2013年中考数学专题复习第十三讲反比例函数
【基础知识回顾】
一、反比例函数的概念：
一般地：互数y （k是常数，k≠0）叫做反比例函数
【名师提醒：1、在反比例函数关系式中：k≠0、x≠0、y≠0
2、反比例函数的另一种表达式为y= （k是常数，k≠0）
3、反比例函数解析式可写成xy= k（k≠0）它表明反比例函数中自变量x与其对应函数值y之积，总等于】
二、反比例函数的同象和性质：
1、反比例函数y=k
x（k≠0）的同象是它有两个分支，关于对称
2、反比例函数y=k
x（k≠0）当k>0时它的同象位于象限，在每一个象
限内y随x的增大而当k<0时，它的同象位于象限，在每一个象限内，y随x的增大而
【名师提醒：1、在反比例函数y=k
x中，因为x≠0，y≠0所以双曲线与坐标轴
无限接近，但永不与x轴y轴
2、在反比例函数y随x的变化情况中一定注明在每一个象限内】
3、反比例函数中比例系数k的几何意义：
反曲线y=k
x（k≠0）上任意一点向两坐标轴作垂线
→
两线与坐标轴围成的形面积，即如图：AOBP=
S△AOP=
【名师提醒：k的几何意义往常与前边提示中所谈到的xy=k联系起来理解和应用】
三、反比例函数解析式的确定
因为反比例函数y=k
x（k≠0）中只有一个被定系数所以求反比例函数
关系式只需知道一组对应的x、y值或一个点的坐标即可，步骤同一次函数解析式的求法
一、反比例函数的应用
二、解反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用同象找出解决问题
的方案，这里要特别注意自变量的
【重点考点例析】
考点一：反比例函数的同象和性质
例1 （2012?张家界）当a≠0时，函数y=ax+1与函数
a
y
x
=在同一坐标系中的图象可能
是（）
A．B．
C．D．
思路分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论，分析出两函数图象所在象限，再在四个选项中找到正确图象．
解：当a＞0时，y=ax+1过一、二、三象限，y=
a
y
x
=过一、三象限；
当a＜0时，y=ax+1过一、二、四象限，y=
a
y
x
=过二、四象限；
故选C．
点评：本题考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解题的关键是明确在同一a值的前提下图象能共存．
例2 （2012?佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数
22
a a
y
x
-+ =
图象的两个分支分别在（）
A．第一、三象限B．第二、四象限
C．第一、二象限D．第三、四象限
思路分析：把a2-a+2配方并根据非负数的性质判断出是恒大于0的代数式，再根据反比例函数的性质解答．
解：a2-a+2，
=a2-a+1
4
-
1
4
+2，
=（a-1
2
）2+7 4 ，
∵（a-1
2
）2≥0，
∴（a-
12
）2
+7 4 ＞0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于第一、三象限． 故选A ．
点评：本题考查了反比例函数图象的性质，先判断出a 2-a+2的正负情况是解题的关键，对于反比例函数k
y x
=
（k ≠0）：（1）k ＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
例3 （2012?台州）点（-1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）均在函数6
y x
=
的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
A ．y 3＜y 2＜y 1
B ．y 2＜y 3＜y 1
C ．y 1＜y 2＜y 3
D ．y 1＜y 3＜y 2 思路分析：先根据反比例函数的解析式判断出此函数图象所在的象限，再根据各点的坐标判断出各点所在的象限，根据函数图象在各象限内点的坐标特点解答． 解：∵函数6
y x
=
中k=6＞0， ∴此函数的图象在一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小， ∵-1＜0，
∴点（-1，y 1）在第三象限， ∴y 1＜0， ∵0＜2＜3， ∴（2，y 2），（3，y 3）在第一象限， ∴y 2＞y 3＞0， ∴y 2＞y 3＞y 1． 故选D ．
点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意判断出函数图象所在象限是解答此题的关键．
对应训练
1．（2012?毕节地区）一次函数y=x+m （m ≠0）与反比例函数m
y x
=的图象在同一平面直角坐标系中是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1．C
2．（2012?内江）函数1
y x
=
+的图象在（ ） A ．第一象限 B ．第一、三象限 C ．第二象限 D ．第二、四象限 2．A
2x≥0，1
x
中x≠0，
故x＞0，此时y＞0，则函数在第一象限．故选A．
3．（2012?佛山）若A（x1，y1）和B（x2，y2）在反比例函数
2
y
x
=的图象上，且0＜x1＜
x2，则y1与y2的大小关系是y1 y2．3．＞
考点二：反比例函数解析式的确定
例4 （2012?哈尔滨）如果反比例函数
1
k
y
x
-
=的图象经过点（-1，-2），则k的值是（）
A．2 B．-2 C．-3 D．3
思路分析：根据反比例函数图象上点的坐标特征，将（-1，-2）代入已知反比例函数的解析式，列出关于系数k的方程，通过解方程即可求得k的值．解答：解：根据题意，得
-2=
1
1
k-
-
，即2=k-1，
解得k=3．
故选D．
点评：此题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．解答此题时，借用了“反比例函数图象上点的坐标特征”这一知识点．
对应训练
4．（2012?广元）已知关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，且反比例函数
1b y
x
+ =
的图象在每个象限内y随x的增大而增大，那么反比例函数的关系式为（）
A．
3
y
x
=-B．
1
y
x
=C．
2
y
x
=D．
2
y
x
=-
4．D
4．分析：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2有唯一的实数解，则判别式等于0，据此即可
求得b的值，然后根据反比例函数
1b
y
x
+
=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，则
比例系数1+b＜0，则b的值可以确定，从而确定函数的解析式．
解：关于x的方程（x+1）2+（x-b）2=2化成一般形式是：2x2+（2-2b）x+（b2-1）=0，△=（2-2b）2-8（b2-1）=-4（b+3）（b-1）=0，
解得：b=-3或1．
∵反比例函数
1b
y
x
+
=的图象在每个象限内y随x的增大而增大，
∴1+b＜0 ∴b＜-1，∴b=-3．
则反比例函数的解析式是：y=13y x -=，即2
y x
=-． 故选D ．
考点三：反比例函数k 的几何意义
例5 （2012?铁岭）如图，点A 在双曲线4
y x
=上， 点B 在双曲线k
y x
=
（k ≠0）上，AB ∥x 轴， 分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为
D 、C ，若矩形ABCD 的面积是8，则k 的值为（ ） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6
思路分析：先根据反比例函数的图象在第一象限判断出k 的符号，再延长线段BA ，交y 轴于点E ，由于AB ∥x 轴，所以AE ⊥y 轴，故四边形AEOD 是矩形，由于点A 在双曲线4y x
=上，所以S 矩形AEOD
=4，同理可得S
矩形OCBE
=k ，由S
矩形ABCD
=S
矩形OCBE
-S
矩形AEOD
即可得出k
的值．
解：∵双曲线k
y x
=
（k ≠0）上在第一象限， ∴k ＞0，
延长线段BA ，交y 轴于点E ， ∵AB ∥x 轴， ∴AE ⊥y 轴，
∴四边形AEOD 是矩形， ∵点A 在双曲线4
y x
=
上， ∴S 矩形AEOD =4， 同理S 矩形OCBE =k ，
∵S 矩形ABCD =S 矩形OCBE -S 矩形AEOD =k-4=8， ∴k=12． 故选A ．
点评：本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，即反比例函数k
y x
=
图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
对应训练
5．（2012?株洲）如图，直线x=t（t＞0）与
反比例函数
21
,
y y
x x
-
==的图象分别交于
B、C两点，A为y轴上的任意一点，则△ABC的面积为（）
A．3 B．3 2 t
C．3
2
D．不能确定
5．C
5．解：把x=t分别代入
21
,
y y
x x
-
==，得
21
,
y y
t t
==-，
所以B（t，2
t
）、C（t，
1
t
-），
所以BC=2
t
-（
1
t
-）=
3
t
．
∵A为y轴上的任意一点，
∴点A到直线BC的距离为t，
∴△ABC的面积=133 22
t
t
??=．
故选C．
考点四：反比例函数与一次函数的综合运用
例6 （2012?岳阳）如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数
22
y
x
=的图象交于A、B 两点，过点作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，
连接AO、BO，下列说法正确的是（）
A．点A和点B关于原点对称
B．当x＜1时，y1＞y2
C．S△AOC=S△BOD
D．当x＞0时，y1、y2都随x的增大而增大
思路分析：求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A、B的坐标，即可判断A；根据图象的特点即可判断B；根据A、B的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断C；根据图形的特点即可判断D．
解：A、
1
2
y x
y
x
=+
?
?
?
=
??
①
②
，
∵把①代入②得：x+1=2
x
，
解得：x1=-2，x2=1，
代入①得：y1=-1，y2=2，
∴B（-2，-1），A（1，2），
∴A、B不关于原点对称，故本选项错误；
B、当-2＜x＜0或x＞1时，y1＞y2，故本选项错误；
C、∵S△AOC=1
2
×1×2=1，S△BOD=
1
2
×|-2|×|-1|=1，
∴S△BOD=S△AOC，故本选项正确；
D、当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小，故本选项错误；
故选C．
点评：本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，能把图象的特点和语言有机结合起来是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．
对应训练
6．（2012?达州）一次函数y1=kx+b（k≠0）与反比例函数y2=m
x
(m≠0)，在同一直角坐标
系中的图象如图所示，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．-2＜x＜0或x＞1 B．x＜-2或0＜x＜1
C．x＞1 D．-2＜x＜1
6．A
6．解：由函数图象可知一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=m
x
(m≠0)的交点坐标为（1，4），
（-2，-2），
由函数图象可知，当-2＜x＜0或x＞1时，y1在y2的上方，∴当y1＞y2时x的取值范围是-2＜x＜0或x＞1．
故选A．
【聚焦山东中考】
1．（2012?青岛）点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都是反比例函数
3
y
x
-
=的图象
上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3
1．A
1．解：∵反比例函数y=-3 x 中，k=-3＜0，
∴此函数图象在二四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y3＜0，y3＜0＜y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2．
故选A．
2．（2012?菏泽）反比例函数
2
y
x
=的两个点（x1，y1）、（x2，y2），且x1＞x2，则下式关系
成立的是（）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．不能确定2．D
3．（2012?滨州）下列函数：①y=2x-1；②y=
5
x
-；③y=x2+8x-2；④y=
2
2
x
；⑤y=
1
2x
；⑥
y=a
x
中，y是x的反比例函数的有（填序号）。
3．②⑤
4．（2012?济宁）如图，是反比例函数
2
k
y
x
-
=的图象的一个分支，对于给出的下列说法：
①常数k的取值范围是k＞2；
②另一个分支在第三象限；
③在函数图象上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；
④在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；其中正确的是（在横线上填出正确的序号）
4．①②④
4．解：①根据函数图象在第一象限可得k-2＞0，故k＞2，故①正确；
②根据反比例函数的性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；
③根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，
A、B不一定在图象的同一支上，故③错误；
④根据反比例函数的性质，图象在第一、三象限时，在图象的每一支上y随x的增大而减小，故在函数图象的某一个分支上取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确；
故答案为：①②④．
5．（2012?潍坊）点P在反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图象上，点Q（2，4）与点P关于y
轴对称，则反比例函数的解析式为．
5．
8 y
x =-
5．解：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，∴P点坐标为（-2，4），
将（-2，4）解析式
k
y
x
=得，
k=xy=-2×4=-8，
∴函数解析式为
8
y
x =-．
故答案为
8
y
x =-．
6．（2012?聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与
x轴平行，点P（3a，a）是反比例函数
k
y
x
=（k＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图
中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为．
6．
3 y
x =
6．解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的1
4
，设正方形的边长为b，则
1
4
b2=9，解得b=6，
∵正方形的中心在原点O，
∴直线AB的解析式为：x=3，∵点P（3a，a）在直线AB上，
∴3a=3，解得a=1，∴P（3，1），
∵点P在反比例函数
k
y
x
=（k＞0）的图象上，
∴k=3，
∴此反比例函数的解析式为：
3
y
x =．
故答案为：
3
y
x =．
7．（2012?泰安）如图，一次函数y=kx+b的图象与坐标轴分别交于A，B两点，与反比例函
数
m
y
x
=的图象在第二象限的交点为C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2，OD=4，△AOB
的面积为1．
（1）求一次函数与反比例的解析式；
（2）直接写出当x＜0时，kx+b-m
x
＞0的解集．
7．解：（1）∵OB=2，△AOB的面积为1 ∴B（-2，0），OA=1，
∴A（0，-1）
∴
1
20 b
k b
=-
?
?
-+=
?
，
∴
1
2
1
k
b
?
=-
?
?
?=-
?
，
∴y =12
-
x-1 又∵OD=4，OD ⊥x 轴， ∴C （-4，y ）， 将x=-4代入y=1
2
-x-1得y=1， ∴C （-4，1） ∴1=4
m -
， ∴m=-4， ∴y=4
x -。
（2）当x ＜0时，kx+b-
m
x
＞0的解集是x ＜-4． 【备考真题过关】
一、选择题 1．（2012?南充）矩形的长为x ，宽为y ，面积为9，则y 与x 之间的函数关系式用图象表示大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
1．C
2．（2012?孝感）若正比例函数y=-2x 与反比例函数k
y x
=
图象的一个交点坐标为（-1，2），则另一个交点的坐标为（ ） A ．（2，-1） B ．（1，-2） C ．（-2，-1） D ．（-2，1） 2．B
3．（2012?恩施州）已知直线y=kx （k ＞0）与双曲线3
y x
=交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则x 1y 2+x 2y 1的值为（ ）
A ．-6
B ．-9
C ．0
D ．9 3．A
3．思路分析：先根据点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线3
y x
=上的点可得出x 1?y 1=x 2?y 2=3，再根据直线y=kx （k ＞0）与双曲线3
y x
=
交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点可得出x 1=-x 2，y 1=-y 2，再把此关系代入所求代数式进行计算即可． 解：∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是双曲线3
y x
=上的点 ∴x 1?y 1=x 2?y 2=3①，
∵直线y=kx（k＞0）与双曲线y=3 x 交于点A（x1，y1），B（x2，y2）两点，∴x1=-x2，y1=-y2②，
∴原式=-x1y1-x2y2=-3-3=-6．
故选A．
4．（2012?常德）对于函数
6
y
x
=，下列说法错误的是（）
A．它的图象分布在一、三象限
B．它的图象既是轴对称图形又是中心对称图形C．当x＞0时，y的值随x的增大而增大
D．当x＜0时，y的值随x的增大而减小4．C
5．（2012?淮安）已知反比例函数
1
m
y
x
-
=的图象如图所示，则实数m的取值范围是（）
A．m＞1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＜0
5．A
6．（2012?南平）已知反比例函数
1
y
x
=的图象上有两点A（1，m）、B（2，n）．则m与n
的大小关系为（）
A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定6．A
7．（2012?内江）已知反比例函数
k
y
x
=的图象经过点（1，-2），则k的值为（）
A．2 B．
1
2
-C．1 D．-2
7．D
8．（2012?荆门）已知：多项式x2-kx+1是一个完全平方式，则反比例函数
1
k
y
x
-
=的解析
式为（）
A．
1
y
x
=B．
3
y
x
=-C．
1
y
x
=或
3
y
x
=-D．
2
y
x
=或
2
y
x
=-
8．C
8．解：∵多项式x2-kx+1是一个完全平方式，
∴k=±2，
把k=±2分别代入反比例函数y=k-1 x 的解析式得：y=1 x 或y=-3 x ，故选：C．
9．（2012?铜仁地区）如图，正方形ABOC的边长为2，反比例函数
k
y
x
=的图象过点A，
则k的值是（）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
9．D
10．（2012?黔东南州）如图，点A是反比例函数
6
y
x
=-（x＜0）的图象上的一点，过点A
作 ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则 ABCD的面积为（）A．1 B．3 C．6 D．12
10．C
10．解：过点A作AE⊥OB于点E，
因为矩形ADOC的面积等于AD×AE，平行四边形的面积等于：AD×AE，
所以?ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，
根据反比例函数的k的几何意义可得：矩形ADOC的面积为6，即可得平行四边形ABCD 的面积为6．
故选C．
11．（2012?无锡）若双曲线
k
y
x
=与直线y=2x+1的一个交点的横坐标为-1，则k的值为（）
A．-1 B．1 C．-2 D．2 11．B
12．（2012?梅州）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线
1
y
x
=的交点的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．不能确定12．C
13．（2012?阜新）如图，反比例函数1
1k y x
=
的图象 与正比例函数y 2=k 2x 的图象交于点（2，1），则使 y 1＞y 2的x 的取值范围是（ ） A ．0＜x ＜2 B ．x ＞2
C ．x ＞2或-2＜x ＜0
D ．x ＜-2或0＜x ＜2 13．D
13．解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， ∴A 、B 两点关于原点对称， ∵A （2，1）， ∴B （-1，-2），
∵由函数图象可知，当0＜x ＜2或x ＜-2时函数y 1的图象在y 2的上方， ∴使y 1＞y 2的x 的取值范围是x ＜-2或0＜x ＜2． 故选D ．
14．（2012?南京）若反比例函数k
y x
=
与一次函数y=x+2的图象没有交点，则k 的值可以是（ ）
A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2 14．A
14．解：∵反比例函数k
y x
=
与一次函数y=x+2的图象没有交点， ∴2 k y x
y x a ?
=
???=+?
①② 无解，即k x =x+2无解，整理得x 2+2x-k=0， ∴△=4+4k ＜0，解得k ＜-1，四个选项中只有-2＜-1，所以只有A 符合条件．
故选A ．
二、填空题
16．（2012?连云港）已知反比例函数2
y x
=
的图象经过点A （m ，1），则m 的值为 ． 16．2 17．（2012?盐城）若反比例函数的图象经过点P （-1，4），则它的函数关系式是 ． 17．4
y x
=-
18．（2012?衡阳）如图，反比例函数k
y x
=
的图象经过点P ，则k= ．
18．-6
19．（2012?宿迁）在平面直角坐标系中，若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线
6
y
x =-和
2
y
x
=于A，B两点，P是x轴上的任意一点，则△ABP的面积等于．19．4
19．解：如图所示：分别过点A、B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∵点A、B分别在双曲线
6
y
x
=-和
2
y
x
=上，
∴S矩形ACOE=6，S矩形BEOD=2，
∴S矩形ACBD=S矩形ACOE+S矩形BEOD=6+2=8，即AB?AC=8，
∴S△ABP=1
2
AB?AC=
1
2
×8=4．
故答案为：4．
20．（2012?毕节地区）如图，双曲线
k
y
x
=(k≠0)上有一点A，过点A作AB⊥x轴于点B，
△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为．
20．
4 y
x =-
21．（2012?益阳）反比例函数
k
y
x
=的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是（1，k），
则反比例函数的解析式是．
21．
3 y
x =
三、解答题
24．（2012?湖州）如图，已知反比例函数
k
y
x
=（k≠0）的图象经过点（-2，8）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上的两个点，请比较y1、y2的大小，并说明理由．
24．解：（1）把（-2，8）代入
k
y
x
=，得8=
2
k
-
，
解得：k=-16，所以y=-16 x ；
（2）y1＜y2．
理由：∵k=-16＜0，
∴在每一个象限内，函数值y随x的增大而增大，
∵点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且2＜4，
∴y1＜y2．
25．（2012?资阳）已知：一次函数y=3x-2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将一次函数y=3x-2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数y=3x-2的图象绕点（0，-2）旋转一定角度得到；
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点．
25．解：（1）把x=1代入y=3x-2，得y=1，
设反比例函数的解析式为
k
y
x =，
把x=1，y=1代入得，k=1，
∴该反比例函数的解析式为
1
y
x =；
（2）平移后的图象对应的解析式为y=3x+2，
解方程组
32
1
y x
y
x
=+
?
?
?
=
??
，得
1
3
3
x
y
?
=
?
?
?=
?
或
1
1
x
y
=-
?
?
=-
?
．
∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为（1
3
，3）和（-1，-1）；
（3）y=-2x-2．
（结论开放，常数项为-2，一次项系数小于-1的一次函数均可）
26．（2012?肇庆）已知反比例函数
1
k
y
x
-
=图象的两个分支分别位于第一、第三象限．
（1）求k的取值范围；
（2）若一次函数y=2x+k的图象与该反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是4．①求当x=-6时反比例函数y的值；
②当0＜x＜1
2
时，求此时一次函数y的取值范围．
26．解：（1）∵反比例函数图象两支分别位于第一、三象限，∴k-1＞0，
解得：k＞1；
（2）①∵一次函数与反比例函数交点纵坐标为4，
∴将y=4代入
1
k
y
x
-
=得：4x=k-1，即x=
1
4
k-
，
将y=4代入②得：2x+k=4，即x=4
2
k -
，
∴
1
4
k-
=
4
2
k
-
，即k-1=2（4-k），
解得：k=3，
∴反比例解析式为
2
y
x =，
当x=-6时，y=
21 63 -=-；
②由k=3，得到一次函数解析式为y=2x+3，即x=
3 2
y-
，
∵0＜x＜1
2
，∴0＜
3
2
y-
＜
1
2
，
解得：3＜y＜4，
则一次函数y的取值范围是3＜y＜4．
函数与几何综合专题 解答题 1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＜0）与x轴只有一个公共点． （1）若抛物线与x轴的公共点坐标为（2，0），求a、c满足的关系式； （2）设A为抛物线上的一定点，直线l：y＝kx+1﹣k与抛物线交于点B、C，直线BD垂直于直线y＝﹣1，垂足为点D．当k＝0时，直线l与抛物线的一个交点在y轴上，且△ABC为等腰直角三角形． ①求点A的坐标和抛物线的解析式； ②证明：对于每个给定的实数k，都有A、D、C三点共线． 2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上． （1）求点B的坐标（用含a的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴； （3）已知点P（，﹣），Q（2，2）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围． 3．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A． （1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况； （2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”． ①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标； ②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交 于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．
4．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点． （Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标； （Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值； （Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值． 5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t． ①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说 明理由． 6．将直角三角板ABC按如图1放置，直角顶点C与坐标原点重合，直角边AC、BC分别与x轴和y轴重合，其中∠ABC＝30°．将此三角板沿y轴向下平移，当点B平移到原点O时运动停止．设平移的距离为m，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为s，s关于m的函数图象（如图2所示）与m轴相交于点P（，0），与s轴相交于点Q． （1）试确定三角板ABC的面积； （2）求平移前AB边所在直线的解析式； （3）求s关于m的函数关系式，并写出Q点的坐标．
双曲线的两个分支分别位于第 象限； ，y 随着x 。 双曲线的两个分支分别位于第 象限；在 ，y 随着的增大而 。 第九章 反比例函数复习学案 【知识点 1】反比例函数 1、 反比例函数的定义：一般地，形如_________（ ）的函数叫做反比例函数。其中x 是______，_______是_______的函数，k 是________ 2、 反比例函数自变量的取值范围：____________________ 3、 分式为0的条件：______________________ 【基础练习】 1、下列函数中y 是x 的反比例函数的有（ ）个 （1）x a y =（2）xy = －1 （3）11 +=x y （4）13y x = A 、1 B 、2 C 、 3 D 、4 2、函数5 2)2(--=a x a y 是反比例函数，则a 的值是（ ） A 、－1 B 、－2 C 、2 D 、2或－2 【知识点 2】反比例函数的图像与性质 注意：反比例函数的图像是_____________________对称图形。 【基础练习】 1、若x k y 1 += 的图像经过（－1，3），则k =_________________ 2、写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限__________________ 3、已知函数2 5 (1)m y m x -=+是反比例函数，且图像在每一象限内，y 随x 的增大而增大， 则 m 的值是______ 4、正比例函数5y x =-的图象与反比例函数(0)k y k x =≠的图象相交于点A （1，a ），则k ＝________． 【知识点 3】反比例函数性质的应用 【基础练习】 1、若点（1x ，1y ）、（2x ，2y ）和（3x ，3y ）分别在反比例函数2 y x =- 的图象上，且1230x x x <<<，则下列判断中准确的是（ ） A ．123y y y << B ．312y y y << C ．231y y y << D ．321y y y << 2、反比例函数x y 6 = 图象上有三个点)(11y x ，，)(22y x ，，)(33y x ，，其中3210x x x <<<，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 （ ) A ．321y y y << B ．312y y y << C ．213y y y << D ．123y y y << 3、一次函数1y kx b =+ 和反比例函数k =y x 的图象， 观察下列图象，写出当k ax b x +>时， x 的取 值范围________________________。 【知识点 4】反比例函数k 的几何意义 【基础练习】 1.已知点P 是反比例函数 图象上的一点,PD ⊥x 轴于D .则△POD 的面积为__________. 2y x =
反比例函数练习题 一、填空题（每空3分，共42分） 1．已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点（2，－3），则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。 3．若反比例函数y=(2m-1)2 2 m x -的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4．已知反比例函数x m y )23(1 -= ，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 5.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，）， 函数值，，的大小为； 6．已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7．已知正比例函数y=kx(k≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y= k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2 的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m ＜－1，则下列函数：①()0 x x m y = ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。 10．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在__________象限。 11．老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：y 随x 的增大而减小；丁：当2
函数探究 【例1】 1.抛物线y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ． 2.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2 +4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2 +4x+6的值等于 ． 3.已知二次函数y=ax 2 ﹣2ax+1（a ＜0）图象上三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）C （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ） A ．y 1＜y 2＜y 3 B ．y 2＜y 1＜y 3 C ．y 1＜y 3＜y 2 D ．y 3＜y 1＜y 2 方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2 ＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－，顶点坐标（-， )来求对称轴及顶点坐标． 2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法； (2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断． 举一反三 1.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y=x 2 +4x+10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（ ） A ．（﹣3，7） B ．（﹣1，7） C ．（﹣4，10） D ．（0，10） 2.已知关于x 的函数y=（2m ﹣1）x 2 +3x+m 图象与坐标轴只有2个公共点，则m= ． 3.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．312y y y >> B ．312y y y >> C ．321y y y >> D ．213y y y >> 考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系 【例2】 二次函数y=ax 2 +bx+c 的图象如图所示，给出下列结论： ①2a +b ＞0；②b＞a ＞c ；③若﹣1＜m ＜n ＜1，则m+n ＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|． 其中正确的结论是 （写出你认为正确的所有结论序号）．
26.1 反比例函数 学习目标: 1.理解反比例函数的概念，并会确定反比例函数式中的比例系数； 2.能判断一个给定函数是否为反比例函数，并会根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 重点、难点： 1,理解反比例函数的概念； 2.确定反比例函数的解析式 学习过程 一.【预学提纲】初步感知、激发兴趣 1. 形如的函数叫正比例函数，其自变量的取值范围是 2.举出几组在小学中学过的成反比例的两个变量? 3.阅读课本的思考和交流，体会实际问题中两个变量的函数关系，观察其函数解析式的共同特点，形如的函数叫反比例函数；其中，叫，自变量的取值范围是 . 4.你觉得确定反比例函数中的比例系数要注意什么？ 5.反比例函数的解析式除了像定义中可以表示成，还可以将其变形表示成________ 二.【预学练习】初步运用、生成问题 1. 底边为5cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x（cm）的变化而变 化，则其中两个变量的函数关系式为______________ 2. 已知和成反比例，且当时，，则该函数的表达式为（）
A． B．C．D． 3.当a= 时，函数是反比例函数? 三.【新知探究】师生互动、揭示通法 问题1. 下列关系式中是的反比例函数吗？如果是，比例系数是多少？ (1) (2) (3) (4) (5) (6) 问题2. 若函数是反比例函数，求出m的值并写出该函数解析式. 问题3.写出下列函数关系式，并确定它们是否是反比例函数？ ⑴矩形的周长18㎝是随着较短的边（㎝）与较长的边（㎝）的变化而变化； ⑵实数与互为倒数，随着的变化而变化； 四.【解疑助学】生生互动、突出重点 问题4．当时，函数是反比例函数. 问题5．按每分钟的速度向容积为150的水池中注水，注满水池需.写 出与的关系式，并判断此关系是不是反比例关系?如果是,请指出比 例系数的值. 五.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题6.已知，其中与成正比例，与成反比例，并且当时，；当时，，求与的函数关系式.
反比例函数专题训练 专题一 1. 下列四个点，在反比例函数6 y x =图象上的是（ ） A ．(1，6-) B ．（2，4） C ．（3，2-） D ．（6-，1-) 2. 反比例函数6 y x =-的图象位于（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 3. 函数的图象经过点(1，2)，则k 的值为 ____________ ． 4. 若x k y = 的图象分别位于第二、第四象限，则k 的取值范围是 . 5. 已知反比例函数x m y 2 3-=，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内； 6. 如果反比例函数x k y =的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ） A 第一、三象限 B 第一、二象限 C 第二、四象限 D 7. 正方形ABOC 的边长为2，反比例函数 k y x =过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4- 8. 若反比例函数2 2 )12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ A 、－1或1 B 、小于 2 1 的任意实数 C 、－1 Ｄ、不能确定 9. 下列函数中，图象位于第一、三象限的有 . （填序号） ①x y 21= ②x y 1.0= ③x y 2-= ④x y 1007-= 10.已知反比例函数x k y =的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于（ ） A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 11.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的 二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象 如图所示，当3 10m V =时，气体的密度是（ ） A ．5kg/m 3 B ．2kg/m 3 C ．1kg/m 3 D. 100kg/m 3 12.反比例函数 的图象经过点（2，1），则的值是 . 13. 若反比例函数x k y 3 -=的图象位于一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=过二、四 x k y =x m y 1 += m
函数及其图像 典题探究 例1： 一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y （千米）与快车行驶时间t （小时）之间的函数图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 例2： 2013年“中国好声音”全国巡演重庆站在奥体中心举行．童童从家出发前往观看，先匀速步行至轻轨车站，等了一会儿，童童搭乘轻轨至奥体中心观看演出，演出结束后，童童搭乘邻居刘叔叔的车顺利到家．其中x 表示童童从家出发后所用时间，y 表示童童离家的距离．下图能反映y 与x 的函数关系式的大致图象是（ ） 例3： 函数3 y x = -自变量x 取值范围是（ ） A ．1x ≥且3x ≠ B ．1x ≥ C ．3x ≠ D ． 1x >且3x ≠ 例4： 已知二次函数2 (1)y a x c =--的图像如图2所示，则一次函数y ax c =+的大致图像可能是（ ） A B C D
课后练习 A 组 【确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围】 1.函数1 2 y x =-的自变量x 的取值范围是 2.在函数1 2-=x x y 中，自变量x 的取值范围是______________________ 3.在函数52-=x y 中，自变量x 的取值范围是 4.在函数2 1-= x y 中，自变量x 的取值范围是___________________ 5. 函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 6. 在函数x x y 2 -=中，自变量x 的取值范围是_______________________________ 7. 在函数y = 中，自变量x 的取值范围是 ． 【求函数值】 8.如果一次函数y=-x+b 经过（0，-4），则b= 9.函数1 3y x = +中，当x=-1时，y= 10. 函数21 y x =+x=-4时，y= 11.已知函数y=kx+b 的函数图像与y 轴交点的纵坐标为-5，且当x=1时，y=2,则x=3时， y= B 组 【用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系】 12.水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）向一个容器注水，最后把容器注满，在注 水过程中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OABC 为一折线)，这个容器的形状是图中（ ） 13.如图，动点P 从点A 出发，沿线段AB 运动至点B 后，立即按原路返回.点P 在运动过程 A . B C D
反比例函数 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成 (k 为常 数，k ≠0）的形式（或y=kx -1，k ≠0），那么称y 是x 的反比例函数． 2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k 为常数，k ≠0；（2）k x 中分母x 的指数为1；例如y= x k 就不是反比例函数；(3)自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数；（4）因变量y 的取值范围是y ≠0的一切实数． 3．反比例函数的图象和性质． 利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反 比例函数y=k x 具有如下的性质（见下表）①当k ＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而减小；②当k ＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增加而增大． 4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x ≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势． 5. 反比例函数y=k x (k≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k x (k≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k│。 6. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为 （二）：【课前练习】 1.下列函数中，是反比例函数的为（ ） A. 22y x =； B. 12y x =-； C. 2x y =； D. 13 y x =+ 2. 反比例函数12m y x -= 中，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是（ ） A. m ＞12； B. m ＜2； C. m ＜12 ；D. m ＞2 3. 函数y= k x 与y=kx+k 在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
反比例函数专题训练（含答案） 一、填空题 1.图象经过点（-2，5）的反比例函数的解析式是 . 2.已知函数3 22 )2(---=m m x m y 是反比例函数，且图象在第一、三象限内，则=m . 3.反比例函数)0(≠= k x k y 的图象叫做 .当k >0时，图象分居第 象限，在每个象限内y 随x 的增大而 ；当k <0时，图象分居第 象限，在每个象限内y 随x 的增大而 . 4.反比例函数x y 5= ，图象在第 象限内，函数值都是随x 的增大而 . 5.若变量y 与x 成反比例，且x=2时，y=-3，则y 与x 之间的函数关系式是 ，在每个象限内函数值y 随x 的增大而 . 6.已知函数x m y = ，当2 1 -=x 时，6=y ，则函数的解析式是 . 7.在函数x k y 22--=（k 为常数）的图象上有三个点（-2，y 1），(-1，y 2)，（2 1 ，y 3）， 函数值y 1，y 2，y 3的大小为 . 8．如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数x k y =的图象上，另三点在坐标轴上，则k= . 9.反比例函数x k y = 与一次函数y=kx+m 的图象有一个交点是（-2，1），则它们的另一个交点的坐标是 . 10.已知反比例函数x k y 2= 的图象位于第二、四象限，且经过点（k-1,k+2），则k= . 二、选择题 11.平行四边形的面积不变，那么它的底与高的函数关系是（ ） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 12.下列函数中，反比例函数是（ ） A.2x y - = B.x y 2-=
中考数学专题训练（函数综合） 1．如图，一次函数b kx y +=与反比例函数 x y 4 = 的图像交于A 、B 两点，其中点A 的横坐标为1， 又一次函数b kx y +=的图像与x 轴交于点()0,3-C . （1）求一次函数的解析式； （2）求点B 的坐标. 2．已知一次函数y=（1-2x ）m+x+3图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。 （1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 ，求这个一次函数的解析式。 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点A 的坐标为（2，2）， 点B 、C 在x 轴上，BC =8，AB=AC ，直线AC 与y 轴相交于点D ． （1）求点C 、D 的坐标； （2）求图象经过B 、D 、A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4．如图四，已知二次函数 2 23y ax ax =-+的图像与x 轴交于点A 与y 轴交于点C ，其顶点为D ，直线DC 的函数关系式为y kx b =+ 又tan 1OBC ∠=． （1）求二次函数的解析式和直线DC 的函数关系式； （2）求ABC △的面积． （ 图四）
5．已知在直角坐标系中，点A 的坐标是（-3，1），将线段OA 绕着点O 顺时针旋转90° 得到OB . (1)求点B 的坐标； (2)求过A 、B 、O 三点的抛物线的解析式； (3)设点B 关于抛物线的对称轴λ的对称点为C ，求△ABC 的面积。 6．如图，双曲线x y 5 = 在第一象限的一支上有一点C （1，5），过点C 的直线)0(>+-=k b kx y 与x 轴交于点A （a ，0）、与y 轴交于点B . (1)求点A 的横坐标a 与k 之间的函数关系式； (2)当该直线与双曲线在第一象限的另一交点D 的横坐标是9时，求△COD 的面积. 7．在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2． （1）求这条抛物线的解析式； （2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 为)1m ，（，且3 反比例函数 复习学案 【一、学习目标】：1.系统复习《反比例函数》并应用； 2.在复习过程中，渗透待定系数法、分类、数形结合等数学思想方法. 【二、学习重点与难点】： 重点：反比例函数知识的应用; 难点：反比例函数知识的综合运用 【三、教学过程设计与内容】： 一、 反比例函数的解析式 基础知识回顾 一般地，形如 ______________（ ）的函数称为反比例函数. （其中，自变量x 的取值范围为___________________________ ） 反比例函数解析式还可以表示为_____________和_________________ 考点突破： 1.下列函数中哪些是反比例函数? ① y=3x; ② y=2x 2; ③ xy=-2; ④ y=2x -1 ; ⑤ 2y 3x =; ⑥3y 2x = . 2.若函数 是反比例函数，则n=______. 变式：若函数 是反比例函数，则n=______. 3.已知y 与x 成反比例，当x=2时，y=3，则 y 与x 的关系式为________. 变式：已知y 与x+2成反比例，当x=1时，y=-3，则 y 与x 的关系式为_______. 4.k 为何值时,函数y=3 2 2)(--+k k x k k 是反比例函数? 5.若双曲线y ＝－6/x 经过点A （m ，－2m ），则m 的值为______. 6.一个反比例函数图像过点P （ 5 ，1）和Q （－1 ，2m ）那么m=______ 二、 反比例函数的图象以及性质 基础知识回顾反比例函数的图象是 . 7.若双曲线经过点(－3 ，2)，则其解析式是______. 8.函数 的图象在第______象限，当x<0时，y 随x 的增大而______ . 12n y x -=2 21n y n x -=-（）x y 5= 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等 于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围． 【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b， ∴b=1， ∴一次函数解析式为：y=x+1， ∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上， ∴n=1+1， ∴n=2， ∴点A的坐标是（1，2）． ∵反比例函数的图象过点A（1，2）． ∴k=1×2=2， ∴反比例函数关系式是：y= （2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ， ∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2 【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案． 2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是 4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15． 提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1， 把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y= ，得k=4． 解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1）， 则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP， ∴S△PAB=2S△AOP． 设直线AP的解析式为y=mx+n， 把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC = OC?AR+ OC?PS = ×3×4+ ×3×1= ， ∴S△PAB=2S△AOP=15； 中考数学专题训练函数综合题专题 1. 如图，一次函数y kx b y 4 与反比例函数x 的图像交于 A 、B 两点，其中y 点A的横坐标为1，又一次函数y （1）求一次函数的解析式； （2）求点 B 的坐标. kx b 的图像与x 轴交于点C3,0 . A C O x B 2. 已知一次函数y=（1-2x）m+x+3 图像不经过第四象限，且函数值y 随自变量x 的减小而减小。（1）求m 的取值范围； （2）又如果该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积是 4.5 ，求这个一次函数的解析式。 y 2 1 -1 O -1 1 2 x 图 2 3. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，已知点 A 的坐标为（2，2），点B、C 在x 轴上，BC=8，AB=AC ，直线 y 1 / 22 D A ° AC 与 y 轴相交于点 D ． （ 1）求点 C 、D 的坐标； （ 2）求图象经过 B 、D 、 A 三点的二次函数解析式及它的顶点坐标． 4. 如图四， 已知二次函数 y ax 2 2ax 3 的图像与 x 轴交于点 A ，点 B ，与 y 轴交于点 C ，其顶点为 D ，直线 DC 的函数关系式为 y kx b ，又 tan OBC 1． y （ 1）求二次函数的解析式和直线 DC 的函数关系式； D （ 2）求 △ ABC 的面积． C （ 图 四 ） A O B x 5. 已知在直角坐标系中，点 A 的坐标是（ -3， 1），将线段 OA 绕着点 O 顺时针旋转 90 得到 OB. y 2 / 22 A x (1)求点B 的坐标；(2) 求过A、B、O 三点的抛物线的解析式；(3)设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为C，求△ABC 的面积。 y 6．如图，双曲线0）、与y 轴交于点5 x 在第一象限的一支上有一点 B. C（1，5），过点C 的直线y kx b( k 0) 与x 轴交于点A（a， (1) 求点A 的横坐标 a 与k 之间的函数关系式； (2) 当该直线与双曲线在第一象限的另一交点 D 的横坐标是9 时，求△COD 的面积. y B C D O A x 第 6 题 3 / 22 专题复习(十) 函数的实际应用题 1．(2016·合肥蜀山区二模)为加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市对居民用水实行阶梯水价，居民家庭用水量划分为两个阶梯，一、二级阶梯用水的单价之比等于1∶2.如图折线表示实行阶梯水价后每月水费y(元)与用水量x(m 3 )之间的函数关系．其中射线AB 表示第二阶梯时y 与x 之间的函数关系． (1)写出点B 的实际意义； (2)求射线AB 所在直线的表达式． 解：(1)图中B 点的实际意义表示当用水量为25 m 3 时，所交水费为70元． (2)设第一阶梯用水的单价为m 元/m 3 ，则第二阶梯用水单价为2m 元/m 3 ，设A(a ，30)， 则?????am ＝30，am ＋2m （25－a ）＝70.解得? ????a ＝15，m ＝2. ∴A(15，30)，B(25，70)． 设线段AB 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，则?????15k ＋b ＝30，25k ＋b ＝70.解得? ????k ＝4，b ＝－30. ∴线段AB 所在直线的表达式为y ＝4x －30. 2．(2016·芜湖南陵县一模)某电子商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y ＝－2x ＋100. (1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间函数解析式(利润＝售价－制造成本)； (2)当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能够获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)z ＝(x －18)y ＝(x －18)(－2x ＋100) ＝－2x 2 ＋136x －1 800. ∴z 与x 之间的函数解析式为z ＝－2x 2 ＋136x －1 800(18≤x≤50)． (2)由z ＝350，得350＝－2x 2 ＋136x －1 800， 解得x 1＝25，x 2＝43. 将z ＝－2x 2 ＋136x －1 800配方，得z ＝－2(x －34)2 ＋512(18≤x≤50)． ∴当x ＝34时，z 最大＝512. 答：销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得350万元的利润；当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元． 3．(2016·合肥十校联考)某企业生产一种节能产品，投放市场供不应求．若该企业每月的产量保持在一定的范围，每套产品的售价不低于120万元．已知这种产品的月产量x(套)与每套的售价y 1(万元)之间满足关系式y 1＝190—2x ，月产量x(套)与生产总成本y 2(万元)存在如图所示的函数关系． (1)直接写出y 2与x 之间的函数关系式； (2)求月产量x 的取值范围； (3)当月产量x(套)为多少时，这种产品的利润W(万元)最大？最大利润是多少？ 解：(1)y 2＝30x ＋500. (2)由题意，得190－2x≥120，解得x≤35. 又x ＞0，∴月产量x 的范围是0＜x≤35 . (3)由题意，得 W ＝(190－2x)x －(30x ＋500) ＝－2x 2 ＋160x －500 ＝－2(x －40)2 ＋2 700. 吉林省长春市第一零四中学八年级数学下册《反比例函数》复习导学案 新人教版 【一、学习目标】： 1.系统复习《反比例函数》并应用； 2.在复习过程中，渗透待定系数法、数形结合等数学思想方法. 【二、学习重点与难点】： 重、难点：反比例函数知识的综合应用. 【三、教学过程设计与内容】： 知识点一：反比例函数的概念 1.下列函数中哪些是反比例函数? ① y=3x; ② y=2x 2; ③ xy=-2; ④ y=2x -1 ; ⑤ 2y 3x =; ⑥3y 2x = . 2.若函数 是反比例函数，则n=______. 3. 若双曲线经过点(－3 ，2)，则其解析式是______. 知识点二：反比例函数的图象以及性质 4.函数 的图象在第______象限，当x<0时，y 随x 的增大而______ . 5.函数 的图象在二、四象限内，则m 的取值范围是______ . 6.（B ）已知点A(-2,y 1),B(-1,y 2)都在反比例函数 y=4x -1 的图象上, 则y 1与y 2的大小关系(从大到小)为 . (A)已知点A(-2,y 1),B(-1,y 2)都在反比例函数 （k <0）的图象上, 则y 1与y 2的大小关系(从大到小)为 . 7. 函数y kx k =+与 k y x = 在同一坐标系中的图像大致是 ( ) 知识点三：反比例函数中的面积问题 8.(B) 如图1,点P 是反比例函数5y x = 图象上任意一点,PA ⊥x 轴于A ，PB ⊥y 轴于B .则矩形PAOB 的面积为___________. (A) 如图2,点P 是反比例函数2y x =- 图象上任意一点, PA ⊥x 轴于A ，连接PO ,则 S △PAO 为_____. 9.(B) 如图1,点P 是反比例函数图象上的一点, PA ⊥x 轴于A ，PB ⊥y 轴于B ,若 四边形PAOB 的面积为12,则这个反比例函数的关系式是________ . (A) 点P 是反比例函数图象上的一点, PA ⊥x 轴于A ，连接PO ,若S △PAO =8, 则这个反比例函数的关系式是________ . 10. 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x =上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若221n y n x -=-（）x y 5=x m y 2-=k y x = 反比例函数复习课 学习目标： 1.巩固反比例函数的概念，会求反比例函数表达式并能画出图象． 2.巩固反比例函数图象的变化其及性质 3.能运用反比例函数的性质解决某些实际问题． 重点：反比例函数的定义、图像性质。 难点：反比例函数增减性的理解。 学习过程： 一、知识回顾 1、举例说明什么是反比例函数______________________________________ 2、填表 二、知识应用 1、已知函数是反比例函数,则 m = ___ 。 2、双曲线经过点（-3，___） 3、函数的图象在第_____象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而_____ . 4、在反比例函数图象的每一支曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 5、.已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（-1，-2）．则k =_____；m=____；它们的另一个交点坐标是______． 6、已知反比例函数的图象经过点（m，2）和（-2，3）则m的值为． 7、写出下列函数关系式，并指出它们是什么函数? 1）当路程 s 一定时，时间 t 与速度 v 的函数关系 2）当矩形面积 S一定时，长 a 与宽 b 的函数关系 3）当三角形面积 S 一定时，三角形的底边 y 与高 x的函数关系 8、已知反比例函数的图象经过点P(3,-1)，则这个函数的图象位于（） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 9、已知反比例函数的图像经过（1，-2），则下列各点中，在反比例函数图象上的是（）A．(1,2) B．(-1,-2) C．(2,1) D．(1,-2) 10、在同一坐标系中，函数和的图像大致是（） 11、已知反比例函数的图像上有两点A( ， )，B( ， )，且， 则的值是（）A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定 12、在下列函数中，y是x的反比例函数的是（） （A）（B）（C）xy = 5 （D） 13、已知y 与2x 成反比例, 并且当 x = 3时 y = 4，求 x = 1.5 时 y的值。 中考数学专题练习函数含 答案 The document was prepared on January 2, 2021 《函数》 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．在平面直角坐标系中，点A(－2，3)在第( )象限. A.一 B.二 C.三 D.四 2．线段EF 是由线段PQ 平移得到的，点P （﹣1，4）的对应点为E （4，7），则点Q （﹣3，1）的对应点F 的坐标为( ) A ．（﹣8，﹣2） B ．（﹣2，﹣2） C ．（2，4） D ．（﹣6，﹣1） 3.函数1 x y x = +中的自变量x 的取值范围是( ) A ．x ≥0 B ．1x ≠- C ．0x > D ．x ≥0且1x ≠- 4. 若点 在函数 的图象上，则 的值是（ ） B.－2 D. －1 5. 对于一次函数24y x =-+，下列结论错误的是（ ） A ．函数值随自变量的增大而减小 B ．函数的图象不经过第三象限 C ．函数的图象与x 轴的交点坐标是（0，4） D ．函数的图象向下平移4个单位长度，可以得到2y x =-的图象 6. 对于函数x y 6 = ，下列说法错误的是 （ ） A. 图像分布在一、三象限 B. 图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x ＞0时，y 的值随x 的增大而增大 D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小 7. 关于抛物线2(1)2y x =--，下列说法错误的是（ ） A ．顶点坐标为(1，2-) B ．对称轴是直线1x = C ．开口方向向上 D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小 8. 设点()11,y x A 和()22,y x B 是反比例函数x k y = 图象上的两个点，当1x ＜2x ＜0时，1y ＜2y ，则一次函数k x y +-=2的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 点 P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是 ． 10.在平面直角坐标系中，与点M （-2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 . 11.一次函数62+=x y 的图象与x 的交点坐标是 . 12．反比函数k y x =的图象经过点（2，－1），则k 的值为 . 13．将抛物线23y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 . 14.小明放学后步行回家，如果他离家的路程s (米)与步行时间(t 分钟)的函数图象如图，他步行回家的平均速度是 米/分钟． 15.如图，已知A 点是反比例函数(0)k y k x =≠的图象上一点，AB y ⊥轴于 B ，且ABO △的面积为3，则k 的值为 . 函数图像与动点问题 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q 同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→Ｄ方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→Ｄ方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 2．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的有（） （1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元； （2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元； （3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5； ④OB=3，正确结论的序号是（） A．①②③B．①③C．①②④D．③④ 4．如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（） A．B．C．D． 5．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，直线y=﹣x 从原点出发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（） A．B．4 C．6 D．8 6．函数y=的图象为（） A．B．C．D． 反比例函数复习导学案 姓名 班级 【一、学习目标】： 1.系统复习《反比例函数》并应用； 2.在复习过程中，渗透待定系数法、分类、数形结合等数学思想方法. 【二、学习重点与难点】： 重点：反比例函数知识的应用;难点：反比例函数知识的综合运用 三、【考点透视】 1.能根据已知条件利用待定系数法确定反比例函数的表达式； 2.能正确画出反比例函数的图象，结合图象或表达式说出其性质，并能运用其性质解决简单的实际问题； 3.能结合反比例函数图象计算简单图形的面积。 一、 反比例函数的解析式 基础知识回顾（课前完成） 一般地，形如 ______________（ ）的函数称为反比例函数. （其中，自变量x 的取值范围为___________________________ ） 反比例函数解析式还可以表示为_____________和_________________ 考点突破： 1.下列函数中哪些是反比例函数? ① y=3x; ② y=2x 2 ; ③ xy=-2; ④ y=2x -1 ; ⑤ 2y 3x = ; ⑥3y 2x = . 2.若函数 是反比例函数，则n=______. 变式：若函数 是反比例函数，则n=______. 3.已知y 与x 成反比例，当x=2时，y=3，则 y 与x 的关系式为________. 变式：已知y 与x+2成反比例，当x=1时，y=-3，则 y 与x 的关系式为_______. 二、 反比例函数的图象以及性质 基础知识回顾（课前完成）反比例函数的图象是 . 4.若双曲线经过点(－3 ，2)，则其解析式是______. 5.函数 的图象在第______象限，当x<0时，y 随x 的增大而______ . 6.函数 的图象在二、四象限内，则m 的取值范围是______ . 7.已知点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)（x 1＜0＜x 2 )都在反比例函数 的图象上,则y 1 与y 2的大小关系(从大到小)为 . 12n y x -=2 21n y n x -=-（）x y 5=x m y 2-=)0(<=k x k y反比例函数 复习学案
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