2011年万学海文线性代数
春季基础班考研辅导讲义
主讲铁军教授
铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！
线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。
第一章行列式
行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。
【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。
【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。
【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用：
内部教材 严禁复制 海口扬天教育科技有限公司 2 1．判定方阵是否可逆以及应用公式*
-=
A A
A 11求逆矩阵； 2．判定n 个n 维向量的线性相关性； 3．计算矩阵的秩；
4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解； 5．求方阵的特征值；
6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。
同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。
【重要考点】
1．行列式按行、按列展开公式为：
kn
kn k k k k A a A a A a D +++= 2211nk nk k k k k A a A a A a +++= 2211 )2,1(n k =
2．两个特殊公式：设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，则 （1）
A O A C A
B
C B O B == ；（2）(1)mn O A C A
A B B C B O
==-?
3．范德蒙行列式：)(1
1
1
111211
2
222
1
21j i n
i j n n
n n n
n
x x x x x x x x x x x -∏=≤<≤---
4．余子式和代数余子式的定义，其中ij a 的余子式为ij M ，ij a 的代数余子式为
ij j i ij M A +-=)1(。
【典型例题】
1. 计算n 阶行列式
1
2
3
21
10
00010000
00000001000001a a a a a a x x x x x D n n n
n
------=
2. n 阶行列式
_____________________00000000000
00000=a
b b a a b a b a
.
★ 范德蒙行列式：1
2
2
221
2
11
11
12111()n
n n i j j i n
n n n n
x x x D x x x x x x x x ≤<≤---==∏-
，
n 阶范德蒙行列式n D 的结构特点是每列元素211,,,,n i i i x x x - 按i x 的升幂排列，构
成一个等比数列。
3. 计算四阶行列式111123
14
49116827
164
D -=
-.
4. 计算四阶行列式
34
33
33
31
24
423
322
22114243232221
2134333
231b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a a a a a D =
（其中4321,,,a a a a 均不为0）
内部教材 严禁复制 海口扬天教育科技有限公司 4 5. 计算四阶行列式
123422
2
2
11
223
344322
3
23
2311
2233441
11
11s i n 1s i n
1s i n
1s i n
s i n s i n s i n s i n s i n s i n
s i n s i n s i n s i n s i n s i n
s i n s i n
s i n
s i n D ????????????????????++++=
++
++++
++
★ 形如
的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列
式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。
6. 计算1+n 阶行列式
n
n n n b b b b b b b D -------=-+1100
00100000000
0110000110
0001122111
7．五阶行列式 543000
14300
014300014300014
D = 的值为_________.
8. 五阶行列式
1000
1
100
_____________0
11000110
1
1a
a a a D a a a a a
---==------.
★ 形如?
的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主
对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。
9.计算1+n 阶行列式
n
n a a a a D
1
0010
011
11210
1
=+ )0(21≠n a a a
10. 计算n 阶行列式
n
D n 000
1
00000301
000211110 =
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11. 计算n 阶行列式
123n n
a b b b b b a b
b
D b
b
a b b
b
b
a =
),2,1,(n i b a i =≠
★ 计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：
设A 是m 阶方阵，B 是n 阶方阵，则 （1）A O A C A B C B O B ==；（2）(1)mn O A C A
A B B C B O
==-?.
12． 计算 1
2
030010
40
0050711657181
81
-
13. 计算五阶行列式 8
950
7865067321
43000
21000-=D
14．设,A B 均是n 阶矩阵，*1
3,,1()2A A A a B b C B O -??
?=== ? ???
， 则_________.C =
15. 四阶行列式
1
122334
4
0000000
a b a b b a b a 的值等于( )
（A ）12341234a a a a b b b b -
（B ）12341234a a a a b b b b + （C ）))((43432121b b a a b b a a --（D ）))((41413232b b a a b b a a --
★ 若行列式中含有变量x ，则该行列式展开后成为关于x 的多项式，可考查该多项式
的次数、零点等问题。
16. 设行列式451232
13
231
213x x D x x x
=
-，则4D 的展开式中，4x 的系数是 ，
3x 的系数是 。
内部教材 严禁复制 海口扬天教育科技有限公司 8 17. 设行列式
212322212223
()333245354435743
x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，
则方程0)(=x f 的根的个数为（ ） （A ）1 （B ）2
（C ）3
（D ）4
18.设多项式
11121314
212223243132333441424344
()a x
a x a x a x a x a x a x a x p x a x a x a x a x a x a x a x a x ++++++++=
++++++++
则)(x p 的次数至多是（ ）。
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
★ 计算代数余子式线性组合的值： 1．余子式和代数余子式
在n 阶行列式,n ij D a i 中划去元素所在的第行和第j列，余下的元素按原有顺序构成的
1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作.ij M
ij M 余子式之前加上符号，称为元素ij a 的代数余子式，记作
(1)i j
ij ij A M +=-
2．代数余子式的性质： （1）ij A 和ij a 的大小无关；
（2） 1122i i i i in in a A a A a A A +++= ，
1122j j j j nj nj a A a A a A A +++= (,1,2)i j n =
（3）11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠
（4）A 的伴随矩阵11
2111222212*()n n ji n n
n
n
nn A A A A A A A A A A A ??? ?
?
== ?
?
???
， 则
① 由于*()ji n n A A ?=中的元素为ji A ，可先求1
*A A A
-=，再求
12i i in A A A +++ 和12j j nj A A A +++
② 设*
A 的特征值为12,,,n λλλ ，则
112212nn n A A A λλλ+++=+++
【评注】设11111
1j n i ij
in n nj nn
a a a a a a A a a a =
，ij a 的代数余子式为ij A ，则ij A 只与ij a 的位
置有关，而与ij a 的大小无关。所以若改变A 中ij a 的值而其他元素不变，则ij A 的值不变，因此可用元素置换法计算代数余子式线性组合的值。
19. 设 4
52101113
0112101
--=
A ，
求（1）42322212A A A A -+-；（2）44434241A A A A +++.
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10 20. 设行列式
2
23
5
702
2220
40
3
--=
D ，则第四行各元素余子式之和的值为 。
21．设A 是三阶可逆矩阵，1
A -的特征值为1,2,3,求A 的代数余子式之和：
112233.A A A ++
★ 计算抽象矩阵的行列式：主要利用矩阵行列式的性质。 设A 为n 阶矩阵，则有 （1）n
kA k A =
（2）,k
k
AB A B A A ==
（3）,()T T T T
A A A
B A B A B =+=+=+
（4）设A 为n 阶可逆矩阵，则1
1A
A
-=
（5）利用行列式加法运算的性质：
设i α为n 维列向量，i β为n 维行向量，则 1
231241234αααααααααα+=+，
111
2223434
ββββββββββ+=
+
22. 设A 为3×3矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A ，其中)3,2,1(=j A j 是A 的
第j 列，则=-1213,3,2A A A A 。
23. 设γβααα,,,,321均为4维列向量，且a =βααα,,,321，b =+132,,,αααγβ，则=321,,,2αααγ .
24. 设n 阶矩阵),,,(21n A ααα =，),,,(13221αααααα+++=n B ，其中12,,,n ααα 为
n 维列向量。已知行列式)0(≠=a a A ，求行列式B 的值。
内部教材 严禁复制 海口扬天教育科技有限公司 12 25．若A 是n 阶方阵，且E AA T =，1-=A ，证明0=+E A .
26．设A 、B 均为n 阶矩阵，3 ,2-==B A ，则=-*12B A __________
第二章 矩阵
矩阵是线性代数的主要研究对象，有着广泛的应用。矩阵考试的重点
是：矩阵的乘法运算，逆矩阵，伴随矩阵，初等矩阵。以计算题为主，技巧性强。
【大纲内容】矩阵的概念；矩阵的线性运算；矩阵的乘法；方阵的幂；方阵乘积的行列式；矩阵的转置；逆矩阵的概念和性质；矩阵可逆的充分必要条件；伴随矩阵；矩阵的初等变换；初等矩阵；矩阵的等价；矩阵的秩；初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法；分块矩阵及其运算。
【大纲要求】掌握矩阵的概念和矩阵的各种运算，特别是矩阵的乘法、矩阵的转置、逆矩阵、方阵的行列式等。要掌握它们的运算规律、逆矩阵的性质及矩阵可逆的充分必要条件，会用各种方法求出矩阵的逆矩阵，矩阵的初等变换是研究矩阵各种性质和应用矩阵解决各种问题的重要方法，因此必须掌握矩阵的初等变换，会用初等变换解决有关问题。 【考点分析】矩阵乘法有分配律，结合律，但是没有交换律，没有消去律。 1.矩阵乘法运算一般不满足交换律，即BA AB ≠，因此要注意运算次序。
2.一般地，00=?/=A AB 或0=B ，00=?/=A A k
；
3.AB AC B C =?=，除非A 是列满秩矩阵
4.T T T A B AB =)(
5.设βαT A =，其中βα,均为n 维行向量，即)(2121n n b b b a a a A ????
??
? ??=，则
非零阵A 可表为βαT 的形式的充要条件为：?=βαT A 秩1=A 。 注意：与βαT 相关的问题，是考研数学中常见题型。
【典型例题】 ★ 计算n 阶矩阵的高次幂是一种重要题型，包括：
（1） 计算一般矩阵的高次幂；
（2） 计算能分解为一个列向量与一个行向量乘积的矩阵的高次幂； （3） 计算分块对角矩阵的高次幂：
设 12
s A A A A ??
?
?= ? ? ??
?
，则 12
n n
n n s A A A A ?? ?
?= ? ? ??
?
（4）计算能相似对角化的矩阵的高次幂
1．设????
? ??=101020101A ，而2≥n 为正整数，则
12_____,_____n n n A A A --==.
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14 2．设???? ??-=Λ???? ??=1001,4321p , ???
?
??--=1324Q ，令Q p A Λ=，求n A 2。
3．已知???
?
? ??----=363242121A ，则20
____A =,______A *=.
4．已知)3,2,1(=α，)3
1
,21,1(=β，设βαT A =，则=n A
5．设n 维行向量)2
1,0,,0,21( =α，矩阵,2T T
A E
B E αααα=-==+，其中E 为n 阶单
位矩阵，则AB 等于（ ）
（A ）O
（B ）E -
（C ）E
（D ）T
E αα+
6．设213146A a b c -?? ?
= ? ???
，若存在秩大于1的三阶矩阵B ，使得AB O =，则=n A
7．设1000001
00000
0100000100000A ??
?
- ?
?=
?
? ???
，求10A 。
★ 逆矩阵与伴随矩阵：
1. 求逆矩阵方法：用初等变换（不能行、列变换混用）
)()(1-????→?A E E A 只用行变换
，
???
? ?
????→????
? ??-1A E E A 只用列变换
2. 矩阵A 可逆的充要条件：
（1）存在n 阶方阵B ，使E BA AB == （2）0≠A
（3）秩n A =（A 为n 阶方阵） （4）A 与同阶单位矩阵E 等价
（5）A 可以表示成若干个初等矩阵的乘积 （6）齐次线性方程组0=AX 只有零解
（7）对任意n 维列向量b ，非齐次线性方程组b AX =有唯一解。 （8）A 的行（列）向量组线性无关。 （9）A 的特征值均不为)(21n A O λλλ =
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16 3. 逆矩阵常用公式： （1）()
A A =--1
1
（2）()()
T
T
A A 11
--=
（3）()111---=A B AB （4）A
A 11=
- （5）)0(1)(1
1≠=
--k A k
kA 4. 思维定势：（1）题设条件与*A 有关，则立即联想到用公式E A A A AA ==** （2）若涉及到A 、B 是否可交换，即BA AB =，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析 （3）若题设n 阶方阵A 满足0)(=A f ，要证bE aA +可逆，则先分解出因子bE aA +再说。
5.伴随矩阵的主要定理和公式
（1）E A A A AA ==** （2）)0(11时当≠=*
-A A A
A （3）()
)0(1
1
时当≠=
-*
A A A
A （4）*-*
=A k (kA)n 1（k 为常数，A 为n 阶矩阵，2≥n ）
（5）1
-*=n A A （A 为n 阶矩阵，2≥n ） （6）()
A A
A n 2
-*
*
=（A 为任n 阶矩阵，2≥n ）
（7）()()*
*
=T T
A A （8）()
***
=A B AB
（9）设A 是n 阶矩阵)2(≥n ，则 ,n
1,n 10,n 1n A A A A *
=??==-??<-?
若秩秩若秩若秩
8．设A 为n 阶非零矩阵，证明当T A A =*时，A 可逆。
9．设n 维向量()o a a o o a T <= , , , , , α；E 为n 阶单位矩阵，矩阵T E A αα-=，
T a
E B αα1
+=，其中A 的逆矩阵为B ，则_____a =。
10．设n 阶可逆矩阵A 中每行元素之和均为常数a 。证明：（1）常数0≠a （2）1-A 的每行元素之和均为1-a 。
11． 设A 、B 均为n 阶方阵，且B A AB -=。 证明：（1）B E E A -=+-1)(；（2）BA AB =.
12．已知AB E +可逆，试证BA E +也可逆，并求1)(-+BA E .
13．设A 是n 阶方阵，且03=A ，则（ ） （A ）A 不可逆，且E A -不可逆； （B ）A 可逆，但E+A 不可逆；
（C ）E A A +-2及E A A ++2均可逆； （D ）A 不可逆，且必有2
0A =.
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18 14．已知A 、B 为3阶矩阵，且满足E B B A 421-=-，其中E 是3阶单位矩阵。（1）证明：
矩阵A-2E 可逆；（2）若???
?
?
??-=200021021B ，求矩阵A .
15．设矩阵A 、B 满足E BA BA A 82-=*，其中???
?
? ??-=100020001A ，E 为单位矩阵，*A 为A 的伴
随矩阵，则B=__________。
16．已知三阶矩阵A 的逆矩阵???
?
? ??=-3111211111
A
，试求1)(-*A 。
17． 设矩阵???
?
? ??---=111111111A ，矩阵X 满足X A X A 21+=-*，求矩阵X 。
18. 设矩阵A=33)(?ij a 满足T A A =*，其中*A 是A 的伴随矩阵，T
A 为A 的转置矩阵. 若
131211,,a a a 为三个相等的正数，则11a 为( )
(A)
3
3
. (B) 3. (C) 31. (D)
3.
★ 1. 只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素，分块矩阵的加、减、乘法、数乘与转
置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同。 2. 设A 、B 均为可逆方阵，则
①???
? ??=???? ??---11
1
B O O A B O O A ②???
? ??=????
??---O A B O
O B A O 111
③???? ??-=???
? ??-----1111
1B O CB A A B O C A ④???
? ?
?-=???? ??-----11111
B CA B O A
B C O A 。
19． 设A 为n 阶非奇异矩阵，α为n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵
???
?
??=???
? ?
?
-=*
b A Q A A O I P T T ααα ,，其中*A 是矩阵A 的伴随矩阵，I 为n 阶单位矩阵。 （1）计算并化简PQ （2）证明：矩阵Q 可逆b A T ≠?-αα1.
20．设A 、B 为n 阶矩阵，**B A ,分别为A 、B 对应的伴随矩阵，分块矩阵???
?
??=B O O A C ，则
C 的伴随矩阵=*C （ ）。
（A ）????
??**B B O O A A （B ）????
??**
A A O O
B B （
C ）???
?
?
?**
A B O O B A （D ）???
?
?
?**
B A O O A B
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20 ★ 初等矩阵与初等变换：
1. 单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
2. 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为：
（1）) ,(j i E ：交换E 的两行或两列得到
（2）[])(k i E ：非零常数k 乘E 的i 行或i 列得到； （3）[])(,k j i E ：E 的j 行（列）的k 倍加到i 行（列）. 3.初等矩阵的逆矩阵： （1）) ,() ,(1j i E j i E =- （2）0)(k ))1
(())((1≠=-k
i E k i E
（3）))( ,())( ,(1k j i E k j i E -=-
4.（1）初等矩阵P 左乘A 所得PA 就是A 作了一次与P 同样的初等行变换。 （2）初等矩阵P 右乘A 所得AP 就是A 作了一次与P 同样的初等列变换。
21．计算2004
2003
001010100987654321100001010????
?
??????? ????
?
?
? ??.
22．设A 是n 阶可逆矩阵，将A 的第i 行与第j 行对调后得到的矩阵记为B ，证明B 可逆，
并求1-AB 。