2015年江西省新余一中高考数学模拟试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知M={x|x2﹣x=0}，N={y|y2+y=0}，则M∩N=（）
A． {﹣1，1，0} B． {﹣1，1} C． {0} D．?
2．设随机变量ξ服从正态分布N（3，7），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜a﹣2），则a=（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
3．已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（）
A． 1 B． 3 C． 4 D． 5
4．下列命题中，真命题是（）
A．?x0∈R，使得
B． sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）
C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点
D． a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）
A． 120 B． 150 C． 35 D． 55
6．执行如图所示的程序框图，如果输入的N值是6，那么输出p的值是（）
A． 15 B． 105 C． 120 D． 720
7．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n++2=a n（n≥2）．则S2014等于（）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
8．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的形状，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）
A． 8a3 B．a3 C． 2a3 D． 5a3
9．设k=（sinx﹣cosx）dx，若（1﹣kx）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8=（） A．﹣1 B． 0 C． l D． 256
10．已知函数f（x）=cos（x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（）
A． B． C． D．
11．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A． [1，+2] B． [1，e2﹣2] C． [+2，e2﹣2] D． [e2﹣2，+∞）
12．设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．+1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于．
14．向曲线x2+y2﹣4x﹣2y+3=0内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率
为．
15．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，成等比数列．
16．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P．过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点．
有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；
④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是，（填序号）
三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22）、（23）、（24）题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题
17．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知sinA=．（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
18．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；
（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；
（Ⅲ）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角
三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PC上不同于端点的一点．
（1）证明：PA⊥DE；
（2）试确定点E的位置，使二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．
20．设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；
（Ⅲ）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．
（二）选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑）．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD 于点E．
（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）求证：AB?BE=AE?DC．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．已知曲线C：，直线l：（t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）+3|x﹣4|≥m对一切实数x均成立，求m的取值范围．
2015年江西省新余一中高考数学模拟试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知M={x|x2﹣x=0}，N={y|y2+y=0}，则M∩N=（）
A． {﹣1，1，0} B． {﹣1，1} C． {0} D．?
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：分别求出M与N中方程的解确定出M与N，找出两集合的交集即可．
解答：解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，
解得：x=0或x=1，即M={0，1}，
由N中不等式变形得：y（y+1）=0，
解得：y=0或y=﹣1，即N={﹣1，0}，
则M∩N={0}，
故选：C．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．设随机变量ξ服从正态分布N（3，7），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜a﹣2），则a=（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
专题：计算题．
分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=3对称，得到两个概率相等的区间关于x=3对称，得到关于a的方程，解方程即可．
解答：解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，7），
∵P（ξ＞a+2）=P（ξ＜a﹣2），
∴a+2与a﹣2关于x=3对称，
∴a+2+a﹣2=6，
∴2a=6，
∴a=3，
故选C．
点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，本题解题的关键是理解正态曲线的特点正态曲线关于直线x=μ对称，这是一部分正态分布问题解题的依据．
3．已知向量与的夹角为120°，||=3，|+|=，则||=（）
A． 1 B． 3 C． 4 D． 5
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由已知条件对|+|=两边平方，进行数量积的运算即可得到
，解该方程即可得出．
解答：解：根据条件，=；
∴解得，或﹣1（舍去）．
故选：C．
点评：考查数量积的运算及其计算公式，解一元二次方程，知道．
4．下列命题中，真命题是（）
A．?x0∈R，使得
B． sin2x+≥3（x≠kπ，k∈Z）
C．函数f（x）=2x﹣x2有两个零点
D． a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析： A．?x∈R，e x＞0，即可判断出正误；
B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，即可判断出正误；
C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，即可判断出正误；
D．a＞1，b＞1?ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，即可
判断出正误．
解答：解：A．?x∈R，e x＞0，因此是假命题；
B．取x=，则sin2x+=1﹣2=﹣1＜3，因此是假命题；
C．f（x）=2x﹣x2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（﹣1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；
D．a＞1，b＞1?ab＞1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab＞1，但是b＜1，因此
a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件，是真命题．
故选：D．
点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．将6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，则不同的安排方法数为（）
A． 120 B． 150 C． 35 D． 55
考点：计数原理的应用．
专题：排列组合．
分析： 6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，青岛安排3人，济南安排3人或青岛安排4人，济南安排2人，根据分类计数原理可得答案．
解答：解：6名留学归国人员分配到济南、青岛两地工作．若济南至少安排2 人，青岛至少安排3人，分两类，
第一类，青岛安排3人，济南安排3人，有C63=20种，
第二类，青岛安排4人，济南安排2人，有C64=15种，
根据分类计数原理可得20+5=35种．
故选：C．
点评：本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于基础题．
6．执行如图所示的程序框图，如果输入的N值是6，那么输出p的值是（）
A． 15 B． 105 C． 120 D． 720
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：根据程序框图和算法，写出k≤N成立时每次p，k的值，当k=7时，p=105，k≤N 不成立，输出p的值为105．
解答：解：执行程序框图，则有
N=6，k=1，p=1
p=1，k≤N成立，有
k=3，p=3，k≤N成立，有
k=5，p=15，k≤N成立，有
k=7，p=105，k≤N不成立，输出p的值为105．
故选：B．
点评：本题主要考察程序框图和算法，属于基础题．
7．已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=﹣，且满足S n++2=a n（n≥2）．则S2014等于（）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，代入可得，化为S n（S n﹣1+2）=﹣1．分别得出S1，S2，S3，…，即可得出S n．
解答：解：∵数列{a n}满足S n++2=a n（n≥2），
a n=S n﹣S n﹣1，
∴，
化为S n（S n﹣1+2）=﹣1．
∵，∴，解得．
同理可得．
…，
可得．
∴S2014=．
故选：D．
点评：本题考查了数列的递推式、猜想论证推理能力、计算能力，属于难题．
8．已知某个几何体的正视图、侧视图、俯视图均为如图所示的形状，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）
A． 8a3 B．a3 C． 2a3 D． 5a3
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，求出每个角的体积，相减可得答案．
解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个棱长为2a的正方体，切去了八个角所得组合体，
每个角都是三条侧棱两两垂直且长度为a的棱锥，
故组合体的体积V==，
故选：B．
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9．设k=（sinx﹣cosx）dx，若（1﹣kx）8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+a3+…+a8=（） A．﹣1 B． 0 C． l D． 256
考点：二项式系数的性质．
专题：计算题；二项式定理．
分析：利用微积分基本定理求出k的值，通过对二项式中的x赋值求出常数项，
a0+a1+a2+a3+…+a8，即可得出结论．
解答：解：==2，
令x=0得，a0=1，
令x=1得，a0+a1+a2+a3+…+a8=1，
∴a1+a2+a3+…+a8=0．
故选：B．
点评：求二项展开式的系数和问题常用的方法是通过观察给二项式中x的赋值即赋值求系数和．
10．已知函数f（x）=cos（x），a为抛掷一颗骰子所得的点数，则函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为（）
A． B． C． D．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；余弦函数的图象．
专题：概率与统计．
分析：求出函数f（x）=cos（x）的周期，根据函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6，求出a的值，即可求出概率．
解答：解：函数f（x）=cos（x）的周期为T=，∵函数f（x）在[0，4]上零点
的个数小于5或大于6，
∴a=1、2、3、5、6．
共计5个，
故函数f（x）在[0，4]上零点的个数小于5或大于6的概率为．
故选B．
点评：本题考查概率是计算，确定a的值是关键，属于基础题
11．已知函数g（x）=a﹣x2（≤x≤e，e为自然对数的底数）与h（x）=2lnx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是（）
A． [1，+2] B． [1，e2﹣2] C． [+2，e2﹣2] D． [e2﹣2，+∞）
考点：对数函数的图像与性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解，构造函数f（x）=2lnx﹣x2，求出它的值域，得到﹣a的范围即可．
解答：解：由已知，得到方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
设f（x）=2lnx﹣x2，求导得：f′（x）=﹣2x=，
∵≤x≤e，∴f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，
∵f（）=﹣2﹣，f（e）=2﹣e2，f（x）极大值=f（1）=﹣1，且知f（e）＜f（），
故方程﹣a=2lnx﹣x2在上有解等价于2﹣e2≤﹣a≤﹣1．
从而a的取值范围为[1，e2﹣2]．
故选B．
点评：本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程a﹣x2=﹣2lnx?﹣a=2lnx﹣x2在上有解．
12．（5分）（2015?天水校级模拟）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线﹣=1（a＞0，
b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是（）
A． B． C． D．+1
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标为（，），利用点P（m，0）满足|PA|=|PB|，可得=﹣3，从而可求双曲线的离心率．
解答：解：由双曲线的方程可知，渐近线为y=±x，
分别与x﹣3y+m=0（m≠0）联立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），
∴AB中点坐标为（，），
∵点P（m，0）满足|PA|=|PB|，
∴=﹣3，
∴a=2b，
∴c=b，
∴e==．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于84π．
考点：球的体积和表面积．
专题：计算题．
分析：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的表面积．
解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，底面中心到顶点的距离为：2；所以外接球的半径为：=．
所以外接球的表面积为：=84π．
故答案为：84π
点评：本题是基础题，考查正三棱柱的外接球的表面积的求法，找出球的球心是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
14．向曲线x2+y2﹣4x﹣2y+3=0内随机掷一点，则该点落在x轴下方的概率为
．
考点：几何概型．
专题：直线与圆；概率与统计．
分析：化简方程得出（x﹣2）2+（y﹣）2=4，判断得出圆，利用圆的几何知识求解需要的面积，利用几何概率求解即可．
解答：解：∵x2+y2﹣4x﹣2y+3=0，
∴（x﹣2）2+（y﹣）2=4，
圆心（2，），半径为2，面积为π×22=4π，
根据几何图形得出：AB=2，PA=PB=2，∠APB=，
弧长l=2×=，
扇形ABP的面积为：l×r=×2=，
△PAB 的面积为：22×=，
∴阴影部分的面积为：，
根据几何概率的计算公式得出：该点落在x轴下方的概率为
故答案为：
点评：本题主要考查几何概型的概率计算以及曲边图形的面积的求法，根据条件求出对应的图形的面积是解决本题的关键
15．（5分）（2009?浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，则S4，S8﹣S4，S12﹣S8，S16﹣
S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n}的前n项积为T n，则T4，，，
成等比数列．
考点：类比推理；等比数列的性质．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时，类比到等比数列为依次每4项的积的商成等比数列．下面证明该结论的正确性．
解答：解：设等比数列{b n}的公比为q，首项为b1，
则T4=b14q6，T8=b18q1+2++7=b18q28，
T12=b112q1+2++11=b112q66，
∴=b14q22，=b14q38，
即（）2=?T4，故T4，，成等比数列．
故答案为：
点评：本题主要考查类比推理，类比推理一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．
16．已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P．过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点．
有下列四个命题：①△PMN必为直角三角形；②△PMN不一定为直角三角形；③直线PM必与抛物线相切；
④直线PM不一定与抛物线相切．其中正确的命题是①③，（填序号）
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；简易逻辑．
分析：本题考查抛物线的定义和标准方程的有关知识，先由抛物线方程求出M，N的坐标，然后判断△PMN是否为为直角三角形，求出直线PM的方程，然后判断是否相切．
解答：解：抛物线方程为y2=2px（p＞0），焦点为F（，0），则P点坐标为（﹣，0），可求出点M（，p），N（，﹣p），
∴|PF|=，|MN|=p，∴∠MPN=90°，故①正确，②不正确；
联立直线PM方程与抛物线方程：，得x2﹣px+=0，其判别式△=0．
∴直线PM必与抛物线相切，故③正确，④不正确．
综上①③正确．
故答案为：①③．
点评：本题考查抛物线标准方程，考查抛物线的简单性质，解题关键是根据标准方程求出M，N坐标，是中档题．
三、解答题：本大题共70分，其中（17）-（21）题为必考题，（22）、（23）、（24）题为选考题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题
17．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知sinA=．
（1）若a2﹣c2=b2﹣mbc，求实数m的值；
（2）若a=，求△ABC面积的最大值．
考点：余弦定理的应用．
专题：计算题．
分析：（1）把题设等式平方后利用同角三角函数基本关系整理成关于cosA，求得cosA的值．然后利用余弦定理求得m的值．
（2）由（1）中cosA，求得sinA，根据余弦定理求得a，b和c的不等式关系，进而利用三角形面积公式求得三角形面积的范围．
解答：解：（1）由sinA=两边平方得：
2sin2A=3cosA即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，
解得：cosA=，
而a2﹣c2=b2﹣mbc可以变形为=，
即cosA==，所以m=1．
（2）由（1）知cosA=，则sinA=．
又=，
所以bc=b2+c2﹣a2≥2bc﹣a2，即bc≤a2．
故S△ABC=sinA≤?=．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用．解题的关键是通过余弦定理找到三角形边角问题的联系，找到解决的途径．
18．一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片．
（Ⅰ）从盒子中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数的概率；
（Ⅱ）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为奇数的概率；
（Ⅲ）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率；离散型随机变量及其分布列．
分析：（Ⅰ）抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回的事件有C52种，因为1，3，5是奇数，2、4是偶数，两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数包含的事件有C32+C22种；（Ⅱ）设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字
为奇数”，由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为，根据n次独立重复试验中恰
好发生k次的概率公式解之即可；
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1，2，3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．
解答：解：（Ⅰ）因为1，3，5是奇数，2、4是偶数，
设事件A为“两次取到的卡片的数字都为奇数或偶数”（2分）
（4分）
（Ⅱ）设B表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为奇数”，（5分）
由已知，每次取到的卡片上数字为奇数的概率为，（6分）
则（8分）
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为1，2，3．
，
，
，（11分）
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
．（13分）
点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，同时考查了离散型随机变量及其分布列与数学期望，属于中档题．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角
三角形，PA⊥PD，平面PAD⊥底面ABCD，E为侧棱PC上不同于端点的一点．
（1）证明：PA⊥DE；
（2）试确定点E的位置，使二面角E﹣BD﹣C的余弦值为．
考点：二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（1）通过AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，及面面垂直的性质定理可得DC⊥PA，利用PA⊥PD及线面垂直的判定定理、性质定理即得结论；
（2）以P为坐标原点，分别以PA、PD所在直线为x、y轴建系P﹣xyz．利用与共线，
可设E（0，q，q），利用平面BCD的法向量与平面BDE的法向量的夹角的余弦值为，计算可得q=，进而可得结论．
解答：（1）证明：∵AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，
∴DC⊥平面PAD，∴DC⊥PA，
又∵PA⊥PD，∴PA⊥平面PCD，
∴PA⊥DE；
（2）解：以P为坐标原点，分别以PA、PD所在直线为x、y轴建系P﹣xyz如图．∵AD=2BC=2CD=2，侧面APD为等腰直角，∴PD=PA=，
∴P（0，0，0），B（，，1），C（0，，1），D（0，，0），
设E（0，p，q），显然与共线，∴（0，p，q）=λ（0，，1），
即p=q，则E（0，q，q），
则=（，﹣，1），=（0，q﹣，q），=（0，0，1），
设平面BCD的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取x=1，得=（1，1，0），
设平面BDE的法向量为=（x，y，z），
由，得，
取x=2，得=（2，，），
∵cos＜，＞===，
化简得：=，解得q=或q=0（舍去），
∴E（0，，），即点E位于靠近C点的三等分点处．
点评：本题考查线线垂直的判定，考查二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．
20．设点P是曲线C：x2=2py（p＞0）上的动点，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．
（1）求曲线C的方程；
（2）若点P的横坐标为1，过P作斜率为k（k≠0）的直线交C于点Q，交x轴于点M，过点Q且与PQ垂直的直线与C交于另一点N，问是否存在实数k，使得直线MN与曲线C相切？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）根据点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为，可求p
的值，从而可得曲线C的方程；
（2）直线PQ的方程与抛物线方程联立，确定Q的坐标，进一步可得N的坐标，从而可得直线MN的斜率，利用导数求斜率，根据切线相等，即可求得k的值．
解答：解：（1）依题意，点P到点（0，1）的距离和它到焦点F的距离之和的最小值为．∴1+=，解得p=．
所以曲线C的方程为x2=y．…（4分）
（2）由题意直线PQ的方程为：y=k（x﹣1）+1，则点M（1﹣，0）
联立方程组，消去y得x2﹣kx+k﹣1=0
解得Q（k﹣1，（k﹣1）2）．…（6分）
所以得直线QN的方程为y﹣（k﹣1）2）=．
代入曲线x2=y，得．
解得N（，）．…（8分）
所以直线MN的斜率k MN==﹣．…（10分）
∵过点N的切线的斜率．
∴由题意有﹣=．
∴解得．
故存在实数使命题成立．…（12分）
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，考查直线斜率的求解，正确求斜率是关键．
21．已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）；
（Ⅲ）求证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）（n!=1×2×3×…×n）．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；不等式的证明．
专题：计算题；证明题；压轴题；函数的性质及应用；导数的综合应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．
分析：（Ⅰ）求导f′（x）=（x＞0），从而判断函数的单调性；
（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）=，再
由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可；
（Ⅲ）令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，从而可得f（1）=﹣2，且f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，从而可得﹣lnx+x﹣1＞0，即lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，从而可得若n≥2，n∈N*，则有ln（+1）＜＜=﹣，从而化
ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*）为ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；从而证明．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=（x＞0），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；
（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）=，
若﹣a≤e，即a≥﹣e，
F（x）在[e，e2]上是增函数，
F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，
a≤，无解．
若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，
F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，
F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．
F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤，
∴﹣e2≤a≤．
若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，
F（x）在[e，e2]上是减函数，
F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，
∴a＜﹣e2，
综上所述，a≤．
（Ⅲ）证明：令a=﹣1，此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，则有ln（+1）＜＜=﹣，
要证ln（22+1）+ln（32+1）+ln（42+1）+…+ln（n2+1）＜1+2lnn!（n≥2，n∈N*），
只需证ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）＜1（n≥2，n∈N*）；
ln（+1）+ln（+1）+…+ln（+1）
＜（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣＜1；
所以原不等式成立．
点评：本题考查了导数的综合应用，放缩法证明不等式，裂项求和法等的应用，同时考查了恒成立问题及分类讨论的数学思想应用，属于难题．
（二）选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑）．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（A）如图，△ABC内接圆O，AD平分∠BAC交圆于点D，过点B作圆O的切线交直线AD 于点E．
（Ⅰ）求证：∠EBD=∠CBD
（Ⅱ）求证：AB?BE=AE?DC．