毕业设计(论文)
课题名称数学期望在实际生活中的应用
学生姓名刘飞飞
学号1040802021
系、年级专业理学系10级信息与计算科学指导教师黄卫平
职称教授
2014 年04 月15 日
摘要
数学期望是一门重要的数学学科，它是随机变量总体取值的平均水平，它是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。在现代快速发展的社会中，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域扮演越来越重要的角色，应用越来越广泛。通过几个例子，阐述数学期望在实际生活中的应用，包括经济决策、彩票抽奖、求职决策、医疗、体育比赛等方面的一些实例，使我们能够使用科学的方法对其进行量化的评价，平衡了极大化期望和极小化风险的矛盾，达到我们期望的最佳效果，更清楚的认识到数学期望的广泛应用性及其重要性。通过探讨数学期望在实际生活中的应用，以起到让大家了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。所谓的求数学期望其实就是去求随机变量的以概率为权数的加权平均值，而平均值这一概念又是我们在实际应用中最常用的一个指标,在预测中使用是很具有科学性的。
关键词：数学期望；随机变量；应用；预测；决策
Abstract
Is an important mathematical ecpectation of mathematics, which is the overall average value of the random variable, which is one of the important characteristics of the digital random variables, is one of the basic characteristics of a random variable. In the rapid development of modern society, the mathematical expectation as an important branch of probability theory play an increasingly important role in many areas, more and more widely. Through several examples to explain the mathematical expectation in real life applications, including some examples of economic decision-making, lottery, job decisions, health care, sports and other aspects, so that we can use the scientific method to quantify the evaluation of balance the expectation maximization and minimization of the risk of conflict, we expect to achieve the best results, a clearer understanding of the mathematical expectation of a wide range of applications and its importance. By exploring the mathematical expectation in real life applications, in order to play to let everyone know the rich heritage of knowledge and human practice closely linked, personal experience to "Math really useful". The so-called mathematical expectation is actually seeking to find a random variable with probability-weighted average of the number of rights. We mean this concept is most commonly used in the practical application of an indicator , it is used in predicting a scientific nature.
Key words:Mathematical expectation; Rondom variables; Application; Prediction; Decision making
目录
中文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ⅰ英文摘要．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．Ⅱ前言．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1 1.数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 1.1数学期望的由来．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 1.2数学期望的定义．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2 1.3随机变量的函数的数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2
1.4条件数学期望．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3
2.数学期望在实际生活中的应用．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2.1决策问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2.1.1生产批量问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4 2.1.2货物出口问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 2.1.3求职决策问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6 2.1.4投资风险问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7 2.1.5方案决策问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 2.1.6活动选择问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10 2.2疾病普查问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12 2.3赌局问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13 2.4保险赔偿金问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14
2.5体育比赛问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15 2.6旅游收益问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17
2.7警方破案问题．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．18
3.参考文献．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．20致谢．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．21
前言
概率论起源于意大利文艺复兴时期，在当时的意大利就已经建立了预防意外的商业保险组织。为使商业保险机构获得最大利润，就必须研究个别意外事件发生的可能性，即研究事件发生的概率，或称机遇律（率），或然率，根据个别意外事件发生的概率去计算保险费与赔偿费的多少。不过当时的研究只求实用，尚未形成严格的数学理论。后来，在著名科学家Galileo, Pascal, Fermat, Laplace, Bernoulli, Helley等人的努力下，才基本建立起一个较为严格、完整的概率论体系。现在，概率论正以其独特作用为社会做出贡献，它在自然科学与社会科学的许多领域中得到广泛的应用；它在金融、保险、经济与企业管理、工农业生产、军事、医学、地质学、空间技术、气象与灾害预报以及许多新兴学科与边缘学科都作出了非常重要的贡献,也日益深入到我们工作、学习、生活中。
数学期望是概率论中的小部分知识，数学期望反映的是随机变量总体取值的平均水平，是随机变量的重要数字特征之一。随着经济的迅速发展，数学期望作为概率论的一个重要分支在众多领域内扮演着越来越重要的角色，取得越来越广泛的应用。生活中许多问题具有随机性，研究其概率分布并不容易，可研究其数学期望来进行解决，所以数学期望在实际生活中有着巨大的作用，正因为数学期望在实际生活中起着巨大作用，才引起了我的兴趣研究数学期望及其应用，以至于更深入的了解数学期望及其广泛应用性和重要性。本课题的目的就是通过实际生活中具体的例子，反映数学期望在实际生活中广泛的应用，并提供了重要的理论依据，体现数学期望的广泛应用性及其重要性。
1.数学期望
1.1数学期望的由来
早在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，无平局。比赛规则是先胜三局者为赢家，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第三局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
用概率论的知识，不难得知，甲获胜的概率为
4
3212121=?+ 或者分析乙获胜的概率为4
1
2121=?.
因此由此引出了甲的期望所得值为754
3
100=?法郎，乙的期望所得值为25法郎。
这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
1．2数学期望的定义
定义1 设离散型随机变量X 的分布率为：
{}k k p x X P == ,2,1=k
若级数∑∞
=1
k k k p x 绝对收敛，则称级数∑∞
=1
k k k p x 的值为离散型随机变量X 的数学期
望，记为()X E ，即
()∑∞
==E 1k k k p x X .[1]
定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为()x f ，若积分
()dx x xf ?
+∞
∞
-
绝对收敛，则称积分()dx x xf ?+∞∞
-的值为随机变量X 的数学期望，记为()X E ，
即
()()?
+∞
∞
-=
E dx x xf X .[1]
1．3随机变量的函数的数学期望
定理 设Y 是随机变量X 的函数：()X Y g =（g 是连续函数）。 （1）X 是离散型随机变量，它的分布率为{}k k p x X P == ,2,1=k ，若
()∑∞
=1
k k
k
p
x g 绝对收敛，则有
()()[]()∑∞
==E =E 1
k k k p x g X g Y ;
（2）X 是连续型随机变量，它的概率密度为()x f ，若()()dx
x f x ?+∞
∞
-g 绝对收敛，则有
()()[]()()?+∞
∞
-=E =E dx x f x g X g Y .[1]
1．4条件数学期望
定义1 设()Y X ,为二维离散型随机变量，其分布为：
()(),,3,2,1,,, ====j i p y Y x X P ij j i
若级数()∑∞
==j i j j x X y Y P y |绝对收敛，则称其和为Y 在i x X =条件下的条件数
学期望，记为()i x Y |E ，即
()()∑∞
===E j
i j j i x X y Y P y x Y ||.
类似地，X 在j y Y =条件下的条件数学期望()j y X |E 可定义为：
()()∑∞
====E 1
||i j i i j y Y x X P x y X .[2]
定义 2 设()Y X ,为二维连续型随机变量，Y 在x X =条件下的条件密度函数为()x y f X Y ||，若积分()?+∞
∞-dy x y yf X Y ||绝对收敛，则称其值为Y 在x X =条件下
的条件数学期望，记为()x Y |E ，即
()()?+∞
∞
-=E dy x y yf x Y X Y |||.
类似地，X 在y Y =条件下的条件数学期望()y X |E 可定义为：
()()?+∞
∞
-=E dx y x xf y X Y X |||.[2]
2．数学期望在实际生活中的应用
随机变量的分布函数或分布率、概率密度函数都能全面地反映随机变量的特征，但在实际问题中，有时并不需了解随机变量的全面情况，只需知道它的重要特征。[4]
2．1决策问题
在经营管理决策中，有时按某项指标的大小比较各种备选方案的优劣.如果这些指标受到随机因素的影响，则可按各方案某项指标的数学期望的大小来做出最优决策。[4]因此,可利用随机变量的数字特征数学期望来求解一些经济决策问题。
2．1．1生产批量问题
某企业为了确定今后5年内生产某种服装的批量，以便及早做好生产前的各项准备工作。根据以往的销售统计资料及市场调查预测，未来市场销路好、中、差三种状况的概率分别为0.3，0.5和0.2。若按大、中、小三种不同生产批量投资，今后5年不同销售状态下的益损值如下表：
状态 销路好 销路中 销路差 概率 0.3 0.5 0.2 大批量益损值1x 20 14 -2 中批量益损值2x 12 17 12 小批量益损值3x
8
10
10
试作出定量分析，确定今后5年最佳生产批量。
分析：虽然益损值x 的分布未知，但由于它的数学期望表示平均值，在三种状态的平均值是可求的，故可用它作为评判的标准。
解：计算三个批量的益损值的数学期望：
()6.1222.0145.0203.01=-?+?+?=E x
5.14122.0175.0123.02=?+?+?=E x
4.9102.010
5.083.03=?+?+?=E x
由上述数据可见，中批量生产的益损均值最大,即中批量生产获益最大。故应选择中批量生产较为合适。
数学期望在物流管理方面有着许多应用，采购管理、库存管理、生产物流管理等都要计算出获利的数学期望值从而做出决策，上面举出了通过离散型随机变量的数学期望计算损益值数学期望决定生产批量一例，比较三个批量哪个批量使得利益最大，即为最佳批量。 2．1．2货物出口问题
国家出口某种商品，假设国外对该商品的年需求量是随机变量X ，且知
[]4000
2000~，U X 单位：t 。若售出1t 则得外汇3万元；若售不出，则1t 花保养费1万元，问每年应准备多少商品，才能使用国家收益的期望值最大？最大期望值为多少？
分析:由于该商品的年需求量X 是随机变量，且[]4000
2000~，U X ，收益Y 也是随机变量，它是X 的函数，称为随机变量的函数。本问题涉及的最佳收益只能是收益的数学期望即平均收益的最大值，此题可通过随机变量函数的数学期望进行求解。
解：设每年准备商品a ()t ,显然有40002000≤≤a ，收益Y 是X 的函数
()x g =y 为
()()??
?<--≥==a
x a x a
a x g x ,3x ,3y 当当 即()???<-≥==a
a x a
a x g y x ,4x ,3当当
又因为随机变量X 的概率密度为
()[]???
??∈=，其他
，当040002000,2000
1
x x f 所以 ()()()()()?+∞
∞
-=E =E dx x f x g X g Y
()???+-=4000200020001
3200014a a
dx a dx a x ()
6210470001000
1
?+--
=a a 期望值最大时，有
()()0700021000
1
da Y d =--
=E a 求得 ()t a 3500=
即当()t a 3500=时，国家收益的期望值最大。 最大期望值为
()()
()万元82501043500700035001000
1
62max =?+?--
=E Y 所以国家收益的最大期望值为8250万元。
随着经济不断发展，货物的进出口在国家经济中占有举足轻重的作用，无论进口还是出口货物，都是优先考虑国家收益数学期望值来决定进货量和备货量，货物出口问题是通过随机变量的函数的数学期望求解国家收益的最大值，即通过年需求量X 的收益函数Y 数学期望值决定备货量。 2．1．3求职决策问题
有三家公司为大学生甲提供应聘机会，按面试的时间顺序，这三家公司分别记为A,B,C 。每家公司都可提供极好、好和一般三种职位。每家公司根据面试情况决定给求职者何种职位或拒绝提供职位。按规定，双方在面试后要立即作出决定提供、接受或拒绝某种职位，且不许毁约。咨询专家在为甲的学业成绩和综合素质进行评估后，认为甲获得极好、好和一般的可能机率依次为0.2，0.3和0.4，还有0.1的机率为没有获得职位，即没有工资。三家公司的工资承诺表如下：
公司 极好 好 一般 A 3500 3000 2200 B 3900 2950 2500 C
4000
3000
2500
如果甲把工资作为首选条件，那么甲在各公司面试时，对该公司提供的各种职位应作何种选择？
分析：由于面试从A 公司开始，甲在选择A 公司三种职位时必须考虑后面B,C 公司提供的工资待遇，同样在B 公司面试时，也必须考虑C 公司的待遇。因此我们先从C 公司开始讨论。
解：C 公司的工资3x 期望值为
()元2700
4.025003.030002.040003=?+?+?=E x 再考虑B 公司，由于B 公司一般职位工资只有2500，低于C 公司的 平均工资，因此甲在面对B 公司时，只接受极好和好两种职位，否则去C 公司。如此决策时甲工资2x 的期望值为
()元3015
5.027003.029502.03900x 2=?+?+?=E 最后考虑A 公司，A 公司只有极好职位工资超过3015，因此甲只接受A 公司的极好职位。否则去B 公司。
甲的整体决策应该如此：先去A 公司应聘，若A 公司提供极好职位就接受之。否则去B 公司，若B 公司提供极好或好的职位就接受之，否则去C 公司应聘任一种职位。在这一决策下，甲工资1x 的期望值为
()元3112
)2.01(30152.03500x 1=-?+?=E 大学生毕业后即将而至的就是求职，面对社会上各企业可提供的工作，我们都会根据自己的实际能力来决定自己能够从事的工作，求职决策问题就是根据三家公司所提供的职务、待遇及面试时间顺序和自己工作能力来判断决策，比较三个公司提供的什么职位使得自己既能得到最多的工资待遇，也能在面试时及时做出决定。
2．1．4投资风险问题
以买股票为例，这样投资可以迅速地实现资金的增值，但是风险比较大，这就需要进行正确的决策，看哪一种投资方式期望获得的收益最大。
某投资者有10万元，现有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好（即经济衰退）。若形势好可获利40000元；若形势中等可获利10000元；若形势不好要损失20000元。如果是存入银行，假设年利率为8%，即
可得利息8000元。又设年经济形势好、中等、不好的概率分别为30%，50%，20%。试问该投资者应选择哪一种投资方案？
分析：购买股票的收益与经济形势有关，存入银行的收益与经济形势无关。因此，要确定选择哪种方案，就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值
E 进行判断。
解：由题设，买股票的分布律为
状态 经济形势好 经济形势中等
经济形势不好 收益 40000 10000 -20000 概率
0.3
0.5
0.2
购买股票收益的期望值为：
()()元130002.020000
-5.0100003.0400001=?+?+?=E 由于存入银行收益与经济形势无关，所以其收益期望值为：
()元8000
2=E 因此，按期望收益最大原则，应选择购买股票。按风险决策中的期望收益最大的准则选择方案，这种作法存在风险。
投资指的是用某种有价值的资产，其中包括资金、人力、知识产权等投入到某个企业、项目或经济活动，以获取经济回报的商业行为或过程。投资者的收益取决于经济形势的好坏，此例子假定各经济形势的概率来计算收益的数学期望值只能作为参考，在实际生活中，投资具有一定的风险，预测的经济形势概率计算的收益期望值并不能直接来决定投资方案，只能作为投资的一种参考条件。 2．1．5方案决策问题
某品牌服饰根据以往的资料，预测服饰在未来一段时间内畅销的概率为0.4，
滞销的概率为0.6，现有三种销售方案：
一、打折处理，预计在商品畅销时可获利8万元，在商品滞销时可获利2万元。
二、走批发市场销售经营，预计在商品畅销时可获利6万元，在商品滞销时可获利3万元。
三、对商品重新加工改进，做广告宣传，仍按原价销售，预计在商品畅销时可获利10万元，在商品滞销时会损失2万元。
为了做出正确决策，先进行了一段时间的试销，发现原来认为畅销的商品实际畅销的概率为0.6，实际滞销的概率为0.4；原来认为滞销的商品实际畅销的概率为0.3，实际滞销的概率为0.7，根据这些资料，分析采用哪种销售方案最佳。
分析：决策方案先要计算出在实际畅销条件下的预测概率和在实际滞销条件下的预测概率，然后考虑实际畅销商品采取三种方案的利润均值进行比较，和实际滞销商品采取三种方案的利润均值进行比较，即比较三种方案在同等条件下的条件数学期望，决定出最佳的销售方案。
解：设1X 为采取第一种方案的利润，2X 为采取第二种方案的利润，2X 为采取第三种方案的利润；用1Y 表示实际畅销，2Y 表示实际滞销；1Z 表示预测商品畅销，2Z 表示预测商品滞销。
由题意知，()4.01=Z P , ()6.02=Z P
()6.0|11=Z Y P ,()4.0|12=Z Y P ,()3.0|21=Z Y P ,()7.0|22=Z Y P 由Bayes 公式有：
()()()()()()()74
3.06.06.0
4.06.04.0||||21211111111=?+??=+=Z Y P Z P Z Y P Z P Z Y P Z P Y Z P
()()()()()()()73
3.06.06.0
4.03.06.0||||21211121212=?+??=+=Z Y P Z P Z Y P Z P Z Y P Z P Y Z P
()()()()()()()298
7.06.04.04.04.04.0||||22212112121=
?+??=+=Z Y P Z P Z Y P Z P Z Y P Z P Y Z P ()()()()()()()29
21
7.06.04.04.07.06.0||||22212122222=
?+??=+=
Z Y P Z P Z Y P Z P Z Y P Z P Y Z P 因此，实际畅销商品分别采取三种方案的利润均值为
()()()111111|22|88|Y X P Y X P Y X =+==E ()()1211|2|8Y Z P Y Z P +=
429.57
3
2748≈?+?
=
()()()121212|33|66|Y X P Y X P Y X =+==E ()()1211|3|6Y Z P Y Z P +=
714.47
3
3746≈?+?
= ()()()()131313|22|1010|Y X P Y X P Y X -=-+==E ()()1211|2|10Y Z P Y Z P -=
857.47
3
27410≈?-?
= 实际滞销商品分别采取三种方案的利润均值为
()()()212121|22|88|Y X P Y X P Y X =+==E ()()2221|2|8Y Z P Y Z P +=
655.329
2122988≈?+?
= ()()()222222|33|66|Y X P Y X P Y X =+==E ()()2221|3|6Y Z P Y Z P +=
483.229
2132986≈?+?
= ()()()()232323|22|1010|Y X P Y X P Y X -=-+==E ()()2221|2|10Y Z P Y Z P -=
310.129
21
229810≈?-?
= 比较上述利润均值，无论是实际畅销还是实际滞销的商品，采取第一种销售方案的利润均值最大，所以采取第一种方案最佳。
在经营决策中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况做出合理的预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。此题是根据以往的销售情况及最新的试销信息资料进行综合分析做出决策，某种商品畅销或滞销都应根据分析来预测，再根据预测的可能概率分别计算各种方案的利润在畅销和滞销条件下的数学期望值，即条件数学期望，然后比较利润的大小选取决策方案。 2．1．6活动选择问题
许多超市为吸引顾客，采取有买又送、抽取奖品、减免等活动，大量的销售商品来获取利润。
某大型超市五一期间举行三种回馈活动，在活动期间购物金额满88元可参加以下三种活动中的任一种而且只可参加一种，
一、随机送价值为30元的天堂太阳伞或价值为25元的天堂雨伞。 二、可进行一次抽奖，百分之百中奖，奖品分为五种：
一等奖：苏泊尔电饭煲一件，价值为339元；10个 二等奖：苏泊尔电水壶一件，价值为199元；50个 三等奖：多芬沐浴液一瓶，价值为49元；160个 四等奖：蓝月亮洗衣液500g ，价值为14元；280个 五等奖：环保购物袋一个，价值为6元；500个
三、可减免15元金额。
现有一位顾客购物金额达96.2元，可参加任一种活动，且在抽奖活动中是第一位参加抽奖的顾客，试求这位顾客参加哪种活动最划算？ 分析：计算出三种活动获得回馈的平均期望值，比较大小
解：设顾客参加第一、二、三种活动获得回馈的价值分别为1X 、2X 、3X 第一种活动是随机送出礼品，获得两种礼品的概率分别为21、2
1 则1X 的分布律为
1X
30
25
k p
21 21
()5.272
1
2521301=?+?=E X 元
第二种活动是抽取奖品，奖品一共有1000个，抽取五种奖品的概率分别为
1001110001101=
=C C p ， 201
110001502==C C p ， 2541100011603=
=C C p ，257
110001
2804==C C p ， 2
11100015005==C C p
则2X 的分布率为
2X
339
199
49
14
6
k p
1001 201 254 25
7 2
1 ()2
1
6257142544920119910013392?+?+?+?+?=E X
1.2839
2.384.795.939.3=++++=元
第三种活动是减免15元金额，减免的概率为1
()153=E X 元
比较大小发现抽奖活动最划算，但从稳定方面考虑，送礼品的活动最实际。 超市举行回馈活动在生活中是极其普遍的，这里主要应用了数学期望来比较三种活动获得回馈的平均值。
所以，在实际生活中，无论生产、货物进出口、经营管理、求职、投资、方案决策、超市优惠活动选择等问题都需做出选择，根据收益的数学期望值来进行决策。
2．2疾病普查问题
在检验室或防疫站 ,经常会对某地区的自然人群针对某种疾病进行普查 ,一般情况下采用逐人检查 ,但当人员众多而发病率相对来说较低时 ,应用分组检验的方法能大大地减少检验的次数。
（一种验血方法）在一个人数很多的团体中普查某种疾病，为此要抽验N 个人的血。可以用两种方法进行：（1）将每个人的血都分别去验，这就需验N 次；（2）按k 个人一组进行分组，把从k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果这混合血液呈阴性反应，就说明k 个人的血都呈阴性反应，这样，这k 个人的血就只需验一次。呈阴性，则再对这k 个人的血液分别进行化验。这样，k 个人的血总共要化验1k +次。假设每个人化验呈阳性的概率为p ,且这些人的试验反应是相互独立的。试说明当p 很小时，选取适当的k 值，按第二种方法可以减少化验的次数。并说明k 取什么值时最适宜。
分析：每个人化验呈阳性的概率为p ，那每个人化验呈阴性的概率为
p q -=1。故k 人的混合血呈阴性的概率为k q ，k 个人的混合血呈阳性反应的概
率为k p -1。
解：设以k 人为一组时，组内每人化验的次数为X ，则X 是一个随机变量，其分布律为
X
k
1 k
k 1
+ k p
k q
k p -1
则X 的数学期望为
()()
k
q q k k q X k k k 1111k 1+-=-++=
E 由此可知，N 个人平均需化验次数为??? ?
?
+-k N k 1q 1，若要是化验次数小于N ，
则只须
11
1<+
-=k
q L k 故可选适当的k 值，在q 固定条件下，使L 达到最小，此k 即为所求。
例如1.0p =，则9.0q =，当4k =时，k
q L k 1
1+
-=取得最小值。此时得到最好的分组方法。若1000=N ，此时以4k =分组，则按第二方案平均化验次数
仅为594410.9110004
=??? ?
?+-
这样平均来说，可以减少40%的工作量。
此题为一种新的验血方法，讨论了数学期望理论在疾病普查中的应用，得出当自然人群的患病率较低时的分组方法，大大减少工作量，从而使工作效率得到很大提高，增加经济效益。
2．3赌局问题
某人设一赌局。在袋中装有20个同样大小的球，其中10个红色的，10个白色的的，每位参赌者从中任取10球，观察其颜色后决定付钱多少如下表：
10红或 10白 9红1白或9白1红 8红2白或8白2红 7红3白或7白3红 6红4白或6白4红 5红5白
1000元
100元
10元
1元
-2元
0元 其中-2元表示参赌者付与设赌者两元，其余均为设赌者付与参赌者，试问参赌者每摸一次球，平均赢钱多少？
分析：从袋中任取10球，出现不同颜色其概率可由古典概型计算公式计算得来，
10红或10白的概率为10202
C ，9红1白或9白1红的概率为10
20
1
109102C C C ，8红2白或
8白2红的概率为10202108102C C C ，7红3白或7白3红的概率为10
20310
7102C C C ，6红4白或6白4红的概率为10
20
4
10
6102C C C ，5红5白的概率为1020510510C C C . 解：设随机变量X 为参赌者摸一次球获得金额数，即X 可能取值为1000，100，10，1，-2，0，其分布律为
X
1000
100 10 1 -2 0
k p
1020
2
C 10201109102C C C 10202108102C C C 10203107102C C C 10
20
410
6102C C C 10
20
510
510C C C
其数学期望
()()47739.0215588.0102192.01000108.010000001.01000?-+?+?+?+?=E X
40178.0-=
可见每位参赌者平均不是赢钱，而是输钱。
设赌者为吸引更多人参赌，把最高奖设为10000元（10红或10白），而参赌者每次付出金额为10元（6红4白或6白4红），计算出设赌者每次平均输钱
19082.4元。易见这一赌局乃骗局，切不可参与。
生活中，设赌者往往开出诱人的赢钱金额来吸引参赌者，乍看之下赢钱的可能有四种，输钱只有一种可能，还有一种可能既没输钱也没赢钱，从概率角度，金额越大概率越小，计算获得金额的数学期望值会发现赌局往往只是骗局，靠金额的数量吸引人的骗局，所以切不可盲目参与。
2．4保险赔偿金问题
保险机构是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了恰当地估计企业的收支和风险，需要计算各种各样的概率，下面的赔偿金的确定问题，就是数学期望在保险企业的简单应用。
据统计，某年龄的健康人在5年内死亡的概率为02.0=p ，某人寿保险公司准备开办该年龄段的5年人寿保险业务，预计有2500人参加保险，条件是参加者需交保险金a 元（a 待定），若5年之内死亡，公司将支付赔偿金b 元（b 待定），
便有以下问题：
（1）若需交保险金100=a 元，试确定公司将支付多少元赔偿金才能使保险公司期望盈利？
（2）若赔偿金为4000b =元，欲使保险公司获利盈利20万元时，每位参保者至少需交保险金为多少元？
解：设X 表示保险公司在每一个参保者身上所得的收益，X 为随机变量。 （1）由题已知100=a ，需确定b ，此时X 服从两点分布，X 可能取值为100，b -100.其分布律为
X
100 b -100
k p
0.98
0.02
故保险公司在每一次参保身上获得的平均收益
()()b b X 02.010002.010098.0100-=?-+?=E
若要使保险公司期望盈利，则应有
()002.0100>-=E b X
于是可得5000
（2）由题已知4000b =，需确定a ，此时X 服从两点分布，X 可能取值为a ，
4000-a .其分布律为
X
a 4000-a
k p
0.98
0.02
故保险公司在每一次参保身上获得的平均收益
()()8002.0400098.0-=?-+=E a a a X
欲使保险公司获利盈利20万元时，应有
()200000802500
>-a 于是可得160>a （元）
现今社会，买保险已经非常普遍，保险赔偿金确定问题就是以保险公司角度