2013年4月考试离散数学第三次作业
一、填空题（本大题共30分，共 15 小题，每小题 2 分）
1. 一公式为 ______ 之充分必要条件是其合取范式之每一合取项中均必同时包含一命题变元及其否定
2. 对于前提：S→?Q, S∨R, ?R, ?P→Q，其有效结论为 ______ 。
3. 集合M={a,b,c,d}，集合N={1,2},则M到N的不同的函数关系有 ______ 个。
4. 设p,q的真值为0；r,s的真值为1，求命题公式（r s)(p q)的真值______ 。
5. 下图的邻接矩阵A= ______ 。
6. 设A={a,b,c},A上的二元关系R={
7. 求命题公式的主合取范式 ______ 。
8. 在代数系统
9. 设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度结点，该图有 ______ 个顶点。
10. 有5个结点的完全图的总边数为 ______ 。
11. 设个体域D={1,2}，命题x y(x+y=3)的真值为 ______ 。
12. 一棵树有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，则其1度结点数为。 ______
13. 求命题公式的主析取范式 ______ 。
14. 设A={1,2},B={α，β，γ}，则AoB= ______ 。
15. 设Z是整数集，+是整数加法运算，则是群，其幺元是 ______ 。
二、作图题（本大题共10分，共 2 小题，每小题 5 分）
1. 设A={a,b,c},P(A)是A的幂集，R为A上的包含关系，试给出的哈斯图，并给出子集{{b,c},{a,c},{c}}的极大元、极小元、最大元、最小元。
2. 某城市拟在六个区之间架设有限电话网，其网点间的距离如下有权矩阵，请绘出有权图，给出架设线路的最优方案，并计算线路的长度。
三、计算题（本大题共20分，共 4 小题，每小题 5 分）
1. 一棵树中，度数为2的结点有2个，度数为3的结点有3个，。。。度数为k的结点有k个，其余的是度数为1的结点，求度数为1的结点的个数。
2. 判定下图是否能够一笔画，若不能，请说明为什么，若能，请标出路径。
3. 证明：(?)(C(x)→W(x)∧R(x))∧(?x)(C(x)∧Q(x))?(?x)(Q(x)∧R(x))
4. 对200名大学一年级的学生进行调查的结果是：其中67人学数学，人学物理，95人学生物，26人既学数学又学生物，28人既学数学又学物理，27人既学物理又学生物，50人这三门课都不学。50人这三门课都不学。求出三门课都学的学生数
四、简答题（本大题共8分，共 1 小题，每小题 8 分）
判定下列代数系统是否为群，请说明原因。（1）
五、分析题（本大题共8分，共 1 小题，每小题 8 分）
求出下图的最小生成树，并计算出权。
六、证明题（本大题共24分，共 3 小题，每小题 8 分）
1. 如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI 语言而且学过C++语言。只要他学过DELPHI语言或者C++语言，那么他就会编程序。因此如果他是计算机系本科生，那么他就会编程序。请用命题逻辑推理方法，证明该推理的有效结论。
2. 设A={1,2,3…9}，在A×A上定义关系R：如果a+d=b+c,则R. (1)证明R是等价关系. (2)求[＜3，6>]R (即＜3，6>的等价类)
3. 设f1,f2 都是从代数系统到代数系统的同态。设g是从A到B的一个映射，使得对任意a∈A，都有g(a)= f1 (a)* f2 (a)
答案：
一、填空题（30分，共 15 题，每小题 2 分）
1.
参考答案：
永真式
解题方案：
评分标准：
答案正确得满分，错误不得分
2.
参考答案：
P
解题方案：
评分标准：
3.
参考答案：
16
解题方案：
评分标准：
4.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
5.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
6.
参考答案：{,,,,},s(R)={,,,} 解题方案：
评分标准：
7.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
8.
参考答案：
a,a
解题方案：
评分标准：
9.
参考答案：
4
解题方案：
评分标准：
10.
参考答案：
10
解题方案：
评分标准：
11.
参考答案：
1
解题方案：
评分标准：
12.
参考答案：
9
解题方案：
评分标准：
13.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
14.
参考答案：
{＜1, α＞,＜1,β＞,＜1,γ＞ ,＜2,α＞,＜2,β＞，＜2,γ＞}解题方案：
评分标准：
15.
参考答案：
解题方案：
评分标准：
答案正确得满分，错误不得分
二、作图题（10分，共 2 题，每小题 5 分）
1.
参考答案：
A的幂集为{{a},{b},{c},{a,b},{b,c},{a,c},{a,b,c},φ} 的哈斯图如下：
{{b,c},{a,c},{c}}的极大元为{b,c},{a,c}； {{b,c},{a,c},{c}}的极小元为{c}；最大元：无；最小元：{c}
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
根据矩阵画出无向图为：
根据题意求出最小生成树如下：
该最小生成树的权重为：1+2+3+5+7=18 因此本题中线路的长度为18
解题方案：
评分标准：
三、计算题（20分，共 4 题，每小题 5 分）
1.
参考答案：
设度数为1的结点有x 个，则该树中有x+2+3+…+k个顶点，从而有 x+2+3+…+k-1条边则有： x*1+2*2+…k*k=2(x+2+3…k-1) 则x=∑i2-2Σi+2 （i=2,3,…,k）
解题方案：
评分标准：
3 3 4
2.
参考答案：
可以一笔画（路径略）
解题方案：
评分标准：
3.
参考答案：
1）(? )(C(x)→W(x)∧ R(x)) P
2) (? x)(C(x)∧ Q(x)) P
3) C(a)∧ Q(a) ES(2)
4) C(a)→W(a)∧ R(a) US(2)
5) C(a) T(4)
6) W(a)∧ R(a) T(4)(5)
7) Q(a) T(3)
8) R(a) T(6)
9) Q(a)∧ R(a) T(7)(8)
10) (?x)(Q(x)∧R(x)) EG(9)
解题方案：
1）(? )(C(x)→W(x)∧ R(x)) P
2) (? x)(C(x)∧ Q(x)) P
3) C(a)∧ Q(a) ES(2)
4) C(a)→W(a)∧ R(a) US(2)
5) C(a) T(4)
6) W(a)∧ R(a) T(4)(5)
7) Q(a) T(3)
8) R(a) T(6)
9) Q(a)∧ R(a) T(7)(8)
10) (?x)(Q(x)∧R(x)) EG(9)
评分标准：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
4.
参考答案：
：设学生学习数学为具有性质P1,其集合为A1；学生学习物理为具有性质P2,其集合为A2；学生学习生物为具有性质P3,其集合为A3。 | A1|=67, |
A2|=47, | A3|=95 | A1∩A3|=26, | A1∩A2|=28, | A2∩A3|=27 | ～A1∩～A2∩～A3|=50,N=200 | ～A1∩～A2∩～A3|=N-| A1|-| A2|-| A3|+|
A1∩A3|+| A1∩A2|+ | A2∩A3|-| A1∩A2∩A3| 所以| A1∩A2∩A3|=22（人）
解题方案：
：设学生学习数学为具有性质P1,其集合为A1；学生学习物理为具有性质P2,其集合为A2；学生学习生物为具有性质P3,其集合为A3。 | A1|=67, |
A2|=47, | A3|=95 | A1∩A3|=26, | A1∩A2|=28, | A2∩A3|=27 | ～A1∩～A2∩～A3|=50,N=200 | ～A1∩～A2∩～A3|=N-| A1|-| A2|-| A3|+|
A1∩A3|+| A1∩A2|+ | A2∩A3|-| A1∩A2∩A3| 所以| A1∩A2∩A3|=22（人）
评分标准：
2 5 3
四、简答题（8分，共 1 题，每小题 8 分）
0.
参考答案：
（1）
解题方案：
评分标准：
五、分析题（8分，共 1 题，每小题 8 分）
0.
参考答案：
权=1+2+2+3+5=13
解题方案：
权=1+2+2+3+5=13
评分标准：
7
3
六、证明题（24分，共 3 题，每小题 8 分）
1.
参考答案：
设P:他是计算机系本科生； Q:他是计算机系研究生； R:他学过DELPHI语
言； W:他学过C++语言； V:他会编程序。则原题的描述可表示为：
推理过程如下：（1）P P(附加前提) （2）P∨Q T(1) （3）P∨Q→R∧W P （4）R∧W T(2)(3) （5）R T(4) （6）R∨W
T(5) （7）R∨W→V P （8）V T(6)(7) （9）P→V CP规则
解题方案：
评分标准：
2.
参考答案：
证明：（1） 1)?∈A?A，有a+b=b+a 所以有：R，故自反性成立。 2）?,∈
A?A，且R 有 a+d=b+c，则 c+b=d+a 故有R对称性成立。 3）?,,∈A?A，且
R,R, 有 a+d=b+c且c+f=d+e，两式相加，可得a+f=b+e 故有R传递性成立。
由以上三条可知，R是等价关系。（2）[]R={,,,,,}
解题方案：
评分标准：
3.
参考答案：
因为对于任意的a，b∈A，都有g(a★b)= f1(a★b)* f2(a★b)= f1(a)* f1(b) * f2(a) * f2(b)=g(a)*g(b) 所以，g是由到的同态。
解题方案：
因为对于任意的a，b∈A，都有g(a★b)= f1(a★b)* f2(a★b)= f1(a)* f1(b) * f2(a) * f2(b)=g(a)*g(b) 所以，g是由到的同态。
评分标准：
5 5
第二次在线作业 1.（ 2.5分）代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 2.（2.5分）设< L*1*2> 是代数系统，其中是*1*2二元运算符，如果*1*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称< L*1*2> 是格 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 3.（2.5分）对实数的普通加法和乘法，0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 4.（2.5分）零元是不可逆的 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 5.（2.5分）群中每个元素的逆元都是惟一的 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分
6.（2.5分）设abc是阿贝尔群< G+> 的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c) ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 7.（2.5分） < {01234}MAXMIN> 是格 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 8.（2.5分）一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 9.（2.5分）在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 10.（2.5分）一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分
11.（2.5分）不含回路的连通图是树 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 12.（2.5分）简单图邻接矩阵主对角线上的元素全为0 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 13.（2.5分）树一定是连通图 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 14.（2.5分）无向图的邻接矩阵是对称阵 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分 15.（2.5分）不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点 ?正确 ?错误 我的答案：正确此题得分：2.5分
离散数学考试试题（A 卷及答案） 一、（10分）求(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))的主析取范式 解：(P ↓Q )→(P ∧?(Q ∨?R ))??(?( P ∨Q ))∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q )∨(P ∧?Q ∧R )) ?(P ∨Q ∨P )∧(P ∨Q ∨?Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q )∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨(R ∧?R ))∧(P ∨Q ∨R ) ?(P ∨Q ∨R )∧(P ∨Q ∨?R )∧(P ∨Q ∨R ) ?0M ∧1M ?2m ∨3m ∨4m ∨5m ∨6m ∨7m 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解 设设P ：王教授是苏州人；Q ：王教授是上海人；R ：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P ∧Q 乙：?Q ∧P 丙：?Q ∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P ，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为： ((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?' R 。则sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。
一、填空题 1. 设A = {1, 2}, B = {2, 3}, 则A - A =________, A – B =________, B – A =________. 2. 设N 是自然数集合, f 和g 是N 到N 的函数, 且f (n ) = 2n +1，g (n ) = n 2, 那么复合函数(f f ) (n )=________ , (f g ) (n )=________ , (g f ) (n ) =________. 3. 设|X | = n , P (X )为集合X 的幂集, 则| P (X )| = ________. 在代数结构(P (X ), ∪)中，则P (X ) 对∪运算的单位元是________, 零元是________ . 4. 在下图中， _______________________________是其Euler 路 . 5. 设有向图G = (V , E )，V = {v 1，v 2，v 3，v 4}，若G 的邻接矩阵A =???? ??????1001001111011010, 则v 1的出度deg +(v 1) =________, v 1的入度deg -(v 1) =________, 从v 2到v 4长度为2的路有________条. 二、单选题 1. 设A = {{1, 2, 3}, {4, 5}, {6, 7, 8}}, 下列选项正确的是( ) (A) 1∈A (B) {1, 2, 3}?A (C) {{4, 5}}?A (D) ?∈A . 2．集合A = {1, 2, …, 10}上的关系R ={(x , y )|x + y = 10, x , y ∈A }, 则R 的性质是 ( ) (A) 自反的 (B) 对称的 (C) 传递的、对称的 (D) 反自反的、传递的. 3．若R 和S 是集合A 上的两个关系，则下述结论正确的是( ) (A) 若R 和S 是自反的, 则R ∩S 是自反的 (B) 若R 和S 是对称的, 则R S 是对称的 (C) 若R 和S 是反对称的, 则R S 是反对称的 (D) 若R 和S 是传递的, 则R ∪S 是传递的. 4．集合A = {1, 2, 3, 4}上的关系 R = {(1, 4), (2, 3), (3, 1), (4, 3)}, 则下列不是．．t (R )中元素的是( ) (A) (1, 1) (B) (1, 2) (C) (1, 3) (D) (1, 4). 5．设p ：我们划船，q ：我们跑步, 则有命题“我们不能既划船又跑步”符号化为( ) (A) ? p ∧? q (B) ? p ∨? q
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
北京邮电大学 离散数学 第一次阶段作业 判断题 1. 如果A∪B=B，则A?B。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 2. 如果a∈A∪B，则a?A或a?B。【答案：B】 A. 正确 B. 错误 3. a∈{a,a}。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 4.{?}是空集。【答案：B】 A. 正确 B. 错误 5.设ρ是集合A上的等价关系，则当a,b∈ρ时，aρ=bρ。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 单项选择题 1. 设A={a,a}，则下列各式中错误的是【答案：B】 A. a∈2A B. {a}?2A C. {a}∈2A D. {a}?2A 解：2A={?,a,a, a,a} 2. 下列各式中不正确的是【答案：C】 A. ??? B. ?∈{?} C. ??? D. ?∈{?,?} 3. 设ρ是集合A上的关系，则（）不是ρ为反对称关系的充分必要条件【答案：D】 A. ρ是反对称关系 B. ρ∩ρ?i A C. 对任意x,y∈A，当x,y∈ρ且x≠y时y,x?ρ D. 对A的某两个元素x, y，当x,y,y,x∈ρ时有x=y 4. 设A，B，C是集合，ρ,μ分别是A到B，B到C的关系，x∈A，z∈C，则存在y∈B使得x,y∈ρ且y,z∈μ是x,z∈ρ°μ的（）条件【答案：C】 A. 充分而非必要 B. 必要而非充分 C. 充分必要
D. 既非充分又非必要 5. 设A={0,b}，B={1,b,3}，则A∪B的恒等关系为【答案：A】 A.{0,0,1,1,b,b,3,3} B. {0,0,1,1,3,3} C. {0,0,b,b,3,3} D. {0,1,1,b,b,3,3,0}
2013年4月考试离散数学第二次作业 一、单项选择题（本大题共50分，共 25 小题，每小题 2 分） 1. 下列语句中为命题的是（） A. 暮春三月，江南草长. B. 这是多么可爱的风景啊！ C. 大家想做什么，就做什么，行吗？ D. 请勿践踏草地！ 2. 2.设G是n个顶点的无向简单图，则下列说法不正确的是（） A. 若G是树，则其边数等于n-1 B. 若G是欧拉图，则G中必有割边 C. 若G中有欧拉路，则G是连通图，且有零个或两个奇度数顶点 D. 若G中任意一对顶点的度数之和大于等于n-1，则G中有汉密尔顿路 3. 集合|A|=3，|B|=2，则A B上不同的函数个数为（）。 A. 3+2个 B. 32个 C. 2*3个 D. 23个 4. 设A-B=φ，则以下正确的是（）。 A. A＝B B. A?B C. B?A D. 以上都不对 5. 设R为实数集，函数f：R→R，f(x)=2x，则f是（） A. 满射函数 B. 入射函数 C. 双射函数 D. 非入射非满射 6. 设B={a,b,c},C={1,2,3,4}，以下哪个关系是从B到C的单射函数？（） A. f={<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,7>} B. f={<1,7>,<2,6>,<4,8>,<1,9>,<5,10>} C. f={<1,7>,<2,7>,<4,9>,<3,8>} D. f={<1,10>,<5,9>,<3,6>,<4,6>,<2,8>} E. f={<1,7>,<5,10>,<2,6>,<4,8>,<3,9>} 7. 下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是（）。 A. a*b=a+2b B. a*b=a+b-ab C. a*b=a D. a*b=|a+b| 8. 在下列命题中，为真的命题是（） A. 汉密顿图一定是欧拉图 B. 无向完全图都是欧拉图 C. 度数为奇数的结点个数为0个或2个的连通无向图G可以一笔画出 D. 有割点的连通图是汉密顿图 9. 设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“只有小李努力学习，他才能取得好成绩”的符号化形式为（）。 A. B. C.
《离散数学》期末考试题(B) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为 ( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二、单选题(每小题3分，共15分) 1.设R 是集合A 上的偏序关系，1-R 是R 的逆关系，则1 -?R R 是A 上的 (A)偏序关系 (B)等价关系 (C)相容关系 (D)以上结论都不成立 2.由2个命题变元p 和q 组成的不等值的命题公式的个数有 (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 3.设p 是素数且n 是正整数，则任意有限域的元素个数为 (A)n p + (B)pn (C)n p (D)p n 4.设R 是实数集合，≤是其上的小于等于关系，则(R, ≤)是 (A)有界格 (B)分配格 (C)有补格 (D)布尔格 5.3阶完全无向图3K 的不同构的生成子图有 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”. 1.若一个元素a 既存在左逆元l a ，又存在右逆元r a ，则r l a a =. ( ) 2.命题联结词→不满足结合律. ( ) 3.在Z 8 = {0，1，2，3，4，5，6，7}中，2关于“?8”的逆元为 4. ( ) 4.整环不一定是域. ( )
第一次 第1题 空集不是任何集合的真子集 您的答案：错误 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查空集的基本概念 第2题 一个集合可以是另一个集合的元素 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查集合的基本概念 第3题 设A、B为集合，如果集合A的元素都是集合B的元 素，则称A是B的子集 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查子集的基本概念 第4题 如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该 集合为全集，记为U 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查全集的基本概念 第5题 在笛卡儿坐标系中，平面上点的坐标< 1,2> 与< 2,1> 代表不同的点 您的答案：正确 题目分数：0.5
此题得分：0.5 批注：本题考查笛卡儿坐标系的基本概念 第6题 复合运算不满足交换律，但复合运算满足结合律您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查复合运算的是否满足交换律和结合律 第7题 映射也可以称为函数，是一种特殊的二元关系 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查映射的基本概念 第8题 映射的复合运算不满足交换律 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题为映射的基础知识 第9题 空集是唯一的 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查空集的唯一性 第10题 对任意的集合A，A包含A 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5
批注：本题考查集合的包含概念 第11题 集合上的三种特殊元是单位元、零元及可逆元 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查集合上的三种特殊元 第12题 集合A上的偏序关系的三个性质是自反性、反对称性和传递性 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查集合偏序关系的三个性质 第13题 设f:A→B, g:B→C。若f, g都是满射，则gf也是满射 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查复合关系的满射概念 第14题 设f:A→B, g:B→C。若f, g都是双射，则gf也是双射 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5 批注：本题考查复合关系的双射概念 第15题 设f:A→B, g:B→C。若f, g都是单射，则gf也是单射 您的答案：正确 题目分数：0.5 此题得分：0.5
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 1.（2.5分）代数系统是指由集合及其上的一元或二元运算符组成的系统 正确 错误 正确答案： 2.（2.5分）设< L,*1,*2> 是代数系统，其中是*1,*2二元运算符，如果*1,*2都满足交换律、结合律，并且*1和*2满足吸收律，则称< L,*1,*2> 是格 正确 错误 正确答案： 3.（2.5分）对实数的普通加法和乘法，0是加法的幂等元，1是乘法的幂等元 正确 错误 正确答案： 4.（2.5分）零元是不可逆的 正确 错误 正确答案： 5.（2.5分）群中每个元素的逆元都是惟一的 正确 错误 正确答案： 6.（2.5分）设a,b,c是阿贝尔群< G,+> 的元素，则-(a+b+c)=(-a)+( -b)+( -c) 正确 错误 正确答案： 7.（2.5分） < {0,1,2,3,4},MAX,MIN> 是格 正确 错误 正确答案： 8.（2.5分）一个图的哈密尔顿路是一条通过图中所有结点一次且恰好一次的路 正确 错误 正确答案： 9.（2.5分）在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示以v为起点的边的条数，入度deg-(v)表示以v为终点的边的条数 正确 错误 正确答案： 10.（2.5分）一个图的欧拉回路是一条通过图中所有边一次且恰好一次的回路 正确 错误 正确答案： 11.（2.5分）不含回路的连通图是树
离散数学试题(Ｂ卷答案１） 一、证明题(10分） 1）(P∧（Ｑ∧Ｒ）)∨(Q∧R）∨（Ｐ∧R)R 证明: 左端(P∧Q∧Ｒ）∨((Q∨P）∧R) ((P∧Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ((Ｐ∨Ｑ）∧R）∨((Ｑ∨P)∧Ｒ) (（P∨Q）∨（Ｑ∨P))∧Ｒ （(P∨Ｑ)∨(Ｐ∨Q))∧R T∧Ｒ(置换)Ｒ 2) x (A(x)B(ｘ）)xA(x)xＢ(ｘ) 证明：x(A(ｘ)B(x))x(Ａ(ｘ)∨B(x)） x A(ｘ)∨xB（ｘ) xA(x)∨xB(x） xＡ(x)xB(x) 二、求命题公式(P∨（Q∧R)）(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分）。 证明：(P∨（Q∧R))(P∧Q∧R)（P∨(Q∧R)）∨(P∧Q∧R)) (P∧(Q∨Ｒ))∨（P∧Q∧Ｒ） （Ｐ∧Q)∨（P∧R)）∨(P∧Q∧R) (P∧Q∧R)∨(P∧Q∧Ｒ)∨(P∧Q∧Ｒ))∨(P∧Ｑ∧R）)∨(Ｐ∧Q∧R） m0∨ｍ1∨m２∨ｍ７ Ｍ３∨M４∨Ｍ５∨M6 三、推理证明题（１0分) 1）Ｃ∨D，（C∨D)E, E(A∧B)，(A∧Ｂ)(R∨S)R∨Ｓ证明：(１） (C∨D) E ?P (2) E（A∧Ｂ) ??P （3) (Ｃ∨D）（A∧B) Ｔ（1）(2），I (4) （A∧B)(R∨S）??P (5) (Ｃ∨D)(Ｒ∨S) ? T(3)(4)，I (6） C∨Ｄ P (7) R∨S T(5)，I 2) x(P(ｘ)Ｑ(y)∧R(ｘ)），xＰ(ｘ)Q（y)∧x(Ｐ(x)∧R(x)) 证明(1)ｘP(x) Ｐ
（2)Ｐ(ａ） T(1），ＥS (3)ｘ（P(x)Q（y)∧R(x）) Ｐ (４)P(a)Q（y)∧R(a） T(3)，ＵS (５)Q（ｙ)∧R(a） T(2)（4），I （6）Q(y) Ｔ(５)，I （7)R(ａ) T(5),I (8)P(a)∧Ｒ（ａ) T(2)(7),I （9)x(Ｐ(x）∧R(x)) Ｔ(8),ＥG (10)Q(ｙ)∧x(P(x)∧R(ｘ)) Ｔ(６）(9)，I 四、某班有２5名学生,其中14人会打篮球,１2人会打排球，6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。而6个会打网球的人都会打另外一种球,求不会打这三种球的人数(10分)。 解：A，B,C分别表示会打排球、网球和篮球的学生集合。则｜A|=1２，|Ｂ|＝6,｜Ｃ|=14，｜A∩C|=6，｜B∩C｜=5，|Ａ∩Ｂ∩C｜=２。 先求|A∩B|。 ∵6＝|（Ａ∪C)∩B|=|（A∩B）∪（Ｂ∩C)|=|（A∩B）|＋|（B∩C）｜-|A∩B∩C|=|(Ａ∩B)|+5-２，∴|(A∩B）|=３。 于是|A∪Ｂ∪C｜=12+6+14-6-5－３＋２=20。不会打这三种球的人数25-20=5。五、已知Ａ、B、Ｃ是三个集合,证明A-(B∪Ｃ)=(A-B)∩(Ａ-C）(10分)。 证明：∵x A-（B∪C） x A∧x（B∪C） xＡ∧(xＢ∧x C） （x A∧x B）∧(x A∧ｘC） x（A-B）∧x(Ａ-C） ｘ（Ａ-Ｂ）∩(A-C） ∴Ａ-（B∪Ｃ)=（Ａ－B）∩(A－Ｃ） 六、已知R、S是Ｎ上的关系,其定义如下：R={
2013年9月份考试离散数学第一次作业 一、单项选择题（本大题共40分，共20 小题，每小题2 分） 1. 下列语句中不是命题的只有（）。A. 鸡毛也能飞上天？B. 人的死或重于泰山，或轻于鸿毛。C. 不经一事，不长一智。 D. 牙好，胃口就好。 2. 设A={1，2，3，4，5}，A上二元关系R={〈1，2〉，〈3，4〉，〈2，2〉}，S={〈2，4〉，〈3，1〉，〈4，2〉}，则S-1oR-1的运算结果是（）。 A. {〈4，1〉，〈2，3〉，〈4，2〉} B. {〈2，4〉，〈2，3〉，〈4，2〉} C. {〈4，1〉，〈2，3〉，〈2，4〉} D. {〈2，2〉，〈3，1〉，〈4，4〉} 3. 下列集合关于所给定的运算成为群的是（）。 A. 已给实数a的正整数次幂的全体，且a∈{0，1，-1}，关于数的乘法 B. 所有非负整数的集合，关于数的加法 C. 所有正有理数的集合，关于数的乘法 D. 实数集，关于数的除法 4. 在有n个结点的连通图中，其边数（） A. 最多有n-1条 B. 至少有n-1条 C. 最多有n条 D. 至少有n条 5. 一个连通的无向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有一条（） A. 汉密尔顿回路 B. 欧拉回路 C. 汉密尔顿通路 D. 初级回路 6. .以下命题公式中，为永假式的是（） A. .p→(p∨q∨r) B. (p→┐p)→┐p C. ┐(q→q)∧p D. ┐(q∨┐p)→(p∧┐p) 7. 在布尔代数L中，表达式(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。 A. b∧(a∨c) B. (a∧b)∨(a∧b) C. (a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) D. (b∨c)∧(a∨c) 8. 所有使命题公式为真的赋值为（）。 A. 010，100，101，110，111 B. 010，100，101，111 C. 全体赋值 D. 不存在 9. 设i是虚数，·是复数乘法运算，则G=<{i,-i,1,-1},?>是群，下列是G的子群是（）。 A.
《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???.
2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？
离散数学作业布置 第1次作业（P15） 1.16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 解：（1）p∨(q∧r)=0∨(0∧1)=0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s)=（0?1）∧(1∨1)=0∧1 =0 （3）（﹁p∧﹁q∧r）?(p∧q∧﹁r)=（1∧1∧1）? (0∧0∧0)=0 (4)（r∧s）→(p∧q)=（0∧1）→(1∧0)=0→0=1 1.17 判断下面一段论述是否为真：“π是无理数。并且，如果3是无理数，则2 也是无理数。另外只有6能被2整除，6才能被4整除。” 解：p: π是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 2是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 1.19 用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(﹁q→﹁p) （5）(p∧r) ? (﹁p∧﹁q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 解：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→( q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式，最后一列全为1 （5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1 （6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。 第2次作业（P38） 2.3 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ﹁(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 解：(1) ﹁(p∧q→q) ?﹁(﹁(p∧q) ∨q) ?(p∧q) ∧﹁q?p∧(q ∧﹁q) ? p∧0 ?0 所以公式类型为矛盾式 (2)（p→(p∨q)）∨(p→r) ? (﹁p∨(p∨q))∨(﹁p∨r) ?﹁p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式 (3) (p∨q) → (p∧r) ?￢(p∨q) ∨ (p∧r) ? (￢p∧￢q) ∨(p∧r) 易见, 是可满足式, 但不是重言式. 成真赋值为: 000,001, 101, 111
离散数学试题(B卷答案1） 一、证明题（10分） 1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R 证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R) ?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R) ?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R ?(?(P∨Q)∨(P∨Q))∧R ?T∧R(置换)?R 2) ?x (A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) 证明：?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x)) ??x?A(x)∨?xB(x) ???xA(x)∨?xB(x) ??xA(x)→?xB(x) 二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。 证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R)) ?（?P∧(?Q∨?R)）∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R) ?(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R) ?m0∨m1∨m2∨m7 ?M3∨M4∨M5∨M6 三、推理证明题（10分） 1）C∨D， (C∨D)→?E，?E→(A∧?B)， (A∧?B)→(R∨S)?R∨S 证明：(1) (C∨D)→?E P (2) ?E→(A∧?B) P (3) (C∨D)→(A∧?B) T(1)(2)，I (4) (A∧?B)→(R∨S) P (5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I (6) C∨D P (7) R∨S T(5)，I 2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x))，?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x) P
离散数学第一次作业（命题逻辑） 1、证明下列各式是重言式 （1）（（P∧Q）→P）?T ù((?(P∧Q) ∨ P) ?T ù(?P∨?Q∨P) ?T ù（T∨?Q）?T ùT?T 所以此式为重言式 （2）?（?（P∨Q）→? P）?F ù?（（P∨Q）∨? P）?F ù?（T∨Q）?F ù?T?F ùF?F 所以此式为重言式 （3）（Q→P）∧（? P→Q）∧（Q?Q）? P ù（? Q∨P）∧（P∨Q）∧T? P ù（(? Q∨P）∧P) ∨(（? Q∨P）∧Q) ? P ù(P∨((? Q∨P）∧Q) ? P ù(P∨P) ? P
ùP? P 所以此式为重言式 （4）（P→? P）∧（? P→P）?F ù（? P∨? P）∧（P∨P）?F ù（? P∧P）?F ùF?F 所以此式为重言式 2、求出下列公式的最简等价式：（1）（（P→Q）?（? Q→? P））∧R ù（（P→Q）?（P→Q））∧R ùT∧RùR （2）P∨? P∨（Q∧?Q） ùT∨FùT （3）（P∧（Q∧S））∨（? P∧（Q∧S））ù（（P∨? P ）∧（Q∧S））） ùT∧（Q∧S） ù（Q∧S）
3、（1）与非运算符↑（又叫悉菲（Sheffer）记号）用下述真值表定义，可以看出P↑Q??（P∧Q），试证明： （a）P↑P?? P；（b）（P↑P）↑（Q↑Q）? P∨Q； （c）（P↑Q）↑（P↑Q）? P∧Q 证明： （a）P↑P??（P∧P）??P (b) （P↑P）↑（Q↑Q）??P↑?Q??(?P∧?Q) ? P∨Q (c) （P↑Q）↑（P↑Q）??（P∧Q）↑?（P∧Q） ??(?（P∧Q）∧?（P∧Q）) ???（P∧Q） ? P∧Q （2）或非运算符↓（又叫皮尔斯（Peirce）箭头）用下述真值表定义，它与?（P∨Q）逻辑等价。对下述每一式，找出仅用↓表示的等价式。（a）? P；（b）P∨Q；（c）P∧Q。 P Q P↑Q P↓Q 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 证明： （a）? Pù? P∧Tù? P∧?Fù?（P∨F）ùP↓ F （b）P∨Qù??（P∨Q）ù?（P↓Q）ù（P↓Q）↓ F （c）P∧Qù?(?P∨?Q) ù??（? P↓? Q）ù? P↓? Qù（P↓ F）↓（Q↓ F）
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{
离散数学作业5 离散数学图论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ． 2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {}f {}c e ,． 3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数之和 等于边数的两倍． 4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 不含奇数度结点 ． 5．设G=
《离散数学》期末考试试题 一、 填空题（每空2分，合计20分） 1. 设个体域为{2,3,6}D =-, ():3F x x ≤，():0G x x >。则在此解释下公式 ()(()())x F x G x ?∧的真值为______。 2. 设:p 我是大学生，:q 我喜欢数学。命题“我是喜欢数学的大学生”为可符合化 为 。 3. 设{1,2,3,4}A =，{2,4,6}B =，则A B -=________，A B ⊕=________。 4. 合式公式()Q P P ?→∧是永______式。 5. 给定集合{1,2,3,4,5}A =，在集合A 上定义两种关系： {1,3,3,4,2,2}R =<><><>, {4,2,3,1,2,3}S =<><><>， 则_______________S R =ο，_______________R S =ο。 6. 设e 是群G 上的幺元，若a G ∈且2a e =,则1a -=____ , 2a -=__________。 7． 公式))(()(S Q P Q P ?∧?∨∧∨?的对偶公式为 。 8. 设{2,3,6,12}A =, p 是A 上的整除关系，则偏序集,A <>p 的最大元是________，极小元是_ _。 9. 一棵有6个叶结点的完全二叉树，有_____个内点；而若一棵树有2个结点度数为2，一 个结点度数为3，3个结点度数为4，其余是叶结点，则该树有_____个叶结点。 10. 设图,G V E =<>, 1234{v ,v ,v ,v }V =，若G 的邻接矩阵????????????=0001001111011010A ，则1()deg v -=________, 4()deg v +=____________。 二、选择题（每题2分，合计20分） 1．下列各式中哪个不成立（ ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。
离散数学集合论部分形成性考核书面作 业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外） 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出 掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有 解答过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在 03任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{3}，{1,3}，{2,3}， A B {1,2,3}} ，A?B= {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3.2>} ．2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ．3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {<2, 2>，<2, 3>，<3, 2>}，<3,3> ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} ∈ y x∈ y < > = {B , , x , 2 y A x 那么R－1＝ {<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={