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第六章微分中值定理及其应用 - 琼州学院质

第六章微分中值定理及其应用

习题

§1拉格朗日定理和函数的单调性

1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ，使0)(='ξf ：

（1）??

???

=≤<=;0,0,

10,1sin )(x x x x x f π （2）f （x ）=|x|，-1≤x ≤1。

2、证明：（1）方程033

=+-c x x （这里c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根；（2）方程0=++q px x n （n 为正整数，p 、q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根。

3、证明定理6、2推论2。

4、证明（1）若函数f 在[a ，b]上可导，且m x f ≥')(，则

f （b ）≥f （a ）+ m （b - a ）；

（2）若函数f 在[a ，b]上可导，且M x f ≤'|)(|，则

|f （b ）- f （a ）|≤M （b-a ）；

（3）对任意实数1x ，2x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-。 5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：

（1）

a a

b a b b a b -<<-ln ，其中0

<<+arctan 12

，其中h >0。 6、确定下列函数的单调区间：

（1）f （x ）=2

3x x -；（2）f （x ）=x x ln 22

-；

（3）f （x ）=2

2x x -；（4）f （x ）=x

x 1

2-。

7、应用函数的单调性证明下列不等式：

（1）)3

,0(,3tan 3π∈->x x x x ；（2）

,0(,sin 2π

π∈<

；

（3）0,)

1(2)1ln(22

2>+-<+<-x x x x x x x 。

8、以s （x ）记由（a ，f （a ）），（b ，f （b ）），（x ，f （x ））三点组成的三角形面积，试对s （x ）应

用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。

9、设f 为[a ，b]上二阶可导函数，f （a ）=f （b ）=0，并存在一点),(b a c ∈使得f （c ）>0。证明至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(<''ξf 。

10、设函数f 在（a ，b ）内可导，且f '单调。证明f '在（a ，b ）内连续。

11、设p （x ）为多项式，α为p （x ）=0的r 重实根。证明α必定是)(x p '的r – 1重实根。 12、证明：设f 为n 阶可导函数，若方程f （x ）=0有n+1个相异的实根，则方程0)()

(=x f n 至

少有一个实根。

13、设a ，b >0。证明方程b ax x ++3

=0不存在正根。 14、证明：

,0(,sin tan π

∈>x x x x x 。 15、证明：若函数f ，g 在区间[a ，b]上可导，且)()(),()(a g a f x g x f ='>'，则在（a ，b]内有f （x ）>g （x ）。

§2柯西中值定理和不定式极限

1、试问函数32)(,)(x x g x x f ==在区间[-1，1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？

2、设函数f 在[a ，b]上可导。证明：存在),(b a ∈ξ，使得 )()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-。

3、设函数f 在点a 处具有连续的二阶导数。证明： )()

(2)()(lim

a f h

a f h a f h a f h ''=--++→。 4、设2

0π

βα<<<。证明存在),(βαθ∈，使得

θα

ββ

αcot cos cos sin sin =--。

5、求下列不定式极限

（1）0lim →x x e x sin 1-；（2）x x

x 3cos sin 21lim 6

-→

π；

（3）0

lim

→x 1

cos )1ln(--+x x x ；（4）0lim →x x x x

x sin tan --；

（5）5sec 6tan lim

+-→

x x x π

；（6）0lim →x )1

1(--x

e x ；（7）0

lim →x x

x sin )

(tan ；（8）x

x x

-→11

lim ；

（9）0

lim →x x

x 1

2)1(+；（10）x x x ln sin lim 0

→；（11）0lim →x )sin 11(22x x -；（12）0lim →x 2

)tan (x x

x 。 6、设函数f 在点a 的某个邻域具有二阶导数。证明：对充分小的h ，存在10,<<θθ，使得

()()(2)()(2

h a f h a f h

a f h a f h a f θθ-''++''=--++。 7、求下列不定式极限：（1）2

sin

1cos(ln lim

x x π--→；（2）x x x ln )arctan 2(lim -+∞→π；

（3）x

x x sin 0

lim +

→；（4）x

x x 2tan 4

)

(tan lim π

→

；

（5）0lim →x ???? ?

?-++x x x x 1)1ln(2)1(；（6）0lim →x )1

(cot x x -；（7）0

lim

→x x e x x

-+1

)1(；（8）??

? ??-+∞→x x arctan 2lim π。

8、设f （0）=0，f '在原点的某邻域内连续，且0)0(≠'f 。证明：

1lim )

→x f x x 。

9、证明定理6、6中0)(lim ,0)(lim ==+∞

→+∞

→x g x f x x 情形时的洛必达法则。 10、证明：2

3)(x e x x f -=为有界函数。

§3泰勒公式

1、求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式：（1）f （x ）=

+11；

（2）f （x ）= arctanx 到含5

x 的项；（3）f （x ）= tanx 到含5

x 的项。 2、按例4的方法求下列极限：

（1）0lim →x 3)1(sin x x x x e x +-；（2）?????

???? ??+-∞→x x x x 11ln lim 2

；

（3）0

lim

→x ??

??-x x x cot 11。 3、求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1）f （x ）=542

++x x ，在x = 1处；（2）f （x ）=

+11

，在x = 0处。 4、估计下列近似公式的绝对误差：

（1）6

sin 3

x x x -≈，当|x|≤21；

（2）]1,0[,8

2112

∈-+≈+x x x x 。

5、计算：（1）数e 准确到9

10-；（2）lg11准确到5

10-。

§4函数的极值与最大（小）值

1、求下列函数的极值：

（1）f （x ）=43

2x x -；（2）f （x ）=

12x

+；（3）f （x ）=x

x 2)(ln ；（4）f （x ）=)1ln(21arctan 2

x x +-。

2、设

f （x ）=??

???=≠.0,0,

0,1sin 24

x x x

x （1）证明：x = 0是极小值点；

（2）说明f 的极小值点x = 0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。

3、证明：若函数f 在点0x 处有)0(0)(),0(0)(00<>'><'-+x f x f ，则0x 为f 的极大（小）值点。

4、求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）y =]2,1[,155345-++-x x x ；（2）y =???

???-2,0,tan tan 22

πx x ；

（3）y =

),0(,ln +∞x x 。

5、设f （x ）在区间I 上连续，并且在I 上仅有唯一的极值点0x 。证明：若0x 是f 的极大（小）值点，则0x 必是f （x ）在I 上的最大（小）值点。

6、把长为l 的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积最大？

7、有一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V 时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与容器高的比例应该怎样？

8、设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为n a a a ,,21。问以怎样的数值x 表达所要测量的真值，才能使它与这n 个数之差的平方和为最小。

9、求一正数a ，使它与其倒数之和最小。 10、求下列函数的极值：

（1）f （x ）=|)1(|2

-x x ；

（2）f （x ）=1

)

1(2

42+-+x x x x ；（3）f （x ）=3

2)1()1(+-x x 。

11、设f （x ）=x bx x a ++2

ln 在2,121==x x 处都取得极值，试求a 与b ；并问这时f 在1x 与2

x 是取得极大值还是极小值？

12、在抛物线px y 22=哪一点的法线被抛物线所截之线段为最短。

13、要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC= a km 的B 城，轮船运费的单价是α元/km ，火车运费的单价是β元/km （β>α），试求运河边上的一点M ，修建铁路MB ，使总运费最省。

§5函数的凸性与拐点

1、确定下列函数的凸性区间与拐点：

（1）y =2536322

3+--x x x ；（2）y =x

x 1+；（3）y =x

x 1

+；（4）y =)1ln(2+x ；（5）y =

+。 2、问a 和b 为何值时，点（1，3）为曲线y =2

bx ax +的拐点？

3、证明：

（1）若f 为凸函数，λ为非负实数，则λf 为凸函数；（2）若f ，g 均为凸函数，则f+g 为凸函数；

（3）若f 为区间I 上凸函数，g 为J ?f （I ）上凸增函数，则g ·f 为I 上凸函数。

4、设f 为区间I 上严格凸函数。证明：若0x I ∈为f 的极小值点，则0x 为f 在I 上唯一的极小值点。

5、应用凸函数概念证明如下不等式：（1）对任意实数a ，b ，有)(2

b a

b a e e e

+≤

+；（2）对任何非负实数a ，b ，有b a b a arctan arctan 2arctan 2+≥??

??+。 6、证明：若f ，g 均为区间I 上凸函数，则F （x ）= max{f （x ），g （x ）}也是I 上凸函数。 7、证明：（1）f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点321x x x <<，恒有

(1)(1

)(133

2211

≥=?x f x x f x x f x ；

（2）f 为严格凸函数的充要条件是Δ>0。 8、应用詹森不等式证明：（1）设),,2,1(0n i a i =>，有

a a a a a a a a a n

n n n

+++≤

≤+++ 212121111；

（2）设),,2,1(0,n i b a i i =>，有

i q i p

i p i n i i i b a b a 111

11??

? ????? ??≤∑∑∑===，

其中11

0,0=+>>q

p q p 。 §6函数图象的讨论

按函数作图步骤，作下列函数图象：

（1）y =201562

--+x x x ；（2）y =2

)

1(2x x +；（3）y = x – 2arctanx ；（4）y =x

xe -；（5）y =3

53x x -；（6）y =2

x e

-；

（7）y =3

2)1(x x -；（8）y =23

2)2(||-x x 。

总练习题

1、证明：若f （x ）在有限开区间（a ，b ）内可导，且)(lim )(lim x f x f b

x a

x -

+→→=，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使0)(='ξf 。

2、证明：若x >0，则（1）)

(211x x x x θ+=

+，其中

1)(41≤≤x θ；（2）2

)(lim ,41)(lim 0

+∞→→x x x x θθ。 3、设函数f 在[a ，b]上连续，在（a ，b ）内可导，且a ·b >0。证明存在),(b a ∈ξ，使得

)()()

()(1

ξξξf f b f a f b

a b a '-=-。 4、设f 在[a ，b]上三阶可导，证明存在),(b a ∈ξ，使得 )()(12

)]()()[(21)()(3ξf a b b f a f a b a f b f '''--'+'-+

=。 5、对f （x ）=ln （1+x ）应用拉格朗日中值定理，试证：对x ≥0有 11

)1ln(10<-+<

x 。

6、设n a a a ,,,21 为n 个正数，且

f （x ）=x

x x n a a a 121???

?+++ 。证明：（1）n

n x a a a x f 210

)(lim =

→；

（2）},,,max{)(lim 21n x a a a x f =∞

→。

7、求下列极限：

（1）)

1ln(/121

)1(lim x x x -→--

；（2）20)

1ln(lim x

x xe x x +-→；（3）x

x x x sin 1sin

lim

→。

8、设h >0，函数f 在);(h a U 内具有n+2阶连续导数，且0)()

2(≠+a f n ，f 在);(h a U 内的泰勒公

式为

10,)!

1()(!)()()()(1

)1()(<<+++++'+=+++θθn n n n h n h a f h n a f h a f a f h a f 。

证明：2

lim 0

→n h θ。 9、设k >0，试问k 为何值时，方程arctanx – kx = 0存在正实根。

10、证明：对任一多项式p （x ），一定存在1x 与2x ，使p （x ）在（-∞，1x ）与（2x ，+∞）分别严格单调。

11、讨论函数

???=≠+=,0,0,

0,1sin 2)(2x x x

x x

x f （1）在x=0点是否可导？

（2）是否存在x=0的一个邻域，使f 在该邻域内单调？

12、设函数f 在[a ，b]上二阶可导，0)()(='='b f a f 。证明存在一点),(b a ∈ξ，使得 |)()(|)

|)(|2

a f

b f a b f --≥

''ξ。 13、设函数f 在[0，a]上具有二阶导数，且M x f ≤'')(|，f 在（0，a ）内取得最大值。试证 Ma a f f ≤'+'|)(||)0(|。

14、设f 在[0，+∞）上可微，且0)0(),()(0=≤'≤f x f x f 。证明：在[0，+∞）上f （x ）≡0。 15、设f （x ）满足0)()()()(=-'+''x f x g x f x f ，其中g （x ）为任一函数。证明：若

)(0)()(1010x x x f x f <==，则f 在[0x ，1x ]上恒等于0。

16、证明：定圆内接正n 边形面积将随n 的增加而增加。 17、证明：f 为I 上凸函数的充要条件是对任何1x ，I x ∈2，函数 ))1(()(21x x f λλλ?-+=

为[0，1]上的凸函数。

18、证明：（1）设f 在（a ，+∞）上可导，若)(lim ),(lim x f x f x x '+∞

→+∞

→都存在，则

0)(lim ='+∞

→x f x 。

（2）设f 在（a ，+∞）上n 阶可导，若)(lim x f x +∞

→和)(lim )

(x f

n x +∞

→都存在，则

),,2,1(0)(lim )

(n k x f

k x ==+∞

→。

19、设f 为),(+∞-∞上的二阶可导函数。若f 在),(+∞-∞上有界，则存在),(+∞-∞∈ξ，使

0)(=''ξf 。

习题答案

§2柯西中值定理和不定式极限

5、（1）1；（2）

；（3）1；（4）2；（5）1；（6）21；（7）1；（8）e 1；

（9）1；（10）0；（11）3

-；（12）31

e ；

7、（1）2

π-

；（2）0；（3）1；（4）1

-e ；（5）

21；（6）0；（7）2

e -；（8）1

-e 。 §3泰勒公式

1、（1）f （x ）=)(2!!)!12()1(!223

212113n n

n x x n n x x ο+--++?

+- ；（2）f （x ）=)(51315

53x x x x ο++-；

（3）f （x ）=)(15

23155

3x x x x ο++

+。 2、（1）31；（2）21；（3）3

。

3、（1）f （x ）=32)1()1(7)1(1110-+-+-+x x x ；（2）f （x ）=1

)

1()1()1(1++-+-+-+++-n n n n

n x x x x x θ ，10<<θ。 4、（1）!

521|)(|5

4?≤

x R ；（2）161

|)(|2≤x R 。 5、（1）取718281828.2,12≈=e n ；（2）04139.1。

§4函数的极值与最大（小）值

1、（1）极大值16

2723=

??f ；（2）极小值f （-1）= -1，极大值f （1）=1；（3）极小值f （1）= 0，极大值2

4)(e e f =；（4）极大值f （1）=

2ln 2

4-π

。 5、（1）最小值f （-1）= -10，最大值f （1）=2；（2）最小值14=??

??πf ，无最大值；

（3）最小值()e

e f 22

-=-。

6、边长为

l 。 7、半径与高之比为1：1。 8、取n

a a a x n

++=

21。

9、取a=1。

10、（1）极小值0)1()0(=±=f f ，极大值3

31=?

??? ??±

f ；（2）极小值f （- 1）= - 2，极大值f （1）=2；（3）极小值f （1）=0，极大值3125

3456

51=??

? ??f 。 11、1,6

,32x b a -=-

=极小值点，2x 极大值点。 12、)2,(p p ±。 13、

2α

βα

-a 。

§5函数的凸性与拐点

1、（1）凹区间)2

,(-∞，凸区间??? ??+∞,21，拐点??

??213,21；

（2）凹区间)0,(-∞，凸区间()+∞,0；

（3）凹区间)0,1(-，凸区间),0(),1,(+∞--∞，拐点)0,1(-；（4）凹区间),1(),1,(+∞--∞，凸区间)1,1(-，拐点()2ln ,1±；（5）凹区间???

? ??-31,31，凸区间???? ??+∞???? ??-∞-,31

,31,，拐点???? ??±43,31。 2、2

,23=-

=b a 。 §6函数图象的讨论

（

（2）

渐近线12

,1-=-=x y x ；（3）

渐近线y = x – π，y = x +π；

（4）

渐近线y = 0；（5

（6

渐近线y = 0；

（

（8）设510

,510321+=-=

x x ，

总练习题

7、（1）e ；（2）

；（3）0。典型习题解答

1、（§1的第2（1）题）方程033

=+-c x x （这里c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。

证明：记c x x x f +-=3)(3

，设f （x ）=0在[0，1]内有两个不同的实根21,x x ，且21x x <，则

0)()(21==x f x f 。

又由于f 在],[21x x 上连续，在),(21x x 内可导，所以0)(..),,(21='∈?ξξf t s x x 。即0)1(32

=-ξ。故]1,0[),(1210??±=x x ξ（矛盾）。

因此方程033

=+-c x x （这里c 为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。 2、（§1的第5（1）题）应用拉格朗日中值定理证明不等式a

b a b b a b -<<-ln ，其中0

a a

b a b b a b -<<-ln a

a b a b b a a b a b b a b 1

ln ln 1ln ln <--

3、（§1的第7（1）题）应用函数的单调性证明不等式)3,0(,3tan 3π

∈->x x x x 。证明：设3

tan )(3

x x x x f +-=，则)3,0(,0t a

n )(22

π∈>+='x x x x f ，所以f 在)3

,0(π

内严格

递增。又f （x ）在x = 0处连续且f （0）= 0，故当)3,0(π

∈x 时，f （x ）>0，即)3

,0(,3ta n 3π

∈->x x x x 。

4、（§2的第2题）设函数f 在[a ，b]上可导。证明：存在),(b a ∈ξ，使得 )()()]()([222ξξf a b a f b f '-=-。证明：由于

()()[]

ξξξξ=='-='-?'-=-x x x f a b a f b f x f a b a f b f )(|)]()([)()()]()([222222

[]0)

()()]()([222='

---?=ξ

x x f a b a f b f x 。

故构造函数)()()]()([)(222x f a b a f b f x x F ---=，由于f 、2

x 在[a ，b]上连续，（a ，b ）内可导，所以F （x ）在[a ，b]上连续，（a ，b ）内可导，且)()()()(22a f b b f a b F a F -==，故由罗尔定理知，0)(..),,(='∈?ξξF t s b a 。

即[

]0)

()()]()([2

22='

---=ξ

x x f a b a f b f x 。

5、（§2的第5（1）题）求不定式极限0lim →x x e x sin 1-。

解：0lim →x x e x sin 1-=0lim →x )(sin )1(''

-x e x =0lim →x x e x cos =1。

6、（§3的第2（1）题）求极限0lim →x 3

)1(sin x x x x e x +-。

解：因为

)(3)(!3)(!21sin 332

3322x x x x x x x x x x x e x

οοο+++=??

????+-??????+++=,

所以

0lim →x 3)

1(sin x

x x x e x +-=0lim →x 31

)(3

133=??????+x x ο。 7、（§4的第1（1）题）求函数f （x ）=4

2x x -的极值。

解：令0)23(246)(2

32=-=-='x x x x x f ，解得2

3,021=

=x x 。又0923<-=??

? ??''f ，所以在23=

x 处f （x ）有极大值16

27。由于当)1,0(0U x ∈时，0)(>'x f ，故在x = 0的邻域内f 严格递增，所以在x = 0处f （x ）不能取得极值。

8、（§5的第1（1）题）确定函数y =2536322

+--x x x 的凸性区间与拐点。解：令0612=-=''x y ，得2

1=x 。当21<

x 时，0<''y ，故函数y 在??? ?

∞-21,内为凹函数；

当21>

x 时，0>''y ，故函数y 在??

??+∞,21内为凸函数。由于在???

??+210U 与??? ??-210

U 内y ''的符号相反，故??

??213,

21为曲线的拐点。

9、（§5的第5（1）题）应用凸函数概念证明不等式)(2

b a

b a e e e +≤

+，其中R b a ∈?,。证明：设,)(x e x f =则),(,0)(+∞-∞∈>=''x e x f x 。故f （x ）为),(+∞-∞上凸函数。从而对

,,21=

==λb x a x ，有 )(211)(21211212121x f x f x x f ???

??-+≤????????? ??-+??

? ??

即)(2

b a

b a e e e +≤

+，其中R b a ∈?,。

(完整版)利用微分中值定理证明不等式

微分中值定理证明不等式微分中值定理主要有下面几种： 1、费马定理：设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有 0()0f x '=. 2、罗尔中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；（3）()()f a f b =, 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()0f ξ'=. 3、拉格朗日中值定理：若函数()f x 满足如下条件：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续；（2）()f x 在开区间(,)a b 内可导；则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得 ()()()f b f a f b a ξ-'=-. 4、柯西中值定理：若函数()f x ,()g x 满足如下条件：（1）在闭区间[,]a b 上连续；（2）在开区间(,)a b 内可导；（3）()f x ',()g x '不同时为零；（4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得 ()()()()()() f f b f a g g b g a ξξ'-='-. 微分中值定理在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例1、设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续； ⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b == ⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c > 求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<. 证明由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以 1()0f x '=. 由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2! f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<. 例2 、设0b a <≤,证明ln a b a a b a b b --≤≤.

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章

第六章微分中值定理及其应用一、填空题 1．若0,0>>b a 均为常数，则=??? ? ? ?+→x x x x b a 3 2 lim ________。 2．若2 1 sin cos 1lim 0 =-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。 3．曲线x e y =在0=x 点处的曲率半径=R _________。 4．设2442 -+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________。 5．= -+→x e x x x 10 )1(lim ___________。 6．设) 4)(1()(2 --=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间； 7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的 __________=ξ； 8．函数3 )(x x f =与2 1)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ； 10．函数 2 )(x e x f x =的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33 -=的极大值点是______，极大值是

_______。 12．设x xe x f =)(，则函数) () (x f n 在=x _______处取得极小值_________。 13．已知bx ax x x f ++=23 )(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b _____。 14．曲线2 2)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则 =k ________。 15．设)2,1()1()(Λ=-?=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞ →n n M lim ___________。 16．设)(x f 在0 x 可导，则0)(0 ='x f 是)(x f 在点0 x 处取得极值的______条件； 17．函数x bx x a x f ++=2 ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则 ___ ___,==b a ； 18. 函数 3 2 2 3 )(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数x x x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在?? ??? ?2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点 ) 2,1(是曲线 b a x y +-=3)(的拐点,则 ______ _____,==b a ; 22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为

北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案习题

习题4.5 x (,3 2 )3 2 (3 2 ,0) 0(0, 3 2 ) 3 2 (3 2 ,+) f0+00+ f拐点拐点拐点x(,0) -∞0(0,1)1(1,2)2(2,) +∞y'0++0 y''++ y 极小值拐点极大值 ()() ()() 2 22222 22 222 32 1.() ()212,()12(2)4 3 642320,0,. 2 x x x x x x x x f x xe f x e x e e x f x e x x xe e x x xe x x - ------- = ''' -=-=--- =-+=-+==± 求函数的凸凹性区间及拐点. 解= 23 2 1 ,(,). 3 2(2)0,0,2. 220, 1. y x x x y x x x x x y x x =-∈-∞∞ '=-=-== ''=-== 作下列函数的图形： 2.

222223.,(,).2(2)(2)0,0,2;(2)(22)(42)0,2 2. x x x x x x x x y x e x y xe x e e x x e x x x y e x x e x e x x x --------'=∈-∞+∞=-=-=-==''=--+-=-+==± x (,0)-∞ (0,22)- 22- (22,2)- 2 (2,22)+ 22+ (22,)++∞ y ' - + + - - y '' + + - - 0 + y ? 极小值 ? 拐点 ? 极大值 ? 拐点 ? 22231 4.,0. 11 10, 2 1;. y x x x x y x x x y x =+≠-'=-==''=±=

第三章微分中值定理导数的应用

第三章微分中值定理导数的应用教学目的与要求 1掌握并会应用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3．用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4．握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5．道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6．了解方程近似解的二分法及切线法。一、中值定理，泰勒公式（放入泰勒级数中讲） 1．罗尔定理如()x f 满足：（1）在 []b ,a 连续. （2）在 ()b ,a 可导. （3）()()b f a f = 则至少存在一点()b ,a ∈ξ 使()0f /=ξ 例设()()()()1x 31x 21x x x g -++=，则在区间（-1，0）内，方程()0x g /= 有2个实根；在（-1，1）内()0x g //=有2个根例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==，证明存在()1,0∈ η，使()()0f f /=ηη+η。证：设()()x xf x F =在[a,b]可导，()()1F 0F = ∴ 存在()1,0∈η使()0F /=η 即()()0f f /=ηη+η 例设()x f 在[0，1]可导，且()()01f 0f ==, 证明存在η ()()0F F /=η+η 。解: 设()()x f e x F x =，且()()1F 0F = 由罗尔定理

存在η 使()0F /=η 即()()0f e f e /=η+ηηη，亦即()()0f f /=η+η 例习题6 设()()()x g e x f x F =（复合函数求导） 2、拉格朗日中值定理如()x f 满足：①在[a,b]连续；②在（a,b ）连续，则存在()b ,a ∈ξ 使()()()()a b f a f b f /-ξ=-。推论：⑴ 如果在区间I 上()0x f /≡，则()c x f = ⑵ 如果在区间I 上())0(0x f /<>， ()x f 在Ｉ单增（减）例对任意满足1x <的x ，都有4x arcsin 21x 1x 1arctg π=++- 设 ()x arcsin 21x 1x 1arctg x f ++-= ∵ ()()0x 1121x 12x 1x 121x 1x 111x f 22/=-++-?+-?+-+= 0x 121x 12x 1x 12x 1212 22=-++?-+?+?-= ∴ ()c x f = ∵ ()4 0f π= ∴ ()4 x f π= 例设()0x >，证明()x x 1ln x 1x <+<+ 求导证明作业：见各章节课后习题。

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

第四章微分中值定理与导数的应用

第四章微分中值定理与导数的应用第一节中值定理（2课时）要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。重点：理解中值定理及简单的应用。难点：中值定理证明的应用。一、罗尔(Rolle)定理罗尔定理如果函数)(x f 满足条件（1）在闭区间],[b a 上连续；（2）在开区间),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =．则在开区间),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使得函数)(x f 在该点的导数等于零，即0)(='ξf ．几何解释设曲线? AB 的方程为))((b x a x f y ≤≤=，罗尔定理的条件的几何表示，?AB 是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧? AB 上至少有一点C ，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，ξ应在函数取最值点处找．例1．验证罗尔定理对函数34)(2+-=x x x f 在]3,1[上的正确性．证明因为函数)3)(1(34)(2--=+-=x x x x x f 在闭区间]3,1[上连续，可导．

)2 (2 4 2 ) (- = - = 'x x x f 且0 )3( )1(= =f f 函数) (x f在区间]3,1[上满足罗尔定理条件，所以在区间)3,1(内存在ξ使得 )2 (2 ) (= - = 'ξ ξ f，于是)3,1( 2∈ = ξ．故确实在区间)3,1(内至少存在一点2 = ξ使得0 )2(= 'f，结论成立．二、拉格朗日中值定理（微分中值定理）几何分析拉格朗日中值定理设函数) (x f满足条件（1）在闭区间] , [b a上连续；（2）在开区间) , (b a内可导．则在区间) , (b a内至少存在一点) (b a< <ξ ξ，使得等式 ) )( ( ) ( ) (a b f a f b f- ' = -ξ成立．推论1如果函数) (x f在区间I上的导数恒为零，那么函数) (x f在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）．例2．试证 2 cot arctan π = +x arc x) (+∞ < < -∞x．证明构造函数x arc x x f cot arctan ) (+ =，因为函数) (x f在) , (+∞ -∞上可导，且 1 1 1 1 ) ( 2 2 = + - + = ' x x x f 由推论得()arctan cot f x x arc x C =+=，(,) x∈-∞+∞，

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。