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2017-2018学年高中数学人教A版必修1学案:1.3.1函数的基本性质课堂导学案(含答案)

1.3.1 函数的基本性质

课堂导学

三点剖析

一、函数单调性

【例1】 证明函数y=x-x

1在(0,+∞)上单调递增. 思路分析:作为证明单调性的要求,不能只作简单定性分析,还要用定义严格证明. 证明:设任意x 1、x 2∈(0,+∞)且x 1

f(x 1)-f(x 2)=x 1-

11x -(x 2-21x )=(x 1-x 2)+21x -11x =(x 1-x 2)+2121)(x x x x -=(x 1-x 2)(1+211x x ). ∵0

∴x 1-x 2<0,x 1x 2>0,1+2

11x x >0. 因此(x 1-x 2)(1+1x 1x 2)<0,

∴f(x 1)-f(x 2)<0,即f(x 1)

∴f(x)=x-x

1在(0,+∞)上单调递增. 温馨提示

1.函数单调性的证明不同于对它判断,应严格按单调性定义加以证明.

2.利用定义证明单调性,一般要遵循:(1)取值(任取给定区间上两个自变量);(2)作差变形〔将f(x 1)-f(x 2)进行代数恒等变形,一般要出现乘积形式,且有(x 1-x 2)的因式〕;(3)判断符号(根据条件判断差式的正负);(4)得出结论.

3.有时需要通过观察函数的图象,先对函数是否具有某种性质做出猜想,然后通过逻辑推理,证明这种猜想的正确性,这是研究函数性质的一种常用方法.

【例2】 f(x)是二次函数,且在x=1处取得最值,又f(2
)【例2】 f(x)是二次函数,且在x=1处取得最值,又f(2)

思路分析:解决此题的关键是将f(-2)与f(2)置于某一单调区间内再进行比较大小. 解:由于f(x)是二次函数,且在x=1处取得最值,因此x=1是二次函数的对称轴.

又∵1<2<π,f(2)

由于0与2关于x=1对称,∴f(2)=f(0).

∵-2<0,∴f(-2)>f(0),即f(-2)>f(2).

温馨提示

利用函数的单调性比较两函数值的大小,关键是将所比较的数值对应的自变量转化到同一单调区间上,才能进行比较.

二、函数的最值

【例3】 求f(x)=x+1-x 的最小值.

思路分析:该题函数f(x)由x 与1-x 相加构成,x 与1-x 具有相同的单调性,因此该