[清华简] 清华简《保训》解析修订版（子居）
拙文之成文，得益于李锐、东山铎、王连龙、公子小白等多位先生提供相关材料的帮助，感谢在先。
先列出《保训》释文：
1、隹王五十＝年，不[疒余]，王念日之多鬲，恐坠保训。戊子自演。己丑，昧
2、[爽□□□□□□□□□□王]若曰：“发，朕疾适甚，恐不女及
3、训。昔前人传保，必受之以詷。今朕疾允病，恐弗念终，女以箸
4、受之。钦哉，勿淫！昔舜旧作小人＝，新耕于鬲丘，恐救中，自诣厥志
5、不讳于庶，万生之多，欲厥有施，于上下远迩，乃易位迩诣，则
6、阴阳之物，咸顺不逆。舜既得中，言不易实变名，身兹备，惟
7、允，翼＝不解，用作三降之德。帝尧嘉之，用受厥绪。于呼！祗之
8、哉！昔微叚中于河，以复有易，有易伓厥罪。微亡害，乃归中于河。
9、微志弗忘，传贻子孙＝，至于成康，祗备不解，用受大命。于呼！发，敬哉！
10、朕闻兹不旧，命未有所延。今女祗备毋解，其有所由矣。不
11、及，尔身受大命。敬哉，毋淫！日不足，隹宿不羕
一、释文解析
惟王五十=年
文王五十年，即其终年。网友破晓先生指出：
《保训》讲文王在位50年，临终前教导太子发事，《逸周书·文儆·文传》两篇也是文王教导太子发之事，《文传》“文王受命之九年”据黄怀信注释就是“文王五十年”，于《保训》同，但内容完全不一样。”[2]
查黄怀信《逸周书校补注译》（修订本）《文传解》注一：
[受命]受天灭商杀纣之大命，在文王四十二年。九年，文王五十年；三月，文王临薨之月。今本《纪年》以此年三月西伯昌薨，当据此。”[3]
文王五十年，即受命九年，可知《保训》与《逸周书》的《文儆》、《文传》篇存在着一定的相关性。
李锐先生在《读〈保训〉札记》一文中指出：
从金文来看，以“惟王”多少“年”开篇的青铜器铭文，多见于西周中晚期（《尚书·洛诰》用“惟七年”，无“王”字，在篇末），如西周中期的有：曶鼎（《殷周金文集成》5.2838），望簋（8.4272），师酉簋（8.4288），牧簋（8.4343）；晚期的有：柞钟（1.133），散伯车父丁（5.2697），小克鼎（5.2796），虢姜簋（7.3820），五年师簋（8.4216），走簋（8.4244），元年师簋（8.4279），伊簋（8.4287），师簋（8.4311），师簋（8.4312），比盨（9.4466）。战国时期的曾姬无恤壶（15.9710）、陈璋（16.9975）也有类似表述，恐只能看作是一种遗存，就如同战国时期的楚王酓章钟，也偶用“惟王五十又六祀”这种类似西周早期的文字一样（不过西周早、中期这种语句常放在结尾处，《尚书·洪范》、《逸周书·大匡》、《逸周书·文政》用“惟十有三祀”，《逸周书·武儆》用“惟十有二祀”，在篇首，但是没有用“王”字）。[4]
由此可知，《保训》的开篇模式渊源有自，上承自西周中晚期的金文或类似材料。而且，在前面提到的《逸周书》卷三的《文儆》、《文传》篇后，即《柔武》、《大开武》、《小开武》、《宝典》、《酆谋》诸篇，各篇所记时间为：
《柔武》：“维王元祀一月既生魄……”
《大开武》：“维王一祀二月……”
《小开武》：“维王二祀一月既生魄……”
《宝典》：“维王三祀二月丙辰朔……”
《酆谋》：“维王三祀……”
除了《保训》中的“年”在这几篇作“祀”外，纪年形式基本上如出一辙，所以，或可推测《逸周书》卷三这几篇和《保训》的成文时间大致相去不远。
不[疒余]
不[疒余]，孟蓬生先生以为释[疒余]，读为“不豫”[5]，传世文献多作“不豫”，即不乐，先秦时常作为身体不适的代称，如：
《尚书·金縢》：“王有疾，弗豫。”
《逸周书·五权》：“维王不豫于五日，召周公旦曰……”
《穆天子传》卷六：“内史将之以见天子，天子告不豫而辞焉。”
《论衡·死伪》：“周武王有疾不豫，周公请命，设三坛同一墠，植璧秉圭，乃告于太王、王季、文王。”
王念日之多历
李锐先生指出：“古书多有…多历年?之说，当同于此处的…日之多历?。如《尚书·君奭》的…多历年所?；《国语·吴语》：…伯父多历年以没元身。?”[6]是知此言文王考虑到经历了那么长时间，是来日无多的婉语，类似句式有：
《尚书·君奭》：“故殷礼陟配天，多历年所。”
《国语·晋语八》：“思长世之德，历远年之数，犹惧不终其身。”
《国语·吴语》：“伯父多历年以没元身，伯父秉德已侈大哉！”
《孟子·万章上》：“舜之相尧，禹之相舜也，历年多，施泽于民久。启贤，能敬承继禹之道。益之相禹也，历年少，施泽于民未久。”
恐坠保训
传世文献中多言“坠命”，可与此对观，如：
《尚书·金縢》：“无坠天之降宝命。”
《尚书·酒诰》：“今惟殷坠厥命，我其可不大监抚于时！”
《尚书·召诰》：“相古先民有夏，天迪从子保，面稽天若；今时既坠厥命。今相有殷，天迪格保，面稽天若；今时既坠厥命。……惟不敬厥德，乃早坠厥命。今王嗣受厥命，我亦惟兹二国命，嗣若功。”
《尚书·君奭》：“弗吊天降丧于殷，殷既坠厥命，我有周既受。……不知天命不易，天难谌，乃其坠命，弗克经历。”
《国语·晋语二》：“敬不坠命，微知可否。”
保为保有、守护之意，如《左传·哀公二十七年》：“乃先保南里以待之。”杜预注：“保，守也。”保训，即所保天命之训。对“保”的重视于《逸周书》中多见，《酆保》开篇即言：“维二十三祀庚子朔，九州岛之侯咸格于周。王在酆，昧爽，立于少庭，王告周公旦曰：呜呼！诸侯咸格来庆，辛苦役商，吾何保守？何用行？”《文儆》开篇又言“维文王告梦，惧后祀之无保”更于结尾重申“呜呼！敬之哉！倍本者槁。汝何葆非监？不维一保监顺时，维周于民之
适败，无有时盖，后戒后戒，谋念勿择。”又于《文传》开篇言“文王受命之九年，时维莫春，在鄗，召太子发曰：呜呼！我身老矣！吾语汝，我所保与我所守，传之子孙。”于《度邑》更是强调“我未定天保。何寝能欲？”于《五权》则有“政有三机五权，汝敬格之哉！克中无苗，以保小子于位。”于《尝麦》则有“保宁尔国，克戒尔服，世世是其不殆，维公咸若。”皆即《保训》此“保”之意。
戊子，自演。己丑，昧[爽]
演字原释溃，李锐先生指出：“在清华大学会议上，李守奎先生指出所隶“溃”字有疑问，但该字右下残笔影响辨识。后来与李守奎等先生查看原简，多认为右部当为寅字，原字当隶定为“演”，残笔应该无关，如何释读则待考。”[7]一上示三王先生认为可通“颒”[8]，当是。《尚书·顾命》开篇部份“惟四月，哉生魄，王不怿。甲子，王乃洮颒水。相被冕服，凭玉几。乃同。”与此相类，当是《保训》对《顾命》的一种模仿。《顾命》所言“甲子，王乃洮颒水。”于《尚书校释译论》有详说：
王乃洮颒水——《释文》：“（洮）音逃。（颒）音悔。”郑玄注：“洮颒为濯。”见段玉裁《撰异》录《三圆志·吴志》注引《虞翻别傅》：“翻奏郑玄解《尚书》违失事四，成王疾，困凭几，洮颒为濯，以为澣衣成事。”段氏接着讲：“洮读为濯者，《周礼·守祧》注：…古文洮为濯。?《尔雅》郭本…珧?，众家本皆作濯，是其例也。兆声翟声同在第二部。”又云：“《说文》小篆作…沬?，古文作颒，从水、升、页，含意。雨手匊水洒面也。今《说文》作…须?，乃是误字（按《说文·水部》云：“沬，洒面也。从水未声。须，古文沬，从页”）。《尚书音义》、《文选·报任少卿书》注所引皆不误。”皮氏《考证》云：“据此则古文作…颒?，今文作…沬?。”按《释文》引马融云：“洮，洮髪也。颒，颒面也。”“洮髪”，即上引《撰异》所录郑玄“守洮”注义，亦即濯髪。“颒面”即《说文》所释两手掬水洒面。《孔疏》则云：“《礼》：…洗手谓之盥，洗面谓之颒。?颒是洗面，知洮属盥手。”吴闿生《大义》承其父说释云：“洮读为绦。绦髪为一事，颒面为一事。发大命，临群臣，必斋戒沐浴，今疾病危殆，但绦髪颒面，扶相者被以衮冕，凭玉几以发命。”洮字经师们或释为洮髪，或释为盥手，这是古代礼制中的具体细节，知有此异说，在古人要斤斤辨明，今天但知其为古礼细节之异说即可，不用去究其是非。
这里再略加补充，《礼记·玉藻》：“日五盥，沐稷而靧粱。”孔颖达疏：“沐稷而靧粱者，沐，沐发也；靧，洗面也。取稷粱之潘汁，用将洗面沐发，并须滑故也。然此大夫礼耳。又人君沐靧皆粱也。”《礼记·内则》：“其间面垢，燂潘请靧。”陆德明释文引汉马融曰：“洮，洮发也。颒，颒面也。”《周礼·天官·内竖》“执亵器以从遣车”郑玄注：“亵器，振饰颒沐之器。”贾公彦疏：“死者器物虽皆不用，仍法其威仪者，故此注亵器为振饰颒沐之器，不为清器虎子也。知有振饰颒沐器者，案《特牲》为尸而有盘匜，并有箪巾，巾为振饰，盘匜为盥手，明其颒面沐发亦有之。”
丧为大事，故古代有将死而沐浴的习俗，如：
《风俗通义》卷二：“叶令祠俗说孝明帝时，尚书郎河东王乔迁为叶令，乔有神术，每月朔常诣台朝。帝怪其来数而无车骑，密令太史候望。言其临至时，常有双凫从东南飞来。因伏伺，见凫，举罗，但得一双鞋耳。使尚方识视，四年中所赐尚书官属履也。每当朝时，也门鼓不击自鸣，闻于京师。后天下一玉棺于厅事前，令臣吏试入，终不动摇。乔曰：…天帝独欲召我。?沐浴服饰，寝其中，盖便立覆。”
《金楼子·说蕃》：“颖素为邺都所服，虑为变，伪称台使，赐颖死。颖曰：“我放逐于今三年，身体手足不见洗沐，取五斗汤来。”其二子号泣，颖叱去。浴讫，散发束首卧。命缢之，二子皆死，邺中为之悲哀。”
《太平广记》卷第三百四十八鬼三十三引《会昌解颐录》：“经一年：疾困。遂开第三封，
题云；…可处置家事。?乃沐浴，修遗书，才讫而遂终焉。”
元·徐显《历代小史》：“明年癸巳春正月，与予游开元佛舍，私与予言：吾闻中原豪杰方兴，而吾不及预，命也夫！今兹六气淫厉，吾犯司地，殆将死矣，如期必于秋。予日：何至是？逾月，果疾，予住视之，则犹谈笑无他苦。秋七月，沐浴竟，遂征(候)然而逝，年四十有九。”
元·陶宗仪《南村辍耕录》卷六：“母钱氏，年六十余，病将死，良吉沐浴祷天。”
明·宋端仪《立斋闲录》：“叔英之将死也，沐浴具衣冠。”
《宋史》列传第一百九十三儒林四：“又谓家人曰：…吾将死矣。?又告僚属曰：…某将告终。?会祷雪，明日，雪。乃沐浴更衣端坐，后二日日中而卒。”
《顾命》里是甲子，《保训》里是戊子，皆在子日，或可考虑这里有择日的讯息。《论衡·讥日》引《沐书》曰：“子日沐，令人爱之。卯日沐，令人白头。”证之以《睡虎地秦简·日书甲种》：“无以卯沐浴，是谓血明，不可□井池。”可见《讥日》所言确实渊源有自，再证以《顾命》和《保训》，则“子日沐”为宜的习俗，很可能先秦相传已久。
关于昧爽，于文献可征者，见以下各条：
《尚书·牧誓》：“时甲子昧爽，王朝至于商郊牧野，乃誓。”
《逸周书·酆保》：“维二十三祀庚子朔，九州岛之侯咸格于周。王在酆，昧爽，立于少庭。”
《逸周书·史记》：“维正月，王在成周，昧爽，召三公左史戎夫。”
《礼记·内则》：“昧爽而朝．问何食饮矣。……由命士以上．父子皆异宫．昧爽而朝．慈以旨甘。”
《穆天子传》卷六：“昧爽，天子使嬖人赠用文锦明衣九领”
《荀子·哀公》：“孔子曰：……君昧爽而栉冠，平明而听朝。”
陈梦家先生曾言：“金文册命的时间通常是“旦”即旦明之时，但39（免簋）则在昧爽，即旦明以前所谓晨明。免簋和小盂鼎是仅有的行礼于昧爽的铜器，而且告行于周庙，可见其事的隆重。”[9]
《逸周书·文儆》言：“维文王告梦，惧后祀之无保，庚辰，诏太子发……”而《保训》则是“戊子自演。己丑，昧爽……”，当文王五十年暮春三月，庚辰在中旬，戊子、己丑在下旬，可知依《保训》所记，则文王很可能于此后不几日即过世。
[王]若曰：“发，朕疾适甚，恐不汝及训
这段话可以与《尚书·顾命》：”王曰：呜呼！疾大渐，惟几，病日臻。既弥留，恐不获誓言嗣，兹予审训命汝。”类观，都是陈述王自身病重时的忧虑。
“若曰”的用法多见于西周中期到晚期的金文，传世文献中可查最晚的材料为《左传·定公四年》所引（《左传·定公四年》：“其载书云：…王若曰：晋重、鲁申、卫武、蔡甲午、郑捷、齐潘、宋王臣、莒期。?藏在周府，可覆视也。”），此后就不复可见，故可知“若曰”的应用时间下限很可能就是春秋中期左右。
昔前人传保
这里是申明前人所传，希望后人有所保有。《素问·灵兰秘典论》：“黄帝乃择吉日良兆，而藏灵兰之室，以传保焉。”与此相类。更可知《保训》之“保”，不能理解为“宝”。
必受之以詷
詷，共同。由所言“昔前人传保，必受之以詷”及《顾命》“在后之詷，敬迓天威”可知，“詷”当时指一种特定的仪式。《周礼·春官·大宗伯》：“时见曰会，殷见曰同。”郑玄注：“殷，犹众也，十二岁王如不巡守，则六服尽朝。朝礼既毕，王亦为坛，合诸侯以命政焉。”《周礼·秋官·大行人》：“殷同以施天下之政。”郑玄注：“殷同，即殷见也。”《说文·言部》：“詷，共也。《周书》曰：…在夏后之詷。?”皆即此“詷”。这里是说前人临终时有所训命告诫，必会同臣属、族人而后申言。《尚书·顾命》“惟四月，哉生魄，王不怿。甲子，王乃洮颒水。相被冕服，凭玉几。乃同，召太保奭、芮伯、彤伯、毕公、卫侯、毛公、师氏、虎臣、百尹、御事。”《左传·宣公四年》：“及将死，聚其族，曰：椒也知政，乃速行矣，无及于难。”都是相似的例子。
“受之以”是比较有显著时间和地域特性的词，如：
《管子·侈靡》：“水之变气，应之以精。受之以豫。”
《周易·序卦传》：“物生必蒙，故受之以蒙……缓必有所失，故受之以损；损而不已，必益，故受之以益。益而不已，必决，故受之以夬。”
《孔子家语·六本》：“孔子曰：……损而不已，必益，故受之以益。益而不已，必决，故受之以夬。”
其原型“受以”则多见于《仪礼》及《礼记》，如：
《仪礼·丧服》：“受以小功衰。”
《仪礼·特牲馈食礼》：“尸受以菹豆。”
《仪礼·少牢馈食礼》：“祝受以东北面于户西。”
《礼记·内则》：“其相授．则女受以篚。”
《礼记·间传》：“斩衰三升，既虞卒哭，受以成布六升，冠七升；为母疏衰四升，受以成布七升，冠八升，去麻服葛，葛带三重。”
因此，当可推知“受之以”、“受以”这样的词汇应用为春秋战国时期齐鲁地区的特色。
今朕疾允病，恐弗念终
疾，患病；病，重病。这里是说文王觉得现在自己的病确实非常严重，恐怕坚持不到“同”的结束。“今朕”之说又见于以下各例：
《尚书·汤誓》：“夏德若兹，今朕必往。”
《尚书·多士》：“今朕作大邑于兹洛，予惟四方罔攸宾，亦惟尔多士攸服奔走臣我多逊。”
《逸周书·寤儆》：“维四月朔，王告儆，召周公旦曰：呜呼！谋泄哉！今朕寤有商惊予。”
《逸周书·本典》：“维四月既生魄，王在东宫，告周公曰：呜呼！朕闻武考，不知乃问，不得乃学，俾资不肖，永无惑矣。今朕不知明德所则，政教所行，字民之道，礼乐所生。”
女以箸受之
“箸”通“书”，见《简牍帛书通假字字典》第94页“箸与书”条（福建人民出版社，2008年）。先秦时多有口述而使人以书记录的情况，如：
《礼记·玉藻》：“动则左史书之，言则右史书之。”
《战国策·齐策六·齐闵王之遇杀》：“及君王后病且卒，诫建曰：…群臣可用者某。?建曰：…请书之。?君王后曰：…善。?取笔牍受言。”
《吕氏春秋·重言》：“天子无戏言，天子言，则史书之，工诵之，士称之。”
《吕氏春秋·骄恣》：“王曰：…春子，春子，反！何谏寡人之晚也？寡人请今止之。?遽召
掌书曰：…书之，寡人不肖，而好为大室，春子止寡人。?”
这里是因为文王年老且病重，担心不能等到会同臣属的全部仪式完成，故命太子发以书记录训辞。
钦哉，勿淫
钦，《尚书·尧典》：“钦明文思安安。”郑玄云：“敬事节用谓之钦。”《礼记·内则》：“钦有帅。”郑玄云：“钦，敬也。”钦哉的用法在先秦文献非常集中，仅见于以下几例：《逸周书·武穆》：“钦哉！钦哉！余夙夜求之无射。”
《逸周书·尝麦》：“箴大正曰：钦之哉！诸正敬功。”
《尚书·尧典》：“帝曰：往，钦哉！……帝曰：我其试哉！女于时，观厥刑于二女。厘降二女于妫汭，嫔于虞。帝曰：钦哉！……钦哉，钦哉，惟刑之恤哉！……帝曰：俞，往，钦哉！……帝曰：咨！汝二十有二人，钦哉！惟时亮天功。”
《尚书·皋陶谟》：“帝庸作歌。曰：…敕天之命，惟时惟几。?乃歌曰：…股肱喜哉！元首起哉！百工熙哉！?皋陶拜手稽首扬言曰：…念哉！率作兴事，慎乃宪，钦哉！屡省乃成，钦哉！?乃赓载歌曰：…元首明哉！股肱良哉！庶事康哉！?又歌曰：…元首丛脞哉！股肱惰哉！万事堕哉！?帝拜曰：…俞，往，钦哉！?”
因此或可推想，这几篇的成文时间及地域是大致相近的。“钦哉”又见于战国时期鱼鼎匕，当是对《书》体文献的一种拟仿。
淫，指过度、恣意放纵、没有节制。《左传·昭公六年》：“制为禄位以劝其从，严断刑罚以威其淫。”杜预注：“淫，放也。”《国语·周语下》：“言爽，日反其信；听淫，日离其名。”韦昭注：“淫，滥也。”《礼记·儒行》：“儒有可亲而不可劫也……其居处不淫。”孙希旦集解：“淫，侈滥也。”《春秋谷梁传·襄公二十五年》：“庄公失言，淫于崔氏。”范宁注引范邵曰：“淫，过也。”《文选·扬雄〈羽猎赋〉》：“创淫轮夷，丘累陵聚。”郭璞注引张晏曰：“淫，过也。”淫佚则会失众亡国，故这里着重强调“勿淫”。相似观念于先秦之例有：
《尚书·西伯戡黎》：“惟王淫戏用自绝。故天弃我，不有康食。”
《尚书·多士》：“有夏不适逸，则惟帝降格，向于时夏。弗克庸帝，大淫泆有辞。惟时天罔念闻，厥惟废元命，降致罚。……诞淫厥泆，罔顾于天显民祗，惟时上帝不保，降若兹大丧。”
《尚书·无逸》：“无淫于观、于逸、于游、于田，以万民惟正之供。”
《国语·周语上》：“国之将亡，其君贪冒、辟邪、淫佚、荒怠、粗秽、暴虐；其政腥臊，馨香不登；其刑矫诬，百姓携贰。”
《国语·周语下》：“昔共工弃此道也，虞于湛乐，淫失其身，欲壅防百川，堕高堙庳，以害天下。皇天弗福，庶民弗助，祸乱并兴，共工用灭。其在有虞，有崇伯鲧，播其淫心，称遂共工之过，尧用殛之于羽山。……及其失之也，必有慆淫之心间之。故亡其氏姓，踣毙不振；绝后无主，湮替隶圉。……若夫匮财用，罢民力，以逞淫心，听之不和，比之不度，无益于教，而离民怒神，非臣之所闻也。……自幽王而天夺之明，使迷乱弃德，而即慆淫，以亡其百姓，其坏之也久矣。”
《墨子·辞过》：“俭节则昌，淫佚则亡。”
《墨子·非命中》：“是故昔者三代之暴王，不缪其耳目之淫，不慎其心志之辟，外之驱骋田猎毕弋，内沉于酒乐，而不顾其国家百姓之政。繁为无用，暴逆百姓，使下不亲其上，是故国为虚厉，身在刑僇之中。”
《管子·形势解》：“乱主淫佚邪枉，日为无道，至于灭亡而不自知也。”
《商君书·弱民》：“弱则轨，淫则越志。”
《晏子春秋·景公爱嬖妾随其所欲晏子谏》：“淫于耳目，不当民务，此圣王之所禁也。”
《晏子春秋·晏子死景公驰往哭哀毕而去》：“子大夫日夜责寡人，不遗尺寸，寡人犹且淫泆而不收，怨罪重积于百姓。”
《大戴礼记·曾子立事》：“居上位而不淫，临事而栗者，鲜不济矣。”
《大戴礼记·少闲》：“禹崩，十有七世，乃有末孙桀即位。桀不率先王之明德，乃荒耽于酒，淫泆于乐，德昏政乱，作宫室高台污池，土察，以民为虐，粒食之民惛焉几亡。”
可见先秦时是普遍认为“淫佚”不仅关系到君王的个人道德修养、荣辱得失，同时还是与政权之兴衰存亡紧密相关的。
昔舜旧作小人，亲耕于历丘
该句与《尚书·无逸》的“其在祖甲，不义惟王，旧为小人。”是非常相似的。关于“丘”字的释读，是依据海天先生所指出的：
简4「亲耕于历△」，「△」似是「茅」字，赵平安先生已说。而「茅」可以读为「丘」。郭店《老子》甲本简33与今本第五十五章“骨弱筋柔而握固”之“柔”相当之字作【柔/求】，孟蓬生先生：《郭店楚简字词考释》之“一、”，《古文字研究》第二十四辑，第404页已指出“求”当也是全字的声符，求声、柔声音近可通。陈剑先生〈金文零释四则〉进一步指出：「柔”字本从“矛”声，郭店《五行》简41以“矛”为“柔”，【柔/求】或即在“矛”字上加注“求”声而成，（赵彤：《战国楚方言音系》，第53页，中国戏剧出版社，2006年5月。）或系在“柔”字上加注“求”声、同时又替换了其义符“木”而成，（廖名春：《郭店楚简老子校释》，第326页，清华大学出版社，2003年6月。）总之当是一个双声字。」《古文字学论稿》页145-146。则【求与矛】可通假。而甲骨文「有求」即「有咎」。则【求与矛与咎】皆音近可通。最后，《子羔》39「游于玄丘之内」，玄「丘」可读为玄「咎」，参白于蓝〈玄咎〉：〈释「玄咎」〉，简帛研究网，2003/01/19。则《保训》简文「茅」可以读为「丘」。[10]
值得注意的是，《保训》与《容成氏》皆作“鬲丘”，而传世文献则俱作“历山”，如：《管子·版法解》：“舜耕历山，陶河滨，渔雷泽，不取其利，以教百姓，百姓举利之，此所谓能以所不利利人者也。”
《墨子·尚贤下》：“是故昔者舜耕于历山，陶于河濒，渔于雷泽，灰于常阳，尧得之服泽之阳，立为天子，使接天下之政，而治天下之民。”
《吕氏春秋·慎人》：“舜耕于历山，陶于河滨，钓于雷泽，天下说之，秀士从之，人也。”
《韩诗外传·卷七》：“故虞舜耕于历山之阳，立为天子，其遇尧也。”
其中或有可辨者，存此待考。另外一点是，舜的抑己利民，前引已有所见，文献中更有将其归为舜巧于使民者，如：
《荀子·哀公》：“昔舜巧于使民，而造父巧于使马。舜不穷其民，造父不穷其马，是以舜无失民，造父无失马也。”
《韩诗外传·卷二》：“昔者舜工于使人，造父工于使马，舜不穷其民，造父不极其马，是以舜无佚民，造父无佚马。”
《韩非子·难一》：“舜其信仁乎！乃躬藉处苦而民从之。”
《韩非子》之“躬藉”即相当于《保训》的“亲耕”，传世文献又有作“躬耕”者（《韩诗外传》卷二：“楚狂接舆躬耕以食。”），意皆无别。
恐救（求）中
笔者曾于复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛的讨论帖中言及《保训》之“中”当是
“众”，这里再尝试给出较详细的论证。
遍查先秦典籍，皆未见“求中”或“救中”的说法，而“得中”之说于先秦则基本上局限于《易传》，皆是因爻位居中而言，与《保训》内容丝毫无涉，“假中”、“归中”更是不见于传世文献。反观《保训》全篇，几乎每词都能在传世文献中寻得对应，何以与“中”有关的这几个词却于传世文献无征呢？若“求中”、“得中”是被认为文王曾传给武王的重要观念，何以竟会随着《保训》篇的亡佚而一同亡佚，完全不见于他书所载或称引论述呢？亡佚一篇文章并不奇怪，但要说亡佚一个词、一个曾被认为很重要的思想观念，这恐怕是说不过去的。与此相对的是，若于文献检“求众”，则可证于《墨子·节葬下》所言“以此求众，譬犹使人负剑，而求其寿也。”，“得众”之辞于传世文献更是多有。举例如下：
《墨子·尚贤》：“今者王公大人为政于国家者，皆欲国家之富，人民之众，刑政之治，然而不得富而得贫，不得众而得寡，不得治而得乱，则是本失其所欲，得其所恶，是其故何也？”
《管子·立政》：“故曰：…卿相不得众，国之危也。大臣不和同，国之危也。兵主不足畏，国之危也。民不怀其产，国之危也。?故大德至仁，则操国得众。见贤能让，则大臣和同。罚不避亲贵，则威行于邻敌。好本事，务地利，重赋敛，则民怀其产。”
《管子·大匡》：“召忽虽不得众，其及岂不足以图我哉？”
《管子·参患》：“得众而不得其心，则与独行者同实。”
《左传·隐公元年》：“子封曰：可矣，厚将得众。”
《国语·晋语二》：“骊姬谓公曰：“吾闻申生之谋愈深。日，吾固告君曰得众，众不利，焉能胜狄？”
《晏子春秋·晏子使晋晋平公问先君得众若何晏子对以如美渊泽第十五》：“平公问焉，曰：昔吾先君得众若何？”
《孙膑兵法·篡卒》：“孙子曰：恒胜有五：得主专制，胜。知道，胜。得众，胜。左右和，胜。量敌计险，胜。”
《郭店楚墓竹简·性自命出》：“上交近事君，下交得众，近从政，修身近至仁。”
《荀子·致士》：“得众动天。美意延年。诚信如神。夸诞逐魂。”
《尉缭子·十二陵》：“除害在于果断；得众在于下人。”
《吕氏春秋·骄恣》：“欲无壅塞必礼士，欲位无危必得众，欲无召祸必完备。三者，人君之大经也。”
《礼记·大学》：“道得众则得国，失众则失国。”
《说苑·指武》：“治军若此，其得众也，不可待也。”
《春秋谷梁传·隐公四年》：“其称人以立之，何也？得众也。得众则是贤也。”
《礼记》“得众则得国，失众则失国”几乎可以说就是《保训》舜事的天然脚注。更由下文“假中于河”、“归中于河”可知，《保训》之“中”可求、可得、可假、可归，自是实物而非虚辞，又证以《竹书纪年》“假师于河伯”，则《保训》之“中”正与《纪年》之“师”对应，而“师”之训“众”，典籍多有，如：
《周易·师卦》：“彖曰：师，众也……象曰：地中有水，师；君子以容民畜众。”
《周易·序卦传》：“师者，众也。”
《孔子家语·辩政》：“师，众也。”
《尔雅·释诂》：“师、旅，众也。”
《诗·大雅·文王》：“殷之未丧师，克配上帝。”郑玄笺：“师，众也。”
可知“假师”、“假众”无别，再核以《保训》原文，舜“求众”、“得众”，上甲微“假众”、“归众”，皆于文意甚安，且可与传世文献相印证，以此可见，《保训》之“中”，当以解“众”字为宜。
《保训》文中也说到“女以书受之”，提到的是对口述的记录过程，无论确实是文王口述而武王记录，还是后人托名成文，都不排除这个对口述记录的可能，这样，就类似于伏生晚年口述《尚书》的情况了（《史记·晁错列传》：“错为人硡直刻深。孝文帝时，天下无治尚书者，独闻济南伏生故秦博士，治尚书，年九十余，老不可征，乃诏太常使人往受之。太常遣错受尚书伏生所。”《正义》引卫宏《诏定古文尚书序》云：“征之，老不能行，遣太常掌故晁错往读之。年九十余，不能正言，言不可晓，使其女传言教错。齐人语多与颍川异，错所不知者凡十二三，略以其意属读而已也。”）。查“汉典”网站《康熙字典》：众，……又叶诸良切，音章。……又叶诸仍切，音蒸。
中，……又《韵补》叶陟良切，音章。师古曰：古读中为章。……又叶诸仍切，音征。《刘贡父·诗话》关中读中为烝。
以此可以推知，“众”字被记录者误书为“中”字，是完全可能的。
自诣厥志
诣即稽，见《简牍帛书通假字字典》第145页“旨与稽”条，《周易·系辞下》：“于稽其类，其衰世之意邪？孔颖达疏：“稽，考也。”《周礼·夏官·大司马》：“简稽乡民，以用邦国。”郑玄注：“稽，犹计也。”自诣厥志，即自考其志。
厥志的说法又可见于以下文献：
《尚书·盘庚中》：“予若吁怀兹新邑，亦惟汝故，以丕从厥志。天佑下民，作之君，作之师，惟其克相上帝，宠绥四方。有罪无罪，予曷敢有越厥志？”
《大戴礼记·用兵》：“诗云：…鱼在在藻，厥志在饵。鲜民之生矣，不如死之久矣。校德不塞，嗣武孙子。”
不讳于庶
讳即违，见《简牍帛书通假字字典》第156页“韦与讳”条。舜的“自稽厥志，不违于庶”，又可印证于以下文献所描述的内容：
《孟子·公孙丑上》：“大舜有大焉，善与人同。舍己从人，乐取于人以为善。”
《淮南子·原道训》：“昔舜耕于历山，期年，而田者争处硗埆，以封壤肥饶相让；钓于河滨，期年，而渔者争处湍濑，以曲限深潭相予。当此之时，口不设言，手不指麾，执玄德于心，而化驰若神。使舜无其志，虽口辩而户说之，不能化一人。是故不道之道，莽乎大哉！”
《太平御览》卷八十一引《礼·含文嘉》曰：“舜损己以安百姓。”
是知舜之志即耕、钓诸行皆趋同于民，以行不违于庶而更易风习所向的“不道之道”。
万姓之多
言欲舜“有施于上下远迩”者有万姓之多。之多，即那么多，是很特殊的句式，又见于《礼记·中庸》：“今夫天，斯昭昭之多，及其无穷也，日月星辰系焉，万物覆焉。今夫地，一撮土之多，及其广厚，载华岳而不重，振河海而不泄。今夫山，一卷石之多，及其广大，草木生之，禽兽居之，宝藏兴焉。今夫水，一勺之多，及其不测，鼋鼍蛟龙鱼鳖生焉，货财殖焉。”
《管子·版法》称：“凡所谓能以所不利利人者，舜是也；舜耕历山，陶河滨，渔雷泽，不取其利，以教百姓，百姓举利之。”百姓举利之即“万姓欲厥有施”。
欲厥有施，于上下远迩
有施是典型的春秋战国词汇，如：
《逸周书·官人》：“有知而言弗发，有施而心弗德。”
《左传·昭公二十六年》：“陈氏虽无大德，而有施于民。”
《国语·晋语三》：“君有施于晋君，晋君无施于其众。”
《尹文子》：“富贵者有施与己。”
《贾谊新书·修政语上》：“故道以数取之为明，以数行之为章，以数施之万姓为藏。”
《太平御览》卷八十一引《尸子》曰：“舜兼爱百姓，务利天下。”
乃易位迩诣
《尚书·尧典》称“慎徽五典，五典克从。纳于百揆，百揆时叙。宾于四门，四门穆穆。纳于大麓，烈风雷雨弗迷”者，即此“易位迩稽”。
则阴阳之物，咸顺不逆
先秦时以世间万物分为阴物、阳物。《礼记·祭统》称：
贤者之祭也，必受其福。非世所谓福也。福者，备也。备者，百顺之名也。无所不顺者，谓之备。言内尽于己，而外顺于道也。忠臣以事其君，孝子以事其亲，其本一也。上则顺于鬼神，外则顺于君长，内则以孝于亲。如此之谓备。唯贤者能备，能备然后能祭。是故，贤者之祭也，致其诚信与其忠敬，奉之以物，道之以礼，安之以乐，参之以时。明荐之而已矣，不求其为。此孝子之心也。……夫祭也者，必夫妇亲之，所以备外内之官也。官备则具备。水草之菹，陆产之醢，小物备矣；三牲之俎，八簋之实，美物备矣；昆虫之异，草木之实，阴阳之物备矣。凡天之所生，地之所长，苟可荐者，莫不咸在，示尽物也。外则尽物，内则尽志，此祭之心也。
是这句话的最好脚注。
舜既得中
舜得众之说，文献多有，如：
《庄子·徐无鬼》：“舜有膻行，百姓悦之，故三徙成都，至邓之墟十万家。尧闻舜之贤，举之童土之地。”
《管子·治国》：“舜非严刑罚，重禁令，而民归之矣，去者必害，从者必利也。”
《礼记·祭法》：“舜勤众事而野死。”
《太平御览》卷八十一引《尸子》曰：“舜一徙成邑，再徙成都，三徙成国，其致四方之士。”
《太平御览》卷八十一引《帝王世纪》：“（舜）家本冀州，每徙则百姓归之。”
言不易实变名
名实也不是西周时的词汇，而屡见于春秋战国时期，如：
《司马法·仁本》：“先王之治，顺天之道，设地之宜，官民之德，而正名治物。”
《晏子春秋·内篇问上第三》：“倍仁义而贪名实者，不能威当世。”
《六韬·上贤》：“相不能富国强兵，调和阴阳，以安万乘之主，正群臣，定名实，明赏
罚，乐万民，非吾相也。”
《管子·九守》：“修名而督实，按实而定名。名实相生，反相为情。名实当则治，不当则乱。”
舜此时之位正相当于《六韬》所言之相（《孟子·万章上》：“舜相尧二十有八载”），“定名实”正属其职。而易实变名，则是政权更替的象征，《国语·周语中》（周王言于晋文公）：“叔父若能光裕大德，更姓改物，以创制天下，自显庸也，而缩取备物以镇抚百姓，余一人其流辟旅于裔土，何辞之有与？”韦昭注：“更姓，易姓也。改物，改正朔、易服色也。”即此处“易实变名”之意。这里是说舜虽已得众，且神民不违，诸物咸顺，仍然躬行臣道，言辞上并无谋求变易名实，另立政权的情况。
身滋服，惟允
是说舜自身更加顺服。李锐先生提出第6支简“身兹(滋)备惟允”当读为“身滋服,惟允”。
[11]惟允可见者如下：
《尚书·尧典》：“夙夜出纳朕命，惟允。”
《逸周书·大匡》：“惟允惟让，不远群正，不迩谗邪。”
翼翼不懈
《尔雅·释诂下》言：“翼翼，恭也。”翼翼于文献多见，如：
《诗经·大雅·文王》：“世之不显，厥犹翼翼。”
《诗经·大雅·大明》：“维此文王，小心翼翼，昭事上帝。”
《诗经·大雅·烝民》：“令仪令色，小心翼翼。古训是式，威仪是力。……既明且哲，以保其身。夙夜匪解，以事一人。”
《逸周书·小开》：“奸慝言彼，翼翼在意。”
《墨子·非乐上》：“于武观曰……万舞翼翼，章闻于天，天用弗式。”
《管子·弟子职》：“小心翼翼，一此不解。”
《国语·周语中》：“以敬承命则不违，以恪守业则不懈，以恭给事则宽于死，以俭足用则远于忧。若承命不违，守业不懈，宽于死而远于忧，则可以上下无隙矣。”
其中《管子》的“小心翼翼，一此不解。”更是与《保训》此句密合无间。
“不解”，又或言“匪解”，这样的词汇同样不见于商周金文（西周多言夙夜勿废、夙夜不坠），在春秋早期则是言“匪解”，至春秋中期后转变为“不解”，例如下：
《诗经·大雅·韩奕》：“缵戎祖考，无废朕命，夙夜匪解，虔共尔位，朕命不易。
《诗经·周颂·桓》：“绥万邦，屡丰年，天命匪解。”
《诗经·鲁颂·閟宫》：“春秋匪解，享祀不忒。”
《诗经·商颂·殷武》：“岁事来辟，勿予祸适。稼穑匪解。”
《诗经·大雅·假乐》：“不解于位，民之攸塈。”
《左传·文公三年》：“孟明之臣也，其不解也，能惧思也。”
《国语·周语上》：“恪恭于农，修其疆畔，日服其镈，不解于时，财用不乏，民用和同。”
《国语·鲁语上》：“使长监于世，故能摄固不解以久。”
《国语·吴语》：“春秋贡献，不解于王府。”
《管子·形势解》：“主惠而不解，则民奉养。父母慈而不解，则子妇顺。臣下忠而不解，则爵禄至。子妇孝而不解，则美名附。故节高而不解，则所欲得矣，解则不得。”
《墨子·天志中》：“又以先王之书驯天明不解之道也知之。”
《战国策·蔡泽见逐于赵》：“大夫种事越王，主离困辱，悉忠而不解。”
用作三降之德
降，自上而下之谓，此所用“降”字之义，先秦多见，如：
《山海经·大荒西经》：“帝俊生后稷，稷降以谷。”
《尚书·尧典》：“厘降二女于妫汭，嫔于虞。”
《国语·周语中》：“十七年，王降狄师以伐郑。”
《楚辞·天问》：“禹之力献功，降省下土四方。……帝降夷羿，革孽夏民。”
三降之德，即是指舜举伯夷、伯禹、后稷三人而降以治民，最早见于《吕刑》所称“乃命三后，恤功于民。伯夷降典，折民惟刑；禹平水土，主名山川；稷降播种，农殖嘉谷”，其后文献多有言之者，且或有增益，如：
《太平御览》卷八十一引《尸子》：“舜举三后而四死除。”
《左传·僖公三十三年》：“舜之罪也殛鲧，其举也兴禹。”
《管子·法法》：“舜之有天下也，禹为司空，契为司徒，皋陶为李，后稷为田。”
《孟子·滕文公上》：“尧独忧之，举舜而敷治焉。舜使益掌火，益烈山泽而焚之，禽兽逃匿。禹疏九河，瀹济漯，而注诸海；决汝汉，排淮泗，而注之江，然后中国可得而食也。……后稷教民稼穑。树艺五谷，五谷熟而民人育。人之有道也，饱食、暖衣、逸居而无教，则近于禽兽。圣人有忧之，使契为司徒，教以人伦：父子有亲，君臣有义，夫妇有别，长幼有序，朋友有信。……尧以不得舜为己忧，舜以不得禹、皋陶为己忧。”
《郭店楚简·唐虞之道》：“爱亲尊贤，虞舜其人也。禹治水，益治火，后稷治土，足民养生。”
《上博楚简·容成氏》：“舜听政三年，山陵不处，水潦不谷，乃立禹以为司空。……乃立后稷以为田。……乃立咎繇以为李。……乃立质以为乐正。”
《马王堆帛书·二三子问》：“黄帝四辅，尧立三卿。”
《楚辞·离骚》：“昔三后之纯粹兮，固众芳之所在。”
《荀子·成相》：“得后稷，五谷殖，夔为乐正鸟兽服。契为司徙，民知孝弟尊有德。禹有功，抑下鸿，辟除民害逐共工，北决九河，通十二渚疏三江。”
《陆贾新语·辅政》：“昔者，尧以仁义为巢，舜以稷、契为杖，故高而益安，动而益固。”
《大戴礼记·五帝德》：“使禹敷土，主名山川，以利于民；使后稷播种，务勤嘉谷，以作饮食；羲、和掌历，敬授民时；使益行火，以辟山莱；伯夷主礼，以节天下；夔作乐，以歌钥舞，和以钟鼓；皋陶作士，忠信疏通，知民之情；契作司徒，教民孝友，敬政率经。其言不惑，其德不慝，举贤而天下平。”
《后汉书·冯衍列传》：“皋陶钓于雷泽兮，赖虞舜而后亲。”
帝尧嘉之
“嘉之”为春秋词汇，见下列诸例：
《左传·昭公元年》：“帝用嘉之，封诸汾川。”
《左传·昭公二十九年》：“夏后嘉之，赐氏曰御龙。”
《国语·周语下》：“皇天嘉之，祚以天下，赐姓曰姒、氏曰有夏。”
《仪礼·觐礼》：“伯父实来，予一人嘉之；伯父其入，予一人将受之。”
用受厥绪
金文中多言“膺受”，罕言“用受”。
“厥绪”于传世文献中又作“其绪”，一文一白而已，于意无别，如：
《国语·周语上》：“我先王不窋用失其官，而自窜于戎、狄之间，不敢怠业，时序其德，纂修其绪，修其训典。”
《史记·太史公自序》：“赵夙事献，衰续厥绪。”
《盐铁论·救匮》：“而葛绎、彭候之等，隳坏其绪，纰乱其纪。”
《春秋繁露·玉杯》：“五其比，偶其类，览其绪，屠其赘。”
《风俗通义·五伯》：“大彭氏、豕韦氏复续其绪。”
《汉书·礼乐志》：“咸循厥绪。继统共勤。”
《汉书·韦贤传》：“乃及夷王。克奉厥绪。”
昔微叚中于河
微，即上甲微，《楚辞·天问》：“昏微遵迹，有狄不宁。”亦如此称。叚，即“假”，可见徐伯鸿先生《说“微矵中于河”句中的“矵”字》一帖的分析[12]。上甲微假中于河事，见《大荒东经》郭璞注，《山海经·大荒东经》：“王亥托于有易、河伯仆牛。有易杀王亥，取仆牛。河念有易，有易潜出，为国于兽，方食之，名曰摇民。”郭璞注：“《竹书》曰：殷王子亥宾于有易而淫焉，有易之君绵臣杀而放之。是故殷主甲微假师于河伯以伐有易，灭之，遂杀其君绵臣也。……言有易本与河伯友善，上甲微殷之贤王，假师以义伐罪，故河伯不得不助灭之，既而哀念有易，使得潜化而出，化为摇民国。”不难看出，《竹书》“假师于河伯”即《保训》“假中于河”，“中”当为“众”，前文已言。
以复有易
言上甲微复仇于有易，“以复”的用法，一如《墨子·非攻中》所言：“越王句践视吴上下不相得，收其众以复其雠，入北郭，徙大内，围王宫而吴国以亡。”
有易伓厥罪
有易伏厥罪实际上是上甲微战胜有易的另一种说法。诸侯征伐以讨罪的观念是春秋时期的典型观念，此时王室已经衰微，“礼乐征伐自诸侯出”（《论语·季氏》），“师必有名”（《礼记·檀弓下》），故多言讨罪。自战国起，兵乱不止，多无名之师，故不再流行以国族为对象的“吊民伐罪”观念。伐罪的战争观实际上是王权衰落后的诸国兼并弱小的口实而已，是春秋时期比较特有的现象。[13]现将伏其罪的文例略举如下：
《诗经·小雅·雨无正》：“舍彼有罪，既伏其辜。若此无罪，沦胥以铺。”
《左传·隐公十一年》：“君谓许不共，故从君讨之。许既伏其罪矣，虽君有命，寡人弗敢与闻。”
《左传·庄公十四年》：“傅瑕贰，周有常刑，既伏其罪矣。”
《左传·定公十四年》：“晋国有命，始祸者死。二子既伏其罪矣，敢以告。”
《周礼·夏官司马·大司马》：“及师，大合军，以行禁令，以救无辜，伐有罪。”
《左传·僖公元年》：“凡侯伯，救患、分灾、讨罪，礼也。”
《左传·僖公二十八年》：“子犯曰：吉。我得天，楚伏其罪，吾且柔之矣。”
《左传·宣公十四年》：“十四年春，孔达缢而死。卫人以说于晋而免。遂告于诸侯曰：
寡君有不令之臣达，构我敝邑于大国，既伏其罪矣，敢告。”
《吕氏春秋·至忠》：“是以臣之兄惊惧而争之，惊惧王（楚庄王）寿之不长，故与王争随兕而夺王也。故伏其罪而死。”
微亡害
“无害”之辞，不见于西周金文，而多见于传世文献，如：
《逸周书·小开》：“维德之用，用皆在国，谋大，鲜无害。”
《逸周书·周祝》：“地为轸，天为盖，善用道者终无害。”
《左传·成公十三年》：“秦师克还无害，则是我有大造于西也。”
《左传·襄公十八年》：“收师而退，可以无害，君亦无辱。”
《左传·襄公二十三年》：“奉君以走固宫，必无害也。”
《国语·晋语三》：“复其君而质其适子，使子父代处秦，国可以无害。”
《管子·幼官》：“莫之能应，故全胜而无害。……审于动静之务，则功得而无害。”
《管子·兵法》：“三官不缪，五教不乱，九章着明，则危危而无害，穷穷而无难。”
《楚辞·天问》：“皆归射箤，而无害厥躬。”
《鹖冠子·天则》：“为而无害，成而不败。”
《商君书·外内》：“故其赏少，则听者无利也；威薄，则犯者无害也。”
乃归中于河
此言上甲微既胜有易，于是将从河伯处所借之师还给河伯。归与假的对应，也是文献常见的，如：
《孟子·尽心上》：“久假而不归，恶知其非有也。”
《淮南子·缪称训》：“生所假也，死所归也。”
微志弗忘
弗忘、不忘亦是春秋词汇，皆不见于西周金文。“志之不忘”的说法，也是比较有齐鲁地区特色的，如：
《六韬·文启》：“文王曰：“公言乃协予怀，夙夜念之不忘，以用为常。”
《艺文类聚》卷六十四引《尚书大传》：“商所受于夫子，志之弗敢忘也。”
《孔子家语·六本》：“子夏曰：商请志之，而终身奉行焉。”
传贻子孙
“传贻子孙”之说，又见于《墨子》、《晏子春秋》：
《墨子·非命中》：“故书之竹帛，传遗后世子孙。”
《墨子·非命下》：“琢之盘盂，传遗后世子孙。”
《墨子·鲁问》：“则书之于竹帛，镂之于金石，以为铭于钟鼎，传遗后世子孙。”
《晏子春秋·内篇谏上第一》：“公喟然叹曰：呜呼！使国可长保而传于子孙，岂不乐哉？”
《墨子》多引《书》，故此言或有所本。
至于成康
成康，即成汤。李锐先生支持孟蓬生先生关于“康”通“汤”的讲法，指出传世本《缁衣》“惟尹躬及汤，咸有壹德”之“汤”，上博简《缁衣》作“康”。且认为第9、10两支简的“祗备”当读为“祗服”,《尚书·康诰》有“子弗祗服厥父事”。[14]
用受大命
成汤受命之说，于文献可见，如：
《尚书·君奭》：“我闻在昔成汤既受命，时则有若伊尹，格于皇天。”
《墨子·非攻下》：“天乃命汤于镳宫，用受夏之大命。”
於呼！发，敬哉（典型句式）
於，《二十世纪金文研究述要》中言及“始见于春秋铜器铭文中，仅有数例，义与…于?同。……直到春秋末、战国时期才大量使用，与…于?字同时并行，逐渐取代…于?字，更增加了一些新的功能。”[15]於呼，西周时期多写作乌虖（4021、5061、5057、5057、4027、4015、4015、2835、2117、2115），这种情况的遗存一直延续到春秋晚期（6514，余剌之文子虞鼎；6280，余剌之子缶），於虖则出现于春秋晚期金文（6134，余贎徺儿钟春秋晚期集成01.183 铭文选2.572 三代01.50.2-1.51.1 总集09.7117；6108，余贎猎儿钟春秋晚期集成01.185 三代01.51.2-.152.1 总集09.7118），持续到战国时期（6244，[妾子][次虫]壶，战国早期；6245，中山王厝方壶，战国早期；6522，中山王厝鼎，战国晚期）。传世文献中，《诗经》则皆作“於乎”，见于《大雅》和《周颂》：
《诗经·大雅·抑》：“於乎小子，未知臧否。……於乎小子，告尔旧止。”
《诗经·大雅·桑柔》：“於乎有哀，国步斯频！”
《诗经·大雅·云汉》：“王曰於乎！何辜今之人？”
《诗经·大雅·召旻》：“於乎哀哉！维今之人，不尚有旧。”
《诗经·周颂·维天之命》：“於乎不显，文王之德之纯！”
《诗经·周颂·烈文》：“於乎，前王不忘！”
《诗经·周颂·闵予小子》：“於乎皇考！永世克孝。……於乎皇王！继序思不忘。”
《诗经·周颂·访落》：“於乎悠哉！朕未有艾。”
“于呼，敬哉”这样的句式也是非常典型的，金文中见于“余贎呄儿钟”春秋晚期（6108）“余贎曓儿钟”春秋晚期（6134），于先秦传世文献中则局限于以下各例：
《尚书·吕刑》：“王曰：“呜呼！敬之哉！官伯族姓，朕言多惧。”
《尚书·康诰》：“王曰：“呜呼！封，敬哉！无作怨，勿用非谋非彝蔽时忱。”
《逸周书·酆保》：“旦拜曰：“呜呼！王孙其尊天下，适无见过过适，无好自益，以明而迹。呜呼！敬哉！”
《逸周书·小开》：“呜呼！敬之哉！汝恭闻不命。……呜呼！敬之哉！后之人！”
《逸周书·文儆》：“呜呼！敬之哉！民之适败，上察下遂信。……呜呼！敬之哉！汝慎守弗失，以诏有司，夙夜勿忘，若民之向引。……呜呼！敬之哉！倍本者槁。”
《逸周书·宝典》：“维王三祀，二月丙辰朔，王在鄗，召周公旦曰：呜呼！敬哉！”
《逸周书·和寤》：“王曰：“呜呼！敬之哉！无竞惟人，人允忠，惟事惟敬，小人难保。”
《逸周书·武儆》：“王曰：呜呼！敬之哉！汝勤之无盖。”
《逸周书·五权》：“维王不豫于五日，召周公旦曰：“呜呼！敬之哉！昔天初降命于周，维在文考，克致天之命，汝惟敬哉！先后小子，勤在维政之失。政有三机五权，汝敬格之哉！
克中无苗，以保小子于位。……呜呼！敬之哉！汝慎和称五权，维中是以，以长小子于位，实维永宁。”
《逸周书·成开》：“王拜曰：允哉！维予闻曰：何乡非怀？怀人惟思，思若不及，祸格无日。式皇敬哉！余小子思继厥常，以昭文祖之守定武考之烈，呜呼！余夙夜不宁。”
《逸周书·皇门》：“呜呼！敬哉！监于兹，朕维其及。”
《逸周书·尝麦》：“呜呼！敬之哉！如木既颠厥巢，其犹有枝叶作休。”
《逸周书·祭公》：“呜呼！三公，予维不起朕疾，汝其皇敬哉！”
因此可以推知，此各篇写定时间及地域当很接近。
朕闻兹不久，命未有所延
这句是文王说我知道这些的日子不长，天命未能有所伸张。文王在位五十年，而受命仅为最后九年，未能战胜殷商，故言“命未有所延”。相似例句有如《尚书·召诰》：“我不敢知曰：有夏服天命，惟有历年；我不敢知曰：不其延。惟不敬厥德，乃早坠厥命。”
周初记载即有文王受命之说，上见于《何尊》，即记载有：“在四月丙戌，王诰宗小子于京何尊局部室，曰：…昔在尔考公氏，克逨文王，肆文王受兹命。”其后，延伸为“文武受命”，于西周中后期金文，遂成为习见之辞，略举数例如下：
《大盂鼎》：“丕显文王，受天有大命。”
《乖伯簋》：“丕显祖文武，膺受大命。”
《毛公鼎》：“丕显文武，皇天引厌劂德，配我有周，膺受大命。”
《逨鼎》：“丕显文武，尹受大命。”
《师询簋》：“丕显文武，膺受天命。”
传世文献中亦多见受命之说：
《尚书·康诰》：“天乃大命文王，殪戎殷，诞受厥命越厥邦厥民。”
《尚书·洛诰》：“惟周公诞保文武受命，惟七年。”
《尚书·无逸》：“文王受命惟中身，厥享国五十年。”
《尚书·君奭》：“天不庸释于文王受命。”
《尚书·顾命》：“昔君文王、武王宣重光，奠丽陈教，则肄肄不违，用克达殷集大命。”
《诗经·大雅·文王》：“穆穆文王，于缉熙敬止。假哉天命！有商孙子。商之孙子，其丽不亿。上帝既命，侯于周服。”
《诗经·大雅·大明》：“有命自天，命此文王。”
《诗经·大雅·文王有声》：“文王受命，有此武功。”
《诗经·周颂·昊天有成命》：“昊天有成命，二后受之。成王不敢康，夙夜基命宥密。”
《逸周书·小开武》：“维王二祀一月既生魄，王召周公旦曰：呜呼！余夙夜忌商，不知道极，敬听以勤天命。”
《逸周书·克殷》：“武王再拜稽首，膺受大命革殷。”
《逸周书·商誓》；“今在商纣，昏忧天下，弗显上帝，昏虐百姓，弃天之命，上帝弗显，乃命朕文考曰：殪商之多罪纣。肆予小子发，弗敢忘天命，朕考胥翕稷政，肆上帝曰：必伐之。予惟甲子，克致天之大罚，□帝之来，革纣之□，予亦无敢违大命。”
《逸周书·五权》：“昔天初降命于周，维在文考，克致天之命。”
《逸周书·祭公》；“皇天改大殷之命，维文王受之，惟武王大克之……维武王申大命，戡厥敌。”
今汝祗备毋解，其有所由矣，不及，尔身受大命
李锐先生《读〈保训〉札记》言：
“祗备”当读为“祗服”，见《尚书·康诰》：“子弗祗服厥父事”。疑简6“身兹（滋）备惟允”当读为“身滋服，惟允。”“惟允”，见《尧典》：“夙夜出纳朕命，惟允”。
毋通无（见《古字通假会典》第772页“毋与无”条），毋解，即无懈。
由，缘故，如《左传·襄公二十三年》：“有臧武仲之知，而不容于鲁国，抑有由也。”
不及，朕不及汝的省语，言文王以为不及武王之敬服不懈。
全句是说，现在你恭敬地服行，没有懈怠，这应该是有缘故的吧，这方面我不如你，你承担这天命。
敬哉，毋淫！日不足，隹宿不羕
“日不足，宿不祥”是《保训》成篇之时的成语，现举数证如下：
《逸周书·大开》：“维宿不悉，日不足。”
《逸周书·小开》：“后戒后戒，宿不悉，日不足。”
《银雀山汉简·六韬·葆启》：“吾闻宿善者不□且，日不足……沇才！日不足。”
《淮南子·缪称训》：“文王闻善如不及，宿不善如不祥，非为日不足也”
《诗经·天保》：“降尔遐福，维日不足。”
对照可知，《逸周书》之“悉”或是“恙”字之讹，就相当于“祥”。而宿字所指，查《汉语大词典》2.0电子版“宿”字：
拖延；停留。《管子·君臣上》：“有过者不宿其罚，故民不疾其威。”尹知章注：“宿，犹停也。”《汉书·韩安国传》：“孝文皇帝又尝壹拥天下之精兵聚之广武常溪，然终无尺寸之功，而天下黔首无不忧者。孝文寤于兵之不可宿，故复合和亲之约。此二圣之迹，足以为效矣。”颜师古注：“宿，久留也。”又，安心；安于。《左传·昭公二十九年》：“夫物，物有其官，官修其方，朝夕思之。一日失职，则死及之。失官不食。官宿其业，其物乃至。”杜预注：“宿，犹安也。”孔颖达疏：“夜宿所以安身，故云宿犹安也。谓安心思其职业。”一说宿，久。言官久于其业。见竹添光鸿《左传会笺》。
可见，“日不足，惟宿不祥”就是说日子不够多，迟滞拖延是非常不祥的，即“时不我待，岁不我与，安于现状是大不祥”之意。
二、《保训》的成文时间、地域及相关问题
《保训》此篇估计是在继承模仿《尚书》的《顾命》、《吕刑》等篇的基础上产生的。而由于其中又存在着若干春秋词汇（如传保、受之以、求中、得中、有施、阴阳之物、咸顺、名实、不懈、嘉之、厥绪、假众、以复、亡害、传贻子孙、不久、其有所由、不及等等，皆不见于西周金文），且《保训》虽然承袭了西周时的天命观，而由其所强调的“众”则不难看出，在实质上已经将天命观替换为春秋时的民本思想。从全篇之中，看不到两个故事中前代时王的重要作用，尧只出场一下，夏王更是没有出场，所能看到的，只是通过得众，从而得天命的启示，皆可证《保训》是成文于春秋时期。春秋时期，天命观念逐渐衰落，人本思想兴起，《保训》的主旨，也正是这一变化的具体反映。
更由“若曰”的存在下限为春秋中期，“於呼”存在的上限虽于金文见于春秋晚期，但在传世文献《诗经》中的《大雅》《周颂》已见，《大雅》《周颂》皆屡见春秋时人称引，故其写
定的时期当不晚于春秋中期。将这样的上下限综合考虑后可知，《保训》篇成文当于春秋中期左右或稍晚。
陈梦家先生曾指出：
有关《尚书》的考实问题，也就是《尚书》每一篇的真正的著作或结集的时代。关于此问题，应该以西汉初伏生所传的今文二十九篇为起点，向前向后研究它的来源和变迁。关于来源问题有二：一是先秦在不同时代、不同国别内有种种的传本。这些传本有的进入于伏生的《尚书》中，有的亡佚了；而它们在当时或作为《书》，或不作为《书》的。《书》的形成当在较后的时期，最早只能推到孔子教学的年代。先秦时代的《书》，有不同的传本，有写法上的歧异，有字句上的不同，也有解说上的差别。……一是今文《尚书》并不能依照“虞书”“夏书”“商书”“周书”而认定它们分属于虞、夏、商、周的时代的。在第三部中，我们曾分别考定了《甘誓》、《汤誓》、《般庚》上和《周书》的《大诰》，只有后者由于它和西周金文相同，可以定为当时的诰命，其它三篇都是后世的拟作。今文《尚书》应分别考定其时代，在此约略地推断如下：一、西周初期的命书，《周书》、《康诰》(1)(2)、《酒诰》、《洛诰》、《君奭》、《立政》(1)(2)、《梓材》、《无逸》、《多士》(1)(2)、《多方》(1)(2)、《康王之诰》、《召诰》、《大诰》。二、西周中期以后的命、誓，《周书》、《吕刑》、《文侯之命》、《秦誓》。三、约为西周时代的记录《费誓》、《周书》、《金縢》、《顾命》。四、战国时代拟作的誓，《夏书》：《甘誓》；商《书》：《汤誓》，《盘庚》；《周书》：《牧誓》。五、战国时代的著作，《虞书》：《尧典》，《舜典》，《皋陶漠》，《益稷》；《夏书》：《禹贡》；《商书》：《高宗肜日》、《西伯勘黎》、《微子》；《周书》：《洪范》。而关于夏、商、周三代之《书》的保存与拟作，应该分别为晋、宋、鲁三国所为。《周书》多是鲁国太史所藏，而夏、商之《书》多为晋、宋两国之人所拟作。这些拟作，也自然有所本，因之也保存了许多史料。……今文《尚书》包含的年代，大约起自公元前十一世纪末至公元前四世纪末，前后七百年。是为距今二千三百年以前的著作。先秦书中所引《尚书》的佚篇，大约是公元前500～200年间所流传的。[16]
现在看来，这样的估计用来衡量《尚书》、《逸周书》以及现在所见的颇有《逸周书》风格的《保训》，仍是非常值得借鉴的参考标尺。
整理一下与《保训》内容相关的《书》类篇章
《尚书》：《尧典》《皋陶谟》《盘庚》《汤誓》《吕刑》《康诰》《多士》《君奭》《酒诰》《召诰》《顾命》《金縢》
《逸周书》：《酆保》、《大开》、《小开》、《文儆》、《文传》、《柔武》、《大开武》、《小开武》、《宝典》、《酆谋》、《寤儆》、《武穆》、《和寤》、《克殷》、《大匡》、《商誓》、《武儆》、《五权》、《成开》、《皇门》、《尝麦》、《本典》、《官人》、《祭公》、《史记》
不难看出，《尧典》、《皋陶谟》、《盘庚》、《汤誓》等篇甚晚，毋庸赘言，但《康诰》、《酒诰》、《召诰》、《多士》、《君奭》、《顾命》、《吕刑》、《金縢》等篇例来认为内容甚早，但内容之早不等于成文之早，这里引证一些材料试论述之：
（三表分别见于《西周汉语代词研究》第91、159、318页）[17]
可见，若以总体上的成文时间序列而论，当以
西周金文——尚书——逸周书——周易、雅颂
为序，则可知《尚书》中的大部份多为西周晚期至春秋中期写定，《逸周书》稍晚，而
《周易》、《雅颂》更晚之。《尚书》与《逸周书》同有“誓”类，《逸周书》篇名之“匡”为《管子》所继承，“启”、“传”为《太公书》（《六韬》所属）所继承，更有《阴符》、《官人》、《史记》等篇明显与《太公书》有相似内容，而《太公书》、《管子》又共有后世称为道家、兵家的内容，则此以齐地为中心的《书》系内容的传承与流变、演绎显然可知。以是，行文特征与《逸周书》甚是相似的《保训》篇自当也属于此类。
海天先生在复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛的“《文物》第6期出版清华简上市喽”一帖第28楼、第30楼（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/ShowPost.asp?PageIndex=2&ThreadID=1659）跟帖指出：简文的祗与三体石经《尚书君奭》祗字写法相同。简11的及字与一般战国文字写法不同，而近于传钞古文以及唐虞之道15、语丛二19，参《郭店简与上博简对比研究》页274-275。依照冯胜君先生的看法，后二者是齐鲁一系的抄本，则保训应该也可以同样理解”、“又简3、9弗的写法；简9至的写法皆与一般楚文字的写法不同，可参《郭店简与上博简对比研究》页272-273、297。”
此后，更有雨无正先生以《论〈保训〉简可能为具有齐系文字特点的抄本》专文详细论述之，可见《保训》一篇的字体是有齐系特征的，并且，《保训》篇中除与《逸周书》、《尚书》、《左传》、《国语》相似语句较多外，可数的先秦文献，就要算《管子》、《墨子》了，比如“受之以”这样典型的齐鲁系句式，这无疑也体系了齐鲁系的文风。
结合以上分析可知，《保训》篇非常可能是写定于春秋中期或稍晚的齐鲁地区，只是非常可惜的是，《保训》篇相当简短，可供挖掘的信息有限，因此这样的《书》体篇章写定，是否会与齐桓公霸业巅峰“葵丘之会”及之后的“管仲平戎于王”等事件相关，就皆属未知了，希望在日后能有更多的讯息发现。
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⑴拙文是在复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛《“清华简”研究初见成果：解读周文王遗言zz》4月13日至5月1日的讨论帖（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/ShowPost.asp?ThreadID=1187）基础上补充扩展而成，于2009年7月8日发表于复旦大学出土文献与古文字研究中心网站，当时成文草率，多有粗疏之处，故再作此修订整理稿。
⑵见复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛的讨论帖《“清华简”研究初见成果:解读周文王遗言zz》（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/ShowPost.asp?PageIndex=9&ThreadID=1187）第173楼。另外，《清华简〈保训〉座谈会纪要》光明网，2009年7月3日，提到“文王在位的时间,应该信从《尚书·无逸》的记载。《无逸》为周公所作,其叙述要比后人准确得多。而《保训》简“惟王五十年”正印证了周文王“享国五十年”的记载。”
⑶《逸周书校补注译》（修订本）第112页，三秦出版社，2006年
⑷李锐《读〈保训〉札记》“简帛研究”网站（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/admin3/2009/lirui002.htm）
⑸《清华简〈保训〉座谈会纪要》（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/content/2009-07/03/content_942975.htm），光明网，2009年7月3日
⑹李锐《读〈保训〉札记》“简帛研究”网站：（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/admin3/2009/lirui002.htm）
⑺李锐《读〈保训〉札记》“简帛研究”网站：（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/admin3/2009/lirui002.htm）
⑻复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛“zz读《保训》札记（李锐）”帖33楼（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/ShowPost.asp?PageIndex=2&ThreadID=1571）
⑼《尚书通论》第155页，中华书局，1985年
⑽复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛，“《文物》第6期出版清华简上市喽”帖41楼
（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/ShowPost.asp?PageIndex=3&ThreadID=1659）
⑾《清华简〈保训〉座谈会纪要》，光明网，2009年7月3日
⑿复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛：（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/ShowPost.asp?ThreadID=1673）
⒀可参见复旦大学出土文献与古文字研究中心论坛上笔者关于“有罪”一词的帖子（https://www.doczj.com/doc/a216317091.html,/ShowPost.asp?ThreadID=1203）第6楼所举数例。李锐先生《读〈保训〉札记》文中言“匐厥罪”又见于牧簋，但牧簋的“匐厥罪”并非是以国族为对象，所以与《保训》仍有不同。
⒁《清华简〈保训〉座谈会纪要》，光明网，2009年7月3日
⒂赵诚《二十世纪金文研究述要》第512页，书海出版社, 2003
⒃《尚书通论》第110～112页，中华书局，1985年
⒄需要指出的是，张玉金先生认为：“西周金文是一种比较特殊的珍贵语料。西周时代的人(主要是贵族)，当他们有了一件值得纪念的荣耀的事情时，就铸造青铜器，并把事情铭记在青铜器上。西周金文一般都是铸上去的，字迹工整，因此绝没有传世文献中那种不可避免的讹误。铸有铭文的青铜器要荐于宗庙，所以金文力求典雅，在遣词造句方面比较保守。还有金文用语已形成固定的模式，后人铸造金文时，很可能套用前人的模式，这是一种惯性。因此，金文不能很好地反映当时的口语。正如唐钰明所说：…铭文是一种书面化程度相当高的文体，这种文体往往语言旧质较迟退出而语言新质较晚进入，因此，它不但与周代实际口语距离较大，而且与周代的文告体(如《尚书》)、诗歌体(如《诗经》)、语录体(如《论语》)相比，也难免偏于泥古和保守……尽管在古文字数据内部以及上古典籍内部都不同程度地存在着文体的差异，但从总体倾向来看，应该承认上古典籍数据比古文字数据是较为接近口语的。?旧。可能存在这种情况：某一语法现象在当时口语中已出现，但在西周金文中却没有反映出来，因此，运用这种语料时要注意到这一点。不能因为在西周金文中某一语法现象未出现，就断定这一语法现象在西周时不存在。有时似乎也不能因为某一语法现象在西周金文中出现就断定在西周口语中仍然存在。要综合地看，既从汉语语法发展史的角度来看，也从其它语料来看，谨慎地下结论。”（《西周汉语代词研究》第16、17页）
但比较西周早期与晚期的金文材料不难看出，这种“泥古和保守”影响并不如是之大，实际上西周金文中不乏文告引述，而《尚书》、《逸周书》、《周易》、《雅颂》也很难说是接近口语的，以是，各表所实际反映的内容以理解为历时性差异为宜。
清华大学2006数学分析真题参考答案 1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤g g g 则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-g g g （n=2,3,….） 那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界， {}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε?>?>，使当n m N >>时，有 n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-
清華簡《耆夜》篇中的飲至禮考釋二則 （首發） 曹建敦 浙江大學人文學院 新公佈的清華簡有《耆夜》一篇，i記載了武王征伐耆國歸來後在文王太室舉行的飲至禮以及武王君臣所賦之詩，本文擬對簡文中的燕飲禮儀作一小考，以求教于方家。 一、武王諸人在燕飲禮中的身份 為討論方便，茲結合清華簡整理者的釋文與復旦大學讀書會的釋文，ii將《耆夜》簡中有關儀注的文字迻錄如下： 武王八年征伐（耆），大之。還，乃?至于文大（太）室▃。縪（畢）公高爲客。 卲公保睪（奭）爲夾▃。周公弔（叔）旦爲宔（主）▃。辛公（原釋文作“”）（甲）爲立（位）。（作）策（逸）爲東尚（堂）之客▃。郘上（尚）甫（父）命爲司政（正）▃，監?酉（酒）。王夜（舉）（爵）（酬）縪（畢）公，（作）訶（歌）一夂（終） 俤，庶民和同。 曰藥〓脂〓酉〓（《樂樂旨酒》：“樂樂旨酒，）（燕/宴）以二公。紝 （酬）周公，（作）訶（歌）一夂（終）曰〓〓（《輶乘》：“輶乘）既（飭），
人備（服）余不（胄）。士奮刃（原釋文作“甲”），殹民之秀▃。方（壯）方武，克（燮）（仇）（雔）▃。嘉（爵）速?，（爵）乃▃。”周公夜（舉） （爵）（酬）縪（畢）公，（作）訶（歌）一夂（終）曰〓（《》：“） 戎備（服）▃，（壯）武〓（赳赳）。（謐）情（精）（謀）猷▃，（欲）惪 （德）乃救▃。王又（有）脂（旨）酉（酒），我以▃。既醉又（侑），明日勿稻（慆）▃。”周公或（又）夜（舉）（爵）（酬）王，（作）祝誦一夂（終）曰明 〓上〓帝〓…… 下面討論下燕飲禮中各人的身份。 燕飲禮中有主人，有賓。據《儀禮·燕禮》所載，主人為國君，稱為正主；宰夫為獻主，即代替國君與賓客行獻酢之禮的人。通言之，獻主亦可稱為主人。《禮記·燕義》解釋說：“使宰夫為獻主，臣莫敢與君亢禮也”，“君席阼階之上，居主位也。君獨升立席上，西面特立，莫敢適之義也。”國君為一國的至尊，無人敢以與國君相匹敵的身份與之行禮。簡文中的“主”指的是獻主。儘管當時尚未一統天下，但周人受命之說起自文王，武王繼承乃父遺志，亦自視為天子。天子至尊，臣下莫敢與之抗禮而行酬酢。iii因武王地位尊崇，不與卑者行獻酢禮，而是以周公代為獻主與賓客行禮。 《儀禮》燕禮是諸侯之禮，以宰夫之類的職掌飲食人員為主人來行獻。《周禮·天官》記載周王以膳夫為主人，“王燕飲酒則為獻主”。燕飲飲酒雖然目的在於與群臣合歡敦睦，但亦有賓主之道，故不可以無獻主。然而君臣之義不可以燕飲而廢，故略微變通，而使膳夫為獻主。《禮記·文王世子》載：“若公與族燕，則異姓為賓，膳宰為主人。”因為同宗無相賓
7、设y0=28，按递推公式 y n=y n?1? 1 100 783，n=1,2,… 计算y100，若取≈27.982，试问计算y100将有多大误差？ 答：y100=y99?1 100783=y98?2 100 783=?=y0?100 100 783=28?783 若取783≈27.982，则y100≈28?27.982=0.018，只有2位有效数字，y100的最大误差位0.001 10、设f x=ln?(x? x2?1)，它等价于f x=?ln?(x+ x2?1)。分别计算f30，开方和对数取6位有效数字。试问哪一个公式计算结果可靠？为什么？ 答： x2?1≈29.9833 则对于f x=ln x?2?1，f30≈?4.09235 对于f x=?ln x+2?1，f30≈?4.09407 而f30= ln?(30?2?1) ，约为?4.09407，则f x=?ln?(x+ x2?1)计算结果更可靠。这是因为在公式f x=ln?(x? x2?1)中，存在两相近数相减（x? x2?1）的情况，导致算法数值不稳定。 11、求方程x2+62x+1=0的两个根，使它们具有四位有效数字。 答：x12=?62±622?4 2 =?31±312?1 则 x1=?31?312?1≈?31?30.98=?61.98 x2=?31+312?1= 1 31+312?1 ≈? 1 ≈?0.01613
12.（1）、计算101.1?101，要求具有4位有效数字 答：101.1?101= 101.1+101≈0.1 10.05+10.05 ≈0.004975 14、试导出计算积分I n=x n 4x+1dx 1 的一个递推公式，并讨论所得公式是否计算稳定。 答：I n=x n 4x+1dx 1 0= 1 4 4x+1x n?1?1 4 x n?1 4x+1 dx= 1 1 4 x n?1 1 dx?1 4 x n?1 4x+1 dx 1 = 1 4n ? 1 4 I n?1，n=1，2… I0= 1 dx= ln5 1 记εn为I n的误差，则由递推公式可得 εn=?1 εn?1=?=(? 1 )nε0 当n增大时，εn是减小的，故递推公式是计算稳定的。
清華簡第一冊補釋 （一）釋《緇衣》引《尹誥》“自周有終，相亦爲終”句傳世《緇衣》兩引《尹誥》，分別爲： 《尹吉》曰：惟尹躬及湯，咸有壹德。 《尹吉》曰：惟尹躬天見於西邑夏，自周有終，相亦惟終。 鄭注兩處《尹吉》皆云當做《尹告》。鄭云“告，古文誥。……尹告，伊尹之诰也。”後一條注曰“天，當爲先字之誤。忠信爲周。相，助也，謂臣也。伊尹言：尹之先祖，見夏之先君臣，皆忠信以自終。今天絕桀者，以其自作孽。伊尹始仕於夏，此時就湯矣。夏之邑在亳西。見或爲敗，邑或爲予”。 清華簡《尹誥》首句作(以通行字寫出，下同)： 隹尹旣湯，咸又一悳。尹念天之贁西邑，曰自亓又民，亦隹氒眾。 “尹念天之贁西邑”對應“惟尹躬天見於西邑夏”，鄭云“見或爲敗”，是也。念、躬爲侵、冬旁轉。念所從之今聲爲見母，與躬雙聲。《毛詩·谷風》“我躬不閱”，三家詩作“我今不說”，可爲旁證。①而“曰自亓又民亦隹氒眾”與《緇衣》“自周有終，相亦惟終”相去甚遠，似無關涉。 按，終、眾古音全同。民、眾多連用，民亦有眾義。據此《緇衣》、《尹誥》可讀作： 《緇衣》：自周[其]有眾，相亦惟眾。 《尹誥》：曰夏自其有民，亦惟厥眾。 鄭訓相爲輔助，訓周爲忠信，故不得不破“天”爲“先”，謂尹之先祖，見夏桀以前之先君先臣皆以忠信自終。驗諸簡本《尹誥》，與上下句意不合。 按《緇衣》又引《君奭》： 《君奭》曰：昔在上帝，周田觀文王之德，其集大命於厥躬。 鄭注：“古文‘周田觀文王之德’爲‘割申勸寧王之德’，今博士讀爲‘厥亂勸寧王之德’。三者皆異，古文似近之。”周爲害(割)之形訛，說詳于省吾先生《雙劍誃尚書新證》卷三。②郭店《緇衣》作“”，从戈，害聲。③可證于說。 據此，試讀《緇衣》引《尹誥》爲“惟尹念天敗於西邑夏，[夏]自害(割)[其]有眾，相亦惟眾。”句謂尹念天敗西邑之夏，夏自割害其眾，則其眾亦助成其敗。連清華簡《尹誥》下句，謂非民無與守邑，夏王作怨于民，故民報之以離心。 而清華簡《尹誥》字整理者釋爲絕，《多士》孔傳正訓“割”爲“割絕”，割絕疊韻。謹案，字中疑從“弦”，弦、害聲紐相同，韻部相鄰。字似當讀為害，訓為割害。 ①《禮記·表記》引作“我今不閱”，漢石經9《魯詩》作“我今不說”(見馬衡《漢石經集存》圖版三)。馬瑞辰以爲躬、今雙聲，又云襄二十五年《左傳》“我躬不說”，杜注“言今我不能自容說”，是杜所見《左傳》本作“我今不說”，後人據《毛詩》改作“躬”。(《毛詩傳箋通釋》，中華書局，1989年。第135頁。) ②《雙劍誃尚書新證》，中華書局，2009年。第228頁。 ③《郭店楚墓竹簡》，文物出版社，1998年。第136頁。
The Central Plains Culture Research 收稿日期：2013-12-25*基金项目：国家社会科学基金项目“西周青铜重器铭文集释（西周早期）”（11BYY091）、教育部人文社会科学研究 项目“西周青铜器铭文考释”（09YJA740084）阶段性成果。 作者简介：周宝宏，男，天津师范大学文学院教授、博士生导师，天津师范大学古文字研究所所长（天津300387）， 主要从事古文字与上古汉语研究。 清华简《耆夜》没有确证证明为伪作 * ——与姜广辉诸先生商榷 周宝宏 摘 要：《故宫博物院院刊》2013年第4期发表姜广辉等先生的文章《清华简<耆夜>为伪作考》，文 中作者提出五点证据证明清华简《耆夜》为伪作。本文对这五点证据进行了分析辨证，认为姜广辉等先生提出的五点证据是不可信的，不足以证明清华简《耆夜》为现代人的伪造。本文意在说明如果考证清华简为伪作，那么所提出的证据必须是真实的、明确的、直接的、重要的，否则不足以说明其为伪作。 关键词：清华简；伪作考；先秦作品中图分类号：K05 文献标识码：A 文章编号：2095-5669（2014）02-0063-05 姜广辉、付赞、邱梦燕《清华简〈耆夜〉为伪作考》一文（载《故宫博物院院刊》2013年第4期，以下简称“姜文”）说：本文考证清华简《耆夜》为伪作，理由是：①考简文周公致毕公诗首句“戎服”，公元前550年左右始称军衣为“戎服”、唐代方以“赑赑”叠字作为修饰语。②考简文“祝诵”一词，先秦古籍只单言“祝”或“颂”，宋代学者作文献研究，分析文辞、文意，始立“祝颂”之目。③简文载周公酬武王祝诵诗“明明上帝，临下之光”。前一句首见于晋人诗句，是歌颂上帝的；后一句首见于宋人诗句，是歌颂宋帝的，这两句诗乃是现代人集句，非周公原创。④考证简文周公《蟋蟀》，与《诗经·蟋蟀》略同。后者归于《唐风》谱以唐音。如真为周公即席所作，理应谱以雅乐或豳音，并为在座之著名史官记录并传之后世。⑤简文所记为“饮至”礼，但于“饮至”礼所应有的告庙、献捷、数军实、策勋等仪节 缺乏交代，不合古礼。 我看了该文之后，产生了这样几个疑问，提出来供大家讨论。 一 如果《耆夜》为伪作，那么已发表的甚至未发表的清华简是否全都是伪作？因为所有清华简应该是从同一地同时购回的，又都是《诗》《书》性质的经史类文献，它们的字迹也都相同或相似（指已发表的），说明它们是一个整体，很难说大部分篇章是真的，而另外有一两篇是伪作。也就是说，如果大部分可以确定为真的，应该全都是真的；如果有一两篇可以确定为假的，应该全都是假的。绝对不可能大部分真简出土后，被塞进一两篇现代人伪造的假简。如果有作伪者，他们想在真简中塞进几篇假简鱼 63
清华简《耆夜》考论 刘光胜 【英文标题】On Qiye in the Bamboo Slips of Qinghua University 【标题注释】教育部哲学社会科学研究重大课题攻关项目《出土简帛与古史再建》(09JZD0042)。 【作者简介】刘光胜，男，上海师范大学人文学院古籍所讲师，上海200234 【内容提要】“二次戡黎说”只注意到今本《竹书纪年》有文王、武王都曾戡黎的记载，却忽视了今本《竹书纪年》与清华简《耆夜》武王戡黎时间的不同，清华简《耆夜》与《史记》、《逸周书》、今本《竹书纪年》在纪年问题上仍存在尖锐矛盾。清华简《耆夜》“作”字不能理解为创作，而是指演奏，周公见蟋蟀闯进来，演奏《蟋蟀》三章，不能因此断定周公是《诗经?蟋蟀》诗的作者。清华简《耆夜》并非周初文献，与《尚书》、金文等文献对比，可知它很可能成书于西周中晚期至春秋前段。 【关键词】二次戡黎/清华简《耆夜》/周公《蟋蟀》 中图分类号：K221 文献标识码：A 文章编号：1003-0751(2011)01-0164-07 清华简《耆夜》，成书存有西周、春秋、战国三种可能性，本文拟对其成书年代以及“戡黎的西伯是武王，而不是文王”、“周公是《诗经?蟋蟀》的作者”两个观点做一深入讨论。 一、清华简《耆夜》“武王八年戡黎”尚未成定论 《尚书?西伯戡黎》说：“西伯既戡黎，祖伊恐，奔告于王。”“戡黎”的西伯是文王还是武王，千百年来学界一直聚讼不已。《史记?周本纪》说：“(文
王)明年，伐犬戎。明年，伐密须。明年，败耆国……明年，西伯崩，太子发立，是为武王。”①司马迁认为是文王，汉代的学者，如孔安国、郑玄、王肃等，皆力主此说。自宋代始，学者始提出异议，吕祖谦说：“文王有君人之大德，有事君之小心。纣在上为恶日増，文王在下修德日盛，殷之所以咎周也。黎之地近王畿而辅纣为恶者，武王不得已而戡之。”②元代吴澄《书纂言》说：“文王三分天下有其二，以服事殷，决不称兵于纣之畿内。”③吴澄以《论语?泰伯》“三分天下有其二，以服事殷”为据，说文王不可能做出称兵天子邦畿的大逆不道之举。其他学者如胡宏、薛季宣等，认为文王去世后，武王嗣任西伯，坚持戡黎的西伯是武王，否认文王戡黎。清华简《耆夜》说：“武王八年，征伐耆，大戡之，还，乃饮至于文大室。”李学勤、沈建华等学者认为耆即《尚书?西伯戡黎》之黎国，位于今山西长治市黎城县，他们以清华简《耆夜》为依据，推翻《尚书大传》、《史记》等书记载的“文王戡黎说”，为宋儒“武王戡黎说”找到了新的证据④。王鹏程等学者则持不同意见，他们以今本《竹书纪年》为依据，提出“二次戡黎说”，认为文王与武王所勘之黎不同，文王征伐的是耆国，在今山西上党一带，清华简所载武王所戡为“黎”国，为纣都朝歌附近的“黎阳”，位于今河南浚县一带，“耆”、“黎”同属脂部字，汉代以后注疏常将二者混淆，将潞州“耆”国和卫州“黎”国混为一谈，这是造成后世误读“西伯戡黎”的根源。⑤根据上博简《容成氏》记载：“于是乎九邦叛之，丰、镐、、、于、鹿、耆、崇、密须氏……文王于是乎素端褰裳以行九邦，七邦来服，丰、镐不服。文王乃起师以向丰、镐。”⑥上博简《容成氏》“文王平九邦”中明确肯定有耆国，与《史记?周本纪》相互印证，文王戡黎的说法是不能轻易否认的，但清华简《耆夜》却说“武王戡黎”，因此王鹏程等学者的“二次戡黎说”，认为文王戡伐的是耆国，武王戡伐的是黎国，将黎国定在纣都朝歌附近的黎阳⑦，比简单依据清华简《耆夜》，否定《史记?周本纪》“文王戡黎”的做法更为可取。
耆夜》不伪才怪——四问“清华简” 《耆夜》不伪才怪——四问“清华简” 作者：岚居 《耆夜》为“清华简”释读出的关于《武王戡黎》之文字，下愚参考了几种版本，基本相同，谅为正式公布，不至像前此公布之释读，与正式版本大相径庭。为郑重计，今采用其繁体字版如下：武王八年征伐耆，大戡之。還，乃飲至于文太室。畢公高爲客，召公保奭爲夾，周公叔旦爲主，辛公??［言泉］甲爲位，作策逸爲東堂之客，吕尚父命爲司正，監飲酒。王夜爵酬畢公，作歌一終曰《樂樂旨酒》：“樂樂旨酒，宴以二公。紝夷兄弟，庶民和同。方壯方武，穆穆克邦。嘉爵速飲，後爵乃從。”王夜爵酬周公，作歌一終曰《輶乘》：“輶乘既飭，人服余不胄。徂士奮刃，殹民之秀。方壯方武，克燮仇雠。嘉爵速飲，後爵乃復。”周公夜爵酬畢公，作歌一終曰《贔贔》：“贔贔戎服，壯武赳赳。謐精謀猷，欲德乃救。王有旨酒，我憂以［风孚］。既醉有侑，明日勿慆。” 周公又夜舉爵酬王，作祝誦一終曰《明明上帝》：“明明上帝，臨下之光。丕顯來格，歆厥禋盟。於飲月有盈缺，歲有歇行。作茲祝誦，萬壽無疆。”周公秉爵未飲，蟋蟀躍降于堂，【周】公作歌一終曰《蟋蟀》：“蟋蟀在堂，役車其行。今夫君子，不喜不樂。夫日□口，口□□忘。毋已大樂，則終以康。
康樂而毋荒，是惟良士之方方。蟋蟀在席，歲聿云莫。今夫君子，不喜不樂。日月其邁，從朝及夕。毋已大康，則終以祚。康樂而毋荒，是惟良士之懼懼。蟋蟀在舍，歲聿云□。口□□口，□口□口，口□【從冬】及夏。毋已大康，則終以懼懼。康樂而毋荒，是惟良士之懼懼。” 看看其有何问题。 一、武王八年征伐耆，大戡之。戡耆（黎）是文王或武王，历有争论，余以为《史记》所载不诬。所谓“武王八年征伐耆”实本于《竹书纪年》，《竹书纪年》于宋已佚，《今本竹书纪年》与《古本竹书纪年》皆为清人辑录，是否合乎原著不得而知。但有一点可以确认，吾国编年史，始自西周共和元年（前841 ），前此绝无编年史可言。《竹书纪年》虽未逐年纪事，但却有自夏迄战国间列王在位时间及一生大事，与编年史相类。足见其非。 是否秦焚各国史乘，将共和前之记录一并焚毁，独留共和后所记之事，故编年肇自共和？此不可能。若秦火焚除百国史乘，刘邦、项羽入咸阳，又将秦纪一把火烧毁，则共和至秦亡之纪年也将是一片空白，但今之史传自那以来，逐年记载，了无缺失，共和以前则绝无逐年记录。可见 《竹书纪年》之说不可信。故凡有共和以前之编年记传， 皆不可信。 二、“吕尚父命为司正，监酒饮” “监饮酒”三字，正此文作伪之最大证据。 “司正”一词，乃古代“乡饮”、“乡射”、“大射”礼及燕乐等
《耆夜》不伪才怪——四问“清华简” 《耆夜》不伪才怪——四问“清华简” 作者：岚居 《耆夜》为“清华简”释读出的关于《武王戡黎》之文字，下愚参考了几种版本，基本相同，谅为正式公布，不至像前此公布之释读，与正式版本大相径庭。为郑重计，今采用其繁体字版如下： 武王八年征伐耆，大戡之。還，乃飲至于文太室。畢公高爲客，召公保奭爲夾，周公叔旦爲主，辛公??[言泉]甲爲位，作策逸爲東堂之客，吕尚父命爲司正，監飲酒。王夜爵酬畢公，作歌一終曰《樂樂旨酒》：“樂樂旨酒，宴以二公。紝夷兄弟，庶民和同。方壯方武，穆穆克邦。嘉爵速飲，後爵乃從。”王夜爵酬周公，作歌一終曰《輶乘》：“輶乘既飭，人服余不胄。徂士奮刃，殹民之秀。方壯方武，克燮仇雠。嘉爵速飲，後爵乃復。”周公夜爵酬畢公，作歌一終曰《贔贔》：“贔贔戎服，壯武赳赳。謐精謀猷，欲德乃救。王有旨酒，我憂以[风孚]。既醉有侑，明日勿慆。”周公又夜舉爵酬王，作祝誦一終曰《明明上帝》：“明明上帝，臨下之光。丕顯來格，歆厥禋盟。於飲月有盈缺，歲有歇行。作茲祝誦，萬壽無疆。”周公秉爵未飲，蟋蟀躍降于堂，【周】公作歌一終曰《蟋蟀》：
“蟋蟀在堂，役車其行。今夫君子，不喜不樂。夫日□□，□□□忘。毋已大樂，則終以康。康樂而毋荒，是惟良士之方方。蟋蟀在席，歲聿云莫。今夫君子，不喜不樂。日月其邁，從朝及夕。毋已大康，則終以祚。康樂而毋荒，是惟良士之懼懼。蟋蟀在舍，歲聿云□。□□□□，□□□□，□□□□，【從冬】及夏。毋已大康，則終以懼懼。康樂而毋荒，是惟良士之懼懼。”看看其有何问题。 一、武王八年征伐耆，大戡之。 戡耆（黎）是文王或武王，历有争论，余以为《史记》所载不诬。所谓“武王八年征伐耆”实本于《竹书纪年》，《竹书纪年》于宋已佚，《今本竹书纪年》与《古本竹书纪年》皆为清人辑录，是否合乎原著不得而知。但有一点可以确认，吾国编年史，始自西周共和元年（前841），前此绝无编年史可言。《竹书纪年》虽未逐年纪事，但却有自夏迄战国间列王在位时间及一生大事，与编年史相类。足见其非。 是否秦焚各国史乘，将共和前之记录一并焚毁，独留共和后所记之事，故编年肇自共和？此不可能。若秦火焚除百国史乘，刘邦、项羽入咸阳，又将秦纪一把火烧毁，则共和至秦亡之纪年也将是一片空白，但今之史传自那以来，逐年记载，了无缺失，共和以前则绝无逐年记录。可见《竹书纪年》之说不可信。故凡有共和以前之编年记传，皆不可信。 二、“吕尚父命为司正，监酒饮”
清华简《耆夜（音舍）》记“武王八年”戡耆（黎）还归，在“文大（太）室”举行饮至礼的情景，既明《尚书》“西伯戡黎”的具体时间，又补文献相关典礼之阙，有重要的史料与研究价值。文中出现的五首诗皆有明确作者，是珍贵的周代诗歌，对研究《诗经》有重要参考价值；尤其是以《蟋蟀》诗与今本对读，可知今本经由后人改造，今本不仅整齐文句，改变内容，而且改易章节次第。这种现象，对于认识《诗经》及古籍流传有重要意义。本文拟在原考释的基础上对全篇再作逐句解读，以明其详。先录原文如下： 武王八年，征伐，大戡之。还，乃饮至于文大（太）室。毕公高为客，召公保奭 为夹，周公叔旦为主，辛公甲为立，作册 逸为东尚（堂）之客，吕上（尚）甫（父）命为 司政（正），监饮酒。王夜爵酬毕公，作歌一 终曰《乐乐旨酒》：“乐乐旨酒，宴以二公； 紝仁兄弟，庶民和同。方臧方武，穆穆克 邦；嘉爵速饮，后爵乃从。” 王夜爵酬周公，作歌一终曰《乘》：“乘既饬，人备（服）余不胄；士奋甲， 繄民之秀；方臧方武，克燮仇雠；嘉爵速 饮，后爵乃复。” 周公夜爵酬毕公，作歌一终曰《贔 贔》：“贔贔戎服，臧武赳赳。毖情（精）谋 猷，裕德乃救；王有旨酒，我忧以颫；既醉 又侑，明日勿稻。” 周公或夜爵酬王，作祝诵一终曰《明明上帝》：“明明上帝，临下之光，丕显来 格，歆厥禋明（盟），於……月又（有）盈缺， 岁有歇行。作兹祝诵，万寿亡疆。” 周公秉爵未饮，蟋蟀降于尚（堂），周公作歌一终曰《蟋蟀》：“蟋蟀在堂，役车 其行；今夫君子，不喜不乐；夫日□□，□ □□忘（荒）；毋已大乐，则终以康，康乐而 毋荒，是惟良士之方。蟋蟀在席，岁矞员 （云）莫；今夫君子，不喜不乐；日月其迈， 从朝及夕，毋已大康，则终以祚。康乐而毋 荒，是惟良士之惧。蟋蟀在舒，岁岁矞员 （云）□，□□□□，□□□□，□□□□□ □，□□□□。毋已大康，则终以惧。康乐 而毋荒，是惟良士之惧。”[1] 以下逐句解读： “武王八年，征伐，大戡之。”按：此句言时间与背景。武王八年，即所谓“受命”之八年。《逸周书·文传》载：“文王受命之九年，时维莫春，在鄗，召太子发曰……”[2]说明当时文王尚在，武王人称太子发。此文为文王既崩、武王即位以后人所记，又因文、武二人同时受命，武王 清华简《耆夜》句解黄怀信（曲阜师范大学孔子研究所教授）
清华大学杨顶辉数值分析第6次作业
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9.令*()(21),[0,1]n n T x T x x =-∈，试证*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ=的正交多项式，并求****0123(),(),(),()T x T x T x T x . 证明： 1 1 * *0 1 1 * *011**0 ()()()(21)(21)211()()()()()2()()()()()()()()n m n m n m n m n m n n m n m x T x T x dx x T x dx t x x T x T x dx t T t dt t T t dt T x x T x T x dx t T t ρρρ---=--=-== = ???? ?令，则 由切比雪夫多项式1 01=02 m n dt m n m n ππ ≠??? =≠??==??? 所以*{()}n T x 是在[0,1] 上带权()x ρ= *00*11* 22 2 2*33233()(21)1()(21)21 ()(21)2(21)188()(21)4(21)3(21)3248181 T x T x T x T x x T x T x x x x T x T x x x x x x =-==-=-=-=--=-=-=---=-+- 14.已知实验数据如下： 用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式，并求均方误差 解： 法方程为
22222(1,)(1,1)(1,)(,)(,1)(,)a y x b x y x x x ?????? =???? ?????? ?? 即 5 5327271.453277277699369321.5a b ??????=???????????? 解得 0.972579 0.050035a b =?? =? 拟合公式为20.9725790.050035y x =+ 均方误差 2 4 2 2 0[]0.015023i i i y a bx σ==--=∑ 21.给出()ln f x x =的函数表如下： 用拉格朗日插值求ln 0.54的近似值并估计误差（计算取1n =及2n =） 解：1n =时，取010.5,0.6x x == 由拉格朗日插值定理有 1 100.60.5 0.693147 0.510826 0.50.(60.60.51.82321)0 1.()6047()52 j j j x x x L x f x l x ==------=-=∑ 所以1ln0.54(0.54)0.620219L ≈=- 误差为ln 0.54(0.620219)= 0.004032ε=-- 2n =时，取0120.4,0.5,0.6x x x === 由拉格朗日插值定理有
高等数值分析实验一 工物研13 成彬彬2004310559 一．用CG，Lanczos和MINRES方法求解大型稀疏对称正定矩阵Ax=b 作实验中，A是利用A= sprandsym(S,[],rc,3)随机生成的一个对称正定阵，S是1043阶的一个稀疏阵 A= sprandsym(S,[],0.01,3); 检验所生成的矩阵A的特征如下： rank(A-A')=0 %即A=A’，A是对称的； rank(A)=1043 %A满秩 cond(A)= 28.5908 %A是一个“好”阵 1．CG方法 利用CG方法解上面的线性方程组 [x,flag,relres,iter,resvec] = pcg(A,b,1e-6,1043); 结果如下： Iter=35，表示在35步时已经收敛到接近真实x relres= norm(b-A*x)/norm(b)= 5.8907e-007为最终相对残差 绘出A的特征值分布图和收敛曲线： S=svd(A); %绘制特征值分布 subplot(211) plot(S); title('Distribution of A''s singular values');; xlabel('n') ylabel('singular values') subplot(212); %绘制收敛曲线 semilogy(0:iter,resvec/norm(b),'-o'); title('Convergence curve'); xlabel('iteration number'); ylabel('relative residual'); 得到如下图象：
为了观察CG方法的收敛速度和A的特征值分布的关系，需要改变A的特征值： (1).研究A的最大最小特征值的变化对收敛速度的影响 在A的构造过程中，通过改变A= sprandsym(S,[],rc,3)中的参数rc(1/rc为A的条件数)，可以达到改变A的特征值分布的目的： 通过改变rc=0.1，0.0001得到如下两幅图 以上三种情况下，由收敛定理2.2.2计算得到的至多叠代次数分别为：48，14和486，由于上实验结果可以看出实际叠代次数都比上限值要小较多。 由以上三图比较可以看出，A的条件数越大，即A的最大最小特征值的差别越大，叠代所需要的步骤就越多，收敛越慢。 (2)研究A的中间特征值的分布对于收敛特性的影响： 为了研究A的中间特征值的分布对收敛速度的影响，进行了如下实验： 固定A的条件数，即给定A的最大最小特征值，改变中间特征值得分布，再来生成A，具体的实现方法是，先将原来的生成A进行特征值分解： [U,S]=svd(A);
数值分析实验报告 一、 实验3.1 题目： 考虑线性程组b Ax =，n n R A ?∈，n R b ∈，编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性代数程组的Gauss 消去过程。 （1）取矩阵????????????????=6816816816 A ，?? ? ?? ??? ????????=1415157 b ，则程有解()T x 1,,1,1*?=。取10 =n 计算矩阵的条件数。分别用顺序Gauss 消元、列主元Gauss 消元和完全选主元Gauss 消元法求解，结果如？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能，每步消去过程都选取模最小或按模尽可能小的元素作为主元进行消元，观察并记录计算结果，若每步消去过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元素的选取在消去过程中的作用。 （4）选取其他你感兴趣的问题或者随机生成的矩阵，计算其条件数，重复上述实验，观察记录并分析实验的结果。
1. 算法介绍 首先，分析各种算法消去过程的计算公式， 顺序高斯消去法： 第k 步消去中，设增广矩阵B 中的元素() 0k kk a ≠（若等于零则可以判定系数 矩阵为奇异矩阵，停止计算），则对k 行以下各行计算() () ,1,2,,k ik ik k kk a l i k k n a ==++， 分别用ik l -乘以增广矩阵B 的第k 行并加到第1,2, ,k k n ++行， 则可将增广矩阵B 中第k 列中() k kk a 以下的元素消为零；重复此法，从第1步进行到第n-1步，则可以得到最终的增广矩阵，即()()(),n n n B A b ??=? ?； 列主元高斯消去法： 第k 步消去中，在增广矩阵B 中的子阵()()()()k k kk kn k k nk nn a a a a ??? ?? ????? 中，选取() k k i k a 使得()(k) max k k i k ik k i n a a ≤≤=，当k i k ≠时，对B 中第k 行与第k i 行交换，然后按照和顺序消去 法相同的步骤进行。重复此法，从第1步进行第n-1步，就可以得到最终的增广矩阵，即( ) ()()111,n n n B A b ??=? ?； 完全主元高斯消去法： 第k 步消去中，在增广矩阵B 中对应的子阵()()()()k k kk kn k k nk nn a a a a ??? ?? ????? 中，选取()k k k i j a 使得()(k) max k k k i j ij k i n k j n a a ≤≤≤≤=，若k i k ≠或k j k ≠，则对B 中第k 行与第k i 行、第k 列与第k j 列 交换，然后按照和顺序消去法相同的步骤进行即可。重复此法，从第1步进行到
2．定义映射22:B R R →，()B x y =，满足y Ax =，其中0.80.40.10.4A ?? =?? ??，2,x y R ∈ 则对任意的2,u v R ∈ 1111119 ||()()||||||||()||||||||||||||10 B u B v Au Av A u v A u v u v -=-=-≤-=- 故映射B 对一范数是压缩的 由范数定义 ||||1 ||||max |||| 1.2x A Ax ∞∞∞===，知必然存在0x ，0||||1x ∞= 使得0|||||||| 1.2Ax A ∞∞== 设012(,)T x x x = 取12(,0),(0,)T T u x v x ==-，则0u v x -=，有 00||()()||||||||()|||||||||| 1.21||||||||B u B v Au Av A u v Ax A x u v ∞∞∞∞∞∞∞-=-=-===>==- 故有||()()||B u B v ∞->||||u v ∞-，从而映射B 对无穷范数不是压缩的 4. 证明：对任意的,[,]x y a b ∈ 由拉格朗日中值定理，有 ()()'()()()1e G x G y G x y x y e ξ ξ ξ-=-=-+ 其中0111b b e e e e ξξ< ≤<++ 所以 |()()||()|||11b b e e G x G y x y x y e e ξξ-=-≤-++ 故G 为[,]a b 上的压缩映射 而()ln(1)ln x x G x e e x =+>= 即()G x x =无根 故()G x 没有不动点
清华大学近三年自主招生录取人数分析 近年来，自主招生愈演愈烈，清华北大作为领头羊更是大踏步向前走。那么，获得自主招生认定资格，对于高攀清北，必要性有多大？北大数据不公开，好在清华数据翔实，具有一定指导意义。 2011年，清华在京录取398人，除去美院录取36人外其它院系文理合计共录取362人。其中特殊招生类录取保送生62人、录取艺术特长生17人、录取体育特长生13人，另外提前批次招生6人。以上外，通过统考一批次统招录取264人。这统招264人中，有151人具有清华自主认定资格，占比57.2%。这264人中，达到清华一次提档线（含扩招）的人数约为233人（可能略有出入，准确数据需从明年大厚本中确认），那么未达提档线的录取我们暂且默认为享受通过自主招生认定优惠的录取，这样有31人，也就是通常说的自主认定捞上来31人。清华自主招生在京总认定人数为214人，最终有63人未出现在清华新生名单中，弃用率为29.4%。不过这63人中有39人具有北大等其它高校的自主认定资格，绝大部分人是主动弃用。（以上数据不分文理） 比较统招生中自主认定资格人数占比例：11年统招264人中，有150人有清华自主认定资格，占比56.8%；10年统招的317人中，有251人具有清华自主认定资格，占比52.4%；而09年统招的315人中，只有124人具有自主认定资格，占比39.4%。增幅比较大。比较享受到自主认定资格优惠录取的人数：11年约31人中；10年约66人（10年保送录取人数是几年来的低位，通过自主认定补足优秀生也是非常正常的）；而09年约有41人。比较自主认定资格弃用情况：11年64人未用到，占比29.9%；10年45人未用到，占比21.3%；而09年只有20人未用到，占比13.9%。也是增幅明显。 概括起来： 1、清华自主认定学生出现在清华新生名单中的比例近三年来逐年增加； 2、享受清华自主认定优惠录取的学生比例有波动，应与当年的生源状况有关； 3、由于失信（报考它校、出国）或失意（实考失误）导致最终资格浪费的比例也在增加。 那么，从这些数据中，个人觉得争取到清华的自主招生认定资格，很有必要，但拿到认定资格也不是进了保险箱，仍不能放松。所以说，拿到清华自主认定资格，对于昂首迈入清华来说，充分必要性是：较必要，半充分。（具体数据见下表）
第一章 3.已知e=2.7182818..，求以下近似值A x 的相对误差，并问它们各有多少位有效数字？ （1）, 2.7A x e x ==； （2）, 2.718A x e x ==； （3）,0.027100A e x x = =； （4）,0.02718100 A e x x ==。 解：（1）12.7182818.., 2.70.2710A x e x ====? 1 0.01828...0.050.510A x x --=≤=? 2.7A x ∴=有2位有效数字 36.810A A x x x --=? （2） 2.718A x = 3 0.00028...0.00050.510A x x --=≤=? 2.718A x =有4位有效数字 41.0410A A x x x --=? （3）10.027182818...,0.0270.2710100 A e x x -= ===? 3 0.0001828...0.0005 0.510A x x --=≤=? 0.027A x ∴=有2位有效数字 36.810A A x x x --=? （4）0.02718A x = 5 0.0000028...0.0000050.510A x x --=≤=? 2.718A x =有4位有效数字 41.0410A A x x x --=?
4.正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((2 2 A A A A A A l l l l l A A εεε='=可知，若要求1))((2≤A A l ε，则 200 1 100212) )(()(2= ?≤ = A l l l A A A A εε，即边长应满足2001100±=l 。 5(1) ①1-cos2°=1-0.9994=0.0006 只有一位有效数字 ②1-cos2°=2sin 21°=2×0.01752≈0.6125×3 10- 4 4100917298.610125.6--?-?=0.3327 具有几位有效数字 则称若位有效数字 具有＜x x a a a x A n k A x A n -k n 321323551010 a 5.0.02106125.0105.0105.010?≤-???±=?∴?=??------ ③ ()()位有效数字 有＜41060919.0105.0105.0100005.010*******.010*******.6100919.61060919.0100919.69994 .010349.02cos 12sin 2cos 134 374 4444 42 2 ----------?∴?=?=??=?-??=?=+= ?+?= ?- (2) 位有效数字 有＜！ π！π4092.6105.0105.0100005.010*******.010*******.610092.610092.6490 2902cos 143744444 4 2∴?=?=??=?-??=??? ??-??? ??≈?--------- 6.求解方程2 5610x x ++=，使其根至少有四位有效数字，计算中要求用 73827.982≈。
填空题 1、H=[1,0;1,2] 求H的2范数，1条件数 2、A为一个三阶矩阵，含参数a,求A对称正定是a的范围； 给定一个a，求LL(T)分解。 3、cos（πX），给X=0；0.25；0.5，利用2阶拉格朗日差值多项式，求X=0.4时的值 4、求一个多步法的误差主项，y（n+2）-1/2y（n+1）-1//2y(n)=h(f(n+2)-1/4f （n+1）+3/4f（n）) 5、x在（0，h）间的定积分，求高斯法代数精度，af（0）+b*f（h/3）+1/4*f(h),并求 a、b 6、拉格朗日差值，x乘以插值基函数的求和 7、A=[2，-1,0;-1,2，a;0,-1,2],b=[1,0,-1],AX=b,求BJ和J法收敛时a的范围 8、f(x)=1/x-a,求牛顿迭代公式的收敛阶 9、求一个以x为权函数的，2次正交多项式 大题 一、A=[10,a,0;c,10,c;0,a,5]，b=（10,7,14）， 1、求J法收敛的充要条件 2、a=c=1时，sor法收敛的充要条件，并写出w=1时，sor分量形式 3、a=2，c=0时x=x+a（Ax-b），收敛时a的范围，a=？时收敛最快 二、给x0，用牛顿求积公式求x1；证明一个全局收敛 三、单步法展开，求误差主项和收敛阶，绝对稳定性区间（老师上课讲过例题） 四、A和A-B都是非奇异的，证明||inv（A-B）||《1/(1/||inv(A)||-||B||) 填空5*9，大题18+14+17+6 最后一题好像是 矩阵A和A-B可逆，求证 norm(A-B)<=1/(norm(A^-1)^-1-norm(B)) 1、填空： a、有效数字，3.1425926近似pi——小心，从小数点后第三位就不一样了 b、均差f=x^3+x-1求f[1,1,1]，f[0,1,2,3]，f[0,1,2,3,4] c、simpson公式代数精度——3 d、Newton-Cotes积分系数Ck的和——这个就是1啦，呵呵 e、A=[1,2;0,1]，求普半径，1，2，无穷条件数 f、x^2的最佳一次平方逼近和一致逼近 g、拉格朗日插值基函数lk(x)xk^(n+1)从0到n求和 2、高斯积分x^2f(x)=Af(x0)+Bf(x1)+Af(x2).积分限[-1，1] 3、LU分解求方程组的解 4、求Householder阵P使得PAP为三对角阵 用第一种QR位移迭代算一步，求A2 5、证明严格对角占优矩阵A可逆，且 A^(-1)的无穷范数小于1/[min|aii|-除对角线外的|aij|] 6、第九章的作业题P480T6(《数值分析基础》高等教育出版社关治、陆金甫) 填空： 1。3.14215是pi的几位有效数字据说是3 2. f(x)=x^3+x-1,求f[1,1,1]＝6,f[0,1,2,3]＝1,f[0,1,2,3,4]＝0