高二数学空间向量坐标法解立体几何检测卷
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一、解答题
1．如图，在三棱锥A BOC -中， ,,AO OB OC 两两互相垂直，点,D E 分别为棱,BC AC 的中点，
F 在棱AO 上，且满足1
4
OF OA =，已知4OA OC ==， 2OB =.
（1）求异面直线AD 与OC 所成角的余弦值； （2）求二面角C EF D --的正弦值.
【答案】（1）异面直线AD 与OC 所成角的余弦值为
21
；（2）二面角C EF D --
【解析】试题分析：（1）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求直线方向向量夹角的余弦值，最后根据异面直线夹角与向量夹角关系确定结果（2）先根据方程组解出各面法向量，再利用向量数量积求两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与法向量夹角关系求正弦值
试题解析：（1）如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OA
方向为x 轴、y 轴、z 轴正方
向建立空间直角坐标系.
依题意可得： ()0,0,0O ， ()0,0,4A ， ()2,0,0B ， ()0,4,0C ， ()1,2,0D ，
()0,2,2E ， ()0,0,1F
所以()1,2,4AD =- ， ()0,4,0OC =
，
所以cos ,
21||AD OC AD OC AD OC ?==
=
.
因此异面直线AD 与OC .
（2）平面AOC 的一个法向量为()2,0,0OB =
.
设(),,m x y z =为平面DEF 的一个法向量，
又()()0,2,1,1,0,2EF DE =--=-
， 则0,
{ 0,
m EF m DE ?=?=
即20,{ 20.y z x z +=-=
不妨取2z =，则4,1x y ==-，
所以()4,1,2m =-为平面DEF 的一个法向量，
从而
2,0,04,1,2,21OB m cos OB m OB m
?-?===
, 设二面角C EF D --
的大小为θ，则cos 21
θ=
. 因为[
]
0,θπ∈
，所以sin θ==
. 因此二面角C EF
D --. 2．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥底面
ABCD ， AB AC ⊥， 1AB =， 12AC
AA ==， AD CD ==M 和N 分别为1B C 和1D D 的中
点．
（1）求证： //MN 平面ABCD ；
（2）求二面角11D ACB -的正弦值．
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：（Ⅰ）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN ∥平面ABCD ．
（Ⅱ）求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可．
试题解析：
（1）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，
则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），
A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），
又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．
由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵?=0，MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；
（2）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，1，1），
设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，
由，得，
取z=1，得=（0，﹣2，1），
∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，
∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；
点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求
法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
3．如图，几何体EF ﹣ABCD 中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD =2，AB =4，∠ADF =90°．
（Ⅰ）求证：AC ⊥FB
（Ⅱ）求二面角E ﹣FB ﹣C 的大小． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 3
π
. 【解析】试题分析：
(Ⅰ)由题意结合线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面FCB ，据此有AC ⊥FB ． (Ⅱ)建立空间直角坐标系，结合半平面的法向量可得二面角E ﹣FB ﹣C 的大小为3
π. 试题解析：
（Ⅰ）证明：由题意得，AD ⊥DC ，AD ⊥DF ，且DC ∩DF =D ， ∴AD ⊥平面CDEF ，∴AD ⊥FC ，
∵四边形CDEF 为正方形．∴DC ⊥FC
由DC ∩AD =D ∴FC ⊥平面ABCD ，∴FC ⊥AC 又∵四边形ABCD 为直角梯形， AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AD =2，AB =4
∴AC =
BC =AC 2
+BC 2
=AB 2
∴AC ⊥BC 由BC ∩FC =C ，∴AC ⊥平面FCB ，∴AC ⊥FB ．
（Ⅱ）解：由（I ）知AD ，DC ，DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，以DA
DC DE ，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz…
可得D （0，0，0），F （0，2，2），B （2，4，0），
E （0，0，2），C （0，2，0），A （2，0，0）， 由（Ⅰ）知平面FCB 的法向量为()2,2,0AC =-
∵()0,2,0EF = ， ()2,2,2FB =-
…
设平面EFB 的法向量为(),,n x y z =
则有0{ 0
n EF n FB ?=?=
即20{ 2220y x y z =+-=
令1z =则()1,0,1n =
设二面角E ﹣FB ﹣C 的大小为θ，有图易知θ为锐角
1cos 2n AC
n AC
θ?==
=? 所以二面角E ﹣FB ﹣C 的大小为3
π
… 点睛：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．
(2)设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与 n >互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 4．在直四棱柱 中， ， . （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）． 【解析】试题分析：(1)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,得两直线方向向量,利用向量数量积得两向量垂直(2)先利用方程组得平面法向量,根据向量数量积求得两向量夹角余弦值,最后根据线面角正弦值与两向量夹角余弦值绝对值相等,得结果 试题解析：以方向分别为 轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 则 （Ⅰ） （Ⅱ）设平面 的法向量为 ， 则 设直线 与平面 所成角为 直线与平面所成角的正弦值为 5．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形， //AB DC ， 90DAB ∠=?， PA ABCD ⊥底面，且1 2 PA AD DC === ， 1AB =， M 是PB 的中点。 （Ⅰ）求证： PAD PCD ⊥平面平面； （Ⅱ）求二面角A CM B --的余弦值。 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 2 3 - 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明面面垂直，只需利用两平面法向量垂直，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积为零得证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，先根据题意建立坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，根据法向量数量积求夹角，再根据二面角夹角与向量夹角关系得二面角A CM B --的余弦值 试题解析： 证明：（Ⅰ）以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图，建立空间直角坐标系，则各点为()0,0,0A ， ()0,2,0B ， ()0,1,0C ， ()1,0,0D ， ()0,0,1P ， 10,1,2M ? ? ??? ， 则()0,0,1AP = ， ()0,1,0DC = ，故0AP DC ?= ，所以AP DC ⊥，由题设知 AD DC ⊥，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC PAD ⊥平面, 又DC 在平面PCD 内,故平面PAD PCD ⊥平面。 （Ⅱ）在MC 上取一点(),,N x y z ，则存在R λ∈，使NC MC λ= ，连接,AN BN ， ()1,1,NC x y z =--- ， 11,0,2MC ?? =- ?? ? ，所以1x λ=-， 1y =， 12z λ=。要 使AN MC ⊥，只要0AN MC ?= ，即102x z -=，解得45λ=。可知当4 5λ=时， N 点坐标为12,1,55?? ???，能使0AN MC ?= ，此时， 12,1,55AN ??= ??? ， 12,1,55BN ?? =- ??? ，所以0BN MC ?= 。由0A N M C ?= ， AN = ， 5BN = ，所以2cos ,3AN BN AN BN AN BN ?==-? ， 故所求二面角的余弦值为23-。 6．如图，正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直， ////AC DG EF ，且2AD DE DG ===， 1AC EF == . （1）求证： ,,,B C G F 四点共面； （2）求二面角E BC F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）取DG 的中点M ，连接FM AM ，，利用平行四边形可证明 BF AM ， AM CG ，根据平行的传递性，可得BF CG BF CG = ，，从而四边 形BFGC 是平行四边形，问题得证； （2）建立空间直角坐标系，利用坐标求平面的法向量，根据向量的夹角公式即可求出. 试题解析： （1）证明：方法1：如图， 取DG 的中点M ，连接FM AM ，， ∵在正方形ABED 中， AB DE ， AB DE =， 在直角梯形EFGD 中， FM DE ， FM DE =， ∴AB FM ， AB FM =，即四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF AM BF AM = ，， ∵在直角梯形ADGC 中， AC MG AC MG = ，，即四边形AMGC 是平行四边形， ∴AM CG AM CG = ，， 由上得BF CG BF CG = ，，即四边形BFGC 是平行四边形， ∴B C G F ，，，四点共面． 方法2：由正方形ABED ，直角梯形EFGD ，直角梯形ADGC 所在平面两两垂直， 易证： AD DE DG ，，两两垂直，建立如图所示的坐标系，则 ()()()()()002202012200210(020A B C E F G ，，，，，，，，，，，，，，，， ，） ∵()()012012BF CG =-=- ，，，，，， ∴BF CG = ，即四边形BCGF 是平行四边形， 故G B C F ，，，四点共面． （2）解：设平面BFGC 的法向量为()111m x y z = ，，， ∵()210FG =- ，，， 则111120{ 20BF m y z FG m x y ?=-=?=-+= ，， 令12y =，则()121m = ，，， 设平面BCE 的法向量为()222n x y z = ，，，且()()210002BC EB =-= ，，，，，， 则22220{ 20BC n x y EB n z ?=-+=?== ，， 令21x =，则()120n = ，，， ∴设二面角E BC F --的平面角的大小为θ， 则 030 c o s m n m n θ ? === ． 点睛：本题考查线线平行，线面垂直，线线垂直的判定及性质以及二面角的余弦，属于中档题.对于第一问，要注意结合图形，特别是中点，寻求平行关系，一般证明四点共面，需要证明平行四边形，对于第二问关键是建系写点的坐标，利用求得的法向量来求二面角的余弦，注意对角是锐角钝角的分析. 7．如图，在三棱锥中，两两垂直，点分别为棱的中点， 在棱上，且满足，已知. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求直线方向向量夹角，最后线线角与向量夹角关系确定结果（2）利用方程组解出各面法向量，再利用向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定结果 试题解析：（1）如图，以为原点，分别以方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得：，，，，， ， 所以，， 于是 ， ， ， 所以，. （2）平面的一个法向量为. 设为平面 的一个法向量， 又 ， 则即 不妨取 ，则 ， 所以 为平面 的一个法向量， 从而, 设二面角的大小为，则. 因为，所以. 因此二面角的正弦值为 . 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 8．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 12AC BC CC ===， AC BC ⊥，点D 是 AB 的中点． ①求证： 1CD B D ⊥． ②求点B 到平面1CDB 的距离． ③求二面角1B B C D --的余弦值的大小． 【答案】（1）见解析；（2 （3 【解析】试题分析：（1）由等腰三角形得CD AB ⊥，由1B B ⊥平面ABC 得1B B CD ⊥，故而可得CD ⊥平面11A B BA ，最后得结论；（2）点B 到平面1CDB 的距离为h ．通过11B BCD B B CD V V --=转化11BCD B CD S B B S h ?=? ，求点B 到平面1CDB 的距离；（3）以C 为坐标原点， CB ， CA ， 1CC 为x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，求出面1BBC 和面1B CD 的法向量，计算法向量的夹角，根据图可判断二面角为锐角，故可得角的大小. 试题解析：（1）∵在等腰Rt ACB 中， D 为斜边AB 中点，∴CD AB ⊥，又∵在直三棱柱1 11A B C A B C - 中， 1B B ⊥平面ABC ， CD ?平面ABC ，∴ 1B B CD ⊥，∵1AB B B B ?=点， AB 、1B B ?平面11A B BA ，∴CD ⊥平面 11A B BA ， 1B D ?平面11A B BA ，∴1CD B D ⊥． （2）设点B 到平面1CDB 的距离为h ，在三棱锥1B BCD -中，∵11B BCD B B CD V V --=，且1B B ⊥平面B C D ，∴11BCD B CD S B B S h ?=? ，易求得1BCD S = ， 111 2B CD S CD B D = ?= 11BCD B CD S B B h S ?== ，即点B 到平面1CDB 的距离是（3）如图， 以C 为坐标原点， CB ， CA ， 1CC 为x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系， () 0,0,0C ， ()12,0,2B C ， ()2,0,0B ， ()2,0,0CB ， ()12,0,2B ， ()1,1,0CD ， ()1,1,0D ， ()1,2,2DB - ．设平面1BB C 的一个法向量(),,n x y z ， 1120{ 20 x z ==， ()0,1,0n = ，设平面1B C D 的一个法向量()222,,m x y z = ， 22220{ 220x y x z +=--=， ()1,1,1m =-- ，∴ cosm n ?= = ，由图 点睛：本题考查了线线垂直的判定，用等体积法求点到面的距离，用空间向量求平面间的夹角，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题；在证明垂直的过程中主要通过线线垂直和面面垂直之间的互相转化，两个平面的法向量之间所成的角与二面角之间相等或互补，主要通过图形来确定. 9．正方体的棱长为，是与 的交点，为 的中点． （I ）求证：直线平面． （II ）求证： 平面 ． （III ）二面角 的余弦值． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3） 【解析】试题分析:（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结论（2）由侧棱垂直底面得，由正方形性质得，因此可由线面垂 直判定定理得平面，同理可得，从而有面 ．（3）利于空间向量求二面角：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，通过解方程组得各面法向量，根据向量数量积求法向量夹角，最后根据法向量夹角与二面角关系确定所求值 （I）连接，在中， ∵为的中点，为的中点， ∴， 又∵面， ∴直线平面． （II）在正方体中， ∵平面，平面， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴面． （III）以为原点，建立空间坐标系， 则，， ，． 易知面的一法向量为， 设面的一法向量为中 ， ∵ ， ， ， ， ，， ∴， 设二面角为， 则 ， 故二面角的余弦值为． 10．如图，在六面体ABCDEFG 中，平面ABC 平面DEFG ， AD ⊥平面DEFG ， ED DG ⊥， EF DG .且2AB AD DE DG ====， 1AC EF ==. （1）求证： BF 平面ACGD ； （2）求锐二面角D CG F --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2） 6 . 【解析】试题分析：（1）取DG 的中点M ，连接AM FM ，，通过EF 平行且等于DM 证明DEFM 是平行四边形，即可证明MF 平行且等于AB ，再证明出ABFM 是平行四边形，然后根据线面平行判定定理即可求证；（2）由AD DE DG ，，两两垂直，故可建立空间直角坐标系，求出二面角的两个平面法向量，通过计算法向量夹角的余弦值， 再根据二面角为锐角即可求出二面角的余弦值. 试题解析：（1）设DG 的中点为M ，连接AM ， FM .易证：四边形DEFM 是平行四边形. ∴MF DE ，且MF DE =. ∵平面ABC 平面DEFG ，∴AB DE ， ∵AB DE =，∴MF AB ，且MF AB =，∴四边形ABFM 是平行四边形， ∴BF AM .又BF ?平面ACGD ， AM ?平面ACGD ， 故BF 平面ACGD . （2）由题意可得， ,,AD DE DG 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系. ()()()0,2,02,1,02,1,0FG =-=- .设平面BCGF 的法向量为()1,,n x y z = ， 则1120 { 20 n FG x y n CG z y ?=-+=?=-+= ，令2y =，则()11,2,1n = . 又平面ADGC 的法向量()21,0,0n = . ∴12 1212 cos ,n n n n n n ?==? = . 由于所求的二面角为锐二面角，∴二面角D CG F -- 11．在如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为正方形，底面ABFE 为直 角梯形， ABF ∠为直角， AE ∥BF ， 1 12 AB BF = =，平面ABCD ⊥平面ABFE . （Ⅰ）求证： BD CE ⊥； （Ⅱ）若AE AB =，求二面角C EF B --的余弦值. 【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) 【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，运用线面垂直的性质定理推证；（2）建立坐空间直角坐标系，运用空间向量求解： （1）∵底面ABFE 为直角梯形， //AE BF ， 90EAB ∠= ， ∴,AE AB BF AB ⊥⊥， ∵平面ABCD ⊥平面ABFE ，平面ABCD ?平面ABFE AB =， ∴AE ⊥平面ABCD ， BF ⊥平面ABCD ， ∴BF BC ⊥， 设AE t =，以,,BA BF BC 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图坐标系， 则()0,0,0B ， ()0,0,1C ， ()1,0,1D ， ()1,,0E t ， ()1,0,1DB =-- ， ()1,,1EC t =-- ， ∵0DB EC ?= ，∴DB EC ⊥. （2）由（1）知()0,0,1BC = 是平面BEF 的一个法向量，设(),,n x y z = 是平面 CEF 的法向量， ∵1AE AB ==，∴()1,1,0E ， ()0,2,0F ，∴()1,1,1CE =- ， ()0,2,1CF - ， 由0CE n ?= ，得0x y z +-=，由0CF n ?= ，得20y z -=，令2z =，得 1,1x y ==，故()1,1, 2n = 是平面C E F 的一个法向量， ∴cos ,n BC n BC n BC ?== ，即二面角C EF B -- 点睛：本题旨在考查空间的直线与平面之间的位置关系以及空间向量在解决空间的角 度、距离等方面的综合运用。解答第一问时，直接借助空间直角坐标系，运用空间向量的有关知识进行推证使得问题获证；第二问的求解过程中，充分借助向量的数量积公式，运用转化与化归的数学思想及数形结合的思想和意识进行求解，从而使得问题简捷、巧妙地获解。 12．如图，在ABC 中， 60ABC ∠=?， 90BAC ∠=?， AD 是BC 上的高，沿AD 把ABD 折起，使90BDC ∠=?． （I ）证明：平面ADB ⊥平面BDC ． （II ）设E 为BC 的中点，求直线AE 与直线DB 夹角的余弦值． 【答案】（I ）见解析；（II . 【解析】试题分析：（I ）由CD BD ⊥， AD CD ⊥，得CD ⊥平面ABD ，进而得证； （II ）以D 为坐标原点，以DC ， DB ， DA 分别为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，用向量求解即可. 试题解析： （I ）证明：∵CD BD ⊥， AD CD ⊥， AD ， BD ?平面ABD ， ∴CD ⊥平面ABD ， ∵CD ?平面BDC ，∴平面BDC ⊥平面ADB ． （II ）如图，以D 为坐标原点，以DC ， DB ， DA 分别为x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系 (A ， 31,,022E ?? ??? ， ()0,1,0B ， ()0,0,0D ， ()0,1,0DB ， 31,,22AE ? ? . 1 cos 22 AE DB ?== ． 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 13．（用空间向量方法）如图，正方体 1111 ABCD A BC D -的棱长为2， E为棱 1 CC的中点． （I）求 1 AD与DB所成角的大小． （II）求AE与平面ABCD所成角的正弦值． （III）求平面 1 AED与平面ABCD所成角的余弦值． 【答案】(1)60?;(2) 1 3 ;(3) 2 3 . 【解析】试题分析:(1)建立空间直角坐标系如图所示,求出 1 AD 和DB 的坐标,代入1 cos AD DB ? ,求出结果即可;(2)写出AE 的坐标,平面A B C D是一个法向量() 0,0,1 n= ，AE与平面ABCD所成角的正弦值为cos AE n? 的绝对值;(3)求出平面1 AED的法向量,代入公式即可. 试题解析 : （I）如图以D为坐标原点， 以DC，DA， 1 DD分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系， ()10,0,2D ， ()0,0,0D ， ()0,2,0A ， ()2,2,0B ． ∴()10,2,2AD - ， ()2,2,0DB ， 112 cosAD DB ?= = ， 由图知， 1AD 与DB 成角为锐角60?． （II ）()2,0,1E ， ()0,2,0A ， ()2,2,1AE - ， 平面ABCD 是一个法向量()0,0,1n = ， ∴1cos 3 AE n ?= = ， ∴AE 与平面ABCD 所成角的正弦值为13 ． （III ）()0,2,0A ， ()2,0,1E ， ()10,0,2D ， ∵()2,2,1AE =- ， ()10,2,2AD =- ， ()12,0,1ED =- ， 设平面1AED 的一个法向量(),,m x y z = ， ∴20{ 220 x z y z -+=-+=， ()1,2,2m = ， ∴ 23 cosm n ?= = ， 平面1AED 与平面ABCD 所成角余弦值为 23 ． 点睛:本题考查线线角,线面角以及二面角大小的求法,属于中档题. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 14．如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直． CE AC ⊥， EF AC ， AB =， 1CE EF ==． （I ）求证： AF 平面BDE ． （II ）求证： CF ⊥平面BDE ． （III ）求二面角A BE D --的大小． 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 30?. 【解析】试题分析:(1) 设AC 与BD 交于点G ，先证明四边形AGEF 为平行四边形，可得AF EG ,由线面平行的判定定理即可证明;(2) 连接FG ，判断出四边形CEFG 为菱形，得到CF EG ⊥,又正方形ABCD 中， BD AC ⊥，且平面ABCD ⊥平面ACEF ，∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF BD ⊥，根据线面垂直的判定定理证明即可;(3)建立空间直角坐标系,写出各点坐标,求出平面ABE 和平面BED 的法向量,代入二面角公式即可求出二面角的大小. 试题解析: （I ）设AC 与BD 交于点G ， ∵EF AC ，且1EF =， 1 12 AG AC ==， ∴四边形AGEF 为平行四边形， ∴AF EG ， ∵EG ?平面BDE ， AF ?平面BDE ， ∴AF 平面BDE ． （II ）连接FG ， ∵EF CG ， 1EF CG ==， 1CE =， ∴四边形CEFG 为菱形， ∴CF EG ⊥， ∴在正方形ABCD 中， BD AC ⊥， 且平面ABCD ⊥平面ACEF ， 空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．考纲要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 三、命题走向 本章内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本章是立体几何的核心内容，高考对本章的考查形式为：以客观题形式考查空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测10年高考对本章内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教 材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 第一课时 空间向量及其运算 一、复习目标：1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 二、重难点：理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 三、教学方法：探析类比归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）、谈最新考纲要求及新课标高考命题考查情况，促使积极参与。 学生阅读复资P128页，教师点评，增强目标和参与意识。 （二）、知识梳理，方法定位。（学生完成复资P128页填空题，教师准对问题讲评）。 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 ②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， 则这些向量叫做共线向量或平行向量。a 平行于b 记作a ∥b 。 注意：当我们说a 、b 共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平 行直线；当我们说a 、b 平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量a （a ≠）、b ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ使b ＝λa （1）对于确定的λ和a ，b ＝λa 表示空间与a 平行或共线，长度为 |λa |，当λ>0时与 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 (1) 线面平行： l ∥α? a ⊥u? a ·u ＝0? a 1a 3＋ b 1b 3＋c 1c 3＝ 0 (2) 线面垂直： l ⊥α? a ∥u? a ＝ku? a 1＝ka 3，b 1＝ kb 3，c 1＝kc 3 (3) 面面平行： α∥β? u ∥v? u ＝kv? a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4) 面面垂直： α⊥β? u ⊥v? u ·v ＝ 0? a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥 P-ABCD 中， PA ⊥底面 ABCD ， 的中点， PA ＝AB ＝1， BC ＝2. (1) 求证： EF ∥平面 PAB ； (2) 求证：平面 PAD ⊥平面 PDC. ［证明］ 以 A 为原点， AB ，AD ，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立 空 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)， D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E 12，1，12 ， uuur uuur uuur 1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)， uuur ∥AB ，即 EF ∥AB. 又 AB? 平面 PAB ， EF? 平面 PAB ，所以 EF ∥平面 PAB. uuur uuur uuur uuur (2)因为 AP ·DC ＝(0,0,1) (1,0·,0)＝ 0， AD ·DC ＝(0,2,0) (1,0·,0)＝0， uuur uuur uuur uuur 所以 AP ⊥ DC ， AD ⊥ DC ，即 AP ⊥DC ，AD ⊥DC. 又 AP ∩ AD ＝ A ，AP? 平面 PAD ，AD? 平面 PAD ，所以 DC ⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC ， 直线 l 的方向向量为 a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面 α， β的法向量 u ＝ (a 3，b 3，c 3)， v ＝(a 4，b 4，c 4) 1 uuur 1 uuur F 0 ， 1， 2 ，EF ＝ －2， 0， 0 ，PB ＝ (1,0， uuur uuur E ， F 分别是 PC ， PD 间直角坐标系如图所示，则 DC ＝(1,0,0)， AB ＝(1,0,0)． uuur 1uuur uuur (1)因为 EF ＝－ 2AB ，所以 EF 向量法解立体几何 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为PQ =u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法 用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）． 空间向量在立体几何中的应用 教学目标: （1）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。 （2）能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直 （3）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题 重点与难点: 用向量方法解决线面角、二面角问题 教学过程： 1.利用空间向量求两异面直线所成的角的方法及公式为: 异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 2.利用空间向量求直线与平面所成的角的方法及公式为: 线面角 设是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3.利用空间向量求二面角的方法及公式为: 二面角)1800(00≤≤θθ 设 分别为平面 的法向量，则θ与 互补或相等， 注意：运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为： （1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。 例1：已知三棱锥P －ABC 中，PA ⊥ABC ，AB ⊥AC ，PA=AC=1 2AB ，N 为AB 上一点， AB=4AN,M,S 分别为PB,BC 的中点. （1）证明：CM ⊥SN ； （2）求SN 与平面CMN 所成角的大小. 分析：本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解：设PA ＝1，以A 为原点，射线AB 、AC 、AP 分别为x,y,z 轴正方向建立空间直角坐标 系，如图。 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 12)，N(12,0,0)，S(1,1 2,0) （1） 111(1,1,),(,,0), 222 11 00 22 1 (II)(,1,0), 2 (,,)CMN 022,(2,1,2) 1021 -1-22|cos |= 22 32 SN CMN CM SN CM SN CM SN NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=? 因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o 45角为 例2：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥， 2AB EF =，90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 分析：本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 解： ,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥ 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 A E F B C D H G X Y Z 空间向量与立体几何 1, 如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD （1）证明AB⊥平面VAD； （2）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小 2, 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E为PD的中点. （1）求直线AC与PB所成角的余弦值； （2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.(易错点,建系后,关于N点的坐标的设法,也是自己的弱项) 3. 如图，在长方体ABCD ―A 1B 1C 1D 1中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ； （2）当E 为AB 的中点时，求点A 到面ECD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角 D 1―EC ―D 的大小为(易错点:在找平面DEC 的法向量的时候,本来法向量就己经存在了,就不必要再去找,但是我认为去找应该没有错吧,但法向量找出来了 ,和那个己经存在的法向量有很大的差别,而且,计算结果很得杂,到底问题出在哪里 ?) 4.如图，直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2DC ＝2，E 为BD 1的中点，F 为AB 的中点，∠DAB ＝60°． (1)求证：EF ∥平面ADD 1A 1； (2)若2 21BB ，求A 1F 与平面DEF 所成角的正弦值． N：5题到11题都是运用基底思想解题 5.空间四边形ABCD中，AB=BC=CD，AB⊥BC，BC⊥CD，AB与CD成60度角，求AD与BC所成角的大小。 6.三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，∠A1AB=45°, ∠A1AC=60°,求二面角B-AA1-C的平面角的余弦值。 7.如图，60°的二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8，求CD的长 8.如图，已知空间四边形OABC中，OB=0C, ∠AOB=∠AOC=Θ，求证OA⊥BC。 9．如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC的中点，连接DE。 （1）计算DE的长； （2）求点O到平面ABC的距离。 10．如图，线段AB在平面⊥α，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD与平面α所成的角。 利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos 则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b r r g r r （２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r 是平面α的法向量， 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r 则斜线l （３）求二面角 方法一：在α内a r l ⊥，在β内b r l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角 α=arccos |||| a b a b r r g r r 方法二：设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=1212arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n r 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a r 、 b r 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 . 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD， 点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA=PD=，AB=4． 的中点；PB（1）求证：M为 的大小；A2）求二面角B﹣PD﹣（ 所成角的正弦值．BDP（3）求直线MC与平面 【分析】（1）设AC∩BD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OM∥PD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点； （2）取AD中点G，可得PG⊥AD，再由面面垂直的性质可得PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG，再证明OG⊥AD．以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B﹣PD﹣A的大小； （3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：如图，设AC∩BD=O， ∵ABCD为正方形，∴O为BD的中点，连接OM， ∵PD∥平面MAC，PD?平面PBD，平面PBD∩平面AMC=OM， ∴PD∥OM，则，即M为PB的中点； （2）解：取AD中点G， . . ∵PA=PD，∴PG⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD， ∴PG⊥平面ABCD，则PG⊥AD，连接OG，则PG⊥OG， 由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OG∥DC，则OG⊥AD． 以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系， 由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（﹣2，0，0），P（0，0，），C （2，4，0），B（﹣2，4，0），M（﹣1，2，）， ，． 空间向量与立体几何的教学反思 本部分是高三理科数学复习的一个重要部分，是数学必修4“平面向量”在空间的推广，又是数学必修2“立体几何初步”的延续，努力使学生将运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步发展空间想象能力和几何直观能力。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角(“立体几何初步”侧重于定性研究，本章则侧重于定量研究)。空间向量的引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。 进一步体会向量方法在研究几何问题中的作用。向量是一个重要的代数研究对象，引入向量运算，使数学的运算对象发生了一个重大跳跃：从数、字母与代数式到向量，运算也从一元到多元。向量又是一个几何对象，本身既有方向，又有长度；是沟通代数与几何的一个桥梁，是一个重要的数学与物理模型，这些也为进一步学习向量和研究向量奠定了一定的基础。 利用向量来解决立体几何问题是学习这部分内容的重点，要让学生体会向量的思想方法，以及如何用向量来表示点、线、面及其位置关系 一、现将原大纲目标与新课程目标进行简单的比较： 《标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的 过程，目的是让学生体会数学的思想方法（类比与归纳），体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题。同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质。掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求，是后续学习的前提。 新老课程相比，该部分减少了大量的综合证明的内容，重在对于图形的把握，发展空间概念，运用向量方法解决计算问题，这样的调整，将使得学生把精力更多地放在理解数学的细想方法和本质方面，更加注意数学与现实世界的联系和应用，重在发展学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识，提高学生自觉运用数学分析问题、解决问题的能力，为学生日后的进一步学习，或工作、生活中应用数学，打下更好的基础。 二、教学要求 本章从数量表示和几何意义两方面，把对向量及其运算的认识从二维情形提升到三维情形。这是“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程。 本章以立体几何问题为载体，体现向量的工具作用和向量方法的基本步骤和原理，再次渗透符号化、模型化、运算化和程序化的数学思想。主要要思想方法是： （1）类比、猜想、归纳、推广（让学生经历由平面向空间推广的过程）； （2）能灵活选择向量法、坐标法与综合法解决立体几何问题。 微专题64 利用空间向量解立体几何问题 一、基础知识 （一）刻画直线与平面方向的向量 1、直线：用直线的方向向量刻画直线的方向问题，而方向向量可由直线上的两个点来确定 例如：()()2,4,6,3,0,2A B ，则直线AB 的方向向量为()1,4,4AB =-- 2、平面：用平面的法向量来刻画平面的倾斜程度，何为法向量？与平面α垂直的直线称为平面α的法线，法线的方向向量就是平面α的法向量，如何求出指定平面的法向量呢？ （1）所需条件：平面上的两条不平行的直线 （2）求法：（先设再求）设平面α的法向量为(),,n x y z =，若平面上所选两条直线的方向向量分别为()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则可列出方程组： 1112220 x y z x y x y z x y z z ++=?? ++=? 解出,,x y z 的比值即可 例如：()()1,2,0,2,1,3a b ==，求,a b 所在平面的法向量 解：设(),,n x y z =，则有20230x y x y z +=??++=? ，解得：2x y z y =-??=? ::2:1:1x y z ∴=- ()2,1,1n ∴=- （二）空间向量可解决的立体几何问题（用,a b 表示直线,a b 的方向向量，用,m n 表示平面 ,αβ的法向量） 1、判定类 （1）线面平行：a b a b ?∥∥ （2）线面垂直：a b a b ⊥?⊥ （3）面面平行：m n αβ?∥∥ （4）面面垂直：m n αβ⊥?⊥ 2、计算类： （1）两直线所成角：cos cos ,a b a b a b θ?== 高中 数学选修（2-1）空间向量与立体几何测试题 一、选择题 1．若把空间平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的始点放置在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ） Ａ．一个圆 Ｂ．一个点 Ｃ．半圆 Ｄ．平行四边形 答案：Ａ 2．在长方体1111ABCD A B C D -中，下列关于1AC u u u u r 的表达中错误的一个是（ ） Ａ．11111AA A B A D ++u u u r u u u u r u u u u r Ｂ．111AB DD D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｃ．111AD CC D C ++u u u r u u u u r u u u u u r Ｄ．11111()2 AB CD AC ++u u u u r u u u u r u u u u r 答案：Ｂ 3．若，，a b c 为任意向量，∈R m ，下列等式不一定成立的是（ ） Ａ．()()a b c a b c ++=++ Ｂ．()a b c a c b c +=+··· Ｃ．()a b a b +=+m m m Ｄ．()()a b c a b c =···· 答案：Ｄ 4．若三点，，A B C 共线，P 为空间任意一点，且PA PB PC αβ+=u u u r u u u r u u u r ，则αβ-的值为（ ） Ａ．1 Ｂ．1- Ｃ． 1 2 Ｄ．2- 答案：Ｂ 5．设(43)(32)a b ==，，，，，x z ，且∥a b ，则xz 等于（ ） Ａ．4- Ｂ．9 Ｃ．9- Ｄ． 649 答案：Ｂ 6．已知非零向量12e e ，不共线，如果1222122833e e e e e e =+=+=-u u u r u u u r u u u r ， ，AB AC AD ，则四点，，，A B C D （ ） Ａ．一定共圆 Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心 Ｃ．一定共面 Ｄ．肯定不共面 答案：Ｃ 3.2立体几何中的向量方法 第一课时 立体几何中的向量方法（1） 教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示； ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式； ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？ 2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？ ⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝a b a b ??，可求两个向量的数量积或夹角 问题； ⑵利用性质a ⊥b ?a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题． 二、例题讲解 1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥． 证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ． ∵OA BC ⊥，OB AC ⊥， ∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -=． ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA =． ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0． ∴OC AB ⊥ 2. 出示例2：如图，已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD ⊥AB ，线段'DD α⊥，'30DBD ∠=，如果AB ＝a ，AC ＝BD ＝b ，求C 、D 间的距离． 解：由AC α⊥，可知AC AB ⊥． 由'30DBD ∠=可知，＜,CA BD ＞＝120， ∴2||CD ＝2()CA AB BD ++＝2||CA ＋2||AB ＋2||BD ＋2(·CA AB ＋·CA BD ＋·AB BD ) ＝22222cos120b a b b +++＝22a b +． ∴CD 3. 出示例3：如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -的 棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 解：∵MN ＝1(')2CC BC +，'CD ＝'CC CD +， ∴·'MN CD ＝1(')2CC BC +·(')CC CD +＝12 (2|'|CC ＋'CC CD ＋·'BC CC ＋·BC CD )． ∵'CC CD ⊥，'CC BC ⊥，BC CD ⊥，∴'0CC CD =，·'0BC CC =，·0BC CD =， ∴·'MN CD ＝122|'|CC ＝12． …求得 cos ＜,'MN CD ＞12 =，∴＜,'MN CD ＞＝60. 4. 小结：利用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示式，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算去计算或证明． 利用空间向量解立体几何(完整版) ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 向量法解立体几何 引言 立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。教材上讲的比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，给老师对这部分内容的教学及学生解有关这部分内容的题目造成一定的困难，下面主要就这几方面问题谈一下自己的想法，起到一个抛砖引玉的作用。 基本思路与方法 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为222212121()()()PQ x x y y z z =-+-+-u u u r 2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ u u u r 在法向量(),n A B =上的射影 PQ n n ?u u u r = 002 2 Ax By C A B +++ 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ u u u r ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ u u u r 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： 用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD . 第三章空间向量与立体几何 空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量向量是怎样表示的呢 ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向 量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢 ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27． Ⅱ.新课讲授 ［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢相等的向量又是怎样表示的呢［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量． ［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的． 向量法解立体几何 一、基本工具 1.数量积： cos a b a b θ?= 2.射影公式：向量a 在b 上的射影为 a b b ? 3.直线0Ax By C ++=的法向量为 (),A B ，方向向量为 (),B A - 4.平面的法向量（略） 二、用向量法解空间位置关系 1.平行关系 线线平行?两线的方向向量平行 线面平行?线的方向向量与面的法向量垂直 面面平行?两面的法向量平行 2.垂直关系 线线垂直（共面与异面）?两线的方向向量垂直 线面垂直?线与面的法向量平行 面面垂直?两面的法向量垂直 三、用向量法解空间距离 1.点点距离 点()111,,P x y z 与()222,,Q x y z 的 距离为(PQ x =2.点线距离 求点()00,P x y 到直线:l 0Ax By C ++=的距离： 方法：在直线上取一点(),Q x y ， 则向量PQ 在法向量(),n A B =上的射影PQ n n ? = 即为点P 到l 的距离. 3.点面距离 求点()00,P x y 到平面α的距离： 方法：在平面α上去一点(),Q x y ，得向量PQ ， 计算平面α的法向量n ， 计算PQ 在α上的射影，即为点P 到面α的距离. 四、用向量法解空间角 1.线线夹角（共面与异面） 线线夹角?两线的方向向量的夹角或夹角的补角 2.线面夹角 求线面夹角的步骤： ① 先求线的方向向量与面的法向量的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角； ②再求其余角，即是线面的夹角. 3.面面夹角（二面角） 若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. 用空间向量解立体几何题型与方法 一．平行垂直问题基础知识 直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α，β的法向量u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4) (1)线面平行：l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 (2)线面垂直：l⊥α?a∥u?a＝k u?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3 (3)面面平行：α∥β?u∥v?u＝k v?a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4 (4)面面垂直：α⊥β?u⊥v?u·v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，P A＝AB＝1，BC＝2. (1)求证：EF∥平面P AB； (2)求证：平面P AD⊥平面PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面 的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． 求证：(1)B1D⊥平面ABD； (2)平面EGF∥平面ABD. 二．利用空间向量求空间角基础知识 (1)向量法求异面直线所成的角：若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所 成的角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝|a·b| |a||b|. (2)向量法求线面所成的角：求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角 为θ，则sin θ＝|cos〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|. (3)向量法求二面角：求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2， 若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|； 若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2| |n1||n2|. 例1、如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点． (1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值； (2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．空间向量与立体几何(整章教案)
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