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数列基本概念
数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质,依据这些性质将数列分类:
依定义域分为:有穷数列、无穷数列; 依值域分为:有界数列和无界数列;
依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。
数列的表示方法:列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法); 数列通项:()n a f n =2、等差数列
1、定义 当n N ∈,且2n ≥时,总有 1,()n n a a d d +-=常,d 叫公差。
2、通项公式 1(1)n a a n d =+-
1)、从函数角度看 1()n a dn a d =+-是n 的一次函数,其图象是以点1(1,)a 为端点, 斜率为d 斜线上一些孤立点。
2)、从变形角度看 (1)()n n a a n d =+--,即可从两个不同方向认识同一数列,公差为相反数。 又11(1),(1)n m a a n d a a m d =+-=+-,
相减得()n m a a n m d -=-,即()n m a a n m d =+-. 若 n>m ,则以m a 为第一项,n a 是第n-m+1项,公差为d ; 若n 3)、从发展的角度看 若{}n a 是等差数列,则12(2)p q a a a p q d +=++-,12(2)m n a a a m n d +=++-, 因此有如下命题:在等差数列中,若2m n p q r +=+= , 则2m n p q r a a a a a +=+=. 3、前n 项和公式 由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++ , 相加得 12n n a a S n += , 还可表示为1(1) ,(0)2 n n n S na d d -=+≠,是n 的二次函数。 特别的,由1212n n a a a -+= 可得21(21)n n S n a -=-。 3、等比数列 1、 定义 当n N ∈,且2n ≥时,总有 1 (0)n n a q q a -=≠ , q 叫公比。 2、通项公式: 11n n m n m a a q a q --==, 在等比数列中,若2m n p q r +=+= , 则2 m n p q r a a a a a ?=?=. 3、前n 项和公式: 由 12231,n n n n n S a a a qS a a a a +=+++=++++ , 两式相减, 当 1q ≠时,11(1),(1)11n n a a q a q S q q q --==≠-- ;当1q =时 ,1n s na = 。 关于此公式可以从以下几方面认识: ①不能忽视11(1)11n n a a q a q S q q --== -- 成立的条件:1q ≠。特别是公比用字母表示时,要分类讨论。②公式推导过程中,所使用的“错位相消法”,可以用在相减后所得式子能够求和的情形。 如,公差为d 的等差数列{}n a ,212n n n S a x a x a x =+++ ,则231121n n n n n xS a x a x a x a x +-=+++ , 相减得 211(1)n n n n S x a x dx dx a x +-=+++- , 当 1x ≠时,11 1(1)(1)1n n n n dx x S x a x a x x -+--=+--,12112 (1)1(1)n n n n a x a x dx x S x x +---=+ -- 当1x =时 ,121(1)2 n n n n d S a a a na -=+++=+ ; 3)从函数角度看 n S 是n 的函数,此时q 和1a 是常数。 4、等差与等比数列概念及性质对照表 5、递推数列 表示数列中相邻的若干项之间关系的式子叫数列递推公式。作为特殊的函数,数列可用递推式表示。 求递推数列通项公式常用方法:公式法、归纳法、累加法、累乘法。特别的,累加法是求形如1()n n a a f n +=+递推数列的基本方法,其中数列{()}f n 可求前n 项和,即1211()()n n n a a a a a a -=+-++- ;累乘法是求形 如1()n n a g n a +=?递推数列通项公式的基本方法,其中数列{()}g n 可求前n 项积,即 3 21121 ,(0)n n n a a a a a a a a a -=? ?≠ . 第一节 等差数列的概念、性质及前n 项和 题根一 等差数列{a n }中,69121520a a a a +++=,求S 20 [思路]等差数列前n 项和公式11()(1) 22 n n a a n n n S na d +-= =+: 1、 由已知直接求a 1 ,公差d. 2、 利用性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+ [解题 ] 由69121520a a a a +++= ,615912120a a a a a a +=+=+ ,得 1202()20a a +=, 12010a a ∴+=,120()20 1002 n a a S +?∴= =。 [收获] 灵活应用通项性质可使运算过程简化。 [请你试试 1——1] 1、 等差数列{a n } 满足121010a a a +++= ,则有 ( ) A 、 11010a a +> B 、 21000a a +< C 、 3990a a += D 、 5151a = 2、 等差数列中,a 3+a 7-a 10=8,a 11-a 4=4,求13S 。 第1变 求和方法——倒序相加法 [变题1] 等差数列{a n }共10项,123420a a a a +++=,12360n n n n a a a a ---+++=,求S n. [思路] 已知数列前四项和与后四项和,结合通项性质,联想S n 公式推导方法。 [解题] 已知123420a a a a +++=,12360n n n n a a a a ---+++=, 又 14()80n a a +=,得 120n a a +=,1()20 1010022 n n a a n S +?∴= =?=, [收获] 1、重视倒加法的应用,恰当运用通项性质:q p n m a a a a q p n m +=+?+=+,快捷准确; 3、 求出1n a a +后运用“整体代换”手段巧妙解决问题。 [请你试试 1——2] 1、 等差数列{a n }共2k+1项,所有奇数项和为S 奇 ,所有偶数项和为S 偶 ,求 S 奇:S 偶 的值。 2、 等差数列{a n }前n 项和为18 ,若1S =3, 123n n n a a a --++=, 求项数n . 3、 求由 1,2,3,4四个数字组成的无重复数字的所有三位数的和。 4、 求和122n n n n n S n C C C = +++ 。 第2变 已知前n 项和及前m 项和,如何求前n+m 项和 [变题2] 在等差数列{a n }中,S n =a,S m =b,(m>n),求S n+m 的值。 [思路] ,,m m n S S S +n 下标存在关系:m+n=m+n, 这与通项性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+是否有关? [解题] 由S n =a,S m =S n +a n+1+a n+2+……+a m =b 得 a n+1+a n+2+……+a m =b-a, 即 a b n m a a m n -=-++)(21,得 n m a b a a m n --=++21 由(n+1)+m=1+(n+m), 得a n+1+a m =a 1+a m+n 故).()(2)(211n m n m a b n m a a n m a a S m n n m n m +--=++=++=+++ [请你试试 1——3] 1、在等差数列{a n }中,15S =6,55S =9,求 S 15 。 2、在等差数列{a n }中,1S =3,3S =9,求 S 12 。 第3变已知已知前n 项和及前2n 项和,如何求前3n 项和 [变题3] 在等差数列{a n }中,20S =10,40S =20,求 S 30 [思路] 由2030,,S S S 10寻找102030,,S S S S S --1020之间的关系。 [解题] 设数列{a n }公差为 d ,101210S a a a =+++ ,2010111220S S a a a -=+++ , 3020212230S S a a a -=+++ , 201010()1010S S S d ∴--=?, 30202010()()1010S S S S d ---=?, 所以 102030,,S S S S S --1020成等差数列,公差100d , 于是 2010302()()S S S S S -=+-1020,得 30203()32060S S S =-=?=10。 [收获] 1、在等差数列{a n }中,102030,,S S S S S --1020成等差数列,即 1210a a a +++ ,111220a a a +++ , 212230a a a +++ ,……,成等差数列,且30203()S S S =-10。 3、 可推广为 535()n n S S S =-2n ,747()n n S S S =-3n ,……,(21)(21)[]k n kn S k S S -=--(k-1)n 。 [请你试试 1——4] 1、在等差数列{a n }中,123a a +=,346a a +=,求78a a + 2、在等差数列{a n }中,121010a a a +++= ,11122020a a a +++= ,求 313240a a a +++ 3、在等差数列{a n }中,20S =10,30S =20,求 S 50及S 100。 4、数列{a n }中,S a =n ,S b =2n ,求 S 3n 。 5、等差数列{a n }共有3k 项,前2k 项和25S =2k ,后2k 项和75S '=2k ,求中间k 项和S 中。 第4变迁移变换 重视Sx=Ax 2 +Bx 的应用 [变题4] 在等差数列{a n }中,S n =m,,S m =n,(m>n),求S n+m 的值。 [思路] 等差数列前n 项和公式是关于n 的二次函数,若所求问题与1,a d 无关时,常设为S=An 2 +Bn 形式。 [解题] 由已知可设 S n =An 2+Bn=mS m =Am 2 +Bm=n , 两式相减 ,得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=m-n , 又m>n , 所以 ()1A n m B ++=-, 得 2()()()[()]()m n S A m n B m n m n A m n B m n +=+++=+++=-+。 [收获] “整体代换”设而不求,可以使解题过程优化。 [请你试试 1——5] 1、 在等差数列{a n }中,84S =12,460S =20,求 S 32 2、 在等差数列{a n }中,,()n S S m n =≠m ,,求 S m+n 3、 在等差数列{a n }中,0a >1,15S S =10,求 当n 为何值时,S n 有最大值 第5变归纳总结,发展提高 [题目] 在等差数列{a n }中,S n =a,S m =b,(m>n),求S n+m 的值。(仍以变题2为例) 除上面利用通项性质q p n m a a a a q p n m +=+?+=+求法外,还有多种方法。现列举例如下: 1、 基本量求解: 由b d m m ma S a d n n na S m n =-+==-+ =2) 1(,2)1(11, 相减得b a d n m a m n -=-++ -]21)[(1, d n m n m a n m S n m 2 ) 1)(()(1-++++=+ 代入得m n b a n m S n m --+=+) )((。 2、利用等差数列前x 项和公式Sx=Ax 2 +Bx 求解 由Sx=Ax 2+Bx ,得 S n =An 2+Bn,S m =Am 2 +Bm 两式相减 ,得 A(n+m)(n-m)+B(n-m)=a-b 即m n b a B m n A --= ++)(故)()()(2 b a m n m n n m B n m A S n m --+= +++=+ 3、利用关系式 B An n S n +=求解 由 B An n S n +=知n S n 与n 成线性关系,从而点集{(n, n S n )}中的点共线,即(n, n S n ), (m, m S m ),(m+n, n m S n m ++)共线,则有n n m n s n m s m n m s n s n n m m n -+-+=--+,即m n a n m s m n m b n a n m - +=--+ , 化简, 得m n nb na a m n nb ma s n m n n m --=+--=++,即)(b a m n m n s n m --+=+. 4、利用定比分点坐标公式求解 由A(n, n S n ),B(m, m S m ),P(m+n, n m S n m ++)三点共线,将点P 看作有向线段→AB 的定比分点,则 n m n m m n n m PB AP -=+--+==→→ )(λ,可得 m n b a n m n b n a n m m s n m n s n m s m n n m --=-- =-+-+=++1)(1)(, 即)(b a m n m n s n m --+= +. [请你试试 1——6] 若S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 2=3,S 6=4 ,则S 12______. 第二节 等比数列的概念、性质及前n 项和 题根二 等比数列{a n } ,574,6a a ==, 求a 9。 [思路] 1、由已知条件联立,求,从而得 2、由等比数列性质,知成等比数列。 [解题1] 由4651714,9a a q a a q ====, 两式相除,得 2 32q = ,2 973692 a a q ∴==?=。 [解题2] 由579,,a a a 成等比,得 22 795694 a a a ===。 [收获] 1、灵活应用性质,是简便解题的基础; 2、等比数列中,序号成等差的项,成等比数列。 等比数列{a n } , 10,2a q >=,若 30123302a a a a ???= ,则36930a a a a ???= _______。 第1变 连续若干项之和构成的数列仍成等比数列 [变题2] 等比数列{a n } ,1234562,6a a a a a a ++=++=,求 101112a a a ++。 [思路] 等比数列中,连续若干项的和成等比数列。 [解题] 设11232456,b a a a b a a a =++=++,……,4101112b a a a =++, 则{}b n 是等比数列,12,3b q ==,33412354b b q ∴==?=,即 10111254a a a ++=。 [收获] 等比数列{a n } , 1q ≠- 时,232 ,,k k k k k S S S S S --,…… 成等比数列,但总有 2 322()()k k k k k S S S S S ?-=- 。当k 为偶数时,0k q >恒成立。 [请你试试2——2] 1、等比数列{a n } , 1q ≠- 时,242,6S S ==,求6S 。 2、等比数列{a n } , 1q ≠- 时,261,21S S ==,求4S 。 第2变 396,,S S S 成等差,则 396,,a a a 成等差 [变题3] 等比数列{a n } 中, 396,,S S S 成等差,则 396,,a a a 成等差 。 [思路] 396,,S S S 成等差,得3692S S S +=,要证 396,,a a a 等差,只需证3692a a a +=。 [解题]由 396,,S S S 成等差,得3692S S S +=, 当 q=1时,3161913,6,9S a S a S a === , 由10a ≠得 3692S S S +≠,1q ∴≠。 由3692S S S +=, 得 369111(1)(1)2(1) 111a q a q a q q q q ---+=---, 整理得 3 6 9 2q q q +=,0q ≠ ,得 3 6 12q q +=, 两边同乘以 3a , 得 3692a a a +=,即 396,,a a a 成等差。 [收获] 1、等比数列{a n } 中,396,,S S S 成等差,则 285,,a a a 成等差。 2、等比数列{a n } 中,,,n m k S S S 成等差,则 ,,n d m d k d a a a +++ (其中* ,,,m d n d k d N d Z +++∈∈ )成等差 3、等比数列{a n } 中,,,n m k a a a 成等差,则,,n d m d k d a a a +++ (其中*,,,m d n d k d N d Z +++∈∈)成等差。 [请你试试2——3] 1、 等比数列{a n } , 1q ≠,356,,a a a 成等差, 求11910()a a a -+的值。 2、等比数列{a n } ,174,,a a a 成等差,求证 361262,,S S S S -成等比。 第3变 {}n S 是等比,{}n a 也是等比数列 [变题4]数列{}n a 中,10a ≠ 且 12,,,,n S S S ,是等比数列,公比 q (1q ≠),求证{}n a (2n ≥) 也是等比数列。 [思路] 1n n n a S S -=- ,欲证{}n a 为等比数列,只需证 1 n n a a -为常数。 [解题] 1n n n a S S -=- ,11n n n a S S ++=-,(2n ≥), 得 111 n n n n n n a S S a S S ++--= -,而 1n n S S q -=?,211n n S S q +-=?,111(1) (1) n n n n a S q q q a S q +--?-∴ ==-, (2n ≥ ), 故{}n a 从第二项起,构成等比数列,公比为 q 。 第4变等比数列在分期付款问题中应用 问题顾客购买一售价为5000元的商品时,采用分期付款方法,每期付款数相同,购买后1个月付款一次,到第12次付款后全部付清。如果月利润为0.8%,每月利息按复利计算,那么每期应付款多少?(精确到1元) 分析一:设每期应付款x 元,则 第1次付款后,还欠 5000(1+0.8%)-x (元) 第2次付款后,还欠 [5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)2 -x(1+0.8%)-x (元) 第3次付款后,还欠 {5000(1+0.8%)2-x(1+0.8%)-x}(1+0.8%)-x=5000(1+0.8%)3-x(1+0.8%)2 -x(1+0.8%)-x (元) ………… 最后一次付款后,款已全部还清,则 5000(1+0.8%)12-x(1+0.8%)11-x (1+0.8%)10 -……-x(1+0.8%)-x=0 , 移项 5000(1+0.8%)12 =x(1+0.8%)11 +x (1+0.8%)10 +……+x(1+0.8%)+x , 即12 121 1.0085000 1.0081 1.008 x -? =?- 算得1212 5000 1.008(1.0081) 1.0081 x ??-=-438.6≈(元) 一般地,购买一件售价为a 元的商品,采用分期付款时,要求在m 个月内将款还至b 元,月利润为p ,分n (n 是m 的约数)次付款,那么每次付款数计算公式为[(1)][(1)1] (1)1 m m n m a p b p x p +-+-= +-. 分析二:设每月还款x 元,将商家的5000元折算成12个月后的钱要计算12个月的利息,而顾客第一次还的 钱也应计算11个月的利息,第二次还的钱应计算10月的利息……,于是得方程 5000(1+0.8%)12=x(1+0.8%)11+x (1+0.8%)10 +……+x(1+0.8%)+x ,解得438.6x ≈(元) 分析三:设每次还款x 元,把还款折成现在的钱,可得 211 500010.8%(10.8%)(10.8%)x x x = +++ +++ , 解得438.6x ≈(元)。 将上述方法应用到其他实际问题中,如木材砍伐,人口增长等。 [请你试试2——4] 某地现有居民住房的总面积为a m 2 ,其中需要拆除的旧住房面积占了一半。当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下,仍以10%的住房增长率建设新住房。如果10年后该地的住房总面积正好比目前翻一番,那么 每年应拆除的旧住房总面积x 是多少?(取1.110 为2.6) 第三节 常见数列的通项及前n 项和 [题根3] 求分数数列 111,,,122334 ??? 的前n 项和n S [思路] 写出数列通项公式,分析数列特点:分母中两因数之差为常数1。 [解题] 数列通项公式 1(1) n a n n = +,亦可表示为11 1n a n n =-+ , 所以 11111111223111 n n S n n n n =- +-+---=+++ 。 [收获] 将数列每一项裂为两项的差,再相加,使得正负抵消。 第1变 分母中两因数之差由常数1由到d [变题1] 求分数数列 111,,,133557 ??? 的前n 项和n S 。 [思路] 写出通项公式,裂项求和。, [解题] 1111(21)(21)22121n a n n n n ?? = =?- ?-+-+?? , 11111111112335212122121 n n S n n n n ????∴=?-+-++-=?-= ? ? -+++???? 。 [收获]1、求分数数列的前n 项和n S 时,将数列每一项裂为两项的差,称裂项法。 2、用裂项法可求解: (1) 若{}n a 为等差数列,0,1,2,n a k ≠= ,公差为d ,则 122334111 1111n n n n a a a a a a a a a a ++++++= ????? . 3、常见裂项法求和有两种类型:分式型和根式型。如分式型 1111 (3)33 n a n n n n ??==?- ? ++ ?? ; 根式型 n a== ; 1 a b = - 。另外还有:nn!=(n+1)!-n!, 1 1 m m m n n n C C C - + =-。 [请你试试 3——1] 1、求分数数列 1111 ,,,, 261220 的前n项和 n S 2、求分数数列 2222 1111 ,,,, 12243648 ++++ 的前n项和 n S。 2、求分数数列 22222222 81828384 ,,,, 13355779 ???? ???? 的前n项和 n S。 第2变分母中因数由2到3 [变题2] 求分数数列 111 ,,, 123234345 ?????? 的前n项和 n S。 [思路] 数列中的项的变化:分母因数由两个变为三个,是否还可裂项呢? [解题] 由 1111 (1)(2)2(1)(1)(2) n a n n n n n n n ?? ==?- ?? +++++ ?? , 得 1111111 ()() 212232334(1)(1)(2) n S n n n n ?? ∴=?-+-++- ?? ????+++ ?? 111(3) 212(1)(2)(1)(2) n n n n n n ??+ =?-= ? ?++++ ?? 。 [收获] 1、分母为连续三因数的积,仍拆为两项的差,再相加,使得正负抵消。 2、对于公差为d (0 d≠)的等差数列{} n a ,有 1212123 1111 () (1) k k k a a a k d a a a a a a - =?- ?-?? . [请你试试 3——2] 1、求分数数列 111 ,,, 135357579 ?????? ……的前n项和 n S。 2、求分数数列 111 ,,, 123423453456 ????????? ……的前n项和 n S。 3、求分数数列 3333 345 1111 ,,,,, n C C C C ……的前n项和 n S。 [变题3] 求数列2221,2,3,……的前n 项和n S 。 [思路] 利用恒等式 332(1)331k k k k +-=++,取k=1,2,3,……,相加正负抵消可解。 [解题] 由恒等式 332(1)331k k k k +-=++ 取k=1、2、3……, 得 3322131311-=?+?+ 3323232321-=?+?+ ………… 332(1)331n n n n +-=++ 各式相加得 3 3 2 2 2 (1)13(12)3(12)n n n n +-=++++++++ 得 22233 11(1)12[(1)3(12)1](1)313 32n n n S n n n n n n +??=+++=+-+++--= +-?--???? 1 (1)(21)6 n n n = ++ 。 [收获] 利用恒等式4432(1)4641k k k k k +-=+++ ,类似可得 33312n S n =+++ 2 (1)2n n +?? =???? 。 注意:正整数的平方和、立方和公式应用十分广泛。 [请你试试 3——3] 求和 (1)22224(2)n S n =+++ ,(2)33313(21)n S n =+++- ,(3)33324(2)n S n =+++ 。 第4变 由幂数列到积数列 [变题4] 求数列12,23,34,???……的前n 项和n S 。 [思路1]写通项公式,由通项特征求解。 [解题1]2(1)n a n n n n =+=+ , 222(11)(22)()n S n n ∴=++++++ 222(12)(12)n n =+++++++ 1(1)1 (1)(21)(1)(2)623 n n n n n n n n += +++=++。 [思路2] 利用[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3 n a n n n n n n n n =+=++--+裂项相加。 [解题2] 由[]1 (1)(1)(2)(1)(1)3 n a n n n n n n n n =+= ++--+ 得 122334(1)n S n n =?+?+?+++ []1 (123012)(234123)(1)(2)(1)(1)3n n n n n n = ??-??+??-??++++--+ 1 (1)(2)3n n n =++。 [收获] 对于通项为两因数的积,可推广到通项为 k 个因数的积,如求数列 123,23(1),34(2),k k k ???+?+ ……的前项和n S 。 由1 (1)(1)[(1)()(1)(1)],1 n a n n n k n n n k n n n k k =?+?+-=++--+-+ 将每一项裂为两项的差,相加即可正负抵消。 [思路3] 联想组合数公式,可见 2 1 (1)2 n n n C = +,利用组合数性质可得。 [解题3] 由2 (1)2 n n a n n C =+=,得 2 222 23122()2n n n S C C C C ++=+++= 1(1)(2)3n n n =++。 [请你试试 3——4] 求数列123,234,345,??????……的前n 项和n S 。 第4变 由等差数列与等比数列对应项的积构成的积数列 [变题5] 在数列{}n a 中,210(1)11n n a n n n ?? =+?=+ ??? ,(1) 分别求出10n n a a +-> 和 10n n a a +-<的n 取值 范围;(2)求数列最大项;(3)求数列前n 项和n S 。 [思路] 1、解正整数不等式,2、利用函数单调性,3、利用错位相消法。 [解题] (1)由 1 11010910(2)(1)11111111n n n n n n a a n n ++-?? ???? -=+?-+?=? ? ? ??? ?? ??, 当n<9时,10n n a a +-> ,即 1n n a a +>;当 n<9时,10n n a a +-<, 即 1n n a a +<。 (2) 当n=9时,9109991001111a a -??-=?= ???,9 910101011a a ?? ∴==? ???是数列的最大项。 (3) 设 2 10101023(1)111111n n S n ???? =?+?+++? ? ????? (1) 则 2 3 1 1010101023(1)11111111n n S n +?????? =?+?+++? ? ? ? ?????? (2) 相减得 2 3 110101010102(1)111111111111n n n S n ????????=?+?++-+? ? ? ? ????????? 12010(12)1111n n ?? =-+? ??? 。 [请你试试 3——5] 1、 求数列 {2}n n ?……的前n 项和n S 。 2、 求和2311357(21)n n S x x x n x -=++++++ 。 3、 求和135212482n n n S n n n n -= ++++? 。 4、 已知数列 {}n a ,11,23n a a n =-=- 数列{}n b ,114,2n n b b +==,求数列 {}n n a b 的前n 项和n S 。 第四节 递推数列的通项公式及前n 项和 1、利用不动点求数列通项 [题根三]数列 {}n a 满足11a =,121n n a a +=+,求通项公式n a 。 [思路] 1、写出 1234,,,a a a a ,由不完全归纳法得n a 表达式。 2、构造新数列,转化成等比数列求解。 [解题] 在的121n n a a +=+ 两边加1,则数列 {1}n a +是首项为2,公比为2的等比数列, 得 1122n n a -+=?,即 122121n n n a -=?-=-即为所求。 [收获] 1(1)n n a pa q p +=+≠型递推数列,当p=1时, 数列为等差数列;当0,0q p =≠时,数列为等比数列。下面 给出1p ≠时递推式的通项公式的求法: 方法1、因为 1,p ≠所以一定存在α满足p q αα=+,从而得1q p α= -,此为函数()f x px q =+的不动点。由1()()n n n a pa q p q p a ααα+-=+-+=-,得{}n a α-是首项为1a α-,公比为p 的等比数列,于是 11()n n a a p αα--=-, 即11()n n a a p αα-=+-,将1q p α= -代入上式, 得通项公式为 11().11n n q q a a p p p -= +---………………(I ) 方法2、由1n n a pa q +=+,1n n a pa q -=+, 得11()n n n n a a p a a +--=-,令1n n n b a a +=-, 则1n n b pb -=, 则{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列, 得 1 11 n n k k a a b -==+∑111(1) 1n b p a p --=+- 1211()(1) (2)1n a a p a n p ---=+≥- (*) ;当n=1时,(*)式也成立。 [请你试试4——1] 数列{}n a 满足 19a =, 134n n a a ++= ,求n a 。 [变题1] 数列 {}n a 满足11a =,1221 n n n a a a += + 求通项公式n a 。 [思路] 常见解法:先求数列 1n a ?? ???? 的通项公式 [解题]由将已知关系式取倒数得 111112n n a a +=?+, 由(#)式 得 1 1122n n a -?? =- ? ?? ,所以11 22n n a -= -。 [收获] 1n n n pa a ra s += +型递推数列的通项公式的求法: 令px x rx s = +,得10x =或2p s x r -=为两不动点。由于111111n n n s r a x a p a p ++==?+-, 设1n n b a = ,则1n n s r b b p p +=?+,此为1(1)n n a pa q p +=+≠模型。同样,12 1 n a x +-也可化为 1(1) n n a pa q p +=+≠模型,由(I )式可求得n a 。更为特殊的是p=s 时,111111n n n r a x a a p ++==+-, 设 1 n n b a = 则数列 {}n b 是等差数列 。我们常取1n n n pa a ra p += +的倒数求解 ,原因恰是为此 。 [变题2] (06年江西理第22题)数列 {}n a 满足132a = ,11321 n n n na a a n --=+-*(2,)n n N ≥∈ 求通项公式n a 。 [解答] 11321n n n na a a n --= +-1112 33 n n n n a a --?=?+,即11233n n b b -=?+1111()33n n b b -?-=?-,又132a =,得 1213b =-,所以 1 21(1)33n n b -?? =-? ? ?? ,得 331 n n n n a ?=-。 [请你试试4——2] 函数()31 x f x x = + ,数列{}n a 满足11a =,1()n n a f a +=,*()n N ∈ ,(1)求{}n a 的通项公式 n a ;(2)设 12231n n n S a a a a a a +=?+?++? ,求 n S 。 [变题2]数列{}n a 中,1114 0,,(2)2 n n n a a a n a --+== ≥-,求n a [思路1] 令4 2x x x += -,得 124,1x x ==-,即两不动点,可得1141n n a a ++??-??+??是等比数列, [解法1]由11111143123(4) 44222 n n n n n n n a a a a a a a ------+-+--= -==- ---, 令4n n b a =-,则1 132 n n n b b a --=- -……………………(a ) 由111142(1) 1122 n n n n n a a a a a ----+++= += --, 令1n n c a =+,则1 122 n n n c c a --= -……………………(b ) (a) 式除以(b)式得 11 32n n n n b b c c --=-?,即n n b c ?????? 是首项为111144,1b a c a -==-+ 公比为32-的等比数列,1 4 3421 n n n n n b a c a --?? ∴=-?-= ? +?? , 1 11 344 2024.3241423n n n n a ---?? --+ ???∴==-?????-++- ? ????? [思路2] 111n a x +-和12 1 n a x +-均可化为1(1)n n a pa q p +=+≠型递推式, [解法2]由 1112121.43(4)3(4)3 n n n n a a a a ----=-=----- 令1 4 n n b a = -,则12133n n b b -=--,由(I )式得 111123322431133n n b -?? - - ???=+--?- ? ??? ?++?? 1112152034n n a -??=--?-= ?-?? 所以1 1 12044.1122452033n n n a --=+ =- ?? ??---+- ? ??? ?? [解法3]由 11311 1212 n n a a -=-?+++,亦可求得1 204.243n n a -=-?? +- ??? [收获] 求解1n n n pa q a ra s ++= +型递推数列的通项公式的方法: 令px q x rx s += +,设其两根为12,x x 即两不动点。于是1112n n a x a x ++??-??-?? 是等比数列,并且111n a x +-和12 1 n a x +-均可化为1(1)n n a pa q p +=+≠型递推式 。 [请你试试4——3] 写出解法3的详细过程。 [变题3] 设数列{}n a 前n 项和为432n n S a n =-+,求n a 及n S 。 [思路] 将已知关系中 n S 的化为 n a ,再进一步变形。 [解题] 由432n n S a n =-+,得 1141a a =-, 即11.3 a = 11432[43(1)2]n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+1443n n a a -=-+, 得14 13 n n a a -= -. 这是1n n a pa q -=+型递推式,由(#)式得 11 11144310.443331133n n n n a --?? ???=+-?=-+? ? ??? ?- -?? 443210103.3n n n S a n n ?? ∴=-+=-+- ??? 第1变 递推式 1 ()n n a f n a += 2、累积错位相消法求数列通项 [变题4] 数列 {}n a 满足11a =,12n n n a a +=,求通项公式n a 。 [思路] 观察 1a 与2a 、2a 与3a 存在的关系,思考解题方法。 [解题] 212a a = ,322a a =,432a a =,……,12n n a a -=,各式相乘得 11122n n n a a --==。 [收获] 1、若f(n)为常数, 则{}n a 为等比数列。2、1()n n a f n a +=型递推式,通项公式求解方法如下: 12121 (1),(2),(1).n n n n a a a f n f n f a a a ---=-=-= 各式两边分别相乘,得1(1)(2)(1),n a a f f f n =- ……………………………(II ) 当n=1时, (II)仍成立 [变题5] 在数列{}n a 中,11121,2()n n a na a a a +==++ , (1) 求{}n a 通项公式 (2)令1 22 24n n n n a b a a ++= ,求{}n b 的前n 项和n S 。 [思路] 将题中递推式转化、归类,再求解。 [解题] (1)将题中递推式转化为: 1121212()2()2(1)2n n n n n n na a a a a a a a n a a +-=++=++++=-+ . 即11n n n a a n ++= .由 (II)式得{}n a 通项公式123.121 n n a a n n =??=- (2) 由 {}n a n =, 得1222222 244(1)11 .(2)(2) n n n n a n b a a n n n n +++= ==-++ 所以数列{}n b 前n 项和:221 1 11 [ ](2) n n n k k k S b k k === =-+∑∑ 22222221111111 1324(1)(1)(2)n n n n =-+-++-+--++ 222 5265.4(1)(2) n n n n ++=-+?+ 第2变)(1 n f a a n n +=+型递推数列 3、累加错位相消法求数列通项 [变题6] 已知数列}{n a 中,11a =,11(1)n n a a n n +=+-, 求}{n a 的通项公式。 [思路] 将题中递推式变形 111 1n n a a n n +-= --,利用错位相消法。 解 将题中递推式表示为:1111n n a a n n +-= --, 于是 21112a a -=-,321123a a -=-,4311 34 a a -=-,……,111 21 n n a a n n --= --- 各式相加得 213211()()(),n n n a a a a a a a a --+-+-=- 得 11111111(1)()()( )2233421 n a a n n =+-+-+-++--- 1111211 n n =+- =--- 即为所求通项公式。 [收获] 对于数列}{n a ,设 ,2,1,1=-=+n a a b n n n 则称数列}{n b 是}{n a 差数列, 则 121213211()()(),n n n n b b b a a a a a a a a --+++=-+-+-=- 得∑-=+=1 1 1.n k k n b a a 所以{}n a 的通项公式为1 11 (),(2)n n k a a f k n -==+ ≥∑…………(III ). 当n=1时,也满足(III)式。 [变题7] 在数列}{n a 中,12a =,1(1)n n na n a +=+ , 求}{n a 通项公式。 [思路] 题中关系式不是)(1n f a a n n +=+型的递推式,但两边同除以n(n+1),经过变量替换,可化为 )(1n f a a n n +=+型递推式。 [解题]在递推式 1(1)n n na n a +=+ 两边同除以 n(n+1), 得 11 1(1) n n a a n n n n +=+++ 令n n a b n = 得 11(1) n n b b n n +=++,1121a b ==。由(III )式得 n b 表达式为: 1 1 1111111 ()(1)1n n n k k b b b k k k k --===+=+-++∑∑1111112(1)3.2231n n n =+-+-++ -=-- 于是{}n a 通项公式为1(3)3 1.n n a nb n n n ==-=- [请你试试4——4] 求数列 1、4、11、26、57、120、……,的通项公式。 第3变1 ()n n a pa q n +=+型递推数列 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 数列知识点归纳及例题分析 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念: 1.归纳通项公式:注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式: (1)0,-3,8,-15,24,....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系:???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意:①强调2,1≥=n n 分开,注意下标;②n a 与n S 之间的互化(求通项) 例2:已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ,求n a . 3.数列的函数性质: (1)单调性的判定与证明:①定义法;②函数单调性法 (2)最大(小)项问题:①单调性法;②图像法 (3)数列的周期性:(注意与函数周期性的联系) 例3:已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531 =a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比(类比的思想,比较相同之处和不同之处) 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=(d 是常数1,2,3n =,…) 1 n n a q a +=(q 是常数,且0≠q ,1,2,3n =,…) 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广:n m n m a a q -= 求和 公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项 公式 2 n k n k a a A -++=(*,,0n k N n k ∈>>) k n k n a a G +-±=(*,,0n k N n k ∈>>) 高一数学数列知识总结 知识网络 二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题:(1)当1a >0,d<0时,满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值 的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法: (1)利用观察法求数列的通项. (2)利用公式法求数列的通项:①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n (;②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. (3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项: ①)(1n f a a n n +=+;②).(1n f a a n n =+ (4)造等差、等比数列求通项: ① q pa a n n +=+1;②n n n q pa a +=+1;③)(1n f pa a n n +=+;④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1:1.已知{a n }满足a n+1=a n +2,而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,求下列数列{}n a 的通项公式: ⑴ 1322-+=n n S n ; ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列,它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系:???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ,则把它们统一起来,否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加(迭乘、迭代)法求通项 例2:⑴已知数列{}n a 中,)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ,求数列{}n a 的通项公式; ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,11=a ,n n a n S ?=2 ,求数列{}n a 的通项公式. 总结:⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”; 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“;⑵迭加法、迭乘法公式: ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中,32,111+==+n n a a a ,求数列{}n a 的通项公式. 总结:递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法: 《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念: 1.归纳通项公式:注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式: (1)0,-3,8,-15,24,....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系:???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意:强调2,1≥=n n 分开,注意下标;n a 与n S 之间的互化(求通 项) 例2:已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ,求n a . 3.数列的函数性质: (1)单调性的判定与证明:定义法;函数单调性法 (2)最大(小)项问题: 单调性法;图像法 (3)数列的周期性:(注意与函数周期性的联系) 例3:已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531 =a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比(类比的思想,比较相同之处和不同之处) 例题: 例4(等差数列的判定或证明):已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1 a n -1 (n ≥2,n ∈N * ),数列{b n }满足b n =1a n -1 (n ∈N *). (1)求证:数列{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 ∵a n =2-1 a n -1 (n ≥2,n ∈N * ),b n =1 a n -1 . ∴n ≥2时,b n -b n -1=1a n -1-1 a n -1-1 = 1? ?? ??2-1a n -1-1 -1 a n -1-1 =a n -1 a n -1-1-1a n -1-1 =1. ∴数列{b n }是以-5 2 为首项,1为公差的等差数列. 高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,公差d =2,S n +2?S n =36,则n = A .5 B .6 C .7 D .8 【答案】D 【解析】解法一:由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+,S n +2=(n +2)2,由S n +2?S n =36得,(n +2)2?n 2=4n +4=36,所以n =8. 解法二:S n +2?S n =a n +1+a n +2=2a 1+(2n +1)d =2+2(2n +1)=36,解得n =8.所以选D . 【易错点】对S n +2?S n =36,解析为a n +2,发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中,若28641,2a a a a ==+,则a 6的值是________. 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0),∵a 2=1,则由8642a a a =+得6422q q q =+,即42 20q q --=,解得q 2=2, ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差(比)数列基本量的计算是解决等差(比)数列题型时的基础方法,在高考中常有所体现,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也会出现在解答题的第一问中,属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路: (1)设基本量a 1和公差d (公比q ). (2)列、解方程组:把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组),然后求解,注意整体计算,以减少运算量. 数列知识点题型方法总复习 一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n })的特殊函 数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 (1)已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+,则在数列{}n a 的最大项为__(125); (2)数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ,其中 b a ,均为正数,则n a 与1+n a 的大小关系为___(n a <1+n a ); (3)已知数列{}n a 中,2n a n n λ=+,且{}n a 是递增数列,求实数λ的取值范围(3λ>-);(4)一给定函数)(x f y =的图象在下列图中,并且对任意)1,0(1∈a ,由关系式)(1n n a f a =+得到的数 列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+,则该函数的图象是(A ) A B C D 二.等差数列的有关概念: 1.等差数列的判断方法:定义法1(n n a a d d +-=为常数)或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列,求证:以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2.等差数列的通项:1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中,1030a =,2050a =,则通项n a = 210n +;(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3.等差数列的前n 和:1()2n n n a a S += ,1(1) 2n n n S na d -=+。如(1)数列 {}n a 中,*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈,32n a =,前n 项和15 2n S =-,则13a =-,10n =; (2)已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-,求数列{||}n a 的前n 项和n T (答:2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??). 4.等差中项:若,,a A b 成等差数列,则A 叫做a 与b 的等差中项,且2 a b A +=。 提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(公差为2d ) 三.等差数列的性质: 1.当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率 为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2.若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数 列。 数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式: 1n n a a d --= 二 通项公式:n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件:b an a n +=(a ,b 为常数),即n a 是关于n 的一次函数,因为n Z ∈,所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式: 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件:bn an S n +=2(a ,b 为常数,a ≠0),即n S 是关于n 的二次函数,因为n Z ∈,所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置, 如:3个数a-d,a,a+d ; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=; 在等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则 m n p q a a a a +=+;若2m n p +=,则2m n p a a a +=; 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ,则,奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇 ; 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+,122n n n B a a a ++=++?+, 21223n n n C a a a ++=++?+,则有C A B +=2; 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义:1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式:11-=n n q a a ,n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是: (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠,) 当0q >且0q ≠时,n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。 累加累积 归纳猜想证明 掌握了数列的基本知识,特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质,掌握了 典型 题型的解法和数学思想法的应用,就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 (1)观察法。(2)由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解,通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 ⑴递推式为a n+i =3+d 及a n+i =qa n (d ,q 为常数) 例1、 已知{a n }满足a n+i =a n +2,而且a i =1。求a n 。 例1、解 ■/ a n+i -a n =2为常数 ??? {a n }是首项为1,公差为2的等差数列 /? a n =1+2 (n-1 ) 即 a n =2n-1 1 例2、已知{a n }满足a n 1 a n ,而a 1 2,求a n =? 佥 1 2 解■/^ = +是常数 .■-傀}是以2为首顶,公比为扌的等比数 把n-1个等式累加得: .' ? an=2 ? 3n-1-1 ji i ? / ] — 3 ⑷ 递推式为a n+1=p a n +q n (p ,q 为常数) s 1 1 【例即己知何沖.衍二右札+ 吧求% 略解在如十冷)*的两边乘以丹得 2 严‘ *珞1 = ~〔2怙血)+1.令亠=2n 召 则也€%乜于是可得 2 2 n b n 1 n 1 n b n 1 b n (b n b n 1)由上题的解法,得:b n 3 2(—) ? a . n 3(—) 2(—) 3 3 2 2 3 ★说明对于递推式辺曲=+屮,可两边除以中叫得蹲= Q 計/斗引辅助财如(%=芒.徼十氣+护用 (5) 递推式为 a n 2 pa n 1 qa n 知识框架 数列 的概念 数列的分类 数列的通项公式 数列的递推关系 函数角度理解 (2)递推式为 a n+1=a n +f (n ) 1 2 例3、已知{a n }中 a 1 a n 1 a n 1 ,求 a n . 4n 2 1 等差数列的疋义 a n a n 1 d(n 2) 等差数列的通项公式 a n a 1 (n 1)d 等差数列 等差数列的求和公式 S n (a 1 a n ) na 1 n(n 1)d 2 2 等差数列的性质 a n a m a p a q (m n p q) 两个基 本数列 等比数列的定义 a n 1 q(n 2) 等比数列的通项公式 a n n 1 a 1q 数列 等比数列 a 1 a n q 3(1 q ) (q 1) 等比数列的求和公式 S n 1 q 1 q / n a 1(q 1) 等比数列的性质 S n S m a p a q (m n p q) 公式法 分组求和 错位相减求和 裂项求和 倒序相加求和 解:由已知可知a n 1 a n (2n 1)(2n 1)夕2n 1 2n 令n=1,2,…,(n-1 ),代入得(n-1 )个等式累加,即(a 2-a 1) + 1广 K z 1】、 =-[(1-" + J J 5 _■ 冷(一 Jr ★ 说明 只要和f ( 1) +f (2) 入,可得n-1个等式累加而求a n 。 ⑶ 递推式为a n+1=ps n +q (p , q 为常数) 1 a n a 1 (1 2 +?…+f 例 4、{a n }中,ai 1,对于 n > 1 (n € N) 有a n (a 3-a 2) + ? + (a n -a n-1) L )也 2n 1 4n 2 (n-1 )是可求的,就可以由 a n+1=a n +f (n )以n=1,2,…, 3a n 1 2 ,求 a n ? 数列 求和 解法一: 由已知递推式得 a n+1=3a n +2,a n =3a n-1+2。两式相减:a n+1-a n =3 (a n -a n-1) 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列,其首项为 a 2-a 1= (3X 1+2) -1=4 --a n+1 -a n =4 ? 3 - a n+1 =3a n +2 - - 3a n +2-a n =4 ? 3 即 a n =2 ? 3 -1 解法_ : 上法得{a n+1-a n }是公比为 3 的等比数列,于是有: a 2-a 1=4, a 3-a 2=4 ? 3, a 4-a 3=4 ? 3 ? 3 , 数列的应用 分期付款 其他 数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义:为常数,a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项:,,成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质:是等差数列a n ()若,则;1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}()数列,,仍为等差数列;2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ,,……仍为等差数列;232-- ()若三个数成等差数列,可设为,,;3a d a a d -+ ()若,是等差数列,为前项和,则 ;421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}()为等差数列(,为常数,是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数) {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值;或者求出中的正、负分界=+2 项,即: 当,,解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当,,由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如:等差数列,,,,则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 (由,∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·,∴S a a a a 3132 22 33113 = +=== 数列 1. 等差数列 通项公式:1(1),n a a n d n *=+-∈N 等差中项:如果2 a b A += ,那么A 是a 与b 的等差中项 前n 项和:11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+ 若n a 是等差数列,且k l m n +=+,则k l m n a a a a +=+ ? 等差数列的通项求法应该围绕条件结合1,a d ,或是利用特殊项。 ? 等差数列的最值问题求使0(0)n n a a ≥≤成立的最大n 值即可得n S 的最值。 例1.{}n a 是等差数列,538,6a S ==,则9a =_________ 解析:513113248,33362 a a d S a d a d ?=+==+ =+=,解得10,2a d ==,916a = 例2.{}n a 是等差数列,13110,a S S >=,则当n 为多少时,n S 最大? 解析:由311S S =得1213 d a =- ,从而 21111(1)249()(7)2131313n a n n S na a n a -=+?-=--+,又10a >所以1013 a -< 故7n = 2. 等比数列 通项公式:11(0)n n a a q q -=≠ 等比中项:2G ab = 前n 项和:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? 若{}n a 是等比数列,且m n p q +=+,则m n p q a a a a ?=? 例.{}n a 是由正数组成的等比数列,2431,7a a S ==,则5S =__________ 数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想: 常设首项、(公差)比为基本量,借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1)若数列{}n a 是等差数列,则数列}{n a a 是等比数列,公比为d a ,其中a 是常数,d 是{}n a 的公差。 (a>0且a ≠1); 2)若数列{}n a 是等比数列,且0n a >,则数列{}log a n a 是等差数列,公差为log a q ,其中a 是常数且 0,1a a >≠,q 是{}n a 的公比。 3)若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较 4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 (2010陕西文16)已知{}是公差不为零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数列.(Ⅰ)求数列{}的通项;(Ⅱ)求数列{2}的前n项和. 解:(Ⅰ)由题设知公差d≠0, 由a1=1,a1,a3,a9成等比数列得12 1 d + = 18 12 d d + + , 解得d=1,d=0(舍去),故{}的通项=1+(n-1)×1=n. (Ⅱ)由(Ⅰ)知2m a=2n,由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展:数列{}n a是等差数列,则数列} {n a a是等比数列,公比为d a,其中a是常数,d是{}n a的公差。(a>0且a≠1). 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同,且a1+2a2+22a3+…+2n-1=8n对任意的n∈N*都成立,数列{+1-}是等差数列.求数列{}与{}的通项公式。 解:a1+2a2+22a3+…+2n-1=8n(n∈N*) ① 当n≥2时,a1+2a2+22a3+…+2n-2-1=8(n-1)(n∈N*) ② ①-②得2n-1=8,求得=24-n, 在①中令n=1,可得a1=8=24-1, ∴=24-n(n∈N*).由题意知b1=8,b2=4,b3=2,∴b2-b1=-4,b3-b2=-2, ∴数列{+1-}的公差为-2-(-4)=2,∴+1-=-4+(n-1)×2=2n-6, 数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一:观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 (1)3,5,9,17,33 ,; (2)11,22,33,44, ; 2345 (3)7,77.777.7777. (4)2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 (5)3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二:公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2:已知等差数列a n 中,a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3:已知等比数列a n 中,a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三:利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2) 例 4:已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* ),求a n 的通项公例 5:已知数列a n 的前n项和为S n,且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6:已知数列a n 的前n 项和为S n,且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7:已知正数数列a n 的前n项和为S n ,且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8:设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四:累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和例 9:a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和例 10:a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数,累加后可分组求和 例11:a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和 例 12:a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五:累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1 数列知识梳理 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法: ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法: ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ,011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列{n a }中,有关S n 的最值问题: (1)当1a >0,d<0时,满足?? ?≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时,满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意 转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法: (1)利用观察法求数列的通项. (2)利用公式法求数列的通项:① ? ? ? ≥ - = = - )2 ( )1 1 1 n S S n S a n n n (;②{} n a等差、等比数列{}n a公式. 1、已知{a n}满足a n+1=a n+2,而且a1=1。求a n。 例1已知 n S为数列{}n a的前n项和,求下列数列{}n a的通项公式: ⑴1 3 22- + =n n S n ;⑵1 2+ =n n S. (3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项: ①) ( 1 n f a a n n + = + ;②). ( 1 n f a a n n = + 数列求和的常用方法 一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式:d n n na a a n S n n2 )1 ( 2 ) ( 1 1 - + = + = 2、等比数列求和公式: ?? ? ? ? ≠ - - = - - = = )1 ( 1 1 ) 1( )1 ( 1 1 1 q q q a a q q a q na S n n n 二.裂项相消法:适用于 ? ? ? ? ? ? +1 n n a a c 其中{ n a}是各项不为0的等差数列,c为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列 )1 (n 1 + n 的前n项和 ***这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) 1 1 1 )1 ( 1 + - = + = n n n n a n 人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) Lesson6 数列 知识点1:等差数列及其前n 项 1.等差数列的定义 2.等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,那么它的通项公式a n =a 1+(n -1) d . 3.等差中项 a +b 如果 A =2 ,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m )d ,(n ,m ∈N *) . (2)若{a n }为等差数列,且k +l =m +n ,(k ,l ,m ,n ∈N *) ,则 (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为. (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n +qb n }也是等差数列. (5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *) 是公差为的等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式 n (a 1+a n )n (n -1) 设等差数列{a n }的公差d ,其前n 项和S n 或S n =na 1+22. 6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 d d 2? S n 2+ a 1-2n . 数列{a n }是等差数列?S n =An 2+Bn ,(A 、B 为常数) . ?? 7.等差数列的最值 在等差数列{a n }中,a 1>0,d 0,则S n 存在最小值. [难点正本疑点清源] 1.等差数列的判定 (1)定义法:a n -a n -1=d (n ≥2) ; (2)等差中项法:2a n +1=a n +a n +2. 20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1.递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式:推广:通项公式:递推关系: 为常数) 即:特征:m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数,(m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2.等差中项: 若c b a ,,成等差数列,则b 称c a 与的等差中项,且2 c a b +=;c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3.前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ; 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征:B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4.等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+,则若反之,不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2 ⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法: )常数)(*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法: )22 1*++∈+=N n a a a n n n (?{}n a 是等差数列 ③通项公式法: ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法: ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习:1.等差数列 {}n a 中, ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A .14 B .15 C .16 D .17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2.等差数列 {}n a 中,12910S S a =>,,则前10或11项的和最大。 解:0912129 =-=S S S S , 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ,又,, ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3.已知等差数列{}n a 的前10项和为100,前100项和为10,则前110项和为-110 解:∵ ,,,,,1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列,公差为D 其首项为 10010=S ,前10项的和为10100=S 解 数 列 一、数列的概念 (1 项叫第1项(或首项)第n 项(也叫通项)记作n a ;数列的一般形式:1a ,2a ,3a (1)(2)2010(2例如:①:1 ,2 ,②:4131211,,,说明: ①{}n a 表示数列,n a 的通项公式; ② 同一个数列的(1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ; (3)数列的函数特征与图象表示: 序号:1 2 3 4 5 6 项 :4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一 个数集的映射。从函数观点看,数列实质上是定义域为正整数集N +(或它的有限子集)的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 n a 来代替()f n ,其图象是一 . 有穷数列和无穷数、 … … 和n S 与通项n a 的关系: 322 +=n ,求数列}{n a 的通项公式 2项起,每一项与它的d 表示。用递推公式表示为1)。 = (1)n d +-; d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。 例:1.已知等差数列{}n a 中,12497116a a a a ,则,==+等于( ) A .15 B .30 C .31 D .64 2.{}n a 是首项11a =,公差3d =的等差数列,如果2005n a =,则序号n 等于 (A )667 (B ) 3.等差数列,12-=n a n 题型三、等差中项的概念: 定义:如果a ,A ,b 2 a b A += a ,A , b 成等差数列?A (m n m n n a a a +-+=2) 例:1.(06全国I )设{}n a A .120 B .D .75 2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为 48,则它的首项是( ) A .1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质: ()n m a a n m d =+-, 且m n p q +=+,则 n 。 ) 127...a a a +++= (D )n n n 项和,已知23a =, 611a =,则7S 等于( ) 数列知识点题型法总复习 一.数列的概念:数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 (1)已知* 2 () 156 n n a n N n =∈ + ,则在数列{}n a的最大项为__( 1 25 ); (2)数列} { n a的通项为 1 + = bn an a n ,其中b a,均为正数,则 n a与 1+ n a的大小关系为___( n a< 1+ n a); (3)已知数列{} n a中,2 n a n n λ =+,且{} n a是递增数列,数λ的取值围(3 λ>-);(4)一给定函数) (x f y=的图象在下列图中,并且对任意)1,0( 1 ∈ a,由关系式) ( 1n n a f a= + 得到的数列} { n a满足) (* 1 N n a a n n ∈ > + ,则该函数的图象是(A) A B C D 二.等差数列的有关概念: 1.等差数列的判断法:定义法 1 ( n n a a d d + -=为常数)或 11 (2) n n n n a a a a n +- -=-≥。如设{} n a是等差 数列,求证:以b n= n a a a n + + +Λ 2 1* n N ∈为通项公式的数列{} n b为等差数列。 2.等差数列的通项: 1 (1) n a a n d =+-或() n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{} n a中, 10 30 a=, 20 50 a=, 则通项 n a=210 n+;(2)首项为-24的等差数列,从第10项起开始为正数,则公差的取 值围是______ 8 3 3 d <≤ 3.等差数列的前n和:1 () 2 n n n a a S + =, 1 (1) 2 n n n S na d - =+。如(1)数列{} n a中, * 1 1 (2,) 2 n n a a n n N - =+≥∈, 3 2 n a=,前n项和 15 2 n S=-,则 1 3 a=-,10 n=; (2)已知数列{} n a的前n项和2 12 n S n n =-,求数列{||} n a的前n项和 n T (答: 2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈ ? =? -+>∈ ?? ). 4.等差中项:若,, a A b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且 2 a b A + =。 提醒:(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:1a、d、n、n a及n S,其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2 a d a d a a d a d --++…(公差为d);偶数个数成等差,可设为…,3,,,3 a d a d a d a d --++,…(公差为2d) 三.等差数列的性质: 1.当公差0 d≠时,等差数列的通项公式 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-是关于n的一次函数,且斜率 为公差d;前n和2 11 (1) () 222 n n n d d S na d n a n - =+=+-是关于n的二次函数且常数项为0. 2.若公差0 d>,则为递增等差数列,若公差0 d<,则为递减等差数列,若公差0 d=,则为常数 重点高中数学数列知识点总结 ————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期: 定义:1n n a a d +-=(d 为常数),()11n a a n d =+- 等差中项:x A y ,,成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质:{}n a 是等差数列 (1)若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+; (2)数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列,232n n n n n S S S S S --,,……仍为等差数列,公差为d n 2; (3)若三个成等差数列,可设为a d a a d -+,, (4)若n n a b ,是等差数列,且前n 项和分别为n n S T ,,则2121 m m m m a S b T --= (5){}n a 为等差数列2n S an bn ?=+(a b ,为常数,是关于n 的常数项为0的二次函数) n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值;或者求出{}n a 中的正、负分界项, 即:当100a d ><,,解不等式组100 n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>,,由1 00n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ,有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S Λ nd S S =-奇偶,1 +=n n a a S S 偶奇. (7)项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ,有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-, n a S S =-偶奇, 1-=n n S S 偶奇.2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练及参考答案
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