第一章
1.已知一质点的运动方程为
j t i t r )2(22
-+=求： ⑴t=1s 和t=2s 时位矢； ⑵t=1s 到t=2s 内位移； ⑶t=1s 到t=2s 内质点的平均速度；
⑷t=1s 和t=2s 时质点的速度； ⑸t=1s 到t=2s 内的平均加速度； ⑹t=1s 和t=2s 时质点的加速度。
解：⑴ j i r
+=21m j i r 242-=m
⑵ j i r r r
3212-=-=?m
⑶ j i j i t r v 321232-=--=??=m/s ⑷ j t i dt
r
d v 22-==j i v 221-=m/s j i v 422-=m/s ⑸ j j
t v v t v a 213212-=--=?-=??=m/s 2 ⑹ j dt v
d dt
r d a 222-===m/s 2 2.一质点沿x 轴运动，已知加速度为t a 4=(SI)，初始条件为：0=t 时，00=v ，
100=x m 。求：运动方程。
解：取质点为研究对象，由加速度定义有
t dt
dv
a 4==
（一维可用标量式）tdt dv 4=? 由初始条件有：
??
=t
v
tdt dv 0
4 得：22t v =由速度定义得：
22t dt dx v ==dt t dx 2
2=? 由初始条件得：dt t dx t x ??=02102即103
22+=t x m
由上可见，例1-1和例1-2分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。
第二章
1. 如图2-2，水平地面上有一质量为M 的物体，静止于地面上。物体与地面间的静摩擦系数为s μ，若要拉动物体。问最小的拉力是多少？沿何方向？
解：⑴研究对象：M ⑵受力分析：M 受四个力，重力P ，拉力T
，
地面的正压力N
，地面对它的摩擦力f ，见受力图2-3。
⑶牛顿第二定律：合力： a M f N T P f N T P F
=+++?+++=
分量式：取直角坐标系
x ：Ma f F =-θcos ①Y 0sin =-+P N F θ ② 物体启动时，有0cos ≥-f F θ ③
物体刚启动时，摩擦力为最大静摩擦力，即N f s μ=，由②解出N ，求得f 为：
)sin (θμF P f s -= ④
④代③中：有)sin /(cos θμθμs s Mg F +≥ ⑤ 可见：)(θF F =。min F F =?时，要求分母)sin (cos θμθs +最大。
设θθμθcos sin )(+=s A 0s i n c o s =-=θθμθ
s d dA
s tg μθ=?
∵ 0cos sin 2
2<--=θθμθ
s d A
d ∴ s tg μθ=时，max A A =min F F =?。s arctg μθ=代入⑤中，
得：2
222
11111/s s s s s s Mg Mg F μμμμμμ+=???
?????++
+≥ F
方向与水平方向夹角为s arctg μθ=时，即为所求结果。
强调：注意受力分析，力学方程的矢量式、标量式。
2.质量为m 的铁锤竖直落下，打击木桩上并停下。设打击时间t ?，打击前铁锤速率为v ，则在打击木桩的时间内，铁锤受平均合外力的大小？ 解：设竖直向下为正，由动量定理知：
θ
F
M
图 2-2
F
M
图 2-3
N
P
f
x
y o
mv t F -=?0t
mv F ?=
? 强调：动量定理中说的是合外力冲量=动量增量
3.一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？ 解：设物体沿+x 方向运动，
2525
50
1===??tdt Fdt I N·S （1I 沿i 方向）
75210
5
105
2===?
?tdt Fdt I N·S （2I 沿i
方向）3/12=?I I
∵????=?=1
122)()(p I p I ∴3)()(12
=??p p
4.例：如图3-1，一弹性球，质量 020.0=m kg ，速率5=v m/s ，与墙壁碰
撞后跳回。设跳回时速率不变，
碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为60=α
°，
⑴求碰撞过程中小球受到的冲量?=I
⑵设碰撞时间为05.0=?t s ，求碰撞过程中小球 受到的平均冲力?=F
解：⑴?=I 如图3-1所取坐标，动量定理为12v m v m I
-=
〈方法一〉用分量方程解
?
?
?=-=-==--=-=0sin sin cos 2)cos (cos 1212ααα
ααmv mv mv mv I mv mv mv mv mv I y y y x x x i i i mv i I I x 10.060cos 5020.02cos 2=???===?αN·S 〈方法二〉用矢量图解
)(1212v v m v m v m I
-=-= )(12v v -如上图3-1所示。
∵ 60==∠αOBA ,∴ 60=∠A 故OAB ∠为等边三角形。
512==-?v v v
m/s,)(12v v -沿i 方向
α
1
υ
o
A
B
2υ
α
α2
υ
1
2υυ -（平移）x
y
图 3-1
∴10.05020.012=?=-=v v m I
N·S，沿i 方向。 ⑵t F I ?= i i t I F 205.0/10.0/==?=?N
注意：此题按?=21
t t dt F I 求I 困难（或求不出来）时，用公式p I
?=求方便。
5：质量为m 的物体被竖直上抛，初速度为0v ，物体受到的空气阻力数值 为KV f =，K 为常数。求物体升高到最高点时所用时间 及上升的最大高度。
解：⑴研究对象：m ⑵受力分析：m 受两个力，
重力P
及空气阻力f ，如图2-4。
⑶牛顿第二定律：
合力：f P F += a m f P
=+
y 分量：dt
dV m
KV mg =--dt KV mg mdV -=+?即 dt m KV mg dV 1-=+ ??-=+t v
v dt m KV mg dV 01
0 t m
KV mg KV mg K 1ln 10-=++ )
(0KV mg e KV mg t m
K
+?=+-
mg
K
e KV mg K V t m K
1
)(10-+=?- ①
0=V
时，物体达到了最高点，可有0t 为
)1ln(ln 000mg
KV K m
mg KV mg K m t +=+=
② ∵ dt
dy
V =
∴ Vdt dy = dt mg K e KV mg K Vdt dy t
t m
K t
y
???
??
????-+==-0000
1)(1
mgt K
e KV mg K m y t m
K 11)(02-??????-+-=-
x
y
o
f
p 抛出点 y=0图 2-4
mgt K
e KV mg K m t m
K 11)(02-??????-+=- ③ 0t t = 时，max y y =，
)1ln(11)(0)1ln(02max
0mg KV K m mg K e KV mg K m y mg
KV K m
m K +
?-???
?????-+=+?- )1ln(1
1)(0
22
02mg KV g K
m mg KV mg KV mg K m +-?????
?
??????
+-+=
)1ln()(022
0002mg KV g K m KV mg KV KV mg K
m +-++=)1ln(02
20mg KV g K m K mV +-= 6.一物体受合力为t F 2=（SI ），做直线运动，试问在第二个5秒内和第一个5秒内物体受冲量之比及动量增量之比各为多少？ 解：设物体沿+x 方向运动，
2525
50
1===??tdt Fdt I N·S （1I 沿i 方向）
75210
5
105
2===??tdt Fdt I N·S （2I 沿i 方向）3/12=?I I
∵????=?=1122)()(p I p I ∴3)()(1
2=??p p
7.如图3-2，质量为m 的水银球，竖直地落到光滑的水平桌面上，分 成质量相等的三等份，沿桌面运动。其中两等份的
速度分别为1v 、2v
，大小都为
0.30m/s 。相互 垂直地分开，试求第三等份的速度。 解：用分量式法解 研究对象：小球
受力情况：m 只受向下的重力和向上的桌面施加的正压力，即在水平 方向不受力，故水平方向动量守恒。
在水平面上如图3-2取坐标，有
x
y
1
1v m 2
2v m 3
3v m α
o
θ
图 3-2
0)90cos(cos 332211=--+v m v m v m x θθ 分量：
0)90sin(sin 2211=--θθ v m v m y 分量：
??
?====s m v v m m m /30.021
3
21 ∴???=?==?==）
成即与
135(13545/42.030.02213v s m v v αθ 8.如图3-12，篮球的位移为S ，S
与水平线
成 45角，m S 4=，球质量为m ，求重力的功。 解：⑴研究对象：球 ⑵重力为恒力
⑶
mg
mg FS FS S F W 22135cos 4135cos cos -=?===?=
α
强调：恒力功公式S F W
?=的使用.
9.力i t F
6=(SI)作用在kg m 3=的质点上。物体沿x 轴运动，0=t 时，00=v 。求前二秒内F
对m 作的功。
解：⑴研究对象：m ⑵直线问题，F
沿+x 轴方向
〈方法一〉按?
?=b
a
x d F W 作
在此有：??=?=b
a
b a
tdx 6i dx i t 6W
∵ t dt
dv
m
ma F 6=== ∴ t d t m d v 6= 做如下积分： ??=t
v
tdt dv 0
63有 2t v =∵
2t v dt
dx
== 即dt t dx 2=∴ J 24t 2
3
dt t t 6W 2
4
2
02==?=?
〈方法二〉用动能定理作
)v v (m 2
1mv 21mv 21W 2
1
222122-=-=J 24)02(3214=-?=
g
m
45S 球
水平
图 3-12
10.如图3-18，在计算上抛物体最大高度H 时，有人列出了方程（不计空气阻力）
2
2202
1cos 21mv mv mgH -=
-θ列出方程时此人用了质点的动能定理、功能原理和机械能守恒定律中的那一个？ 解：⑴动能定理为
合力功=质点动能增量()
2
2
02
1cos 2
1
mv v m mgH -=
-?θ ⑵功能原理为 外力功+非保守内力功=系统机械能增量（取m 、地为系统）
()
??
? ??+-??????+=+?021cos 2
1
002
02
0mv mgH v m θ
⑶机械能守恒定律∵0=+非保内外W W ∴1122p k p k E E E E +=+ 即 ()
02
1c o s 2
1
2
02
0+=
+?
mv mgH v m θ 可见，此人用的是质点的动能定理。
11.如图3-19，质量为m 的物体，从四分之一圆槽
A 点静止开始下滑到
B 。在B 处速率为v ，槽半径为R 。 求m 从A →B 过程中摩擦力做的功。
解：〈方法一〉按功定义??=B
A
s d F W
，m 在任一点c 处，切线方向的牛顿第二定律方程为
dt dv m
ma F mg t r ==-θcos θcos mg dt
dv
m F r +-=? πcos s d F s d F W B A r B A r ???=?=
?????? ?
?--=-=B A B A r ds dt dv m cos mg ds F θ
??-=B A B
A ds mg ds dt dv
m θcos ??-=20
0cos π
θθRd mg vdv m v
mgR mv -=
2
2
1 〈方法二〉用质点动能定理 m 受三个力，N ，r F ，g m
图 3-19切线
m 0
=p E s
d θ
d θ
c
A
B
r
F g
m v
o
θ
水平
由2
122mv 21mv 21W -=
合有0mv 2
1W W W 2p r N
-=++ 即 )m g h E W (mv 2
1
mgR W 0p
p 2r -=?-==++ ∴ mgR mv 2
1
W 2r -= 注意：此题目机械能不守恒。
第九、十章
1.一物体连在弹簧一端在水平面上做简谐振动，振幅为A 。试求
p
k E E 21=
的位
置坐标。
解：设弹簧的倔强系数为k ，系统总能量为
221kA E E E p k =+=
在
p
k E E 21=
时，有
2
212323kx E E E p p k ?==
+? 2
22143kA kx = ∴
A x 32±= 2. 横波在弦上传播，波动方程为()x t y 5200cos 02.0-=π (SI) 求：?=μλ、、、、T v A
解：（1）???
??-=??? ??-=???
? ??-=λπλπμπωx T t A x vt A x t A y 2cos 2cos 2cos 此题波动方程可化为
??
? ??-=??? ??-=??? ??-=4.001.02cos 02.04.01002cos 02.040200cos 02.0x t x t x t y πππ
由上比较知： m A 02.0= s m /40=μ Hz v 100=
m 4.0=λ s T 01.0=
另外：求λμ、可从物理意义上求
（a ）λ=同一波线上位相差为π2的二质点间距离设二质点坐标为x 1、x 2（设x 2> x 1），有()()πππ25200520021=---x t x t ，得m x x 4.05
2
12==
-=λ
（b ）μ=某一振动状态在单位时间内传播的距离。
设1t 时刻某振动状态在1x 处，2t 时刻该振动状态传到2x 处，有
()()221152005200x t x t -=-ππ? ()()12122005t t x x -=-，得 s m t t x x /405
200
1212==--=
μ 2.一平面简谐波沿+x 方向传播，波速为s m /20，在传播路径的A 点处，质点振动方程为t y π4cos 03.0= (SI)，试以A 、B 、C 为原点，求波动方程。
解：（1）t y A π4cos 03.0=，以A 为原点，波动方程为
??
? ??
-=λππx t y 24cos 03.0 m T 1042202=?=?==ππωπμμλ
? ??
?
?
?
-
=x t y 54cos 03.0ππ (SI) （2）以B 为原点??? ?
?
?-=954cos 03.0ππt y (SI) （B 处质点初相为)59(π-）
波动方程为：??? ??--=λπππx t y 2594cos 03.0即??? ?
?
--=πππ5954cos 03.0x t y
（3）以C 为原点()()ππππ+=??
?
???--=t t y c 4cos 03.0554cos 03.0（C 处初相为π）
波动方程为：??? ??-
+=x t y λπππ24cos 03.0即??
?
??+-=πππx t y 54cos 03.0 强调：（1）建立波动方程的程序（2）位相中加入λ
π
x
2±的含义
3.一连续纵波沿+x 方向传播，频率为Hz 25，波线上相邻密集部分中心之距离为
24cm ，某质点最大位移为3cm 。原点取在波源处，且0=t 时，波源位移=0，并向+y 方向运动。
求：（1）波源振动方程；（2）波动方程；
（3）s t 1=时波形方程；（4）m x 24.0=处质点振动方程； （5）m x 12.01=与m x 36.02=处质点振动的位相差。
解：（1）设波源波动方程为()?ω+=t A y cos 0
可知： m A 03.0= 1502-==s v ππω 由旋转矢量知：2
π
?-
= ∴??
? ?
?-=250cos 03.0ππt y (SI)
（2）波动方程为：??
? ??
-
-=x t y λπππ2250cos 03.0 m 24.0=λ ??? ?
?
--=232550cos 03.0πππx t y (SI)
（3）s t 1=时波形方程为：??? ??-=x y ππ3252
99
cos 03.0 (SI)
（4）m x 24.0=处质点振动方程为??
? ?
?-=??
? ?
?--=2550cos 03.02250cos 03.0πππππt t y
（5）所求位相差为：ππ
λ
π
?224
.012
.036.0221
2=-=-=?x x ，x 1处质点位相超前。
强调：（1）波源初相?不一定=0 （2）λ
π
?x
?=?2的含义
第六章
1.已知电偶极子电矩为p
，求
⑴电偶极子在它轴线的延长线上一点A 的A E
；
⑵电偶极子在它轴线的中垂线上一点B 的B E
。
解：⑴如图所取坐标，-++=E E E A
2
024?
?? ?
?
-=
+l r q E πε
2
024?
?? ?
?
+=
-l r q E πε
222
200
2
2002222421214?
?? ??+??? ?
?
-?
?? ??--??? ??
+?=?
?????????????? ??
+-??? ?
?-=-=-+l r l r l r l r q l r l r q E E E A πεπε
3
3022404242212124r p
r ql l r r l r l r lr
q πεπεπε=>>?
?? ??+??? ??-?=3042r
p E A πε =? （A E 与p 同向） ⑵如图所取坐标
-++=E E E B
?
??
? ??+=
+222024l r q
E πε +-=E E
()α
ααcos 2cos cos +-+-=+-=E E E E Bx
2
3
2202
22
2
20444
2442?
??
? ??+-=
+
?
?
??
? ??+?
-=l r gl l r l
l r q
πεπε3
03
044r p
r gl l r πεπε-=->>
0=By E
3
04r p E E Bx B πε
-
==?
*分立电荷产生场强的叠加问题。 2.设电荷
q 均匀分布在半径为R 的圆环上，计算在环的轴线上与环心相距x
的p 点的场强。
解：如图所取坐标，x 轴在圆环轴线上，把圆环分成一系列点电荷，dl 部分在
p 点产生的电场为：电荷线密度==
R
q
πλ2 ()2202
044R x dl
r dl dE +==πελπελ
(
)
2
3220//4cos R
x xdl
dE dE +=
=πελθ
(
)
()(
)
(
)
2
322
02
322
020
2
322
0//4424R
x qx R
x x
R R
x xdl
E R
+=
+?=
+=?
πεπεπλπελπ
根据对称性可知，0=⊥E ∴
(
)
2
3220//4R
x qx E E +==πε
q >0 ：E 沿x 轴正向 ；<0 :E 沿x 轴负向（x 轴上E
关于原点对称）
E
与圆环平面垂直，
环中心处 x=0 E
=0，也可用对称性判断。
R x >>，20
4x q
E πε
=
3.半径为R 的均匀带电圆盘，电荷面密度为
σ，计算轴线上与盘心相距x 的
p 点的场强。
解：如图所示，x 轴在圆盘轴线上，把圆盘分成一系列的同心圆环，半径为r 、
宽度为
dr 的圆环在p 点产生的场强为：
(
)
2
3220//4r
x xdq dE +=
πε（均匀带电圆环结果） (
)
()
2
322
2
3220242r
x
xrdr
r
x rdr x +?=+?=
εσπεπσ ∵各环在p 点产生场强方向均相同， ∴整个圆盘在p 点产生场强为：
()
?
?+?==R
r
x
xrdr
dE E 0
2
322
////2εσ()
?
+=
R
r
x
rdr
x 0
2
32
2
2εσ
()
?++?=R
r
x
r x d x 02
3
222
2
0)(212εσ()
R
r x x 0
2
1
2201
2
11212+?-??=
εσ
???? ??+-=2
20112R x x x εσ??
??
??+-=22012R x x
x ε
σ>0：背离圆盘；<0：指向圆盘 即E
与盘面垂直（E 关于盘面对称）
讨论：∞→R
时，变成无限大带电薄平板，0
//
2εσ=
E ，方向与带电平板垂直。4.有一均匀带电直线，长为l ，电量为
q ，求距它为r 处p 点场强。
解：如图所取坐标，把带电体分成一系列点电荷，dy 段在p 处产生场强为：
)
(442202
0r y dy
r dq dE +==πελπε)(l
q
=λ ①
由图知： θθππθβrctg rtg rtg rtg y -=???
??--=??? ??-==22
θ
θd r dy 2csc =
?
??
??
代⑴中有：
204'r
dy
dE πελ=
θ
πελθθπ
π
θβsin r
dy
sin dE )cos(
dE )
cos(dE cos dE dE 'x 2
042
2
=
=-=-==
θ
θππθβr c t g r t g r t g r t g y -=??
?
??--=??? ??-==22 θθd csc r dy 2
=，θ
βsin r
cos r r '
==
∴
θ
πεθ
θλ220
24sin r d csc r dE x =
)c o s (c o s r r d s i n dE E x x 2100442
1
θθπελ
πεθθλθθ
-===?? θ
βcos dE sin dE dE y =-=
)sin (sin r d r
cos dE E y
y 1200442
1
θθπελ
θπεθλθθ-==
=?? 讨论：无限长均匀带电直线
πθθ==210,
r
E x 02πελ
=?,0=y
E .
即无限均匀带电直线，电场垂直直线，0>λ，E
背向直线；0<λ，
E
指向直线。
5.一均匀带电球壳，半径为R ，电荷为q +，求：球面内外任一点场强。
解：由题意知，电荷分布是球对称的，产生的电场是球对称的，场强方向沿半
径向外，以O 为球心任意球面上的各点E
值相等。
⑴球面内任一点
1P 的场强
以O 为圆心，通过P 1点做半径为1r
的球面1S 为高斯面，高斯
定理为： ∑?
=?内
11
1S s q S d E ε
∵E 与S d
同向，且1S 上E 值不变
∴2141
1
1
r E dS E dS E S d E s s s π?==?=????
1
10
=∑内
S q ε042
1
=??r E π∴0
=E
即均匀带电球面内任一点P 1场强为零。
注意：1）不是每个面元上电荷在球面内产生的场强为零，而是所有面元上
电荷在球面内产生场强的矢量和=0。
2）非均匀带电球面在球面内任一点产生的场强不可能都为零。（在个
别点有可能为零）
⑵球面外任一点的场强
以O 为圆心，通过P 2点以半径2r 做一球面2S 作为高斯面，由高斯定理有：
q r E 0
2
2
1
4επ=
?2
04r q E πε=
?
方向：沿2OP 方向（若0 PO 方向） 结论：均匀带电球面外任一点的场强，如图电荷全部 集中在球心处的点电荷在该点产生的场强一样。 =E 0 )(R r < 204r q πε )(R r > 6：有均匀带电的球体，半径为 R ，电量为q +，求球内外场强。 解：由题意知，电荷分布具有球对称性，∴电场也具有对称性，场强方向由球 心向外辐射，在以O 为圆心的任意球面上各点的E 相同。 （1）球内任一点P 1的?=E 以O 为球心，过P 1点做半径为1r 的高斯球面S 1，高斯定理为： ∵E 与S d 同向，且S 1 上各点E 值相等， ∴ 21 41 1 1 r E dS E dS E S d E s s s π?==?=???? 313031300343 41 1r R q r R q q S εππεε=?=∑内3130214r R q r E επ=?? ∴ 1 3 04r R q E πε= E 沿OP 方向。（若0 结论：1r E ∝ 注意：不要认为S 1外任一电荷元在P 1处产生的场强为0，而是S 1外所有电 荷元在P 1点产生的场强的叠加为0。 ?? ???∑?= ?内 11 1S s q S d E ε （2）球外任一点P 2 的?=E 以O 为球心，过P 2点做半径为2r 的球形高斯面S 2，高斯定理为： ∑?= ?内 22 1S s q S d E ε 由此有： q r E 0 22 1 4επ= ?2 204r q E πε= ? E 沿2OP 方向 结论：均匀带电球体外任一点的场强如同电荷全部集中在球心处的点电荷 产生的场强一样。 = E 134r R q πε )(1R r < 20 4r q πε )(R r > r E - 曲线如左图。 7.一无限长均匀带电直线，设电荷线密度为λ+，求直线外任一点场强。 解：由题意知，这里的电场是关于直线轴对称的，E 的方向垂直直线。在以直 线为轴的任一圆柱面上的各点场强大小是等值的。以直线为轴线，过考察点P 做半径为 r 高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1 、下底为S 2 ，侧面为S 3 。 高斯定理为： ∑?= ?内 S s q S d E 0 1 ε 在此，有： ?????+?+?=?3 2 1 s s s s S d E S d E S d E S d E ∵在S 1 、S 2 上各面元E S d ⊥，∴前二项积分=0 ? ??? ? 又 在S 3 上E 与S d 方向一致，且E =常数， ∴rh E dS E EdS S d E S d E s s s s π23 3 3 ?===?=????? h q S λεε0 1 1 = ∑内 h rh E λεπ0 12=??即 r E 02πελ = E 由带电直线指向考察点。（若0<λ，则E 由考察点指向带电直线） 上面结果将与例4结果一致。 8.无限长均匀带电圆柱面，半径为R ，电荷面密度为0>σ，求柱面内外任 一点场强。 解：由题意知，柱面产生的电场具有轴对称性，场强方向由柱面轴线向外辐射， 并且任意以柱面轴线为轴的圆柱面上各点E 值相等。 1）带电圆柱面内任一点P 1 的?=E 以OO’为轴，过P 1点做以1r 为半径高为h 的圆柱高斯面，上底为S 1，下底为S 2，侧面为S 3。高斯定理为： ∑?= ?内 S s q S d E 0 1ε 在此，有： ?????+?+?=?3 2 1 s s s s S d E S d E S d E S d E ∵在S 1 、S 2 上各面元E S d ⊥1， ∴上式前二项积分=0，又在S 3 上S d 与E 同向， 且E =常数， ∴h r E dS E EdS S d E s s s 123 3 π?===???? 01 =∑内 S q ε021=??h r E π∴0=E 结论：无限长均匀带电圆筒内任一点场强=0 2）带电柱面外任一点场强?=E 以'OO 为轴，过P 2点做半径为2r 高为h 的圆柱形高斯面，上底为S 1’，下底为S 2’，侧面为S 3’。由高斯定理有： Rh h r E πσεπ21 20 1?=?2022r R E πεπσ?= ? ∵ []122??=?R R πσπσ=单位长柱面的电荷（电荷线密度）=λ ∴ 2 02r E πελ =，E 由轴线指向P 2 。0<σ时，E 沿P 2 指向轴线 结论：无限长均匀带电圆柱面在其外任一点的场强，如全部电荷都集中在 带电柱面的轴线上的无限长均匀带电直线产生的场强一样。 9.无限大均匀带电平面，电荷面密度为σ+，求平面外任一点场强。 解：由题意知，平面产生的电场是关于平面二侧对称的，场强方向垂直平面， 距平面相同的任意二点处的E 值相等。设P 为考察点，过P 点做一底面平行于平 面的关于平面又对称的圆柱形高斯面，右端面为S 1，左端面为S 2，侧面为S 3，高斯定理为： ∑?= ?内 S s q S d E 0 1ε 在此，有： ?????+?+?=?321s s s s S d E S d E S d E S d E ∵在S 3 上的各面元E S d ⊥，∴第三项积分=0 又 ∵在S 1 、S 2 上各面元 S d 与E 同向，且在S 1 、S 2 上 E =常数，∴有： 1 2122 1 2 1 ES ES ES dS E dS E EdS EdS S d E s s s s s =+=+=+=?????? 10 01 1 S q S σεε?=∑内 1011 2S S E σε?=??即： 02εσ =E （均匀电场） E 垂直平面指向考察点（若0<σ，则E 由考察点指向平面）。 10.有二平行无限大均匀带电平板A 、B ，电荷面密度分别为1）σ σ++ ,；2） σσ-+,。求：板内、外场强。 解：1）设P 1为板内任一点，有 B A E E E +=即0220 0=-= -=εσεσB A E E E 设P 2为 B 右侧任一点（也可取在A 左侧）， B A E E E +=即 0 22εσ εσεσ=+= +=B A E E E 2）设P 3为二板内任一点， B A E E E +=即 0 22εσεσεσ=+= +=B A E E E 设P 4为B 右侧任一点（也可取在A 左侧） B A E E E += 即：0220 0=-=-=εσεσB A E E E 上面，我们应用高斯定理求出了几种带电体产生的场强，从这几个例子看出， 用高斯定理求场强是比较简单的。但是，我们应该明确，虽然高斯定理是普遍 第一章 质点运动学 1 -1 质点作曲线运动,在时刻t 质点的位矢为r ,速度为v ,速率为v,t 至(t ＋Δt )时间内的位移为Δr , 路程为Δs , 位矢大小的变化量为Δr ( 或称Δ｜r ｜),平均速度为v ,平均速率为v ． (1) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜Δr ｜= Δs = Δr (B) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d s ≠ d r (C) ｜Δr ｜≠ Δr ≠ Δs ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r ≠ d s (D) ｜Δr ｜≠ Δs ≠ Δr ,当Δt →0 时有｜d r ｜= d r = d s (2) 根据上述情况,则必有( ) (A) ｜v ｜= v ,｜v ｜= v (B) ｜v ｜≠v ,｜v ｜≠ v (C) ｜v ｜= v ,｜v ｜≠ v (D) ｜v ｜≠v ,｜v ｜= v 分析与解 (1) 质点在t 至(t ＋Δt )时间内沿曲线从P 点运动到P′点,各量关系如图所示, 其中路程Δs ＝PP′, 位移大小｜Δr ｜＝PP ′,而Δr ＝｜r ｜-｜r ｜表示质点位矢大小的变化量,三个量的物理含义不同,在曲线运动中大小也不相等(注：在直线运动中有相等的可能)．但当Δt →0 时,点P ′无限趋近P 点,则有｜d r ｜＝d s ,但却不等于d r ．故选(B)． (2) 由于｜Δr ｜≠Δs ,故t s t ΔΔΔΔ≠r ,即｜v ｜≠v ． 但由于｜d r ｜＝d s ,故t s t d d d d =r ,即｜v ｜＝v ．由此可见,应选(C)． 1 -2 一运动质点在某瞬时位于位矢r (x,y )的端点处,对其速度的大小有四种意见,即 (1)t r d d ； (2)t d d r ； (3)t s d d ； (4)2 2d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x ． 下述判断正确的是( ) (A) 只有(1)(2)正确 (B) 只有(2)正确 一、选择题：（每题3分） 1、某质点作直线运动的运动学方程为x ＝3t -5t 3 + 6 (SI)，则该质点作 (A) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． (C) 变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向． (D) 变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向． ［ ］ 2、一质点沿x 轴作直线运动，其v -t 曲 线如图所示，如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5 s 时，质点在x 轴上的位置为 (A) 5m ． (B) 2m ． (C) 0． (D) -2 m ． (E) -5 m. ［ b ］ 3、图中p 是一圆的竖直直径pc 的上端点，一质点从p 开始分 别沿不同的弦无摩擦下滑时，到达各弦的下端所用的时间相比 较是 (A) 到a 用的时间最短． (B) 到b 用的时间最短． (C) 到c 用的时间最短． (D) 所用时间都一样． ［ d ］ 4、 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度=v 2 m/s ，瞬时加速度2/2s m a -=， 则一秒钟后质点的速度 (A) 等于零． (B) 等于-2 m/s ． (C) 等于2 m/s ． (D) 不能确定． ［ d ］ 5、 一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 j bt i at r 22+=（其中 a 、 b 为常量）, 则该质点作 (A) 匀速直线运动． (B) 变速直线运动． (C) 抛物线运动． (D)一般曲线运动． ［ ］ 6、一运动质点在某瞬时位于矢径()y x r , 的端点处, 其速度大小为 (A) t r d d (B) t r d d (C) t r d d (D) 22d d d d ?? ? ??+??? ??t y t x [ ] 7、 质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T 秒转一圈．在2T 时间间隔中， 其平均速度大小与平均速率大小分别为 (A) 2πR /T , 2πR/T ． (B) 0 , 2πR /T (C) 0 , 0． (D) 2πR /T , 0. ［ ］ -12 O a p 第一章 质点运动学 1．下列物理量是标量的为（ D ） A ．速度 B ．加速度 C ．位移 D ．路程 2．下列物理量中是矢量的有 （ B ） A . 内能 B . 动量 C . 动能 D . 功 一、位矢、位移、速度、加速度等概念 1.一质点作定向直线运动，，下列说法中，正确的是 （ B ） A.质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向一定恒定 B.质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向一定恒定 C.质点位置矢量的方向一定恒定，位移方向不一定恒定 D.质点位置矢量的方向不一定恒定，位移方向不一定恒定 2．质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+r r r ，,R ω为正的常数，从/t πω=到2/t πω =时间内，该质点的位移是 （ B ） A ．2Rj r - B ．2Ri r C ．2j r - D ．0 3．一质点以半径为R 作匀速圆周运动，以圆心为坐标原点，质点运动半个周期内, 其位移大小r ?=r _ __2R_____，其位矢大小的增量r ?=____0_____． 4．质点在平面内运动，矢径 ()r r t =v v ，速度()v v t =v v ，试指出下列四种情况中哪种质点一 定相对于参考点静止： （ B ） A. 0dr dt = B ．0dr dt =v C ．0dv dt = D ．0dv dt =v 5.质点作曲线运动，某时刻的位置矢量为r ρ，速度为v ρ，则瞬时速度的大小是（ B ）， 切向加速度的大小是（ F ），总加速度大小是（ E ） A.dt r d ρ B. dt r d ρ C. dt dr D. dt v d ρ E. dt v d ρ F. dt dv 6. 在平面上运动的物体，若0=dt dr ，则物体的速度一定等于零。 （ × ）7. 一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为v ，瞬时速率为v ，某一段时间内的平均速度为v ，平均速率为v ,它们之间的关系应该是： （ A ） A ．v = v ，v ≠v B ．v ≠v , v =v 第2章刚体得转动 一、选择题 1、如图所示，A、B为两个相同得绕着轻绳得定滑轮．A滑轮挂一质量为M得物体，B滑轮受拉力F，而且F＝Mg．设A、Ｂ两滑轮得角加速度分别为βA与βＢ，不计滑轮轴得摩擦，则有 （Ａ) βA＝βB。（B）βA＞βＢ. (Ｃ)βA＜βB．(D）开始时βＡ=βB，以后βA<βB。 ［］ 2、有两个半径相同，质量相等得细圆环A与B。A环得质量分布均匀，B环得质量分布不均匀。它们对通过环心并与环面垂直得轴得转动惯量分别为ＪA与J B,则 （A）ＪA＞J B．(B) JＡ 库仑定律 7-1 把总电荷电量为Q 的同一种电荷分成两部分，一部分均匀分布在地球上，另一部分均匀分布在月球上， 使它们之间的库仑力正好抵消万有引力，已知地球的质量M ＝ 5.98l024 kg ，月球的质量m =7.34l022kg 。（1）求 Q 的最小值；（2）如果电荷分配与质量成正比，求Q 的值。 解：（1）设Q 分成q 1、q 2两部分，根据题意有 2 221r Mm G r q q k =，其中041πε=k 即 2221q k q GMm q q Q += +=。求极值，令0'=Q ，得 0122=-k q GMm C 1069.5132?== ∴k GMm q ，C 1069.51321?==k q GMm q ，C 1014.11421?=+=q q Q （2）21q m q M =Θ ，k GMm q q =21 k GMm m q mq Mq ==∴2122 解得C 1032.6122 2?==k Gm q ， C 1015.51421?==m Mq q ，C 1021.51421?=+=∴q q Q 7-2 三个电量为 –q 的点电荷各放在边长为 l 的等边三角形的三个顶点上，电荷Q （Q ＞0）放在三角形 的重心上。为使每个负电荷受力为零，Q 值应为多大？ 解：Q 到顶点的距离为 l r 33= ，Q 与-q 的相互吸引力为 20141r qQ F πε=， 两个-q 间的相互排斥力为 2 2 0241l q F πε= 据题意有 10 230cos 2F F =，即 2 022041300cos 41 2r qQ l q πεπε=?，解得：q Q 33= 电场强度 7-3 如图7-3所示，有一长l 的带电细杆。（1）电荷均匀分布，线密度为+，则杆上距原点x 处的线元 d x 对P 点的点电荷q 0 的电场力为何？q 0受的总电场力为何？（2）若电荷线密度=kx ，k 为正常数，求P 点的电场强度。 解：（1）线元d x 所带电量为x q d d λ=，它对q 0的电场力为 200200)(d 41 )(d 41 d x a l x q x a l q q F -+=-+= λπεπε q 0受的总电场力 )(4)(d 400020 0a l a l q x a l x q F l +=-+= ?πελπελ 00>q 时，其方向水平向右；00 习题2 选择题 (1) 一质点作匀速率圆周运动时， (A)它的动量不变，对圆心的角动量也不变。 (B)它的动量不变，对圆心的角动量不断改变。 (C)它的动量不断改变，对圆心的角动量不变。 (D)它的动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。 [答案：C] (2) 质点系的内力可以改变 (A)系统的总质量。 (B)系统的总动量。 (C)系统的总动能。 (D)系统的总角动量。 [答案：C] (3) 对功的概念有以下几种说法： ①保守力作正功时，系统内相应的势能增加。 ②质点运动经一闭合路径，保守力对质点作的功为零。 ③作用力与反作用力大小相等、方向相反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A)①、②是正确的。 (B)②、③是正确的。 (C)只有②是正确的。 (D)只有③是正确的。 [答案：C] 填空题 (1) 某质点在力i x F )54( （SI ）的作用下沿x 轴作直线运动。在从x=0移动到x=10m 的过程中，力F 所做功为 。 [答案：290J ] (2) 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作用下开始作匀减速运动，经过距离s 后速度减为零。则物体加速度的大小为 ，物体与水平面间的摩擦系数为 。 [答案：2 2 ;22v v s gs ] (3) 在光滑的水平面内有两个物体A 和B ，已知m A =2m B 。（a ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 ；（b ）物体A 以一定的动能E k 与静止的物体B 发生完全非弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能为 。 [答案：2; 3 k k E E ] 在下列情况下，说明质点所受合力的特点： （1）质点作匀速直线运动； （2）质点作匀减速直线运动； （3）质点作匀速圆周运动； （4）质点作匀加速圆周运动。 解：（1）所受合力为零； （2）所受合力为大小、方向均保持不变的力，其方向与运动方向相反； （3）所受合力为大小保持不变、方向不断改变总是指向圆心的力； （4）所受合力为大小和方向均不断变化的力，其切向力的方向与运动方向相同，大小恒定；法向力方向指向圆心。 举例说明以下两种说法是不正确的： （1）物体受到的摩擦力的方向总是与物体的运动方向相反； （2）摩擦力总是阻碍物体运动的。 解：（1）人走路时，所受地面的摩擦力与人的运动方向相同； （2）车作加速运动时，放在车上的物体受到车子对它的摩擦力，该摩擦力是引起物体相对地面运动的原因。 质点系动量守恒的条件是什么？在什么情况下，即使外力不为零，也可用动量守恒定律近似求解？ 解：质点系动量守恒的条件是质点系所受合外力为零。当系统只受有限大小的外力作用，且作用时间很短时，有限大小外力的冲量可忽略，故也可用动量守恒定律近似求解。 在经典力学中，下列哪些物理量与参考系的选取有关：质量、动量、冲量、动能、势能、功？ 解：在经典力学中，动量、动能、势能、功与参考系的选取有关。 一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为1m 的物体，另一边穿在质量为2m 的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动．今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a 下滑，求1m ，2m 相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩擦不计)． 解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为1a ，其对于2m 则为牵连加速度，又知2m 对绳子的相对加速度为a ，故2m 对地加速度， 题图 由图(b)可知，为 a a a 12 ① 又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力f 在数值上等于绳的张力T ，由牛顿定律， 第2章 刚体的转动 一、 选择题 1、 如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮．A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且F ＝Mg ．设A 、B 两滑轮的角加速度分别为?A 和?B ，不计滑轮轴的摩擦，则有 (A) ?A ＝?B ． (B) ?A ＞?B ． (C) ?A ＜?B ． (D) 开始时?A ＝?B ，以后?A ＜?B ． ［ ］ 2、 有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则 (A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ． (C) J A = J B ． (D) 不能确定J A 、J B 哪个大． ［ ］ 3、 如图所示，一匀质细杆可绕通过上端与杆垂直的水平光滑固定轴O 旋转，初始状态为静止悬挂．现有一个小球自左方水平打击细杆．设小球与细杆之间为非弹性碰撞，则在碰撞过程中对细杆与小球这一系统 (A) 只有机械能守恒． (B) 只有动量守恒． (C) 只有对转轴O 的角动量守恒． (D) 机械能、动量和角动量均守恒． ［ ］ 4、 质量为m 的小孩站在半径为R 的水平平台边缘上．平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为J ．平台和小孩开始时均静止．当小孩突然以相对于地面为v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度和旋转方向分别为 (A) ??? ??=R J mR v 2 ω，顺时针． (B) ?? ? ??=R J mR v 2ω，逆时针． (C) ??? ??+=R mR J mR v 22ω，顺时针． (D) ?? ? ??+=R mR J mR v 22ω，逆时针。 ［ ］ 5、 如图所示，一静止的均匀细棒，长为L 、质量为M ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动，转动惯量为231ML ．一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为v 2 1，则此时棒的角速度应为 (A) ML m v ． (B) ML m 23v ． 内容为：P37-7.8.14.15.19.21.25； P67-8.11.14.17； P123-11.14.15.17.19.21； P161-7.10.12.15； P236-9.10~14.16.18~23.27.28 第九章 静电场 9－7 点电荷如图分布，试求P 点的电场强度. 分析 依照电场叠加原理，P 点的电场强度等于各点电荷单独存在时在P 点激发电场强度的矢量和.由于电荷量为q 的一对点电荷在P 点激发的电场强度大小相等、方向相反而相互抵消，P 点的电场强度就等于电荷量为2.0q 的点电荷在该点单独激发的场强度. 解 根据上述分析 202 0π1)2/(2π41a q a q E P εε== 题 9-7 图 9－8 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 204π1L r Q εE -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2204π21L r r Q εE += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较. 题 9-8 图 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 0d π41d '= 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(a )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是 ??==L y E E j j E d sin d α 证 (1) 延长线上一点P 的电场强度?' =L r q E 2 0π2d ε，利用几何关系 r ′＝r －x 统一积分变量，则 ()220 022 204π12/12/1π4d π41L r Q εL r L r L εQ x r L x Q εE L/-L/P -=??????+--=-=? 电场强度的方向沿x 轴. (2) 根据以上分析，中垂线上一点P 的电场强度E 的方向沿y 轴，大小为 E r εq αE L d π4d sin 2 ? '= 利用几何关系 sin α＝r /r ′，22x r r +=' 统一积分变量，则 ()2 202/3222 2 041 π2d π41L r r Q r x L x rQ E L/-L/+=+=?εε 第三章基本知识小结 ⒈牛顿运动定律适用于惯性系、质点，牛顿第二定律是核心。 矢量式：22dt r d m dt v d m a m F === 分量式： （弧坐标） （直角坐标） ρ τττ2 ,,,v m m a F dt dv m m a F m a F m a F m a F n n z z y y x x ======= ⒉动量定理适用于惯性系、质点、质点系。 导数形式：dt p d F = 微分形式：p d dt F = 积分形式：p dt F I ?==?)( （注意分量式的运用） ⒊动量守恒定律适用于惯性系、质点、质点系。 若作用于质点或质点系的外力的矢量和始终为零，则质点或质点系的动量保持不变。即 ∑==恒矢量。 则，若外p F 0 （注意分量式的运用） ⒋在非惯性系中，考虑相应的惯性力，也可应用以上规律解题。 在直线加速参考系中：0*a m f -= 在转动参考系中： ωω ?=='2, *2* mv f r m f k c ⒌质心和质心运动定理 ⑴∑∑∑===i i c i i c i i c a m a m v m v m r m r m ⑵∑=c a m F （注意分量式的运用） 3.5.1 质量为2kg 的质点的运动学方程为 j t t i t r ?)133(?)16(22+++-= （单位：米，秒） ， 求证质点受恒力而运动，并求力的方向大小。 解：∵j i dt r d a ?6?12/22+== , j i a m F ?12?24+== 为一与时间无关的恒矢量，∴质点受恒 力而运动。 F=(242+122)1/2=12 5N ，力与x 轴之间夹角为： '34265.0/?===arctg F arctgF x y α 3.5.2 质量为m 的质点在o-xy 平面内运动，质点的运动学方程为：j t b i t a r ?sin ?cos ωω+= ， a,b,ω为正常数，证明作用于质点的合力总指向原点。 证明：∵r j t b i t a dt r d a 2222)?sin ?cos (/ωωωω-=+-== r m a m F 2ω-==, ∴作用于质点的合力总指向原点。 大学物理期末试卷(A) （2012年6月29日 9: 00-11: 30） 专业 ____组 学号 姓名 成绩 (闭卷) 一、 选择题（4０％） 1．对室温下定体摩尔热容m V C ,=2.5R 的理想气体，在等压膨胀情况下，系统对外所做的功与系统从外界吸收的热量之比W/Q 等于： 【 D 】 （A ） 1/3； (B)1/4； (C)2/5； (D)2/7 。 2. 如图所示，一定量的理想气体从体积V 1膨胀到体积V 2分别经历的过程是：A B 等压过程; A C 等温过程; A D 绝热过程 . 其中吸热最多的 过程 【 A 】 (A) 是A B. (B) 是A C. (C) 是A D. (D) 既是A B,也是A C ,两者一样多. 3.用公式E =νC V T (式中C V 为定容摩尔热容量，ν为气体摩尔数)计算理想气体内能 增 量 时 ， 此 式 : 【 B 】 (A) 只适用于准静态的等容过程. (B) 只适用于一切等容过程. (C) 只适用于一切准静态过程. (D) 适用于一切始末态为平衡态的过程. 4气缸中有一定量的氦气(视为理想气体),经过绝热压缩,体积变为原来的一半,问气体 分 子 的 平 均 速 率 变 为 原 来 的 几 倍 ？ p V V 1 V 2 A B C D . 题2图 【 B 】 (A)2 2 / 5 (B)2 1 / 5 (C)2 1 / 3 (D) 2 2 / 3 5．根据热力学第二定律可知： 【 D 】 （A ）功可以全部转化为热, 但热不能全部转化为功。 （B ）热可以由高温物体传到低温物体，但不能由低温物体传到高温物体。 （C ）不可逆过程就是不能向相反方向进行的过程。 （D ）一切自发过程都是不可逆。 6. 如图所示，用波长600=λnm 的单色光做杨氏双缝实验，在光屏P 处产生第五级明纹极大，现将折射率n =1.5的薄透明玻璃片盖在其中一条缝上，此时P 处变成中央 明纹极大的位置，则此玻璃片厚度为： 【 B 】 (A) 5.0×10-4 cm (B) 6.0×10-4cm (C) 7.0×10-4cm (D) 8.0×10-4cm 7．下列论述错误．．的是： 【 D 】 (A) 当波从波疏媒质( u 较小)向波密媒质(u 较大)传播，在界面上反射时，反射 波中产生半波损失，其实质是位相突变。 (B) 机械波相干加强与减弱的条件是：加强 π?2k =?；π?1)2k (+=?。 (C) 惠更斯原理：任何时刻波面上的每一点都可作为次波的波源，各自发出球面次波；在以后的任何时刻，所有这些次波面的包络面形成整个波在该时刻的新波面 (D) 真空中波长为500nm 绿光在折射率为1.5的介质中从A 点传播到B 点时，相位改变了5π，则光从A 点传到B 点经过的实际路程为1250nm 。 8. 在照相机镜头的玻璃片上均匀镀有一层折射率n 小于玻璃的介质薄膜，以增强某一波长 的透射光能量。假设光线垂直入射，则介质膜的最小厚度应为： 【 D 】 (A)/n λ (B)/2n λ (C)/3n λ (D)/4n λ P O 1 S 2 S 6. 题图 习题及参考答案 第3章 刚体力学 参考答案 思考题 3-1刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 （A ）刚体不受外力矩的作用。 （B ）刚体所受合外力矩为零。 (C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零。 (D)刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 答：（B ）。 3-2如图所示，A 、B 为两个相同的绕着轻 绳的定滑轮。A 滑轮挂一质量为M 的物体， B 滑轮受拉力F ，而且F =Mg 。设A 、B 两 滑轮的角加速度分别为βA 和βB ，不计滑轮 轴的摩擦，则有 （A ）βA = βB （B ）βA > βB （C ）βA < βB （D ）开始时βA = βB ，以后βA < βB 答：（C ）。 3-3关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A ）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关。 (B)取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关。 （C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置。 (D)只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无 答：（C ）。 3-4一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，初始时整个系统处于静止状态，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统 (A)动量守恒； (B)机械能守恒； (C)对转轴的角动量守恒； (D)动量、机械能和角动量都守恒； (E)动量、机械能和角动量都不守恒。 答：（C ）。 3-5光滑的水平桌面上，有一长为2L 、质量为m 的匀质细杆，可绕过其中点o 且垂直于 杆的竖直光滑固定轴自由转动，其转动惯量为2 13mL ， 起初杆静止，桌面上有两个质量均为m 的小球，各自在 垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v 相向 运动，如图所示，当两小球同时与杆的两个端点发生完全 非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，则这一系统碰撞后的转动角速度应为 A M F 思考题3-2图 v 思考题3-5图 任课教师： 系（室）负责人： 普通物理试卷第1页，共7页 《普通物理》考试题 开卷（ ）闭卷（∨ ） 适用专业年级 姓名： 学号： ；考试座号 年级： ； 本试题一共3道大题，共7页，满分100分。考试时间120分钟。 注：1、答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者，试卷作废。 2、试卷若有雷同以零分记。 ３、常数用相应的符号表示，不用带入具体数字运算。 4、把题答在答题卡上。 一、选择（共15小题，每小题2分，共30分） 1、一质点在某瞬时位于位矢(,)r x y r 的端点处，对其速度的大小有四种意见，即 （1）dr dt （2）d r dt r （3） ds dt （4） 下列判断正确的是（ D ） A.只有（1）（2）正确; B. 只有（2）正确; C. 只有（2）（3）正确; D. 只有（3）（4）正确。 2、下列关于经典力学基本观念描述正确的是 （ B ） A、牛顿运动定律在非惯性系中也成立， B、牛顿运动定律适合于宏观低速情况， C、时间是相对的， D、空间是相对的。 3、关于势能的描述不正确的是（ D ） A、势能是状态的函数 B、势能具有相对性 C、势能属于系统的 D、保守力做功等于势能的增量 4、一个质点在做圆周运动时，则有：（B） A切向加速度一定改变，法向加速度也改变。B切向加速度可能不变，法向加速度一定改变。 C切向加速的可能不变，法向加速度不变。D 切向加速度一定改变，法向加速度不变。 5、假设卫星环绕地球中心做椭圆运动，则在运动的过程中，卫星对地球中心的（ B ） A.角动量守恒，动能守恒；B .角动量守恒，机械能守恒。 C.角动量守恒，动量守恒； D 角动量不守恒，动量也不守恒。 6、一圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的水平轴转动，轴间摩擦不计，两个质量相同、速度大小相同、方向相反并在一条直线上（不通过盘心）的子弹，它们同时射入圆盘并且留在盘内，在子弹射入后的瞬间，对于圆盘和子弹系统的角动量L和圆盘的角速度ω则有（ C ） A.L不变，ω增大； B.两者均不变m m 大学物理力学一、二章 作业答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一章 质点运动学 一、选择题 1、一质点在xoy 平面内运动，其运动方程为2,ct b y at x +==，式中a 、b 、c 均为常数。当运动质点的运动方向与x 轴成450角时，它的速率为[ B ]。 A ．a ； B ．a 2； C ．2c ； D ．224c a +。 2、设木块沿光滑斜面从下端开始往上滑动，然后下滑，则表示木块速度与时间关系的曲线是图1-1中的[ D ]。 3、一质点的运动方程是j t R i t R r ωωsin cos +=，R 、ω为正常数。从t ＝ ωπ/到t =ωπ/2时间内该质点的路程是[ B ]。 A ．2R ； B ．R π； C ． 0； D ．ωπR 。 4、质量为0.25kg 的质点，受i t F =(N)的力作用，t =0时该质点以v =2j m/s 的速度通过坐标原点，该质点任意时刻的位置矢量是[ B ]。 A ．22 t i +2j m ； B ．j t i t 23 23+m ； C ．j t i t 343243+； D ．条件不足，无法确定。 二、填空题 1、一质点沿x 轴运动，其运动方程为225t t x -+=（x 以米为单位，t 以秒为单位）。质点的初速度为 2m/s ，第4秒末的速度为 -6m/s ，第4秒末的加速度为 -2m/s 2 。 2、一质点以π（m/s ）的匀速率作半径为5m 的圆周运动。该质点在5s 内 的平均速度的大小为 2m/s ，平均加速度的大小为 22 m /5 s π 。 3、一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其运动方程为22t +=θ（式中的θ以弧度计，t 以秒计），质点在第一秒末的速度为 0.2m/s ，切向加速度为 0.2m/s 2 。 4、一质点沿半径1m 的圆周运动，运动方程为θ=2+3t 3，其中θ以弧度计，t 以秒计。T =2s 时质点的切向加速度为 36m/s 2 ；当加速度的方向和半径成45 o角时角位移是 3 8 rad 。 5、飞轮半径0.4m ，从静止开始启动，角加速度β=0.2rad/s 2。t =2s 时边缘各点的速度为 0.16m/s ，加速度为 0.102m/s 2 。 6、如图1-2所示，半径为R A 和R B 的两轮和皮带连结，如果皮带不打滑，则两轮的角速度=B A ωω: R R A B : ，两轮边缘A 点和B 点的切向加速度 =B A a a ττ: 1:1 。 三、简述题 1、给出路程和位移的定义，并举例说明二者的联系和区别。 2、给出瞬时速度和平均速度的定义，并举例说明二者的联系和区别。 3、给出速度和速率的定义，并简要描述二者的联系和区别。 4、给出瞬时加速度和平均加速度的定义，并简要描述二者的联系和区别。 四、计算题 图1-2 二章 2-２质量为1６kg 的质点在xOy 平面内运动,受一恒力作用,力的分量为f x ＝6N,ｆy =－7N. 当t ＝0时,x =ｙ＝0,v ｘ＝－２m·s － 1，v y ＝0．求当ｔ＝2s 时质点的位矢和速度． 解：2s m 8 3 166-?=== m f a x x 2s m 16 7 -?-= = m f a y y (１） ??--?-=?-=+=?-=?+-=+=201 01 200s m 8 7 2167s m 4 5 2832dt a v v dt a v v y y y x x x 于是质点在s 2时的速度 1s m 8 745-?--=j i v (2） m 8 74134)16 7(21)483 2122(2 1)21(220j i j i j t a i t a t v r y x --=?-+??+?-=++= ２-6一颗子弹由枪口射出时速率为ｖ0m·s －１ ,当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力 为F ＝(a －b ｔ)N(a ，b 为常数），其中ｔ以s 为单位： (１）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2）求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量. 解: （１）由题意，子弹到枪口时，有 0)(=-=bt a F ,得b a t = (2）子弹所受的冲量 ?-=-=t bt at t bt a I 022 1 d )( 将b a t = 代入,得 b a I 22= (3)由动量定理可求得子弹的质量 2 02bv a v I m = = 2-8如题２－8图所示,一物体质量为2kg ，以初速度v ０=３m·s -1从斜面Ａ点处下滑,它与斜面的摩擦力为8N,到达B 点后压缩弹簧20cm 后停止,然后又被弹回．求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度 . 题2-８图 解： 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 ??? ???+-=-37sin 212122mgs mv kx s f r 22 2 137sin 21kx s f mgs mv k r -?+= 式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据,解得 -1m N 1390?=k 再次运用功能原理，求木块弹回的高度h ' 2o 2 1 37sin kx s mg s f r -'='- 代入有关数据,得m 4.1='s ， 则木块弹回高度 m 84.037sin o ='='s h 五章 5-7试说明下列各量的物理意义． (1) 12 kT ；(2）32kT ;(3)2i k Ｔ; (4）2mol M i M RT ；(5）2i R Ｔ；(６)32 R Ｔ. 解：(1)在平衡态下,分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为k 2 1 T ． (2)在平衡态下,分子平均平动动能均为 kT 2 3 ． (3)在平衡态下，自由度为i 的分子平均总能量均为 kT i 2 . (4)由质量为M ,摩尔质量为mol M ,自由度为i 的分子组成的系统的内能为 RT i M M 2 mol . 大学物理学(上)练习题 第一编 力 学 第一章 质点的运动 1．一质点在平面上作一般曲线运动，其瞬时速度为,v 瞬时速率为v ，平均速率为,v 平均 速度为v ，它们之间如下的关系中必定正确的是 (A) v v ≠，v v ≠； (B) v v =，v v ≠； (C) v v =，v v =； (C) v v ≠，v v = [ ] 2．一质点的运动方程为2 6x t t =-(SI)，则在t 由0到4s 的时间间隔内，质点位移的大小为 ，质点走过的路程为 。 3．一质点沿x 轴作直线运动，在t 时刻的坐标为23 4.52x t t =-（SI ）。试求：质点在 （1）第2秒内的平均速度； （2）第2秒末的瞬时速度； （3）第2秒内运动的路程。 4．灯距地面的高度为1h ，若身高为2h 的人在灯下以匀速率 v 沿水平直线行走，如图所示，则他的头顶在地上的影子M 点沿地 面移动的速率M v = 。 5．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，t a 表示切向加速度，下列表达式 （1） dv a dt =， （2）dr v dt =， （3）ds v dt =， （4）||t dv a dt =. （A ）只有（1）、（4）是对的； （B ）只有（2）、（4）是对的； （C ）只有（2）是对的； （D ）只有（3）是对的. [ ] 6．对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的。 （A ）切向加速度必不为零； （B ）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C ）由于速度沿切线方向；法向分速度必为零，因此法向加速度必为零； （D ）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； （E ）若物体的加速度a 为恒矢量，它一定作匀变速率运动. [ ] 7．在半径为R 的圆周上运动的质点，其速率与时间的关系为2 v ct =（c 为常数），则从 0t =到t 时刻质点走过的路程()s t = ；t 时刻质点的切向加速度t a = ；t 时刻质点 的法向加速度n a = 。 2 h M 1h 一、填空题（运动学） 1、一质点在平面内运动, 其1c r =ρ ，2/c dt dv =；1c 、2c 为大于零的常数，则该质点作 运动。 2．一质点沿半径为0.1=R m 的圆周作逆时针方向的圆周运动，质点在0～t 这段 时间内所经过的路程为4 2 2t t S ππ+ = ，式中S 以m 计，t 以s 计，则在t 时刻质点的角速度为 ， 角加速度为 。 3．一质点沿直线运动，其坐标x 与时间t 有如下关系：x=A e - t （ A. 皆为常数）。则任意时刻t 质点的加速度a = 。 4．质点沿x 轴作直线运动，其加速度t a 4=m/s 2，在0=t 时刻，00=v ，100=x m ，则该质点的运动方程为=x 。 5、一质点从静止出发绕半径R 的圆周作匀变速圆周运动，角加速度为β，则该 质点走完半周所经历的时间为______________。 6．一质点沿半径为0.1=R m 的圆周作逆时针方向的圆周运动，质点在0～t 这段时间内所经过的路程为2t t s ππ+=式中S 以m 计，t 以s 计，则t=2s 时，质点的法向加速度大小n a = 2/s m ，切向加速度大小τa = 2/s m 。 7. 一质点沿半径为0.10 m 的圆周运动，其角位移θ 可用下式表示3 2t +=θ (SI)． (1) 当2s =t 时，切向加速度t a = ______________； (2) 当的切向加速度大小恰为法向加速度大小的一半时，θ= ______________。 （rad s m 33.3,/2.12 ） 8．一质点由坐标原点出发，从静止开始沿直线运动，其加速度a 与时间t 有如下关系：a=2+ t ，则任意时刻t 质点的位置为=x 。 (动力学) 1、一质量为kg m 2=的质点在力()()N t F x 32+=作用下由静止开始运动，若此力作用在质点上的时间为s 2，则该力在这s 2内冲量的大小=I ；质点在第 s 2末的速度大小为 。 二章 2-2 质量为16 kg 的质点在xOy 平面内运动，受一恒力作用，力的分量为f x ＝6 N ，f y ＝－7 N.当t ＝0时，x ＝y ＝0，v x ＝－2 m·s － 1，v y ＝0.求当t ＝2 s 时质点的位矢和速度. 解： 2s m 8 3166-?===m f a x x (1) 于是质点在s 2时的速度 (2) 2-6 一颗子弹由枪口射出时速率为v 0 m·s － 1，当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F ＝(a －bt )N(a ，b 为常数)，其中t 以s 为单位： (1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量. 解: (1)由题意，子弹到枪口时，有 0)(=-=bt a F ,得b a t = (2)子弹所受的冲量 将b a t = 代入，得 (3)由动量定理可求得子弹的质量 2-8 如题2-8图所示，一物体质量为2 kg ，以初速度v 0＝3 m·s － 1从斜面A 点处下滑，它与斜面的摩擦力为8 N ，到达B 点后压缩弹簧20 cm 后停止，然后又被弹回.求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度. 题2-8图 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理，有 式中m 52.08.4=+=s ，m 2.0=x ，再代入有关数据，解得 再次运用功能原理，求木块弹回的高度h ' 代入有关数据，得 m 4.1='s , 则木块弹回高度 五章 5-7 试说明下列各量的物理意义. (1) 12 kT ； (2)32kT ； (3)2i kT ； (4)2mol M i M RT ； (5) 2i RT ； (6) 32 RT . 解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为k 2 1 T ． (2)在平衡态下，分子平均平动动能均为 kT 2 3. 大学物理大题及答案 内容为：P37-7.8.14.15.19.21.25； P67-8.11.14.17； P123-11.14.15.17.19.21； P161-7.10.12.15； P236-9.10~14.16.18~23.27.28 第九章 静电场 9－7 点电荷如图分布，试求P 点的电场强度. 分析 依照电场叠加原理，P 点的电场强度等于各点电荷单独存在时在P 点激发电场强度的矢量和.由于电荷量为q 的一对点电荷在P 点激发的电场强度大小相等、方向相反而相互抵消，P 点的电场强度就等于电荷量为2.0q 的点电荷在该点单独激发的场强度. 解 根据上述分析 2 020π1)2/(2π41a q a q E P εε= = 题 9-7 图 9－8 若电荷Q 均匀地分布在长为L 的细棒上.求证：(1) 在棒的延长线，且离棒中心为r 处的电场强度为 2 20 4π1 L r Q ε E -= (2) 在棒的垂直平分线上，离棒为r 处的电场强度为 2 20 4π21L r r Q ε E += 若棒为无限长(即L →∞)，试将结果与无限长均 匀带电直线的电场强度相比较. 题 9-8 图 分析 这是计算连续分布电荷的电场强度.此时棒的长度不能忽略，因而不能将棒当作点电荷处理.但带电细棒上的电荷可看作均匀分布在一维的长直线上.如图所示，在长直线上任意取一线元d x ，其电荷为d q ＝Q d x /L ，它在点P 的电场强度为 r r q εe E 2 d π41d ' = 整个带电体在点P 的电场强度 ?=E E d 接着针对具体问题来处理这个矢量积分. (1) 若点P 在棒的延长线上，带电棒上各电荷元在点P 的电场强度方向相同， ?=L E i E d (2) 若点P 在棒的垂直平分线上，如图(a )所示，则电场强度E 沿x 轴方向的分量因对称性叠加为零，因此，点P 的电场强度就是大学物理试题库及答案详解【考试必备】
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