第十三节
导数的应用(二)
典题导入
[例1] 已知函数f (x )=x 2ln x -a (x 2-1),a ∈R.
(1)当a =-1时,求曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (2)若当x ≥1时,f (x )≥0成立,求a 的取值范围. [自主解答] (1)当a =-1时,f (x )=x 2ln x +x 2-1, f ′(x )=2x ln x +3x .
则曲线f (x )在点(1,f (1))处的切线的斜率为f ′(1)=3,又f (1)=0,所以切线方程为3x -y -3=0.
(2)f ′(x )=2x ln x +(1-2a )x =x (2ln x +1-2a ),其中x ≥1.
当a ≤1
2时,因为x ≥1,所以f ′(x )≥0,所以函数f (x )在[1,+∞)上单调递增,故f (x )≥f (1)
=0.
当a >12时,令f ′(x )=0,得x =e a -12
.
若x ∈[1,e a -12),则f ′(x )<0,所以函数f (x )在[1,e a -1
2)上单调递减.所以当x ∈[1,
e a -1
2
)时,f (x )≤f (1)=0,不符合题意.
综上a 的取值范围是?
???-∞,12.
由题悟法
利用导数解决参数问题主要涉及以下方面:
(1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:一般先分离参数,再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解.
(2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函数的单调性、极值画出函数的大致
图象,数形结合求解.
以题试法
1.设函数f (x )=1
2x 2+e x -x e x .
(1)求f (x )的单调区间;
(2)若当x ∈[-2,2]时,不等式f (x )>m 恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)函数f (x )的定义域为(-∞,+∞), ∵f ′(x )=x +e x -(e x +x e x )=x (1-e x ), 若x =0,则f ′(x )=0;
若x <0,则1-e x >0,所以f ′(x )<0; 若x >0,则1-e x <0,所以f ′(x )<0. ∴f (x )在(-∞,+∞)上为减函数, 即f (x )的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知,f (x )在[-2,2]上单调递减. 故[f (x )]min =f (2)=2-e 2,
∴m <2-e 2时,不等式f (x )>m 恒成立. 故m 的取值范围为(-∞,2-e 2).
典题导入
[例2] 已知f (x )=ax -ln x ,x ∈(0,e],g (x )=ln x
x ,其中e 是自然常数,a ∈R.
(1)讨论a =1时,函数f (x )的单调性和极值; (2)求证:在(1)的条件下,f (x )>g (x )+1
2.
[自主解答] (1)∵f (x )=x -ln x , f ′(x )=1-1x =x -1
x
,
∴当0
(2)证明:由(1)知[f (x )]min =1.又g ′(x )=1-ln x
x 2,
∴当0
∴[g (x )]max =g (e)=1e <1
2.
∴[f (x )]min -[g (x )]max >1
2.
∴在(1)的条件下,f (x )>g (x )+1
2
.
在本例条件下,是否存在正实数a ,使f (x )的最小值是3?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.
解:假设存在正实数a ,使f (x )=ax -ln x (x ∈(0,e])有最小值3.因为f ′(x )=a -1x =ax -1
x ,
当0<1
a ,满足条件; 当1 a ≥e 时,f (x )在(0,e]上单调递减, [f (x )]min =f (e)=a e -1=3, a =4 e (舍去),所以,此时a 不存在. 综上,存在实数a =e 2,使得当x ∈(0,e]时f (x )有最小值3. 由题悟法 利用导数方法证明不等式f (x )>g (x )在区间D 上恒成立的基本方法是构造函数h (x )=f (x )-g (x ),然后根据函数的单调性,确定函数的最值证明h (x )>0. 以题试法 2.已知f (x )=x ln x . (1)求g (x )=f (x )+k x (k ∈R)的单调区间; (2)证明:当x ≥1时,2x -e ≤f (x )恒成立. 解:(1)g (x )=ln x +k x , ∴令g ′(x )=x -k x 2=0得x =k . ∵x >0,∴当k ≤0时,g ′(x )>0. ∴函数g (x )的增区间为(0,+∞),无减区间; 当k >0时g ′(x )>0得x >k ;g ′(x )<0得0 (2)证明:设h (x )=x ln x -2x +e(x ≥1), 令h ′(x )=ln x -1=0得x =e , h (x ),h ′(x )的变化情况如下: 故h (x )≥0.即f (x )≥2x -e. 典题导入 [例3] 某物流公司购买了一块长AM =30米,宽AN =20米的矩形地块AMPN ,规划建设占地如图中矩形ABCD 的仓库,其余地方为道路和停车场,要求顶点C 在地块对角线MN 上,顶点B 、D 分别在边AM 、AN 上,假设AB 的长度为x 米. (1)要使仓库的占地面积不少于144平方米,求x 的取值范围; (2)要规划建设的仓库是高度与AB 的长度相同的长方体建筑,问AB 的长度为多少时仓库的库容量最大.(墙地及楼板所占空间忽略不计) [自主解答] (1)依题意得△NDC 与△NAM 相似,所以DC AM =ND NA ,即x 30=20-AD 20,故AD =20-23x ,矩形ABCD 的面积为20x -2 3 x 2(0 要使仓库的占地面积不少于144平方米,则20x -2 3x 2≥144, 化简得x 2-30x +216≤0, 解得12≤x ≤18. (2)由(1)知仓库的体积V =20x 2-2 3x 3(0 当0 所以当x =20时V 取最大值,且最大值为8 000 3,即AB 的长度为20米时仓库的库存容 量最大. 由题悟法 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各个量之间的关系,建立数学模型,写出函数关系式y =f (x ); (2)求出函数的导函数f ′(x ),解方程f ′(x )=0; (3)比较函数在区间端点和使f ′(x )=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. 以题试法 3.某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上午6点到中午12点,车辆通过该市某一路段的用时y (分钟)与车辆进入该路段的时刻t 之间关系可近似地用如下函数给出: y =????? -18t 3-34t 2 +36t -629 4,6≤t <9,18t +59 4,9≤t ≤10,-3t 2 +66t -345,10 求从上午6点到中午12点,通过该路段用时最多的时刻. 解:①当6≤t <9时, y ′=-38t 2-3 2t +36 =-3 8 (t +12)(t -8). 令y ′=0,得t =-12(舍去)或t =8. 当6≤t <8时,y ′>0, 当8 故t =8时,y 有最大值,y max =18.75. ②当9≤t ≤10时,y =18t +59 4是增函数, 故t =10时,y max =16. ③当10 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午8点. 1.f (x )是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf ′(x )+f (x )≤0,对任意正数a ,b ,若a A .af (b )≤bf (a ) B .bf (a )≤af (b ) C .af (a )≤f (b ) D .bf (b )≤f (a ) 解析:选A ∵xf ′(x )≤-f (x ),f (x )≥0, ∴?? ? ?f (x )x ′=xf ′(x )-f (x )x 2≤-2f (x )x 2≤0. 则函数f (x )x 在(0,+∞)上是单调递减的,由于0 b .即af (b )≤bf (a ). 2.(2012·山西适应性训练)若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式y =-x 3+27x +123(x >0),则获得最大利润时的年产量为( ) A .1百万件 B .2百万件 C .3百万件 D .4百万件 解析:选C 依题意得,y ′=-3x 2+27=-3(x -3)(x +3),当0 3.已知函数f (x )是R 上的偶函数,且在(0,+∞)上有f ′(x )>0,若f (-1)=0,那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________. 解析:在(0,+∞)上有f ′(x )>0,所以f (x )在(0,+∞)单调递增.又函数f (x )是R 上的偶函数,所以f (1)=f (-1)=0.当x >0时,f (x )<0,∴0 答案:(-∞,-1)∪(0,1) 4.直线y =a 与函数f (x )=x 3-3x 的图象有相异的三个公共点,则a 的取值范围是________. 解析:令f ′(x )=3x 2-3=0,得x =±1,可得极大值为f (-1)=2, 极小值为f (1)=-2,如图,观察得-2 答案:(-2,2) 5.已知函数f (x )=x 2+ln x . (1)求函数f (x )在[1,e]上的最大值和最小值; (2)求证:当x ∈(1,+∞)时,函数f (x )的图象在g (x )=23x 3+1 2x 2的下方. 解:(1)∵f (x )=x 2+ln x ,∴f ′(x )=2x +1 x . ∵x >1时,f ′(x )>0,故f (x )在[1,e]上是增函数, ∴f (x )的最小值是f (1)=1,最大值是f (e)=1+e 2. (2)证明:令F (x )=f (x )-g (x )=12x 2-2 3 x 3+ln x , ∴F ′(x )=x -2x 2 +1x =x 2-2x 3 +1 x =x 2-x 3-x 3+1x =(1-x )(2x 2+x +1) x . ∵x >1,∴F ′(x )<0. ∴F (x )在(1,+∞)上是减函数. ∴F (x )<F (1)=12-23=-1 6 <0,即f (x )<g (x ). ∴当x ∈(1,+∞)时,函数f (x )的图象总在g (x )的图象的下方. 6.(2012·乌鲁木齐诊断性测验)已知函数(理)f (x )=e x -m -x ,(文)f (x )=1 e m e x -x ,其中m 为常数. (1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立,求m 的取值范围; (2)当m >1时,判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数,并说明理由. 解:(1)依题意,可知f (x )在R 上连续,且f ′(x )=e x -m -1, 令f ′(x )=0,得x =m . 故当x ∈(-∞,m )时,e x - m <1,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x ∈(m ,+∞)时,e x -m >1,f ′(x )>0,f (x )单调递增; 故当x =m 时,f (m )为极小值,也是最小值. 令f (m )=1-m ≥0,得m ≤1, 即对任意x ∈R ,f (x )≥0恒成立时,m 的取值范围是(-∞,1]. (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点,当m >1时,f (m )=1-m <0. ∵f (0)=e -m >0,f (0)·f (m )<0, ∴f (x )在(0,m )上有一个零点. 又f (2m )=e m -2m ,令g (m )=e m -2m , ∵当m >1时,g ′(m )=e m -2>0, ∴g (m )在(1,+∞)上单调递增. ∴g (m )>g (1)=e -2>0,即f (2m )>0. ∴f (m )·f (2m )<0,∴f (x )在(m,2m )上有一个零点. 故f (x )在[0,2m ]上有两个零点. 7.(2013·泰安模拟)某种产品每件成本为6元,每件售价为x 元(6 8 -u 与????x -2142成正比,且售价为10元时,年销量为28万件. (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,年利润最大,并求出最大年利润. 解:(1)设585 8-u =k ????x -2142, ∵售价为10元时,年销量为28万件, ∴ 585 8 -28=k ????10-2142,解得k =2. ∴u =-2????x -2142+5858 =-2x 2+21x +18. ∴y =(-2x 2+21x +18)(x -6) =-2x 3+33x 2-108x -108(6 令y ′=0,得x =2(舍去)或x =9, 显然,当x ∈(6,9)时,y ′>0; 当x ∈(9,11)时,y ′<0. ∴函数y =-2x 3+33x 2-108x -108在(6,9)上是递增的,在(9,11)上是递减的. ∴当x =9时,y 取最大值,且y max =135, ∴售价为9元时,年利润最大,最大年利润为135万元. 1.(2012·潍坊模拟)已知函数f (x )=(x 2-3x +3)e x ,x ∈[-2,t ](t >-2). (1)当t <1时,求函数y =f (x )的单调区间; (2)设f (-2)=m ,f (t )=n ,求证:m 解:(1)f ′(x )=(2x -3)e x +e x (x 2-3x +3)=e x x (x -1), ①当-2 综上,当-2 当0 2, n =f (t )=(t 2-3t +3)e t , 设h (t )=n -m =(t 2-3t +3)e t -13e - 2,t >-2, h ′(t )=(2t -3)e t +e t (t 2-3t +3)=e t t (t -1)(t >-2). 故h (t ),h ′(t )随t 的变化情况如下表: 由上表可知h (t )的极小值为h (1)=e -13e 2=e e 2>0,又h (-2)=0,故当-2 h (t )>h (-2)=0,即h (t )>0, 因此,n -m >0,即m 2. (2012·资阳模拟)已知函数f (x )=x 3-3ax +b (a ,b ∈R)在x =2处的切线方程为y =9x -14. (1)求f (x )的单调区间; (2)令g (x )=-x 2+2x +k ,若对任意x 1∈[0,2],均存在x 2∈[0,2],使得f (x 1) 解:(1)f ′(x )=3x 2-3a ,∵f (x )在x =2处的切线方程为y =9x -14, ∴????? f (2)=4,f ′(2)=9,则????? 8-6a +b =4,12-3a =9,解得? ???? a =1, b =2. ∴f (x )=x 3-3x +2,则f ′(x )=3x 2-3=3(x +1)(x -1). 由f ′(x )>0,得x <-1或x >1; 由f ′(x )<0,得-1 故函数f (x )的单调递减区间是(-1,1);单调递增区间是(-∞,-1),(1,+∞). (2)由(1)知,函数f (x )在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增. 又f (0)=2,f (2)=4,有f (0) ∴函数f (x )在区间[0,2]上的最大值f (x )max =f (2)=4. 又g (x )=-x 2+2x +k =-(x -1)2+k +1, ∴函数g (x )在[0,2]上的最大值为g (x )max =g (1)=k +1. ∵对任意x 1∈[0,2],均存在x 2∈[0,2],使f (x 1) 1.已知向量m =(x 0,-1),n =????12,y 0,x 0,33 4,y 0成等差数列,2,x 0,y 0成等比数列. (1)求证:m ⊥n ; (2)若存在不为零的实数k 与t ,使得a =(t 2-3)m +n ,b =tm -kn ,且a ⊥b ,|a |≤37,试讨论函数k =f (t )的单调性,并求出函数的极值. 解:(1)证明:由x 0,334,y 0成等差数列得x 0+y 0=33 2,① 由2,x 0,y 0成等比数列得x 0=2y 0,② 由①与②可得x 0=3,y 0= 3 2 , 所以m =(3,-1),n =??? ?12,3 2, 因为m ·n =(3,-1)· ????12,32=32-32 =0, 所以m ⊥n . (2)由(1)得|m |=2,|n |=1, 因为|a |≤37,m ⊥n ,所以|a |2=(t 2-3)2|m |2+2(t 2-3)m ·n +|n |2=4(t 2-3)2+1≤37, 所以0≤t 2≤6,所以-6≤t ≤ 6. 又a ·b =t (t 2-3)|m |2-k (t 2-3)m ·n +tm ·n -k |n |2=4t (t 2-3)-k =0, 所以k =f (t )=4t (t 2-3)(-6≤t ≤6),k ′=f ′(t )=[4t (t 2-3)]′=12t 2-12,令12t 2-12=0,得t =±1. 当t 变化时,f ′(t ),f (t )的变化情况如下表: 的极大值为8,极小值为-8. 2.设函数f (x )=ln x -p (x -1),p ∈R. (1)当p =1时,求函数f (x )的单调区间; (2)设函数g (x )=xf (x )+p (2x 2-x -1),对任意x ≥1都有g (x )≤0成立,求p 的取值范围. 解:(1)当p =1时,f (x )=ln x -x +1,其定义域为(0,+∞). 所以f ′(x )=1x -1. 由f ′(x )=1 x -1>0得0 所以函数f (x )的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (2)由函数g (x )=xf (x )+p (2x 2-x -1)=x ln x +p (x 2-1)(x >0),得g ′(x )=ln x +1+2px . 由(1)知,当p =1时,f (x )≤f (1)=0, 即不等式ln x ≤x -1成立. ①当p ≤-1 2时,g ′(x )=ln x +1+2px ≤(x -1)+1+2px =(1+2p )x ≤0, 即函数g (x )在[1,+∞)上单调递减,从而g (x )≤g (1)=0,满足题意; ②当-1 2 0,1+2px >0, 从而g ′(x )=ln x +1+2px >0,即函数g (x )在? ???1,-1 2p 上单调递增,从而存在x 0∈ ? ???1,-12p 使得g (x 0)>g (1)=0,不满足题意; ③当p ≥0时,由x ≥1知g (x )=x ln x +p (x 2-1)≥0恒成立,此时不满足题意. 综上所述,实数p 的取值范围为????-∞,-1 2. 集合与常用逻辑用语 函数、导数及其应用 (时间120分钟,满分150分) 一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(2012·广州调研)已知函数f (x )=? ???? 1-x ,x ≤0, a x ,x >0,若f (1)=f (-1),则实数a 的值等于 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 解析:选B 根据题意,由f (1)=f (-1)可得a =1-(-1)=2. 2.(2012·江西高考)若全集U ={}x ∈R|x 2 ≤4,则集合A ={}x ∈R||x +1|≤1的补集?U A 为( ) A.{}x ∈R|0 B.{}x ∈R|0≤x <2 C.{}x ∈R|0 D.{}x ∈R|0≤x ≤2 解析:选C 因为U ={x ∈R|x 2≤4}={x ∈R|-2≤x ≤2},A ={x ∈R||x +1|≤1}={x ∈R|-2≤x ≤0}.借助数轴易得?U A ={x ∈R|0 3.下列函数中,恒满足f (2x )=[f (x )]2的是( ) A .f (x )=|x | B .f (x )=1 x (x ≠0) C .f (x )=e x D .f (x )=sin x 解析:选C 若f (x )=e x ,则f (2x )=e 2x =(e x )2=[f (x )]2. 4.(2012·大同调研)已知函数f (x )=x 2+bx (b ∈R),则下列结论正确的是( ) A .?b ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是增函数 B .?b ∈R ,f (x )在(0,+∞)上是减函数 C .?b ∈R ,f (x )为奇函数 D .?b ∈R ,f (x )为偶函数 解析:选D 注意到当b =0时,f (x )=x 2是偶函数. 5.(2013·龙岩四校联考)已知函数y =f (x )的图象在点M (3,f (3))处的切线方程是y =1 3x +2 3 ,则f (3)+f ′(3)的值为( ) A .1 B .2 C .3 D .5 解析:选B 因为切点(3,f (3))在切线上,所以f (3)=1+23=5 3,切点处的导数为切线的 斜率,所以f ′(3)=1 3 ,所以f (3)+f ′(3)=2. 6.(2012·汕头一测)已知集合A 是函数f (x )=1-x 2 |x +1|-1的定义域,集合B 是整数集,则A ∩B 的子集的个数为( ) A .4 B .6 C .8 D .16 解析:选A 要使函数f (x )有意义,则需? ???? 1-x 2 ≥0, |x +1|-1≠0,解得-1≤x <0或0 以函数的定义域A ={x |-1≤x <0,或0 7.已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a =b D .a >b >c 解析:选B ∵a =log 23+log 23=log 233,b =log 29-log 23=log 233, ∴a =b . 又∵函数y =log a x (a >1)为增函数, ∴a =log 233>log 22=1,c =log 32 8.(2012·南昌一模)函数y =x 1 2 -1的图象关于x 轴对称的图象大致是( ) 解析:选B 函数y =x 1 2=x ,该函数的图象就是抛物线y 2=x 在x 轴及其以上的部分, 故函数y =x 1 2-1=x -1是将上述图象向下平移一个单位得到的,再作其关于x 轴对称的图 象,即选项B 中的图象. 9.(2012·长春第二次调研)若a >2,则函数f (x )=1 3x 3-ax 2+1在(0,2)内零点的个数为( ) A .3 B .2 C .1 D .0 解析:选C 依题意得f ′(x )=x 2-2ax ,由a >2可知,f ′(x )在x ∈(0,2)时恒为负,即f (x )在(0,2)内单调递减,又f (0)=1>0,f (2)=8 3 -4a +1<0,因此f (x )在(0,2)内只有一个零点. 10.(2012·河南三市第二次调研)设U 为全集,对集合X ,Y ,定义运算“*”,X *Y =? U (X ∩Y ).对于任意集合 X ,Y ,Z ,则(X *Y )*Z =( ) A .(X ∪Y )∩?U Z B .(X ∩Y )∪?U Z C .(?U X ∪?U Y )∩Z D .(?U X ∩?U Y )∪Z 解析:选B 依题意得(X *Y )=?U (X ∩Y )=(?U X )∪(?U Y ),(X *Y )*Z =?U [(X *Y )∩Z ]=?U [? U (X ∩Y )∩Z ]={?U [?U (X ∩Y )]}∪(?U Z )=(X ∩Y )∪(?U Z ). 11.(2012·重庆高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且以2为周期,则“f (x )为[0,1]上的增函数”是“f (x )为[3,4]上的减函数”的( ) A .既不充分也不必要的条件 B .充分而不必要的条件 C .必要而不充分的条件 D .充要条件 解析:选D 由题意可知函数在[0,1]上是增函数,在[-1,0]上是减函数,在[3,4]上也是减函数;反之也成立. 12.下列命题: ①?x ∈R ,不等式x 2+2x >4x -3均成立; ②若log 2x +log x 2≥2,则x >1; ③“若a >b >0且c <0,则c a >c b ”的逆否命题是真命题; ④若命题p :?x ∈R ,x 2+1≥1,命题q :?x ∈R ,x 2-x -1≤0,则命题p ∧(綈q )是真命题.其中真命题为( ) A .①②③ B .①②④ C .①③④ D .②③④ 解析:选A 由x 2+2x >4x -3推得x 2-2x +3=(x -1)2+2>0恒成立,故①正确;根据基本不等式可知要使不等式log 2x +log x 2≥2成立需要x >1,故②正确;由a >b >0得0<1a <1 b , 又c <0,可得c a >c b ,则可知其逆否命题为真命题,故③正确;命题p 是真命题,命题q 是真 命题,所以p ∧(綈q )为假命题,故④不正确. 二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(2013·河北质检)函数y =log 12 (3x -a )的定义域是????23,+∞,则a =________. 解析:由3x -a >0得x >a 3.因此,函数y =log 12(3x -a )的定义域是????a 3,+∞,所以a 3=23,即a =2. 答案:2 14. (2012·南通一调)设P 是函数y =x (x +1)图象上异于原点的动点,且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ,则θ的取值范围是________. 解析:依题意得,y =x 32+x 12,y ′=32x 12+12x -12(x >0),当x >0时,y ′=32x 12+12x -1 2≥2 32x 12×12x -1 2 =3,即该图象在点P 处的切线的斜率不小于3,即tan θ≥ 3.又θ∈[0,π),因此π3≤θ<π 2 ,即θ的取值范围是????π3,π2. 答案:???? π3,π2 15.(2012·山东高考)若函数f (x )=a x (a >0,a ≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数g (x )=(1-4m )x 在[0,+∞)上是增函数,则a =________. 解析:函数g (x )在[0,+∞)上为增函数,则1-4m >0,即m <1 4.若a >1,则函数f (x )在[- 1,2]上的最小值为1a =m ,最大值为a 2=4,解得a =2,12=m ,与m <1 4矛盾;当0 数f (x )在[-1,2]上的最小值为a 2=m ,最大值为a - 1=4,解得a =14,m =116<14.所以a =14 . 答案:1 4 16.(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体: (1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数;(2)函数f (x )有零点.那么在函数①f (x )=|x |-1,②f (x )=2x -1,③f (x )=???? ? x -2,x >0,0,x =0, x +2,x <0,④f (x )=x 2-x -1+ln x 中,属于M 的有________.(写出 所有符合的函数序号) 解析:对于①,∵f (-x )=|-x |-1=|x |-1=f (x ), ∴f (x )=|x |-1是偶函数,∴①不符合条件;易知f (x )=2x -1既不是奇函数也不是偶函数,且有一个零点x =0, ∴②符合条件;对于③,令x >0,则-x <0,∴f (x )=x -2,f (-x )=-x +2=-(x -2),即f (x )=-f (-x ), 又f (0)=0,∴f (x )=???? ? x -2,x >0,0,x =0, x +2,x <0. 是奇函数,∴③不符合条件;对于④,函数f (x )= x 2-x -1+ln x 的定义域为(0,+∞),故它既不是奇函数也不是偶函数,∵f ′(x )=2x -1+ 1 x =2x 2 -x +1x =2????x -142+78 x >0,∴函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,又f (1)=1-1-1+0=- 1<0,f (e)=e 2-e -1+1=e(e -1)>0,∴函数f (x )在(1,e)上存在零点,∴④符合条件. 答案:②④ 三、解答题(本题共6小题,共70分) 17.(本小题满分10分)已知函数y =f (x )的图象关于原点对称,且x >0时,f (x )=x 2-2x +3,试求f (x )在R 上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间. 解:∵f (x )的图象关于原点对称, ∴f (-x )=-f (x ),又当x >0时,f (x )=x 2-2x +3, ∴当x <0时,f (x )=-x 2-2x -3. 当x =0时,f (x )=0. ∴函数解析式为f (x )=???? ? x 2 -2x +3,x >0.0,x =0, -x 2-2x -3,x <0. 作出函数的图象如图. 根据图象可以得函数的增区间为(-∞,-1),(1,+∞); 函数的减区间为(-1,0),(0,1). 18.(本小题满分12分) 已知函数f (x )=log 3(ax +b )的部分图象如右图所示. (1)求f (x )的解析式与定义域; (2)函数f (x )的图象能否由y =log 3x 的图象平移变换得到. 解:(1)由图可知(2,1)(5,2)是f (x )=log 3(ax +b )上的两点,将其代入函数表达式可得 ????? 2a +b =3,5a +b =9?????? a =2, b =-1. ∴f (x )的解析式为f (x )=log 3(2x -1). ∵f (x )有意义需满足2x -1>0,∴x >1 2 . ∴f (x )的定义域为??? ?1 2,+∞. (2)∵f (x )=log 3(2x -1)=log 3??? ?2????x -12 =log 3??? ?x -1 2+log 32, ∴f (x )的图象是由y =log 3x 的图象向右平移1 2个单位,再向上平移log 32个单位得到的. 故可以由y =log 3x 的图象平移得到. 19.(本小题满分12分)已知函数f (x )=x (x 2-ax -3). (1)若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a 的取值范围; (2)若x =-1 3是f (x )的极值点,求f (x )在区间[1,4]上的最大值. 解:(1)∵f (x )=x (x 2-ax -3),∴f ′(x )=3x 2-2ax -3. ∵f (x )在[1,+∞)上是增函数, ∴在[1,+∞)上恒有f ′(x )≥0, 即3x 2-2ax -3≥0在[1,+∞)上恒成立. 得a ≤3 2????x -1x 在[1,+∞)上恒成立. ∵当x ≥1时,3 2????x -1x ≥32(1-1)=0, ∴a ≤0. (2)依题意得f ′????-1 3=0, 即13+2 3a -3=0,得a =4, 故f (x )=x 3-4x 2-3x . 令f ′(x )=3x 2-8x -3=0,得x 1=-1 3,x 2=3. 当x 在[1,4]上变化时,f ′(x )与f (x )的变化情况如下表: 所以f (20.(本小题满分12分)经市场调查,某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数,且销售量近似地满足f (t )=-2t +200(1≤t ≤50,t ∈N).前30天价格为g (t )=1 2 t +30(1≤t ≤30,t ∈N),后20天价格为g (t )=45(31≤t ≤50,t ∈N). (1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系; (2)求日销售额S 的最大值. 解:(1)根据题意,得 S =????? (-2t +200)????12t +30,1≤t ≤30,t ∈N ,45(-2t +200),31≤t ≤50,t ∈N =? ???? -t 2+40t +6 000,1≤t ≤30,t ∈N ,-90t +9 000,31≤t ≤50,t ∈N. (2)①∵当1≤t ≤30,t ∈N 时,S =-(t -20)2+6 400, ∴当t =20时,S 的最大值为6 400. ②当31≤t ≤50,t ∈N 时,S =-90t +9 000为减函数, ∴当t =31时,S 的最大值为6 210. ∵6 210<6 400, ∴当t =20时,日销售额S 有最大值6 400. 21.已知函数f (x )=13x 3+1-a 2x 2-ax -a ,x ∈R ,其中a >0. (1)求函数f (x )的单调区间; (2)若函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a 的取值范围; 解:(1)f ′(x )=x 2+(1-a )x -a =(x +1)(x -a ). 由f ′(x )=0,得x 1=-1,x 2=a >0. 当x 变化时,f ′(x ),f (x )的变化情况如下表: (2)由(1)知f (x )在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,从而函数f (x )在区间(-2,0)内恰有两个零点即???? ? f (-2)<0,f (-1)>0, f (0)<0,