当前位置：文档之家› 正弦定理学历案 (1)

正弦定理学历案 (1)

1.1.1正弦定理

【内容出处】

本节课是人教版高中新课标数学A版必修（五）的第一章《解三角形》第一节《正弦定理和余弦定理》的第一课时，在教材第2-4页，拟学2课时。

【学习目标】

设计依据

本设计从生活中的实际问题出发创设了一系列数学问题情境来引导学生质疑、思考，让学生在“疑问”、“好奇”、“解难”中探究学习，激发了学生的学习兴趣，调动了学生自主学习的积极性，从而有效地培养学生了的数学创新思维。

表述如下

1.通过对任意三角形边、角关系的探究，理解和掌握正弦定理；

2.在正弦定理的证明过程中，渗透“从特殊到一般、从一般到特殊”的化归转化思想

教学方法

积极主动、勇于探索的学习方式，使学生在自主探究的过程中提高数学思维能力，多媒体辅助教学

【评价任务】

1.完成评价活动一，以此评判学生是否了解三角形中已知两角以及一边如何求另一边。

2.完成评价活动二，以此评判学生是否不断地观察、比较、分析，能否采取从特殊到一般以及合情推理的方法发现并证明正弦定理。

3.完成评价活动三，以此评判学生是否能熟练运用正弦定理。

【学习过程】

资源与建议

1、创设问题情境，引出问题：在三角形中，已知两角以及一边，如何求出另外一边；

2、分析正弦定理的特征及利用正弦定理可解的三角形的类型；

3、应用正弦定理解三角形。

课前预习

1.对于初中数学中任意三角形的边角有什么关系？是否能得到这个边和角关系准确量化表示

2.阅读教材内容，熟悉本节内容

课中学习课堂活动一：正弦定理的引入

有一个旅游景点，为了吸引更多的游客，想在风景区两座相邻的山之间搭建一条观光索道。已知一座山A到山脚C的上面斜距离是1500米，在山脚测得两座山顶之间的夹角是450，在另一座山顶B测得山脚与A山顶之间的夹角是300。求需要

可将问题数学符号化，抽象成数学图形。即已知AC=1500m，∠C=450，∠B=300。求AB=？此题可运用做辅助线BC边上的高来间接求解得出。

提问：有没有根据已提供的数据，直接一步就能解出来的方法？

思考：我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系。那我们能不能得到关于边、角关系准确量化的表示呢？

评价活动一：1、能否把实际问题抽象成数学问题

2,、写出已知量以及要求的量，寻求解题思路

课堂活动二：正弦定理的发现与证明

在ABC

?中，内角A B C

，，对边的边长分别是a b c

，，

问题1、在ABC

Rt?中，已知0

∠C，则A

∠的正弦与B

∠的正弦有何关系？

问题2、对于一般的三角形，问题1中所找到的关系是否成立？

评价活动二：回答以下几个问题

1、正弦定理成立的条件是什么？它有何特征？

2、解三角形的定义是怎样的？

3、由正弦定理可求解的三角形的类型有哪些？

课堂活动三：正弦定理的应用

例题1：在ABC ?中，已知12=BC ，060=∠A ，045=∠B ，则__________=AC

例题2：已知△ABC 中，a =1,b =3,∠A =30°,求∠B

求角A

评价活动：1在△ABC 中，若b =1,c =3,∠C =

2π

,则a = . 2 在ABC ?中，已知25=a ，10=c ，0

30=∠A ，则B ∠？

3 在ABC ?中，已知b

a A cos sin =，则B ∠的值为课堂小结：新课标强调数学教学要注重“过程”，要使学生学习数学的过程成为在教师的引导下进行“再创造”过程。本设计展示了一个先从特殊的直角三角形中正弦的定义出发探索A ∠的正弦与B ∠的正弦的关系从而发现正弦定理，再将一般的三角形与直角三角形联系起来（在一

般的三角形中构造直角三角形）进而在一般的三角形发现正弦定理的过程，使学生不但体会到探索新知的方法而且体验到了发现的乐趣，起到了良好的教学效果。【检测作业】

1. 一个三角形的两个角分别为006045与，如果045角所对的边长是6，那么060角所对的边长为（）

A. 63

B. 23

C. 33

D. 62 2. 在ΔABC 中，a =15，b =10，A =60°，则cos B =（）

A.-

322 B. 322 C.- 36 D. 3

3. 在ABC ?中，若5:3:6::=c b a ，求

A sin sin sin 2-的值.

4.解下列三角形（1）在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于

（2）在△ABC 中， A ＝60°，a ＝43，b ＝42，求角B

111正弦定理第1课时

111正弦定理第1课时https://www.doczj.com/doc/a816477990.html,work Information Technology Company.2020YEAR

1.1.1 正弦定理（第1课时）湖北省天门中学胡圣兵一、教学设计 1、教学内容解析本节课作为正弦定理的第一课时，主要包括章引言、正弦定理的发现、探索、证明和简单应用。正弦定理与初中学习的三角形的边角关系有着密切的联系，是解三角形的重要工具之一，既是三角函数知识的应用。又是初中解直角三角形内容的直接延伸，在日常生活、工业生产、天文、航海、航天、测量等领域中都有着广泛应用，对培养学生应用教学的意识起到重要作用。本节课让学生从已有的知识出发，通过探究得到正弦定理的内容，并能运用正弦定理解题。根据以上分析，本节课的教学重点确定为：正弦定理的探索发现及其初步应用。 2、学生学情诊断学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修四中又学习了三角函数的基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步的知识框架，这就为探索任意三角形的边角关系提供了基础。学生的困难在于如何将直角三角形中的正弦定理迁移到斜三角形中，特别是用向量的方法证明正弦定理的思路也是学生难以想到的。根据以上分析，本节课的教学难点确定为：正弦定理的探索和证明。 3、教学目标设置

（1）知识与技能目标：掌握正弦定理的内容及证明；能初步应用正弦定理解题。（2）过程与方法目标：使学生懂得认识事物有一个逐步深入的过程，对于三角形的边角关系从定性分析上升到定量分析；了解从特殊到一般的归纳方法以及分类讨论解决问题的方法。（3）情感、态度和价值观目标：通过对正弦定理的探究发现的过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过对正弦定理在各个领域中应用的了解，体会数学的科学价值、应用价值，进而领会数学的人文价值、美学价值，激发对数学的情感，培养学习数学的兴趣，不断提高自身的文化素质。4、教学策略分析本节课将以学生熟悉的生活实例，创设问题情境，带领学生进入解三角形内容的学习，激起学生的求知欲；在正弦定理的探究过程中，采用从直角三角形出发，通过学生的合作交流，得到任意三角形中的结论，并让学生归纳整理，完成正弦定理的再创造过程，用向量的方法，几何的方法证明正弦定理，分层递进，逐步深入探究，让学生在不断的猜想与解决中体会合作的乐趣。从而熟悉正弦定理的内容，并能初步应用。在教学中采用多媒体辅助教学，使得信息技术与教学内容的整合过程完美自然，课堂容量大而不失层次。教学流程：

§1.1 正弦定理导学案

§1.1 正弦定理导学案一．学习目标： 1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用 2、探究三角形的面积公式,能根据条件判断三角形的形状,能根据条件判断某些三角形解的个数. 3、激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐。二、学法指导 1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用； 2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数的有关公式，得出角的大小或边的关系。三、问题导学：阅读课本P45—P48面回答下面的问题 1、在初中我们学习的直角三角形和等边三角形的边角之间存在这样的数量关系： sin sin a b A B = sin c C =，那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？ 2、在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？ 3、 “正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？ 4、正弦定理的得到里面体现什么数学思想在其中呢？四、抽象概括正弦定理:____________________________________________________________ ___________________________________________ 五、合作探究例1 （1）在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形；（2）已知在三角形中，,105,8,7 ===A b a 求解三角形；（3）已知在三角形中，,30,6,32 ===A b a 求解三角形；思考： 1、通过以上例题你的发现正弦定理适合解什么类型的三角形问题？ 2、如何判断三角形的解的个数呢？例2 探究一在直角三角形ABC 中，斜边AB 是三角形ABC 外接圆的直径（设直角三角形ABC 的外接圆的半径为R ），因此 sin sin a b A B = sin c C ==2R ，那么这个结论对任意的三角形能否成立呢？探究结果：正弦定理常用的变形公式 (1) __________________________________________________________ (2)___________________________________________________________ (3)_____________________________________________________________ (4)____________________________________________________________ (5)____________________________________________________________ 探究二在直角三角形ABC 中，C=90 ，则三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 21 21=，对于任意的三角形ABC ，已知，则及C b a ,三角形ABC 的面积S=C ab ab sin 2 1 21=，这一结论也是成立的，怎么证明呢？试一试：如图在三角形ABC 中，).,(),,(v u AC y x AB ==→ → 试证明三角形ABC 的面积 yu xv S -=2 1

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合． 1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C ；(2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；(3)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝ c 2R 等形式，解决不同的三角形问题． 2．余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形： cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab . 3． S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝1 2 (a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R 、 r . 4．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： [1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B ；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ；在锐角三角形中，cos A

1正弦定理和余弦定理-教学设计-教案

教学准备教学目标 1. 知识目标：理解并掌握正弦定理，能初步运用正弦定理解斜三角形；技能目标：理解用向量方法推导正弦定理的过程，进一步巩固向量知识，体现向量的工具性情感态度价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； /难点教学重点2. 重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学用具 3. 多媒体标签 4. 正弦定理教学过程讲授新课在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角根据锐BC=a,AC=b,AB=c, ABC．与边的等式关系。如图11-2，在Rt中，设角三角函数中正弦函数的定义，有 . ，又，则，中，ABC从而在直角三角形．

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：，根上的高是CDABC1（证法一）如图．1-3，当是锐角三角形时，设边AB CD=据任意角三角函数的定义，有，则. . 同理可得，从而

是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后ABC类似可推出，当自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 ] 理解定理[）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同1 （；使一正数，即存在正数k，，

等价于2（），，。从而知正弦定理的基本作用为：；①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如 . 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。．评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 2（1）题。）、（页练习第第随堂练习[]511

《正弦定理》教案1苏教版

《正弦定理》教案1（苏教版必修5）课题：11.1 正弦定理教学目标： (1)掌握正弦定理及其证明,会初步运用正弦定理解斜三角形,培养数学应用意识; (2)在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力; (3)提供适当的问题情境,激发学生的学习热情,培养学生学习数学的兴趣;在合作学习中,学会学习,学会交流,相互评价,提高学生的合作意识与交流能力. 教学重点：正弦定理及其证明过程教学难点：正弦定理的推导与证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：几何画板教学过程：一.问题情境引言：从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量,从大禹治水到都江堰的修建,从天文观测到精密仪器的制造,人们都离不开对几何图形的测量,设计和计算.测量河流两岸码头之间的距离,确定待建隧道的长度,确定卫星的角度与高度等等问题,

都可以转化为求三角形的边与角的问题,这就需要我们进一步探索三角形的边角关系. 探索1:在Rt△ABC,C=900,那么边角之间有哪些关系? sinA=,sinB=,sinC==1,...... 即c=,c=,c=． ∴== 探索2:在任意三角形里, ==还成立吗? (几何画板演示) 二.学生活动数学实验: 分组一:对于锐角三角形验证结论是否成立? 分组二:对于钝角三角形验证结论是否成立? 数学猜想: ==; 三.建构数学: 数学证明:证法一:证明二：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC= 两边同除以即得：== 证明三：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴同理 =2R，＝2R 证明四：（向量法）探索活动3:观察正弦定理的结构,看它有什么特点?你能用语言把它叙述出来吗?定理中的正弦改成余弦,结论还成立吗?

正弦定理导学案人教版

课题：正弦定理（新课）学科：数学年级：高2015级主备人：彭江龙学习目标： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2、会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。自主学习 1、三角形的内角和C B A ++= 。 2、三角形的三边之间的关系：。 3、三角形的边、角之间的关系：。 4、ABC ?的基本元素：。 5、由已知的边和角求出未知的边和角，称为解三角形. 已学习过任意三角形的哪些边角关系？（内角和、大边对大角）是否可以把边、角关系准确量化？ ________________________________________ 6、在△ABC 中，若0 30,6,90===B a C ，则b c -________ （一）课题导入如图，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动. A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大.能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？引出课题———正弦定理《设计意图》：激发学生学习兴趣，引导学生思考，为后续学习做好铺垫。（二）探索研究：在三角形，如果已知角A ，所对的边BC 长为a ，角B 所对的边AC 长为b ，角C 所对的边AB 长为c ，研究角A 、B 、C 与边a 、b 、c 之间的关系首先我们研究特殊的三角形————直角三角形如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 老师：要建立角与边之间了连线，就目前而言？可通过什么建立？生：正弦、余弦、正切函数定义。根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又 sin 1c C c ==, 则 sin sin sin a b c c A B C = = = 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C = = 1页得分：等级备课组长审核签字：得分：等级中层领导审核签字：得分：等级校级领导审核签字： B C

高中数学必修5第一章1.1第1课时正弦定理

第1课时正弦定理 A 级基础巩固一、选择题 1．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，则B ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：由2B ＝A ＋C ?3B ＝A ＋B ＋C ＝180°，即B ＝60°. 答案：C 2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3 D.32 解析：利用正弦定理解三角形．在△ABC 中，AC sin B ＝BC sin A ，所以AC ＝BC ·sin B sin A ＝32×223 2 ＝2 3. 答案：B 3．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223 B.223 C ．－63 D.63 解析：利用正弦定理：a sin A ＝b sin B ，1532 ＝10sin B ，所以sin B ＝33 ，因为大边对大角(三角形中)，所以B 为锐角，所以cos B ＝1－sin 2 B

＝63 . 答案：D 4．在△ABC 中，若角A ，B ，C 对应的三边分别是a ，b ，c ，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( ) A ．a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C B ．a ＝b ?sin 2A ＝sin 2B C.a sin A ＝b ＋c sin B ＋sin C D ．正弦值较大的角所对的边也较大解析：在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝k (k >0)，则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，故a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ，故A 正确．当A ＝30°，B ＝60°时，sin 2A ＝sin 2B ，此时a ≠b ，故B 错误．根据比例式的性质易得C 正确．大边对大角，故D 正确．答案：B 5．在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：由正弦定理得：a sin A ＝b sin B ＝2R ，由a ＝b sin A 得： 2R sin A ＝2R sin B ·sin A ，

1.1.1正弦定理导学案(必修五)

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法；一、课前准备试验：固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而．（简：大角对大边）能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？二、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==，从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C ==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B =，同理可得sin sin c b C B =，从而sin sin a b A B =sin c C =．类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试推导. 新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等，即 sin sin a b A B =sin c C =．试试：（1）在ABC ?中，一定成立的等式是（）． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . s i n s i n a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于．

正弦定理与余弦定理地综合应用

正弦定理与余弦定理的综合应用 (本课时对应学生用书第页 ) 自主学习回归教材 1.(必修5P16练习1改编)在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C=7∶8∶13，则cos C=. 【答案】-1 2 【解析】由正弦定理知a∶b∶c=7∶8∶13，再由余弦定理得cos C= 222 78-13 278 + ??=- 1 2. 2.(必修5P24复习题1改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2-b23bc，sin C3B，则角A=. 【答案】π6 【解析】由sin C 3B得c3b，代入a2-b23得a2-b2=6b2，所以a2=7b2，a7b，所以cos A= 222 - 2 b c a bc + = 3 ，所以角A= π 6.

3.(必修5P20练习3改编)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°方向、距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为n mile/h. (第3题) 【答案】 176 4.(必修5P26本章测试7改编)设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A+c sin C2sin C=b sin B，则角B=. 【答案】45° 【解析】由正弦定理得a2+c22ac=b2，再由余弦定理得b2=a2+c2-2ac cos B，故cos B=2 ，因此B=45°. 5.(必修5P19例4改编)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等比数列，则角B的取值围为. 【答案】 π0 3?? ???，

1.1正弦定理(优质课比赛)

《正弦定理》第一课时尊敬的各位专家、评委、老师们：大家好！我是第号参赛选手，我今天说课的课题是：正弦定理（选自人教A版新课程标准实验教材必修5第一章第一节第一课时）这里我将从教学背景分析、教法学法分析两大块先谈谈我对本节课的教学认识，再以“教什么，怎么教，为什么这样教”的思路，来说明我的教学过程和设计，最后是教学评价。首先是教学背景分析我分三小点来说明：一、教学背景分析 1、教材分析随着解三角形在实际测量和物理中的广泛使用，正弦定理作为解三角形最有力的工具之一，有着很高的学习价值，从知识上讲它又是函数知识和平面三角形知识的的交汇，是任意三角形边角关系准确量化的表示，通过本节课对定理的探索，无论在知识上，还是思想方法上对后续的学习都有重要的意义，因此我认为，本节课的重点是定理的发现和证明，及定理的简单运用。 2、学情分析正弦定理是在学生已经学习三角形知识，解直角三角形、向量知识，三角函数等知识后对任意三角形边角关系的探索，学生有了一定的知识基础，但学生对知识的构建、论证能力还不强，探究过程中在思维上难免会受限，另外学生的合作交流意识、知识的运用能力还有待加强。因此我认为本节课的难点是定理的发现、证明及已知两边和一边对角时的解三角形。根据上述教材、学情的分析，我制定如下教学目标： 3、教学目标（1）知识和技能引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；简单运用正弦定理解三角形。 (2)过程和方法通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法和能力；通过对定理的证明和运用，培养学生独立解决问题的能力、体会分类讨论和数形结合的思想方法. （3）情感态度价值观通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探索精神和创新意识，体会数学的使用价值。为了使学生能够达到本节课设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析。（首先是教法分析）二、教法学法分析 1、教法分析根据教材的内容和编排的特点，本讲我将以“教师为主导，以学生为主体”，'采用“师生互动"为基础的“启发——探究式课堂教学模式”，用层层深入的话题将学生引入对定理的发现证明运用过程中，使教师始终站在学生思维和兴趣的最近发展区上，有效的组织教学。

正弦定理导学案(1)

第1章解三角形【知识结构】正、余弦定理的应用解三角形余弦定理正弦定理→→? ?? 【重点难点】重点：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。难点：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 1.1 正弦定理第1课时【学习导航】知识网络直角三角形的边角关系→任意三角形的边角关系→正弦定理学习要求 1．正弦定理的证明方法有几种，但重点要突出向量证法； 2．正弦定理重点运用于三角形中“已知两角一边”、“已知两边一对角”等的相关问题 3.利用正弦定理判断解的情况（画图）【课堂互动】自学评价 1．正弦定理：在△ABC 中，===C c B b A a sin sin sin ______, 2．正弦定理可解决两类问题：（1）________________________________（解的情况唯一吗）；（2）_________________________________（解的情况唯一吗）【精典范例】【例1】在ABC ?中，30A =?，105C =?，10a =，求b ，c ．分析：正弦定理可以用于解决已知两角和一边的解三角形问题，直接运用定理。【解】

【例2】根据下列条件解三角形（难点）：（1）60,1b B c ==?=；（2）45,2c A a ==?=．分析：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角的解三角形问题。技巧理解：注重分析解的情况，经常使用大边对大角。如果解的情况不唯一，分类讨论即可。【例3】根据下列条件，判断ABC ?有没有解？有解，解的个数？（画图判断）分析：本题的知识点理解即可（1）5a =，4b =，120A =?，求B ；（2）5a =，4b =，90A =?，求B ；（3）a =b =45A =?，求B ；（4）a =b =45A =?，求B ；（5）4a =，3b = ，60A =?，求B ．追踪训练： 1．在△ABC 中，已知3=a ，4=b ，32sin = B ，则A sin = （） A 43 B 61 C 21 D 1 2．在△ABC 中，（1）已知075=A ，045=B ，23=c ，解三角形（2）13=b ，26=a ，030=B ，解三角形 3.在ABC ?中，已知8b c +=，30B ∠=?，45C ∠=?，则b = ，c = ．

正弦定理和余弦定理的应用举例(解析版)

正弦定理和余弦定理的应用举例考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．【助学·微博】解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有

时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________．解析记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里．解析由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)．答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时．解析由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)．答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________．解析由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形．答案等边三角形

人教新课标版数学高二-2014版数学必修五练习1-1正弦定理与余弦定理

习题课正弦定理与余弦定理双基达标 (限时20分钟) 1．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是 ( )． A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形解析 ∵2cos B sin A ＝sin C ＝sin(A ＋B )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0，∴A ＝B . 答案 C 2．在△ABC 中，若a 2＝bc ，则角A 是 ( )． A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．60° 解析 cos A ＝b 2＋c 2－a 2 2bc ＝ b 2＋ c 2 －bc 2bc ＝ ????b －c 22＋3c 2 4 2bc ＞0，∴0°＜A ＜90°. 答案 A 3．在△ABC 中，AB ＝7，AC ＝6，M 是BC 的中点，AM ＝4，则BC 等于 ( )． A.21 B.106 C.69 D.154 解析设BC ＝a ，则BM ＝MC ＝a 2. 在△ABM 中， AB 2＝BM 2＋AM 2－2BM ·AM cos ∠AMB ，即72＝14a 2＋42－2×a 2×4·cos ∠AMB ① 在△ACM 中， AC 2＝AM 2＋CM 2－2AM ·CM ·cos ∠AMC 即62＝42＋14a 2＋2×4×a 2·cos ∠AMB ② ①＋②得：72＋62＝42＋42＋1 2 a 2，

∴a ＝106. 答案 B 4．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 的值为________．解析 ∵a 2＋c 2－b 2＝3ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，∴B ＝π 6. 答案 π 6 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析由sin B ＋cos B ＝2sin ????B ＋π 4＝2得 sin ????B ＋π4＝1，∴B ＝π 4. 由正弦定理a sin A ＝b sin B 得 sin A ＝a sin B b ＝ 2sin π 4 2 ＝12 ， ∴A ＝π6或56 π. ∵a ＜b ，∴A ＜B ，A ＝π 6. 答案 π6 6．在△ABC 中，内角A 、B 、C 成等差数列，其对边a ，b ，c 满足2b 2＝3ac ，求A . 解由A 、B 、C 成等差数列及A ＋B ＋C ＝180°得B ＝60°，A ＋C ＝120°. 由2b 2＝3ac 及正弦定理得 2sin 2B ＝3sin A sin C ，故sin A sin C ＝12 . cos(A ＋C )＝cos A cos C －sin A sin C ＝cos A cos C －1 2，即cos A cos C －12＝－1 2， cos A cos C ＝0， cos A ＝0或cos C ＝0，

正弦定理第一课时(教学设计)

《正弦定理》

§2.1《正弦定理》——第一课时（教学设计）一、教学目标 1、知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探究，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 2、过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。使学生进一步体会数形结合的思想；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 3、情感、态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。二、教学重点和难点重点：正弦定理的探究和证明及其基本应用难点：正弦定理的实际应用三、教学方法：问题牵引、启发引导、合作探究四、教学手段：多媒体辅助教学五、教学过程本节的教学过程由以下几个环节构成：

六、教学设计 1.正弦定理的建构（1）创设情境—感知定理 ①视频情境播放今年第12号台风海葵给我国吴山带来的伤害，让学生再一次感受大自然力量的强大，引导学生如何利用科学知识预防自然灾难，引出本节课的内容——正弦定理。设计意图: 由实际生活入手，让学生感受数学来源于生活，同时又服务于生活。（2）观察证明—形成定理 ① 通过特殊三角形的研究，观察它的角和边之间的关系，猜想它们之间的联系。在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有 sin a A c =，sin b B c =，又=sin 1C , A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = (图1．1) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）方法一、利用三角形的高证明正弦定理 Ⅰ、当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有 =sin CD a B ,sin CD b A =。由此，得 sin sin a b A B =，同理可得 sin sin c b C B =，故有 sin sin a b A B =sin c C =.从而这个结论在锐角三角形中成立. Ⅱ、当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点 D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由Ⅰ、Ⅱ可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。 ② 思考：问题：您能用其他方法证明这一关系吗？方法二、向量法证明正弦定理如图，以A 为原点，以射线AB 的方向为x 轴的正方向建立直角坐标系，C 点在y 轴上的射影为c '。 A B C D b a a b D A B C