2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)
【试卷综析】：考卷总体来说知识考查较为全面，双基考查仍是重点，在此基础上，综合性更加强，大部分题目难易适中，但也有个别题目较难，学生做起来比较吃力。 【题文】第Ⅰ卷（选择题 共50分）
【题文】1.已知集合{}2|0log 2A x x =<<，{}
|32,x B y y x R ==+∈，则A
B 等于
A. {}|24x x <<
B. {}|14x x <<
C. {}|12x x <<
D {}
|1x x >
【知识点】集合运算. A1 【答案】A 【解析】 解析：{}{}|14,|2A x x B y y =
<<=>，所以
A B =
{}|24x x <<,故选A.
【思路点拨】分别求出集合A 、B,在求A
B .
【题文】2.执行如图所示的程序框图，则输出结果为
A.15
B.16
C.25
D.36
【知识点】算法与程序框图. L1
【答案】C 【解析】 解析：循环过程执行的结果依次是：（1）s=1,k=2; (2)s=4,k=3; (3)s=9,k=4;
(4)s=16,k=5; (5)s=25,k=6.∵k=6>5,∴输出S 为25.故选C. 【思路点拨】依次写出循环过程执行的结果即可.
【题文】3.21x x π
?
?- ??
?展开式的二项式系数和为64，则其常数项为
A.-20
B.-15
C.15
D.20
【知识点】二项式定理. J3
【答案】C 【解析】 解析：由已知得：2646n
n =?=，所以
()()2612316611r
r r r r
r r T C x C x x --+??=-=- ?
??
，由12304r r -=?=，所以其常数项为 ()4
46115C -=，故选 C.
【思路点拨】由二项式系数性质得n 值，再由通项得展开式的常数项.
【题文】4.某校为了解本校高三学生学习心里状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40
人参加某种测试，为此将题目随机编号1,2,,800，分组后再第一组采用简单随机抽样的方法抽到号码为18，抽到的40人中，编号落入区间[]
1,200的人做试卷A ，编号落入区间
[]201,560的人做试卷B ,其余的人做试卷C ，则做试卷C 的人数为
A.10
B.12
C.18
D.28
【知识点】抽样方法. I1
【答案】B 【解析】 解析：设抽到的学生的编号构成数列{}n a ，则
18(1)20202n a n n =+-?=-，由*560202800,n n N <-≤∈得，1940n ≤≤，19到
40有12个整数，故选 B.
【思路点拨】根据系统抽样的定义求解.
【题文】5.已知双曲线C 的中心在原点，焦点再x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于60°，则双曲线C 的离心率等于
A.
23
3
B. 2
C. 3
D.2
【知识点】双曲线的性质. H6
【答案】D 【解析】 解析：由已知得222
22
tan 60333b b c a a a a -==?=?
=， ∴2
42e e =
?=，故选D.
【思路点拨】根据双曲线的定义及性质求解. 【题文】6.函数()cos sin y x =的图像大致是
【知识点】函数图像. B8
【答案】B 【解析】 解析：函数()cos sin y x =是偶函数、函数值恒大于0且在x=0处函数取得最大值，故选B.
【思路点拨】通过分析函数的性质判定结论.
【题文】7.已知集合()()()(){}
22210,,|30,,,|22,01x y A x y x y B x y x y R R x ?+-≤?
????
=--≤-+-≤>??????≥???
.
且A B φ≠, R 的最小值为
A.
23
2
B. 5
C. 3
D.5
【知识点】线性规划的应用. E5
【答案】B 【解析】 解析：画出集合 A 表示的可行域，由图可知，圆心（2,2）到可行域的顶点（1,0）的距离5为R 的最小值，故选 B. 【思路点拨】利用图形分析R 取得最小值的条件.
【题文】8.在ABC ?中，3AB =,4AC =,5BC =,若I 为ABC ?的内心，则·
CI CB 的值为
A.6
B. 10
C. 12
D.15
【知识点】向量的数量积. F3
【答案】D 【解析】 解析：设ABC ?的内切圆半径r ，由
()11
34534122
r r ++=???=， 所以CI=10，又244310
cosC 2cos 1cos 525210
C C =
?-=?=
，所以 310
·1051510
CI CB =??
=，故选D. 【思路点拨】先求出内切圆半径，由勾股定理得CI 长，再求出∠ICB 的余弦值，最后由数量积定义求得结论.
【题文】9. ()n A n N ∈系的纸张规格如图，其特点是：①012,,,n A A A A 所有规格的纸张
的长宽比都相同； ②0A 对裁后可以得到两张1A , 1A 对裁后可以得到两张21,
n A A -对裁
后可以得到两张n A , 若每平方厘米重量为b 克的012,,,
n A A A A 纸各一张，其中4A 纸的
较短边的长为a 厘米，记这()n+1张纸的重量之和为1n S +，则下列判断错误的是
A.存在
n N ∈，使得21322n S a b +=
B. 存在 n N ∈，使得21162n S a b +=
C.对于任意n N ∈，都有21322n S a b +=
D. 对于任意n N ∈，都有21162n S a b +=
【知识点】等比数列及其前n 项和. D3
【答案】A 【解析】 解析：设每张纸的长宽比为k ，则4A 纸的长为ka ，则0A 纸的长8a,宽4ka ，由
824a
k k ka
=?，所以0A 的重量为：2322a b ，而012,,,
n A A A A ，
纸的重量构成以
1
2
为公比的等比数列，所以 2
121
11
322121642112
12
n n n a b S a b +++骣÷?÷-?÷?骣÷
桫÷?÷==-?÷?÷桫-，易知当n=0时21322n S a b += ，所以存在 n N ∈，使得21322n S a b += ，故选A. 【思路点拨】求出纸张的长宽比，判定012,,,n A A A A ，纸的重量构成等比数列，利用等比
数列的前n 项和公式求得1n S +，从而确定结论.
【典例剖析】本题比较典型，求出一张纸的长宽比是关键.
【题文】10．在等边ABC ?中，6AB =,且D ,E 是边BC 的两个三等分点，则AD AE 等于
A. 18
B. 26
C. 27
D. 28 【知识点】向量的数量积. F3
【答案】B 【解析】解析：因为12,33A D A B BC A E A B BC =+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
,所以
12()()33
A D A E
A B BC A B
BC ?+?uuu r uuu r
uuu r uuu r uuu r uuu r =2
22()()9
A B BC A B BC +?uuu r uuu r uuu r uuu r =2
22666
cos1206269
+创+
?o ，故选B.
【思路点拨】把所求数量积中的两向量，用已知模和夹角的两向量表示. 【题文】第Ⅱ卷（选择题 共50分）
【题文】11.已知z C ∈且()1+z i i =，则z 等于_________ 【知识点】复数及其有关概念. L4
【答案】2【解析】 解析：()2
2
z 1112i =-=+-=.
【思路点拨】根据复数模的意义求解.
【题文】12.设等差数列n a 的前n 项和为n S ，且2412a a +=，则5=S _______ 【知识点】等差数列的性质及前n 项和. D2
【答案】30【解析】 解析：因为2412a a +=，所以152412a a a a +=+=， 所以()
1555302
a a S +=
=. 【思路点拨】根据等差数列的性质及前n 项和公式求解.
【题文】13.在ABC ?中，
6
ABC π
∠= ,3AB = ,3BC =，若在线段BC 上任取一点D ,
则BAD ∠为锐角的概率是______
【知识点】几何概型的概率公式的应用. K3
【答案】2
3
【解析】 解析：当∠BAD 是直角时，BD=2，使BAD ∠为锐角的线段BD 的取值
范围是（0,2），所以所求概率为
2
3
. 【思路点拨】根据几何概型的概率公式，只需求出使BAD ∠为锐角的线段BD 的长，此长除以线段BC 的长度为所求.
【题文】14.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则三棱锥111B A B C -与三棱锥
111A A B D -公共部分的体积等于_______
【知识点】几何体的结构，几何体的体积. G1
【答案】
1
3
【解析】 解析：设11
11
11,AC B D M AB A B N ??,取11A B 中点P ，则
三棱锥111B A B C -与三棱锥111A A B D -公共部分11A MNB -的体积为
1
1
1
122111323
A MNP V -=创创?. 【思路点拨】画出图行可知两三棱锥公共部分的结构，从而利用三棱锥的体积公式求解. 【题文】15.定义在R 上函数()f x 满足：()()f x f x -=，()()22f x f x +=-，若取芯
()y f x =在1x =-处的切线方程30x y -+=，该曲线在5x =的切线方程为________
【知识点】函数的性质. B4
【答案】70x y +-=【解析】解析：由已知得，函数既关于y 轴对称又关于直线x=2
对称，所以此函数的周期为4，且在x= -1与x=1处的切线关于y 轴对称，因为()y f x =在
1x =-处的切线方程30x y -+=，所以()y f x =在1x =处的切线方程为y= -x+3,而x=5
与x=1的距离4是一个周期，所以()y f x =在1x =处的切线，向右平移4个单位为曲线在
5x =的切线，所以该曲线在5x =的切线方程为()4370y x x
y =--+?-=.
【思路点拨】根据函数的对称性，及平移变换得结论. 【题文】三、解答题：
【题文】16.已知函数()1
sin cos cos 22
f x x x x =+， （Ⅰ）若tan 2θ=，求()f
θ的值；
（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由函数()y f x =的图像上所有的电向右平移4
π
个单位长度而得到，且()g x 在()0,m 内是单调函数，求实数m 的最大值。
【知识点】二倍角公式，同角三角函数关系，两角和与差的三角函数，三角函数的图像与性质. C2 C5 C6 C3
【答案】（Ⅰ）
110；（Ⅱ）38
p
【解析】 解析：（Ⅰ）因为t an 2q =，所以sin 2cos q q =. 代入2
2
sin cos 1q q +=得2
1
cos 5
q =
. 所以()
2211
()sin cos cos22cos 2cos 122
f q q q q q q =+
=+- =2
11
3cos 210
q -
=. （Ⅱ）由已知得112()sin 2cos2sin(2)2224
f x x x x p =
+=+ 依题意得2()sin 2244g x x p p 轾骣÷?犏÷=-+?÷犏?÷?桫犏臌
，即2()sin(2)24g x x p =-.
因为()0,x m ?，所以2,2444
x m p p p 骣÷
?÷-?-?÷?÷桫. 又因为()g x 在区间()
0,m 内是单调函数，所以242
m p p -
，即38m p
￡，
故实数m 的最大值为
38
p
. 【思路点拨】（Ⅰ）利用同角三角函数关系及二倍角公式求解；（Ⅱ）由平移变换得
2()sin(2)24
g x x p
=
-，再由()g x 在区间()0,m 内是单调函数得m 取值范围. 【题文】17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，AD BC ，
BAD ∠=90°，PD ⊥平面ABCD ,3AD AB PD ===,1BC =,过AD 作一平面分别相交PB ,PC 于电,E F （Ⅰ）、求证AD EF （Ⅱ）、设1
3
BE BP =
，求AE 于平面PBC 所成的角的大小
【知识点】空间中的位置关系，空间角的求法. G4 G5 G10 G11
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
3
p
. 【解析】解析：（Ⅰ）,AD BC AD ?Q P 平面PBC ，BC ì平面PBC ，∴AD ∥平面PBC. 又∵AD ì平面ADEF,平面PBC ?平面ADEF=EF ，∴AD ∥EF 。 （Ⅱ）如图：
∵PD ⊥平面ABCD ，PD ì平面PAD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD 。
在平面PAD 内，过点A 作AG ⊥AD ，则AG ⊥平面ABCD 。
∵∠BAD=90°，∴以A 为坐标原点，分别以,,A B A D A G uuu r uuu r uuu r
的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，
建立空间直角坐标系，则A （0,0,0），B(3，0，0)，C （3,1,0），D （0,3,0），P （0,3,3），
(3,3,3),(0,1,0).BP BC =-=uuu r uuu r
设平面PBC 的法向量()111,,n x y z =u r ，由00n BP n BC ì????í?????
u r uuu r u r uuu r 得111133300x y z y ì?-++=?í?=?? 取11,x =则11z =，故平面PBC 的一个法向量()1,01n =u r
设点E 的坐标为（x,y,z ），由13
BE BP =uuu r uuu r ,得()()1
3,,3,3,33x y z -=-
解得211x y z ì?=???=í??=???
，故E （2,1,1），∴()2,1,1A E =uuu r
设AE 与平面PBC 所成的角的大小为q ，
则33
sin cos ,2
62
||||A E n A E n A E n q ×=狁
===
××uuu r u r uuu r u r
uuuu r u u r . 又
0,2p q 轾犏?犏臌
，所以3p q =.
故AE 与平面PBC 所成的角为
3
p . 【思路点拨】（Ⅰ）由线面平行的判定与性质证明结论；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用空间向量求解.
【题文】18.“抢红包“的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味。”抢红包“有多种玩法，小明参加一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[]1,9，让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中,A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[]6,9，让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以评分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发个朋友C ，同时给出金额所在区间[]8,9，让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以评分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回小明的账户。 （Ⅰ）、求A 恰好得到3元的概率
（Ⅱ）、设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望
(Ⅲ)、从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和?并说明理由
【知识点】古典概型，相互独立事件的概率，互斥事件的概率，随机变量分布列，数学期望. K2 K4 K5 K6 K8
【答案】【解析】（Ⅰ）
1
3
；（Ⅱ）所以X 得分布列为
()3E X =；
（Ⅲ）不能，理由：见解析.
解析：（Ⅰ）记“A 恰好得到3元”的事件为M ，则()
83
119423
p M =创=. （Ⅱ）X 可能变得取值为0, 3, 4.5, 9. 由（Ⅰ）得18311
(3),(0)39423
P X P X ==
==创=,
8121( 4.5),(9)9499
P X P X ==
?==. 所以X 得分布列为
()1
12103 4.5933
3
9
9
E X =?
?
?
?
.
（Ⅲ）设B 得到的金额为Y 元，则Y 的可能取值为0, 3, 4.5.
18314(0)99429P Y ==
+创=,8311(3)9423
P Y ==创= 812( 4.5)94
9
P Y ==
? 所以Y 的分布列为
412()03 4.529
3
9
E Y =?
?
?
.
设C 得到的金额为Z 元，则Z 的可能取值为0，3.
1818312(0)9949423P Z ==
+?创=,8311
(3)9423
P Z ==创=. 所以Z 的分布列为
21()0313
3
E Z =?
?
.
因此()()()E X E Y E Z =+.
所以从统计学的角度而言，A 所获得的金额不能超过B 和C 两人所获得的金额之和. 【思路点拨】（Ⅰ）利用古典概型的概率公式求解；(Ⅱ)先写出X 的所有可能取值，然后求X 取各值时的概率，得X 的分布列，进而求得随机变量X 的期望；（Ⅲ）再分别求出B 、C 两人所得金额的期望，与A 所得金额的期望比较得结论.
【题文】19.已知椭圆()2222:10x y E a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F 及椭圆的短轴
端点为顶点的三角形是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1
(Ⅰ)、求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)、如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交于y 轴于点P ，过点
M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q ,求证：12,,F ,,F Q M P 五点共圆
【知识点】圆的方程与性质，椭圆的标准方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系.H3 H5 H8
【答案】（Ⅰ）22
143
x y +=；（Ⅱ）证明：见解析.【解析】 解析：（Ⅰ）如图：
因为12AF F ?是等边三角形，所以a=2c.
又因为椭圆的右顶点到右焦点的距离为1，所以a-c=1. 所以a=2,c=1,从而3b =.
故椭圆E 的方程为22
143
x y +=. （Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0.
设直线l 的方程为y=kx+m. 由22
143
k y y x m x ==+?+????
得()222
4384120k x mkx m +++-= 令0?=，即()()
222264164330m k k m -+-=，化简得：22
430m k =+>
设()11,M x y ，则121
2443343mk x k m y k ?=-??+??=
?+?
即1143k x m
y m ?
=-????=?? 即M(43,k m m -
) 又因为直线MQ ⊥PM ，所以直线MQ 的方程为314k y x m k m ??
-
=-+ ???
， 由3140
k y x m k m x ???
-=-+? ?????=?
得10,Q m ?
?- ???.
又由0
y kx m
x =+??
=? 得P(0，m).
由（Ⅰ）知12(1
,0),(1,0)F F -， 所以()()221111
1,,1,,1,1,PF m QF PF m QF m m
骣骣鼢珑鼢=-==--=-珑鼢珑鼢桫桫uuu r uuu r uuu r uuu r ， 所以()()22
11
1
110,10PF QF m PF QF m m
m
?+-?
?+-?
uuu r uuu r
uuu r uuu r ，
所以2211,PF QF PF QF ^^.
又PM QM ^,所以点12,,,,F Q F M P 都在以PQ 为直径的圆上.
故12,,,,F Q F M P 五点共圆.
【思路点拨】（Ⅰ）根据已知得关于a 、b 、c 的方程组求解；(Ⅱ)因为PM QM ^,所有要证12,,,,F Q F M P 五点共圆，只需证2211,PF QF PF QF ^^，为此，利用直线与圆锥曲线的位置关系，及向量垂直的条件证得结论.
【题文】20.已知函数()()2*2
1n nx ax
f x n N x -=∈+的图象在点()()0,0n f 处的切线方程为y x =-. (Ⅰ)求a 的值及1()f x 的单调区间
(Ⅱ)是否存在实数k ，使得射线()3y kx x =≥-与曲线()1y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由 (Ⅲ)设12,,
n x x x ，为正实数，且121n x x x +++=L ，
证明：()()()120n n n n f x f x f x ++
+≥
【知识点】导数的几何意义，导数的应用. B12 【答案】（Ⅰ）a=1, 1()f x 的递增区间为(
)(
),12,12,-?-
-+
+
；递减区间为
()
12,12--
-+. （Ⅱ）
，存在实数k 使得射线y=kx(3x ?)与曲线1()y f x =有三
个交点，且k 的取值范围是122
12,11,0,2
52骣骣纟--?+ 珑?鼢ú珑---?鼢珑鼢?ú?珑鼢è
珑桫桫?U U . (Ⅲ)证明：见解析.
【解析】解析：（Ⅰ）因为22
()1
n nx ax
f x x -=+， 所以()()(
)
()
()
()
2
222
2
2
2
2122()11
n nx a x nx ax x ax nx a
f x x x
-+--+-￠
==
++
因为曲线()
n y f x =在点()()
0,0n f 处切线方程为y=-x,所以(0)1n f ￠=-， 即11a a
-=-?. 于是()
22
2
21
()1
n x nx f x x
+-￠=
+.
由1()0f x ￠>，即
()22
2
21
01
x x x +->+，解得12,x <--或12x >-+；
由1()0f x ￠<，即
()
22
2
21
01
x x x
+-<+，解得1212x --<<-+
所以1()f x 的递增区间为()(
),12,12,-?--+
+
；
递减区间为(
)
12,12--
-+.
（Ⅱ）由221x x y x y kx ì?-?=?í+??=???
，消去y 得221x x kx x -=+，即x=0或211x k x -=+. 要使射线y=kx(3x ?
)与曲线1()y f x =有三个交点，
只要方程2
11
x k x -=+，即2
10kx x k -++=有两个大于或等于-3且不等于0的不等实根.
① 当k=0 时，2
10kx x k -++=可化为-x+1=0,解得x=1,不符合要求； ② 当k ≠0时，令2()1g x kx x k =-++.
由()()30000132kg g k ì?- ????1??íD >?????>-???，即(104)01014(1)0132k k k k k k ì?+ ???+ ???í-+>?????-???，即2
051
1212221
6
k k k k k k ì??? ?????
???í---+?<???
或或
解得1212
2
0,,225
k k -+--<<
综上，存在实数k 使得射线y=kx(3x ?
)与曲线1()y f x =有三个交点，
且k 的取值范围是12212,11,0,252骣骣纟--?+ 珑
?鼢ú珑---?鼢珑鼢?ú?珑鼢è珑桫桫
?U U .
(Ⅲ)证明：因为22()1n nx x f x x -=+，()
22
221
()1
n x nx f x x +-￠=+， 所以1()0n f n =，2
2
1()1n n f n n
￠=+. 所以曲线()n y f x =在点11,n f n n 骣骣÷琪?÷÷??÷÷??÷÷?桫桫
处的切线方程为2211n y x n
n 骣÷
?÷=-?÷÷?+桫. 当0 ()()()() 2 2 2222222111()011111 n n x nx n nx x n f x x x n n n x n x n 骣骣---鼢珑鼢--=--= 珑鼢珑鼢+++桫桫++ 故 2 2 1()1n n f x x n n 骣÷ ?÷??÷ ?÷+ 桫 . 因为 0, 1, i x i >=L ，且 121n x x x +++=L ， 所以01,1,2,3,i x i <<=L n. 所以2 2 1(),1,2,.1n i i n f x x i n n n 骣 ÷ ?÷?=?÷÷?+ 桫 L 所以212122111()()()1n n n n n n f x f x f x x x x n n n n 轾骣骣骣鼢 珑 犏鼢 +++?+-++-珑 鼢 犏珑 鼢 +桫桫桫 犏臌 L L 即2 12122 1()()()01n n n n n n f x f x f x x x x n n n 骣÷ ?÷+++?++- ??÷ ÷?+ 桫 L L 故12()()()0n n n n f x f x f x +++ L . 【思路点拨】（Ⅰ）根据导数的几何意义求a 值，然后把a 值代入原函数，利用导数求1()f x 得单调区间；（II ）把问题转化为一元二次方程的实根分布情况求解；(Ⅲ) 因为 22()1n nx x f x x -=+，() 22 221 ()1 n x nx f x x +-￠=+，所以1()0n f n =，221()1n n f n n ￠=+. 所以曲线()n y f x =在点11,n f n n 骣骣÷琪?÷÷??÷÷?÷÷??桫桫处的切线方程为2211n y x n n 骣÷ ?÷=-?÷?÷+桫 .当0 ()()()() 2 2 2222222111()011111 n n x nx n nx x n f x x x n n n x n x n 骣骣---鼢珑鼢--=--= 珑鼢鼢珑+++桫桫++ 这说明在区间（0,1）上，曲线在切线的上方，由已知得：01,1,2,3,i x i <<=L n. 所以2 2 1(),1,2,.1n i i n f x x i n n n 骣÷ ?÷?=?÷÷?+ 桫 L 再由累加法得所证结论. 【题文】选做题 【题文】（1）选修4-2：矩阵与变换 已知曲线C ：22 3x xy y -+=，矩阵2 222222 2M ?? ? ?= ?- ??? ，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线' C . （I ）求曲线' C 的方程；（II ）求曲线C 的离心率以及焦点坐标. 【知识点】矩阵与变换，逆矩阵. N2 【答案】（I ）22162x y +=；（II ）曲线C 的离心率为6 3 ，焦点为()( ) 2,2,2,2-- 【解析】 解析：（I ）设曲线C 上的任一点P(x,y)在矩阵M 对应的变换作用下变为点(x ,y )P '''， 则22,2222,22x x y y ?? ?'???? ?= ? ?' ?????- ???，即22 222222x x y y x y ?'=+??? ?'=-+?? 所以2 22222 2 2 x x y y x y ? '' =-??? ?''=-?? ①，把①代入22 3x xy y -+=整理得22162x y ''+=， 所以曲线C '的方程为22 162 x y +=. （II ）曲线C '的方程为22162x y +=，离心率为6 3 ，焦点为12(2,0),(2,0)F F ''- 因为2 222, 22 22M ?? ? ?= ?- ??? 对应的变换是顺时针旋转4π的旋转变换， 则1 2222222 2M -??- ? ?= ? ?? ? 对应的变换是逆时针旋转4π的旋转变换， 所以曲线C 的离心率为 6 3 ，且C 得焦点是由曲线C '的焦点经过逆时针旋转4π得到. 由22,22220222,22?? - ???--?? ?= ? ? ? ?-???? ???，22,22220222,22?? - ????? ?= ? ? ? ????? ? ? ? 所以曲线C 的焦点为()() 2,2, 2,2--. 【思路点拨】（I ）利用矩阵变换求得曲线C '的方程；（II ）由曲线C '的方程为22 162 x y +=，得，离心率为 63，焦点为12 (2,0),(2,0)F F ''-，所以切线C 的离心率为6 3 ，再由逆矩阵求得曲线C 的焦点坐标. 【题文】（2）选修4-4：极坐标与 参数方程 在平面直角坐标系xoy 中，点M 的坐标为（-1,2），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为 cos sin 10ρθρθ+-= （I ）判断点M 与直线l 的位置关系； （II ）设直线l 与抛物线2 y x =相交于A,B 两点，求点M 到A,B 两点的距离之积 【知识点】参数方程，极坐标方程. N3 【答案】（I ）M 在直线l 上；（II ）2.【解析】 解析：（I ）由已知得直线l 的直角坐标方程为x+y-1=0. 因为-1+2-1=0，所以M(-1,2)在直线l ：x+y-1=0上. （II ）由（I ）知直线l 的斜率为-1，所以直线l 的倾斜角为34 π . 又因为直线l 过点M （-1，2）， 故可设直线l 的参数方程为31cos 4 32sin 4 x t y t ππ? =-+????=+??（t 为参数）. 把2 22222 x t y t ?=--??? ?=+?? 代入2y x =得2220t t +-=. 设点A,B 所对应的参数方程分别为12,t t ,由韦达定理得122t t =-. 所以12122MA MB t t t t ?=?==. 【思路点拨】（I ）写出直线l 的直角坐标方程，检验点M 与直线l 的位置关系；（II ）由（I ） 知点M 在直线l 上，设出直线l 的参数方程2 22222 x t y t ?=--????=+??，代入2y x =得2 220t t +-=. 则12122MA MB t t t t ?=?== 【题文】（3）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x =+ （I ）若()()2 6f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围 （II ）当14x -≤≤，求 ()()29f x f x +-的最大值. 【知识点】绝对值不等式，柯西不等式. N4 【答案】（I ）[]3,2-；（II ）15. 【解析】解析：（I ）因为()()()()615156f x f x x x x x +-=++-≥+--= 当且仅当15x -≤≤时，等号成立. 依题意得2 6m m +≤，解得32m -≤≤. 所以实数m 的取值范围是[]3,2-. （II ）当14x -≤≤时， ()()29128124f x f x x x x x +-= ++-=++?- 由柯西不等式得()()( )( ) 2 2 2 22(124)12 1415x x x x ? ?++?-≤+ ++ -=??? ? 当且仅当 1412 x x +-= ，即23x =时等号成立. 故当2 3 x = 时，()()29f x f x + -取到最大值15. 【思路点拨】（I ）()()26f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，则 2min ()(6) m m f x f x 轾+?-犏臌 ， 因为()()()() 615156f x f x x x x x +-=++-≥+--=，所以2 6m m +≤，解得 32m -≤≤. （II ）利用柯西不等式求得 ()()29f x f x +-的最大值.
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