 其中01≠k ,是不为零的任
意常数, 32,k k 是不同时为零的任意常数. (II) 方法一：令),,(321ααα=P =???
?
?
?
?--10
1011
111, 则 ????
?
?
?-=-11
2
1
BP P ，
得 1
112
-?????
?
?-=P P B
=????
? ??--10
1011111????? ?
?-11
2
?????
??--21112111131 =????? ?
?---10
2012112????? ??--21
1
121
111
31????
? ??--=01
1
101
110. 方法二: 将32,αα正交化得, 22
αβ==???
?
?
??011,
222233
3),()
,(ββββαα
β-==?
???
?
??-21121,
将1α,32,ββ单位化得 ????
?
??-=111311
γ, ????
? ??=011212γ
, ????
?
??-=211613
γ
.
令 ?????
???
?
?
?-
-
==62
3
1612131612131),,(321γγγP ， 则 ????
?
??-==-11
21BP P BP P T
， 故 T P P B ????
?
?
?-=11
2 ?????
???? ??
--
=62
31612131612131????
? ?
?-11
2????????
? ?
?--
626
16
102121313131 ?????
???
? ?
?--
-=62
32612132612132????????
? ?
?--
626
16
102121313131 ????
? ??--=01
1101110. 完全类似的问题见《经典讲义》P370重要公式与结论1、P378例5.13、P406例6.10和辅
导班上对应章节的例题
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 （word 版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01 10()()f x dx f x dx -=??，排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103 f x dx x dx --=-=-
【答案】D 【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==，A 错； 取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为：2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??>
2007年研究生入学考试数学三试题 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→ 等价的无穷小量是 （A ）1- （B ）ln （C 1 （D ）1- [ ] （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： （A ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()() lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f = . （B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)0f '=. [ ] （3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d x F x f t t =?，则下列结论正确 的是： （A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5 (3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4 F F = （D ）5 (3)(2)4F F =-- [ ] （4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1 sin 2 d (,)d x x f x y y ππ?? 等于 （A ）10arcsin d (,)d y y f x y x π π+?? （B ）1 0arcsin d (,)d y y f x y x π π-?? （C ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ +?? （D ）1arcsin 0 2 d (,)d y y f x y x ππ -?? （5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是 (A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1 ln 1e x y x =++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是 线性相关，则 (A) 122331,,αααααα--- (B) 122331,,αααααα+++ (C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ] （8）设矩阵211100121,010112000A B --???? ? ? =--= ? ? ? ?--???? ，则A 与B
考研数学二真题及答案 解析 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2 (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1 xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x 2 =2√x|2 +∞ =+∞； ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx)=1 2(lnx)2| 2 +∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1 lnx +∞2 d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2 dx =?∫x +∞ 2 de ?x =?xe ?x |2+∞+∫e ?x +∞2 dx =2e ?2?e ?x |2 +∞ =3e ?2， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+ sin t x ?1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义， 且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点，选B 。 综上所述，本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1 x β,x >0， 0,x ≤0 (α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本) 试卷 (课程代码 00023) 本试卷共3页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效。试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。 4. 合理安排答题空间，超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1．已知向量a={-1，3，2)，b={-3，0，1)，则a×b= A. {3，5，9} B. {-3，5，9) C．(3，-5，9) D. {-3，-5，-9) 2．已知函数，则全微分dz= 4. 微分方程是 A．可分离变量的微分方程 B．齐次微分方程 C．一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 无穷级数的敛散性为 A．条件收敛 B. 绝对收敛 C．发散 D. 敛散性无法确定 第二部分非选择题
二、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分) 请在答题卡上作答。 6．已知点，则向量的模= _______. 7·已知函数=_______. 8．设积分区域，且二重积分，则常数a= _______．9．微分方程的特解y*=_______. 10. 已知无穷级数=_______. 三、计算题 (本大题共l2小题，每小题5分，共60分) 请在答题卡上作答。 11．求过点A(2，10，4)，并且与直线平行的直线方 12．求曲线的点处的法平面方程·13．已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x，y)，求． 14．求函数的梯度 15．计算二重积分，其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域． 16. 计算三重积分，其中积分区域． 17. 计算对弧长的曲线积分，其中C是从点A(3，0)到点B(3，1)的 直线段· 18．计算对坐标的曲线积分，其中N抛物线y=x2上从点A(一1，1)到
全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案 答案速查： 一、选择题 二、填空题 三、解答题 （17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18） 1 1)3 + （19）略 （20）11011(1)()()(1),(1,3)532 n n n n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑ （21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]T x k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]T x =- （22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数） （Ⅱ）011101110B -?? ? = ? ?-?? （23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2 (2),01, ()(2),12,0,Z z z z f z z z -<
ln(1:故选B.. （2）【答案】 (D) 【解析】方法1:论证法，由0() lim x f x x →存在及()f x 在0x =处连续，所以 00() (0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x →→===（A ）正确； 由于00()(0)() lim lim 0x x f x f f x x x →→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处 连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）. 方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有 00()() lim lim 00x x x x f x f x x x →→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ） 【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而 323 2 2 3(3)()()(),2 8 8 (2)(), 2 F f t dt f t dt f t dt F f t dt π π π π ==+= - = == ???? 所以(3)F - 3 (2)4 F = ，选择C （4）【答案】（B ） 【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y 1 1sin 0 sin 2 (,)(,)x arc y dx f x y dy dy f x y dx ππ ππ-=?? ?? ， 所以选择(B). （5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P P P P Q P P P -= ==--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D) （6）【答案】（D ） 【解析】0 01lim lim ln(1),x x x y e x →→?? =++=∞ ??? 所以0x =是一条垂直渐近线；
1996 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分. 把答案填在题中横线上.) x 2 (1) 设y(x e 2 ) 3 , 则y＿＿＿＿＿＿. x 0 (2) 1 2 2 (x 1 x ) dx ＿＿＿＿＿＿. 1 (3) 微分方程y 2y5y 0 的通解为＿＿＿＿＿＿. (4) 3 1 lim x sin ln(1 ) sin ln(1 ) x x x ＿＿＿＿＿＿. (5) 由曲线 1 y x , x 2及y 2 所围图形的面积S ＿＿＿＿＿＿. x 二、选择题( 本题共 5 小题, 每小题 3 分, 满分15 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设当x 0时, e x (ax2 bx 1)是比x2 高阶的无穷小, 则( ) (A) 1 a , b 1 (B) a 1,b 1 2 (C) 1 a , b 1 (D) a 1,b 1 2 (2) 设函数 f ( x) 在区间( , ) 内有定义, 若当x ( , )时, 恒有 2 | f (x) | x , 则x 0 必是 f (x) 的( ) (A) 间断点(B) 连续而不可导的点 (C) 可导的点, 且 f (0) 0 (D) 可导的点, 且f (0) 0 (3) 设f (x) 处处可导, 则( ) (A) 当lim f (x) , 必有lim f ( x) x x (B) 当lim f (x) , 必有lim f (x) x x (C) 当lim f (x) , 必有lim f ( x) x x (D) 当lim f (x) , 必有lim f (x) x x 1 1 (4) 在区间( , ) 内, 方程| x | | x|cosx 0 ( ) 4 2 (A) 无实根(B) 有且仅有一个实根
2006年全国硕士研究生入学考试数学（三） 一 填空 (1)()11lim _________n n n n -→∞ +?? = ??? (2)设函数()x 2f x =在 的 某领域内可导,且()() (),21f x f x e f '==,则 ()2_________f '''= (3)设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224Z f x y =-在点(1,2)处的全微分()1,2_________dz = (4)设矩阵2112A ?? = ?-?? ,E 为2阶单位矩阵,矩阵E 满足BA=B+2E,则_________B = (5)设随机变量X 与Y 相互独立,且均服从区间[]0,3上的均匀分布,则 (){}max ,1_________P X Y ≤= (6)设总体X 的概率密度为()()121,,, (2) x n f x e x x x x -= -∞<<+∞为总体的简单随机样本,其样本方差2 S ,则E 2 S =__________ 二 选择题 (7) 设函数()y f x =具有二阶导数,且()()0,0,f x f x x '''>>?为自变量x 在点0x 处的增量,y dy ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分,若0x ?>,则 ( ) (A)0dy v <
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（） ()A 0 ()B ()C ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a t af x dx ?（） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若22(,)uv D F u v =?? ，其中区域uv D 为图中阴影部分， 则 F u ?=? （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A = ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （8）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）
《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0
8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C +
2007 年考研数学二真题 一、选择题（ 1 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1) 当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】 B。 【解析】 当时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2) 函数在上的第一类间断点是 (A)0(B)1 (C)(D) 【答案】A。 【解析】
A：由得 所以是的第一类间断点； B： C： D： 所以都是的第二类间断点。 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型 (3) 如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为 1 的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设则下列结论正确的是 , (A) (B) (C) (D) -3-2-10123
【答案】 C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义 确定 则 【方法二】 由定积分几何意义知,排除 (B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而 显然排除 (A) 和(D), 故选 (C) 。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4) 设函数在处连续，下列命题错误的是 ．． (A) 若存在，则
(B) 若存在，则 (C)若存在，则存在 (D) 若存在，则存在 【答案】 D。 【解析】 (A) ：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以, 故,(A) 正确； (B) ：若 (C),则 存在，则， 故 (B) 正确。存 在，知，则 则存在，故 (C) 正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题 (D) 不正确。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念 (5) 曲线渐近线的条数为 (A)0(B)1 (C)2(D)3
2006年数学（二）考研真题及解答 一、填空题 （1）曲线4sin 52cos x x y x x += -的水平渐近线方程为 . （2）设函数23 1sin ,0, (), x t dt x f x x a x ?≠? =??=? ? 在0x =处连续，则a = . （3）广义积分 22 (1) xdx x +∞=+? . （4）微分方程(1) y x y x -'= 的通解是 . （5）设函数()y y x =由方程1y y xe =-确定，则0 A dy dx == . （6）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则B = . 二、选择题 （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在0x 处的增量，y ?与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 （A ）0.dy y <
高等数学A （3）B 卷中典型试题的解答与分析 高等数学A （3）的教学内容是四川大学数学系编著的《高等数学》第二册中的2章（幂级数和傅里叶级数、广义积分和含参变量积分），第三册线性代数的全部内容共7章（行列式，矩阵代数，线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n 元实二次型）。本次期末试题的覆盖面较广，现将几个较典型的试题给予解答与分析。 1．已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2, 求参数.c 解一： 设二次型的矩阵为A , ??? ? ? ??----=c A 33351315 二次型的秩即为二次型相应矩阵的秩. ??? ? ? ??----→????? ??----→????? ??----=c c c c A 2600912035191201224035 133351315 由已知A 的秩为2, 所以.3,026==-c c 解二：由于A 的秩为2, 由矩阵秩的定义有0||=A . 由05 11 53135335313 =--+--+--=c A ， 解得3=c ,且易验证3=c 时, 矩阵对应的行列式A 有二阶子式不为零，因此A 的秩为2，故所求二次型的秩为2. 分析：本题考核二次型秩的概念.解一利用二次型秩的定义求解。即利用二次型相应矩阵的秩称为二次型的秩,将原问题转化为求相应矩阵的秩,利用初等变换求得c .解二利用矩阵秩的定义直接求得c . 在本题的求解中,典型的错误有： 1)矩阵初等变换的符号“→”与运算符号“=”混淆,由此看出对初等变换的理解还不够.
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. (1) 当0x +→时，若ln (12)x +α ，1 (1cos )x -α 均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( ) (A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1 (,1)2 (D) 1(0,)2 (2) 下列曲线中有渐近线的是 ( ) (A) sin y x x =+ (B) 2 sin y x x =+ (C) 1 sin y x x =+ (D) 21sin y x x =+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ） (A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ (4) 曲线2 2 7 41 x t y t t ?=+??=++??上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ） (A) 50 (B) 100 (C) (D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则2 2 lim x x →=ξ （ ） (A)1 (B) 2 3 (C) 12 (D) 13 (6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20 u x y ?≠??及22220u u x y ??+=??，则 （ ） (A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得 (C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得
2007年数学一 一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) (1) 当0x + →等价的无穷小量是 (A) 1- (B) (C) 1. (D) 1- [ B ] 【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当0x + →时，有1(1)~-=--1~ ； 211 1~ .22 x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1 ln(1)x y e x = ++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。 【详解】 因为0 1lim[ln(1)]x x e x →++=∞，所以0x =为垂直渐近线； 又 1lim[ln(1)]0x x e x →-∞ ++=，所以y=0为水平渐近线； 进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11x x x e e →+∞=+， 1 lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x →+∞ →+∞ -?=++-=lim[ln(1)]x x e x →+∞ +- =lim[ln (1)]lim ln(1)0x x x x x e e x e --→+∞ →+∞ +-=+=， 于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D). (3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0 ()().x F x f t dt = ? 则下列结论正确的是 (A) 3(3)(2)4F F =- -. (B) 5 (3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(4 5 )3(--=-F F . [ C ] 【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的 关系。 【详解】 根据定积分的几何意义，知F (2)为半径是1的半圆面积：1 (2)2 F π=， F (3)是两个半圆面积之差：22113(3)[1()]228F πππ= ?-?==3 (2)4 F ， ?? ---==-0 3 3 )()()3(dx x f dx x f F )3()(3 F dx x f ==? 因此应选(C).
( 全国统一服务热线：400—668—2155 1 Born to win 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若2 1 2 lim() 1x x x e ax bx →++=,则（ ） ()A 1 ,12 a b ==- ()B 1,12a b =-=- ()C 1,12a b == ()D 1 ,12 a b =-= 【答案】B （2）下列函数中,在0x =处不可导是（ ） ()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x x C f x x D f x x == == 【答案】D （3）设函数10()10x f x x -时, 1()02f < （D ）当()0f x '>时, 1 ()02 f < 【答案】D （5）设22 22(1)1x M dx x π π-+=+?,22 2 21x x N dx e ππ-+=?,22 (1cos )K x dx π π- =+?,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >> 【答案】C
同济版高等数学课后习题 解析 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
书后部分习题解答 P21页 3．（3）n n n b b b a a a ++++++++∞→ 2211lim （1,1<x ，)(211n n n x a x x += + 证：由题意，0>n x ，a x a x x a x x n n n n n =??≥+= +221)(211（数列有下界） 又02)(212 1≤-=-+=-+n n n n n n n x x a x x a x x x （因a x n ≥+1）（数列单调减少） 由单调有界定理，此数列收敛；记b x n n =∞ →lim ，对)(211n n n x a x x += +两边取极限，得)(21b a b b += ，解得a b =（负的舍去），故此数列的极限为a . P35页4.（8）极限=-++-+→211)1()1(lim x n x n x n x 211) 1()1()]1(1[lim -++--++→x n x n x n x 21 221111)1()1()1()1()1(1lim -++--+-+-+=+++→x n x n x x C x C n n n x 2 ) 1(2 1+= =+n n C n (若以后学了洛必达法则（00型未定型），则211) 1()1(lim -++-+→x n x n x n x 2 ) 1(2)1(lim )1(2)1())1(lim 111+=+=-+-+=-→→n n nx n x n x n n x n x ） 书后部分习题解答2 P36页
2019全国研究生招生考试数学二真题及答案解析 一、选择题 1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B. 2. C. 3. D. 4. 2.）（π202≤≤+=x x cos x sin x y 的拐点 A.??? ? ?2,2ππ B.()2,0 C.()2,π D.??? ? ?-23,23ππ 3.下列反常积分收敛的是（） A.dx xe x ?+∞ -0 B.dx xe x ? +∞ -02 C. dx x x ? +∞ +0 2 1arctan D. dx x x ? +∞ +0 21 4.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+'' 的值为（ ） A.1,0,1 B.1,0,2 C.2,1,3 D.2,1,4 5.已知积 分区域???? ?? ≤+=2πy x |y ,x D ） （，dxdy y x I D ??+=221， dxdy y x I D ??+=222sin ，(dxdy y x I D )cos 1223??+-=，试比较321,,I I I 的大小 A.123I I I << B.321I I I << C.312I I I << D.132I I I << 6.已知)()(x g x f 是二阶可导且在a x =处连续，请问)()(x g x f 相切于a 且曲率相等是 0)() ()(lim 2 =--→a x x g x f a x 的什么条件 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 7.设A 是四阶矩阵，* A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组0=Ax 的基础解系中只有2个向量，则* A 的秩是
高等数学试卷分析与教学思考 摘要： 对《高等数学》课程考试成绩进行分析，评价试题质量、分析学生 对课程中知识的掌握情况、进而考察高等数学的教学效果，为今后改进教学内容、 教学方法，提高高等数学教学质量提供有力依据。 关键词： 高等数学 试卷 分析 质量 教学效果 考试是检查教学质量优劣的最基本最有效的方法，是衡量教学效果的重要指 标。而科学地进行考试成绩分析，有助于及时发现学生学习的情况和试卷中存在 的问题。通过教育技术专业2008级本科学生《高等数学》课程考试成绩进行分析， 一方面了解学生的学习情况，另一方面检验试卷的命题质量，及时发现教与学中 存在的问题，以便进一步改进教学内容、教学方法，提高高等数学教学质量和教 学效果。 1 资料来源 以教育技术专业2008级本科《高等数学》课程考试成绩为研究对象，试 卷共35份，全部进行分析。试题共三个大题：一大题填空题（5小题），共 15分；二大题为单项选择题（5小题），共15分；三大题为计算题（7小题），共 70分；满分为100分。 2 方法 将学生各题得分输入表格，进行整理，汇总并计算 分析，分别通过手算计算均值、方差、成绩频数分布、难度指数、区别度 指数、可信度。 2.1计算平均值、方差、成绩频数分布 涉及的公式：平均成绩1N i i X X N == ∑ 方差2 21()N i i X X S N =-=∑ 原理：平均成绩反应学生成绩的整体水平；而方差则是反应成绩的波动程度。 说明：其中，N 为考生总人数，i X 为某考生卷面总分值。
2.2计算难度指数 试题的难度指数是以测试试题的难易度的指标，一道试题的难度既能反映试题本身的复杂程度，游客反映教师与学生间的教与学的状况。同一试题，在不同对象、不同环境中使用，所得的难度值不一定相同。
2007年考研数学一真题 一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 当时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2)曲线渐近线的条数为 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【答案】D。 【解析】 由于
， 则是曲线的垂直渐近线； 又 所以是曲线的水平渐近线； 斜渐近线：由于一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在∞一侧。 则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是 (A) (B)
(C) (D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定 则 【方法二】 由定积分几何意义知,排除(B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而 显然排除(A)和(D),故选(C)。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4)设函数在处连续，下列命题错误 ．．的是 (A)若存在，则 (B)若存在，则 (C) 若存在，则存在 (D) 若存在，则存在 【答案】D。 【解析】 (A)：若存在，因为,则, 又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确； (B)：若存在，则 ,则，故(B)正确。 (C)存在，知，则 则存在，故(C)正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续， 存在，但是不存在，故命题(D)不正确。